Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

Relevanta dokument
Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Fel- och störningsanalys

Fel- och störningsanalys

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Sammanfattning (Nummedelen)

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

a = a a a a a a ± ± ± ±500

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

Ordinära differentialekvationer,

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013

Laboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID:

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

TMA226 datorlaboration

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:

Sammanfattninga av kursens block inför tentan

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 9, Numme-delen. Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem

Fallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Beräkning av integraler

TANA81: Simuleringar med Matlab

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Konvergens för iterativa metoder

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Lösningsanvisningar till vissa av de icke obligatoriska workout-uppgifterna i Beräkningsvetenskap II

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

D 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.

Laboration 3. Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

Block 2: Lineära system

Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 02/03. Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys

Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

OH till Föreläsning 15, Numme K2, God programmeringsteknik

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393)

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

Beräkningsvetenskap introduktion. Beräkningsvetenskap I

Transkript:

Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Tentamensdatum: 005-03- Skrivtid: 9-5 Hjälpmedel: inga Om problembeskrivningen i något fall är oklar, bestäm dig för en rimlig tolkning och anteckna den vid lösningen. Börja varje uppgift på ett nytt blad. Skriv ditt namn och uppgiftens nummer uppe till höger på varje blad. Uppgifterna är inte ordnade i svårighetsgrad. Lycka Till!

Uppgift : (3+5 p) a) Redogör noggrant för teoretisk och experimentell felkalkyl. Beskriv dessutom minst en central skillnad mellan dessa två olika typer av felkalkyl. b) En dator med representation enligt ±0.xxxx 0 ±p, där taldelen uppfyller 0. 0.xxxx <, ska användas för att beräkna följande ekvationssystem [ ] [ ] 0.000 0 4 +0.000 0 + +0.000 0 + +0.000 0 + +0.000 0 + x = 0 }{{}}{{} A b Vidare är konditionstalet, avrundat till fyra decimaler, κ (A) =.680 samt att 0 lagras exakt. Baserat på den givna dator representationen, beräkna för hand med hjälp av Gausselimination och bakåtsubstitution lösningen x. De olika delstegen i denna beräkning ska tydligt framgå. Redogör detaljerat för lösningens kvalitet baserat på numeriska konditions- och stabilitetsaspekter. Är du nöjd med den framräknade lösningen x, om ej, föreslå åtgärder samt visa i detalj om/hur detta kan förbättra kvaliteten. Uppgift : (3++3 p) Du står inför problemet att lösa f(x) = 0, f : R R då f(x) = x x. Två fixpunktsiterationsalgoritmer är föreslagna enligt Algoritm : Algoritm : x n+ = + x n x n+ = x n Vilken algoritm väljer du för att lösa problemet? Basera ditt val på teoretiska konvergensvillkor och motivera noggrant ditt val. Tips: Plotta f(x) för att grovlokalisera rötterna. b) Studera fixpunktsiterationsformeln x n+ = g(x n ). Antag att lim n x n = a. Konvergensordningen för denna talföljd {x n } sägs ha ordning r om det gäller x n+ a lim n x n a r = K 0. Hur kan man experimentellt uppskatta K för en fixpunktsiterationsformel då man vet att följden har linjär konvergens? c) Antag att du vid användning av den valda fixpunktsformeln fått resultatet x. Redogör för hur du med hjälp av metodoberoende felskattning kan få information om hur noggran x är. ii

Uppgift 3: (3+5 p) a) Interpolation innebär att modellen g(t) anpassas till given diskret data med resultatet att modellen tex går genom de givna datapunkterna. I fallet att modellen är ett polynom brukar modellen betecknas P (t) istället för g(t). Beskriv, utgånde från villkor på P (t), Hermiteinterpolation samt interpolation med kubiska splines. Vilken är den mest centrala skillnaden mellan dessa två typer av interpolation? b:) EU-förvaltningens dokumentproduktion g, mätt i KA4 (tusen A4), har haft en imponerande utveckling under de senaste åren. Det datorprogram som automatiskt registrerar g startade november 988 och t anger antalet år efter detta datum. Följande data är givet t 0.5 3 3.5 4 5 6 g 4 8 54 76 78 66 75 30 Följande modell antas beskriva dokumentproduktionen där q = 0.5 och t 0 = 3. g(t) = ae qt + be (t t 0) Ställ upp det linjära ekvationssystem som ska lösas för att bestämma de okända modellparametrarna från de givna mätvärdena. Du ska alltså ange det A, x och b du då får, och avgöra huruvida det i denna deluppgift är frågan om interpolation eller approximation. Motivera utförligt ditt val. Du ska inte explicit räkna ut vektorn x utan bara ange det aktuella ekvationssystemets koefficientmatris A, lösningsvektorn x samt högerledsvektorn b. Vidare förväntas ni inte explicit räkna ut eventuellt komplicerade matematiska uttryck i matrisen A, däremot ska dessa uttryck skrivas ut så att det tydligt framgår vilka A s element är. Uppgift 4: (+6 p) a) Betrakta problemet att numeriskt beräkna integralerna nedan I = 5 0 f (t)dt I = där integranden f (t) är lika med för t = 0 och f (t) <. f (t)dt Beskriv principiellt hur man hanterar denna typ av integraler numeriskt. Ni ska alltså inte räkna något utan bara beskriva. b) Vi vill numeriskt beräkna derivatan f (t). Centraldifferens, D(h) = f(t+h) f(t h) h, är den approximation som ska användas och för trunkationsfelet gäller i detta fall c h +c h 4 + c 3 h 6 +... (där c i är oberoende av h). Teckna det uttryck som bestämmer en approximation, mha centraldifferens och steglängden h, för D. Du ska alltså inte räkna ut värdet utan det antas vara givet som D. Låt vidare D beteckna det värde man får då man räknar med centraldifferens och steglängd h = h /. Låt D3 på motsvarande sätt beteckna det värde man får då man räknar med steglängden h 3 = h / och slutligen låt D4 motsvara steglängden h 4 = h 3 /. Skriv ned det Richardsonextrapolations schema man får då D i, i =,... 4, används. Inför lämpliga beteckningar på de kvantiteter som beräknas. Det ska tydligt framgå hur schemat iii

byggs upp. Redogör även för hur man uppskattar E trunk och E tab. Trunkationsfelet betecknas med E trunk och felet, pga osäkerhet i vid beräkningen av f, med E tab. Vidare är det givet att f(t) f(t) E f. Redogör även för, i detalj, varför kontrollkvoterna kolumnvis uppför sig som q p i samt ange vilka värden på q och p i som du baserar ditt resonemang på. Uppgift 5: (3+5 p) a) Utgå från y (t) = f(t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 y i+ = y i + hf(t i, y i ), t i+ = t i + h för att på ett tydligt sätt beskriva vad som skiljer explicita och implicita ODE-metoder. Redogör även för sk adaptiva lösningsmetoder i samband med numerisk lösning av ODE (Ordinära Differential Ekvationer). b) Denna uppgift handlar om ett dynamiskt system bestående av massor och fjädrar som rör sig på ett friktionsfritt underlag enligt figur. Massa (betcknad m i figuren) rullar längs en horisontell yta och dess rörelse stryrs av fjäder med fjäderkonstanten k. Massa (betcknad m i figuren) är ett hjul med radien r som rullar ovanpå massa och vars rörelse styrs av fjäder med fjäderkonstanten k. Genom att använda modeller från stela kroppars dynamik fås följande system av ODE: (m + 0.5m )ẍ 0.5m ẍ + k x = 0 0.5m ẍ +.5m ẍ + k x = 0 där x och x är respektive massas avvikelse från jämviktsläget och som man vill bestämma. Vidare är det känt att m = m = 5 kg, k = k = 5 N/m, x (0) =.5 m, x (0) = 0 m samt att massornas hastigheter i startpunkten för det dynamiska förloppet är lika med 0 m/s. Börja med att stoppa in given data i ODE:en för att få den på en mera lätthanterlig form. Standardprogramvara, tex Matlab, kräver att ODE:en är på standardform. Du ska inte lösa differentialekvationssystemet utan bara ställa upp det på standardformen dy dt = f(y, t), y(t 0 ) = y 0 där det klart och tydligt ska framgå vilka element vektorerna dy dt, f, y och y 0 har. TIPS : Det kan vara lämpligt [ ] att som ett delsteg skriva om ODE-systemet på formen A v = b ẍ där vektorn v = samt vid behov använda vetskapen om att inversen till ẍ [ ] [ ] 3 3 är lika med 3 8. 3 iv

k m x x k m Figure : v