DELBARHET OCH PRIMTAL. Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen.

Explrativ övning 3 LMA100 ht 2002 DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hs heltalen De viktigaste begreppen är delbarhet ch divisinsalgritmen största gemensamma delaren minsta gemensamma multipeln Euklides algritm primtal Aritmetikens fundamentalsats presentatin av heltal i lika baser Difantiska ekvatiner Detta avsnitt kan betraktas sm en krt inledning till talterin Eftersm talterin ger en möjlighet till flera mycket intressanta prblem, sm fta kan frmuleras enkelt ch elementärt, är antalet övningar ganska strt Flera av dessa övningar finns sm illustratin för att visa att talterin verkligen är en källa till rliga prblem ch kan med fördel redan mycket tidigt utnyttjas i sklarbete De viktiga uppgifterna (eller de sm rekmmenderas) är A H, K Bland de övriga, välj de uppgifter sm Du tycker är intressanta Vi återkmmer till talterin senare i avsnittet m Restaritmetiker (sm fta kallas för klckaritmetiker ) preliminär versin 1

2 Explrativ övning 3 DELBARHET OCH DIVISIONSALGORITMEN Med de naturliga talen menar man vanligen Ordet naturligt är helt förklarligt eftersm dessa tal är direkt relaterade till en av de mest naturliga mänskliga aktiviteter behvet att räkna De naturliga talen har fascinerat människr i flera tusen år Ibland har denna fascinatin en karaktär av magi eller rentav vidskepelse Man trr på lika mystiska egenskaper hs speciella tal sm t ex 7 ( lyckligt ), 13 ( lyckligt ) Pythagras ch hans elever relaterade allt till talen ch försökte förklara mvärlden med deras hjälp Talet 1 var grunden för världen själv alla andra tal har sitt ursprung i talet 1 (,! sv) Det var symblen för gudarnas fader Zeus (möjligen Zeus själv?) Talet 2 ch alla jämna tal symbliserade kvinnlighet, medan talet 3 ch alla udda tal större än 3 var symblen för manlighet Dessa egenskaper har naturligtvis ingenting med matematik att göra Det fanns dck alltid ett rent matematiskt intresse för de naturliga talen under flera tusen år har man bserverat ch studerat lika samband mellan dessa tal Sådana bservatiner ledde fta till både matematikens utveckling ch till mycket intressanta tillämpningar Låt ss nämna några exempel: (31) Exempel (a) Den rätvinkliga triangeln med sidrna 3, 4, 5 & (' " % har alltid fascinerat människr Likheten )*+,)- ') sm i detta fall avspeglar den allmänna egenskapen hs rätvinkliga trianglar, sm är bäst känd sm Pythagras sats, gav upphv till många matematiska frågr Finns det andra rätvinkliga trianglar med heltaliga sidr? Finns det rätvinkliga trianglar med heltaliga sidr sådana att en katet är 1 större än den andra? (Det finns ändligt många sådana trianglar t ex en triangel med sidrna 20, 21, 29) Det finns Ibland kallar man inte 0 sm ett naturligt tal det tg flera tusen år innan talet 0 fick sin naturliga plats bland talen 0 är ett av heltalen

(31) 3 faktiskt böcker sm beskriver lika typer av Pythagreiska trianglar (dvs rätvinkliga trianglar med heltaliga sidr) Triangeln med sidrna 3,4,5 användes av antika gedeter för att mäta rätta vinklar man använde en lina med 12 knuttar sm spändes så att man fick triangel med sidrna 3, 4 ch 5 Då fick man rät vinkel mellan sidrna av längderna 3 ch 4 (b) Sm ett annat exempel låt ss nämna magiska kvadrater En av de mest berömda finns på Albrecht Dürers kpparstick Melanklien 1 : 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Summan av alla tal i denna kvadrat längs varje rad, varje klnn ch varje diagnal är 34 Det finns många andra intressanta samband mellan talen i de mindre kvadraterna (begrunda själv!) Magiska kvadrater har intresserat människr för deras egen skull, men de har ckså mycket intressanta tillämpningar i samband med experimentplaneringen t ex när man vill testa hur lika srters växter dlas under varierande förhållanden (t ex knstgödsel, temperatur, fuktighet sv) Försök knstruera en magisk kvadrat med 3 rader ch 3 klnner uppbyggd av talen 1,2,,9! (c) Det finns många märkliga samband mellan de naturliga talen Titta t ex på följande likheter: ) ) ) ) ) / 0 '/13240'/5326 /327 3/2 8*+,8*9'8: ;8 Den sista likheten säger att summan av tre kuber till höger är en kub Pierre de Fermat påstd i mitten av 1600-talet att summa av två kuber av naturliga tal (större än 0) aldrig är en kub Detta visades av Lenard Euler 100 år senare (se vidare Övning K m Difantiska ekvatiner) Inte heller summa av två fjärde ptenser av naturliga tal (större än 0) kan vara en fjärde ptens, vilket visades av Fermat Den näst sista likheten hittades av Euler Han var intresserad av möjligheten att summan av två kvadrater är lika med summan av två andra kvadrater, eller summan av två kuber är lika med summan av två andra kuber sv Kan Du ge ett exempel på en summa av två kvadrater av naturliga tal sm är lika med summan av två andra kvadrater? De negativa talen trädde in i matematiken relativt sent i praktiken under 1400-talet då den italienske munken ch matematikern Luca Pacili publicerade år 1494 sin bk Summa de Arithmetica I denna bk sammanfattade Pacili dåtidens vetande m aritmetik ch ekvatinslösning

C F H K 4 Explrativ övning 3 Egentligen kan vissa idéer m negativa heltal spåras till Indien, men enligt flera histriker var dessa kunskaper ytliga ch hade inte någn inverkan på senare utveckling av talbegreppet Det är mycket trligt att både den kinesiska ch arabiska vetenskapen km fram till de negativa talen helt berende av den eurpeiska Talet 0 intrducerades i Indien för circa 1500 år sedan Med heltalen menas talen?>@?>a?>b dvs alla naturliga tal ch deras mtsatta tal Sålunda är heltalen en utvidgning av de naturliga talen Heltalsmängden betecknas ftast med C dvs?>@?>b?>ad, I en senare del av kursen kmmer vi att bekanta ss närmare med heltalens histria, deras ursprung ch definitin I detta avsnitt sysslar vi med ett av de viktigaste begreppen sm gäller heltalen delbarhet T ex delar 5 talet 15 ch kvten är 3 Man säger att 5 är en delare till 15 Rent allmänt har vi följande definitin: (32) Definitin Man säger att ett heltal E delar ett heltal " m det finns ett heltal F sådant att " EGF Man skriver då EIH ", vilket utläses E delar (eller dividerar) " (man säger ckså " är delbart med E eller " är en multipel av E ) Om E inte delar " så skriver man EBJ " Om E delar " så säger man att E är en delare till " En delare E till " LK kallas äkta (eller icke trivial) m H EIH H " H T ex har >@ ' man >@ H ' eller H /; ', men J >M?>B?>B?>!?>B;?>M Talet 12 har följande delare: Talen ch är inte äkta delare till 12, medan alla övriga är äkta ;3N Exempel Man kntrllerar mycket lätt med hjälp av en miniräknare med minst 10 siffrr att H 8 ) (senare visar vi påståendet i ett avsnitt m restaritmetiker) P Fermat trdde på 1600-talet att talet 8 ) O saknar äkta delare Det var först L Euler sm 100 år efter Fermat hittade den äkta delaren 641 Se vidare Övning P Med all säkerhet känner Du till den mycket vanliga metden (algritmen) sm man använder för att dela ett heltal med ett heltal skilt från 0 Man får då kvten ch resten T ex ger den vanliga divisinsalgritmen att 134 delat med 26 ger kvten 5 ch resten 4 Man antecknar detta samband så att 3P /;LQ'RS Rent allmänt frmuleras denna egenskap på följande sätt: (33) Divisinsalgritmen Om " UT 0 ch är heltal ch så är " WV3 där @XYVPK H Både F[Z kallad kvten ch V Z kallad resten är entydigt definierade av " ch För bevis av Divisinsalgritmen se Appendix på slutet av detta avsnitt Övning A 1 Bestäm alla delare till talet 24

] (34) 5 2 Mtivera att varje heltal ] kan skrivas antingen på frmen /_U0 ] frmen ] m det är udda, där _ är ett heltal; 3 Mtivera att varje heltal ] kan skrivas på exakt en av frmerna (/_[9 ], där _ är ett heltal ^/_ `/_ m det är jämnt eller på eller ] a/_@( 4 Hur lyder en liknande egenskap hs heltalen då man ersätter 2 eller 3 van med t ex 5? 5 Man vet att ett naturligt tal E delar ett naturligt tal " Hur skall Du uttrycka det med symbler? Om du skulle välja mellan EIH " ch bc, vilket är den rätta? Bägge? eller Delbarhetsrelatinen har flera viktiga egenskaper sm man fta utnyttjar i lika sammanhang Vi börjar med en övning sm leder ss till dessa egenskaper Övning B Låt " & E beteckna heltal 1 Vad betyder det att E är en delare till "? Tänk på svaret ch jämför med definitinen van 2 Visa att m 5 delar " ch så delar 5 både " ch " gdtycklig delare E till " ch i stället för 5 Bevisa Ditt påstående! 3 Visa att delbarhetsrelatinen är transitiv dvs m " H ch H & så " H & Frmulera denna egenskap för en 4 Visa att m två av talen " & i likheten " & är delbara med E så är ckså det tredje talet delbart med E 5 Visa att m " H ch H " så är (> " Nu sammanfattar vi slutsatserna från övningen: (34) Prpsitin Låt " & (a) m EdH " ch EdH så EdH " > (b) m " H ch H & så " H &, (c) m två av talen " & i likheten " med E, (d) m " H ch H " så är e> ", E beteckna heltal Då gäller: & är delbara med E så är ckså det tredje talet delbart PRIMTAL Bland de naturliga talen har primtalen en särställning De första 20 primtalen är

u v K K 6 Explrativ övning 3 '?fg/ f 1?/?/1gfGhN/fG?'/'/1;N?;,f?f/ Primtalen definieras sm de naturliga tal sm endast har två lika naturliga delare: 1 ch sig självt Talet 1 är inte ett primtal eftersm det har bara en naturlig delarei Ett tal större än 1 sm inte är ett primtal kallas sammansatt Primtalen har en mycket viktig egenskap sm byggstenar för alla naturliga tal Vi kmmer nämligen bevisa att varje naturligt tal större än kan skrivas sm prdukt av primtal ch dessutm på exakt ett sätt m man bara brtser från primtalens rdningsföljd T ex har vi Ü!Q!Q' ch även jk@qg'@qglk@qg'pqg, men det är bara rdningsföljden sm kan ändras Människrs intresse för primtalen är flera tusen år gammalt ch redan för drygt 2000 år sedan visade den grekiske matematikern Euklides att det finns ändligt många primtal (se ett bevis nedan) Först nterar vi den frmella definitinen: ch m saknar äkta delare (dvs m har exakt två lika psitiva delare: 1 ch sig självt) Ett psitivt heltal större än 1 sm inte är ett primtal kallas sammansatt (35) Definitin Man säger att ett psitivt heltal m är ett primtal m mln Observera att m ett naturligt tal ] är sammansatt så kan man dela ] i faktrer: ] ch ] ) är naturliga tal sm är äkta delare till ] BK dvs ]s ] BK ch ] ) ] ]pq] ) så att ]r Euklidest visade sin sats m att att det finns ändligt många primtal i ninde bken av sitt stra verk Elementa genm att använda följande sats från sjunde bken: (36) Sats Om ] är ett heltal större än så är ] delbart med ett primtal Bevis Låt m beteckna den minsta av alla delare till ] sm är större än 1 Då saknar m äkta delare eftersm en äkta delare till m skulle vara en delare till ], vilket är möjligt eftersm m var den minsta delaren till ] sm är större än 1 Detta innebär att m är ett primtal eftersm m+n ch m saknar äkta delare Nu kan vi bevisa att det finns ändligt många primtal (37) Euklides sats Det finns ändligt många primtal Det finns en mycket viktig förklaring varför 1 inte accepteras sm primtal se vidare Aritmetikens fundamentalsats Euklides levde i Grekland c:a 300 fkr Hans mest berömda verk är Elementa en bkserie bestående av 13 delar sm handlar m dåtidens matematik Elementa känns bäst för ett försök att presentera det sm idag kallas för Euklidisk gemetri Denna teri är mdellen av gemetriska relatiner i våra närmaste mgivningar Men tre vlymer av Euklides verk handlar m talterin huvudsakligen m delbarhet ch primtal Delar av Euklides Elementa hade använts i sklan under 2000 år fram till början av 1900 talet

w m (37) 7 Bevis Antag att ' m betecknar alla primtal (så att m betecknar det sista) Vi bildar ett nytt tal sm vi betecknar med w :!QLQ '7QQQ 0 dvs talet w är prdukten av alla primtal plus 1 Talet w är större än 1 ch har en primtalsdelare, säg, F enligt vår förra sats Detta primtal F kan inte vara lika med någt av talen ' m eftersm dessa tal inte är delare till w (w delat med någt av dessa tal lämnar resten 1) Alltså har vi visat att det måste finnas ytterligare ett primtal F sm inte fanns bland ' m trts att vi tg alla Detta innebär att det inte går att skriva en ändlig lista sm mfattar alla primtal dvs det måste finnas ändligt många primtal Övning C 1 Utnyttja rutat papper för att rita alla möjliga rektanglar med 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12 hela rutr Kan Du dra några slutsatser m skillnader mellan lika tal? Beter sig primtalen på ett speciellt sätt? 2 Vilka av följande tal är primtal (stryk under primtalen): 1,2,3,4,5, 101, 103, 105, 1001, 10101? 3 Föreslå en beräkningsprcedur (en algritm) sm kan avgöra m ett givet heltal är primt Försök avgöra m talet 143 är primt (Läs eventuellt m primtal ch Eratsthenes såll i Matte med mening på sid 32) 4 Låt w " vara ett naturligt tal uppdelat i prdukt av två heltaliga faktrer Visa att minst en av dessa faktrer är Xyx w Hur kan man använda denna egenskap för att skriva 143 sm prdukt av primtal? 5 Skriv följande tal sm prdukt av primtal: (a) 2704, (b) 392688, (c) 749088, (talen har snälla primfaktrer!) Anmärkning Det är inte så enkelt att avgöra m ett givet naturligt tal är ett primtal Det finns speciella algritmer ch datrprgram sm delvis löser detta prblem De bästa algritmerna bygger på mycket avancerade delar av algebraisk talteri De utnyttjas i lika säkerhetssystem t ex i samband med lika banktjänster Det tar några sekunder att testa m ett tal med, säg, 100 siffrr är ett primtal Men det tar en mycket lång tid att faktruppdela ett sådant tal i prdukt av primtal m talet är sammansatt

8 Explrativ övning 3 STÖRSTA GEMENSAMMA DELAREN ch MINSTA GEMENSAMMA MULTIPELN Det är fta mycket viktigt att kunna beräkna det största heltal sm dividerar två givna heltal " ch, ch det minsta heltal sm två givna heltal " ch delar samtidigt De kallas största gemensamma delaren (betecknas SGDZ " ) ch den minsta gemensamma multipeln (betecknas MGMZ " ) T ex är man intresserad av SGDZ " då man vill förkrta bråket bz ) 2 8 (t ex 2h{, ty SGDZ 3, 5 ) Minsta gemensamma multipeln är intressant då man adderar bråk (t ex :} ) 8{ ~ ; {, ty MGMZ ) Frmella definitiner av dessa begrepp sm är mest vanliga i matematiska sammanhang är följande: (38) Definitin Med största gemensamma delaren till " ch menar man ett psitivt heltal E sm delar " ch ch är delbart med varje gemensam delare till " ch dvs (a) EIH " ch EIH, (b) m EgH " ch E, H, så Eg H E Största gemensamma delaren till " ch betecknas med SGDZ " Man brukar definiera SGDZ h Man säger att " ch är relativt prima m SGDZ " I detta fall säger man fta att " ch saknar gemensamma delare (även m >@ delar dessa tal) Den största gemensamma delaren till " ch är definierad entydigt därför att m både E ch E är sådana delare så gäller EIH E ch E H E, vilket innebär att E a> E Men både E ch E är psitiva så att E E (39) Definitin Med minsta gemensamma multipeln till " ch menar man ett psitivt heltal sm är delbart med " ch ch sm delar varje gemensam multipel av " ch dvs (a) " H ch H, (b) m " H ƒ ch H ƒ, så WH ƒ Minsta gemensamma multipeln av " ch betecknas med MGMZ " h 0 MGMZ Sm för SGD definierar man Även minsta gemensamma multipeln av " ch definieras entydigt av dessa tal (mtivera detta påstående med liknande argument sm för SGDZ " van!) 3, 5 ; Exempel SGDZ, MGMZ (310) Anmärkning Det är klart att SGDZ " är störst bland alla delare till " ch, medan MGMZ " är minst bland alla gemensamma multipler av dessa tal T ex kunde vi i definitinen av E SGDZ " kräva att E delar både " ch samt att E är det största heltalet med den egenskapen Det är dck mycket bättre att i stället fkusera på en annan egenskap: varje delare till " ch måste dela E (sm är därmed den största delaren) Denna egenskap är mycket användbar i lika bevis Dessutm möter vi senare precis samma definitin då vi sysslar med delbarheten av plynm Vi kmmemterar ckså denna definitin nedan i samband med metdiska synpunkter

V ) 8 ) V 8 ) F ) 8 ) 8 K H ) ) V (311) 9 Hur kan man beräkna SGD ch MGM i praktiken? En mycket viktig metd är Euklides algritm Euklides algritm säger hur man kan beräkna SGDZ " divisinskedja: Låt " a// ch Man bildar en // ÄQ - 3 3AQ5-%5 3 5LQgpS; 5 ;LQ dvs man dividerar " // med ch O man får den första kvten (här 2) ch den första resten (här 24) Därefter dividerar man talet med den första resten (här 24) ch man får den andra kvten (här 8) ch den andra resten (här 18) Man frtsätter tills man får resten nll Eftersm resterna är mindre ch mindre så måste man avsluta prcessen med resten 0 (varför?) Den sista nllskilda resten (här 6) är just största gemensamma delaren till " ch dvs SGDZ // ; Vi skall både anteckna Euklides algritm ch mtivera att den verkligen ger största gemensamma delaren för helt gdtyckliga heltal " UT 0 ch Vi har följande divisinskedja: VĜ VĜ VĜ " F +V V hf ) +V V ) F 8 +V VĜ ) F Ĝ SVĝ VĜ hf ˆLSVˆŠ Vˆ ˆ/Œ @X V @X V @X V KYV KYV H @X VĜ K VĜ @X Vˆ K VĜ V Varje kedja av den här typen måste vara ändlig därför att en avtagande kedja av resterna n ) n 8 n ŽO måste Vˆ vara ändlig Vi påstår att den sista icke-försvinnande resten i denna kedja, sm här betecknas med, är den största gemensamma delaren till " ch Att det verkligen är sant kntrllerar man mycket enkelt med hjälp av definitinen av SGDZ " Den sista likheten i kedjan säger Vˆ Vˆ att är V ĝ V Ĝ delaren till V3ˆ Vĝ Alltså visar den näst sista likheten att är delaren till ) Nu vet vi att delar VĜ ch ) VĜ Alltså visar likheten för 8 V ˆ att även denna rest är delbar med Vi frtsätter vår V vandring ˆ uppåt V ˆ V3Ĝ ch steg för steg visar vi att alla tal VĜ, ) VĜ, 8 V,,,, " är delbara med Alltså är en gemensam delare till " ch Om nu E är en gdtycklig gemensam delare till " ch så visar den första likheten att E delar V Alltså ger den andra likheten att E V delar ) Då vi vet att E V delar V ch ) så får vi ur den tredje likheten att E V ckså delar 8 På det sättet får vi att E är en delare till alla tal i sekvensen " V V V V ĝ VĜ Vˆ V ˆ Detta visar att är den största gemensamma delaren till " ch Det är klart att man kan frmalisera vårt resnemang genm att använda matematiskt induktin Med hjälp av Euklides algritm kan man inte bara beräkna SGDZ " utan ckså två heltal att SGDZ " " Vi illustrerar detta med samma exempel: sådana

w E w Z { 10 Explrativ övning 3 (311) Exempel Låt " 0// ch Euklides algritm ger // ÄQ - 3 3AQ5-%5 3 5LQgpS; 5 ;LQ Nu har vi ; 3 5 Qg-(3 YZ 3 Q5 3 Q1 // Q Q 1 // Q 1 Q, Qg1[%// Q31-S Q Z 1 Möjligheten att lösa ekvatinen SGDZ " " i heltal ch kmmer att spela en mycket viktig rll ch kmmer att användas flera gånger under kursens gång Därför nterar vi den egenskapen sm en sats ch ger ett bevis i Appendix på slutet av denna stencil Beviset ger inte någn möjlighet att hitta ch (fta vill man veta att ch finns utan att behöva räkna ut dessa tal) Om man vill beräkna ch så kan man använda Euklides algritm sm i exemplet van Vi nterar satsen redan nu: (312) Sats Om " ch är heltal ch E e s B Z " så existerar två heltal { ch { sådana att " { Vi visar ett exempel på en tillämpning av den sista satsen Om 2 ch 3 är delare till ett heltal w ckså!q[ ; en delare till w Detta följer från följande påstående: så är (313) Prpsitin Om " ch är två relativt prima delare till ett heltal w så är ckså " till w en delare Bevis Låt w SGDZ " a " F/ ch w F ) med hela F ch F ) Eftersm " ch är relativt prima dvs så är " Ma för lämpliga heltal ch (enligt den sista satsen) Alltså är wsz " vilket visar att w är delbart med " w " M F ) " " F ) " Z F ) F

E (313) 11 Övning D 1 Vad menas med största gemensamma delaren (SGD) till två heltal " ch? Jämför Dina funderingar med definitinen 2 Beräkna SGDZ " samt två heltal { ch { sådana att SGDZ " " { { då (a) " a;/' a,, (b) " ;/3 ',f3 Övning E 1 Är det sant eller falskt: (a) Om ett heltal w LQ U ; är delbart med 2 ch 3, så är det delbart med? (b) Om ett heltal w AQ ;U 3 är delbart med 4 ch 6, så är det delbart med? 2 Varför gäller enbart ett av dessa påståenden? Övning F 1 Är det sant eller falskt: (a) m 6 delar " ch 6 inte delar " så måste 6 dela ; (b) m 6 delar " ch 6 saknar gemensamma delare med " så måste 6 dela ; (c) m 5 delar " ch 5 inte delar " så måste 5 dela 2 Varför gäller inte alla påståenden van? 3 Visa att m E är en delare till prdukten " SGDZ E " a, så är E en delare till Ledning Det finns heltal ch sådana att " läsa beviset av satsen (314) nedan ch E saknar gemensamma delare med ", dvs a utnyttja denna likhet Du kan ckså

K ] F K ] 12 Explrativ övning 3 ARITMETIKENS FUNDAMENTALSATS Nu kan vi förklara primtalens viktiga rll sm byggstenar för alla heltal varje heltal större än 1 är en entydig prdukt av primtal T ex / )4Q'),5 ) Q8 /, LQf!Qg/RQ, Ett primtal t ex 5 betraktas ckså sm prdukt av primtal prdukt med endast en faktr 5 (dvs '[(' ) En sådan överenskmmelse har stra fördelar den förenklar många frmuleringar (t ex kan vi säga att varje naturligt tal större än 1 är en prdukt av primtal) Först visar vi en mycket viktig egenskap hs primtalen sm egentligen är nyckeln till aritmetikens fundamentalsats: (314) Sats En primdelare till en prdukt av två heltal är en delare till Z minst en av faktrerna dvs m mrh ", då m är ett primtal ch " är heltal Bevis heltal så mrh " eller m H Antag att m J " Då är SGDZ m " š sådana att m " a Om man multiplicerar den likheten med får man m Men enligt förutsättningen är " m F för ett heltal F Alltså är mžz dvs mrh därför att m är ett primtal Enligt (322) existerar två " Observera att det inte har någn betydelse att den sista satsen handlar av ett primtal sm delar en prdukt av två faktrer ett primtal sm delar en prdukt av ett gdtyckligt antal faktrer måste dela någn av dessa Vi utnyttjar denna egenskap av primtal i beviset av aritmetikens fundamentalsats: (315) Aritmetikens fundamentalsats Varje heltal större än är en entydig prdukt av primtal dvs m mœ m ) QQQ m F/F ) QQQ F ž där mšÿ ch F är primtal så är V[ ch vid en lämplig numrering av faktrerna är mšÿ Bevis Först visar vi att varje naturligt tal ]Yn är en prdukt av primtal Låt ss anta att det finns naturliga tal sm inte kan skrivas sm en sådan prdukt Låt ss välja bland dessa naturliga tal det minsta Vi betecknar detta tal med ] Detta innebär att ] n är det minsta naturliga tal sm inte är en prdukt av primtal Talet ] är inte ett primtal (ett primtal är en prdukt av primtal med bara en faktr) Alltså UK är ] ett sammansatt tal dvs ] ] ] ), där både ] ch ] ) är äkta delare till ] BK dvs ] ch ] ) ] Eftersm både ]r!n ch ] ) n är mindre än ] så måste dessa tal kunna skrivas sm prdukt av primtal (ty ] är det minsta sm inte kan skrivas) Men detta betyder att ckså ] kan skrivas sm prdukt av primtal På det sättet får vi att det inte finns någt naturligt tal sm inte kan skrivas sm prdukt av primtal FŸ

ˆ K ] w m T (318) 13 Nu visar vi att varje naturligt tal ]Yn kan skrivas sm prdukt av primtal bara på ett sätt m man brtser från faktrernas rdningsföljd På samma sätt sm tidigare låt ss anta att det finns ett naturligt tal större än 1 sm kan skrivas på lika sätt sm en sådan prdukt ch låt ]+n beteckna det minsta av alla naturliga tal sm har lika framställningar: mœ m ) QQQ m F/F ) QQQ F ž där m m ) mš F F ) F ž är primtal Observera att ] inte är ett primtal (ett primtal har endast en framställning) Eftersm m är ett primtal ch m delar prdukten F/hF ) QQQ F ž så måste m dela en av dess faktrer t ex m delar F Men F/ är ckså ett primtal så att m F (m ett primtal delar ett primtal så måste det vara samma primtal) Nu får vi: ] mœ m ) QQQ m F ) QQQ F ž lk så att talet / ] har två lika framställningar sm prdukt av lika primtal Detta är dck möjligt eftersm ] var det minsta naturliga talet med lika framställningar Slutsatsen är att det inte finns någt minsta naturliga tal ]ln med två lika framställningar sm prdukt av primtal (316) Anmärkning Ofta kallar man sats (314) för aritmetikens fundamentalsats Även m frmuleringen van handlar m psitiva heltal så kan vi säga rent allmänt att varje heltal w a?>@ är en prdukt 0 mœ m ) QQQ ˆ därmšÿ är primtal ch B(>@ Enligt aritmetikens fundamentalsats är en sådan framställning entydig så när sm på faktrernas rdningsföljd Faktruppdelningar av liknande typ är kända t ex för plynm Vi diskuterar både faktruppdelningar för heltalen ch för plynm i ett senare avsnitt utan Euklides algritm Även m denna möjlighet inte är särskilt praktisk används den flitigt i sklan Primfaktruppdelningar av heltal ger en möjlighet att beräkna SGDZ " ch MGMZ " (317) Exempel Vi vill bestämma SGDZ " ch MGMZ " då " 1 ' ch Eftersm " 1Ü RQª«Q4Qª' (4QªRQª'«Qª' ch, så är SGDZ 1 ' RQ?«Q'[0 samt MGMZ 1 ' LQBQBQ'BQ'U g' En primfaktr m ingår i SGDZ " m den ingår i både " ch Dess expnent är minimum av expnenterna i " ch En primfaktr m ingår i MGMZ " m den ingår i minst ett av talen " eller Dess expnent är maximum av expnenterna i " ch (318) Anmärkning Vi avslutar detta avsnitt med några kmmentarer m primfaktruppdelningar av heltal Det är inte lätt att faktruppdela ett helt gdtyckligt heltal w i primfaktrer Om w är ett relativt litet så kan man testa små primtal ch kntrllera m de dividerar w T ex m w `g så dividerar man först med 2, därefter med 2 igen, med 3, 5 ch 7 Man brukar ibland skriva resultaten på följande sätt

) ) ) 14 Explrativ övning 3 dvs g P!Q3!Q!Q'LQ 'LQf 420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1 Den metden förutsätter att vi känner till en lista över de små primtalen Det är ckså viktigt att relativt snabbt kunna bedömma m talet är delbart med t ex 2, 3, 5, 7 sv Sådana delbarhetskriterier diskuterar vi i ett senare avsnitt m restaritmetiker Tyvärr fungerar sådana metder endast då talen är små För faktruppdelningar av stra heltal krävs mycket avancerade metder De bästa kända räkneperatiner för att hitta en primfaktr till algritmerna för primtalsfaktrisering kräver c:a w w (m w är sammansatt 2h{ BēLQg ch slumpmässigt valt) Om en räkneperatin tar ch talet har 200 siffrr, så krävs det ) ~ år för att genmföra beräkningarna för w ~ [Q ( datrer var ch en kapabel att utföra en peratin på skulle behöva ) { år för att klara dessa beräkningar!) Dessa mständigheter gör att tal w m F, där m ch F är stra primtal (med, säg, 100 siffrr) används för säkerhetskryptering av känsliga uppgifter sm t ex bankkder Vi diskuterar ett sådant system i samband med ett senare avsnitt m restaritmetiker Övning G 1 Låt " 0g' ' ch Bestäm minsta gemensamma multipeln till dessa tal 2 Låt " ch vara två heltal Försök beskriva en prcedur sm ger MGMZ " 3 Visa att SGDZ " MGMZ " " av MGMZ " Använd frmeln i den första uppgiften van Ledning Låt " mi m ª± QQQ m ² ch m ³ m ³ ± QQQ m ³µ² vara faktruppdelningar av " ch i prdukt av lika primtal m m ) mš _ (några av expnenterna _ _ ch ) kan vara lika med 0) Med vilken expnent ingår t ex m i SGDZ ", MGMZ " ch "? Jämför expnenterna för m i SGDZ " MGMZ " ch i " ch förklara hur denna frmel kan användas till beräkningar

(318) 15 POSITIONSSYSTEM Räkning är en mycket gammal mänsklig aktivitet sm trligen fanns redan i början av vår civilisatin Det är ckså trligt att först hade man räknerd mtsvarande ett, två möjligen tre föremål ch allt sm överskred den gränsen uppfattades sm många Det finns en mycket intressant frskning sm visar hur små barn uppfattar t ex fyra föremål¹ Man kan föreställa sig att när det gäller räkning återspeglar barnens utveckling den prcess sm för länge sedan var en del av civilisatinens framsteg Olika kulturer utvecklades på lika sätt när det gäller förmågan att räkna ch framför allt kunna uttrycka tal både skriftligt ch muntligt Vårt sätt att skriva tal har sitt ursprung i Indien ch km till Eurpa i början av 1100 talet genm kntakterna med den arabiska civilisatinen Då översattes från arabiska till latin en bk av den arabiske matematikern al-chwarizmi (eller al-kharezmi) sm skrevs nära 300 år tidigare Bken fick titeln Liber Algrithmi de numeris Indrum Denna bk beskriver just vårt nuvarande psitinssystem sm bygger på bas 10 ch sm skapades i Indien trligen mellan 400fKr ch 600fKr En mycket str betydelse för spridningen av vårt sätt att skriva tal hade bken Liber abaci av en italiensk handelsman ch matematiker Lenard Fibnacci (känd sm Lenard från Pisa) I denna bk, sm km ut år 1202, skriver författaren 15?fG;' Det finns ni indiska tecken: Med hjälp av dessa tecken ch tecknet, sm på arabiska kallas sifr, kan man skriva vilket tal sm helst Indierna kallade nlltecknet för sunja, vilket betyder tm (tm plats mellan siffrr) I Eurpa översattes termen till nullus, vilket på latin betyder intet Vad betyder rdet psitinssystem ch varför säger man att det är decimalt (eller att dess bas är 10)? Vi har sm bekant 10 siffrr, vilket antyder att 10 spelar en speciell rll för vårt talsystem Sambandet med 10 är dck mycket djupare varje tal kan skrivas sm en summa av ptenser av 10 ch varje siffra säger vilken ptens ch hur många gånger ingår den i talet T ex har vi 3g5U(!Qg / +AQ, LS5 dvs 248 är summan av 2 stycken ) / {, 4 stycken ch 8 stycken Psitinen av varje siffra säger vilken ptens av 10 svarar mt denna När man går från höger till vänster ökar tiptensen { a ` med 1 så att längst till höger har vi enheter ( ), därefter tital ( ), hundratal ( ) a / 8 a / / ), tusental ( ) sv Talet 2506 kan skrivas sm /',;P!Qg 8 9'BQ, /)ps BQ, ; Observera att man vanligen utelämnar { ch man inte behöver skriva termer sm svarar mt siffran 0 Det svåraste steget i samband med knstruktinen av vårt talsystem var just införandet av siffran 0 De äldsta dkument sm innehåller taltecken är mer än 6000 år gamla Det tg mer än 4000 år innan man km på tanken att kunna uttrycka alla tal med hjälp av vanliga siffrr ch det sm i vårt talsystem är siffran 0 Det finns nekligen en psyklgisk svårighet relaterad till acceptansen av siffran ch talet 0 Vi ägnar en övning nedan åt den prblematiken º Se t ex artikeln Att utveckla små barns antalsuppfattning av Elisabet Dverbrg ch Ingrid Pramling Samuelssn i Nämnaren Tema Matematik från början, NCM, Götebrg 2000

16 Explrativ övning 3 Vårt talsystem är ett resultat av en mycket lång ch invecklad histrisk utveckling Låt ss ntera att det finns kulturer sm km fram till andra talsystem med andra baser än 10 T ex har Mayaindianerna utvecklad ett system sm i princip bygger på bas 20 Det finns även idag kulturer på öar i närheten av Nya Guinea sm använder talsystem uppbyggda kring bas 5 4000 fkr hade sumererna, sm bdde i i delar av dagens Irak, ett talsystem sm byggde på bas 10 1500 år senare förvandlades detta talsystem inm samma gegrafiska mråde till ett system med bas 60 sm är mycket bättre känt tack vare talrika utgrävningar (uppdelningen av timmar i minuter ch minuter i sekunder är trligen en kvarleva av detta system) Det finns mycket intressanta terier m rsaker till denna förvandling Under histriens gång fanns lika idéer m att ersätta vårt decimala system med ett system med bas 12 Bland annat var Karl den XII en varm anhängare av en sådan förändring (ett system med bas 12 kan spåras i lika sammanhang vilka?) Vi ger exempel på andra psitinssystem i samband med övningen nedan Övning H 1 Skriv talen 23054 ch 675003 sm summr av tiptenser med mtsvarande siffrr sm kefficienter 2 Fundera över skillnaden mellan användningen av termer siffra ch tal Är t ex 2 en siffra, ett tal eller bådadera (berende på sammanhang)? 3 Varför kan talet 0 (siffran 0) skapa ett psyklgiskt prblem när det intrduceras? Kan assciatiner av typen nll är det ingenting (citat tagen från en lärbk till första klassen) bidra till detta? 4 Rmerska siffrr sm frtfarande används ganska fta väcker assciatiner till en annan bas än 10 Vilken? Försök mtivera Din bedömning! 5 Datrer använder s k binärt psitinssystem Dess bas är 2 i stället för 10 Detta system är speciellt lämpligt för datrer därför att varje tal kan skrivas med hjälp av enbart två siffrr 0 ch 1» Datrer förstår inmatningen av ett sådant tal sm en sekvens av signaler sm svarar mt två lika tillstånd (impuls ch avsaknad av impuls eller en svag impuls ch en stark impuls) I stället för ptenser av 10 används ptenser av 2 T ex är i det binära systemet: // Ba4Q32p «Q 8*0«Q ) SÄQ 0 // LapQ 2 7Q 8 7Q Vi har alltså ) W -Q4 a;«+54¼r /1 Ibland skriver man Z // ) O/1 dvs man skriver basen 2 sm index Observera att vi skriver 2 i stället för { a ch vi utelämnar i ntatinen Skriv talen Z / / ) ch Z / / / ) i tisystemet Vad vinner man ch vad förlrar man i det binära systemet i förhållande till det decimala? 6 Försök skriva talen 51 ch 95 i binära systemet ½ Binära systemet används ckså av vissa stammar i Mikrnesien Om detta vittnar termer: 1 ke-yap, 2 pullet, 3 ke-yap-pullet, 4 pullet-pullet Tyvärr kallas allt sm är större än 4 mycket Jfr artikeln m barnens antalsuppfattning sm citeras i början av denna övning

w Z Z (319) 17 7 Talens namn i lika språk tyder på att för länge sedan använde man andra psitinssystem Ta reda på t ex räknerd för 80 i danskan (ch eventuellt franskan) Vilket psitinssystem kunde påverka dagens termer? Divisinsalgritmen för heltal kan ckså användas för att uttrycka tal i lika psitinssystem Sm /5 ¾@Q bekant använder vi bas 10 för att skriva tal Detta innebär att t ex ) a Qd Àa5, ;3,,'U(; Q? 8 ƒpq? ) *Q? ŽÁ' tal w Z Â3 sv Våra erfarenheter av decimalsystemet säger att varje naturligt kan skrivas entydigt på frmen: " " " QQQ " " { där " {, " är talets w ';?f51 siffrr dvs Vårt psitinssystem är långt ifrån unikt Man vet t ex att i Babylnien för flera tusen år sedan använde man ett psitinssystem med bas 60 (uppdelningen av timmar i 60 minuter ch minuter i 60 sekunder är ett arv från den tiden) Inkaindianerna använde både bas 5 ch 10, mayaindianerna däremt använde vigesimalsystemet dvs bas 20 De franska räknerden för ckså tanken till bas 20 Mderna datrer använder ftast baser 2, 8 ch 16 Vad betyder dessa påståenden? De säger att i stället för 10 i likheten Z Â3 van kan man använda ett helt gdtyckligt naturligt tal 3 n Det enda sm förändras är att siffrrna " Ÿ är då Först visar vi ett exempel sm illustrerar hur man kan skriva m ett heltal från bas 10 till en annan bas Därefter visar vi den allmänna satsen m representatiner i gdtyckliga baser (319) Exempel (a) Vi skall skriva talet 97 i bas 5 Man dividerar 97 med 5 ch därefter upprepar samma prcedur med kvten sv: 1,fA '!QG1 9 1U 'LQ + [ '!Q 9 Resterna nerifrån uppåt ger siffrrna i bas 5 dvs 1,fA!Q')*SAQ '-9 1,f 3g Alltså är 97 i bas 5 lika med 342 Man brukar skriva: Hur kan man mtivera denna prcedur? Det räcker att göra insättningar (vi skriver den understrukna faktrn först): 1,f[a1 Q '-9U Q '-+ Q '-9A Q ')7WAQ'R9[(!Q')*+AQ '-

Z w Z Z Z 18 Explrativ övning 3 0/1 (b) Vi skall skriva talet w i bas 2 Siffrrna i bas 2 är endast två: 0 ch 1 (datrer bygger på den enkla frmen!) Vi använder divisinsalgritmen flera gånger: /1[!QG 0 @ LQf S fa!q3 0 [!QG 0!Q 0 Tittar vi på resterna nerifrån uppåt får vi siffrrna i bas 2 dvs /1U // ) dvs /1Ua4Q 2 04Q 8 «Q ) S BQ - Precis sm i första fallet gör vi insättningar: /1[a Q3-% f Q3 Q -0-(f Q ) 0 Q -0 Q )p% Q 8 «Q )*0 Q -0 Q 8 4Q)*0-4Q 2 04Q 8 0RQ ) S BQ -0 Nu visar vi vår allmänna sats: (320) Sats Låt n där siffrrna " { " " ) " vara ett naturligt tal Då kan varje naturligt tal w " " är naturliga tal ch MX " Ÿ QQQ " " { K skrivas entydigt på frmen

X w w X w (320) 19 Bevis Vi visar satsen med matematisk induktin med avseende på w Om w K klart vi har w " { Låt ss anta att satsen är bevisad för alla naturliga tal mindre än w visar satsen för talet w Låt vara den största ptensen av sm inte är större än w dvs wàã K Enligt divisinsalgritmen är ÁXeṼ K där K ch F med " Men V@K MX där " Ÿ K F +V3 så är påståendet Vi ch K Kvten F V ch resten definieras entydigt av w Nu betecknar vi F så att enligt induktinsantagandet kan vi skriva V[ ", vilket bevisar satsen 0QQQ3 " " { Övning I Att gissa ett tal Försök förklara hur man gissar de tre talen, ch Ä i följande sifferlek: Tänk på ett tal mellan 0 ch 9 (säg, ); Multiplicera talet med 2; Addera 1; Multiplicera med 5; Addera ett annat tal mellan 0 ch 9 (säg, ); Multiplicera med 10; Addera ett annat heltal mellan 0 ch 9 (säg, Ä ); Vilket tal har du fått? Låt ss anta att talet sm man har fått är w Räkna ut wå ch Ä (i denna rdning) Testa med Dina gruppkamrater! ' Siffrrna i detta tal är just Övning J '/'/' 1 Skriv talen i det binära systemet (dvs i bas 2) ch i det hexadecimala systemet (dvs i bas 16) Kan Du förklara fördelar ch nackdelar i samband med användningen av lika baser? Anmärkning I det hexadecimala systemet används ftast Æ hç?è!h ÁhÉ ch Ê för att beteckna siffrrna / ch ' 2 Skriv i vårt vanliga decimala system talen Z /3 ch Z /3 ~

{ ) ] ] ˆ ˆ Ä Ä ˆ ) Z Ä T 20 Explrativ övning 3 Övning K DifantiskaËË ekvatiner Termen Difantisk ekvatin gäller ekvatiner vars heltaliga eller ratinella lösningar man vill bestämma T ex att bestämma alla heltaliga lösningar ZÌ Ä till ekvatinen eller alla heltalspar ZÌ ) + ) sm löser ekvatinen 3Í 3ÎBa Den första ekvatinen van kallas Pythagras ekvatin ch har ändligt många lösningar (t ex alla ZÌ] ) e, där ] är ett heltal ] ger Z ' ) Den andra ekvatinen (ett specialfall av Catalans ekvatin) har en lösning Z Den mest berömda av alla Difantiska ekvatiner är Fermats ekvatin: + där ] n Det tg mer än 350 år att lösa den ekvatinen I september 1994 visade den engelske matematikern Andrew Wiles att ekvatinen saknar heltaliga lösningar ZÌ I ÄG med i i I talterin finns många närbesläktade prblem sm frtfarande väntar på sin lösning Vi skall i denna övning syssla med mycket enkla Difantiska ekvatiner av typen " M w 1 Bestäm ett heltalspar ZÌ { { sådant att @'3 ` (Du kan försöka gissa en lösning!) Bestäm därefter alla heltalspar ZÌ sådana att 9'3M` Ledning Observera att m Y'3 a { Y'3 { så är ZÌÏ+ { a' { Detta ger att / för ett heltal Uttryck med hjälp av { ch därefter med hjälp av { 2 Låt ZÌ { { vara en lösning till ekvatinen " w, där " ch saknar gemensamma delare (dvs " ch är relativt prima) Bestäm alla lösningar till denna ekvatin dvs alla heltalspar ZÌ sådana att " M w Ledning Gör sm van Exempel till Övning K: Linjära Difantiska ekvatiner Vi skall bestämma alla heltaliga lösningar ZÌ till ekvatinen /53Á alla kefficienter med 4 ch får den ekvivalenta ekvatinen jf ' Först dividerar vi Nu behöver vi en partikulär lösning till denna ekvatin En sådan lösning kan vi rent allmänt beräkna med Euklides algritm i Difants (eller Diphantus) var en grekisk matematiker sm levde i Alexandria mkring 250 ekr Trligen skrev han 13 vlymer av ett verk under namnet Arithmetica 6 av dessa vlymer finns bevarade Catalans ekvatin är Ð/Ñ ÒUÓÔNÕ ÖªØ Det u u är inte känt m denna ekvatin har en lösning i naturliga tal skild från, Ú,, Ü Det finns en mycket intressant bk av Simn Singh Fermats gåta sm berättar m lika turer kring Fermats prblem ch dess lösning Ð-ÕƒÙ Õ Û ÓsÕ Û ÕƒÙ

Œ Z Z Œ ß F (320) 21 enlighet med (311), men vi kan ckså gissa en lösning utan större prblem Först tar vi ekvatinen ÀfMa ch ser direkt att Ma, är en lösning För att få en lösning till vår ekvatin måste vi multiplicera denna med 5 dvs {, { (' är en partikulär lösning till ekvatinen MfÝ ' (kntrllera!) Låt ZÌ beteckna en gdtycklig heltalig lösning Då är +fà { Sf är ZÌLÝ { (f { delare med 7 måste H { dvs { À / À%, där är ett heltal Vi får { /_ ger ZÌÀ { (f-q/_ dvs Ml { (f_ Alltså är { Sf_À «9f_ M0, { /_À ' /_ { Alltså Likheten visar att 3 dividerar högerled ch eftersm 3 saknar gemensamma ch insättning med ett gdtyckligt heltal _ den allmänna lösningen till den givna ekvatinen Övning L Primtalstvillingar Man säger att två primtal m ch F är tvillingar m F!ƒm ( 1 Skriv ut alla primtalstvillingar Ke / 2 3, 5 ch 7 är primtalstrillingar Mtivera att det inte finns några andra primtal m att V ¼F F!ƒm V sådana Anmärkning Primtalstvillingar intresserade människr redan under antiken De nämns i Euklides böcker Man vet inte m det finns ändligt många sådana primtalspar Övning M Aritmetiska följder av primtal Vi repeterar att en aritmetisk följd med differansen E är en följd av talen ", " E, " ` E,, " ]œe (detta betyder att m " Ÿ " OÞ E ch " Ÿ " Þ E, så är " Ÿ p " Ÿ E dvs differensen av två efterföljande tal i följden är lika med E ) T ex är 11, 17, 23 en aritmetisk följd med differansen 6 1 Skriv ut alla aritmetiska följder av primtal sm är Kš' ch sm består av minst tre stycken primtal 2 Försök skriva ut en aritmetisk följd bestående av 4 primtal Anmärkning Man vet att det finns gdtyckligt långa aritmetiska följder av primtal /ߊO Men det finns gdtyckligt långa avsnitt av de naturliga talen sm saknar primtal t ex är, /ß, /ß(/ /ߊ «Q7QQQ/ ti efterföljande sammansatta tal (varför?) Vi har ch rent allmänt ] ßGa4Q7QQQ ] dvs ] är prdukten av alla naturliga tal från 1 till ] 3 Skriv ut en följd av 100 efterföljande sammansatta tal ch generalisera Din knstruktin till en följd av ] efterföljande sammansatta tal Anmärkning DirichletË visade 1828 att varje aritmetisk följd " ]œe, där " ch E är relativt prima (dvs SGDZ " E à ) ch ] y innehåller ändligt många primtal T ex finns det enligt RS [ Dirichlets sats ändligt många primtal på frmen ] ch ändligt många på frmen ] Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2 1805 5/5 1859) var en mycket framstående tysk matematiker sm bidrg med resultat till flera matematikgrenar

u ] ] 22 Explrativ övning 3 Övning N Gldbachs förmdan År 1742 frmulerade Gldbach påståendet att varje jämnt heltal större än 2 är en summa av två primtal T ex @ RS, ;A RS, 5U RS', Ü R9f sv Ännu har man inte lyckats bevisa detta påstående 1 Kntrllera Gldbachs förmdan för alla jämna heltal K ' 2 Visa att Gldbachs förmdan implicerar att varje udda heltal större än 5 är en summa av tre primtal Anmärkning En rysk matematiker IM Vingradv visade 1937 att varje udda heltal sm är verkligen är en summa av tre primtal Vingradvs knstant är så str (mer än 7 8 Dá större än 8 Dá miljner siffrr!) att det inte finns en chans att kntrllera hans sats för heltal mindre än med hjälp av datrer Nyligen reducerades strleken av den knstanten betydligt, men gränsen är frtfarande utm räckhåll för datrberäkningar Det finns en Internet sida där man kan skriva in ett gdtyckligt jämnt heltal sm därefter testas ch presenteras sm summa av två primtal m detta är möjligt (talet kan inte vara för strt) Övning O Mersenne primtal â ˆ ˆ â ˆ Marin Mersenne började studera dessa tal år 1644 Talen då '?fg fg1 ] är primtal T â ex är ã ä ã '/3g/5,f 8 ãå ) ~ ã 35 Mersenne primtal det sista De största kända primtalen hittar man bland så kallade Mersenne tal ett primtal Man känner upptäcktes i nvember 1996 Senaste nytt m Mersenne talen kan fås på Internet (sök Mersenne Prime ) â 1 Visa att talet ) 8 Gf inte är ett primtal kntrllera att H ) 8 2 Mtivera att Mersenne talen â+ˆ inte är primtal då ] är sammansatt Ledning Börja med jämna ] Övning P Frmler för primtal Man har studerat lika frmler æ ZÌ] sm för varje ] ger ett primtal (ch helst alla) ) N a, 1 L Euleri fann att æ ZÌ] ger primtal då ] (Du kan kntrllera detta fast det är lite jbbigt) Visa att det finns ändligt många ] sådana att æ ZÌ] är sammansatt Christian Gldbach (18/3 1690 20/11 1764) var en tysk matematiker Läs m Gldbachs förmdan i Matte med mening på sid 36 Lenhard Euler (15/4 1707 18/9 1783) var en schweizisk matematiker Men han var verksam under många år i St Petersburg ch Berlin Eulers sysslade mest med matematik, men han gjrde ckså viktiga insatser i andra vetenskaper Han var en av de mest prduktiva vetenskapsmänen i histrien ch skrev hundratals artiklar ch böcker Under de sista åren av sitt liv var han blind, men han publicerade lika mycket sm tidigare han dikterade sina artiklar ch böcker sm skrevs av en betjänt Euler hade 13 barn Läs m Euler i Matte med mening

m (320) 23 Anmärkning Både C Gldbach ch L Euler visade att varje plynm æ ZÌ] med heltaliga kefficienter ger ett sammansatt tal för någt ] Vi visar den satsen sm en enkel övning i avsnittet m plynm ˆMe )ç 0 2 Fermat trdde att hans tal Ê är primtal för varje ] Vi vet redan (se stencilen Induktin ch deduktin ) att hans förmdan var falsk Kntrllera med miniräknare att ;3N H Ê Anmärkning Man har studerat andra frmler för primtal T ex vet man att det finns ett psitivt reellt tal " sådant att heltalsdelen av talet " 8 ç (dvs det största heltalet mindre än detta tal) är ett primtal för varje ] Men man känner tyvärr inte talet " Det finns ett plynm i 26 variabler (av grad 25) sm alltid ger primtal då variablerna antar icke negativa heltaliga värden ch plynmets värde är större än 0 Man får alla primtal, men de kmmer inte i någn naturlig rdning Man lyckades minska antalet variabler i liknande plynm, men man var tvungen att öka dess grad (se en mycket intressant bk av Paul Ribenbim, The Little Bk f Big Primes, Springer Verlag, 1991 Övning Q Primtal i intressanta frmer 1 Man visar att det finns ändligt många primtal m sm är summr av två heltaliga kvadrater dvs " ) ), för två heltal " ch Varje primtal m sm lämnar resten 1 vid divisin med 4 kan skrivas på detta sätt (se vidare avsnittet m restaritmetiker) Visa att varje primtal sm lämnar resten 3 vid divisin med 4 inte är en summa av två heltaliga kvadrater Ledning Både " ch i m " ) ) måste vara udda Anmärkning Ganska nyligen visade två matematiker J Friedlander (University f Trnt) ch H Iwaniec (Rutgers University) att det finns ändligt många primtal m sm kan skrivas på frmen m " ) 2 med heltal " ch Detta resultat betraktas sm en str matematisk sensatin 2 Försök hitta 5 primtal m sm kan skrivas på frmen m 3 Det är inte känt m ] ) + ) 0 " ) 2, där " ch är heltal är ett primtal för ändligt många ] (men man trr att det är så) Visa att ] är sammansatt för ändligt många ] Anmärkning Det finns många besvarade frågr av liknande karaktär Är t ex ] ) e ett primtal för ändligt många ]? Man vet inte m talet ] ß/ är ett primtal för ändligt många ˆ ] Vi nämnde Fermat talen Ê ) ç e man vet inte heller m det finns ändligt många primtal bland dessa Följande övningar i Vretblads bk rekmmenderas: Vretblad: 242 a) (227 a)), 243 (228), 247 (230), 248 (231), 249 (232), 250 (233), 255 (235)

H H n F V Z F K H V F E F { { X H F 24 Explrativ övning 3 APPENDIX: NÅGRA BEVIS (321) Divisinsalgritmen Om " UT 0 ch är heltal ch så är " WV3 där @XYVPK H Både F[Z kallad kvten ch V Z kallad resten är entydigt definierade av " ch Bevis Först nterar vi att det räcker m vi bevisar satsen då n Kä eftersm innebär att Om satsen gäller då delaren är psitiv, så är " Z F 9V X VÝK, med H H Denna likhet kan skrivas m till " Z -F, +V Alltså _ förutsätter vi vidare att n Låt ss nu välja det största möjliga heltalet sådant att F bz Alltså är F e nybz Dessa likheter säger att " ch " K Om vi betecknar " F V med så får vi " ÏV X VUK ch Slutligen visar vi att kvten F ch resten V definieras entydigt av " ch Antag att: " +VA XèV K där H H ëxév ch H dvs både F ch F V V är kvter samt ch är rester Då är Z FBSF V, så att V delar V V Men både V êv ch är mindre än H H, vilket innebär att deras skillnad är delbar med endast m de är lika dvs Alltså är F F, så att F F eftersm UT 0 F +V3 (322) Sats Om " ch är heltal ch E e s B Z " så existerar två heltal { ch { sådana att " { Bevis Om " 0 så är påståendet klart (sm ch kan man välja helt gdtyckliga heltal) Anta att " eller inte är Det är klart att det finns psitiva heltal sm kan skrivas på frmen " t ex m " 0 T > så är " " Q >@ Q ch antingen " eller " är ett psitivt heltal Även " Q Qh kan skrivas på frmen " Låt E { vara det minsta psitiva heltal sm kan skrivas på den önskade frmen dvs Z Â3 E { " { Vi påstår att E { delar vi " E Först bserverar vi att varje heltal " med E { Då är är delbart med E { För att bevisa detta " FE { +V3

Z APPENDIX A 25 där resten V är mindre än delaren E { Men VA " ¼FE { " WFZ " { { " ZÌ ¼F3 { ¼F { V så att måste vara ty annars får man ett tal sm är mindre än E { ch sm kan skrivas på den önskade frmen Alltså dividerar E { både " ch ty bägge kan skrivas på frmen " Ekvatinen (Â ) visar att m Eg är en delare till " ch, så är EG en delare till E { Alltså är E { den största gemensamma delaren till " ch NÅGRA METODISKA SYNPUNKTER Vikten av talterin i sklan Talterin sm mtivatinskälla Delbarhet med 0 Aritmetikens fundamentalsats sammansatta tal ch primtal Datrer i matematikundervisningen (talterins lämplighet) 1 ej primtal SGD ch MGM största ch minsta (i vilken mening)