Kap. 33 Elektromagnetiska vågor Den klassiska beskrivningen av EM-vågorna, går tillbaka till mitten av 1800-talet, då Maxwell formulerade samband mellan elektriska och magnetiska fält (Maxwells ekvationer). Vi skall ej gå in på dessa ekvationer i denna kurs (avsnitt 33.4 kan skippas), men man måste ändå känna till att EM-vågor består av kopplade elektriska- och magnetiska fält som utbreder sig i rummet. Precis som i samband med mekaniska vågor kan vi begränsa oss till studier av harmoniska vågor. Utgående från Maxwells ekvationer kan man visa att EM-vågorna är transversella, dvs. E- och B-fälten är riktade vinkelrätt mot vågens utbredningsriktning. Dessutom är E-och B-fälten vinkelräta mot varandra, se fig. 33.5. Ur Maxwells ekvationer får man också ett uttryck för våghastigheten. Det visar sig, inte oväntat, att hastigheten är relaterad till det störda mediets elektriska och magnetiska egenskaper (magnetiska permeabiliteten µ och dielektricitetskonstanten ε). Sambandet mellan EM-vågens hastighet och dessa parametrar är 1 v = µε Länge trodde man att EM-vågorna representerar störningar av ett medium, "etern", precis som ljudvågor representerar partikelförskjutningar i en gas. I ett berömt experiment kring sekelskiftet, som utfördes av de amerikanska fysikerna Michelson och Morley, visades dock att det inte existerar någon eter. Men inte nog med detta, experimenten visade också att vågorna rör sig lika fort relativt en observatör, oavsett om denne befinner sig i vila eller i rörelse. (Dessa resultat utgör grunden för Einsteins speciella relativitetsteori.) EM-vågorna transporterar alltså energi i vakuum. Våghastigheten i vakuum ges av v = c = 1 (33-3) µ 0 ε 0 där µ 0 och ε 0 är magnetiska permeabiliteten resp. dielektricitetskonstanten i vakuum. Det kan vara bra att komma ihåg värdet av hastigheten c: c 3.00. 10 8 m/s. EM-vågornas egenskaper beror naturligtvis på våglängden. Som framgår av fig. 33.1 förekommer EM-vågor med mycket varierande våglängder. Den del av "EM-spektrumet" som ligger inom våglängdsintervallet ~400-700 nm uppfattar vi som synligt ljus. Resterande delen av denna kurs kommer huvudsakligen att handla om EM-vågor inom synliga området. För att beskriva EM-vågens energitransport införs ibland Poyntingvektorn enligt ekv. 33-19. Det visar sig att Poyntingvektorn representerar energiflödet/areaenhet och tidsenhet. Eftersom EM-fälten varierar oerhört snabbt (typiskt ~10 15 Hz), är det lämpligt att betrakta tidsmedelvärdet över en tidsperiod som motsvarar typisk observationstid (exempelvis 10-3 s). Tidsmedelvärdet av Poyntingvektorn kallas intensitet, och kan visas vara: I = 1 2cµ 0 E m 2 = 1 E2 cµ 0 rms = 1 2 cε 0E 2 rms (33-26) På samma sätt som i kap.17 finner man alltså att intensiteten är proportionell mot våghastigheten och störningens amplitud i kvadrat. 1
Det är värt att notera att energin i EM-vågen är fördelad lika mycket i magnetiska flödet B som i elektriska fältet E (sid 898). Om energin strålas ut lika mycket i alla riktningar från en punktformig källa, blir den fördelad på en sfärisk yta. Denna sfäriska ytans radie växer allteftersom strålningen utbreder sig. Man talar i detta fall om en sfärisk våg. Eftersom sfärens yta är 4πr 2, blir den sfäriska vågens intensitet I = P s 4πr 2 (33-27) där P s är den utstrålade effekten. På stort avstånd från källan blir sfärens krökningsradie mycket stor, så att sfärens yta ser ut att vara plan (på samma sätt som att jordytan verkar vara plan). En våg med plan vågfront kallas planvåg (till skillnad mot sfärink våg). För en planvåg ändras inte intensiteten längs utbredningsriktningen. Precis som vanliga partiklar, överför ljus rörelsemängd till andra partiklar vid kollision. Enligt mekanikens lagar innebär överföring av rörelsemängd en växelverkan, som enligt Newtons lagar beskrivs genom en kraft F = dp (9-23). I samband med ljus fördelas kraften dt över en yta, varför det är naturligt att beskriva fenomenet i termer av tryck, strålningstryck (kraft/yta). Om strålningen absorberas (ytan är i detta fall mörk), blir strålningstrycket p r = I c (33-34) Om strålningen i stället reflekteras (speglande yta), fördubblas den överförda rörelsemängden, och strålningstrycket blir p r = 2 I c (33-35) Notera att uttrycken 33-34 och 35 gäller för perfekt plana ytor och normalinfall. Polarisation Även om EM-vågen innehåller såväl ett elektriskt som ett magnetiskt fält, kan man vid diskussion av strålningens växelverkan med materia oftast bortse från den magnetiska komponentens inverkan - den elektriska komponenten dominerar fullständigt i detta sammanhang. Vi skall därför fortsättningsvis fokusera intresset på E-fältet. Som redan nämnts, är EM-vågen transversell. Relativt strålens riktning kan alltså E-fältet ha många olika riktningar. E-fältets riktning bestämmer vågens polarisationstillstånd. Om vi tänker oss en observatör, som betraktar en EM-våg i en punkt i rummet, kan man tänka sig två extrema situationer: a) E-fältets riktning varierar snabbt och slumpvis, och b) E- fältets riktning varierar snabbt men regelbundet. I det första fallet sägs strålen vara opolariserad (se fig.33-11a), i det senare är den polariserad, i enklaste fall planpolariserad. En stråle är planpolariserad om E-fältets svängning sker i ett plan (se. fig. 33.13). Av allmänbildningsskäl kan det vara bra att känna till att det planpolariserade tillståndet är ett specialfall av "elliptisk polarisation", vilket innebär att en observatör upplever ett elektriskt fält vars riktning roterar och vars amplitud varierar regelbundet. Ett 2
annat specialfal är cirkulär polarisation, i vilket fall E-vektorn roterar, men dess amplitud är konstant. Ljus som sänds ut från en vanlig glödlampa är opolariserat. Det finns olika sätt för framställning av polariserat ljus. Det enklaste är att sända en opolariserad stråle genom ett polaroidfilter (eller "polarisator"). Sådana filter är uppbyggda av material som släpper igenom ljus med en bestämd riktning på E-fältet, och blockerar (absorberar) fält som är vinkelräta mot denna riktning. Om vi betraktar en planpolariserad stråle som sänds in i ett polaroidfilter, så att polarisationsplanet bildar en vinkel Θ relativt polaroidens transmissionsplan (se fig 33-13), kan fältet delas upp i dess komponenter parallellt resp. vinkelrätt relativt transmissionsplanet. Den transmitterade strålens E-fält blir i så fall och den transmitterade intensiteten E t = E 0 cosθ I t = I 0 cos 2 Θ (33 42) eftersom intensiteten är proportionell mot E 2. Denna lag kallas Malus lag. Om det infallande ljuset är opolariserat, varierar vinkeln Θ snabbt, och man observerar ett tidsmedelvärde av 33-42. Eftersom cos 2 Θ = 1 2, blir I t = 1 2 I 0 (33-40) Studera "sample problem" 33-3. Räkna 15 (17P), 19 (21E), 33 (35E), 39 (39P). Reflexion och brytning (refraction) En stråle som passerar gränsytan mellan två medier ändrar riktning, man säger att strålen "bryts". Sambandet mellan brytningsvinkeln och gränsytans egenskaper härleds först i kap.35, men jag tycker att vi likaväl kan bekanta oss med härledningen direkt. Alltså: ett tillfälligt hopp till kap. 36, sid. 959-962. Låt oss börja med att definiera begreppet brytningsindex. Som redan nämnts, är EM-vågens hastighet i ett medium v = 1/ µε. Om man inför relativa permeabiliteter och dielektricitetskonstanter enligt µ r =µ/µ 0 resp. ε r =ε/ε 0, kan man skriva 1 v = = 1 c = = c µε µ r µ 0 ε r ε 0 µ r ε r n Vi har här infört brytningsindex n som µ r ε r, och ser att n representerar förhållandet mellan våghastigheterna i vakuum (c) och ett medium (v). (För icke-magnetiska material, exempelvis glas, är µ r = 1 och n = ε r ). I fig. 35-3 illustreras en stråle med våglängden λ 1, som når en plan gränsyta mellan två medier, i detta fall luft och glas. Vågfronterna, som antas vara plana, bildar en vinkel Θ 1 relativt ytan (strålen bildar samma vinkel relativt ytans normal). Eftersom glasets brytnings- 3
index (n glas typiskt 1.5) är större än luftens (n luft 1.5), är vågfrontens hastighet i glas lägre än i luft. Vågen blir "sammanpressad" på glas-sidan så att λ 1 λ 2 = v 1 v 2 = n 2 n 1 Om vi betecknar vinkeln mellan vågfronten och gränsytan med Θ 2, finner vi med hjälp av lite geometriska betraktelser sambandet Detta samband kallas "brytningslagen" eller "Snells lag". n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2 (35-6) Låt oss nu återvända till kap. 33 för att undersöka några viktiga tillämpningar av denna lag. En sådan tillämpning baserar sig på att brytningsindexets värde varierar med strålningens våglängd. Fenomenet kallas kromatisk dispersion (=färgspridning). Det inses omedelbart att om strålen som träffar en gränsyta är sammansatt av ljus med olika våglängder, kommer dessa våglängder att brytas i olika riktningar (se fig. 33-21). I vetenskapliga sammanhang används denna spridning i prismor vid våglängdsanalys av ljus (fig.34-21), till vardags kan färgglittret från kristallkronor och diamanter verka trevligt. En annan viktig tillämpning av Snells lag är totalreflexion, som kan inträffa då en stråle träffar en plan gränsyta från den sida av gränsytan där brytningsindexet är störst. Man ser lätt orsaken till totalreflexion om man skriver om 35-6 enligt: sinθ 2 = n 1 n 2 sinθ 1 Om n 1 /n 2 >1 blir högerledet i ovanstående ekvation =1 för något värde på Θ 1 (<90 ). I detta läge måste Θ 2 vara 90, dvs den brutna strålen går parallellt med ytan. Om man ökar Θ 1 förbi denna kritiska värde, har Snells lag ingen reell lösning, vilket måste tolkas som att ingen bruten stråle existerar. Detta innebär att all intensitet reflekteras. Kritiska vinkeln för totalreflexion blir Θ 1 = Θ c = sin -1 ( n 2 n 1 ) (33-47) Om n 1 = 1.6 (typiskt för glas) och n 2 = 1.0 (luft), blir Θ 1,krit = 38.7. Totalreflexion är en förutsättning för optisk kommunikation via glasfibrer. Studera sample problem 34-4. Räkna 47 (45E), 63 (59P), 85 (49P). Kap. 33 avrundas med ett avsnitt om polarisation genom reflexion. Den fullständiga behandlingen av fenomenet rätt trasslig, så vi (och bokens författare) nöjer oss med en kvalitativ diskussion. Om man sänder en opolariserad stråle mot en plan gränsyta, träffas ytan dels av 4
elektriska fält som är parallella med ytan (symboliskt representerade med gula punkter i fig. 33-27), dels av fält som är vinkelräta mot de förra (gröna pilar i samma figur). Varje godtycklig elektrisk fältriktning kan delas upp i dessa vinkelräta komponenter, som kallas s- resp. p-komponenter. Eftersom växelverkan med materialet vid gränsytan innebär acceleration av fria laddningar (elektroner) i fältets riktning, inser man direkt att denna växelverkan måste bli olika för fält som ligger i ytans plan, jämfört med fält som har någon komponent vinkelrätt mot ytan. Även om brytningsindexen blir lika för de två fältriktningarna, så blir styrkan av motsvarande reflekterade fält olika. De intresserade kan finna sambanden i Physics Handbook ("Fresnel's equations"). En viktig följd av dessa ekvationer är att styrkan av den reflekterade p-komponenten (pilar i fig. 33-27) blir exakt noll för en viss infallsvinkel Θ 1 = Θ B. Denna speciella infallsvinkel kallas "Brewstervinkeln" eller "polarisationsvinkeln". Brewstervinkeln kan beräknas genom ett enkelt samband mellan infalls- och brytningsvinklarna i detta läge: Kombineras detta med Snells lag, fås Θ 1 + Θ 2 = Θ Β + Θ 2 = 90 Θ Β = tan -1 ( n 2 n 1 ) (33-49) Alltså: då ljus infaller mot en plan gränsyta i en vinkel som uppfyller ovanstående samband, blir det reflekterade ljuset perfekt planpolariserat, med E-vektorn parallell med den reflekterande ytan. Tillämpning: eliminering av störande reflexer med hjälp av polaroidglasögon. Hur skall polaroidglasets transmissionsplan vara orienterat för detta ändamål? Räkna 65 (61E), 66 (65) Kap. 35 Avbildning Detta kapitel behandlar geometrisk optik, som handlar om speglar, linser, avbildningsfel, mm. Ämnet geometrisk optik är, om man så vill, mycket omfattande. För vår behandling av den fysikaliska optiken, som innefattas i vågrörelseläran, är geometriska optiken av ringa betydelse. I vissa sammanhang kan det dock vara bra att känna till den allra enklaste formen av avbildning med tunna positiva linser. Därför rekommenderas en snabbgenomläsning av avsnitt 34-6. Notera sambandet 1 f = 1 p + 1 i (34-9) Vi kommer att använda detta samband i gränsfallet då p ->, vilket innebär att strålarna från ett punktobjekt är parallella. Vi ser att i detta fall blir i = f, dvs. punkten avbildas i linsens fokalplan. 5
Kap. 35 Interferens Kapitlet behandlar effekter av superposition, och är en utveckling av idéerna i kap. 17. Vi inleder med en diskussion av vågfronters utbredning, vilket är grundläggande för förståelsen av det interferensfenomen som kallas diffraktion. Enligt Huygens' princip kan en vågfronts utbredning konstrueras genom antagandet att varje punkt på vågfronten utgör en "sekundär" störningskälla. Den nya vågfronten fås som enveloppen till alla sekundärvågorna, se fig. 35-2. Det förtjänar att påpekas att denna konstruktion har fått stöd i senare behandling av EM-vågors utbredning, baserad på Maxwells ekvationer. Ett påtagligt stöd för Huygens' princip visas i fig. 35-6. Genom att spärra av en plan vågfront överallt utom i en mycket liten öppning, kan man i princip avgränsa en "sekundär" störningskälla. Detta skall enligt Huygens' princip resultera i en sfärisk våg, vilket också observeras. Vågen, som utan avspärrning skulle fortsatt rakt fram (dvs. vinkelrätt mot vågfronterna), fortskrider i stället som en sfärisk våg. Böjningsfenomenet kallas diffraktion. Observera att öppningen i fig. 36-4 är av samma storleksordning som våglängden. Vi skall nu studera interferens mellan EM-vågor. Som påpekades i samband med ljudvågor, kan interferens leda till förstärkning eller försvagning av störningen i en punkt i rummet, beroende på fasskillnaden mellan de interfererande vågorna. Fasskillnader uppstår genom att vågorna går olika långa vägar från källorna till observationspunkten. I samband med EMvågor kan fasskillnader också uppstå genom att vågorna passerar media med olika brytningsindex. Betrakta exempelvis de två vågorna i fig. 35-4. På sträckan L ryms i den nedre delen (brytningsindex n 1 ) L/λ 1 våglängder, om λ 1 betecknar våglängden i medium n 1. Fasskiftet på sträckan L blir alltså φ 1 = 2π L λ 1 = Ln 1 2π λ 0, där λ 0 betecknar våglängden i vakuum. På samma sätt fås för strålen som passerar den övre delen φ 2 = 2π L λ 2 = Ln 2 2π λ 0, så att relativa fasskiftet blir φ 2 - φ 1 = 2π λ 0 (Ln 2 - Ln 1 ) = k 0 (Ln 2 - Ln 1 ) Vid beräkning av fasskillnaderna ersätts alltså geometriska vägarna (jfr. ekv. 17-21) med optiska vägar. Optiska vägen representeras av produkten mellan geometriska vägen och brytningsindexet. Studera sample problem 35-1. Räkna 13 (9P) 6
Youngs dubbelspalt Bland alla interferensförsök intar Youngs dubbelspaltförsök en särställning, eftersom det i all sin enkelhet användes för att påvisa ljusets vågnatur. Experimentets princip framgår av fig. 35-8. Genom diffraktion i den mycket smala spalten S 0 fås en väldefinierad cylindrisk våg, som når de två spalterna S 1 och S 2. Om S 0 placeras symmetriskt med avseende på S 1 och S 2, blir dessa sekundärkällor synkrona (samma fas). Diffraktionen i S 1 och S 2 ger återigen cylindriska vågor, vilkas interferens observeras på en skärm C. Konstruktiv interferens i en punkt P fås om vägskillnaden från S 1 och S 2 är ett antal hela våglängder (fasskillnaden en heltalsmultippel av 2π), och destruktiv interferens om vägskillnaden är ett udda antal halva våglängder (fasskillnaden udda multippel av π). Analysen förenklas något om man antar att avståndet från dubbelspalternas plan B till skärmen C är oändligt stort (eller åtminstone mycket större än spalternas inbördes avstånd d), så att de två strålarna som når observationspunkten P kan anses vara praktiskt taget parallella (fig. 35-10b). Vägskillnaden blir i detta fall L = dsinθ (35-12) och konstruktiv interferens (dvs. ljusa band, se fig. 36-7) fås om Villkoret för destruktiv interferens (mörka band) blir då dsinθ = mλ m = 0,1,2,... (35-14) dsinθ = (2m+1)λ/2 (35-16) I praktiken kan man naturligtvis inte släpa iväg observationsskärmen till oändligheten. I stället kan man placera en tunn positiv lins omedelbart efter spalterna. Enligt den korta behandlingen av tunna linser i kap. 34 kommer de parallella strålarna från de två spalterna att sammanföras till en punkt P i linsens fokalplan. Studera sample problem 35-2 Räkna 25 (20E) Koherens Avsnittet om koherens är mycket viktigt för en god fysikalisk förståelse av ljusinterferens. Återigen är vi tvingade att begränsa oss till en kvalitativ diskussion, eftersom en fullständigare behandling ligger utanför ramarna för denna inledande kurs. Den kvalitativa behandlingen ger dock en korrekt bild av fenomenet, och avsnittet är väl värt att läsas även om det inte resulterar i "formler" som kan användas för lösning räkneproblem. Ett villkor för att man skall kunna observera interferenseffekter är naturligtvis att fasskillnaden mellan de interfererande strålarna inte varierar alltför snabbt. Vi har redan sett (ekv. 16-51) att addition av två harmoniska funktioner resulterar i en ny harmonisk funktion, vars argument innehåller denna fasskillnad (Φ). Om fasskillnaden inte är "stabil", varierar den resulterande harmoniska funktionens värde slumpvis mellan ±1, så att tidsmedelvärdet är noll! Förutsättningen för att detta inte skall inträffa är alltså att de två källorna är fasrelaterade (konstant fasskillnad). Om fasskillnaden är konstant säger man att källorna (och därmed också vågorna) är koherenta. Genom arangemanget i figur 35.8 ser man verkligen till att de två källorna som representeras av spalterna S 1 och S 2 verkligen är 7
koherenta, eftersom de sänder ut delar av samma vågfront. Denna metod att skapa koherenta vågor kallas vågfrontsdelning. Skulle man kunnat ersätta S 1 och S 2 med två separata lampor (på samma sätt som i samband med ljudvågor, t.ex. vid diskussion av svävning)? Svaret är nej, och orsaken är att EM-vågor har sitt ursprung i mycket snabba och kortvariga atomära processer. Detta innebär all ljusvågen inte kan beskrivas med en enda lång harmonisk funktion, utan snarare ett tåg av korta harmoniska snuttar. Varje sådan "snutt" kan kallas foton, och representerar en individuell atomär process. Det viktiga i nuvarande sammanhanget är att dessa atomära processer under normala förhållanden är helt slumpvisa ("spontan emission"), vilket innebär att de olika vågsnuttarna inte har någon som helst fasrelation. Eftersom varje enskild process varar typiskt 10-15 sekunder, hoppar interferensen mellan olika tillstånd (konstruktiva och destruktiva) 10 15 per sekund. Detta är alltför snabbt för att uppfattas av något öga. Koherensen kan beskrivas numeriskt genom tiden för emissionsprocessen (koherenstid T c ) eller genom längden av en koherent vågsnutt (koherenslängd l c ). Sambandet mellan koherenslängd och koherenstid är helt enkelt l c = c T c där c betecknar ljushastigheten. Med T c = 10-15 s blir l c = 3. 10-7 m, dvs bråkdelar av en mikrometer. En speciell typ av ljuskällor, med extremt god koherens, är lasrar. I en laser är ljusemissionen stimulerad (Light Amplification by Stimulated Emission), vilket innebär att emissionsprocesserna, som i en normal ljuskälla sker på slumpvisa tider, i detta fall triggas av en kontrollerad störning. På detta sätt kan man åstadkomma mycket långa vågtåg (koherenslängder på många km). En tydlig effekt av begränsad koherens hos källan S 0 i dubbelspaltförsöket kan observeras i fig. 35-9. Vi ser att kontrasten i fransmönstret ("fransvisibiliteten") avtar gradvis utåt bildens kanter. Orsaken är att vägskillnaden mellan observationspunkten och spalterna S 1 och S 2 ökar, då vi avlägsnar oss från bildskärmens mittpunkt. Om denna vägskillnad överskrider koherenslängden, nås observationspunkten av vågor som lämnat spalterna S 1 och S 2 vid så olika tider att de inte längre kan vara delar av samma våg från S 0. I fig. 35-9 syns den gradvisa minskningen av sannolikheten att observationspunkten nås av koherenta vågor. Av ovanstående resonemang bör det vara klart att interferensmönstret endast kan observeras i omedelbar närhet av den punkt som definieras av mittpunktsnormalen till sammanbindningslinjen mellan spalterna S 1 och S 2. Fransmönstret i interferensbilden från Youngs dubbelspalt fås genom addition av störningarna (dvs E-fälten) från de två spalterna. Om vi antar att spalterna är lika breda, blir bidragen identiska sånär som på en faskonstant (som bestäms av vägskillnaden). Så länge som det bara handlar om addition av två harmoniska funktioner, kan man hantera additionen analytiskt. E tot = E 1 + E 2 = E 0 sin(ωt) + E 0 sin(ωt + φ) 8
Matematiken blir något trevligare om vi skiftar både E 1 och E 2 med φ/2, vilket är tillåtet så länge som fasskillnaden inte ändras. Alltså: E tot = E 0 sin(ωt - φ 2 ) + E 0sin(ωt + φ 2 ) Med användning av sambandet sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) visas lätt att E tot = 2cos( φ 2 )sin(ωt) Intensiteten är som bekant propoertinell mot E 2, så att I tot = I 0 4cos 2 ( φ 2 ) (35-22) där I 0 betecknar den intensitet som man skulle haft från en ensam källa. Fasskillnaden φ bestäms av vägskillnaden (ekv. 35-12): φ = 2π λ dsinθ (35-23) Räkna 29 (23E) och 34 (29P). Interferens i tunna filmer I samband med dubbelspalten lyckades vi kringgå problemet med kort koherenslängd genom låta olika delar av samma vågfront att interferera. Vi kallade principen "vågfrontsdelning". En alternativ metod är den man kallar "amplituddelning". Interferens genom amplituddelning möter vi i samband med reflexioner i tunna skikt, se exempelvis såphinnan i fig. 35-18. Färgskiftningar i tunna oljeskikt på en vattenyta är ett annat exempel på detta fenomen. Principen illustreras i fig. 35-17. Man låter en stråle "i" reflekteras i gränsytan mellan medierna n 1 och n 2 (vi kan för enkelhets skull döpa medierna efter deras brytningsindex). Resultatet av denna reflexion blir stråle " r 1 ". Om n 1 och n 2 inte är alltför olika, passerar dock större delen av stråle "i":s intensitet in i skiktet n 2 (amplituden delas i punkt a) och den transmitterade strålen stöter på gränsytan mellan n 2 och n 3 där ytterligare en reflexion sker. Denna strålen kan sedan passera gränsytan mellan n 2 och n 1. Om n 2 -skiktets ytor är plana och parallella, blir r 1 och r 2 också parallella, och interferens fås om de bringas att sammanstråla med hjälp av en lins, t.ex. vår ögonlins. I fig. 35-17 ser man att det måste finnas ytterligare reflekterade strålar. Dessa är dock oftast mycket svaga i förhållande till r 1 och r 2, eftersom de fås som resultat av två eller fler reflexioner. Om vi ändå skulle fortsatt att rita ut strålgången i skiktet, skulle vi fått fram en tredje reflekterad stråle parallell med r 1 och r 2. Frågan i vad mån man behöver ta hänsyn till denna tredje stråle beror också på ljusets koherenslängd. Precis som i samband med dubbelspalten krävs att vägskillnaden mellan de interfererande strålarna (i detta fall räknat från splittringspunkten a) inte får överstiga koherenslängden. Detta faktum innebär att interferenseffekter med "vanligt" ljus kan ses endast i mycket tunna skikt. 9
Interferensen av de två strålarna r 1 och r 2 behandlas på samma sätt som strålarna från dubbelspalten. Dock tillkommer det en liten komplikation i samband med reflexion. Vi såg i samband med mekaniska vågor att en våg som reflekterats mot ett tätare medium är förskjuten relativt den infallande vågen med en halv våglängd, dvs fasförskjuten med π. Motsvarande gäller även för EM-vågor. En stråle som reflekteras mot ett medium med högre brytningsindex undergår en fasförskjutning på π radianer. Låt oss titta igen på fig. 35-15. Om vi exempelvis antar att n 1 < n 2 och n 2 > n 3, blir r 1 förskjuten relativt "i" med π på grund av reflexion mot "tätare" medium i punkt a, medan r 2 enbart har reflekterats mot "tunnare" medium i punkt b. Interferensvillkor för tunna skikt I fig. 35-13 faller strålen "i" mot gränsytan under en infallsvinkel θ. Även om behandlingen av denna geometri egentligen är rätt okomplicerad, möter man i verkligheten många situationer där ljuset faller in i en riktning mycket nära ytnormalen (θ 0 ). I detta fall blir den geometriska vägskillnaden mellan strålarna r 1 och r 2 helt enkelt dubbla skikttjockleken (r 2 går fram och tillbaka genom skiktet), dvs 2L. Den optiska vägskillnaden blir i detta fall 2L. n 2, och den vägrelaterade fasskillnaden θ L = 2π λ. 2Ln 2 (observera att λ i detta uttryck representerar vakuumvåglängden). Totala fasskillnaden mellan r 1 och r 2, inkluderar också ett bidrag från reflexionerna: θ tot = θ L +θ R Om vi antar, som ovan, att n 1 < n 2 och n 2 > n 3, blir θ R =-π (det blir snyggare med minustecken) och θ tot = 2π λ. 2Ln 2 - π Villkoret för konstruktiv interferens blir alltså: 2π λ. 2Ln 2 - π = m. 2π eller L = (2m+1) λ 4n 2 (m = 0,1,2,...) (35-36) och för destruktiv L = m λ (m = 0,1,2,...) (35-37) 2n 2 Studera sample problem 35-5 och 35-6 Ett berömt instrument, vars funktion baseras på interferens mellan två strålar som fås genom amplituddelning är Michelsons interferometer. Läs igenom avsnitt 35-8. Räkna 69 (43P), 75 (49P) och 81 (57P). 10
Kap.36 Diffraktion Begreppet diffraktion används för att beteckna strålars avböjning då de passerar smala öppningar (spalter, cirkulära hål,...). Vackra illustrationer av diffraktion finner vi i figurerna 36-1, 2 och 3. Den sistnämnda är speciellt intressant, då den visar ett mycket förvånande resultat. Figuren visar ljusintensiteten bakom en liten massiv stålkula, som belyses med koherent ljus. Det förvånande är att man i en punkt mitt bakom stålkulan (alltså på skuggsidan) finner en ljus punkt. Vi har redan påpekat att den fysikaliska orsaken till denna sorts böjning ligger i att varje punkt på en vågfront kan anses vara en sekundär störningskälla (Huygens princip). Med utgångspunkt från detta kan man konstruera en vågfronts utbredning. I kap. 36 behandlas diffraktionsfenomenet mer kvantitativt. Behandlingen begränsas dock till situationer där avståndet mellan ljuskälla och öppning (spalt) är mycket stort, liksom avståndet öppning - bildskärm. Dessa villkor leder till vad man kallar Fraunhoferdiffraktion. I den numeriska behandlingen tänker vi oss att den belysta öppningen innehåller oändligt många små källor, som föreskrivs av Huygens princip. Addition av alla bidragen från dessa små källor görs med visardiagrammetoden, som beskrevs i samband med ljudvågor (se fig. 36-6). Intensiteten från en spaltformad öppning blir I = I m ( sinα α )2 (36-5) där α är halva fasskillnaden mellan bidragen från de två yttersta punktkällorna: α = 1 2 φ = 1 2 ( 2π λ och a betecknar här spaltbredden (se fig. 36-5). a sin θ) Ekv. 36-7 visar att intensiteten i det genom spalten transmitterade ljuset oscillerar. Första nollstället i intensiteten inträffar då sinα = 0, dvs. α = ±π. (α=0 ger I = I m, eftersom både nämnare och täljare i (36-5) blir noll). De första nollställena inträffar alltså då φ = ±2π, vilket innebär att vägskillnaden mellan strålarna från spaltkanterna är λ! Dessa bidrag interfererar alltså konstruktivt, men resultatet blir ändå nollintensitet. Förklaringen ligger i det faktum att spalten är fylld med små källor, och om de två yttersta ger bidrag som ligger i fas, så är bidraget från källan mitt i spalten exakt i motfas! Riktningen till första nollstället ges av sinθ = λ a (36-13) Allmänt kan sägas att intensiteten utanför nollställena som definieras av φ = ±2π är relativt låg, och intresset fokuseras därför till läget av dessa första nollställena. Detta framgår av sample problem 36-2. 11
Studera fig. 36-7, som visar intensiteten enligt ekv. 36-5 för några olika förhållanden mellan spaltbredd och våglängd. Notera att då a växer så dras nollställena mot allt mindre vinklar, dvs böjningseffekten blir mindre påtaglig. Om a»λ går ljuset naturligtvis rakt fram, precis som man kan förvänta sig från vanlig geometrisk optik. En mycket vanlig form av öppningar är cirkulära sådana. Vi har exempelvis kameralinser, teleskopantenner, och inte minst våra egna ögonpupiller. Den numeriska behandlingen av cirkulära öppningar är matematiskt betydligt besvärligare än för spalten, men resultatet blir ganska likt. Man finner att intensiteten har ett maximum i "rakt-fram"-riktningen (θ = 0), och första nollstället i intensiteten inträffar då sinθ =1.22 λ d (36-12) där d betecknar öppningens diameter. Om diffraktionsmönstret avbildas med hjälp av en tunn lins med fokallängden f, hamnar diffraktionsmönstret i linsens fokalplan. Strålar i riktningen θ, som definierar nollstället enligt ekv. 36-12, fokuseras i en punkt som ligger på avståndet f. θ =1.22f λ från d diffraktionsbildens centrum. (Här har vi antagit att vinklarna är små, så att sinθ tanθ θ. Geometrisk upplösningsförmåga En obehaglig konsekvens av diffraktionsfenomenet är att optiska detaljavbildningsförmågan begränsas: en punkt avbildas aldrig som en punkt utan som en skiva med vinkelöppningen enligt ekv. 36-12. Så länge vi vet att vi avbildar en punkt är skadan inte stor, men om vi försöker avbilda två närbelägna punkter, kommer de två skivorna att flyta ihop. Situationen illustreras i fig. 36-10, och punktobjekten blir upplösta om deras vinkelseparation är större än θ R =1.22 λ d (36-14) Studera sample problem 36-3. Räkna 17 (15E), 26 (21P) och 27 (25P) Diffraktion i dubbelspalt Vid behandlingen av Youngs dubbelspalt fokuserade vi intresset till interferensen mellan vågorna från de två spalterna, och försummade helt det faktum att spalterna i verkligheten inte är oändligt smala. Diffraktionen kan alltså inte försummas. Lycklilgtvis är matematiken snäll, så att kombinationen av de två effekterna (interferens och diffraktion) ger ett enkelt resultat. Man finner att intensiteten från två spalter ges av I = I m cos 2 (β) ( sinα α )2 (36-19) där vi klumpat samman alla konstanter till I m (som representerar intensiteten i riktningen θ = 0 ), och där 12
β = π λ d sinθ (36 20) och α = π λ a sinθ (36 21) (d och a är spalternas inbördes separation resp. spalternas bredd). De två faktorerna i ekv. 36-19 är avbildade i fig. 36-14 (a) resp. (b) och produkten i fig. (c). Det observerade diffraktionsmönstret illustreras i fig. 36-15 (a). Fig 36-15 (b) visar den andra faktorn i ekv. 36-19, dvs intensiteten från en enkelspalt. Diffraktionsgitter Om vi radar upp en stort antal ekvidistanta spalter får vi ett diffraktionsgitter. Skillnaden mellan gitter och dubbelspalt är alltså antalet spalter. Den diffrakterade intensiteten från ett gitter liknar mycket den från en dubbelspalt. Den viktiga skillnaden är att interferensmaxima från ett gitter blir mycket intensivare och smalare (på en vinkelskala). Riktningarna för interferensmaxima är exakt desamma som för dubbelspalten. Orsaken inses lätt från fig. 36-19: om vägskillnaden för två intilliggande spalter är λ, så är vägskillnaden mellan nästnärmaste spalter 2λ, vilket också ger konstruktiv interferens. Diffraktionsgitter används för våglängdsanalys av EM-vågor. Om ljus med olika våglängder sprids av gittret, kommer de olika våglängderna att spridas i olika riktningar enligt formeln d sinθ = mλ (36 25) Parametern m (=0,1,2,..) kallas interferensordning, det diffrakterade ljuset delas upp i 1:a ordningens spektrum, andra ordningens spektrum, o.s.v. Vi ser att vinkelskillnaden mellan två givna våglängder ökar med ökande interferensordning. Om man skall använda ett gitter för våglängdsanalys, är det fördelaktigt att sprida de olika våglängderna maximalt. Dessutom är det fördelaktigt om de spridda strålarna är så smala som möjligt. Sammanfattningsvis kan man karaktärisera ett gitters kvalitet med dess upplösningsförmåga R, som definieras av R = λ medel λ (36-31) Man kan visa (se sid.908) att denna upplösningsförmåga ges av R = Nm (36-32) där N anger antalet spalter och m interferensordningen. Studera sample problem 36-6. Räkna 39 (35E), 43 (39P), 69 (41P) och 109 (51P). 13
Röntgendiffraktion Röntgenstrålar sprids på samma sätt som synligt ljus. Eftersom våglängden i detta fall är av storleksordning 1Å, måste de spridande elementen i gittret ha liknande inbördes avstånd. Naturen är i detta avseende vänlig mot oss, ty de flesta fasta ämnen är kristallina, vilket innebär att atomerna sitter i regelbundna positioner med typiska inbördes avstånd på någon Ångström. Atomerna i kristallina material bildar alltså tredimensionella gitter. Tillämpning av vårt vanliga villkor för konstruktiv interferens, nämligen att fasskillnaden mellan vågor från närliggande spridande objekt är en heltalsmultippel av våglängden, leder i samband med diffraktionen av röntgenstrålning i fasta ämnen till Braggs lag: 2dsinθ = mλ (m=1,2,3...) (36-34) Observera att vinkeln θ i denna ekvation räknas relativt de atomära planen, inte relativt ytnormalen, som i samband med plana gitter. Röntgendiffraktion är en av de mest kraftfulla metoder för detaljundersökning av fasta ämnens struktur. Räkna 55 (53E), 57 (54E) och 62 (61P). 14