LEU Digital- och datorteknik, Chalmers, /6 Föreläsning # Uppdaterad 6 september, Digital- och datorteknik Föreläsning # Biträdande professor Jan Jonsson SP- och PS-form: Vid förra föreläsningen konstaterade vi att fnktionen hos en krets kan ttrckas på två olika former: Som en smma av prodkter, SP-form, även kallad disjnktiv form. Eempel: ttrcket +z är på SP-form. Som en prodkt av smmor, PS-form, även kallad konjnktiv form. Eempel: ttrcket (+)(+z) är på PS-form. SP-form och PS-form för samma fnktion är alltså ekvivalenta, så endera formen kan väljas. Instittionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Mintermer och matermer: Utgående från fnktionstabellen för en given Boolesk fnktion är det möjligt att härleda fnktionens SP-form respektive PS-form: För SP-form skall vi identifiera de rader i tabellen som har ett fnktionsvärde lika med. Den nika prodkten av invariabler för en sådan rad kallas för en minterm. Smman av alla mintermer kallas för SP normal form. För PS-form skall vi identifiera de rader i tabellen som har ett fnktionsvärde lika med. Den nika smman av invariabler för en sådan rad kallas för en materm. Prodkten av alla matermer kallas för PS normal form. Samtliga mintermer och matermer för tre variabler: Minterm z z z z z z z z Är om z Materm + + z + + z + + z + + z + + z + + z + + z + + z Är om z
LEU Digital- och datorteknik, Chalmers, /6 Föreläsning # Uppdaterad 6 september, Karnaghminimering Ta fram PS normal form för ( + )( + z) Minimering av Booleska fnktioner: Om vi inte är nöjda med den lösning som ges av fnktionens SP normal form eller PS normal form, kan vi härleda ett minimalt ttrck genom Karnaghminimering. Denna metod bgger på att man för in fnktionstabellen i en matris (Karnaghdiagram) med invariablernas olika värden längs rader och kolmner. Varje rta i matrisen representerar fnktionsvärdet för en minterm (för SP form) eller en materm (för PS form). Karnaghminimering Minimering av Booleska fnktioner: För att ge möjlighet till effektiv eliminering av onödiga variabler skall intilliggande rader respektive kolmner representera termer ordnade enligt Gra-kod, d v s de skiljer sig åt i en bitposition. Ringa in så stora grpper av :or (för SP form) eller :or (för PS form) som möjligt, och ta fram ttrcken för dessa. Gör Karnaghminimering på PS normal form för ( + )( + z) De grndläggande logikoperationerna: INVERTERARE (ICKE, NOT) ELLER (OR) OCH (AND) = = ( + ) = ( )
LEU Digital- och datorteknik, Chalmers, /6 Föreläsning # Uppdaterad 6 september, på riktigt : Under 9-talet användes tre olika tper av komponenter för att realisera logikgrindar: Reläer Elektronrör Transistorer Gemensamt för dessa komponenter är att de har en strsignal som öppnar och stänger en grind som reglerar ett annat signalflöde. Likt en vattenventil, fast med elektronisk strning av elektriska signaler. Reläer: Strsignal på ger ström genom en spole som aktiverar en elektromagnet. Denna maniplerar en strömbrtare som kan användas för att öppna och stänga förbindelsen mellan A och B. A B strsignal Elektronrör: Strsignal på lägger ett elektriskt fält på ett galler ( grid ) som påverkar den ström som släpps igenom mellan katod och anod. Gallret kan alltså öppna och stänga förbindelsen mellan A och B. Transistor (nmos): Strsignal på lägger ett positivt elektriskt fält på en grind ( gate ) varpå en ledande kanal i kiselsbstratet öppnas pp. en kan alltså öppna och stänga förbindelsen mellan A och B. A strsignal B nmos B A strsignal pmos pmos-transistorn fngerar på ett liknande sätt men har inverterad logik.
d av på de större indikatorerna till höger pplarna (ljsgl bakgrnd) kan d klicka på för att ändra rna hos grindarnas ingångar. garnas nivåer kan avläsas på de små indikatorerna omedelbart nster om varje grind. AND garnas nivåer läser d av på de större indikatorerna till höger spektive grind. ift. ELLER (OR) på riktigt : iv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner OR och deras kanaler stängs. era, med hjälp av simlatorn, logikfnktionerna som visas i ol-kolmnen i tabellen. Fll i fnktionstabellen Samtidigt ges till samma höger. insignal till de två r fnktionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och fiera motsvarande CMOS-koppling Detta (figr gör att i signalen marginalen) w =. Vi ser att de två transistorerna till höger sltligen grindens engelska namn. tgör en inverterare, vilket innebär att Smbol tsignalen = Fnktionstabell Uppgift. LEU Digital- och datorteknik, Chalmers, /6 Föreläsning # Uppdaterad 6 september, sekvensnät Grndläggande logikfnktioner Arkiv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner RUTGÅVA -Arbetsbok för DigiFlisp LÄRARUTGÅVA -Arbetsbok för DigiFlisp mlatorn, logikfnktionerna som visas i Verifiera, med hjälp av simlatorn, logikfnktionerna som visas i len. Fll i fnktionstabellen till höger. Smbol-kolmnen i tabellen. Fll i fnktionstabellen till höger. na med dina resltat från Uppgift. och Jämför fnktionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och ar ar MOS-koppling (figr i marginalen) identifiera motsvarande CMOS-koppling (figr i marginalen) Inverterare (ICKE, NOT) på riktigt : Inverterare (ICKE, NOT) på riktigt : ngelska namn. Insignal på ( = ) lägger ett Ange positivt sltligen elektriskt fält grindens på nedre engelska namn. Insignal av ( = ) tar bort det positiva elektriskt fältet på den transistorns (nmos) grind varpå dess kanal öppnas och släpper nedre transistorns (nmos) grind varpå dess kanal stängs och CMOSoppling realiserar logikfnktioner och är de bggstenar vi använder ar igenom Fnktionstabell den logiska signalen till tsignal Smbol. realiserar logikfnktioner och är de bggstenar vi använder förhindrar Fnktionstabell att den logiska signalen når tsignal. ar Samtidigt ges samma insignal till tt (-) illstrera större och större logikblock som så småningom för att den övre transistorn (pmos) vars (-) illstrera större och större logikblock Samtidigt som ges samma så småningom insignal till den övre transistorn (pmos) vars erar i en komplett dator. reslterar i en komplett dator. inverterade logik gör att dess kanal inverterade logik gör att dess kanal stängs, och förhindrar att den öppnas och släpper igenom den Enkla grindar. Enkla grindar logiska signalen når tsignal. logiska signalen till tsignal. latorns v: NOT Resltat: = ger tsignalen = I simlatorns v: NOT Resltat: = ger tsignalen = iv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner. Arkiv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner. grindar som realiserar de grndläggande logikfnktionerna. finns grindar som realiserar de grndläggande logikfnktionerna. (-) Utgångarnas nivåer läser d av på de större indikatorerna till höger om respektive grind. Om båda insignalen är av ( = och = ) tas det positiva elektriskt fältet bort på de två nmos-transistorernas grindar pmos-transistorerna vars inverterade logik gör att deras kanaler öppnas. 6 Omkopplarna (ljsgl bakgrnd) kan d klicka på för att ändra nivåerna hos grindarnas ingångar. Ingångarnas nivåer kan avläsas på de små indikatorerna omedelbart till vänster om varje grind. AND Utgångarnas nivåer läser d av på de större indikatorerna till höger om respektive grind. Uppgift. ELLER (OR) på riktigt : Arkiv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner OR varpå dess kanal öppnas pp. Verifiera, med hjälp av simlatorn, logikfnktionerna som visas i Smbol-kolmnen i tabellen. Fll i fnktionstabellen Samtidigt ges till samma höger. insignal till den övre Om den övre insignalen slås på ( = ) läggs ett positivt elektriskt fält på den vänstra nmos-transistorns grind pmos-transistorn vars inverterade logik gör att dess kanal stängs. Jämför fnktionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och identifiera motsvarande CMOS-koppling Detta (figr gör att i signalen marginalen) w =. w Vi ser att de två transistorerna till höger Ange sltligen grindens engelska namn. tgör en inverterare, vilket innebär att Smbol tsignalen = Fnktionstabell (-) Notera att samma resltat erhålls för =. w NOT NOT
Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner rar, med logikfnktioner hjälp av simlatorn, och är logikfnktionerna de bggstenar vi som använder visas i ar Verifiera, realiserar med logikfnktioner hjälp av simlatorn, och är logikfnktionerna de bggstenar vi som använder visas i a olmnen större och i tabellen. större LEU Fll logikblock i fnktionstabellen Digital- som så och småningom till datorteknik, höger. Chalmers, /6 för att Smbol-kolmnen illstrera större Föreläsning och i tabellen. större # Fll logikblock i fnktionstabellen som så småningom till höger. omplett dator. Uppdaterad 6 september, reslterar i en komplett dator. nktionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och Jämför fnktionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och a motsvarande CMOS-koppling (figr i marginalen) identifiera motsvarande CMOS-koppling (figr i marginalen) rindar (-) ljsgl bakgrnd) kan d klicka OCH på (AND) för att på ändra riktigt : Omkopplarna (ljsgl bakgrnd) kan d klicka OCH på (AND) för att på ändra riktigt : ndarnas ingångar. nivåerna hos grindarnas ingångar. Om båda insignalen är på ( = och = ) läggs ett NOT positivt elektriskt fält på de två nmos-transistorernas NOT åer kan avläsas på de små indikatorerna omedelbart Ingångarnas nivåer kan avläsas på de små indikatorerna omedelbart grindar och deras kanaler öppnas. varpå dess kanal stängs. arje grind. till vänster om varje grind. r de bggstenar vi använder Samtidigt ges samma ar insignal realiserar till de två logikfnktioner och är de bggstenar vi använder våer ikblock läser som d så av småningom på de större indikatorerna pmos-transistorerna till för höger att vars illstrera inverterade större Utgångarnas och större logikblock nivåer läser som d så av småningom på de större indikatorerna till höger rind. logik gör att deras reslterar kanaler stängs. i en komplett dator. om respektive grind. w Detta gör att signalen w =. Detta gör att signalen w =. Vi ser att de två transistorerna. Enkla till grindar Uppgift. höger AND tgör en inverterare, vilket innebär att AND I simlatorns v: tsignalen = tsignalen = ndläggande atorik och sekvensnät logikfnktioner. Grndläggande logikfnktioner Arkiv Kombinatorik och sekvensnät Arkiv Kombinatorik Grndläggande och sekvensnät logikfnktioner. Grndläggande logikfnktioner ande logikfnktionerna. finns grindar som realiserar de grndläggande logikfnktionerna. jälp av simlatorn, logikfnktionerna som visas i Verifiera, med hjälp av simlatorn, logikfnktionerna som visas d i en i klicka tabellen. på Fll för i att fnktionstabellen ändra till höger. Omkopplarna (ljsgl bakgrnd) Smbol-kolmnen kan d i klicka tabellen. på Fll för i att fnktionstabellen ändra till höger. nivåerna hos grindarnas ingångar. stabellerna med dina resltat från Uppgift. och Jämför fnktionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och OR OR varande må indikatorerna CMOS-koppling omedelbart (figr i marginalen) Ingångarnas nivåer kan identifiera avläsas på motsvarande små indikatorerna CMOS-koppling omedelbart (figr i marginalen) till vänster om varje grind. rindens engelska namn. Ange sltligen grindens engelska namn. törre indikatorerna till höger Utgångarnas nivåer läser d av på de större indikatorerna till höger Fnktionstabell Smbol Fnktionstabell om respektive grind. tligen p : grindens engelska namn. LÄRARUTGÅVA -Arbetsbok I simlatorns för Ange DigiFlisp sltligen v: grindens engelska namn. mbol atorik och sekvensnät koppling Grndläggande logikfnktioner. Fnktionstabell Arkiv Kombinatorik Smbol och sekvensnät CMOS- Grndläggande logikfnktioner. m realiserar de grndläggande logikfnktionerna. finns grindar som realiserar de grndläggande logikfnktionerna. (-) ndläggande logikfnktioner NOT fnktionerna som visas i ionstabellen till höger. ltat från Uppgift. och (figr i marginalen) logiknamn). AND rind iknamn) OT Fnktionstabell OR Arkiv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner Uppgift. NOR och NAND: Vi såg att det vid realisering av ELLER- och OCH-grinden med transistorer sitter Arkiv en inverterare Kombinatorik på grindens och sekvensnät tgång. 6 Grndläggande logikfnktioner NOT Detta gör att realisering av grindnät i många sammanhang kan kräva onödigt Verifiera, många transistorer. med hjälp av simlatorn, logikfnktionerna som visas i Inverterare Smbol-kolmnen i tabellen. Fll i fnktionstabellen till höger. Inverterare Jämför fnktionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och identifiera motsvarande CMOS-koppling (figr i marginalen) Ange sltligen grindens engelska namn. AND Smbol Fnktionstabell ar. Enkla grindar (-) NOT (-) (-) OR Fnktionstabell Om den övre insignalen slås av ( = ) tas det positiva elektriskt fältet bort på den nedre nmos-transistorns grind Samtidigt ges samma insignal till den vänstra pmos-transistorn vars inverterade logik gör att dess kanal öppnas. Vi ser att de två transistorerna till höger tgör en inverterare, vilket innebär att Notera att samma resltat erhålls för =. NOR och NAND: Av det skälet brkar man istället använda de negerade logiska fnktionerna som grndläggande bggblock. Dessa bggblock kallas för NOR- respektive NAND-grind. NOR-grind w NAND-grind
tionstabellerna med dina resltat från Uppgift. och otsvarande CMOS-koppling (figr i marginalen) I simlatorns NOT v: Arkiv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner. finns grindar som realiserar de grndläggande logikfnktionerna. Omkopplarna (ljsgl bakgrnd) kan d klicka på för att ändra nivåerna hos grindarnas ingångar. AND Ingångarnas nivåer kan avläsas på de små indikatorerna omedelbart till vänster om varje grind. Utgångarnas nivåer läser d av på de större indikatorerna till höger NOR om respektive grind. ( negated OR ) NAND ( negated AND ) Uppgift. OR Arkiv Kombinatorik och sekvensnät Grndläggande logikfnktioner Verifiera, med hjälp av simlatorn, logikfnktionerna som visas i Smbol-kolmnen i tabellen. Fll i fnktionstabellen till höger. Jämför fnktionstabellerna med dina resltat = från ( + Uppgift ). och = ( ) identifiera motsvarande CMOS-koppling (figr i marginalen) Ange sltligen grindens engelska namn. Smbol Vi skall till NAND-logik, och grindnät på PS-form (OR/AND- senare visa hr man enkelt Fnktionstabell kan översätta grindnät på SP-form (AND/OR-logik) (-) logik) till NOR-logik. På så sätt får grindnätet färre transistorer, och blir desstom snabbare. n grindens engelska namn. ol för att illstrera större och större logikblock som så småningom ar realiserar Fnktionstabell logikfnktioner och är de bggstenar vi använder (-) LEU reslterar i en komplett Digital- dator. och datorteknik, Chalmers, /6 Föreläsning # Uppdaterad. Enkla grindar 6 september, NOT AND OR 6 6