TANA19 NUMERISKA METODER

HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 2. Linjär algebra Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Godkänd datum : Sign : Retur : 1

1 november 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning. MATLAB är speciellt enkelt att använda inom linjär algebra. Genom enkla kommandon kan man t.ex utföra matrismultiplikation, bilda inversen och lösa linjära ekvationssystem. Just lösning av stora linjära ekvationssystem förekommer ofta inom tekniska beräkningar. De MATLAB-kommandon, som används i denna laboration finns i Kort MATLAB-guide, som finns på kursens hemsida. 1.1 Mål Du ska 1. använda MATLAB för LR-faktorisera matriser och lösa linjära ekvationssystem. 2. kunna förstå hur man utnyttjar LR-faktoriseringen för att lösa ekvationssystem med samma matris men olika högerled. 3. studera hur pivotering påverkar noggrannheten i olika situationer. 4. studera hur storleken på konditionstalet påverkar noggrannheten. 5. använda minsta kvadratmetoden 1.2 Förkunskapskrav Kapitel 8 i läroboken, speciellt kap 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.10 och 8.13. Exemplen 2.4, 2.8, 2.14 i exempelsamlingen. 1.3 Att komma igång Öppna ett terminalfönster. Skriv: TANA79setup (vilket definierar kursbiblioteket och sökvägar) cp $kursbib/population.m. (vilket kopierar matlabfunktionen population.m till din egen area) matlab & (vilket gör att MATLAB startas i eget fönster) 2

2 Matrisfaktorisering och lösning av ekvationssystem A Transponerar matrisen A, dvs ger A T. inv(a) Inverterar matrisen A, dvs ger A 1. x = A\b Ger lösningsvektorn x till det linjära ekvationssystemet Ax = b. [L,R,P ] = lu(a) Bestämmer LR- (LU-) faktoriseringen till A (LR = PA). Matriserna lagras i L, R och P. Vi skall lösa ekvationssystemet Ax = b 0.8 6.6 10.2 5 2 4 8 x = 0. 1.2 1.9 3.1 0.5 Uppgift 2.1 LR-faktorisering Skapa matrisen A och högerledet b i MATLAB. Beräkna matrisens faktorisering. Ange L, R och P. Bilda L R och ange vad du erhöll. Har pivotering använts? Ange hur du avgjorde det. Förberedelseuppgift 2.2 Framåt- och bakåtsubstitution Beskriv hur A:s LR-faktorisering ska utnyttjas för att lösa ekvationssystemet Ax = b. [Boken, sid. 211] Uppgift 2.3 Lösning av linjärt ekvationssystem Vi ska nu lösa ekvationssystemet Ax = b på några olika sätt. (a) Lös ekvationssystemet genom att utnyttja LR-faktoriseringen. Använd kursbibliotekets program fram och bak (help fram och help bak ger information). Beskriv anrop och ange resultat och mellanresultat. Bilda Ax b för att kontrollera resultatet. Fick vi exakt lösning? (b) Använd \-operatorn för att bestämma x. Jämför med resultatet från (a) och ange ev. skillnad. 3

(c) Bestäm Ax 1 = b genom att använda A:s invers. Bilda x x 1 och förklara vad som är nackdelen med att bilda inversen. Förberedelseuppgift 2.4 Skriv program Matrisfaktoriseringen kan även utnyttjas för att lösa mer komplicerade problem. Ett exempel är ekvationen A k x = b där A är en godtycklig, icke-singulär matris. Skriv ett MATLAB-program som först LR-faktoriserar A-matrisen och sedan utnyttjar faktoriseringen för att beräkna x på ett effektivt sätt. Tips finns i uppgift 2.8 i exempelsamlingen. Du ska utnyttja MATLAB:s standardrutiner och program på kursbiblioteket (se Uppgift 2.3a). Skriv ner ditt program. Uppgift 2.5 Utnyttja programmet Fortsätt med samma A och b som tidigare. Beräkna lösningen x till ekvationssystemet A 10 x = b. Använd programmet från uppgift 2.4. Ange lösningen. x = 4

3 Effektivitet Vi skall undersöka effektiviteten vid beräkning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b genom att mäta tidsåtgången med hjälp av tic och toc. Vi ska använda dels \-operatorn dels inversen. Slumpmatriser av storlek n n skapas genom kommandot A = rand(n, n); och vektorer av längd n skapas genom b = rand(n, 1); Uppgift 3.1 Välj t.ex. n = 1000. Skapa en matris och en vektor, lös ekvationssystemet med\-operatorn och mät tiden. Skriv: n=1000; A=rand(n,n); b=rand(n,1); tic; x=a\b; toc Använd inversen i stället och mät tiden. (tic; x=inv(a)*b; toc) Dubbla matrisstorleken några gånger så länge tiderna inte överstiger några sekunder. Fyll i tiderna, t(n), i tabellen samt räkna ut kvoterna mellan dem. n t(n) med \ t(2n)/t(n) t(n) med inversen t(2n)/t(n) Antagatttidenberorpåmatrisensstorleksomt(n) c n p.bestämpför\-operatorn resp. inversen. p = för \-operatorn p = för inversen Uppgift 3.2 Vad drar du för slutsatser när det gäller att lösa ekvationssystem med hjälp av inversen? Motivera ditt svar! Uppgift 3.3 Gör en liknande undersökning av tiden för att lösa ett övertriangulärt ekvationssystem, dvs. göra en bakåtsubstitution. n=1000; A=triu(rand(n,n)); b=rand(n,1); tic; x=a\b; toc Dubbla matrisstorleken några gånger. n t(n) med \ t(2n)/t(n) Antagatttidenberorpåmatrisensstorleksomt(n) c n p.bestämpförbakåtstubstitution. p = 5

4 Normer och konditionstal norm(a) Ger 2-normen för matrisen A. norm(a, inf) Ger max-normen för matrisen A. cond(a) Ger konditionstalet i 2-norm till matrisen A. cond(a, inf) Ger konditionstalet i max-norm till matrisen A. Förberedelseuppgift 4.1 Ange hur konditionstalet definieras Uppgift 4.2 Beräkning av konditionstalet Bestäm konditionstalet i maximumnorm, κ (A), för matrisen A i första uppgiften, dels enligt definitionen(ange delresultaten) dels med hjälp av cond. Jämför värdena. Enligt definitionen blir κ (A) = cond(a,inf) = 5 Felanalys Förberedelseuppgift 5.1 Avrundningsfel i datorn MATLAB:s avrundningsenhet är µ = 2 53. Vid lagringen av högerledet, b, görs ett avrundningsfel. Bestäm de relativa och absoluta felen vid lagringen av ett element, b i, i b. b i b i b i Uppskatta sedan δb samt δb / b. δb δb b Förberedelseuppgift 5.2 Teoretisk feluppskattningsformel Ange formeln som ska användas för att uppskatta det relativa felet i lösningen x med hjälp av konditionstalet κ (A) och resultatet i uppgift 5.1. För enkelhets skull antar vi att alla fel, förutom avrundningsfel i b, kan försummas. [Boken, sid. 229] 5.1 Återskapande av en deformerad bild I Småland finns ett intressant besöksmål för turister. Objektet beskrivs med en vektor a R 101 i programmet bild på kursbiblioteket. Skriv bild i Matlab. 6

Uppgift 5.3 Deformerad bild En turist befinner sig långt borta och ser objektet endast vagt. Programmet bild har skapat en 101 101 matris A som beskriver hur bilden har försämrats för turisten. Den försämrade bilden betecknas med b och bildas med b = A a. Bilda och rita b (plot(b)). Skissa bilderna a och b. Turisten har en laptop med sig och försöker att återskapa den riktiga bilden, a. Då måste ekvationssystemet Ax = b lösas. Uppgift 5.4 Återskapande av bilden Lös ekvationssystemet i Matlab. Plotta lösningen. Skissa lösningen x här. Verkar lösningen rimlig? Är den korrekt? Uppskatta det verkliga felet δx i den beräknade lösningen. (Titta i figuren eller beräkna x a.) Vi ska nu teoretiskt undersöka noggrannheten hos den beräknade lösningen. Uppgift 5.5 Teoretisk feluppskattning Beräkna konditionstalet κ (A) (cond(full(a), inf)) samt den övre teoretiska gränsen för relativa felet uttryckt i maxnorm. Beräkna slutligen δx. κ (A) = δx x δx Efterbearbetning 5.6 Jämförelse Jämför feluppskattningen i uppgift 5.5 med det verkliga felet som du bestämde i uppgift 5.4. Förutsäger den teoretiska uppskattningen vad som händer vid den praktiska beräkningen? Motivera svaret. Är problemet att beräkna lösningen x välkonditionerat? Motivera svaret. 7

5.2 En populations storlek bakåt i tiden Använd format short e i hela detta avsnitt. Nedanstående matris och högerled ska användas i detta avsnitt. Dessa införs i MATLAB genom att ge kommandot tb matriser Matriselementen betraktas som exakta och elementen i högerledet är korrekt avrundade till jämna tiotal. 0 1/18 1/3 0 13860 B = 0.9 0.5 0 0 0 1/3 2/3 0 x 0 = 28300 34400 0 0 1/6 1/3 9440 Förberedelseuppgift 5.7 Teoretisk feluppskattningsformel Betrakta ekvationssystemet Bx 1 = x 0. Ange formeln för relativa felet i lösningen x 1 uttryckt i maxnorm, då B är exakt och x 0 är avrundat. [Boken, sid. 229] 5.3 En populationsmodell Om en population (t.ex. en djurart) lever isolerad kan antalet individer i olika åldersklasser beskrivas med en s.k. övergångsmatris. Vi definierar fyra åldersklasser klass 1: Ungar (första levnadsåret) klass 2: Ungdjur klass 3: Vuxna klass 4: Åldringar Antalet djur i varje åldersklass, i, betecknas med p i (t), där t är tiden uttryckt i år. Låt x(t) = x t, vara en vektor enligt x(t) = x t = ( p 1 (t) p 2 (t) p 3 (t) p 4 (t) ) T. För en viss population har vi övergångsmatrisen 1 0 1/18 1/3 0 B = 0.9 0.5 0 0 0 1/3 2/3 0 0 0 1/6 1/3 Vi kan beskriva populationens utveckling från ett år till nästa med hjälp av sambandet x t = Bx t 1. Vi är intresserade av hur populationen såg ut några år bakåt i tiden och måste då lösa ekvationssystemet Bx t 1 = x t för t = 0, 1, 2,... För att göra detta effektivt måste vi utnyttja B:s LR-faktorisering. Vi antar att vi startar vid t = 0 och att där data är avrundade till jämna tiotal. x 0 = ( 13860 28300 34400 9440 ) T, 1 Exemplet är hämtat från: TDB, Uppsala universitet, Introduktion till MATLAB, 2000 8

Uppgift 5.8 Komplettera funktionen population.m Utnyttja programskelettet population.m, som ska kompletteras med LR-faktorisering samt fram och bak. För in kompletteringarna i programmet på nästa sida.(filen kopierades i inledningen Att komma igång ) Uppgift 5.9 Bestäm populationen 1 år tillbaka i tiden Resultat:x T 1 = Verkar resultatet rimligt? Motivera genom att bestämma övre gränsen för relativa felet i x 1 uttryckt i maxnorm. Använd formeln i uppgift 5.7. Kommentera: κ (B) = δx 1 x 1 Uppgift 5.10 Bestäm populationen 2 och 7 år tillbaka i tiden Resultat:x T 2 = Resultat:x T 7 = Verkar resultaten rimliga? Förberedelse/efterbearbetning 5.11 Feluppskattningar Motivera genom att bestämma övre gränsen för relativa felen i x 2 och x 7 uttryckt i maxnorm. För att du ska förstå hur du ska få fram formlerna måste du först skriva upp formeln för relativa felet i x 2 genom att utnyttja formeln för relativa felet i x 1 i uppgift 5.9. Därefter kan du ange formeln för relativa felet i x 7 Ange formeln och räkna ut värdena. Kommentera: δx 2 x 2 δx 7 x 7 9

Funktionen population % Anrop x=population(x,b,n) % Programmet beräknar en population n år båkåt i tiden % med utgångspunkt från startvektorn=indatavektorn x % och övergångsmatrisen B. % Beräkningen sker effektivt genom att utnyttja LR-faktoriseringen. % Utdata x är populationen n år båkåt i tiden % Programmet behöver kompletteras enligt anvisningarna. %LR-faktorisera B %%%%%% Komplettera ; for i=1:n % Bestäm x för föregående år genom att utnyttja LR-faktoriseringen %%%%%% Komplettera end ; ; 10

6 Effekten av partiell pivotering Förberedelseuppgift 6.1 Varför bör pivotering användas vid faktorisering av en godtycklig icke-singulär matris? Vi söker en lösning till ekvationssystemet Ax = b, där 10 13 1 1 A = 1 2 1 1 0 1 och b = 4 2. 1 2 3 Uppgift 6.2 Konditionstalets storlek Bestäm konditionstalet för A. κ (A) = Är det möjligt att få god noggrannhet när vi löser Ax = b? Varför? Uppgift 6.3 Utan pivotering Använd format short e Vi beräknar först lösningen x utan pivotering. Beräkna matrisens faktorisering A = L u R u med kursbibliotekets program gauss. Ange största elementet i L u. Utnyttja faktoriseringen för att beräkna lösningen x. Redovisa hur du gör detta. Ange x = x u = Uppgift 6.4 Med pivotering Vi beräknar lösningen x till ekvationssystemet i uppgift 6.3 på nytt. Denna gång ska pivotering användas. Använd \-operatorn, det är enklast. Ange x = x m = Ange det största elementet i L då pivotering används (kan anges utan att L beräknas). Uppgift 6.5 Slutsatser Vilken lösning (med/utan pivotering) kan vi lita på? Motivera svaret! 11

7 Minsta kvadratmetoden 7.1 Folkmängden i USA På kursbiblioteket finns en fil, usa.m, med tabellvärden över folkmängden, f(t), i USA mellan 1900 och 1980. Värdena är angivna i miljoner invånare. t 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 f(t) 76.1 92.4 106.5 123.1 132.6 152.3 180.7 204.9 226.5 Målet är att anpassa en kontinuerlig funktion till givna data så att funktionen skall kunna användas som prognos. En idé är att använda minsta kvadratmetoden för att göra denna anpassning. Förberedelseuppgift 7.1 Ett andragradspolynom ska användas och anpassas till givna data. Ange en lämplig ansats. [Boken, sid. 249] P 2 (t) = Uppgift 7.2 Experiment med ett andragradspolynom Data införs i MATLAB med kommandot usa Rita ut givna data: plot(t,f, *r ) Skriv in det överbestämda ekvationssystemet i MATLAB. Matrisen kan skrivas in som A=[(t-tm).^0 (t-tm) (t-tm).^2 ] där tm väljs på lämpligt sätt (jämför med ansatsen). Vi använde tm= Bilda sedan normalekvationerna och lös dem. [Boken, sid. 246] Vi får P 2 (t) = För att kunna rita den erhållna kurvan och se om vi får en vettig prognos några år framåt, räknar vi ut polynomets värde i punkter (missa inte efter hakparentesen) tt=[1900:1:2020] Vektorn tt är en tät kolumnvektor, som fortsätter fram till år 2020. Beräkningen av approximationspolynomets värde görs enklast genom p2=[(tt-tm).^0 (tt-tm) (tt-tm).^2 ]*c där c är lösningen till normalekvationerna. Rita sedan lösningen i samma diagram som givna data. Får vi en bra anpassning inuti intervallet? Får vi en bra prognos med denna modell? 12

Uppgift 7.3 Experiment med en rät linje Upprepa experimenten i uppgift 7.2, men använd ett förstagradspolynom i stället. Rita i samma diagram som tidigare. Skriv ut figuren och lämna med. Får vi en bra anpassning inuti intervallet? Får vi en bra prognos med denna modell? Uppgift 7.4 Experiment med fjärdegradspolynom Upprepa experimenten en gång till, nu med ett fjärdegradspolynom. Rita i ett nytt diagram. Får vi en bra anpassning inuti intervallet? Får vi en bra prognos med denna modell? Uppgift 7.5 Studera kurvorna Vi vet att folkmängden år 2004 var 293.0 miljoner. Vilket år är det troligt att folkmängden 350 miljoner uppnås? 13

7.2 Gauss prediktion av Ceres bana Carl Friedrich Gauss var den mest betydande och inflytelserika matematikern under första hälften av 1800-talet. Gauss var också intresserad av tillämpad matematik, t.ex var han skicklig i att utföra komplicerade uträkningar för hand. Ceres upptäcktes på nyårsdagen 1801 av astronomen Giuseppe Piazzi. Med en diameter på ca 950 km är den den största och mest massiva asteroiden i asteroidbältet. Piazzi fortsatte att observera Ceres till den 11 februari då han hindrades att fortsätta på grund av sjukdom. När han återupptog sina observationer hade Ceres försvunnit då dess bana skymdes av solen. För att återfinna asteroiden utvecklade Gauss (han var då 23 år) minsta kvadratmetoden. Metoden visade sig fungera då Ceres blev återfunnen av tyska astronomer påföljande år precis där Gauss förutsagt. Vi ska återupprepa (något förenklat) Gauss metod och ansätter därför följande modell för att beskriva en elliptisk bana i planet: c 0 y 2 +c 1 xy +c 2 x+c 3 y = x 2. Tabellen ceres (fås genom att skriva ceres i matlab-fönstret) innnehåller m = 9 observationer av asteroidens läge {x i,y i } m 1. x = (0,1,2,3,4,5,6,5,4), y = (0,1.5,2.5,3,2.75,2,0, 1, 2) Uppgift 7.6 Bestäm konstanterna Lös problemet med minsta kvadratmetoden. Ange värdena på konstanterna. Uppgift 7.7 Plotta den beräknade kurvan Tips. Kurvor kan enkelt ritas med kommandot ezplot. Exempel: kurvan 1 x 2 +2x 3 = y 2 ritas med kommandot ezplot( 1-x^2+2*x^3-y^2 ) Observera att numeriska värden på koefficienterna måste användas. Det räcker att ta med 2 decimaler i de uträknade värdena på koefficienterna c 0 c 3. Plotta sedan tabellvärdena i samma figur (skriv först hold on och sedan plot(x,y, * )). Redovisa figuren antingen med en utskrift eller handritad skiss. 14