Att utveckla räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion

Självständigt arbete Att utveckla räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion Författare: Els-Marie Therén, Monica Wahlsten Handledare: Helena Roos Examinator: Jeppe Skott Termin: HT15 Ämne: Speciallärarprogrammet Nivå: Avancerad Kurskod: 4PP70E

Abstrakt Området för studien är valt utifrån att vi i vår verksamhet som lärare har uppmärksammat elevers svårigheter i huvudräkning. Syftet med interventionsstudien är att undersöka hur räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion kan utvecklas för elever i SUM genom strukturerad undervisning utifrån Wendick-modellen. I studien deltar tre elever i årskurs 4 och två elever i årskurs 7. Metoder som används är huvudräkningstest och intervjuer före samt efter studien. Även loggbok förs under studien. Intensivundervisningen som är vid 4-5 tillfällen i veckan, under 5 veckor utgår från en strukturerad arbetsgång en-till-en. Under studien uppmärksammas betydelsen av att utgå från elevens förkunskaper, att utveckla elevens taluppfattning och hållbara huvudräkningsstrategier. Resultatet indikerar på att räkneflyt behöver mycket tid för att utvecklas och att strukturerad intensivundervisning under kortare tid har större effekt på räkneflyt hos yngre elever än äldre. En positiv påverkan av intensivundervisning som uppmärksammas är att elevernas motivation ökade under studiens gång. Nyckelord Automatisera, huvudräkning, huvudräkningsstrategier, intensivundervisning, räkneflyt, SUM och Wendickmodellen. Abstract In our employment as teachers have notices student s difficulty in mental calculation. This is the starting point for our chosen field of study."the goal with the intervention study is to explore how students in SEM in year 4 and 7 can develop counting fluency in mental calculation within the number span 11-20 in addition and subtraction, through structured intense instruction. In the study three students from year 4 are taking part, and two from year 7. The methods used are mental calculation tests and interviews before and after the study. A journal was also kept during the study.the intense instruction is 4-5 occasions per week, during 5 weeks, and proceeds from the students advance knowledge, to develop the students number sense and sustainable mental calculation strategies. Our results indicates that counting fluency needs a lot of time to develop and that structured intense education during a shorter period has a larger effect on the counting fluency on younger students, than with older. A positive effect of the intense education that is acknowledged is that the students motivation increased during the span of the study. Keywords Automatisation, counting fluency, intensive instruction, mental calculation, mental calculation strategies SEM and Wendickmodellen. i

Innehåll 1.Inledning 4 1.1 Centrala begrepp... 5 2. Syfte 6 2.1 Frågeställningar... 6 3. Bakgrund 6 3.1 Wendick-modellen... 6 3.2 SUM... 7 3.3 Intensivundervisning... 7 3.4 Interventionsstudier i specialpedagogik... 8 3.5 Taluppfattning... 8 3.5.1 Aritmetik... 9 3.5.2 Aritmetikens utveckling... 9 3.5.3 Aritmetiken i styrdokumenten... 10 3.5.4 Huvudräkning... 11 3.5.5 Automatisera... 12 3.5.6 Räkneflyt... 12 3.5.7 Huvudräkningsstrategier... 12 3.5.8 Kritiska aspekter i lärande av taluppfattning... 14 4. Teori 15 4.1 Yttre och inre operationer... 15 4.2 Proximala utvecklingszonen... 15 4.3 Matematisk kompetens... 16 5. Metod 18 5.1 Urval... 18 5.2 Tillvägagångsätt... 19 5.3 Arbetsgång för arbetet med eleverna... 19 5.4 Analysmetod... 21 5.5 Reliabilitet och validitet... 21 5.6 Forskningsetiska principer... 21 6. Resultat och Analys 22 6.1 Resultat och analys - AG 3... 22 6.2 Resultat och analys - Yttre operationer... 24 6.3 Resultat och analys Inre operationer... 25 6.4 Resultat och analys - Proximala utvecklingszonen... 26 6.5 Resultat och analys - Begreppslig förståelse... 27 6.6 Resultat och analys - Procedurellt flyt... 28 6.7 Resultat och analys - Strategisk kompetens... 29 6.8 Resultat och analys - Adaptivt resonemang... 30 6.9. Resultat och analys - Produktivt syn- och förhållningssätt... 30 6.10 Sammanfattande resultat och analys... 31 7. Diskussion 33 ii

7.1 Resultatdiskussion... 33 7.2 Metoddiskussion... 34 7.3 Fortsatt forskning... 36 Referenser 37 Bilagor I Bilaga A Wendickmodellen... I Bilaga B Diagnos AG3... III Bilaga C - Missivbrev... IV Bilaga D - Intervjufrågor före interventionen... V Bilaga E Diagnos AG1... VI Bilaga F - Intervjufrågor efter interventionen... VII Bilaga G - Triader... IX iii

1.Inledning Arithmetic By Carl Sandberg Arithmetic is where numbers fly like pigeons in and out of your head. Arithmetic s tells you how many you loose or win if you know how many you had before you lost or won. Arithmetic is seven eleven all good children go to heavenor five six bundle of sticks. Arithmetic is numbers you squeeze from your head to your hand to your pencil to your paper till you get the answer. Arithmetic is where the answer is right and everything is nice And you can look out of the window and see the blue sky- Or the answer is wrong and you have to start all over again and see how it comes out this time. If you take a number and double it and double it again and double it a few times more, the number gets bigger and bigger, and goes higher and higher and only arithmetic can tell you what the number is when you decide to quit doubling. Arithmetic is where you have to multiply- and you carry the multiplication table in your head and hope you wont lose it.[ ] (Dowker, 2005, förord) De fyra räknesätten är som dikten ovan antyder en källa till så väl äventyr och självförtroende som huvudbry och oro för många barn. Att lära sig olika tabeller och strategier kan först kännas omöjligt, men när de väl fastnat ger det barnet en känsla av styrka och kompetens. När vi själva gick på låg- och mellanstadiet talades det inte om huvudräkningsstrategier såsom 10-kompisar, dubblor, talens grannar, sambandet mellan addition och subtraktion utan det var att lära sig mekaniskt utantill. De flesta uträkningarna av större tal gjordes sedan med papper och penna. Räknemetoderna för de olika räknesätten tränades det ordentligt på, ofta var det sida upp och sida ner. Huvudräkningsuppgifterna i en standardalgoritm löstes då med egna strategier som till exempel fingerräkning, gärna under bänken. När vi ser till vår egen erfarenhet av huvudräkning i skolan utvecklade en av oss ett prickningssätt där utgångspunkten var hur prickarna var avbildade på en tärning. När 9 + 7 vid algoritmräkning av talet 459 + 397 skulle räknas ut gjordes prickar bredvid uppställningen enligt tärningsmönstret för 4 och 3. Oftast gjordes dessa prickar nästan osynligt, det fick ju inte visas att huvudräkning var ett bekymmer. Därför var muntliga huvudräkningstest en källa till obehag och nervositet under mellanstadiet. Inte förrän efter flera år som lärare kunde nya strategier utvecklas. I vår verksamhet som lärare på låg- och mellanstadiet har vi uppmärksammat elevers svårigheter i huvudräkning med grundläggande talkombinationer i addition och subtraktion inom talområdet 0-20. Vi ser att elever tränar huvudräkning inom området 0-20 på ett mycket strukturerat sätt på lågstadiet och använder strategier som 10- kompisar, dubblor, talgrannar. När eleverna börjar på mellanstadiet förväntar sig lärarna att additions- och subtraktionstabellerna är befästa. I stället läggs då stor energi på att lära ut multiplikationstabellen. På högstadiet arbetas med algebra, ekvationer och bråkräkning där flera huvudräkningsmoment ingår. Är då inte eleverna säkra på enkel 4

huvudräkning kan det bli svårt att lösa dessa typer av uppgifter. Vi har i vår verksamhet uppmärksammat elever i matematiksvårigheter som har svårt med huvudräkning och ofta använder fingerräkning, ett steg i taget som strategi. Strategin är tidskrävande, belastar arbetsminnet och tar fokus från uppgiften. När väl huvudräkningsuppgiften är löst har eleven glömt nästa moment i uträkningen. Även i vardagslivet träffar vi på både vuxna och ungdomar som har stora svårigheter med att göra enkla uträkningar i huvudet. I affärer ursäktar sig expediter ibland med att jag är så dålig på huvudräkning om det är någon uträkning som måste göras utan datorn, när något inte stämmer. Huvudräkning är en kunskap som är viktig att ha med sig i livet och inte bara något som ska kunnas i skolan.hur kan vi stödja elever så att de inte får dessa svårigheter i vuxenlivet? Hur kan vi hjälpa elever som fastnat i ohållbara strategier? Som sitter med fingrarna under bänken och skäms för att de inte kan räkna ut enkla tal såsom åtta adderat med fem, i huvudet. 1.1 Centrala begrepp Under denna rubrik förklaras begreppen kort, för att senare i texten fördjupas. Begrepp som är centrala för vårt arbete är: automatisera, huvudräkning, huvudräkningsstrategier, intensivundervisning, räkneflyt, SUM och Wendickmodellen. Automatisera innebär att tal delas upp och sätts ihop för att bli mer välbekanta och därmed lättare att beräkna (Boaler, 2011) och att talfakta 1 övas och befästs (Bentley & Bentley, 2011). Huvudräkning innebär att matematiska beräkningar utförs i huvudet. En mängd data hålls i huvudet för att snabbt kunna ge svar på vissa beräkningar (Löwing & Kilborn, 2012). Huvudräkningsstrategier innebär att kunna använda känd talfakta och relationer mellan tal för att resonera sig fram till svaret på okända talfakta (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009). Intensivundervisning innebär att en elev får stöd av en behörig matematiklärare under en period av 10-11 veckor, 30 minuter per dag, fyra dagar i veckan (Lundqvist, Nilsson, Schenz & Sterner, 2011). Uppföljning och utvärdering av resultatet ska göras kontinuerligt och arbetet ska vara grundat på beprövad erfarenhet och forskning (Torgesen et al., 2001). Räkneflyt innebär automatiserad talfakta med beräkningar som memorerats i långtidsminnet och där svaren kan anges snabbt (Dowker, 2005). Särskilda Utbildningsbehov i Matematik (SUM). Definitionen av SUM, som vi valt att använda utgår ifrån Silfver, Sjöberg och Bagger (2013), vilken innebär att särskilt utbildningsbehov i matematik kan omfatta alla elever någon gång under skoltiden. 1 Med talfakta menas uppdelning av tal 5

Behoven kan kvarstå under en kortare eller längre period och innehålla så väl generella svårigheter som något specifikt område inom ämnet (Bagger & Roos, 2014). Wendick-modellen är ett strukturerat träningsmaterial för att utveckla räkneflyt i aritmetik (Wendick, 2014). 2. Syfte Syftet med interventionsstudien är att undersöka hur räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion kan utvecklas för elever i SUM genom strukturerad intensivundervisning utifrån Wendick-modellen. 2.1 Frågeställningar Vilka huvudräkningsstrategier i addition och subtraktion använder eleverna före och efter strukturerad intensivundervisning? Hur kan Wendick-modellen hjälpa eleverna att utveckla räkneflyt i huvudräkning? 3. Bakgrund Bakgrunden inleds med en beskrivning av Wendick-modellen. Därefter följer en fördjupad förklaring av begreppet SUM, intensivundervisning, vad en interventionsstudie innebär, taluppfattning och till sist kritiska aspekter i lärande av taluppfattning. 3.1 Wendick-modellen Wendick-modellens har tidigare endast funnits för lästräning, men sedan ett år tillbaka även för aritmetikträning i matematik. Författarna till materialet är Gunnel Wendick, specialpedagog och Ing-Lis Klackenmo, lågstadielärare. Materialet Räkneflyt finns inom tre delar, Addition och Subtraktion i talområdet 0-10, Addition och Subtraktion i talområdet 11-20 samt Multiplikation och Division tabeller 1-10. Vi använder oss av Addition och Subtraktion i talområdet 11-20 ( bilaga A). Det främsta syftet i materialet är att eleverna ska automatisera sin tabellkunskap, men författarna betonar att träningen i syfte att automatisera, inte bör ske förrän eleven utvecklat förståelse och strategier för att beräkna talen. I materialet finns 20 grundläggande små steg, som eleven bör ha förståelse för innan tabellträningen. Materialet är i form av arbetsblad med uppgifter från en tabell i taget. På en sida är det 36 uppgifter i addition och på andra sidan lika många i subtraktion. Räknesätten tas upp parallellt med syfte att stärka sambanden mellan dem. Uppgifterna är utformade på både traditionellt sätt och som öppna utsagor 2 2 Med öppna utsagor menas additions- och subtraktionsuppgifter där en term i uppgiften är okänd exempelvis 8+ =12; 12- =4; + 4= 12 och - 4=8. 6

Eleven ska behärska en tabell innan nästa påbörjas, för att skapa en stabil grund. Det finns också arbetsblad med blandade uppgifter från olika tabeller och hänvisning till datorspel, som passar för det aktuella talområdet. Wendick-modellen är kopplat till Läroplanen för grundskolan, Lgr 11 och till Skolverkets forskningsbaserade diagnosmaterial Diamant (Wendick, 2014). 3.2 SUM Som tidigare nämnts så används begreppet SUM, Särskilda Utbildningsbehov i Matematik, i denna studie utifrån definitionen att särskilt utbildningsbehov i matematik kan omfatta alla elever någon gång under skoltiden. Behoven kan kvarstå under en kortare eller längre period och innehålla så väl generella svårigheter som något specifikt område inom ämnet (Bagger & Roos, 2014). Ett annat sätt att se på SUM, är med betydelsen att en elev beräknas att inte uppnå utbildningsmålen som anges i läroplanen (Engström & Magne, 2006). Anledningen till att en elev inte uppnår målen i matematik och då anses vara i matematiksvårigheter kan ha medicinskt/neurologiska, psykologiska, sociologiska eller didaktiska orsaker (Engström, 2003). Elever i matematiksvårigheter kan ha problem med att befästa tal i huvudet eller gör mer fel i uträkningar. Svårigheterna kan bero på kognitiva svårigheter, brist på användande av aritmetik eller lågt självförtroende (Berch & Mazzocco, 2009). Orsaken läggs ofta på eleven och inte lika mycket på undervisningen eller miljön (Ekström & Magne, 2006, Lundberg & Sterner, 2009). Det kan vara så att skolan brister i att uppmärksamma elevers särskilda behov i matematik (Jess, Skott & Hansen, 2011). Även skolans syn på elever i matematiksvårigheter är av betydelse. Lägger skolan problemet hos eleven med svårigheter eller ser skolan att förändringar i elevens miljö kan stödja eleven som är i svårigheter (Sjöberg, 2006). Andra hinder för matematikinlärning kan vara bristande arbetsminne, koncentration, känslomässiga orsaker, hemförhållande och läs- och skrivsvårigheter (Sjöberg, 2003). 3.3 Intensivundervisning Elever i SUM behöver en väl organiserad och strukturerad undervisning. Eleverna är i behov av fler, kontinuerliga och korta stunder för repetition (McIntosh, 2009; Butterworth & Yeo, 2010). Lundberg & Sterner (2009) lyfter Time on task som betydelsefullt för SUM-elever. Time on task innebär att desto mer tid som övas på ett moment, desto större möjlighet till att eleven blir säker på det. Genom en-till-en undervisning med en lärare finns det möjlighet att uppnå Time on task, som under en begränsad period kan vara väldigt effektiv. Eleven blir mer engagerad, får omedelbar bekräftelse, vägledning av hållbara strategier och möjlighet till korrigering av felaktiga arbetssätt (a.a). Magne (1998) beskriver intensiva inlärningsperioder på två veckor, 3-4 gånger på termin. För att perioden ska utveckla elevens kunskaper så mycket som möjligt, bör undervisande lärare vara specialist på elever i SUM. Under perioden bör det vara ett stort antal inlärningspass som innehåller olika typer av läromedel som ger eleven positiva upplevelser av matematik. Dowker (2005) belyser att intensivträning för att träna aritmetik inte behöver vara så omfattande för att vara effektivt. Baroody et al. (2009) däremot menar att träning under kort period inte har effekt på längre tid om inte 7

dess främsta syfte är att ge eleverna en möjlighet att upptäcka mönster eller relationer eller för att säkerställa resonerande strategier blir automatiskt. 3.4 Interventionsstudier i specialpedagogik En interventionsstudie grundar sig på teorier om hur det går att utveckla en specifik förmåga och hur den förmågan kan utvecklas bland elever i svårigheter. Många interventionsstudier har visat positiva resultat när det gäller att utveckla läsförmågan. Flera interventionsstudier karaktäriseras av att innefatta tre olika delar, intensiv, specifik och individualiserad (Fälth, 2013). I vår studie innebär intensiv att eleverna tränade vid 3-5 tillfällen i veckan under 5 veckor. Specifik innebär att fokus var huvudräkning inom talområdet 11-20 och individualiserad innebär en till en undervisning. Interventioner med elever som behöver träna extra på något område inom aritmetik har visat sig effektfulla även om interventionen inte har varit så omfattande (Dowker, 2005). Det optimala är om eleven får träna några uppgifter i taget, en stund varje dag och då beskriva vilka strategier som används (Löwing & Kilborn, 2010). Hastighet eller utantillkunskap bör inte betonas i det inledande skedet (McIntosh, 2009). Lärarens respons är också viktig under interventionen. (Löwing & Kilborn, 2010). Interventionen är mer lyckosam om den genomförs genom en till en undervisning eller i små grupper och under en begränsad period. Även motivationsstimulerande faktorer spelar en viktig roll vid en interventionsstudie. En motivationshöjande faktor är när pedagogen förklarar varför ett moment tränas och hur de olika delarna i träningen hör ihop för att målet för träningen ska nås. Träningen bör därför av eleven upplevas motiverande, omväxlande och meningsfull (Fälth, 2013). Det är viktigt att elever inte lämnas att utforma sina strategier själva, eftersom det är mycket svårt att ersätta de gamla med nya. Utvecklingsbara strategier bör tränas tidigt för att underlätta elevernas procedurkunskaper (Chinn & Ashcroft, 2008). 3.5 Taluppfattning Taluppfattning är ett sätt att tänka och bör genomsyra all undervisning i matematik. Det innebär att ge mening åt kvantitativa beskrivningar, undersöka vad som händer när man hanterar tal och kunna relatera tal till sammanhang (Reys & Reys, 1995a). Berch och Mazzocco (2009) betonar den grundläggande förståelsen för kvantitet och antal, former av numerisk representation och enkla numeriska operationer som en beskrivning av taluppfattning. Taluppfattning kan ses som grunden till all matematik på högre nivåer (Boaler, 2015). Det är inte ett avgränsat kunskapsområde som en elev behärskar, utan ett kunnande som utvecklas med hjälp av undervisning (Reys & Reys, 1995a). Karaktäristiskt för elever med god taluppfattning är att de kan använda tidigare kunskap till nya moment och att de kan arbeta flexibelt med tal (Anghileri, 2012). En elev med god taluppfattning ser på problemet i sin helhet, letar efter samband, väljer metod och strävar efter den mest effektiva representationen och bedömer rimligheten i svaret (Reys & Reys 1995b). I detta arbete ses taluppfattning som förståelse för siffror och tal som kan hanteras flexibelt för att sedan kunna generaliseras och användas i andra sammanhang. 8

3.5.1 Aritmetik Aritmetik är den del av matematiken där fokus ligger på räkneoperationer inom addition, subtraktion, multiplikation och division (Kiselman & Mouwitz, 2008). Kännetecken hos de aritmetiska operationerna är de olika räknelagarna. De räknelagar som är av betydelse för vår studie är de i addition och subtraktion. För addition är det kommutativa lagen, m + n = n + m och associativa lagen, (m + n) + p = m + (n + p) (Kilpatrick, 2001). De grundläggande begreppen inom subtraktion är att lägga till, ta bort och jämföra (Löwing & Kilborn, 2012). Grunden i matematiken i skolan är att skapa en förståelse för tal och siffror. Att eleverna utvecklar en säkerhet i beräkningar i aritmetik är en grund för vidare utbildning i matematik (Kilpatrick et al, 2001; Löwing & Kilborn, 2012). Aritmetisk förmåga är inte en enhetlig förmåga utan bygger på många olika delar som fakta om hur man använder tal, procedurer och begrepp. Faktakunskaper kan omfatta fakta om hur man delar upp talen vid additions- eller multiplikationsuppgifter eller olika benämningar på arbetssätt. Procedurkunskaper kan innehålla både skriftliga, muntliga eller laborativa tillvägagångsätt. Begreppskunskaper är en ännu större kategori och innefattar från brist på förståelse för olika begrepp till kunskaper om räknelagarna (Dowker, 2005). 3.5.2 Aritmetikens utveckling Begreppet taluppfattning har i den svenska skolan utvecklats från att gå från ren huvudräkning till att omfatta både tals användning och begrepp. Matematikern KP Nordlund (1910) ansåg att eleverna först bör göras förtrogna med begreppen tal och antal för att förstå matematik. Matematik är inte bara en mekanisk färdighet i behandling av siffror utan han menade att när siffror används innan talbegreppet är klarlagt hindras utvecklingen av huvudräkningen. Enligt Nordlund ska huvudräkning användas företrädelsevis när uppgifterna ligger inom området 1-100, föregå sifferräkning och vara grundläggande för den senare eftersom sifferräkning kräver längre tid och är mindre instruktiv än huvudräkning. Nordlund (1910) menar att huvudräkning inte förekommer i de flesta skolor och varnar för denna försummelse eftersom det är huvudräkning som folk använder mest vid torghandel, i salubodar och hem. År 1882 kom boken Aritmetiska genvägar av Johan Lind. Där skriver han om snabbräkning, användande av genvägar och hur räknaren kan dela upp tal, så att de med lätthet kan behandlas i huvudet (Malmer, 2009). Larsson (1950) skriver i sin bok Sifferleken och snabbräkningens grunder att han utvecklat en mindre vanlig skicklighet i huvudräkning och en intensiv lust att räkna. Han menar att det vanliga är att betrakta siffror som främmande och det blir därför svårare att handskas med dem. Räknearbetet blir då något tungt och mörkt. I boken ges olika knep, som att behandla siffror och tal som kära vänner för att räknandet i huvudet ska bli som en lek (a.a.). Wigforss (1925) menar att begripandet av kunskapsstoffet i matematik måste eftersträvas och mekaniseringen av räknandet inte bör sträcka sig längre än nödvändigt. Alltså måste förståelsen av matematiken komma före den mekaniska färdigheten. Barnen ska övas i såväl huvudräkning som skriftlig räkning. Skillnaden mellan dessa räkneformer är att vid huvudräkning förekommer ingen talskrivning. Vidare anser Wigforss att benämningarna räkning utan och med talskrivning skulle vara ett bättre sätt att beteckna räkneformerna. Vid huvudräkning strävar man efter att använda metoder 9

som inte ställer så stora krav på minnesförmågan vilket inte behövs i den skriftliga räkningen. Barnen bör lära sig ett visst förfaringsätt, en så kallad normalmetod, men när de behärskar denna kan de få hitta egna genvägar. En klar taluppfattning kan inte uppnås om barnen inte får använda särskilda åskådningsmedel (konkret material) som träklotsar i olika former, stenar, stickor, knappar, kastanjer och fingrar. Fingerräkningsmetoden är dock ej rekommenderad vid huvudräkning när förståelsen är befäst. Övningarna startas med talområdet 1-10 och ska fortsätta tills barnet når fram till mekanisk färdighet som att veta resultatet utan att fundera, därefter går man vidare till nästa talområde (a.a). KG Jonson (1879 1981) matematikdidaktiker, anser att huvudräkning inte övas i folkskolorna, utan bara skriftlig räkning. Då kommer sig barnen inte för att använda huvudräkning eller får tilltro till att våga lösa enkla uppgifter i huvudet (Malmer 2009). 3.5.3 Aritmetiken i styrdokumenten Går vi framåt i tiden kan man i Lgr 69 läsa eftersom man i samhället i allt större utsträckning använder maskinella hjälpmedel för numerisk räkning bör skolan lägga stor vikt vid huvudräkning och överslagsräkning (Skolöverstyrelsen, 1969). Enligt kursplanen för matematik i Lgr80 (Skolöverstyrelsen,1980) ska eleverna genom undervisningen förvärva säkerhet i numerisk räkning, med och utan hjälpmedel. Färdigheter i huvudräkning och överslagsräkning ska förvärvas. Talbegreppet byggs upp under lågstadiet och eleverna ska uppnå säkerhet i additions- och subtraktionsalgoritmerna genom väl inövade additions- och subtraktionstabeller upp till talet 18 (Skolöverstyrelsen, 1980). I kommentarmaterialet till Lgr80 står att en orsak till att huvudräkning försummas många gånger beror på den stora bundenheten till läromedlet i skolan (Skolöverstyrelsen, 1980). I Lpo94 står det under mål att uppnå i grundskolan att eleverna ska behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i vardagslivet. I Kursplaner och betygskriterier (Skolverket, 2000) är ämnets syfte i grundskolan att eleverna ska utveckla sådana matematiska kunskaper att de kan fatta välgrundade beslut i vardagslivet. Ett av målen som eleverna ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret är att kunna räkna med naturliga tal i huvudet, med hjälp av skriftliga metoder och med miniräknare. Målet som eleverna ska ha uppnått i slutet av nionde skolåret är att ha goda färdigheter i att kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder, och med tekniska hjälpmedel. Taluppfattning och tals användning är ett av sex olika områden i centralt innehåll för ämnet matematik i Lgr11. Inom varje område finns förtydligat vilka mål eleven ska arbeta med (Skolverket, 2011). Under det centrala innehållet i matematik för årskurs 1-3 i Lgr 11, kan man läsa att eleverna ska lära sig metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning, överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare (Skolverket, 2011). Kunskapskraven för godtagbara kunskaper i årskurs 3 är att eleven ska kunna använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom talområdet 0-20. I det centrala innehållet för årskurs 4-6 under rubriken taluppfattning och tals användning står att eleverna ska arbeta med följande: Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer (Skolverket, sid 64, 2011). I Kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 ska eleven kunna välja och i huvudsak använda fungerande matematiska metoder med viss 10

anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar och lösa enkla rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med tillfredställande resultat (Skolverket, 2011). Även under taluppfattning och tals användning i det centrala innehållet för årskurs 7-9, finns huvudräkning med som ett moment. Centrala metoder för beräkningar med tal i bråkoch decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitalteknik. Metodernas användning i olika situationer (Skolverket, 2011). För att nå kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 9 ska eleven kunna välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med tillfredställande resultat (Skolverket, 2011). 3.5.4 Huvudräkning Med dagens lättillgängliga räknare i olika tekniska hjälpmedel har huvudräkning fått betydelse för att uppskatta rimligheten i räknarens svar (Löwing & Kilborn, 2012). Att behärska huvudräkning är även en god väg till mer avancerad matematik (Baroody et al., 2009; Kilpatrick et al., 2001). Färdigheter i huvudräkning ökar elevens kompetens, självförtroende och känsla av att behärska talen (McIntosh, 2009). Det är av betydelse att elever behärskar grundläggande färdigheter såsom 9+3=12 och 12-9 =3, både i vardagen, som för mer avancerad matematik, men huvudräkning bör ses som ett redskap och inte ett mål för matematiken. Trots att det ägnas mycket tid åt huvudräkning i undervisningen är det svårt för många elever (Magne, 1998). Vid inlärning av enkla talkombinationer i huvudräkning går eleven igenom tre faser. Den första fasen är Räknestrategier, som innebär att använda objekt eller verbal räkning för att kunna avgöra svaret. Den andra är Tankestrategier, vilket innebär att kunna känd talfakta och dess relationer för att resonera sig fram till svaret på okända kombinationer. Den tredje fasen är att Producera svaret, som innebär att kunna säga eller skriva ner svaret utifrån minnet. Här bör kunskapen vara så automatiserad så den går att tillämpa i andra situationer (Baroody et al., 2009). Undervisningen av huvudräkning bör utgå från elevens huvudräkningsstrategier, diskutera olika strategier, utveckla förmågan att välja lämplig strategi och förståelse för sambandet mellan räknesätten (Mc Intosh, 2009). En effektiv huvudräkning görs genom att först inspektera uppgiften och sedan välja den metod som är mest effektiv för tillfället, alltså den som ger de enklaste deloperationerna och därmed belastar arbetsminnet minst. Detta kräver en väl utvecklad taluppfattning och säkerhet i att använda räknelagar och regler (Löwing & Kilborn, 2012). Kilpatrick et al. (2001) rekommenderar att skolan ska ge möjligheter för elever att utveckla och använda strategier för huvudräkning och uppskattning som ett sätt att främja en djupare taluppfattning. De betonar också att inlärningen av enkla talkombinationer måste vara kopplad till förståelse. Löwing & Kilborn (2012) menar att satsningen på förståelse utan färdighet fungerar väl de första åren i skolan eftersom eleven använder fingrar eller föremål vid uträkning av en uppgift. När talområdet blir större och kraven på förkunskaper ökar kan huvudräkningen bli ett problem för allt fler elever eftersom dessa elever kommer att sakna flyt i sitt räknande. 11

3.5.5 Automatisera Automatisering bör nås genom förståelsen av taluppfattning och strategier (Boaler, 2015). Faserna där grunderna läggs och där de övas och befäst, bör inte blandas ihop. Snabbhet, precision och memorering av tabellkunskaper ska uppmuntras men först när eleverna har effektiva metoder för att beräkna dessa uppgifter i huvudet (McIntosh, 2009). Det är viktigt att träna tabellerna för att automatisera, men för att lyckas bör eleverna få möjlighet att upptäcka mönster och samband samt att undervisningen utgår från elevens tidigare kunskap (Baroody et al., 2009). Det är praktiskt att ha en viss talfaktakunskap i minnet, men när elever fokuserar på att lära sig tabeller utantill memorerar de ofta fakta utan förståelse, vilket gör att de har lättare att göra fel. Att testa om talfakta har automatiserats, görs ofta genom att eleven ska hinna med ett antal uppgifter på en viss tid. Detta kan stressa många elever och leda till blockeringar i arbetsminnet som gör att eleven kommer ihåg talen sämre. Tester på tid kan även leda till matematikängslan som kan bli livslångt och få elever att välja bort matematiken trots att de har andra matematiska förmågor. Det finns även en missuppfattning om att duktiga elever i matematik är snabba i huvudräkning, vilket kan leda till att långsamma elever med hög matematisk förmåga kan tro att de inte är bra på matematik. Talfakta är en mycket liten del av matematiken, men de som inte kan plocka fram talfakta snabbt kan tro att de inte kan lyckas med matematik (Boaler, 2015). 3.5.6 Räkneflyt Räkneflyt kan ses som matematikens motsvarighet till läsflyt. Läsflyt innebär att eleven har automatiserad avkodning så att läsningen går snabbt och felfritt (Lundberg & Herrlin, 2007). Räkneflyt är en följd av automatiserad tabellkunskap. Det räcker inte med att eleven förstår hur de ska tänka vid uträkningar i addition och subtraktion utan tabellerna behöver vara automatiserade för att kunna räkna med flyt (Bentley & Bentley, 2011). Baroody et al. (2009) menar att flyt föregås av de tre faserna räknestrategier, tankestrategier och producera svaret. Elever som har svårt att lösa grundläggande huvudräkningsuppgifter i addition och subtraktion på 10 till 15 sekunder, har inte automatiserat kunskaperna. När elever befäst sina minneskunskaper bör de kunna svara på 2 till 3 sekunder (McIntosh, 2009). Enkla operationer som 8+7 bör befästas i långtidsminnet, annars kommer liknande räkneoperationer överbelasta arbetsminnet vid problemlösning (Lundberg & Sterner, 2012). Löwing & Kilborn (2012) menar att den stora satsningen på förståelse utan färdighet är den viktigaste förklaringen till att eleverna saknar flyt i sitt räknande. Följderna av denna brist på flyt ser de som den största förklaringen till de problem i matematik som idag kan iakttas på högstadiet och gymnasiet. 3.5.7 Huvudräkningsstrategier Det är av betydelse att bygga på elevens tidigare kunskap och utgå från deras egna strategier och utveckla dem (Anghileri, 2012; Baroody et al, 2009; Chinn & Ashcroft, 2008; Kilpatrick et al, 2001; McIntosh, 2009). Att lyssna på eleven, använda ett språk som eleven förstår och ha tillgång till visuellt stöd. Ytterligare en aspekt är att pedagogen behöver fundera kring om den egna undervisningsmetoden är den bästa för 12

just den eleven. Undervisningen bör innehålla hur och varför det är på ett visst sätt och skapa en balans. Den bör utgå från samma grund och bygga upp en förståelse av varje process och begrepp (Chinn & Ashcroft, 2008). SUM-elever är inte hjälpta av mekanisk inlärning utan behöver enkla räknestrategier som en grund för mer avancerade uträkningar (Butterworth & Yeo, 2012; Chinn, 2012). Här presenteras exempel på huvudräkningsstrategier Huvudräkningsstrategi Uppåträkning eller nedåträkning med ett steg i taget: 0,1,2 eller 3 Kommentar Effektivt och säkert upp till tre steg, därefter uppstår lätt felräkningar. Mcintosh (2009) Löwing & Kilborn (2012) Tiokamrater Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), McIntosh (2009) Anghileri (2008), (Kilpatrick et al, 2001) Dubblor Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), McIntosh (2009), (Kilpatrick et al, 2001) Nära dubbelt Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), Mcintosh (2009) (Kilpatrick et al, 2001) Gå via 10. Mcintosh (2009), Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), (Kilpatrick et al, 2001) Göra om subtraktion till en addition Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), Mcintosh (2009), Anghileri (2008), (Kilpatrick et al, 2001) Kommutativitet De termer som tillsammans är 10. 9 + 1, 8 + 2, 7 + 3, 6+4, 5+5 5+5, 6+6, 7+7 En färdighet som barn utvecklar tidigt, oberoende av språk och kultur. 6+7, 8+9, 7+8. Om eleven behärskar dubblorna, utnyttjas dessa för att räkna ut nära dubbelt som är 1 eller 2 steg från en dubbla. 7 + 6 = 6 + 6 + 1 eller 7 + 6 = 7+7-1. När eleven kan tiokamraterna upp till tio och kan addera och subtrahera dessa, används kunskaperna till att addera och subtrahera tal över 10. 8 + 5 räknas då 8+ 2 =10, 10+3=13 15 6 räknas då 15 5 =10, 10-1= 9 Hur mycket är 16 9? Ändras till; Hur mycket behövs för att 9 ska bli 16? Förståelse för sambandet mellan räknesätten. 2 + 9 ändras till 9 + 2 Chinn (2012), Anghileri (2008), (Kilpatrick et al, 2001 Nära tal 9-8. Räkna ett steg framåt eller bakåt. Butterworth & Yeo (2012) När eleverna behärskar dessa strategier har de alltid minst ett sätt att räkna ut vilken som helst av de grundläggande kombinationerna i additions och subtraktion (McIntosh, 13

2009). Det är av stor betydelse med en god grund av faktakunskaper som ska förstås i en kontext och att kunna organisera kunskapen så att den kan användas för att utveckla förståelse för sambandet mellan räknesätten istället för att se beräkningarna som oberoende procedurer (Anghileri, 2008; Ma, 2010). Det är av vikt att visa uppgifter på olika sätt och inte bara ett standardsätt. Genom att eleven får diskutera olika strategier, lösningar och resultat utvecklas kunskap om den inbördes relationen mellan tal (Anghileri, 2008). Det är då av betydelse att arbeta med addition och subtraktion samtidigt för att eleverna ska upptäcka sambanden. En vanlig uppfattning är att subtraktion är svårare än addition. Det kan överbryggas genom att behandla båda räknesätten samtidigt (Chinn, 2012; Kilpatrick et al, 2001). Då bör uppgifterna skrivas som öppna utsagor, så att eleven utvecklar förståelse för att de hör ihop (Chinn & Ashcroft, 2008). 3.5.8 Kritiska aspekter i lärande av taluppfattning En del elever utvecklar endast några få elementära strategier i nybörjarundervisningen och håller sedan fast vid dessa. De lägger få talfakta i långtidsminnet och behöver fortfarande på högstadiet räkna på tallinjen med hjälp av fingrarna inom både små och stora talområden (Lundberg & Sterner, 2012). Elever måste känna valfrihet i hur de räknar ut en uppgift, så att de använder strategier som är befästa. Samtidigt är det betydelsefullt att uppmärksamma och stödja elever som fastnar i omständliga och icke utvecklingsbara strategier. Många elever använder endast metoden att räkna uppåt vid addition och räkna neråt vid subtraktion. Fingrarna används ofta vilket gör att det är lätt att tappa bort sig och är tidskrävande. Ett fel som kan uppstå vid ett steg i taget är att svaret blir ett för mycket eller ett för lite. Det kan bero på att eleven tappar bort sig eller räknar det tal som de utgår ifrån. Exempel: Hur mycket är 4+9? 4,5,6,7,8,9,10,11,12. Det är 12. Hur mycket är 13-6? 13,12,11,10,9,8. Det är 8 (McIntosh, 2009). Det kan även bli missförstånd när en elev använder tallinje och eleven räknar på talen och inte mellan talen (Anghileri, 2012) eller brist på uppmärksamhet om summan eller differensen är korrekt (Chinn, 2012). Vidare kan det bli missuppfattningar när strategin nästan dubblorna används. Vid uppgiften 7+8= kan strategin 7+7+1 eller 8+8-1 användas. Om eleven inte har förstått strategin kan den felaktigt användas 7+7-1 eller 8+8+1 (Baroody, et al., 2009). En kritisk aspekt är att de elever som riskerar att inte befästa de grundläggande talkombinationerna i de lägre åldrarna inte upptäcks. Därför är det av betydelse att eleverna får stöd tidigt, så att svårigheter senare i aritmetiken förebyggs (Baroody et al., 2009). Lärare måste vara medvetna om vilka missuppfattningar eleverna kan ha och hjälpa dem att rätta till dem. Missuppfattningar som lärare inte lyckas förhindra tidigt är mycket svårare att rätta till längre upp i årskurserna och kan bli ett hinder för vidare inlärning i matematik (Ojose, 2015). Boaler (2015) menar att elever som är lågpresterande inte är det på grund av att de inte kan, utan de har tidigt lärt sig metoder utantill, istället för att för att utveckla förståelse för att flexibelt hantera tal. Det är även av betydelse vilka sociomatematiska normer som råder i gruppen, alltså de sociala normer som är relaterade till matematik. Enligt Yackel & Cobb (1996) kan sociomatematiska normer innebära vad som räknas som en acceptabel matematisk förklaring och innehålla matematiska egenskaper hos lösningarnas likheter, skillnader, förfining, effektivitet och elegans. En social norm är exempelvis när ett problem diskuteras och elever förklarar och motiverar lösningar, medan en sociomatematisk 14

norm är när det diskuteras vad som räknas som en bra matematisk lösning på problemet. Vilka normer som råder beror både på läraren och gruppen, men det är lärarens matematiska kunskaper och värderingar som styr vilka normer som ska gälla. Ges det i undervisningen tillfällen att samtala, elev-elev eller elev- lärare, och analysera matematiskt innehåll eller är det mer fokus på en procedur med rätt svar. Om det är ett tillåtande klimat i gruppen kan missuppfattningar vara en bra utgångspunkt för lärarledda diskussioner om olika sätt att tänka kring en uppgift (Yackel & Cobb, 1996). 4. Teori I följande avsnitt presenteras de tre teorier som tillsammans bildat det begreppsliga ramverk som har varit grund i analysen. 4.1 Yttre och inre operationer Vygotskij (2010) har genom studier på 1920-talet funnit fyra grundläggande utvecklingsstadier när det gäller tankeoperationer hos barn: Det primitiva stadiet eller det så kallade naturliga stadiet, där tanken hos barnet uppstår i dess spontana tankeförlopp det vill säga uppträder i den form som den skapats. Nästa stadium är den naiva psykologins stadium som kopplas till den omedelbara erfarenheten ett barn har när det till exempel gäller de fysiska egenskaperna hos ett föremål, som objekt och verktyg. De påföljande stadierna är de yttre tecknens stadium och inåtväxandets stadium. Dessa två stadier kan kopplas till den aritmetiska utvecklingen där barnet först räknar på fingrarna vilket benämns yttre operationer. I det fjärde stadiet, inåtväxandets stadium använder barnet sig av det logiska minnet, gör inre operationer som ger ett inre samband vid till exempel huvudräkning (Vygotskij, 2010). Eftersom de två stadierna, det yttre tecknets stadium samt inåtväxandets stadium är de som kan kopplas till den aritmetiska utvecklingen är det dessa två stadier som används vid analysen i detta arbete. 4.2 Proximala utvecklingszonen Vygotskij (2010) såg ett samband mellan lärande och utveckling, där dessa två inte är åtskilda processer, utan att lärande banar väg för utveckling igenom den närmaste utvecklingszonen, som benämns som den proximala utvecklingszonen. Utvecklingszonen är inte en fast bestämd zon längs en utvecklingslinje utan kan ses som olika potentiella utvecklingsspår som kan aktiveras genom undervisning. Olika typer av undervisning kan på så sätt starta eller motverka olika lärande- och utvecklingsprocesser. För elever handlar det inte enbart om lärande utan också om utveckling. Inlärning måste rikta sig mot redan genomgångna utvecklingscykler och mot inlärningens lägsta tröskel. Den börjar alltid från det som inte ännu mognat hos barnet. Inlärning bör föra utvecklingen framåt. Pedagogiken bör inte orientera sig mot gårdagen i barnets utveckling utan mot morgondagen eftersom det är endast då inlärningsprocessen kan väcka till liv de utvecklingsprocesser som ligger inom den närmaste utvecklingszonen. Det är denna skillnad mellan ett barns intellektuella ålder eller den aktuella utvecklingsnivån som bestäms med hjälp av de uppgifter som ett barn 15

kan lösa på egen hand och den nivå som barnet kan uppnå tillsammans med andra som bestämmer den närmaste utvecklingszonen. Inlärning bör komma före utveckling eftersom inlärning väcker till liv och sätter igång de funktioner som befinner sig inom den närmaste utvecklingszonen (a.a). Om undervisningen faller utanför den närmaste utvecklingszonen är den resultatlös, oavsett om undervisningen är för lätt eller för svår. Det är bara mellan den lägsta och den högsta tröskeln som inlärning kan vara fruktbärande vilket är elevens närmaste utvecklingszon. I skolan lär sig inte eleven sådant som den redan kan göra på egen hand, utan sådant som eleven ännu inte kan, men som den har möjlighet att lära sig i samarbete med läraren. Det grundläggande för inlärning är att eleven lär sig något nytt. Därför är också den närmaste utvecklingszonen, som bestämmer detta område av möjliga övergångar som barnet kan göra, det viktigaste momentet mellan inlärning och utveckling. Det som på ett stadium vid en given ålder ligger inom den närmaste utvecklingszonen förverkligas och övergår till den aktuella utvecklingens nivå på ett efterföljande stadium. Det eleven idag kan göra i samarbete kommer det imorgon att kunna göra självständigt. Därför verkar det troligt att inlärning och utveckling i skolan står i samma relation till varandra som den närmaste utvecklingszonen och den aktuella utvecklingsnivån. Om skolundervisningen är sund krävs det i varje skolämne lite mera av eleven än vad eleven kan. Pedagogiken börjar alltid från det som ännu inte mognat hos eleven. Endast då kan inlärningsprocessen väcka liv i utvecklingsprocesserna som ligger inom den närmaste utvecklingszonen. Inlärningen är alltså bara bra när den kommer före utvecklingen. Då väcker den till liv och stimulerar en hel rad funktioner som befinner sig på ett mognadsstadium och ligger inom den närmaste utvecklingszonen. Det är inlärningens viktigaste roll för utveckling. Undervisningen får inte vara för svår eller för lätt, då hamnar man utanför zonen (Vygotskij, 2010). 4.3 Matematisk kompetens Det finns olika beskrivningar av vad matematisk kompetens är. En beskrivning är utifrån Niss, (2002) som beskriver åtta sammanflätade delar som tillsammans bildar matematiskt kompetens. Delarna är tankegångskompetens, problembehandlingskompetens, modelleringskompetens, resonemangskompetens, representationskompetens, symbol- och formalismkompetens, kommunikationskompetens och hjälpmedelskompetens (a.a). En annan beskrivning, som också är den vi valt att använda i vår studie är Kilpatrick et al. (2001) som beskriver fem inbördes beroende sammanflätade delar som bildar matematisk kompetens. Anledningen till valet av Kilpatrick et al. (2001) är att alla delarna kunde appliceras på vår analys, vilket inte hade varit fallet om vi använt Niss (2002) beskrivning. Kilpatrick et al. (2001) beskriver fem inbördes beroende sammanflätade delar som tillsammans bildar Mathematical profiency, fritt översatt till Matematisk kompetens, vilket är det begrepp som används i denna studie. De fem delarna är sammanvävda och ömsesidigt beroende av varandra i utvecklingen av matematiska kunskaper. Kilpatrick et al. (2001) har visualiserat det genom att alla delarna tillsammans bildar en fläta. De menar att för att få en djup förståelse krävs att eleven kan koppla ihop de olika delarna i flätan och använda för att lösa matematiska problem. De fem delarna är: Begreppslig förståelse, Procedurellt flyt, Strategisk kompetens, Adaptivt resonemang och Produktivt syn- och förhållningssätt. 16

Begreppslig förståelse innebär att inlärning av kunskap ska bygga på förståelse och utvecklas till en grund där ny kunskap kan tillägnas. Kunskaperna ska vara väl förtrogna, lätt plockas fram ur minnet och kunna användas flexibelt. Det kan vara att kunna använda olika matematiska representationer, metoder, begrepp och procedurer med förståelse för olika samband och veta när de bäst kan användas. Begreppslig förståelse ger eleven självförtroende och en bas för att utveckla nya nivåer av förståelse (Kilpatrick et al., 2001). Procedurellt flyt avser kunskap om procedurer, kunskap om, när och hur procedurerna används på rätt sätt, och skicklighet i att utföra dem på ett flexibelt, noggrant och effektivt sätt. Det stödjer även en analys av likheter och skillnader mellan beräkningsmetoder. Metoder som kan vara skriftlig räkning, huvudräkning, räkning med tekniska hjälpmedel och konkret material. Elever bör bli säkra på beräkning av enkla heltal i de fyra räknesätten utan hjälpmedel på ett effektivt, flexibelt och säkert sätt och ha kunskap om vägar för att uppskatta om svaret är rätt. Elever bör få insikt i matematiska mönster och hur enkla tal kan generaliseras till högre tal. Det är viktigt att beräkningsprocedurerna blir effektiva, används rätt och att uträkningen blir korrekt. Det kan tränas, vilket gör att elever kan uppnå flyt i räknandet. Elever bör även kunna använda procedurer flexibelt, vilket innebär att det behövs flera olika huvudräkningsstrategier för att talen ska lösas så enkelt som möjligt. Procedurer bör läras in med förståelse och inte endast utantill för att eleven ska kunna generalisera och använda dem till uträkning av större tal. Om inte flyt utvecklas får elever svårt att fördjupa förståelsen av matematiken och att lösa matematiska problem. Därför behöver elever tid för träning i att befästa dessa kunskaper och kunna tillägna sig de andra delarna av matematisk kompetens. Om elever har använt olämpliga procedurer i flera år, kan inlärning som betonar förståelse vara mindre effektiv. När elever lär nya och bättre sätt att beräkna, lämnas de gamla inte helt förrän nya är befästa. För detta behövs det tid. Därför gör tidig inlärning med förståelse lärandet mer effektivt. Vidare bör procedurerna kopplas till verkliga problem, för att inte bara vara något som görs i skolan på matematiklektionerna (Kilpatrick et al., 2001). Strategisk kompentens innebär att eleven utvecklar strategier för att lösa icke rutinmässiga problem, vilket bygger på förståelse av problemets innehåll samt kunskap i att lösa rutinmässiga problem. Elever tränar oftast tillrättalagda problem i skolan, vilket gör att det blir svårt att lösa vardagliga problem utanför skolan. Eleverna behöver träna både på att formulera egna problem som att lösa problem. De behöver en variation av lösningsstrategier, såväl som att kunna komma fram till vilken strategi som ska användas för ett specifikt problem. Det är stödjande förbindelser mellan strategisk kompetens, begreppslig förståelse och procedurellt flyt. Eleven måste förstå problemet och ha ett flyt i beräknandet. Strategisk kompetens ingår i varje steg i att utveckla flyt i en beräkning. Först kanske eleven behöver konkret material, för att sedan lära sig att ersätta med mer kortfattade och effektiva beräkningar än de som tidigare varit till hjälp för att förstå. Elever utvecklar sitt räkneflyt när de använder strategisk kompetens för att välja bland effektiva beräkningar. De lär sig också att lösa utmanande problem genom att de kan lösa procedurer lätt och att erfarenhet av problemlösning hjälper dem att skaffa nya begrepp och färdigheter (Kilpatrick et al., 2001). Adaptivt resonemang - är ledstjärnan för lärandet och det som håller ihop delarna. Det hänvisar till förmågan att tänka logiskt och resonera om relationerna mellan begrepp. Det används vid navigering genom fakta, procedurer, begrepp och lösningar för att se att allt håller ihop. Adaptivt resonemang innefattar inte bara informella förklaringar och motiveringar, utan också resonemang som bygger på mönster och metaforer. Elever kan 17

visa resonemangförmåga när tre villkor är uppfyllda. När de har en tillräcklig kunskapsbas, när uppgiften är förståelig och motiverande, när sammanhanget är bekant och bekvämt. Med hjälp av olika representationer kan även yngre elever visa avancerade resonerande förmågor (Kilpatrick et al., 2001). Produktivt syn- och förhållningssätt innebär en strävan att se mening i matematiken, uppfatta det som både givande och nyttigt, att tro på att ansträngning att lära matematik lönar sig och att tro på sig själv som matematiskt kunnig. Detta kräver att elever ofta får möjlighet att uppleva fördelarna med att vara uthållig. Denna del utvecklas parallellt med de andra delarna i flätan och är stödjande i utvecklingen. Om elever har tilltro till sin förmåga att kunna matematik och använder det för att lösa problem kommer deras förmåga att utveckla procedurellt flyt och adaptivt resonemang öka. Klassrumsnormer är här av betydelse. Om elever känner sig trygga och vågar dela med sig av sina tankar ökar chansen för utveckling (Kilpatrick et al., 2001). Det är en utmaning för lärare i alla stadier att se till att alla elever utvecklar kunskaper i samtliga delar i flätan och inte bara i en eller två. För att utveckla matematisk kompetens måste elever få tid att lösa problem, resonera, utveckla förståelse, färdighetsträna och att utveckla ny kunskap utifrån sina förkunskaper (Kilpatrick et al., 2001). 5. Metod Forskningsansatsen vi har valt är kvalitativ och i form av en interventionsstudie, med fokus på huvudräkning. En interventionsstudie kan karaktäriseras av att innefatta tre olika delar: intensiv, specifik och individualiserad (Fälth, 2013). Undervisningen har utgått från varje elev, där hänsyn tagits till elevens förkunskaper och användbara strategier. Syftet med interventionsstudien är att undersöka hur räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion kan utvecklas för elever i SUM genom strukturerad intensivundervisning utifrån Wendick-modellen. En anledning till det valda talområdet är att elever i SUM på låg- och mellanstadiet ofta visar svårigheter med just det talområdet. En annan anledning är Skolverkets, (2011) kunskapskrav för årskurs 3, där eleverna ska kunna använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten inom talområdet 0-20. 5.1 Urval Utgångspunkten för studien var genomförandet av Skolverkets Diamantdiagnos AG3 (Bilaga B), som testar addition och subtraktion i talområdet 11-20. Diagnosen gjordes i helklass i tre årskurser varav en klass i årskurs 4, en klass i årskurs 5 och två klasser i årskurs 7 i två olika kommuner. De elever med färst antal rätt på diagnosen var de som tillfrågades om deltagande i studien. De två elever i årskurs 7 som valdes ut var tidigare kända av en av författarna. De tre elever i åk 4 valdes ut i samråd med elevernas mentor. Samtliga elever i studien bedömdes av sina mentorer att vara i svårigheter inom detta specifika område. Därefter lämnades ett missivbrev (bilaga C) ut med information och godkännande till föräldrar och elever. 18

5.2 Tillvägagångsätt Studien inleddes med enskilda elevintervjuer (bilaga D) med syfte att undersöka vilka huvudräkningsstrategier eleverna använde före studien. Även AG1 (bilaga E), som testar talområdet 0-10 i addition och subtraktion genomfördes för att få veta om eleverna befäst det talområdet. Intervjuerna utgjorde en grund för vilka strategier som sedan användes i studien. En av oss arbetade med eleverna i årskurs 4 och den andra med eleverna i årskurs 7. Eftersom en av oss var ny för eleverna användes en stund innan intervjun till att lära känna varandra. Materialet och arbetsgång för lektionerna presenterades också för eleverna. Dagen efter påbörjades undervisning av huvudräkningsstrategierna och arbetet med Wendick-modellen. Huvudräkningsstrategierna som presenterades var Uppåträkning eller nedåträkning med ett steg i taget: 0,1,2 och 3, Tiokamrater, Dubblor, Nära dubbelt, Gå via 10, Göra om subtraktion till en addition, Kommutativitet och Nära tal. Studien genomfördes som en till en undervisning under 5 veckor, cirka 20 minuter vid 3-5 tillfällen per vecka. Eleverna i årskurs 4 hade 19 tillfällen planerade, varav 2 användes till intervjuer. Eleverna var sjuka vid några dagar så till slut blev det mellan 17-18 tillfällen. Eleverna i årskurs 7 hade 20 tillfällen inplanerade. Det blev 17 respektive 19 träffar varav 2 tillfällen användes för intervjuer före och efter studien. Efter varje lektionstillfälle fördes loggbok där det dokumenterades vad vi arbetat med, hur det hade gått och elevoch lärarreflektioner. Studien avslutades med att eleverna enskilt åter gjorde diamantdiagnosen AG3 med påföljande intervju (bilaga F). Nedan presenteras arbetsgången närmare. 5.3 Arbetsgång för arbetet med eleverna Undervisningen genomfördes i samtal mellan elev och lärare om tals uppbyggnad, sambandet mellan räknesätten, procedurer, olika huvudräkningsstrategier och när de bäst kan användas (Kilpatrick et al., 2001; Lundberg & Sterner, 2009). Anghilieri (2008) och McIntosh (2009) menar att det är av betydelse att utgå från elevernas strategier, i de fall de är utvecklingsbara. Eleverna får då omedelbar bekräftelse och korrigering av felaktiga strategier (Lundberg & Sterner, 2009). Studien utgick från elevernas hållbara strategier som vidareutvecklades, och nya strategier presenterades efter hand. Det gjordes även Diamantdiagnosen AG1, som innehåller talområdet 0-10, eftersom det är en förutsättning att elever har automatiserat det talområdet för att jobba vidare med talområdet 11-20, (Wendick & Klackenmo, 2014). I Wendickmodellen betonas även vikten av att lära elever olika huvudräkningsstrategier innan färdighetsträningen påbörjas. Eftersom Wendick-modellen inte innehåller strategier utan endast är ett färdighetsträningsmaterial valdes ett antal strategier att undervisa om. Arbetsgången utgick från inlärning av ett tal i taget med talen 11-20. Eftersom det rådde osäkerhet om hur väl abstraherade talen var för eleverna i studien fanns det tillgång till konkret material i form av klossar, tärningsbilder och tallinje. När vi introducerade ett nytt tal fick eleverna dela upp talet på olika sätt med hjälp av klossar och fylla i triader se fig.1. Triaderna användes för att dela upp talet i alla möjliga kombinationer (bilaga D) och tydliggöra sambandet mellan räknesätten (Butterworth & Yeo, 2012; Löwing & Kilborn, 2012). Anghileri (2012) och McIntosh (2009) betonar vikten av att elever inte fastnar i användande av konkret material, utan att det används för att stödja utvecklingen från det konkreta till det abstrakta. För att variera träningen användes kortspel och spel på dator eller lärplatta, vilket är ett effektivt sätt att 19