SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Måndagen den 24 september, 2012

Relevanta dokument
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Onsdagen den 8 december, 2010

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Facit/lösningsförslag

SF1624 Algebra och geometri

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

A = x

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Preliminärt lösningsförslag

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll Lay, kapitel , Linjära ekvationer i linjär algebra

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

SF1624 Algebra och geometri

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Preliminärt lösningsförslag

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

SF1624 Algebra och geometri

Vektorgeometri för gymnasister

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

Vektorgeometri för gymnasister

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

SF1624 Algebra och geometri

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X =

Linjär algebra och geometri I

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Transkript:

SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 4 september, Låt T : R R 4 vara den linjära avbildningen med standardmatris (a) Bestäm en bas för bildrummet im(t ) ( p) (b) Bestäm dimensionen för nollrummet ker(t ) ( p) Lösningsförslag Vi börjar med Gauss eliminering: addera första rad till fjärde subtrahera första rad från tredje subtrahera gånger första rad från andra subtrahera gånger andra rad från tredje subtrahera andra rad från fjerde (a) Den första och den andra kolonnen har ledande ettor Det betyder att de första två kolonnerna av den ursprungliga matrisen bildar en bas till im(t ) Alltså har vi att, är en bas till im(t ) (b) Eftersom T är en linjär avbildning från R, har vi dim(ker(t )) + dim(im(t )) Från (a) vet vi att dim(im(t )) Vi kan konstatera att dim(ker(t ))

Låt T : R R vara en linjär avbildning som avbildar kvadraten med hörn i punkterna (, ), (, ), (, ) och (, ) på kvadraten med hörn i punkterna (, ), (, 4), (7, ), (4, ) (a) Bestäm matrisen för T (Det finns två möjligheter) ( p) (b) Förklara varför alla kvadrater i planet avbildas på kvadrater av T ( p) Lösningsförslag a) Vi har punkterna O (, ) P (, ), Q (, ), S (, ) P (, 4), Q (7, ), S (4, ) En linjär avbildning T : R R måste skicka noll-vektorn på noll Vi har vidare att vektorn (, ) (, ) (, ), vilket betyder att avbildningen T skickar (, ) till T (, ) T (, ) Vi vill först bestämma vilka möjliga punkt T kan skicka (, ) och (, ) till Punkterna vi kan välja mellan är P, Q och S Vi har att Q S P och vi har att Q P S, och detta ger oss de två möjligheterna för avbildningen T Vi har T (P ) P T (Q) Q eller T (P ) S T (Q) Q Standardmatrisen till den första avbildningen: Vi har att () () 7 T och T 4 Avbildningen T avbildar kvadraten med hörn i punkterna O, P, Q, S till O, P, Q, S För att hitta matrisen till T vi ska först skriva och som linjär kombinationer av och För att göra detta måste vi lösa systemet: subtrahera gånger första rad från andra / / / / / / Alltså / + / / Vi kan konstatera att: () T () T + () T 7 + / 4 / /

() T () T () T 7 / 4 / och att matrisen till T ges av: / / / / Standardmatrisen till den andra avbildningen kan vi hitta på samma sätt som ovan, eller som följer Vi har att T (Q) Q och att T (P ) S Om vi låter A vara standardmatrisen har vi matrisekvationen Vi har vidare att A 7 4 Vi multiplicerar vår matrisekvation från höger med inversmatrisen, och erhåller att 7 4 A ( ) b) Vi noterar att T är en sammansättning av en förstoring och en rotation Båda förstoring och rotation avbildar kvadrater till kvadrater, och det följer att samma måste hända för deras sammansättning T Låt W vara det delrum som spänns upp av vektorerna u, v och w 4 6 (a) Bestäm en bas för W ( p) (b) Bestäm ett linjärt ekvationssystem vars lösningsmängd är W ( p) Lösningsförslag a) Vi börjar med Gauss eliminering av matrisen u v w: 4 6 4 subtrahera gånger första rad från andra subtrahera gånger första rad från tredje subtrahera andra rad från tredje 4 4

4 Den första och den andra kolonnen är ledande kolonner Det betyder att vektorerna och bildar en bas till W b) Vi har att W är ett plan i R For att hitta en ekvation till W måste vi hitta en normal vektor till W Detta kan göras med vektorprodukten, Vi har att vektorn är normal till W, och därmed har vi att planet ges av ekvationen: 4 x + y z Svar: (a) - (b) Dimensionen till nollrummet är ett / / (a) Antigen eller / / (b) - (a) - (b) Planet ges av ekvationen x + y z

ALLMÄNNA BEDÖMNINGSKRITERIER För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa Det innebär speciellt att införda beteckningar definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng Om lösningen helt saknar förklarande text, eller motsvarande förklaring i form av logiska symboler, till beräkningar och formler ges högst två poäng Detta markeras vid bedömningen med FTS (Förklarande text saknas) Om lösningen har förklarande text men inte tillräckligt för att det ska gå att förstå alla steg ges högst tre poäng sammanlagt på uppgiften Detta markeras med FLFT (För lite förklarande text) Mindre räknefel ger i allmänhet inte avdrag om de inte ändrar uppgiftens karaktär eller leder till orimligheter som borde ha upptäckts Lösningen ska kunna läsas av en person som inte är insatt i problemet i förväg Bevisbördan ligger på den som skriver, inte på den som läser (a), poäng, poäng (b), poäng, poäng (a), poäng, poäng (b), poäng, poäng (a), poäng, poäng (b), poäng, poäng PRELIMINÄRA BEDÖMNINGSKRITERIER