Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 38 Övningsprov.. i) P(:a äss och :a äss och 3:e äss och 4:e äss ) P(:a äss) P(:a äss :a äss) P(3:e äss :a och :a äss) antal P(4:a äss :a och :a och 3:e äss) 4 3 3,7 0 0 49 70 7 vitsord BMedelvärde 04 + 8 +... + 90 μ 8, 8, Standardavvikelse 0(48,) + 8(8,) +... + 9(08,) σ,389...,39 Vi kan också bestämma medelvärde och standardavvikelse direkt med räknare. ii) P (:a inte äss och :a inte äss och 3:e inte äss och 4:e inte äss) P(:a inte äss) P(:a inte äss :a inte äss) P(3:e inte äss :a och :a inte äss) P(4:e inte äss :a och :a och 3:e inte äss) 48 47 4 4 38 9 0,787 0,7 0 49 4 4
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 39 3. a) DISJUNKTA Alla bokstäver är olika och vi kan då permutera på 9! 3 880 olika sätt b) PARALLELLER P:s plats kan väljas på sätt. A:s platser kan väljas på 0 sätt. 8 R:s plaster kan välja på sätt. L:s platser kan väljas på sätt. 4 E:s platser kan väljas på sätt Enligt multiplikationsprincipen får vi 4. S0 Medelvärdet nu x. 0 Om betyget stiger med ett steg i fyra ämnen, får vi medeltalet S0 + 4 x 8,0 0 Vidare får vi S 0 8,0 0 4 7, Och då är S0 7 x 7, 0 0 Svar: Medelvärdet är 7, 0 8 07900 4
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 40. P(kiosken säljer våfflor med hallonsylt) P(H) 9 % P(kiosken säljer jättevåfflor) P(J) 9 % P(kiosken säljer våfflor med hallonsylt säljer jättevåfflor) P(H J) 40 % a) P(kiosken säljer jättevåfflor med hallonsylt) P(J och H) P(J) P(H J) 0,9 0,40 0, c) P(varken jättevåfflor eller hallonsylt) J ja H ) P(J eller H) 0,74 0,3 d) P(jättevåfflor men inte hallonsylt) P(J men inte H) se boken s. 00 P(J) P(J och H) 0,9 0, 0,74 b) P(jättevåfflor eller våfflor med hallonsylt) P(J tai H) P(J) + P(H) P(J och H) fall a 0,9 + 0,9 0, 0,74 e) P(hallonsylt men inte jättevåfflor) P(H men inte J) boken s. 00 P(H) P(H och J) fall a 0,9 0, 0,474
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 4. a) P (datorn upptagen) 0,9 P (datorn ledig) 0,9 0,0 P (eleven hittar genast en ledig dator) P (åtminstone en dator ledig) komplementregeln P (ingen dator ledig) P (alla datorer upptagna) oberoende 0,9 0,9... 0,9 st 0,9 0, b) 3 gula, röda och x gröna flaskor P (grön och grön) A E A P (. grön och :a grön) A E A P (. grön) P (. grön :a grön) A E A x x x+ 8 x+ 7 xx ( ) ( x+ 8)( x+ 7) xx ( ) ( x+ 8)( x+ 7) x x x 7x 8x 4x 0x 0 :4 x + + + x 4 0 ± ( ) 4 ( 4) x ± 9 x x 7 tai x x x 7 Svar: 7 flaskor var gröna
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 4 0BAlternativ Vi tar först en flaska och sedan en flaska till. Utfallen är då följder med flaskor. P ( gröna) A E A -permutationer x ( x ) A E ( x+ 8) ( x+ 7) Fortsättningen som i alt.. x ( x ) ( x )! ( x )! Fortsättningen som i. 7. ( x + )! ( x+ 8) ( x+ 7) ( x+ )! x ( x ) ( x+ 8) ( x+ 7) A E A E A BAlternativ 3 Vi tar flaskor samtidigt, Utfallen är då mängder med flaskor P (grön och grön) A E A -kombinationer x A E A x + 8 x!! ( x )! A E A ( x + 8)!! ( x + )! Vi gör en tabell över alla utfall: 4 3 0 4 3 0 4 3 0 :a kastet 3 0 3 0 3 4 0 3 4 3 4 :a kastet
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 43 a) Fördelningen för den stokastiska variabeln X: x p 0 3 0 3 8 8 3 9 3 3 4 4 3 9 3 8 b) Frekvensfunktion:, när x 0, när x 8, när x 9 ( ) p x, när x 3, när x 4 9, när x 8 0 för övriga x
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 44 c) Fördelningsfunktion: 0 när x < 0, när 0 x < 8 4, när x < 8 9 ( ) F x, när x < 3 9 3, när 3 x < 4 7, när 4 x < 8, när x d) Fördelningen är diskret. 8. Den stokastiska variabeln X, resultatet i intelligenstestet har fördelningen X N( 80, 4). Anta att x är Johans poäng. e) P( X 0) f) ( ) P X > P( X 3 eller X 4 eller X ) 3 3
A E A A E Aolika Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 4 Vi får ekvationen: P Z ( x ) ( x ) P X > 4 % P X 8 % x 80 4 0,8 x 80 4 0,8 Maols tabeller x 80, 08 4 x 80 +,08 4 Φ x x 433,3 430 9. Ögonsumman för alla ögontal på en tärning är + + 3 + 4 + + A Summan av de fyra synliga sidorna är, när de övermålade sidorna är och (8) och 3 () 3 och 4 (4) och 3 (7) och 4 () 3 och (3) och 4 () och (4) och () och (3) och () sidor kan väljas på sätt, gynnsamma är de ovannämnda Alltså P(poängsumman av de synliga sidorna är större än ) EA A E A 0,73
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 4 0. Högst 330,bilar per minut kan köra igenom 0 avsnittet. Stockningen börjar när antalet bilar per minut överstiger detta värde t 4+, 0 0 80 + t 0 t 30 ( kl. 07.30) Stockningen börjar kl. 07.30. Den mängd bilar som kommer till avsnittet kl. 07.30 08.0 kan beräknas med hjälp av arean mellan täthetsfunktionen och x-axeln f ( 30) + f ( 0) ( ) ( ) 30 80 ( ) f 0 + f 80 A 0 30 + ( 80 0 ) 30 0 0 80 4+ + 4+ 9 + 9 0 0 30 + 30 30 0 8 7+ 9, + 7 30 + 3 0, 30 +,... 0 30,8333... 7, 4 30 0 90 0 0 För dessa bilar tar det 30,8333... 8,333... minuter., Då kör den sista dvs. den som kom kl. 08.0 till stockningen kör igenom an kl. 07.30 + 0.8,33... 08.8,333... Dvs. bilisten måste sitta 8,333... 8 minuter.
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 47 Övningsprov. Medelvärde: + 3+ 4+ μ 3,8... 3,3 7 Standardavvikelse: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) σ μ + 3 μ + 4 μ + μ 7,030...,0 Högsta möjliga slutvitsord för nio kurser: + 3 + 4 + + μ 3,... 4 9. M M M A A P (MAMMA) P (M) P ( A M ) P ( M MA) P (M MAM) P (A MAMM) 3 4 3 0 Alternativ Följderna med fem kort utgör utfallen. Enligt klassisk sannolikhet na ( ) 3 P (MAMMA) nu ( ) 4 3 0 Lägsta möjliga slutvitsord för nio kurser: + + 3+ 4+ μ,777... 3 7
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 48 3. a) 4 4 4 3 4 4 4 4 b) 84 4. Eleven måste gissa svaret på 0 frågor och av dessa måste han få minst 7 frågor rätt. Vi har alltså ett upprepat försök där antalet upprepningar är n 0 och sannolikheten att lyckas i ett försök är p 4 och q p. c) 4 mäng fem k der ort med mängder med kort utan äss 88 P(minst 7 rätt av 0) P(minst 7 rätt av de som eleven gissar) P(eleven får 7 el 8 el 9 el 0 rätt) disjunkta P (7 rätt ) + P (8 rätt) + P (9 rätt) + P (0 rätt) 0 0 0 0 7 + 8 + 9 + 0 0 0 0 0 0 + 4 + 0 + 0 7 7 0 7 04 7 3 8 9 0 0 0,7 4
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 49.. 0 0 30 40 4 0 Gynnsam tid min 0 min P (väntetiden över0 min) 0 0 0,7 7. Tillverkningstiden för pizzorna är X N( 0;,). ( ) 0 P X > P Z >, (,0) P Z > ( ) Φ,0 0,977 0,08,3% Vi beräknar först sannolikheten att på 0 kast få åtminstone en etta. Vi har ett upprepat försök med 0 upprepningar och sannolikheten att lyckas är p. p P minst en etta på 0 kast ( ) P( ) ingen etta på 0kast 0 0 0
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 0 Vidare P X måste betala 000 mark och P X vi nner 0 000 mark p ( ) p ( ) 0 0 Väntevärdet för X vinst i mark 0 0 ( ) E X ( 000) 0 000,933... 0 + 0 0 0 8. Vi har ett upprepat försök där antalet upprepningar är 0 och sannolikheten att lyckas i ett försök är p. 3 Om man gissar är antalet rätta svar X Bin 0, 3. Eftersom antalet upprepningar är stort gäller X N 0, 0 approximativt dvs. 3 3 3 40 40 X N 0,, där μ 0 och σ. 3 3 P ( minst hälften avsvaren är rätt) ( 9,) P X 9, 0 P Z 40 3 (,0) P Z ( ) Φ,0 0,993 0,0047 0,%
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 9. Vi ritar en figur: hem 0,88 föll av på vägen hemifrån till butiken 0, 0,7 butiken föll av på vägen från but iken till skolan 0,4 skolan på vägen från skolan till Tina 0, 0,79 0,88 Tina på vägen från Tina till badstranden 0, stranden Vi betecknar A byxorna föll av mellan hemmet och butiken B byxorna föll av mellan butiken och skolan C byxorna föll av mellan skolan och Tina D byxorna föll av mellan Tina och stranden E byxorna föll av på vägen mellan hemmet och stranden a) b) P(E) P(A eller B eller C eller D) disjunkta P(A) + P(B) + P(C) + P(D) 0, + 0,4 + 0, + 0, 0,9 P(C E) PC ( och E) PE ( ) PC ( ) PE ( ) 0, 0.9 0,30434... 0,30
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 0. Anta att antalet dragna kort är x P (minst ett äss) 0,70 P (inget äss) 0,70 48 47 48 ( x ) 0,70 ( x ) 48 47 4 [ 48 ( x ) ] 0,70 0 ( x ) [ ] Alternativ (48) x 0,70 () x Eftersom P (minst ett äss ) växer när x växer kan vi lösa (48) x olikheten 0,70 genom prövning () x Vi använder räknarens npr-funktion (48) 3 När x 3, så är 0,9... < 0,70 () 3 (48) 4 När x 4, så är 0,77... 0,70 () 4 Alltså x 4, vi måste alltså dra minst 4 kort Alternativ 48 47 4 4 x > 4, eftersom 0 49 0,8 < 0,70, kan vi förlänga enligt följande 48 47 4... [48 (x )] [48 (x 4)] [48 (x 3)] [48 (x )] [48 (x )] 0 49 48... [ (x )] 0,70 (48 (x 4)) (48 (x 3)) (48 (x )) (48 (x )) 0 49 0,70 ( x) ( x) (0 x) (49 x) 0 49 strängt växande, eftersom sannolikheten att få ett äss växer med antalet dragna kort 0,70 Vi löser olikheten genom prövning 39 38 37 3 När x 3, så är 0 49 0,9 38 37 3 3 När x 4, så är 0 49 0,77 Alltså är antalet kort flera än 4
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid. 3 Övningsprov 3. Vi har ett upprepat försök där p 3 (femma eller sexa på ett kast) n 0 (antal upprepningar) k 4 (antal lyckade) q p 3 Enligt binomialsannolikhet P (ögontalen eller exakt 4 gånger av 0) 0 4 4 3 3 0 3 0 0 70 9 9 4480 0,7 0, 3 9 83 33 3. Vi har ett upprepat försök där p 0,0 (sannolikheten att träffa med en pil) n 30 (antalet upprepningar) Anta att X är den stokastiska variabel som beskriver antalet X Bin 30; 0,0. träffar. Då har vi ( ) 30 30 Sannolikheten ( k) 0,0 k PX 0,90 k k, 0 k 30, är först strängt växande och sedan strängt avtagande. Vi bestämmer största värdet för sannolikheten för 30 k 30 k PX ( k) 0,0 0,90 för olika värden på k: k 30 30 När k, så är PX ( ) 0,0 0,90 0,7 30 3 30 3 När k 3, så är PX ( 3) 0,0 0,90 0,30 3 30 4 30 4 När k 4, så är PX ( 4) 0,0 0,90 0,770 4 Det mest sannolika antalet träffar är 3 och poängen Svar. Mest sannolika poäng är
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid. 4 3. a) Man kan välja 7 nummer av 9 på 9 3 olika sätt. 7 4. a) Täthetsfunktionens graf: Hans lottorad motsvarar 3 vanliga lottotrader Sannolikheten att få 7 rätt ökar med 3 gånger. b) Priset bör multipliceras med 3 dvs. 3 0,70,0. b) Vi bestämmer sannolikheterna med hjälp av aran mellan x-axeln och täthetsfunktionens graf: ( ) () ( ) 0 f P X 0 ( ) ( ) 3+ 3 3 4 ( 3) f P X > 3 ( ) 4 0 40 9 9 P < X 3 0 0 0 30
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid.. lag a) :a laget spelar mot de övriga lagen 4 matcher :a laget spelar mot de övriga lagen 3 matcher 3:e laget spelar mot de övriga lagen matcher 3:e laget spelar mot de övriga lagen matcher 4:e laget mot de övriga match :e laget spelar inte mot någon. 0 matcher Totala antalet matcher Alternativ En match motsvarar en delmängd på lag av! 4 3!! 3! 3! 300 b) :a omgången, faller ut, + 3 lag blir kvar :a omgången faller ut, + 7 lag blir kvar 3:e omgången, 3 faller ut, 3 + 4 lag blir kvar 4:e omgången faller ut, 4 lag blir kvar :e omgången ett lag faller ut, lag(vinnaren) blir kvar Totalt + + 3 + + 4 matcher 0 + + + 3 +... + 3 + 4 + + 3 +... + 3 + 4 4 st (jämnt antal) ( + 4) + ( + 3) +... + ( + 3) 300 st
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid.. Vi undersöker en kvadratisk ruta (sidan 0 mm) och ser var slantens mittpunkt måste landa för at täcka ett hörn 7. röda, 3 blå och 4 svarta bollar a) P(bollarna har samma färg) P (rr eller bb eller ss) disjunkta P (rr) + P (bb) + P (ss) oberoende P (r) P (r) + P (b) P (b) + P (s) P (s) Slantens mittpunkt måste landa i någon av sektorerna (r 3 mm). Sektorernas sammanlagda area är π 3 A gynnsam 4 9 π ( mm ) 4 Kvadratens area är (s 0 mm) A s 0 00 mm kvadrat ( ) 9 9 + 3 9 3 9 + 4 9 4 9 9 0,3 8 Vi får då A 9 π mm 00 mm gynnsam P (slanten täcker ett hörn) 0,3... 0, A kvadrat
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid. 7 Alternativ Vi betecknar bollarna r, r, b, b, b 3, s, s, s 3, s 4 Vi får följande tabell: s4 s 3 b) P (bollarna har samma färg) P (r r eller b b eller s s ) disjunkta P (r r ) + P (b b ) + P (s s ) allmänna multipl. regeln P (r ) P (r r ) + P (b ) P (b b ) + P (s ) P ( s s ) dragningen s s B3 b b r r 9 8 + 3 9 8 + 4 9 3 8 8 0,8 r r b b b 3 s s s 3 s 4. dragningen Utfallen är symmetriska och enligt klasisk sannolikhet: P (bollarna av samma färg) na ( ) nu ( ) 9 8 0,3
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid. 8 Alternativ Vi betecknar bollarna : r, r, b, b b 3, s, s, s 3, m s Vi får följande tabell:. dragningen s 4 s 3 s s b 3 b b r P r r r b b b3 s s s 3 s 4. dragningen 8. Vi har ett upprepat försök med n upprepningar och sannolikheten att lyckas är p. Antalet ettor är binomialfördelat X Bin n,. Om vi bildar en ekvation för väntevärdet av antalet ettor med binomialsannolikhet får vi E( X) 9 p0 0+ p +... + pn n 9 0 n n n 0 n n n... 9 0 + + + n Denna ekvation är för krånglig att lösa. Vi använder då approximation med normalfördelningen. Om antalet upprepningar är stort kan vi approximera Utfallen är symmetriska och enligt klassisk sannolikhet na ( ) P (bollarna har samma färg) nu ( ) 0 9 9 9 0 7 8 0,8 X N n, n dvs. Vi bör alltså ha n 9 n 9 n 4 X n n N, 3. Svar: Minst 4 gånger
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid. 9 9. y 0. 4 α spegel y x Anta att α är vinkeln mellan den från origo utgående ljusstrålen och positiva x-axeln. Då gäller 0 α < 30. När strålen reflekteras i spegeln är infalls- och reflexionsvinkel lika stora. Då träffar den reflekterade strålen linjen y x, vars riktningsvinkel är 4, när 4 < α 90. En stråle som inte reflekteras träffar linjen y x, om 3 < α < 3. Enligt geometrisk sannolikhet får vi (90 4 ) + (3 3 ) P 0, 30 0 30 8 x a) P 48 44 40 3 0,7 % 0 49 48 4 b) Parets valör kan väljas på 3 sätt. Paret kan väljas på 4 sätt. De övriga tre korten kan väljas på na ( ) P nu ( ) 3 4 48 44 40 3! 48 44 40 3! sätt. 3 833 4,3 % Alternativ Mängder med kort utgör utfallen. Antalet följder där paret är först är 48 44 40. Parets plats kan väljas på 0 sätt. Antalet följder med kort med ett par är alltså 3 48 44 40 st. Motsvarande mängder med kort är (utan ordning) 3 48 44 40! 098 40 3 48 44 40 na ( )! 098 40 3 P nu ( ) 98 90 833 4,3 %
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov 3 sid. 0 Alternativ 3 Utfallen är följder med kort. /jfr alt P n( A ) nu ( ) c) Jämför med b-fallet! 3 48 44 40 0 49 48 3 833 4 48 44 3 na ( ) P nu ( ) 3! 88 4, % Alternativ Utfallen är mängder med kort P na ( ) nu ( ) 48 44 3 3! Alternativ 3 Utfallen är följder med kort P na ( ) nu ( ) 4,3 % 88 4, % 3 48 44 3 0 49 48 88 4, % d) Valören för trisset kan väljas på 3 sätt Trisset kan väljas på 4 olika sätt bland fyra kort. 3 Parets valör kan väljas på sätt och parets kort på 4 olika sätt. Enligt multiplikationsprincipen och klassisk sannolikhet får vi 4 3 na ( ) 3 4 P nu ( ) 4 0,4 % Alternativ Utfallen är mängder med kort. 3 48 3 3 na ( )! P nu ( ) Alternativ 3 Utfallen är följder med kort. na ( ) 3 3 8 3 4 P nu ( ) 0 49 48 4 4 0, 0,4 %