Föreläsning 7 FK2002

Föreläsning 7 FK2002

Föreläsning 7 Binomialfördelning Poissonfördelning Att testa en hypotes

Binomialfördelningen Betrakta ett experiment som består av n försök varav ν är lyckade försök. Mätningar har diskreta värden (lyckade, inte lyckade). T.ex. att kasta en tärning, att flippa ett mynt. Det finns en viss sannolikhet p att ett vi får ett lyckat försök 1 1 t.ex. vi kasta en "tre" ( p = ), vi får klave inte krona ( p = ) 6 2 q=sannolikheten att vi inte får ett lycket försök =1- p Vad är sannolikheten att få ν lyckade försök i n försök? n! ν P( n, ν ) = Bn, p ( ν ) = p q ν!( n ν )! B binomial n ν

Fråga Man drar ett kort från en kortlek och tittar på det. Sedan lägger man tillbaka kortet. Man gör detta fyra gånger. Vad är sannolikheten att dra minst tre hjärter? n! ν n ν 1 3 P = p q ; n = 4, p =, q = ν!( n ν )! 4 4 3 1 4! 1 3 sannolikheten att få 3 hjärter: ν = 3 P = = 0.05 = 5% 3!1! 4 4 4 0 4! 1 3 sannolikheten att få 4 hjärter: ν = 4 P = = 0.004 = 0.4% 4!0! 4 4 sannolikheten att få minst 3 hjärter=5+0.4=5.4%

Egenskaper av en binomialfördelning (1) Betrakta en binomialfördelning B ν för ett ( ) ( ) n, p X, σ ( ν X ) 2 2σ 2 n, p ( ) visst värde av p. Om n är stor (>~20) blir binomialfördelningen normalfördelningen B G X = ν G ν normalfunktion= Ae =medelvärdet, σ = standardavvikelsen, A=konstant (2) Standardavvikelsen av antalet lyckade försök: σ ν = np(1 p)

En jämförelse mellan en binomial-och Normalfördelningen normalfördelning Binomialfördelningen När nblir stor blir Normalfördelning ~ binomialfördelning

Att testa en hypotes En vaxtillverkare vill testa en ny typ av vax som används mellan en skid och marken. Hur kan han/hon bestämma om vaxet fungerar. En allmänn princip för att utföra ett statistiskt test: (1) Uppskatta sannolikheten att resultatet av testet är konsekvent med den s.k. nollhypotesen dvs att vaxet inte fungerar. (2) Om sannolikheten är mindre än en sannolikhetsgräns (t.ex. 5%) säger vi att det finns starka bevis för att vaxet fungerar.

Att testa vaxet Betrakta ett test som består av 10 skidlopp. Nollhypotesen innebär att sannolikheten att en 1 behandlad skid skulle vinna: p =. 2 Sannolikheten att de behandlade skidorna skulle vinna ν skidlopp 10 10! 1 P = B 10, 1 ( ν ) = 2 ν!(10 ν )! 2 Sannolikheten att de behandlade skidorna skulle vinna 10 skidlopp 10! 1 P = B 10, 1 (10) = = 0.1%. 2 10!(10 10)! 2 10

Sannolikheten att de behandlade skidorna skulle vinna minst 8 skidlopp P = B (8) + B (9) + B (10) 10, 1 10, 1 10, 1 2 2 2 10 10 10 10! 1 10! 1 10! 1 = + + = 5.5% 8!(10 8)! 2 9!(10 9)! 2 10!(10 10)! 2 Tillverkaren kan kvantifiera hur framgångsrikt sitt vax är!

Ett annat exempel Två kandidater deltar i ett val. Kandidat-1 påstår att sin opinionsundersökning visar att 60% av väljare ska rösta på honom. Kandidat-2 vill kolla detta påstående. Hon gör sin egen opinionsundersökning. Hon frågor 600 väljare som slumpmässigt valdes ut. Om 330 väljare säger att de ska rösta på kandidat-1 är detta konskevent med hans påstående?

Sannolikheten att ν väljare ska rösta på kandidat 1 = P B n, p ( ν ) Detta exempel handlar om en binomialfördelning med en stor n (600) normalfördelning binomialfördelning. Medelvärdet av X = 600 0.6 = 360 Standardavvikelsen σ = np(1 p) = 600 0.6(1 0.6) = 12 360 330 = 30 = 2.5σ

Använd tabellen: Vi behöver arean under fördelningen för ν < X 2.5 σ. Andelen av arean=1-0.99 0.01 Sannolikheten 1% Det är väldigt osannolikt att kandidat-1 har rätt.

Poissonfördelning Sannolikheten att ett antal oberoende händelser t.ex. radioaktiva sönderfall äger rum inom ett visst tidsintervall eller inom en viss volym. Poissonfördelningen: ν µ µ Pµ ( ν ) = e ν! µ = medelvärdet av antalet händelser ; ν = antalet händelser. Standardavvikelser = µ. Obs! En Binomialfördelning Poissonfördelning när sannolikheten p av en händelse är liten och antalet prov är 20 stort. T.ex. ett radioaktivt prov består av 10 kärnor och sannolikheten att en av dem ska sönderfalla inom ett visst 20 intervall är 10.

Radioaktivt sönderfall Ett radioaktivt prov emitterar alfapartiklar : 2 alfapartiklar per minut. (a) Om antalet alfapartiklar som emitteras inom två minuter räknas vad är det förväntade resultatet för medelvärdet? (b) Vad är sannolikheten att ett experiment skulle finna att antalet alfapartiklar =medelvärdet? (c) Vad är sannolikheten för att observera ν alfapartiklar om ν = 0,1, 2,3, 4 och för ν 5?

(a) Det förväntade resultatet : medelvärdet µ = 2 x 2 =4 Sannolikheten att få ν partiklar: Prob( ν partiklar)= P 4 ν ( ) = 4 e 4 ν! ν

(b) Sannolikheten att få ν partiklar: 4 ν e 4 Prob( ν partiklar)= P ( ) 4 ν = ν! 4 4 e 4 Prob(4 partiklar)= = 0.20 4! 4 0 4 1 e 4 e 4 (c) Prob(0)= = 0.02 ; Prob(1)= = 0.07 ; 0! 1! 4 2 4 3 e 4 e 4 Prob(2)= = 0.15 ; Prob(3)= = 0.20 2! 3! 4 5 4 6 4 7 e 4 e 4 e 4 Prob( ν 5)= + + +... = 0.37 5! 6! 7!

Poissonfördelningar Varje kärna har en viss sannolikhet att sönderfalla inom ett tvåminutesintervall Poissonfördelningar är diskreta och osymmetriska (för µ< 5)

Ett exempel till 18 hönor bor i ett hönshus. Varje höna i hönshuset lägger ett ägg om dagen i genomsnitt. (a)om jag kollar hönorna varje timme och tar bort ägg som jag hittar vad är medelvärdet av antalet ägg som jag hittar när jag besöker hönshuset? (b) Vad är sannolikheten att jag skulle hitta 0,1,2,3 eller fler än 3 ägg.

(a) Medelvärdet av antalet ägg jag skulle förvänta mig att hitta varje timme: 1 µ = 18 = 0.75 24 0.75 0 e 0.75 (b) Prob(0 ägg)= P0.75 ( 0) = = 0.47 0! 0.75 1 e 0.75 Prob(1 ägg)= P0.75 ( 1 ) = =0.35 1! 0.75 2 e 0.75 Prob(2 ägg)= P0.75 ( 2 ) = =0.13 2! 0.75 3 e 0.75 Prob(3 ägg)= P0.75 ( 3 ) = =0.03 3! 0.75 4 0.75 5 e 0.75 e 0.75 Prob( 4 ägg)= + +...=0.007 4! 5!

i= 1 Standardavvikelse Standardavvikelsen av en Poissonfördelning med medelvärdet µ N 1 σ = ( ν ) 2 i µ = µ N 1 Man tolkar σ som ett fel i en individuell mätning. T.ex. om man mäter N radioaktivt sönderfall inom ett visst tidsintervall är mätningen: N ± N. Det är lättare att göra en kvantitativ tolkning av hur N kan betraktas som ett fel i en mätning när µ blir stor (nästa sidan).

Poisson-och normalfördelningar P ν 9 ( ) Normal: X = 9, σ =3 Poisson: µ =9 När µ blir stor (> ~5) ν Poissonfördelning = Normalfördelning ( ) ( ) P ν = G ν där X = µ och σ = µ µ X, σ Detta betyder att vi kan använda normalfördelningen för att tolka osäkerheter. T.ex. en 68% sannolikhet att en mätning ligger mellan µ - σ < µ < µ + σ.

Ett exempel Student A påstår att han har gjort en mätning av medelvärdet av kosmisk strålning dvs partiklar som träffar en detektor inom ett visst tidsintervall. Han har hittat i genomsnitt 9 partiklar per minut med en försummbart osäkerhet. (a) Student B räknar antalet partiklar inom en minut. Hon mäter 12 partiklar. Är hennes mätningar konsekvent med student As resultat? (b) Student C räknar 115 partiklar inom 10 minuter. Är student Cs mätningar konsekvent med student As resultat?

(a) Mätningen av medelvärdet (av student A) ger 9 partiklar per minut. Vi antar att osäkerheten är försummbar. Om student As resultat är korrekt: Felet i en individuell mätningen = 9 = 3 Student Bs mätning : P ν 9 12 ± 3 partiklar inom en minut. Konsekvent med student A. ( ) Det korrekta värdet av student A Student Bs värde ν

(c) Student A s medelvärde över ett intervall av 10 minuter: µ =10 9 = 90 Felet i en individuell mätning över 10 minuter σ = 90 10. Student C mäter 115 ± 10. Det är en stor skillnad (2. 5 σ ). Sannolikheten att göra en mätning större än µ +2.5σ 1 0.99 0.01 Det är väldigt osannolikt att mätningarna är konsekventa.

Radioaktiva sönderfall med bakgrund En student undersöker ett radioaktivt prov. Han mäter 2540 sönderfall inom 10 minuter. Han tar bort provet och mäter 95 sönderfall inom 3 minuter. Vad är antalet sönderfall per minut från provet? Signal + bakgrund inom 10 minuter =2540 ± 2540 2540 ± 2540 Signal + bakgrund per minut = = 254 ± 5 10 Bakgrund inom 3 minuter =95 ± 95 95 ± 95 Bakgrund per minut = = 32 ± 3 3 Antalet sönderfall per minut = ( 254 ± 5) ( 3 ) 2 ± 3 = 222 ± 6

Normal-, Binomial- och Poissonfördelningar Fördelningen Funktion Standardevvikel se (eller felet i en individuell mätning ) När uppstår denna fördelning? Normal Binomial Poisson G= Ae B n, p P ( ν ) µ ( ν X ) 2 2σ 2 n! ν = p q ν!( n ν )! ( ν ) n ν σ np(1 p) ν µ µ = e µ ν! En viss mätning ν kan ha kontinuerliga värdenoch det finns att antal olika mätfel som förklarar varför mätningen inte har medelvärdet. Två möjliga diskreta värden (t.ex. krona,klave). Vi vill beräkna sannolikheten att få t.ex. ν kronor efter n prov om sannolikheten att få ett lyckat försök är p. Två möjliga diskreta värden (t.ex. en kärna sönderfäller eller sönderfäller inte) eller. Vi vill beräkna sannolikheten att få t.ex. ν sönderfallna kärnor om medelvärdet är µ. En Binomial -> Poissonfördelning när p är lite n och när stor.

Bn, p ν ( ) n=3 Binomalfördelning P ( ) µ ν n p blir stor blir liten. µ blir stor Normalfördelning P ν 9 ( ) Poissonfördelning ν ν

2006 En gammal tentafråga

2005 En gammal tentafråga

0 1 2 3 4 5 6 7

Tentan Om ett ämne är i boken men dök inte upp på föreläsningarna kommer det inte att dyka upp på tentan. På webben: Gamla tentafrågor Räkneövning: 2011/12/6 en fullständig gammal tenta. Kan anordna en extra räkneövning om detta behövs. Lycka till!

Sammanfattning Binomialfördelningen är en speciell funktion som tillämpas för diskreta yes/no mätningar Poissonfördelningen är en gränsfunktion av binomialfördelningen Både fördelningar blir normalfördelningar under vissa förhållanden. Med tanken på den lämpligaste fördelningen kan man göra hypotestester.