RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen.) Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Uppgift Man vill styra ett system, Y (s) = G(s)U(s), genom att återkoppla från reglerfelet, och för att kunna göra en bra modellbaserad regulatordesign mäter man upp systemets frekvenssvar. Resultatet redovisas i Bodediagrammet nedan. 60 belopp 0 0 fas ( ) 90 20 50 0 0 0 ω (rad/s) 0 0 0 ω (rad/s) Härutöver gör man dessutom ett stegsvarsexperiment där man använder sig av den proportionella återkopplingen u(t) = r(t) y(t). Av stegsvarsexperimentet framgår att utsignalen svänger in mot värdet y = 0.8 då referenssignalen r är ett enhetssteg. (a) Bestäm systemets statiska förstärkning, G(0). (b) Anta att systemet styrs med styrlagen u(t) = r(t) y(t) (som vid stegsvarsexperimentet), och att referenssignalen är r(t) = sin 4t. Då kommer även y(t) att bli en sinussignal. Vad blir amplituden på y:s sinussignal? (c) För att få statisk förstärkning lika med ett hos det slutna systemet krävs här integralverkan i regulatorn. Bestäm förstärkningen K i styrlagen U(s) = K (R(s) Y (s)) så att s. skärfrekvensen ω c blir så stor som möjligt, 2. fasmarginalen ϕ m blir minst 40, 3. amplitudmarginalen A m blir minst.7. (2p) (d) Vad blir rampfelet, det vill säga lim (r(t) y(t)) då r(t) = t, med regulatorn i (c)? t
Uppgift 2 (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet i blockschemat nedan. u x 2 x 2 s+ s+2 y Använd x = [ x ] T x 2 som tillståndsvektor, med x och x 2 enligt blockschemat. (3p) (b) Ställ upp en tillståndsrepresentation för leadfiltret F lead (s) = K τ Ds + βτ d s + med K = 2, β = 0.2, τ D = 5. Ledning: Leadfiltret har en direktterm. (c) PID-regulatorn, F (s) = K p + K i + K s d s, går inte att representera på tillståndsform. Förklara varför det inte går. Uppgift 3 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Alla rötter till ekvationen 0 = s(s + ) 3 + ligger i vänster halvplan. (b) Det återkopplade systemet med kretsförstärkningen G o (s) = stabilt. s(s+) (c) Tillståndsbeskrivningen ẋ = x + u, y = x är en minimal realisation för systemet Y (s) = s+5 s 2 +6s+5 U(s). (d) Alla insignal-utsignalstabila system är också minimum fas. (e) En tillståndsmodell som är asymptotiskt stabil är också insignal-utsignalstabil. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p) är 2
Uppgift 4 Ett system har följande tillståndsmodell: [ ] [ ] 0 ẋ(t) = x(t) + u(t), 0 3 [ ] y(t) = x(t). () Man vill styra systemet med hjälp av återkoppling från utsignalen, y. Man prövar först med proportionell återkoppling, u(t) = K(r(t) y(t)), (2) men blir inte helt nöjd dels blir stegsvarets kvarvarande fel för stort, dels går det inte få systemet både tillräckligt snabbt och dämpat. (a) Med K = 5 i (2) uppnås det snabbaste slutna systemet som fortfarande har acceptabel dämpning. Ange dels det slutna systemets poler, dels slutna systemets statiska förstärkning då K = 5. (b) Föreslå en regulator som genom återkoppling från utsignalen y ger ett slutet system som. har statisk förstärkning lika med ett (G c (0) = ), 2. är lika dämpat som det i (a) (t.ex. i termer av stegsvarets översläng), 3. är dubbelt så snabbt som det i (a) (t.ex. i termer av stegsvarets stigtid). Motivera dina val av parametrar noggrant! Ledning: Använd till exempel tillståndsåterkoppling med observatör. (4p) 3
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B 208-0-23. (a) Vi har u = r y F (s) =. Slutna systemet, Y (s) = G c (s)r(s), har då överföringsfunktionen G c (s) = G(s). Stegsvarets slutvärde fås av +G(s) statiska förstärkningen G c (0). Här är 0.8 = G c (0) = G(0) + G(0) 0.8 + 0.8G(0) = G(0) 0.8 = 0.2G(0) och alltså är G(0) = 4. (b) Sinus in-sinus ut gäller, vilket betyder att amplituden på y blir G c (i4). Från (a) vet vi att G c (s) = G(s). Bodediagrammet ger att G(i4) = och +G(s) arg G(i4) = 25. Alltså noterar vi att ω c = 4 rad/s och att ϕ m = 55 i detta fall. Då kan vi direkt utnyttja att G c (iω c ) =, vilket här ger 2 sin ϕm 2 G c (iω c ) =.08. Alternativt använder vi att G(i4) = re iφ, med r = och φ = 25 π radianer: 80 G c (i4) = G(i4) + G(i4) = + e iφ = + cos φ + i sin φ = ( + cos φ)2 + sin 2 φ =, 2 + 2 cos φ vilket (naturligtvis) också ger G c (i4) =.08. (c) Med F (s) = K blir kretsförstärkningen G s o(s) = K G(s), och därmed har s vi att G o (iω) = K iω G(iω) = K ω G(iω), arg G o (iω) = arg K iω + arg G(iω) = 90 + arg G(iω). Vi kan se det som två fall: Välj K antingen utifrån ϕ 40, eller utifrån A m.7. Fall utgå från ϕ 40 : Vi måste ha arg G o (iω c ) 40 arg G(iω c ) 50. Bodediagrammet ω c. rad/s och G(i.) = 3.4. För att få skärfrekvensen att bli. rad/s måste K väljas så att = G o (iω c ) = K ω c G(iω c ) K = ω c G(iω c ) =. 3.4. Kontrollera amplitudmarginalen börja med att ta reda på fas-skärfrekvensen, ω p : 80 = arg G o (iω p ) = 90 + arg G(iω p ) arg G(iω p ) = 90. Avläsning i Bodediagrammet ger att ω p = 2.2 rad/s, och att G(i2.2) = 2.2. Amplitudmarginalen blir alltså A m = G o (ω p ) = K ω p G(iω p ) = Se t.ex. sidan 03 i kursboken. ω p K G(iω p ) = 2.2. 3.4 3.4 = 2.2. >.7.
Detta är alltså OK! 2 Fall 2 utgå från A m.7: Vi vet redan (från fall ) att oberoende av K så blir ω p = 2.2 rad/s, och att G(i2.2) = 2.2. För att få A m =.7 måste K väljas så att = A m G o (iω p ) = A m K ω p G(iω p ) K = ω p A m G(iω p ) = 2.2.7 2.2 =.7. Kontrollera fasmarginalen börja med att ta reda på skärfrekvensen, ω c : = G o (iω c ) = K ω c G(iω c ) G(iω c ) = ω c K =.7ω c. Detta kan lösas grafiskt: Rita in den räta linjen.7ω i beloppkurvan. Denna kurva skär beloppkurvan för ω = ω c =.6 rad/s. I faskurvan utläses att arg G(i.6) = 72. Fasmarginalen blir alltså ϕ m = 80 + arg G o (iω c ) = 80 90 + arg G(iω c ) = 90 72 = 8 < 40! Kravet 3 ej uppfyllt! Valet K =. 3.4 0.32 ger alltså den största ω c för vilken både ϕ m och A m är tillräckligt stora. (d) Använd slutvärdesteoremet, samt att E(s) = R(s) Y (s) = S(s)R(s): lim t e(t) = lim s 0 se(s) = lim ss(s)r(s) = lim s s 0 s 0 + G o (s) s = lim 2 s 0 s + sg o (s). Här noterar vi från (c) att sg o (s) = KG(s). Alltså får vi att lim e(t) = t = = 3.4 0.77. KG(0) 4K 4. 2. (a) Från blockschemat får vi: X (s) = s + (U(s) + X (s) + X 2 (s)) (s + )X (s) = U(s) + X (s) + X 2 (s) sx (s) = X 2 (s) + U(s), X 2 (s) = 2 s + 2 (X (s) + X 2 (s)) (s + 2)X 2 (s) = 2X (s) + 2X 2 (s) sx 2 (s) = 2X (s), samt att Y (s) = X (s) + X 2 (s). Invers Laplacetransformering ger då [ ] [ ] ẋ = x 2 + u, 0 ẋ = x + u, ẋ 2 = 2x, 2 0 0 [ ] y = x + x 2 y = x. 2 Egentligen räcker det att konstatera detta för att få A m =.7 måste K ökas, vilket ju medför att ω c ökar och ϕ m minskar till mindre än 40... 2
(b) Vi har U(s) = F lead (s)e(s), och 5s + F lead (s) = 2 0.2 5s + = 0s + 2 s + = 0 8 s +. Låt X(s) = 8 E(s) då kan vi skriva U(s) = X(s) + 0E(s). Vidare, s+ (s + )X(s) = 8E(s) sx(s) = X(s) + 8E(s) ẋ = x + 8e, vilket ger oss tillståndsrepresentationen { ẋ = x + 8e, u = x + 0e. (c) Det som gör att det inte går att representera PID-regulatorn på tillståndsform är D-delen. Denna gör att utsignalen (d.v.s. u) beror av derivatan av insignalen (här e), vilket inte går att uttrycka med en tillståndsmodell. Allmänt går bara system med en proper 3 överföringsfunktion att representera på tillståndsform. 3. (a) Falskt (undersöks t.ex. med Rouths algoritm); (b) Sant; (c) Sant s+5 ( = s+5 = s+ ); (d) Falskt (motexempel: Y (s) = U(s) är s 2 +6s+5 (s+)(s+5) s+ s+ BIBO men har nollställe i HHP ej minfas); (e) Sant (Resultat 8.6 & 8.7). 4. (a) Överföringsfunktionen för () är G(s) = C(sI A) B = s + s + 3 = 2 (s + )(s + 3). Med u = K(r y) blir slutna systemet G c (s) = KG(s) + KG(s) = 2K (s + )(s + 3) + 2K = 2K s 2 + 4s + 3 + 2K. Statiska förstärkningen blir alltså G c (0) = 2K = 0. Polerna ges av 0 = 3+2K 3 s 2 + 4s + 3 + 2K = s 2 + 4s + 3, och blir alltså 2 ± i3. (b) Tillståndsåterkoppling med observatör: u = Lˆx + mr. Det slutna systemet blir G c (s)m = b(s)m där b(s) = 2 (d.v.s. samma som för G(s)) α(s) och α(s) = det(si A + BL). För att få systemet dubbelt så snabbt ( avstånd från origo) och lika dämpat ( realtiv dämpning/vinkel mot reella axeln/förhållandet mellan imaginärdel och realdel) väljer vi helt enkelt α(s) som svarar mot polerna i (a) multiplicerat med två: 2( 2 ± i3) = 4 ± i6 α(s) = (s + 4) 2 + 6 2 = s 2 + 8s + 52. Vi får det faktiska polpolynomet [ ] s + + l l det(si A + BL) = det 2 l s + 3 + l 2 = (s + + l )(s + 3 + l 2 ) l l 2 = s 2 + (4 + l + l 2 )s + 3 + 3l + l 2. 3 En överföringsfunktion G(s) = b0sm +b s m + +b m s n +a s n + +a n (med b 0 0) är proper om m n, och strikt proper om m < n. 3
Identifiering av koefficienter ger ekvationssystemet { 4 + l + l 2 = 8, 3 + 3l + l 2 = 52, { l = 22.5, l 2 = 8.5. L = [ 22.5 8.5 ]. För att få statisk förstärkning = väljs m sådan att = G c (0)m = 2m 52, d.v.s. m = 26. Slutligen, observatören är ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx), och observatörspolerna ges av [ ] s + + k k 0 = det(si A + KC) = det k 2 s + 3 k 2 = (s + + k )(s + 3 k 2 ) + k k 2 = s 2 + (4 + k k 2 )s + 3 + 3k k 2. Tumregeln säger att observatörspolerna ska väljas något snabbare än G c (s):s poler. Välj dem t.ex. 50% snabbare, d.v.s..5( 4 ± i6) = 6 ± i9 q(s) = (s + 6) 2 + 9 2 = s 2 + 2s + 7. (Annat val av observatörspoler är naturligtvis också OK.) Identifiering av koefficienter ger ekvationssystemet { { [ ] 4 + k k 2 = 2, k = 53, 53 K =. 3 + 3k k 2 = 7, k 2 = 45, 45 (Ett alternativ till tillståndsåterkoppling med observatör är att använda leadlag-kompensering. Då behöver man ta reda på ω c och ϕ m i (a) här: dubbla ω c och behåll ϕ m. Dessutom behövs integralverkan γ = 0.) 4