Elektromagnetism Laboration 2 1 Utfördes av: Henrik Bergman Muzammil Kamaly Uppsala 2015-05-17 1 Tagen Från Kelvin Ramirez Q1.B Henrik Bergman 941120-0190 1
0. Historik Sammandrag 2. Introduktion 3. Syftet 4. Teori 5. Metod och materiel 6. Metod 6.1 Koppling av spole 6.2 Riktining av magnetfält 7. Resultat 7.1 Riktning av magnetfält 7.2 Styrka av magnetfält 8. Diskussion 8.1 Magnetfältets styrka i given komponentriktning 9. Slutsats 10. Felkällor 11. Referenser Appendix Henrik Bergman 941120-0190 2
0. Historik Skriven av: Henrik Bergman, Muzammil Kamaly; 2015-05-17 Kompletterat på diverse punkter av: Henrik Bergman, Muzammil Kamaly; 2015-06-03 Henrik Bergman 941120-0190 3
1. Sammandrag En strömförande ledare ger ett upphov till ett magnetisk fält då en ström går igenom den. Under denna laboration användes en flatspole som bestod av koppar och med en pålagd ström kunde riktningen hos magnet fältet bestämmas med hjälp av en magnetisk riktningsvisare. Laborationen gick dels ut på att beräkna och mäta den magetiska fältet i en flat spole som man därefter skulle jämföra de mätresultat man erhöll med den teoretiska beräkningarna för att se hur stor skillnad i mätresultatet man fick från experimentet. Vårt resultat för det empiriska stämmer relativt väl överens de vi beräknat genom teori om vi tar hänsynd till en miss som gjordes där jordens magnetfält bidrar till en ökning/minskning i värdet för magnituden hos det magnetiska flödestätheten i våra valda riktningar. 2. Introduktion Magnetiska fält har ett stort användningsområde i dagens samhälle allt från simpla elmotorer till att kontrollera plasma i fusionsreaktorer. Att känna till hur dessa fungerar är fundamentalt för att kunna tillämpa dom för dess användning och driva utvecklingen framåt. Ett magnetfält bildas kring en ledare som det går en ström igenom detta eftersom det magnetiska effekterna beror har en stark sammankoppling till elektronernas spinn, en kvantmekanik egenskap. Vi kan förstärka det magnetfält som bildas genom olika metoder. En spole är ett exempel på en tillämpning. En spole består oftast av koppartråd lindad i en cirkulär bana, de två friaändarna på koppartråden anslutas till en ström källa och ger då upphov till ett magnetfält. För en flat spole kan man approximera att magnetfältets styrka öka proportionellt mot antalet lindningar. Magnetfältet som mäts i enheten Tesla ökar även med en högre ström, I som går igenom spolen. Även en mindre radie på spole ger ett större magnetfält i centrum för spolen. Beroende på spolens geometri beräknas styrkan lite olika. 3. Syftet Syftet med denna rapport är att bekräfta hur väl de teoretiska formler stämmer överens med våra empiriska mätningar eller förstå varför våra mätvärden inte gör det. Syftet är även att förstå det grundläggande elektromagnetiska egenskaper hos flat spolen. Henrik Bergman 941120-0190 4
4. Teori Biot-Savarts lag används för att finna det totala B-fältet i en punkt som påverkas av en pålagd ström i en spole och avgöra det magnetiska fältet längs en axel i den intressanta punkten kring spolen. B = μ 0 4π Idlxr r3 Formeln (1) gäller för alla punkter. Födestätheten beräknas med hjälp av den numerisk integration. Där B är Magnetfältet, μ 0 är permeabiliteten för vakuum, N är antalet lindningar, I är strömmen och r är radien och dl är ett längd segment av spolens lindning. (1) 2μ0NIA B = 3 4πR (2) Formeln (2) är en formeln som kan endast användas längs i symmetriaxeln (z-axeln), där B är Magnetfältet, μ 0 är permeabiliteten för vakuum, N är antalet lindningar, I är strömmen och r är radien, dl är ett längd segment av spolens lindning, A är arean av spolen. En specifik typ av spole är en flat spole, den består av ett antal lindade varv av slingor som fig 1 visar. Fig 1. En illustrativ bild av en enkel spole med en lindning. Ström riktning på strömmen I är utmarkerad, liksom magnetfältet kring en punkt på slingan. Magnetfältet beskrivs av de cirkulära pilarna. Därefter används datorprogrammet Matlab där vi använder oss av ekvation (1) för att beräkna flödestäthet hos valfri punkt och med hjälp av numerisk summering av samtliga längdsegment dl kan scriptet beräkna flödestätheten i punkten den önskade punkt. Henrik Bergman 941120-0190 5
5. Metod och materiel Material Spänningsagregrat Noll-ställningslåda Flat spole av koppar 2 st Digtal Multi meter (DMM) Riktningsvisare Hall-probestång 6. Metod 6.1 Koppling av spole En spole kopplas till ett likströmsaggregat med en seriekoppling till en ampermeter för att precist kunna bestämma strömmen. Kraftaggregatet bör ha en constant current mode och strömmen valdes till 1,000 A. Därefter mättes magnetfältet med en hallprob som var kopladd till en nollställningsshunt för att kunna kalibrera proben. Proben kräver i sig en spänningskälla på ca 5V. En spänningskälla kopplades till spänningsshunten, liksom en voltmeter (se fig 2). Spännings förändringen lästets av för att sedan räknas om enligt ett linjärt samband till ett värde för magnetfältets styrka. Hall-proben mäter endast fältstyrkan i den komponent den riktas i. Nollställnigsbox används för att nollställa spänningen och därmed lättare kunna avläsa spänningsskillnad från proben. Det är viktigt att riktningen hos proben är den samma som den riktning som magnetfältet skall mätas i då den nollställs. Om det finns ett yttre magnetfält i riktning som proben är i då spolen är avstäng bör en ny riktning väljas där det inte finns något magnetfält. Alternativt kalibreras proben till noll nivå och kalibreras om varje gång då den vänds 180 grader. Henrik Bergman 941120-0190 6
Fig 2. Visar kopplingsschema över experimentutförandet, både för hall-proben och spolen. Bild 1. Visar experiment utförande då riktningsvisare används för att ta reda magnetfältets riktning 2 6.2 Riktining av magnetfält Riktningen av magnetfältet undersöktes med en riktningsgivare kring spolen då en pålagd ström gick igenom spolen. Som bild 1 visar pekar den röda nålen i riktningen av magnetfältet, Detta gjordes på olika position från spolen tills ett samband in sågs och hade 2 Tagen av Muzammil Q1.B Henrik Bergman 941120-0190 7
kartlagts. Bild 2. Visar en bild över experiment utförande med samtliga kopplingar samt val av koordinatsystem med spolens centrum som origo. 7. Resultat 7.1 Riktning av magnetfält 3 Fig 3. Visar resultatet av hur magnetfältet (markerat som röda pilar med positiv riktning i pilens. riktning) är kring spolen i x-z-planet, där det svara parallela sträcken är spolen och de svarta pilarna är strömmens riktining. Notera att de svarta lindningarna hos spolen går över det röda fältlinjerna för magnetfältet. Se bild 2 för definition av koordinatsystem 3 Tagen av Muzammil Q1.B Henrik Bergman 941120-0190 8
Fig 4. visar resultatet av hur magnetfältet är kring spolen i y-z-planet, där det svara parallela sträcken är spolen. Notera att de svarta lindningarna hos spolen går över det röda fältlinjerna för magnetfältet. Notera att de svarta lindningarna hos spolen går över det röda fältlinjerna för magnetfältet. Se bild 2 för definition av koordinatsystem Henrik Bergman 941120-0190 9
7.2 Styrka av magnetfält Diagram 1. Visar teoretisk beräknad och empirisk uppmätt data över magnetfältets styrka i z-riktining vid olika lägen i z-axeln (från origo). Se bild 2 för definition av koordinatsystem Henrik Bergman 941120-0190 10
Diagram 2. Visar teoretisk beräknad och empirisk uppmätt data över magnetfältets styrka i z-riktining vid olika lägen i x-axeln (från origo). Se bild 2 för definition av koordinatsystem 4 Tabell 1. Visar värden som tidigare uppmätts i Magnetiska fält 4 Magnetiska fält av Unnar Arnalds, Andreas Frisk, Uppsala universitet, 2014-10-09 Henrik Bergman 941120-0190 11
Diagram 3. Visar teoretisk beräknad (svarta) och empirisk uppmätt data för Robert (cyan), Gabriella (blåa) och våra (röda) över magnetfältets styrka i z-riktining vid olika lägen i x-axeln (från origo). Se bild 2 för definition av koordinatsystem 5 8. Diskussion Vi började att ta reda på riktingen hos det magnetiska fält i olika positioner kring spolen och mha riktningsvisaren visade det sig stämma överens med vår teori i samtliga punkter som vi hade mätt. Från våra mätningar kan vi bekräfta att då en ström förs igenom en spole kommer den magnetiska fältet bildar slutna intervall, alltså en loop. Vi ser även att det magnetiska fältet går igenom spolens hål och därefter ut. Beroende på strömriktining kommer magnetfältet ha olika riktningar relativt spolen. 8.1 Magnetfältets styrka i given komponentriktning I diagram 1 visas magnituden (av given riktning) av magnetfältet hos spolen och även jämförelse med våra mätdata och den teoretiska beräkning. Det kan finnas faktorer som kan ha påverkat våra mätresultat. Ett av dom kan ha varit det jord magnetiskafältet liksom missen av kalibrering av hall-proben då riktningen ändrades (se nedan). Eftersom spolens z-axel var riktad mot nord-sydlig riktning får vi ett bidrag av det jord magnetiskafältet då vi mäter den magnetiska flödestätheten från spolen som också är i z-riktning. 5 Magnetiska fält av Unnar Arnalds, Andreas Frisk, Uppsala universitet, 2014-10-09 Henrik Bergman 941120-0190 12
Skulle man ta hänsyn till detta och välja en rikting där det jordmagnetiskafältet inte har någon komponent (t.ex ostlig-västlig) skulle detta inte ge något bidrag. Vi kalibrerade spänningen med hjälp av den s.k noll ställningsboxen dock missade vi att kalibrera om hall-proben då den vändes 180 grader, vilket ger oss en offset i spänning på ca -1 till 0 mv. Tyvärr syntes inte detta i resultatet då vi antog att absolutbeloppet av spänningen var den samma om vi ändrade till negativ z-riktning (jmf med positiv z-riktning) och därmed aldrig antecknade värdet. Dock ser vi i diagram 1 att detta inte stämmer eftersom vi har ett hopp i värde kring x=0.. Det är viktigt att veta när man utför liknande experiment ska man räkna med dem osäkerheter som kan påverka ens resultat från experimenten som leder till att man kan få en stor osäkerhet i resultatet. I vårt fall tog vi inte hänsyn till den styrkan från det jordmagnetiskafältet eftersom med hjälp av nollställningsboxen kalibrerade (nollställde) vi spänningen så att DMM visade noll även då vi hade hall-proben i det jordmagnetisk fältets riktning eftersom spolen var riktad i nord-sydlig riktning. En lösning hade varit att placera spolen i ostlig-västlig riktning då det jordmagnetiska fältet inte har någon nollskilljd komponent i den riktningen. Troligen har även något mätfel skett då vi vände på hall-proben eftersom vi får en offset i x- axeln under första halvan. Vi antog att spolen var 2cm men troligen är den bredare För att få bättre värden bör experimentet göras om med förslagna lösningar på uppkomna problem. Det allra bästa hade varit att upprepa experimentet men med ostlig-västlig riktning på z-axeln hos spolen liksom vara noggran med att mäta upp rätt avstånd i x-led. Detta är för att eliminera alla felkällor som uppståt. Dock kan vi se ett tydligt samband ur resultatet och med relativt storsannolikhet kan vi dra slutsatsen att teorin stämmer med praktiken. I diagram 2 ser man att våra mätdata stämde för det mesta överens med den teoretiska beräkningen. Utav detta kan vi dra slutsats att utförandet av detta experimenten har givit ett framgångsrik resultat eftersom skillnaden är inte stor men det som kan ha påverkat resultat är som sagt det jordmagnetiska fältet, såsom den påverkade värdet i z-riktningen kan den också ha påverkat i x-riktningen men i vårt fall var påverkan ganska låg med tanke på att hall-proben inte bytte riktning. I diagram 3 valde vi att jämföra våra mätdata med Robert och Gabriella för att se hur magnetfältet styrka varierar beroende på avståndet från spolens centrum. Från -0,15m till 0,14 m ser vi att våra mätdata skiljer sig mycket med Roberts- och Gabriellas mätningar, en av orsakerna till fortplantningen kan vara den felaktigt kalibrerade spänningen. Den andra orsaken kan vara att dem har bestämt z-riktning på ett sätt där den jordmagnetiska fältstyrkan har mindre påverkan hos hall-proben (t.ex ostlig-västlig rikting) vilket skiljer sig mellan vår uppställning. Detta leder till att dem får ett bättre resultat från -0,15 m 0 m men deras uppställning kan också ha påverkat deras mätresultat från 0m 0.14 m, vilket leder till att man kan se att våra resultat stämde någorlunda överens med Gabriellas mätresultat och skiljer sig med Roberts mätdata. Henrik Bergman 941120-0190 13
När man ser mätdata från Tabell 1 ser man att Gabriella har missat att göra en mätning vid punkten 0 då man roterat på hall-proben. Tillskillnad från Robert- och med våra värden. Det är viktigt att man vet när man utför sådana experiment att man ska försöka mäta alla punkter eftersom det kan finnas en liten skillnad i punkten 0 (i vårt fall) om man skulle byta riktningen hos proben vilket leder till att experiments resultat blir påverkat. Samtliga punkter för Robert verkar även vara något förskjutna mot positiv x-riktning. Antagligen har något mätfel med linjalen gjorts tex att man inte har mätt ifrån centrum av spolen. 9. Slutsats Teorin stämmer med praktiken om vi tar hänsyn till de felkällor samt fel som diskuteras. En hall-prob är ett effektiv sätt att få magnituden på den magnetiska flödestätheten. Det är viktigt att bestämma en bra riktingen för att få så låg påverkan som möjligt i resultatet som möjligt. 10. Felkällor Vissa faktorer kan ha påverkat vårt utförande en av faktorerna kan vara: Nollställningsbox Man ska veta att när man kalibrerar kommer spänningen inte bli exakt noll eftersom det kan finnas lite mätosäkerhet hos DMM även om man lyckas kalibrera spänningen så att DMM visar 0 ska man notera att det kan finnas yttre faktorer som kan påverka experimentet som t.ex. jordmagnetiska fältet som behandlas nedan: Bestämma riktningen Som vi har diskuterat innan ska man vara medveten om dem externa faktorer som kan påverka ens resultat och detta leder till att man också bör bestämmer en lämpligt riktning hos z alltså en riktning som leder till att den jordmagnetiska fältet har mindre påverkan hos hall-proben. Jordmagnetiska fältet I detta experiment räknade vi inte med det jordmagnetiska fältstyrka vilket leder till att kalibreringen kan bli påverkad beroende på vilken riktning man pekar hall-proben när man utför experimenten. Mätdata kommer att bli påverkad av jordmagnetiska fältet men man försöker minimera påverkan så mycket som möjligt för ett framgångsrikt resultat. Osäkerhet hos hallproben Vi fick en angivelse att spänningen ökar linjärt med ökat magnetfält. k-värdet fick vi angivet sedan tidigare kalibreringar av själva hallproben dock vet vi inget om hur exakt detta värde är annat att det angavs med två decimaler. Vilket emellertid skulle ge en nästintill försumbar felkälla om den noggranheten stämde. Henrik Bergman 941120-0190 14
11. Referenser 1. Bild 1 tagit av Kelvin Ramirez Q1.B 2. Bild 2 Tagen av Muzammil Q1.B 3. Bild 3 Tagen av Muzammil Q1.B 4. Magnetiska fält av Unnar Arnalds, Andreas Frisk, Uppsala universitet, 2014-10-09 5. Magnetiska fält av Unnar Arnalds, Andreas Frisk, Uppsala universitet, 2014-10-09 Henrik Bergman 941120-0190 15
Appendix Kod för mätning i z-axel %-------------------------------------------------------------------------------------- clc clear all %Mätning i x-axel %Mätning 1 x_exp=[-0.13:0.02:-0.01, 0:0.02:0.12]; %avstånd i x-axel Vx=[80, 54, 41, 36, 33, 31, 30, 30, 31, 32, 34, 37, 44, 56]; %spänning Vx=(10^-3)*Vx; Bx_x_exp=Vx./(4.76*10^-3); %beräkning av magnetfält %Teoretisk R=.155; I=1; Ntheta=100; % Slingdata: radie, ström, antal segment dtheta=2*pi/ntheta; n=150; %antalet varv theta=dtheta*[1:ntheta]'; %1-kolumnvektor, observera fnutten' x_teo = [-.2:0.01:.2]; %summering av numerisk intergral for i=1:length(x_teo); B=0; for k=1:ntheta; r=[x_teo(i)-r*cos(theta(k)), 0-R*sin(theta(k)), 0]; ds=dtheta*[-r*sin(theta(k)), R*cos(theta(k)), 0]; db=i*cross(ds,r)/norm(r)^3; B=B+dB; end B=B*1e-7; % med?0/4? Bz_x(i)=B(3)*n; %erhåller magnetfält i z-komp end Bx_x=Bz_x.*(10^4) Bx_x_exp %plot av diagram plot(x_teo,bx_x,' k ') hold on grid on plot(x_exp,bx_x_exp,' *r' ) title(' Magnitud av magnetiska flödestätheten i z-komponent ') xlabel(' avstånd i x-axel från origo (m) ') Henrik Bergman 941120-0190 16
ylabel(' magnetiska flödestäthetens magnitud (Gauss) ') %-------------------------------------------------------------------------------------- Kod för mätning i x-axel %-------------------------------------------------------------------------------------- clc clear all clear %Mätning i x-axel %Mätning 2 z_exp=[-0.4:0.04:0.4]; %avstånd i z-axel Vz=[3, 4, 4, 5, 7, 9, 13, 17, 24, 30, 29, 25, 19, 13, 9, 6, 4, 3, 2, 2, 1]; Vz=(10^-3)*Vz; Bx_z_exp=Vz./(4.76*10^-3) %beräkning av magnetfält %spänning %Teoretisk R=.155; I=1; Ntheta=100; dtheta=2*pi/ntheta; n=150; theta=dtheta*[1:ntheta]'; z_teo = [-.4:0.01:.4]; % Slingdata: radie, ström, antal segment %antalet varv %1-kolumnvektor, observera fnutten' %summering av numerisk intergral for i=1:length(z_teo); B=0; for k=1:ntheta; r=[0-r*cos(theta(k)), 0-R*sin(theta(k)), z_teo(i)]; ds=dtheta*[-r*sin(theta(k)), R*cos(theta(k)), 0]; db=i*cross(ds,r)/norm(r)^3; B=B+dB; end B=B*1e-7; % med?0/4? Bx_z(i)=B(3)*n; %erhåller magnetfält i z-komp end Bx_z=Bx_z.*(10^4) Bx_z_exp %plot av diagram plot(z_teo,bx_z) hold on plot(z_exp,bx_z_exp,' *r ') title(' Magnitud av magnetiska flödestätheten i z-komponent' ) xlabel(' avstånd i z-axel från origo (m) ') Henrik Bergman 941120-0190 17
ylabel(' magnetiska flödestäthetens magnitud (Gauss) ') %-------------------------------------------------------------------------------------- Kod för jämförning av mätvärden clc clear all clear %antar att mätningarna är gjorda i (0,0,z) %antar att personerna har gjort mätningar med samma hallbrob som oss (samma %spänning/gauss) z_exp=[-0.4:0.04:0.4]; Vz=[3, 4, 4, 5, 7, 9, 13, 17, 24, 30, 29, 25, 19, 13, 9, 6, 4, 3, 2, 2, 1]; Vz=(10^-3)*Vz; %spänning V Bx_z_exp=Vz./(4.76*10^-3) %spänning till gauss %Roberts mätning i z-axel x_robert=[-0.2:0.05:0, 0:0.05:0.2]; %avstånd m V_robert=[5.4 8.7 14.5 22.6 30 30.1 29.4 21.9 14.1 8.6]; V_robert=(10^-3)*V_robert; V_robert=V_robert./(4.76*10^-3); %spänning till gauss %Gabriellas mätning i z-axel x_gabriella=[-0.2:0.05:0, 0.05:0.05:0.2]; V_gabriella=[5.7 9.8 16.6 25.3 29.1 24.5 15.4 9.3 5.7]; V_gabriella=(10^-3)*V_gabriella; V_gabriella=V_gabriella./(4.76*10^-3); %avstånd m %spänning mv %spänning V %spänning till gauss %Teoretisk R=.155; I=1; Ntheta=100; dtheta=2*pi/ntheta; n=150; theta=dtheta*[1:ntheta]'; z_teo = [-.4:0.01:.4]; % Slingdata: radie, ström, antal segment %antalet varv %1-kolumnvektor, observera fnutten' %summering av numerisk intergral for i=1:length(z_teo); B=0; for k=1:ntheta; r=[0-r*cos(theta(k)), 0-R*sin(theta(k)), z_teo(i)]; ds=dtheta*[-r*sin(theta(k)), R*cos(theta(k)), 0]; db=i*cross(ds,r)/norm(r)^3; B=B+dB; end B=B*1e-7; % med?0/4? Bx_z(i)=B(3)*n; end Henrik Bergman 941120-0190 18
Bx_z=Bx_z.*(10^4); Bx_z; %plotta hold on grid on plot(z_teo,bx_z, 'k' ) plot(z_exp,bx_z_exp,' *r ') plot(x_robert,v_robert,' *c ') plot(x_gabriella,v_gabriella,' *b ') title( 'Mätning av magnetfält i z-axel' ) xlabel( 'avstånd i z-axel (m)' ) ylabel(' magnetfält (G) ') Henrik Bergman 941120-0190 19