Statistisk försöksplanering och kvalitetsstyrning Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Tentamen 4I2B KINAF4, KINAR4, KINLO4, KMASK4 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 28 oktober 206 Tid: 9.00-3:00 Hjälpmedel: Miniräknare med tömda minnen, Linjal Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: För betyget 5 krävs 40p För betyget 4 krävs 30 p För betyget 3 krävs 20 p Allmänna anvisningar: Nästkommande tentamenstillfälle: 5 januari 207 Rättningstiden är i normalfall 5 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Sara Lorén Telefonnummer: 03-435 4622, 07636487
Fråga (4p) a) Vad innebär det att en process är i statistik jämvikt? Vad skiljer den från en process som inte är i statistisk jämvikt? (p) b) Beskriv skillnaden mellan fas och fas 2 inom statistisk processtyrning (p) c) Förklara vad ARL är för något i samband med statistisk processtyrning. (p) d) Vad är problemet med ARL om man ser till den praktiska betydelsen. (p) Fråga 2 (6p) a) Vad vinner man när man gör reducerade faktorförsök istället för fullständiga faktorförsök? Vad förlorar man? (p) b) Ge ett exempel när man ska använda blockning inom försöksplanering. (p) c) Fullständiga faktorförsök kan man skriva på följande sätt 4 3. Hur många faktorer har detta försök? Hur många nivåer har varje faktor? (p) d) Vad är en outliers och hur kan man upptäcka en outliers? (p) e) Beskriv kortfattad vad statistik försöksplanering är för något. (p) f) Beskriv vad man menar med en effekt inom faktorförsök. (p)
Fråga 3 (3p) För att undersöka hur tre faktorer påverkade längden på en produkt gjordes ett fullständigt faktorförsök med tre replikat. För varje faktor användes två nivåer. I tabell finns resultatet av försöket. Summan av alla observationer är 5972. 5972. Summan av varje observation i kvadrat är 55630.4 55630.4. Tabell : Data till fråga 3 Kodad faktor Repplikat A B C 2 3 Total () 292. 294. 299.3 885.5 a + 250.9 257.5 255.2 763.6 b + 88.4 93.0 95.4 576.8 ab + + 249.6 262.2 259.2 77.0 c + 283.8 288. 286.7 858.6 ac + + 243. 246.6 237.7 727.4 bc + + 202.0 90.9 200.6 593.5 abc + + + 266.8 265.4 263.5 795.7 a) Skatta huvudeffekterna och samspelseffekterna. (2p) b) Rita en samspelgraf för det största samspelet. Ge även en tolkning av grafen. (2p) c) Skatta vilka effekter som är signifikanta på signifikansnivån 0.05 med hjälp av en ANOVA. (4p) d) Skriv ner den skattade regressionsmodellen baserat på dina signifikanta effekter i c) (p) e) Beräkna residualerna för körningen ac (p) f) Användandet av ANOVA bygger på vissa förutsättningar vilka? Nämn minst två stycken. (p) g) Figur visar en normalfördelningsgraf över residualerna i uppgiften. Vilken slutsats kan man dra från figur? (p) h) Figur 2 visar residualerna mot motsvarande predikterade värden. Vilken slutsats kan man dra från figur 2? (p) 2
Normal Probability Plot (response is y) 99 95 90 80 70 Percent 60 50 40 30 20 0 5-0 -5 0 5 0 Residual Figur : Normalfördelningsgraf för residualerna från försöket i fråga 3. Versus Fits (response is y) 5.0 2.5 Residual 0.0-2.5-5.0-7.5 200 220 240 260 280 300 Fitted Value Figur 2: Residualerna från försöket i fråga 3 mot predikterat värde. 3
Fråga 4 (9p) Vid en produktion fylls flaskor med en vätska. Man är intresserad av volymen i varje flaska. Man tog ut 5 stickprov alla av storleken 8 och mätte volymen av innehållet i varje flaska. Data från undersökningen finns i tabell2. I tabell 3 finns medelvärde och standardavvikelse för varje stickprov beräknad. Du kan anta att datat är normalfördelad. Tabell 2: Data till fråga 4 Stickprovnummer x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 75.6 75.3 77.4 76.7 74. 75.3 76. 72.4 2 76.0 77.3 75.3 74.5 74.7 78.7 74.5 72.2 3 72. 74.5 73.7 74.0 75. 75.7 76.3 75.9 4 73.0 77.6 72. 74.4 74.9 78.7 76.2 78.0 5 74.2 76.0 75.4 72.9 76.3 73.6 70.7 74.4 Tabell 3: Medelvärde och standardavvikelse för varje stickprov i tabell2. Stickprovnummer 75.4.6 2 75.4 2.0 3 74.7.4 4 75.6 2.4 5 74.2.8 a) Konstruera lämpliga styrdiagram för data i Tabell 2. Är vi i statistik jämvikt? (rita även diagrammen). Vilka styrgränser skall man använda processen för att styra produktionen i framtiden? (4p) b) Skatta den potentiella kapabiliteten om specifikationsgränserna för volymen är 76 2. Är den potentiella kapabiliteten bra eller dålig? (2p) c) Specifikationsgränserna för volymen är 76 2. Vad är sannolikheten att en slumpvis utvald falska innehåller för lite? (p) d) Antag att processens väntevärde ändras till 73. Vad är sannolikheten att upptäcka denna förändring i nästa stickprov? (Du kan anta att processens standardavvikelse ej ändras) (2p) 4
Fråga 5 (5p) Man gjorde en undersökning för att bla skatta gaugens repeterbarhet och reproducerbarhet. I tabell 4 finns en ANOVA från resultatet av försöket. Tabell 4: ANOVA tabell för fråga 5 ANOVA Variationskälla SS fg MS Operatör 40 3 46.67 Produkt 2400 9 26.32 Samspel 45 57 2.54 Error 50 60 0.94 Totalt 2835 239 a) Skatta repeterbarheten. (p) b) Skatta reproducerbarheten (p) c) Skatta den totala variationen. (2p) d) Specifikationsgränserna på produkten är 60 0. Är gaugens kapabilitet bra eller dålig? Motivera ditt svar. (p) Fråga 6 (3p) Vid lackering av plåtar har man problem med att det blev färgavvikelser. Man bestämmer sig för att göra ett styrdiagram för att kunna starta ett förbättringsarbete. Man tar slumpmässigt ut 0 plåtar av storleken 2 m 2 från produktionen. För varje plåt räknade man antal färgavvikelser resultatet finns i tabell 5 Tabell 5: Data till fråga 6 Plåt Nr 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Antal avvikelser 3 2 4 4 4 0 5 5 a) Vilket styrdiagram ska man använda? Vilken fördelning bygger detta diagram på? (p) b) Beräkna styrgränserna för ett lämpligt styrdiagram för datat i tabell 6. (2p) 5
Fråga 7 (6p) Ett experiment utfördes för att undersöka skevheten på kopparplåtar. De två faktorer man undersökte var temperaturen och mängden koppar i plåtarna. Responsvariabeln var ett mått på skevheten och finns angiven för de olika kombinationerna av temperatur och kopparmängd i tabell 6. Man gjorde två stycken replikat av varje försök. En ANOVA beräknades och finns i tabell 7. Tabell 6: Data till fråga 7 Koppar innehåll (%) Temp 40 60 80 00 50 7 20 6 2 24 22 28 27 75 2 9 8 3 7 2 27 3 00 6 2 8 2 25 23 30 23 25 2 7 23 2 23 22 29 3 Tabell 7: ANOVA för data i tabell 6 Variationskälla SS df Ms F 0 Koppar 698.34 3 232.78 34.33 Temperatur 56.09 3 52.03 7.67 Samspel 3.78 9 2.64.86 Error 08.50 6 6.78 Total 076.72 3 a) Ange vilka huvudeffekter och samspelseffekter som är signifikanta på signifikansnivån =0.05. (2p) b) Gör två olika parvisa jämförelser för temperaturen. Är det skillnad i resultatet (skevheten) mellan temperatur 75 och 25? Är det skillnad i resultatet (skevheten) mellan temperatur 50 och 25? Använd signifikantnivån 0.05 för båda jämförelserna. (4p) 6
Fråga 8 (4) Figur 3 och 4 visar styrdiagram för två olika processer. Från varje process tog man ut ett stickprov i timmen under 20 timmar Det översta styrdiagrammet i varje figur är ett diagram och det understa i varje figur är ett diagram. a) Beskriv hur processens väntevärde och varians förändrat sig eller inte förändrat sig under tiden. För processen som tillhör figur 3. b) Beskriv hur processens väntevärde och varians förändrat sig eller inte förändrat sig under tiden. För processen som tillhör figur 4. 54 UCL=53.674 Sample Mean 52 50 48 _ X=50 46 3 5 7 9 Sample 3 5 7 9 LCL=46.326 20 Sample Range 5 0 5 UCL=5.23 _ R=7.60 0 LCL=0 3 5 7 9 3 5 7 9 Sample Figur 3: Styrdiagram för (överst) och styrdiagram för för fråga 8 a. 54 UCL=53.674 52 Sample Mean 50 48 _ X=50 46 3 5 7 9 Sample 3 5 7 9 LCL=46.326 6 UCL=5.23 Sample Range 2 8 4 _ R=7.60 0 LCL=0 3 5 7 9 3 5 7 9 Sample Figur 4: Styrdiagram för (överst) och styrdiagram för för fråga 8 b. 7
Kontinuerliga Fördelningar Normal f, Exponential, 0 Diskreta Fördelningar Binomial, 0,,, Hypergeometrisk, 0,,, min, Poission, 0,,.! Stickprovsvarians Sammanvägd (Poolad) stickprovsvarians 2 Konfidensintervall X stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och känd varians σ 2. Ett 00(-α)% tvåsidigt konfidensintervall för μ / / X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Ett 00(-α)% tvåsidigt konfidensintervall för μ,, X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Ett 00(-α)% tvåsidigt konfidensintervall för σ 2, Hypotestest X stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och känd varians σ 2 Test statistika för test av väntevärde, X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Test statistika för test av väntevärde X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Test statistika för test av varians Test av hypoteser på μ -μ 2 variansen känd, normalfördelade populationer Test av hypoteser på μ -μ 2 i normalfördelningen variansen okänd Test av lika varians för två oberoende normal fördelningar :, : Förkastnings kriterium,, 8
Gauge R & R,, och varianser,2,,,2,,,2,, är oberoende Normalfördelade variabler med väntevärde 0 och följande,, och ANOVA Variationskälla SS Df MS F 0 Faktor SS Faktor a- MS Faktor Error SSError a(n-) MS Error Total SS Total an-... Två vägs ANOVA Variationskälla SS Df MS F 0 A SS A a- B SS B b- Samspel SS AB (a-)(b-) Error SS E ab(n-) Total SS T abn-....... 9
Styrdiagram standard givna Diagram Centrum linje Styrgränser (μ och σ givna) μ μ ±A σ R (σ givet) d 2 σ UCL=D 2 σ, LCL=D σ s (σ givet) c 4 σ UCL=B 6 σ, LCL=B 5 σ Styrdiagram inga standarder givna Diagram Centrum linje Styrgränser (använderr) (använder s) R, s,,, Diagram Centrum linje Styrgränser Andel defekta Standard given 3 Andel defekta Ingen standard given Felaktigheter Standard given Felaktigheter Inga standard given Medelantalet Felaktigheter Standard given Medelantalet Felaktigheter Inga standard given 3 3 3 3 3 Kapabilitet, duglighet min, 0
Cumulative Standard Normal distribution
Cumulative Standard Normal distribution 2
Percentage Points of the t Distribution 3
Percentage Points of the F distribution F 0.05, v, v2 4
Percentage Points of the F distribution, F 0.025, v, v 5
Percentage Points of the F distribution, F 0.0, v, v2 6
Factors for constructing variables control charts 7