Inlämningsuppgift, LMN100 Delkurs 3 Matematik Lösningar och kommentarer 1 Delbarhetsegenskaper (a) Påstående: Ett heltal är delbart med fyra om talet som bildas av de två sista siffrorna är delbart med fyra. Att detta gäller beror på att 100 är delbart med 4, 100 = 4 5. Exempel 1: 3754 = 375 100 + 4 = 4 5 375 + 4 (1) Eftersom 4 = 4 6 är 4 delbart med 4 och alltså är båda termerna i högerledet (1) delbara med 4 och därför är vänsterledet 3754 delbart med 4. Exempel : 43913 = 439 100 + 13 = 4 5 439 + 13 () 13 är inte delbart med 4 så i högerledet i () är bara den första termen delbar med 4 och därför är högerledet och därmed vänsterledet inte delbart med 4. För ett godtyckligt femsiffrigt tal abcde blir argumentet följande: abcde = abc 100 + de = 4 5abc + de (3) Här är den första termen i högerledet delbar med 4 så högerledet, och därmed abcde, är delbart med 4 precis då talet de är det. Anmärkning. I beviset har vi använt följande regel (I skånegruppens formulering) 1
Om man har ett tal som är delbart med faktorn F, och ökar eller minskar det med ett annat tal som också är delbart med F, så kommer även resultatet att vara delbart med F. Vi skrev abcde = 100abc+de och observerade att det första talet (100abc) är delbart med faktorn 4 så om talet de också är delbart med 4 blir summan delbar med 4. Om vi i stället skriver de = abcde 100abc och antar att abcde är delbart med 4 så är de skillnaden mellan två tal som båda är delbara med 4 och därför också delbart med 4. Regeln blir alltså ett test, abcde är delbart med fyra om och endast om de är delbart med 4. På samma sätt är delbarhetsreglerna i (b) och (c) ett sådant test. (b) Påstående: Ett heltal är delbart med tre när dess siffersumma är delbar med tre. Att det här är sant beror på att talen 10 1 = 9, 100 1 = 99, 1000 1 = 999, 10 000 1 = 9999,... alla är delbara med tre. Så för ett femsiffrigt tal abcde gäller abcde = 10 000a + 1000b + 100c + 10d + e = (9999a + 999b + 99c + 9d) + (a + b + c + d + e). Här är den första parantesen delbar med tre och alltså är talet abcde delbart med tre precis då siffersumman a + b + c + d + e är det. Anmärkning. Eftersom talen 9, 99, 999 osv. alla är delbara med 9 följer att ett heltal är delbart med 9 precis då dess siffersumma är delbar med 9. Påstående: Ett heltal är delbart med elva när dess alternerande siffersumma är delbar med elva. Vi skall först tolka vad som menas med den alternerande siffersumman. Om talet är abcde så är siffersumman a + b + c + d + e. Ett sätt att tolka den alternerande siffersumman är att varannat plustecken skall ersättas med ett minustecken. Då blir den alternerande siffersumman a b + c d + e. Vi provar: Talet 74943 har den alternerande siffersumman 7 4 + 9 4 + 3 = 7 + 9 + 3 (4 + 4) = 11 som är delbart med 11. Det stämmer för 74943 = 11 6813. Talet 5497 har den alternerande siffersumman 5 4 + 9 + 7 = 5 + 9 + 7 (4 + ) = 15 som inte är delbart med 11. Vi har 5497 = 11 4993 + 4 som inte heller är delbart med 11. Alltså stämmer regeln stämmer också för 5497.
För att bevisa att regeln gäller allmänt försöker vi resonera som i (b). Nu gäller att 10 + 1, 100 1, 1000 + 1, 10 000 1, osv. är delbara med 11. Vi har nämligen 10 + 1 = 11, 100 1 = 99 = 11 9, 1000 + 1 = 1001 = 11 91 och 10 000 1 = 9999 = 11 909. Vi skall alltså varannan gång lägga till en etta och varannan gång dra bort en etta för att få ett tal som är delbart med 11. För ett femsiffrigt tal abcde gäller alltså abcde = 10 000a + 1000b + 100c + 10d + e = (10 000 1 + 1)a + (1000 + 1 1)b + (100 1 + 1)c + (10 + 1 1)d + e = ( ) (10 000 1)a+(1000+1)b+(100 1)c+(10+1)d +(a b+c d+e). Här är den första (den stora) parantesen delbar med 11 och elvaregeln följer nu med samma resonomang som i (b). Handskakningar Ett sätt att resonera för att bestämma antalet handskakninigar då 5 personer träffas är följande. Den första personen skakar hand med de 4 andra, den andra personen skakar hand med ytterligare 3 personer (han har redan skakat hand med den första personen så det skall inte räknas igen), den tredje personen skakar hand med ytterligare personer, den fjärde personen skakar hand med ytterligare 1 person (den sista). Den femte och sista personens handskakningar har vi redan räknat. Summerar vi nu dessa tal får vi att antalet handskakningar, H 5, uppfyller H 5 = 4 + 3 + + 1 = 10 vilket stämmer med formeln i Algebra för alla. Om det är 16 personer som träffas gäller att den första personen skakar hand med de 15 andra, den andra personen skakar hand med ytterligare 14 personer, den tredje personen skakar hand med ytterligare 13 personer, osv. Så antalet handskakningar, H 16, uppfyller H 16 = 15 + 14 + 13 +... + + 1 = 10 För att bestämma antalet personer som skall mötas för att det skall bli 10 handskakningar försöker vi hitta en formel som gäller då ett godtyckligt antal, n, personer ses. Samma resonomang ger nu att den första personen 3
skakar hand med n 1 personer, den andra med n personer, den tredje med n 3 personer osv. Vi får att antalet handskakningar, H n, blir H n = (n 1) + (n ) + (n 3) +... + + 1 = 1 + + 3 +... + (n 1) Vi kan nu pröva oss fram. När n = 16 var antalet handskakningar 10. För varje person som tillkommer ökar antalet handskakningar med ungefär 0. Vi vill att antalet skall öka från 10 till 10 dvs. med 90. Så antalet personer bör öka med c:a 5. Vi prövar, H 1 = 1 + + 3 +... + 19 + 0 = 10. Detta blev det givna antalet och alltså var det 1 personer på kalaset. Ett alternativt (och bättre) sett att beräkna antalet är att försöka hitta en enklare formel för H n. Man kan resonera så här. Varje person på kalaset sträcker fram sin hand till alla de övriga gästerna, dvs. n 1 gånger, för att skaka hand. Eftersom det finns n gäster får vi totalt n(n 1) händer som sträcks fram för att hälsa. I varje handskakning sträcks händer fram och därför blir antalet handskakningar hälften av antalet framsträckta händer, dvs. n(n 1) H n =. (4) Nu gäller det att bestämma n så att H n = 10, dvs. n(n 1) = 10 eller n(n 1) = 40 och n n 40. Denna andragradsekvation har lösningen n = 1 ± (1 ) + 40 = 1 ± 1 + 1680 4 = 1 ± 1681 = 1 ± 41 Plustecknet ger den sökta lösningen n = 1, minustecknet ger n = 0 som förkastas eftersom det inte finns några kalas med ett negativt antal gäster. Anmärkning. Formeln (4) härledde vi med ett kombinatoriskt resonomang men det kan även härledas algebraiskt. Vi skriver upp H n två gånger, H n = 1 + +... + n 1 H n = n 1 + n +... + 1 och adderar. Observera att summan av talen som står ovanför varandra i högerledet är n 1 stycken och de har alla summan n. Vi får H n = n(n 1) och H n = n(n 1)/. 4
3 Primtal (a) Formuleringen av den här uppgiften blev fel. Det skulle stå: Regel (Anonym): Primtalen som är mindre än hundra är de tal som tror är primtal utom 91. Detta är ingen seriös regel men andemeningen är att man med hjälp av delbarhetsregler lätt hittar en faktor i alla sammansatta tal utom just för 91 = 7 13, där det är svårt att hitta primfaktorerna 7 och 13. Håller ni med? För lösningen av (b) och (c) hänvisar jag till Centralgruppens utmärkta lösning (finns med som bilaga). 5