NUMERISK ANALYS AV EXPLOSIONSLASTER I BERGTUNNLAR Etapp 2

NUMERISK ANALYS AV EXPLOSIONSLASTER I BERGTUNNLAR Etapp 2 Lars Rosengren, Rosengren Bergkonsult AB Terje Brandshaug, GeoTech Consulting Rapport till Vägverket Falun 2002-12-20 Postal address Phone Telefax E-mail Rosengren Bergkonsult AB +46-(0)23-315 30 +46-(0)23-315 70 bergkonsult@telia.com Barkarbacken 9 +46-(0)70-24 315 30 (Mobile) SE-791 93 Falun Sweden

i SAMMANFATTNING I föreliggande rapport redovisas resultatet från Etapp 2 av FoU-projektet Numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar. Projektet ingår i Vägverkets forskningsområde Dimensionering av tunnlar. Målet med Etapp 2 är att: (1) presentera kompletterande underlag för konsekvensanalys med avseende på bergtunnlars bärförmåga med hänsyn till bergmassans reducerade egenskaper vid skada p.g.a. explosionslast enligt Tunnel 99 och (2) rapporten skall kunna utgöra en vägledning vid numerisk analys av bergtunnlar vid användande av en s.k. deformationsmjuknande ( strain-softening ) materialmodell för bergmassan. Rapporten redovisar och diskuterar: (1) hur dynamisk analys med en s.k. Strain-Softening materialmodell kan utföras, (2) hur materialparametrar kan uppskattas till en strainsofteningmodell och (3) resultatet från numeriska analyser omfattande totalt 18 st modeller varav 6 st statiska och 12 st dynamiska. De numeriska modellerna representerar ett hypotetiskt problem med två parallella tunnlar på ett inbördes avstånd av 4 m och med 5 m bergtäckning. En ostörd bergkvalitet motsvarande Q=4-10 har förutsatts för bergmassan. För den störda (skadade) bergmassan har fyra olika uppsättningar materialparametrar studerats. Samtliga dynamiska analyser avser en tryckpuls som i Etapp 1 benämndes P2. Denna kan beskrivas enligt följande: ett lokalt tryck på en yta med storleken 4x4 m i trafikutrymme med en maximal tryckamplitud på 5 MPa och en total varaktighet på 2 millisekunder. Två olika dynamiska belastningsfall har studerats, nämligen lasten P2 applicerad i den vänstra tunnelns pelarvägg och lasten P2 applicerad i den vänstra tunnelns tak. De numeriska modellerna har för en av parameteruppsättningarna utförts med två olika materialmodeller för sprutbetongen, dels en elastisk och dels en oelastisk materialmodell, vilken utvecklades inom ramen för Etapp 1. Den nominella sprutbetongtjockleken har varit 100 mm. Men för en av parameteruppsättningarna har dessutom en modell med 150 mm sprutbetongtjocklek analyserats. Utförda numeriska modeller, vilka simulerats med det tvådimensionella finita differensprogrammet FLAC, indikerar att den skadade bergmassan runt tunnlarna i samtliga studerade fall förblir stabil, såväl för statiska som dynamiska förhållanden. Beräknade bulttöjningar ligger med god marginal under bultstålets dimensionerande töjningskapacitet. Prognostiserade skador i sprutbetongen är av ungefär samma omfattning, för ett och samma belastningsfall för samtliga studerade egenskaper i efterbrottstadiet. Skadorna i sprutbetongen är även av ungefär samma omfattning som i Etapp 1, där en traditionell Mohr-Coulomb materialmodell användes för bergmassan. Den elastiska materialmodellen för sprutbetongen genererar ungefär samma skadebild som den oelastiska. En ökning av sprutbetongtjockleken från 100 till 150 mm eliminerar skadorna i sprutbetongen nästan helt och hållet. Begränsningar i använd analysmetod kan dock innebära att tunnelsystemets stabilitet överskattas, varför bl.a. studie med en diskontinuummetod rekommenderas.

ii INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1 INTRODUKTION... 1 1.1 BAKGRUND... 1 1.2 SYFTE OCH MÅL... 3 1.3 OMFATTNING... 4 2 MODELL- OCH BERÄKNINGSFÖRUTSÄTTNINGAR... 5 2.1 ALLMÄNT... 5 2.2 MODELLGEOMETRI OCH RANDVILLKOR... 5 2.3 VÅGPROPAGERING OCH DISKRETISERING... 6 2.4 MATERIALMODELL OCH MATERIALPARAMETRAR... 9 2.5 IN-SITUSPÄNNINGAR OCH DRÄNERINGSFÖRHÅLLANDEN... 10 2.6 BERGFÖRSTÄRKNING... 11 2.6.1 Bergbultar... 11 2.6.2 Sprutbetong... 12 2.6.3 Samverkan mellan bultar och sprutbetong respektive sprutbetong och berg.. 14 2.7 DYNAMISK LAST... 15 2.8 DYNAMISKA BELASTNINGSFALL... 17 2.9 MODELLERINGSSEKVENS... 18 3 HÅLLFASTHETS- OCH DEFORMATIONSEGENSKAPER FÖR STRAIN- SOFTENING MATERIALMODELL... 19 3.1 ALLMÄNT... 19 3.2 STRAIN-SOFTENING MATERIALMODELL... 19 3.3 MATERIALPARAMETRAR... 21 3.3.1 Allmänt... 21 3.3.2 Uppskattning av residuala materialparametrar... 23 4 UTFÖRDA MODELLER... 33 5 RESULTAT... 34 5.1 INLEDNING... 34 5.2 STATISKA ANALYSER (MODELL 0)... 35 5.2.1 Allmänt... 35 5.2.2 Beräkningsresultat för Modell 0... 37 5.3 DYNAMISKA ANALYSER (MODELL II OCH III)... 48 5.3.1 Allmänt... 48 5.3.2 Beräkningsresultat för Modell II (Dynamisk last applicerad på vägg)... 49 5.3.3 Beräkningsresultat för Modell III (Dynamisk last applicerad i taket)... 63

iii 6 DISKUSSION... 75 6.1 STORSKALIG STABILITET... 75 6.2 LOKAL STABILITET... 76 6.3 MATERIALMODELL OCH MATERIALPARAMETRAR... 77 6.4 ANALYSMETOD... 79 7 SLUTSATSER OCH REKOMMENDATIONER... 80 8 REFERENSER... 82

1(82) 1 INTRODUKTION 1.1 Bakgrund I november 1999 utkom Vägverket med en uppdaterad version av Allmän teknisk beskrivning för vägtunnlar Tunnel 99, publikation 1999:138. Tunnel 99 innehåller ett antal nya dimensioneringskrav jämfört med sin föregångare, Tunnel 95. En av nyheterna är att vissa anläggningsdelar skall dimensioneras för dynamiska explosionslaster. Dimensioneringskraven är formulerade i avsnitt 3.3.4.3 i Tunnel 99 och lyder som följer: Avskiljande anläggningsdelar mellan trafikutrymmen eller mellan trafikutrymme och utrymnings-/angreppsväg skall beräknas för dynamiska laster enligt tabell 3.3-3. Trycktidförloppen skall förutsättas vara triangelformade med momentan tryckstegring till angivna värden och linjärt avtagande för såväl jämnt fördelat som lokalt tryck. En tryckstegringstid av upp till 10 % av den totala lastvaraktigheten får förutsättas som alternativ till momentan tryckstegring. Lokalt tryck behöver inte förutsättas samtidigt med jämnt fördelat tryck. Tabell 3.3-3 Dynamisk explosionslast Tryck (MPa) Jämnt fördelat tryck i trafikutrymme Lokalt tryck på en yta med storleken 4*4 m i trafikutrymme Jämnt fördelat tryck i utrymnings- och angreppsväg Varaktighet (ms) 0,1 50 5 2 0,05 50 Jämnt fördelat tryck skall inte förutsättas vid tunnelmynning mot det fria inom en längd från mynningen motsvarande radien till en kring tunnelöppningen omskriven cirkel.

2(82) I riskanalysen för tunneln skall i följande fall explosionsriskerna särskilt studeras och lastförutsättningarna eventuellt justeras: - om farligt gods i klasserna 1 eller 2 skall transporteras i tunneln - om personriskerna är speciellt stora, t ex vid tunnel som ansluter till annat byggnadsverk där människor stadigvarande vistas - om konsekvenserna av en lokal skada är speciellt stora, t ex tunnel under vatten eller där tunneln utgör den enda vägförbindelsen. Klassindelning enligt förordningen SFS 1982:923 om transport av farligt gods tillämpas. P.g.a. att Tunnel 99 är relativt ny har tillämpningen av kraven ännu inte hunnit värderas, eftersom endast ett fåtal tunnlar har projekterats efter det att Tunnel 99 kom ut. Tunnel 99 ger heller inga råd avseende beräkningsmetod för bergtunnlar. Detta har bl.a. lett till att det inte utvecklats någon dimensionerings- eller beräkningspraxis avseende explosionslaster i bergtunnlar. Inte heller internationellt sett finns det någon vedertagen praxis eller standard avseende dimensioneringsfrågor och beräkningsmetoder med avseende på explosionslaster i bergtunnlar. Detta faktum har uppmärksammats av konsulter i branschen och av Vägverket själva. För att öka kunskaperna med avseende på dimensioneringsfrågor och lämpliga beräkningsmetoder vid tillämpning av de nya belastningskraven initierade Vägverket FoUprojektet Numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar med målet att: 1. erhålla underlag för eventuell anpassning av belastningskraven i Tunnel 99 med hänsyn till dynamisk numerisk analys för bergtunnlar 2. erhålla del av underlag för konsekvensanalys med avseende på bärförmåga i bergtunnlar, d.v.s. att bedöma under vilka förutsättningar som de i Tunnel 99 angivna dynamiska belastningarna är kritiska för bärförmågan, med avseende på geometri och bergmassans egenskaper 3. rapporten skulle kunna utgöra en vägledning i dynamisk numerisk analys av bergtunnlar utsatta för explosionslaster enligt Tunnel 99.

3(82) Projektet redovisades i december 2001 i rapporten Numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar (Rosengren och Brandshaug, 2001). Samtliga numeriska modeller som redovisades i ovan nämnda rapport utfördes med en elastisk-idealplastisk materialmodell för bergmassan, d.v.s. en traditionell Mohr-Coulomb materialmodell. Resultaten från beräkningarna indikerade dock att tillkommande skador med efterföljande lokal nedsättning av bergmassans hållfasthet kunde förväntas för vissa av de studerade belastningsfallen. En av rekommendationerna i rapporten blev därför att: Undersöka bärförmågans känslighet med avseende på materialmodell för bergmassan vid applicering av lasten P2 i taket och i pelaren. Härvid rekommenderas en materialmodell som kan ta hänsyn till att hållfastheten reduceras då bergmassan skadas (s.k. strain softening ). Föreliggande rapport redovisar en fortsättning, Etapp 2, av projektet. Denna etapp fokuserar på att komplettera underlaget för konsekvensanalys med hänsyn till ovan citerade rekommendation. Detta innebär att föreliggande etapp bl.a. bidrar med kompletterande kunskaper för att uppfylla projektmål nummer 2 enligt ovan. 1.2 Syfte och mål Föreliggande studie utgör Etapp 2 av FOU-projektet Numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar, vilket ingår i Vägverkets (avdelning för Bro och Tunnel) verksamhetsplanering för år 2002, forskningsområde Dimensionering av tunnlar. Syftet med Etapp 2 är att: utföra kompletterande numeriska beräkningar för att undersöka det bärande huvudsystemets bärförmåga då bergmassans hållfasthet reduceras vid skada i typiskt svenskt kristallint berg p.g.a. dynamisk explosionslast enligt Tunnel 99 demonstrera dynamisk numerisk analys av bergtunnlar vid användande av en s.k. deformationsmjuknande (strain-softening) materialmodell för bergmassan. Målet med Etapp 2 är att: presentera kompletterande underlag för konsekvensanalys med avseende på bergtunnlars bärförmåga med hänsyn till bergmassans reducerade egenskaper vid skada p.g.a. explosionslast enligt Tunnel 99 rapporten skall kunna utgöra en vägledning vid numerisk analys av bergtunnlar vid användande av en s.k. deformationsmjuknande (strain-softening) materialmodell för bergmassan.

4(82) 1.3 Omfattning Föreliggande studie är baserad på den numeriska modell som upprättades och beskrevs inom ramen för föregående studie. I Rosengren och Brandshaug (2001) beskrivs i detalj modelloch beräkningsförutsättningar och viktiga frågeställningar man ställs inför vid utförande av dynamiska numeriska analyser, samt hur dessa kan hanteras på ett så relevant sätt som möjligt. Därför görs ingen sådan detaljerad redovisning i föreliggande rapport. Rapporten beskriver resultatet av numeriska modeller utförda med en s.k. deformationsmjuknande materialmodell (strain-softening) för bergmassan. Modell- och beräkningsförutsättningarna har i övrigt, i de allra flesta avseenden, varit de samma som i föregående studie och sammanfattas i kapitel 2. I den mån förutsättningarna avviker från föregående studie anges detta särskilt. Föregående studie benämns fortsättningsvis i denna rapport med Etapp 1. Eftersom föreliggande studie är baserad på en annan materialmodell än i Etapp 1 redovisas denna separat i kapitel 3 tillsammans med använda materialparametrar, samt hur dessa uppskattats. Rapporten omfattar resultatet från totalt 18 stycken numeriska analyser, varav 6 stycken är statiska och 12 stycken är dynamiska. I dessa analyser har (a) bergmassans deformationsmjuknande egenskaper, (b) materialmodell för sprutbetongen och (c) sprutbetongens tjocklek varierats. I kapitel 4 beskrivs vilka modeller som utförts och i kapitel 5 respektive 6 redovisas respektive diskuteras resultaten. Slutsatser och rekommendationer återfinns i kapitel 7. Samtliga numeriska analyser som presenteras i föreliggande rapport är liksom i Etapp 1 utförda med det tvådimensionella finita differensprogrammet FLAC, version 4.0.

5(82) 2 MODELL- OCH BERÄKNINGSFÖRUT- SÄTTNINGAR 2.1 Allmänt Modell- och beräkningsförutsättningarna har i de allra flesta avseenden varit de samma som i Etapp 1 och beskrivs i detalj i Rosengren och Brandshaug (2001). Men, för att föreliggande rapport skall kunna läsas och förstås som ett fristående dokument samt enklare kunna relateras till studien som utfördes i Etapp 1 redovisas i nedanstående avsnitt en sammanfattning av modell- och beräkningsförutsättningarna. I den mån förutsättningarna avviker från dem i Etapp 1 anges detta särskilt och de nya förutsättningarna redovisas. 2.2 Modellgeometri och randvillkor Modellen representerar ett tvådimensionellt snitt genom två parallella tunnlar med vardera bredden 11 m, vägghöjden 5 respektive 6 m och pilhöjden 2,85 m. Tunnlarna som avskiljs av en 4 m bred bergpelare har en bergövertäckning på 5 m. Modellens totala dimensioner är 100x40 m (BxH), se Figur 2.1. Modellens överyta representerar en fri bergyta. Y X 5 m 5 m 2,85 m 6 m 11 m 4 m 11 m 40 m Figur 2.1 Modellgeometri. 100 m För de statiska analyserna har s.k. rullränder applicerats på de modellränder som inte utgörs av den fria bergytan, se Figur 2.2a. Detta innebär att de båda vertikala ränderna, samt den undre randen är förhindrade att röra sig i en riktning vinkelrät mot respektive rand. Parallellt med respektive rand är modellen fri att röra sig. För de dynamiska analyserna har de statiska randvillkoren för de vertikala ränderna och den undre randen bytts ut mot s.k. viskösa ränder, se Figur 2.2b.

6(82) a) Figur 2.2 b) Princip för randvillkor; a) statiska analyser och b) dynamiska analyser. 2.3 Vågpropagering och diskretisering Vid dynamiska analyser av ett diskretiserat medium kan den valda diskretiseringsgraden (zonstorleken) påverka noggrannheten hos den propagerande vågen. I Etapp 1 (Rosengren och Brandshaug, 2001) visades med hjälp av s.k. FFT-analys (Fast Fourier Transform) att det mesta energiinnehållet i lasten P2 är associerad med frekvenser lägre än 750 Hz. Genom filtrerering av den ursprungliga pulsen kunde därför frekvenser större än 750 Hz filtreras bort och en zonstorlek på 0,4 m användas. I föreliggande studie har det antagits att elasticitetsmodulen för bergmassan reduceras då berget plasticerar (se avsnitt 3.3.2), vilket innebär att förutsättningarna för en korrekt vågpropagering har ändrats. Därför måste vågpropageringen analyseras och en zonstorlek väljas för de nya förhållandena i modellen. För att få en korrekt vågpropagering genom ett diskretiserat medium måste, enligt Kuhlemeyer och Lysmer (1973), den största zonstorleken i modellen vara mindre än 1/8-1/10 av våglängden associerad med den högsta frekvensen i den inkommande vågen. Detta innebär att den största zonstorleken bör uppfylla villkoret i Ekvation 2.1. C l (2.1) max 10f där C är S-vågshastigheten, C s, eller P-vågshastigheten, C p, i det aktuella mediet.

7(82) Eftersom lasten P2 (se avsnitt 2.7 och 2.8) skall appliceras över en begränsad yta kan det förväntas att både S-vågor och P-vågor induceras. Vidare är S-vågshastigheten lägre än P- vågens hastighet vilket innebär att S-vågens hastighet bör användas i Ekvation 2.1. Skjuvvågens hastighet kan beräknas ur sambandet i Ekvation 2.2. C s = E m 2ρ (1 +ν ) (2.2) m m där E m är materialets (bergmassans) elasticitetsmodul, ρ m dess densitet och ν m är Poissons tal. Av Ekvation 2.2 och 2.3 framgår att en minskad elasticitetsmodul kräver en mindre största zonstorlek. I föreliggande studie har det förutsatts att elasticitetsmodulen minskar momentant från det initiella värdet på 14 GPa till sitt reducerade värde då brott uppstår i bergmassan, se avsnitt 3.3.2. Det lägsta värdet för elasticitetsmodulen är 8,2 GPa (se Tabell 3.5). Vid kombination av Ekvation 2.1 och 2.2 erhålls att den största zonstorleken bör vara ca 0,15 m. För att verifiera att en korrekt propagering av den applicerade pulsen erhålls i modellen och för att optimera zonstorleken med hänsyn till erforderlig beräkningstid analyserades liksom i Etapp 1 (Rosengren och Brandshaug, 2001) en endimensionell numerisk testmodell. Först utfördes tester i vilka en plan skjuvvåg (S-våg) tilläts propagera genom modellen för tre olika zonstorlekar, nämligen 0,15, 0,25 och 0,4 m, se Figur 2.3a. Därefter utfördes en kontroll av vald zonstorlek (0,25 m) i vilken motsvarande tryckvåg (P-våg) tilläts propagera, se Figur 2.3b. Tidsfunktionen för den dynamiska lasten som applicerades i testmodellerna motsvarar den filtrerade lasten P2 (se avsnitt 2.7), d.v.s. en puls med en högsta frekvens på 750 Hz. Materialet i testmodellen antogs vara elastiskt med en elasticitetsmodul på 8,2 GPa, enligt ovan, och ett Poisson s tal på 0,25. Resultaten i form av skjuvspänning respektive horisontell spänning i punkterna A, B, C och D redovisas som funktion av tiden i Figur 2.4. l=0.15, 0.25 och 0.4 m Skjuvspänning Tid A B C D 40 m a) l=0.25 m Tryckspänning Tid A B C D 40 m Figur 2.3 Konceptuell modell för endimensionell analys av; a) skjuvvåg och b) tryckvåg. b)

8(82) Skjuvspänning [Pa] S- våg, l=0.15 m A B C D Skjuvspänning [Pa] S- våg, l=0.25 m A B C D Skjuvspänning [Pa] A Tid [s] a) S-våg, l=0.4 m B C D Horisontell spänning [Pa] Tid [s] b) P- våg, l=0.25 m A B C D Figur 2.4 Tid [s] Tid [s] c) d) Skjuvspänning respektive horisontell spänning som funktion av tiden i punkterna A, B, C och D för zonstorlek a) 0,15 m, b) 0,25 m och c) 0,4 m, respektive d) 0,25 m. Av Figur 2.4a framgår att en zonstorlek på 0,15 m ger en nästan perfekt propagering för skjuvvågen genom hela testmodellen. Vid en zonstorlek på 0,25 m, se Figur 2.4b, erhålls en miskning av vågamplituden på ca 7 % i punkt C, vilken motsvarar ett avstånd på 20 m från belastningspunkten. I punkt D är minskningen ca 20 %. Om zonstorleken ökas till 0,4 m minskar skjuvvågsamplituden med drygt 20 % redan i punkt B, d.v.s. på 10 m avstånd från belastningspunkten, se Figur 2.4c. I punkt B respektive C är minskningen ca 30 respektive 45 %.

9(82) För en modell med dimensionerna 100x 40 m (BxH) blir antalet zoner ca 178 000 stycken vid en zonstorlek på 0,15 m. Detta antal zoner kommer att öka beräkningstiden signifikant jämfört med modellen i Etapp 1 (Rosengren och Brandshaug, 2001) som hade ca 25 000 zoner. Därför är det önskvärt att försöka hålla nere antalet zoner så mycket som möjligt utan att signifikant minska noggrannheten i vågpropageringen. Detta innebär att söka en kompromiss baserat på resultaten från testmodellen som redovisats ovan. Ett antal testkörningar av den fullstora modellen gjordes därför med olika zonstorlekar. Dessa visade bl.a. att områden med plasticerat berg sträcker sig maximalt ca en tunnelbredd, d.v.s. drygt 10 m, ut från tunnlarnas periferi. Detta avstånd motsvarar punkt B i testmodellen ovan. En zonstorlek på 0,25 m ger enligt Figur 2.4b en nästan perfekt representation av skjuvvågen på detta avstånd. Noggrannheten i representationen av skjuvvågen avtar sedan gradvis med avståndet. Figur 2.4d visar att propageringen av tryckvågen vid zonstorleken 0,25 m är nästan perfekt genom hela testmodellen. Eftersom vi i denna studie huvudsakligen är intresserade av stabilitetsförhållandena i tunnlarnas närområde och vilka eventuella skador som uppstår i förstärkningen, är noggrannheten i vågpropageringen på stort avstånd från tunnlarna av mindre intresse. Baserat på ovanstående tester och resonemang valdes en zonstorlek på 0,25 m för samtliga numeriska modeller som redovisas i föreliggande rapport. En zonstorlek på 0,25 m ger totalt ca 64 000 zoner, vilket innebär betydligt kortare beräkningstider än om en zonstorlek på 0,15 m används, eftersom antalet zoner kan reduceras med 65 % (d.v.s. 178 000-64 000=114 00 färre zoner). 2.4 Materialmodell och materialparametrar I Etapp 1 antogs att bergmassan uppför sig som ett elastisk-idealplastiskt material enligt Mohr-Coulomb materialmodell. Mohr-Coulomb materialmodell kan schematiskt beskrivas enligt Figur 2.5. σ τ σ c φ E 1 c a) ε Figur 2.5 Schematisk beskrivning av Mohr-Coulomb materialmodell; a) normalspänning, σ, som funktion av töjning, ε och b) skjuvspänning, τ, som funktion av normalspänning, σ. σ t b) σ

10(82) För den hypotetiska bergmassan förutsattes vidare att bergkvaliteten låg i intervallet Q=4-10 och hade materialegenskaper enligt Tabell 2.1. Tabell 2.1 Förutsatta materialparametrar för bergmassan (designvärden). Parameter Värde Densitet, ρ m [kg/m 3 ] 2700 Elasticitetsmodul, E m [GPa] 14 Poisson s tal, ν m 0,25 Kohesion, c m [MPa] 1,8 Friktionsvinkel, φ m [ ] 40 Dilatationsvinkel ψ m [ ] 7 Enaxiell tryckhållfasthet, σ cm [MPa] 7,7 Draghållfasthet, σ tm [MPa] 0,26 Tyngdaccelerationen förutsattes vara 10 m/s 2. I föreliggande studie har, som tidigare nämnts, en deformationsmjuknande (strain-softening) materialmodell förutsatts. Denna materialmodell och tillhörande materialparametrar i efterbrottstadiet beskrivs i kapitel 3. De initiella materialparametrarna, d.v.s. bergmassans egenskaper före det att brott uppstår, har dock förutsatts vara enligt Tabell 2.1. 2.5 In-situspänningar och dräneringsförhållanden In-situspänningarna, d.v.s. de initiella spänningar som råder i bergmassan innan tunnlarna sprängs ut, har förutsatts vara linjära funktioner av djupet under bergytan enligt Ekvationerna 2.1-2.3. σ H =4.5 + 0.075 z [MPa] (2.1) σ h =3.0 + 0.0375 z [MPa] (2.2) σ v =0.027 z [MPa] (2.3) där z är djupet i meter under bergytan. Den största horisontella huvudspänningen har förutsatts vara riktad tvärs det modellerade planet. Dränerade förhållanden har förutsatts för såväl byggskedet som driftsskedet. Detta innebär att portrycket i bergmassan förutsatts vara noll, vilket medför att de effektiva bergspänningarna är lika stora som de totala.

11(82) 2.6 Bergförstärkning 2.6.1 Bergbultar Bergbultar har förutsatts bestå av systematiskt installerade fullt ingjutna bultar (K500) med diametern 25 mm, på ett inbördes avstånd av 2 m och längden 4 m i tak och väggar och längden 3 m i pelaren. I Tabell 2.2 redovisas samtliga för beräkningarna förutsatta dimensioner och egenskaper avseende bergbultar och ingjutning. Tabell 2.2 Förutsatta dimensioner och egenskaper för bergbultar. Parameter Värde Diameter, D [m] 0,025 Tvärsnittsarea, A s [m 2 ] 4,91E-4 Densitet, ρ s [kg/m 3 ] 7800 Elasticitetsmodul, E sk [GPa] 200 Karakteristisk flytdragspänning, f yk [MPa] 500 Karakteristisk dragbärförmåga, F yk [kn] 246 Karakteristisk tryckbärförmåga, F ck [kn] 246 Karakteristisk dragbrottöjning, ε gk [%] 5 Ingjutningens styvhet, K bond [GN/m/m] 9,62 Ingjutningens skjuvhållfasthet, S bond [kn/m] 490 Bultlängd i tak och vägg, L t,v (ej pelare) [m] 4 Bultlängd i pelare, L p [m] 3 Bultavstånd i tak, vägg och pelare, S [m] 2 Vid utvärdering av bultarnas bärförmåga har ett töjningskriterium för bultstålet enligt Ekvation 2.4 använts. ε aktuell ε gd (2.4) där ε gd är den dimensionerande brottöjningen för aktuellt gränstillstånd. Den dimensionerande brottöjningen förutsätts härvid vara en funktion av den karakteristiska brottöjningen, ε gk och partialkoefficienterna γ n, η och γ m enligt Ekvation 2.5. εgk ε gd = (2.5) γ ηγ n m Om partialkoefficienter enligt BBK 94 tillämpas för säkerhetsklass 3 blir den dimensionerande brottöjningen ε gd =3,62 % respektive ε gd =5 % vid normalt lastfall (statisk beräkning) respektive vid olykslastfall (dynamisk beräkning).

12(82) 2.6.2 Sprutbetong Sprutbetongen har förutsatts bestå av 100 mm tjock fiberarmerad sprutbetong (K40) i tak, väggar och pelare. Sprutbetongens materialegenskaper redovisas i Tabell 2.3. Tabell 2.3 Förutsatta dimensionermaterialegenskaper för fiberarmerad sprutbetong. Parameter Värde Tjocklek i tak, vägg och på pelare, t c [mm] 100 Densitet, ρ c [kg/m 3 ] 2300 Elasticitetsmodul, E ck [GPa] 16 a) Poisson s tal, ν c 0,25 Yttröghetsmoment, I [m 4 ] 8,33E-5 Karakteristisk böjdraghållfasthet, f flcrk [MPa] 3,9 Karakteristisk tryckhållfasthet, f cck, [MPa] 28,5 a) Detta värde stämmer ej med BBK 94 för K40, utan är ett erfarenhetsvärde från sprutbetongproduktion. Sprutbetongen har förutsatts bli utsatt för såväl normal-, moment- som tvärkraftsbelastning. Därför kan det förutsättas att bärförmågan är relaterad till dimensionerande kantspänningar (drag och tryck) såväl som till dess förmåga att ta upp tvärbelastning. De aktuella drag- och tryckbelastningarna representeras av de i modellen uppkomna kantspänningarna vilka beräknas med hjälp av normalkraften, tvärsnittsarean och momentet enligt Ekvation 2.6. Den aktuella tvärbelastningen erhålls direkt ur modellresultaten i form av en tvärkraft. drag N M z σ tryck / aktuell = ± (2.6) A I c där N = aktuell normalkraft A c = tvärsnittsarean (= t c 1m) M = aktuellt moment z = avståndet från neutrala lagret till sprutbetongytan (= t c /2) I = yttröghetsmomentet (= t c 3 /12). Vid utvärdering av sprutbetongens bärförmåga jämförs de aktuella kantbelastningarna och skjuvspänningen med dimensionerande värden för sprutbetongens böjdraghållfasthet (sprickspänning), tryckhållfasthet och skjuvhållfasthet. Dimensionerande värden för sprutbetongens drag- respektive tryckhållfasthet beräknas enligt Ekvationerna 2.7 och 2.8. Om partialkoefficienter enligt BBK 94 tillämpas i säkerhetsklass 3 erhålls dimensionerande materialvärden för normalt lastfall respektive olyckslastfall enligt Tabell 2.4.

13(82) f flcr f γ ηγ = flcrk (2.7) n m f ccd f = cck (2.8) γ n ηγ m Tabell 2.4 Sprutbetongens dimensionerande drag- respektive tryckhållfasthet vid normal lastfall respektive olyckslastfall. Parameter Normalt lastfall (Statisk beräkning) Olyckslastfall (Dynamisk beräkning) Dimensionerande 2,8 3,9 böjdraghållfasthet, f flcr [MPa] Dimensionerande tryckhålfasthet, f ccd [MPa] 15,8 26,1 När det gäller fiberarmerad sprutbetongs skjuvhållfasthet (förmåga att motstå tvärkraftsbelastning) ger BBK 94 ingen vägledning. Holmgren (1992) föreslår en skjuvhållfasthet, τ b, på 2 MPa för sprutbetong i hållfasthetsklass K40. Detta värde har förutsatts utgöra dimensionerande värde för både normalt lastfall och för olyckslastfallet. Simulering och utvärdering av sprutbetongens bärförmåga kan utföras på flera olika sätt. Två olika metoder har tillämpats, vilka beskrivs översiktligt nedan. Metod A Metod A är baserad på att sprutbetongens respons förutsätts vara helt elastisk. Detta innebär att sprutbetongen i de numeriska modellerna antagits ha oändlig hållfasthet och därför kan ta upp hur stora laster som helst utan att brott uppstår. Ett elastiskt beteende enligt ovan simuleras med den standardmodell för balkelement som finns inkluderad i FLAC. Vid utvärderingen av bärförmågan i sprutbetongen jämförs de aktuella lasterna som erhålls ur modellresultaten med de dimensionerande värdena enligt ovan. För att åskådliggöra de segment i sprutbetongen för vilka de dimensionerande värdena överskrids, har en s.k. FISHrutin implementerats som möjliggör identifiering och plottning av dessa segment. Eftersom modelleringsproceduren enligt metod A inte leder till brott begränsas heller inte lastuppbyggnaden i sprutbetongen då de dimensionerande materialvärdena överskrids. Detta innebär att lasterna obehindrat kan överföras från ett sprutbetongsegment till ett annat och från ett belastningssteg till ett annat. Teoretiskt sett kan detta leda till två saker, nämligen att: (1) sprutbetongens stabiliserande effekt överskattas efter det att lasterna överskridit de dimensionerande värdena eftersom ingen reducering av hållfastheten sker och (2) omfattningen av överbelastad sprutbetong överskattas eftersom laster från ett överbelastat sprutbetongsegment, utan förminskad storlek, kan överföras till ett intilliggande segment som även det kan bli överbelastat.

14(82) Metod B Metod B är baserad på antagandet att det utvecklas en genomgående spricka i sprutbetongen då något av de dimensionerande materialvärdena överskrids. När detta inträffar mister det aktuella balksegmentet sin momentupptagande förmåga och sin draghållfasthet permanent, men kan fortfarande ta upp tryckbelastningar upp till sitt dimensionerande värde. Då ett balksegment utvecklar dragbrott sätts den axiella dragkraften och skjuvkraften till noll. Skjuvlasten i en spricka begränsas till det minsta av F axiell tan φ c och den dimensionerande skjuvhållfastheten, där F axiell är den aktuella axiella tryckkraften och φ c är friktionsvinkeln i sprickan. För samtliga analyser utförda med metod B har φ c förutsatts vara 40. I Rosengren och Brandshaug (2001), Bilaga 2, ges en mer detaljerad beskrivning av denna metod. Det beteende hos sprutbetongen som beskrivs ovan kan inte simuleras med den standardmodell som är inkluderad i FLAC. Därför har en speciell s.k. FISH-rutin tagits fram och implementerats i beräkningarna. I denna har sprutbetongen föreskrivits dimensionerande värden för det normala lastfallet respektive olyckslastfallet. Detta innebär att modellen automatiskt förhindrar att större laster än de föreskrivna värdena uppkommer i sprutbetongen. Modelleringsproceduren enligt metod B innebär att ett överskridande av de dimensionerande materialvärdena direkt ger sig tillkänna i modellen och att drag- och momentlaster inte kan överföras till intilliggande balksegment efter det att brott uppstått. Liksom för metod A kan de balksegment som överbelastats identifieras och plottas för att åskådliggöra omfattningen och lokaliseringen av skadad sprutbetong. En av fördelarna med metod B är att den möjliggör implicit simulering av olika mekanismer som är förknippade med olika brottyper i sprutbetongen. En begränsning med metoden är dock att sprutbetongen i modellen saknar seghet med avseende på böjdragbelastning, d.v.s. brotten är spröda. Teoretiskt sett kan detta, liksom för metod A innebära två saker, nämligen att: (1) sprutbetongens stabiliserande effekt underskattas efter det att dess dimensionerande materialvärden överskridits eftersom sprutbetongens förmåga att uppta dragkraft och moment sätts till noll och (2) omfattningen av överbelastad sprutbetong underskattas eftersom varken moment- eller draglast kan överföras till intilliggande sprubetongsegment efter brott. För båda metoderna har de aktuella drag- och tryckpåkänningarna i sprutbetongen representerats kantspänningen beräknad enligt Ekvation 2.6. 2.6.3 Samverkan mellan bultar och sprutbetong respektive sprutbetong och berg Den fiberarmerade sprutbetongen har förutsatts vara förankrad i bultarna genom att brickor installeras utanpå sprutbetongskiktet. Denna samverkan mellan bultar och sprutbetong har simulerats genom att koppla bultarnas yttersta noder till noderna mellan sprutbetongeelementen. Kopplingen mellan bultarna och sprutbetongen i modellen är av typen rigid, vilket bl.a. innebär att genomstansning av bultbrickan inte kan simuleras.

15(82) I utförda simuleringar har kontaktytan mellan bergmassan och sprutbetongen simulerats genom att introducera ett s.k. interface. I Figur 2.6 visas en konceptuell modell för denna kontaktyta, där den mekaniska responsen karakteriseras av elastisk normal- och skjuvstyvhet samt Coulomb brottvillkor med en begränsad draghållfasthet (vidhäftningshållfasthet). Om kontakten utsätts för överbelastning kan sprutbetongen i modellen glida eller släppa från berget. Detta möjliggör bl.a. simulering av vidhäftningsbrott. Bergbult Normalspänning Vidhäftnings- Sprutbetong hållfasthet Skjuvspänning Friktionsvinkel Kohesion Figur 2.6 Konceptuell modell för kontakten mellan bergmassa och sprutbetong. I Tabell 2.5 redovisas förutsatta egenskaper för kontakten mellan bergmassan och sprutbetongen. Tabell 2.5 Förutsatta egenskaper för kontakten mellan bergmassa och sprutbetong. Parameter Värde Normalstyvhet, K n [GPa/m] 40 Skjuvstyvhet, K s [GPa/m] 40 Kohesion, C [MPa] 1,8 Friktionsvinkel, ϕ [ ] 40 Vidhäftningshållfasthet, σ t [MPa] 0,5 2.7 Dynamisk last I Etapp 1 (Rosengren och Brandshaug, 2001) studerades två av de laster som anges i Tabell 3.3-3 i Tunnel 99. Dessa var: 1. ett jämnt fördelat tryck i trafikutrymme med ett maximalt tryck på 0,1 MPa och en total varaktighet på 50 millisekunder (benämnd P1 ) 2. ett lokalt tryck på en yta med storleken 4x4 m i trafikutrymme med ett maximalt tryck på 5 MPa och total varaktighet på 2 millisekunder (benämnd P2 ). De dynamiska lasterna P1 respektive P2 åskådliggörs i Figur 2.7.

16(82) Tryck [MPa] 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 P(t)=P1 Tryck [MPa] 5 4 3 2 1 0 P(t)=P2 0 10 20 30 40 50 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Tid [ms] Tid [ms] a) b) Etapp 2 Figur 2.7 Etapp 1 Dynamiska laster enligt Tunnel 99; a) P1 och b) P2. (Lägg märke till att skalorna är olika i de båda figurerna.) Efter frekvensanalys av lasten P1 med hjälp av Fast Fourier Transform (s.k. FFT-analys) kunde det konstateras att lasten P1 kan appliceras i modellen utan någon filtreringsåtgärd för att erhålla en korrekt vågpropagering vid rimliga beräkningstider. Vid frekvensanalysen av P2 framkom att den mesta energin är förknippad med frekvenser lägre än ca 750 Hz. För att erhålla en effektiv modell med relativt korta beräkningstider filtrerades därför lasten P2 så att den inkommande pulsen inte innehöll några frekvenser över 750 Hz. I Figur 2.8 jämförs den ofiltrerade pulsen med den filtrerade för lasten P2. Tryck [MPa] Ofiltrerad puls P2 Filtrerad puls P2 (750 Hz) Tid (x10-4 ) [s] Figur 2.8 Ofiltrerad och filtrerad puls för lasten P2. Föreliggande studie omfattar endast beräkningar av belastningsfall med lasten P2, se avsnitt 2.8.

17(82) 2.8 Dynamiska belastningsfall I Etapp 1 (Rosengren och Brandshaug, 2001) studerades tre olika belastningsfall med i övrigt samma modell- och beräkningsförutsättningar. Dessa var (se även Figur 2.9): Belastningsfall 1: Lasten P1 appliceras runt hela periferin i den vänstra tunneln. Belastningsfall 2: Lasten P2 appliceras horisontellt mitt på pelaren i den vänstra tunneln över en sträcka motsvarande 4 m. Belastningsfall 3: Lasten P2 appliceras vertikalt mitt i taket i den vänstra tunneln över en sträcka motsvarande 4 m. Belastningsfall 1 P(t)=P1 Belastningsfall 2 P(t)=P2 4 m Etapp 1 Belastningsfall 3 Etapp 2 4 m P(t)=P2 Figur 2.9 Simulerade dynamiska belastningsfall (schematisk skiss). Resultaten från Etapp 1 visade emellertid att belastningsfall 1 varken påverkar den storskaliga eller lokala stabiliteten runt tunnlarna för de förutsättningar som antogs vid analyserna. Föreliggande studie har därför begränsats till att omfatta endast analyser av belastningsfallen 2 och 3, d.v.s. då lasten P2 appliceras på pelaren mellan tunnlarna respektive i taket.

18(82) 2.9 Modelleringssekvens Som tidigare nämnts består varje fullständig numerisk analys av två delar: (1) statisk analys och (2) dynamisk analys. För varje kombination materialparametrar för bergmassan, materialmodell för sprutbetongen och sprutbetongtjocklek har en unik statisk analys utförts. Denna utgör sedan startpunkten för de dynamiska analyserna av de olika belastningsfallen. Totalt består modelleringssekvensen för varje fullbordad analys av följande modelleringssekvens, där steg 1-4 tillhör den statiska delen av analysen och steg 5 den dynamiska delen: 1 Modellen konsolideras för in-situspänningstillståndet enligt avsnitt 2.5. 2 Båda tunnlarna bryts ut samtidigt. Ingen förstärkning installeras. Modellen beräknas till jämvikt för att bestämma antalet beräkningscykler fram till dess att 80 % av de totala deformationerna har utvecklats. 3 Båda tunnlarna bryts ut samtidigt och körs det antal beräkningscykler som krävs för att uppnå 80 % av de totala deformationerna enligt punkt 2 ovan. 4 Förstärkningen (bultar och sprutbetong enligt avsnitten 2.2 och 2.6) installeras samtidigt i båda tunnlarna. Beräkning av jämviktstillstånd. 5 Uppkomna deformationer från föregående beräkningssteg sätts till noll. Statiska randvillkor ändras till dynamiska randvillkor enligt avsnitt 2.2. Dynamisk last appliceras enligt avsnitt2.7 och 2.8. Modellen beräknas till jämvikt eller till dess de dynamiska effekterna har klingat ut. Lägg märke till att steg 2 endast utförs för att bestämma hur många beräkningscykler som erfordras för att 80 % av de totala deformationerna skall utvecklas. Detta görs för att ta hänsyn till de deformationer som hinner utvecklas innan bergförstärkningen installeras, se avsnitt 2.6.1 i Rosengren och Brandshaug (2001). I Etapp 1 utfördes punkterna 2-4 med momentan utbrytning av tunnlarna. För att minimera effekterna den chock som det modellerade systemet utsätts för vid momentan utbrytning applicerades i föreliggande studie en procedur vilken simulerar en gradvis utbrytning av tunnlarna genom att stegvis relaxera de mothållande krafterna på tunnelränderna. Detta beskrivs mera detaljerat i avsnitt 5.2.1.

19(82) 3 HÅLLFASTHETS- OCH DEFORMATIONS- EGENSKAPER FÖR STRAIN-SOFTENING MATERIALMODELL 3.1 Allmänt Det är viktigt att fastslå att det inte existerar några exakta metoder för att bestämma bergmassans konstitutiva beteende och egenskaper. I projekteringssammanhang används ofta antagandet att bergmassan uppför sig som ett elastiskt-idealplastiskt material enligt Mohr- Coulomb materialmodell, för vilken bergmassans egenskaper kan uppskattas med hjälp av empiriska metoder baserade på olika bergklassificeringssystem. Resultaten från den föregående studien indikerade dock att skador uppstår i bergmassan. Dessa skador kan leda till att deformations- och hållfasthetsegenskaperna reduceras. Föreliggande studie har därför baserats på antagandet att bergmassans styvhet (elasticitetsmodul) och hållfasthetsegenskaper (kohesion och friktionsvinkel) avtar som funktion av den plastiska töjningen enligt en deformationsmjuknande materialmodell, s.k. strain-softening. I avsnitt 3.2 redovisas översiktligt principerna för Strain-Softening materialmodell och i avsnitt 3.3 redovisas en metod för hur materialparametrarna till en sådan materialmodell kan uppskattas. 3.2 Strain-Softening materialmodell Strain-Softening materialmodell är baserad på den traditionella Mohr-Coulomb modellen. Skillnaden mellan modellerna ligger i att det för strain-softeningmodellen finns en möjlighet att kohesionen, friktionsvinkeln, dilatationsvinkel och draghållfastheten kan minska efter det att materialets initiella hållfasthet överskridits, d.v.s. efter det att bergmassan placticerar genom skjuvbrott eller dragbrott. I Mohr-Coulomb materialmodell antas samtliga dessa parametrar förblir konstanta. Den totala töjningen, ε, antas enligt plasticitetsteorin vara komponerad av en elastisk del, ε E och en plastisk del, ε P, d.v.s. ε=ε E +ε P (se t.ex. Vermeer och de Borst, 1984). Vid tillämpning av Strain-Softening materialmodell i FLAC definierar användaren kohesionen, friktionsvinkeln och dilatationsvinkeln som funktioner av den plastiska skjuvtöjningen, ε PS. På samma sätt kan draghållfastheten definieras som funktion av den plastiska dragtöjningen, ε PT. Programmet (FLAC) beräknar inkrementen för de plastiska skjuv- och dragtöjningarna varje beräkningscykel (tidsteg) och anpassar därefter materialparametrarna efter de användardefinierade funktionerna. Detta kan beskrivas med nedanstående exempel. Betrakta en endimensionell spännings-töjningskurva, σ ε, vilken mjuknar efter brott och når någon residual hållfasthet (resthållfasthet), se Figur 3.1. Kurvan är linjär till dess att brott (plasticering) sker. Fram till denna punkt är töjningarna endast elastiska vilket innebär att

20(82) materialet inom detta töjningsområde har de initiella egenskaperna. Efter brott är den totala töjningen komponerad av en elastisk och en plastisk del enligt ovan. Storleken på den plastiska töjningen avgör vilket värde en viss materialparameter skall anta enligt de fördefinierade funktionerna som för kohesionen och friktionsvinkeln kan variera enligt Figur 3.2. Användaren approximerar sedan dessa kurvor med hjälp av rätlinjiga segment enligt Figur 3.3. De approximerade kurvorna anges sedan som indata till beräkningen i form av tabeller innehållande talpar av plastisk skjuvtöjning och kohesion respektive friktionsvinkel. σ Brott (Plasticering) ε E ε P ε=ε E +ε P ε Figur 3.1 Exempel på spännings-töjningskurva. Kohesion, C Friktionsvinkel, φ Figur 3.2 Plastisk skjuvtöjning, ε PS a) b) Plastisk skjuvtöjning, ε PS Variation av; a) kohesion och b) friktionsvinkel som funktion av plastisk skjuvtöjning. Kohesion, C Friktionsvinkel, φ Figur 3.3 Plastisk skjuvtöjning, ε PS a) b) Plastisk skjuvtöjning, ε PS Användardefinierade approximationer av; a) kohesion och b) friktionsvinkel med linjära segment. För en mer fullständig beskrivning av teorin bakom Strain-Softening materialmodell och hur denna är implementerad i FLAC hänvisas till användarmanualen, Itasca (2000).

21(82) 3.3 Materialparametrar 3.3.1 Allmänt De initiella ( ostörda ) egenskaperna för bergmassan, d.v.s. de egenskaper som bergmassan har fram till dess att brott sker, har i föreliggande studie förutsatts vara enligt avsnitt 2.4. Dessa är exakt de samma som gällde för Etapp 1 och baserades på antagandet att bergmassan representeras av typiskt svenskt kristallint berg med en bergkvalitet motsvarande Q=4-10. Bergmassans deformations- och hållfasthetsegenskaper uppskattades med hjälp av empiriska metoder och designvärden valdes enligt principen försiktigt val, se Rosengren och Olofsson (1997). Föreliggande avsnitt redovisar hur de residuala egenskaperna uppskattats. Tillvägagångssättet är baserat på ett empiriskt ingenjörsmässigt synsätt. Att uppskatta bergmassans egenskaper i efterbrottstadiet är mycket svårt. Eftersom forskningen inom detta område har varit och är mycket sparsam existerar heller inga självklara metoder, regler eller praxis finns för att hantera detta problem. Som en startpunkt har Hoek och Brown (1997), baserat på erfarenheter från numeriska analyser av olika praktiska problem, föreslagit typiska brottkurvor för olika typer av bergmassor, se Figur 3.4. a) b) Figur 3.4 c) Av Hoek och Brown (1997) föreslagna brottkurvor för; a) hårt berg av mycket god kvalitet (GSI=75), b) medelgod bergkvalitet (GSI=50) och c) mjukt berg av mycket dålig bergvalitet (GSI=30).

22(82) För den hypotetiska bergmassa som studeras i detta projekt är det rimligt att anta att brottet antingen sker (a) sprött enligt Figur 3.4a där hållfastheten reduceras momentant till sina residula värden, eller (b) duktilt (segt) där hållfastheten avtar som funktion av den plastiska töjningen enligt Figur 3.4b. Kurvorna i Figur 3.4 har endast använts för att bestämma möjliga principiella brottformer. Uppskattningen av de residuala egenskaperna är baserad på tanken att när bergmassans initiella hållfasthet överskrids uppstår en störning vilken leder till att bergmassans egenskaper förändras (reduceras). För att ta hänsyn till en störning i bergmassan har Hoek, m.fl. (2002) introducerat en störningsfaktor, D, vilken är kopplad till parametrarna i Hoek&Brown s brottvillkor. Idén går alltså ut på att bestämma de residuala egenskaperna med hjälp av Hoek&Brown s brottvillkor och störningsfaktorn, D. Processen att bestämma erforderliga egenskaper förutsätter vidare att bergkvalitén uttryckt i Q kan transformeras till ett ekvivalent GSI-värde (Gelogical Strength Index) och att Hoek&Brown s brottvillkor kan approximeras med hjälp av kohesionen och friktionsvinkeln i Mohr-Coulomb s brottvillkor och vice versa. I Hoek och Brown (1997) redovisas en metod för hur kohesionen och friktionsvinkeln kan utvärderas från Hoek&Brown s brottvillkor. Metoden går ut på att först simulera ett antal punkter längs Hoek&Brown s brottvillkor och sedan anpassa en rät linje till Hoek&Brown s olinjära samband med hjälp av linjär regression. I avsnitt 3.3.2 redovisas i detalj den stegvisa processen för att uppskatta de residuala egenskaperna för bergmassan. Hoek&Brown s brottvillkor kan i generaliserad form uttryckas med hjälp av de effektiva huvudspänningarna enligt Ekvation 3.1 (Hoek och Brown, 1997). a σ 3 σ 1 = σ 3 + σci mb + s (3.1) σ ci där σ 1 och σ 3 är de maximala respektive minimala effektivspänningarna vid brott, m b är värdet för Hoek-Brown konstanten m för bergmassan, s och a är konstanter som beror av bergmassans karakteristik, och σ ci är den enaxiella tryckhållfastheten för intakt berg. Enligt Hoek, m.fl. (2002) kan GSI-värdet och störningsfaktorn, D, relateras till m b, s och a enligt Ekvationerna 3.2-3-4. GSI 100 mb = mi exp (3.2) 28 14D GSI 100 s = exp (3.3) 9 3D GSI /15 20/ 3 ( e e 1 1 a = + ) (3.4) 2 6

23(82) där D är en faktor som beror på graden av störning som bergmassan utsatts för p.g.a. sprängning och spänningsrelaxation. Faktorn D varierar mellan 0 och 1, där 0 representerar ostörd bergmassa in-situ och 1 mycket störd bergmassa. Eftersom Hoek&Brown s brottvillkor är olinjärt är kurvanpassningen mycket känslig för inom vilket spänningsområde som anpassningen görs. Anpassningen av kurvorna kräver därför att en övre gräns för den minsta huvudspänningen, σ 3max, bestäms. Hoek, m.fl. (2002) anger att värdet på σ 3max kan beräknas enligt Ekvation 3.5. Denna ekvation är giltig även för tunnlar med liten bergtäckning under förutsättning att plasticering inte sker ända upp till markytan/bergytan. 0,94 σ cm σ 3max = 0,47 σ cm (3.5) γh där σ cm är bergmassans enaxiella tryckhållfasthet, γ är tungheten för bergmassan och H är tunnelns djup under ytan. I fall där den horisontella spänningen är högre än den vertikala bör värdet för den horisontella spänningen användas i Ekvation 3.5 istället för γh. I Hoek, m.fl. (2002) presenteras även en ekvation för att beräkna bergmassans elasticitetsmodul som funktion av GSI, enaxiella tryckhållfastheten för intakt berg, σ ci, och störningsfaktorn D, se Ekvation 3.6. D σ E m 10 2 100 = ci ((GSI 10) / 40) 1 (3.6) 3.3.2 Uppskattning av residuala materialparametrar För att tydliggöra hur de residuala egenskaperna tagits fram redovisas den stegvisa processen nedan. Den använda metodiken kräver att följande steg genomförs: 1. Tranformering av Q till GSI. 2. Bestämning av största mothållande spänning, σ 3max. 3. Etablering av Hoek&Brown s brottvillkor för ostörda förhållanden. 4. Uppskattning av störningsfaktorn, D. 5. Uppskattning av residuala parametrar för Mohr-Coulomb s brottvillkor för störd bergmassa. Ovanstående fem steg förklaras i detalj nedan.

24(82) 1. Transformering av Q till GSI Det existerar ingen direkt relation mellan Q och GSI. Hoek och Brown (1997) redovisar dock ett empiriskt samband mellan den version av Bieniawski s klassifikationssystem (RMR) som presenterades 1989 (Bieniawski, 1989) och GSI. Detta innebär att Q först måste transformeras till RMR 89 och sedan vidare till GSI. För att transformera Q till RMR 89 har sambandet enligt Ekvation 3.7 utnyttjats (Barton, 1995). RMR 89 = 15log Q + 50 (3.7) Transformeringen av RMR 89 till GSI har sedan gjorts med hjälp av Ekvation 3.8. GSI = RMR 5 (3.8) 89 Om ett Q-värde på 7 tillämpas, vilket ligger i mitten på spannet för den förutsatta bergkvaliteten (Q=4-10), erhålls med Ekvation 3.7 att RMR 89 =63. Ekvation 3.8 ger då att GSI=58. Detta GSI-värde representerar bergmassans kvalitet vid ostörda förhållanden, d.v.s. då störningsfaktorn, D, är noll. 2. Bestämning av största mothållande spänning, σ 3max För att bestämma den största mothållande spänningen, σ 3max, har Ekvation 3.5 använts. Nämnaren i parentesen, d.v.s. γh, har enligt rekommendationerna i Hoek, m.fl. (2002) bytts ut mot den horisontella in-situspänningen för det djup som motsvarar bergtäckningen (d.v.s. 5 m). Den största horisontella in-situspänningen på 5 m djup är 4,88 MPa enligt Ekvation 2.1 (se avsnitt 2.5). Ekvation 3.5 ger då att σ 3max är 2,36 MPa vid en enaxiell tryckhållfasthet för bergmassan på 7,7 MPa (se Tabell 2.1). Resultaten från Etapp 1 (se Rosengren och Brandshaug, 2001) visar att tunnlarna omges av en plastisk zon som når ända upp till markytan i det fall då lasten P2 appliceras i taket. En preliminär statisk beräkning med egenskaper enligt parameteruppsättning 2 (Set #2) enligt punkt 5 nedan, visade även denna att den plastiska zonen runt tunnlarna når ända upp till ytan vid statiskt lastfall. Som tidigare nämnts är egentligen Ekvation 3.5 inte giltig för detta fall. För att kontrollera att den största mothållande spänningen beräknad enligt ovan är rimlig utfördes två stycken testmodeller: (1) statisk beräkning och (2) dynamisk beräkning med lasten P2 applicerad i taket. En s.k. FISH-rutin som håller reda på det största värdet (tryck) för den minsta huvudspänningen (σ 3 ) implementerades i beräkningarna. Beräkningarna resulterade i att det största värdet för den minsta huvudspänningen var 1,75 respektive drygt 2 MPa för det statiska respektive dynamiska lastfallet. Därmed kan beräkningen av det största mothållande trycket, σ 3max, enligt ovan anses vara rimlig även för de förhållanden som simuleras i denna studie.

25(82) 3. Etablering av Hoek&Brown s brottvillkor för ostörda förhållanden Detta steg i processen att bestämma de residuala parametrarna syftar till att etablera Hoek&Brown s brottvillkor för ostörda förhållanden, d.v.s. anpassa Hoek&Brown s brottvillkor till den ursprungliga brottenvelopen enligt Mohr-Coulomb s brottvillkor. Detta innebär att vi skall försöka finna en brottkurva enligt Hoek&Brown s brottvillkor som sammanfaller med de initiella ( ostörda ) hållfasthetsparametrarna enligt Tabell 2.1, d.v.s. då kohesionen respektive friktionsvinkeln är 1,8 MPa respektive 40. Detta steg är nödvändigt för att erhålla en utgångspunkt för att sedan kunna utnyttja skadefaktorn, D, för att bestämma de residuala egenskaperna genom att anpassa tillbaka en Mohr-Coulombkurva till Hoek&Brown s brottvillkor för en störd bergmassa, d.v.s. då D 0, se punkt 4 och 5 nedan. Anpassningen har i princip utförts i enlighet med den metod och med hjälp av det s.k. spreadsheet som Hoek&Brown (1997) redovisar i ett appendix till sin artikel. Nödvändiga beräkningsformler finns redovisade i nämnda artikels appendix. För att ta hänsyn till skadefaktorn, D, har ekvationerna för beräkning av parametrarna m b, s och a dock modifierats i enlighet med Ekvationerna 3.2-3.4. Förutsättningarna för kurvanpassningen är att: 1. GSI=58 enligt punkt 1 2. σ 3max =2,36 MPa enligt punkt 2 3. D=0 ( ostörda förhållanden). Anpassningen har sedan utförts med hjälp av s.k. trial and error genom att variera indatavärdena för parametrarna m i och σ ci tills dess de initiella värdena för kohesionen och friktionsvinkeln erhålls. Parametrarna m i och σ ci representerar m-värdet respektive den enaxiella tryckhållfastheten i Hoek&Brown s brottvillkor för intakt bergmaterial, d.v.s. då s=1. Tabell 3.1 redovisar det spreadsheat som erhålls då kurvorna enligt Mohr-Coulomb s och Hoek&Brown s brottvillkor är ekvivalenta för det spänningsintervall som specificerats. Tabell 3.1 Spreadsheet för anpassning av Hoek&Brown s brottvillkor till initiella parametrar enligt Mohr-Coulomb vid ostörda förhållanden (GSI=58, D=0). Input: sigci= 75 MPa mi= 5,1 GSI= 58 D= 0 Beräkning SUM sig3 1,00E-10 0,34 0,67 1,01 1,35 1,69 2,02 2,36 9,44 sig1 7,16 9,27 11,03 12,66 14,17 15,58 16,87 18,15 104,88 ds1ds3 6,96 5,78 5,12 4,66 4,33 4,07 3,87 3,70 38,50 sign 0,90 1,66 2,36 3,07 3,76 4,43 5,07 5,72 26,95 tau 2,37 3,16 3,83 4,44 5,00 5,52 6,00 6,46 36,80 x -1,69-1,52-1,40-1,31-1,23-1,17-1,12-1,07-10,52 y -1,50-1,37-1,29-1,23-1,18-1,13-1,10-1,06-9,86 xy 2,54 2,09 1,81 1,61 1,45 1,33 1,23 1,14 13,20 xsq 2,87 2,31 1,96 1,71 1,52 1,37 1,26 1,15 14,16 sig3sig1 0,00 3,15 7,39 12,79 19,13 26,33 34,08 42,83 146 sig3sq 0,00 0,12 0,45 1,02 1,82 2,86 4,08 5,57 16 taucalc 2,38 3,16 3,82 4,43 5,00 5,52 6,01 6,48 sig3sig1fit 7,69 9,25 10,77 12,33 13,89 15,45 16,97 18,53 signtaufit 2,55 3,18 3,77 4,37 4,94 5,51 6,04 6,59 tangent 2,51 3,19 3,82 4,45 5,07 5,68 6,25 6,83 Output: mb= 1,14 s= 0,0094 a= 0,50 sigtm= -0,62 MPa A= 0,49 B= 0,70 k= 4,59 phi= 39,97 degrees coh= 1,79 MPa sigcm= 7,69 E= 13,73 GPa