Dagens Teori. 6.1 Kombinatorik Ett svårt problem

Dagens Teori 6.1 Kombinatorik Många problem inom matematiken, datalogin och ingenjörsvetenskapen består av att räkna antalet objekt med speciella egenskaper. Även om det inte finns någon absolut regel för hur man når målet, finns det ett antal grundläggande verktyg och tekniker som som kan användas för att lösa många av dessa problem. Följande två föreläsningar kommer att handla om methods of counting. I vår moderna tid, finner man, inom nästan alla områden, det nödvändigt att åtminstone då och då lösa problem av kombinatorisk natur. För en dataingenjör, är stora delar av designarbetet hos ett program, ett kombinatorsiskt problem. Administratören lägger schema eller planerar transporter. Bonden betraktar olika möjligheter till utsäde på sina åkrar. Aktiespararen kalkylerar med olika fondplaceringar. Pokerspelaren optimerar sina chanser. Kemisten granskar möjliga kombinationer av atomer och molekyler. Statistikern tar i betraktande olika arrangemang inför ett experiment. Det finns tre grundläggande problem inom kombinatoriken som svarar på frågorna: Finns det någon lösning över huvud taget? Hur många lösningar finns det? Vilken lösning är billigast? 6.1.1 Ett svårt problem Schackbrädet och dominobrickorna Vi har ett vanligt schackbräde med 64 rutor i 8 rader och 8 kolumner. Vi har också ett tillräckligt antal dominobrickor, så stora att de täcker två rutor på schackbrädet. Det är inget problem, att med 3 brickor täcka hela schackbrädet, ett enkelt uppsättningsproblem. Det är ganska svårt, men inte omöjligt att ta reda på att det finns olika lösningar. 4 901 = 1988816 Frågan är nu om man ska lösa problemet med ren matematik och försöka hitta en formel som ger svaret, eller tillåter man sig att använda ett program. Den här formeln hittar man på nätet. Den bestämmer antalet lösningar för n n. För vårt aktuella fall är det n = 4, som gäller. ( n n ( ) f(n) = (n ) iπ ( ) ) jπ cos + cos n+1 n+1 i=1 j=1 Håkan Strömberg 1 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Med lite möda kan man översätta den till Mathematica f[n_] := ^(n^)* Product[ Product[Cos[i*Pi/(n+1)]^+Cos[j*Pi/(n+1)]^,{j,1,n}], {i, 1, n}] Table[Round[N[f[i], 300]], {i, 0, 9}] och får följande tabell n Antal lösningar 0 1 1 36 3 678 4 1988816 5 58584046368 6 5306047751960000 7 11008776036178000000 8 444888770508979580079170816 9 54894358315388338077567813084734088 Detta problem är ekvivalent med ett berömt problem i molekylär fysik, vid namn Dimer problem. C-programmet domino.c räknar antalet lösningar. Tekniken som används kallas backtracking. Programmet, som kan användas för olika storlekar hos brädet, kräver förstås att en av dimensionerna är jämn. 1 #include <stdio.h> #define rad 3 3 #define kol 10 4 5 int brade[rad+][kol+], antal=0; 6 7 void init(void){ 8 int i,j; 9 for(i=0;i<=rad+1;i++) 10 for(j=0;j<=kol+1;j++) 11 brade[i][j]= 1; 1 for(i=1;i<=rad;i++) 13 for(j=1;j<=kol;j++) 14 brade[i][j]=0; 15 } Håkan Strömberg KTH STH

1 void solve(int n){ 3 int r,k,ok=0; 4 if (n==rad kol/) 5 antal++; 6 else{ 7 for(r=1;r<=rad;r++) 8 for(k=1;k<=kol;k++) 9 if(brade[r][k]==0){ 10 ok=1; 11 goto ut; 1 } 13 ut: if(ok){ 14 if(k<kol && brade[r][k]==0 && brade[r][k+1]==0){ 15 brade[r][k]=1; 16 brade[r][k+1]=1; 17 solve(n+1); 18 brade[r][k]=0; 19 brade[r][k+1]=0; 0 } 1 if(r<rad && brade[r][k]==0 && brade[r+1][k]==0){ brade[r][k]=1; 3 brade[r+1][k]=1; 4 solve(n+1); 5 brade[r][k]=0; 6 brade[r+1][k]=0; 7 } 8 } 9 } 30 } 31 1 int main(void){ int i,j; 3 init; 4 solve(0); 5 printf("antal lösningar %d\n",antal); 6 } Vi ser bland annat att funktionen solve anropar sig själv. Detta kallas rekursion. Vi återkommer till denna typ av algoritmer i kursen Algoritmer och Datastrukturer. Vi får betrakta det som, mycket svårt att konstruera (och bevisa) formler av det slag, som den ovan. Men program, i den här stilen, kommer du att kunna skriva efter jul! En nackdel med programmet är att man knappast kan använda det för n > 4. 6.1. Grundläggande verktyg Additionsprincipen Denna princip är mycket elementär. Det hela är summan av dess delar En partition av en mängd S är en samling av delmängder S 1,S,...,S m av mängden S, sådan att varje element i S tillhör exakt en av delmängderna. Vi kallar då mängderna Håkan Strömberg 3 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK disjunkta. Vi får Som ibland skrivs samt att S = S 1 S... S m S = n i=1 S i S i S j =,(i j) Mängderna S 1,S,...,S m som är disjunkta mängder kallas delarna. Antalet element i en mängd S betecknas med S och kallas S s kardinaltal. Vi uttrycker nu additionsprincipen Sats 1 Additionsprincipen. Antag att en mängd S är delad i delarna S 1,S,...,S m. Antalet objekt i S kan då bestämmas genom S = S 1 + S +...+ S m Exempel 1 En student tänker läsa en kurs i matematik eller en i biologi. Om det finns 4 olika matematikkurser och 3 olika biologikurser att välja bland har studenten 4+3 = 7 valmöjligheter. En student tänker läsa en kurs i matematik eller en i biologi. Om det finns 4 olika matematikkurser, där en heter Matematisk Biologi och 3 olika biologikurser bland vilka kursen Matematisk Biologi ingår, att välja bland har studenten nu 6 valmöjligheter. Då de två mängderna inte är disjunkta kan additionsprincipen inte användas, 3+4 6. Multiplikationsprincipen Sats Låt S vara en mängd av ordnade par (a,b) av element, där det första objektet a kommer från en mängd A och det andra från en mängd B. Då har S, som ju är den kartesiska produkten A B, kardinaltalet S = A B Om vi delar in S i delarna S 1,S,...,S A, där S i är den mängd av ordnade par första objektet är a i. Storleken av varje S i = B. Eftersom det finns A sådana mängder är S = A B. Vi har använt additionsprincipen ett upprepat antal gånger. Exempel En student tänker läsa en kurs i matematik och samtidigt en kurs i biologi. Om det finns 4 olika matematikkurser och 3 olika biologikurser att välja bland har studenten 4 3 = 1 valmöjligheter. Exempel 3 Hur många tvåsiffriga tal finns det där siffrorna är olika och där siffran 0 inte ingår? Ett tvåsiffrigt tal ab kan skrivas som ett par (a, b), där a är tiotalssiffran och b entalssiffran. Ingen av dessa siffror får vara 0 och siffrorna ska vara olika. Vi har 9 valmöjligheter för första siffran. När väl tiotalssiffran är vald finns det 8 möjligheter för entalssiffran. Använder vi nu multiplikationsprincipen får vi 9 8 = 7. Håkan Strömberg 4 KTH STH

Ett alternativt sätt att nå fram till svaret. Det finns 9 10 = 90 tvåsiffriga tal. Av dessa innehåller 9 en 0:a, 10,0,... och 9 stycken innehåller två identiska siffror 11,,... Detta ger 90 9 9 = 7 Ibland kan det vara enklare att ta reda på det totala antalet T, som här 90 och sedan subtrahera antalet hos de delar som inte ingår, här två gånger 9. Sats 3 Att arrangera n olika objekt i en rad. n! = n(n 1)(n )... 1 n! uttalas n-fakultet. Även beteckningen P(n,n) förekommer. Exempel 4 Varje kö, som kan bildas, kallas en permutation. Om vi vill ta reda på hur många möjligheter vi har att ordna 8 olika objekt i en kö, tänker vi så här: Det finns 8 möjligheter att välja det objekt, som ska stå först i kön. När vi nu valt detta objekt, finns det 7 möjligheter att välja det andra objektet. Vi har 8 7 = 56 möjligheter att välja de två första objekten. Fortsätter vi detta resonemang når vi fram till 8 7 6 5 4 3 1 = 4030 8 objekt har 4030 permutationer. Fakultetsfunktionen växer snabbt. Redan 0! är 0! = 4390008176640000 Tänker vi oss ett program som ska ge oss svaret inom rimlig tid kanske vi inte kan acceptera mer än 13! = 6 7 00 800. Om inte alltför stora beräkningar behöver göras, för varje permutation, är 6 10 9 en acceptabel gräns. Sats 4 Att arrangera k element i en kö, när man har n objekt att välja från och k n. P(n,k) = n(n 1)(n )...(n k+1) Exempel 5 Det finns n möjligheter att välja första objektet, n 1 möjligheter att välja andra objektet och n k+1 sätt att välja det sista. I en förening med 30 medlemmar ska man välja en ordförande, en kassör och en sekreterare. På hur många sätt kan detta val utföras? 30 9 8 = 4360 Detta under förutsättning att en person inte kan väljas till fler än en förtroendepost. Sats 5 Att arrangera k 1 identiska objekt med k identiska objekt i en rad (k 1 +k )! k 1! k! Håkan Strömberg 5 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Detta kan generaliseras till n olika typer av objekt och ger då formeln (k 1 +k +...+k n )! k 1! k!...k n! Exempel 6 3 röda kulor, 4 vita och blåa, alla inbördes helt lika ska läggas i en rad. Då finns Sats 6 Att arrangera n objekt i en ring. (3+4+)! 3! 4!! (n 1)! Där det är tillåtet att rotera ett arrangemang = 160 Exempel 7 7 personer kan arrangeras 6! = 70 sätt runt ett bord. Hade de suttit i en rad hade det istället kunnat bildats 7! = 5040 rader. Man måste här inse att om ett arrangemang kan roteras till ett annat är det samma arrangemang som avses. 6.1.3 Urnmodellen Många räkneproblem kan delas in i en av fyra typproblem. Vi tänker oss en urna innehållande n kulor i olika eller devis olika färger. Att dra m kulor från en urna innehållande n kulor kan göras på flera olika sätt. n,m N där n m. I figurerna nedan innehåller urnan från början 4 kulor (en röd, en grön, en blå och en gul), n = 4. I varje exempel handlar det om att dra m = kulor. med hänsyn tagen till ordningen i vilken kulorna dras och med återläggning (genom att lägga tillbaka varje kula i urnan efter dragningen). med hänsyn tagen till ordningen men utan återläggning. utan hänsyn till ordningen och med återläggning utan hänsyn till ordningen men utan återläggning Sats 7 Med hänsyn till ordning och utan återläggning. m kulor dras ur en urna med n kulor. Antal möjligheter: Exempel 8 P(n,m) = n (n 1) (n )...(n m+1) 4 3 = 1 Håkan Strömberg 6 KTH STH

Figur 6.1: Vi drar två kulor utan återläggning med hänsyn tagen till ordningen Sats 8 Med hänsyn tagen till ordning och med återläggning. m kulor dras ur en urna med n kulor Antal möjligheter: m {}}{ n n...n = n m Exempel 9 Figur 6.: Vi drar två kulor med återläggning med hänsyn tagen till ordningen 4 4 = 16 Sats 9 Utan hänsyn tagen till ordning och utan återläggning. m kulor dras ur en urna med n kulor. Antal möjligheter: Exempel 10 C(n,m) = ( ) n = m ( ) 4 = 6 n! m!(n m)! Håkan Strömberg 7 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Figur 6.3: Vi drar två kulor utan återläggning utan hänsyn tagen till ordningen Sats 10 Utan hänsyn tagen till ordning och med återläggning. m kulor dras ur en urna med n kulor. Antal möjligheter: Exempel 11 ( ) n+m 1 m = (n+m 1)! m! (n 1)! Figur 6.4: Vi drar två kulor med återläggning utan hänsyn tagen till ordningen ( ) 4+ 1 = ( ) 5 = 10 De tre första satserna kräver knappast något bevis. De bygger alla på multiplikationsprincipen. Däremot kan det vara på plats med ett bevis av den sista. Figur 6.5: En urna med tre kulor av lika många färger. Vi ska nu dra tio kulor med återläggning I en urna finns n olika kulor, figur 6.5. En kula i taget dras och noteras med ett svart streck under rätt kula, som i figur 6.6, och läggs sedan tillbaka. Efter m dragningar kan protokollet se ut som figuren visar. Frågan är nu hur många olika protokoll som kan uppstå! Protokollets yttre väggar (de blå) är fasta. Eftersom det finns n olika kulor i urnan, måste protokollet ha n 1 inre väggar (de röda). Vi tänker oss att dessa kan blandas fritt med de kortare, svarta markeringarna, som symboliserar dragna kulor. Då finns det m + n 1 röda och svarta streck. På hur många olika sätt kan man plocka ut m platser för kulorna? Jo på Håkan Strömberg 8 KTH STH

( ) n+m 1 m Figur 6.6: I figuren ser vi ett protokoll från dragning av 10 kulor från en urna innehållande tre kulor en grå, en svart och en vit I vårt exempel får vi: ( ) ( ) n+m 1 3+10 1 = = m 10 ( ) 1 = 66 10 När vi talar om att att ta hänsyn till ordningen avser vi permutationer. När vi talar om att inte ta hänsyn till ordningen avser vi kombinationer. Exempel 1 Hos hur många udda tal i intervallet 1000...9999 är alla siffror olika? I urnan finns siffrorna 0,...,9. Vi drar nu fyra siffror utan återläggning och med hänsyn tagen till ordningen. I denna mängd ingår S = 10 9 8 7 element, men flera av dem är inte godkända. Första siffran kan väljas på 9 sätt 1,...,9, andra också på 9 sätt, 0,...,9, dock inte den siffra som valdes som tusentalssiffra. Den tredje siffran kan väljas på 8 sätt då man undviker tidigare val. Men på hur många sätt kan man nu välja entalssiffran? Ja, det beror på tidigare val. Vi kommer helt enkelt inte vidare här! Om vi istället börjar med att välja entalssiffran, har vi 5 möjligheter, 1,3,5,7,9. Går vi sedan till tusentalssiffran kan den väljas på 9 sätt, hundratalssiffran på 8 sätt och tiotalssiffran på 7 sätt, med resultatet 5 9 8 7 = 40 Binomialkoefficienten Mathematica Genom Binomial[a,b] får man i Mathematica reda på ( ) a a! = b b!(a b)! Vi har tidigare sett kopplingen mellan koefficienterna man får då man utvecklar (a+b) n och Pascals triangel. Genom följande tabell kopplar vi nu samman Pascals triangel och Håkan Strömberg 9 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK binomialkoefficienterna. ( 3 0 ( 0 ( 0) 1 ) ( 1 ( 0 1) ) ( ) ( ) 0 ( 1 ) 3 ) ( 3 ) ( 3 1 3)... Vill man generera eller summera talen i en rad i Pascals triangel, till exempel talen på 5:e raden skriver man Fakultet Table[Binomial[5,i],{i,0,5}] Sum[Binomial[5,i],{i,0,5}] n! skriv helt enkelt n! i Mathematica Här en funktion, vi kallar binom och som räknar ut samma sak som den inbyggda funktionen binomial. Flatten binom[a_, b_] := a!/(b!(a-b)!) binom[10,3] 10 Ibland får man fler parenteser än man önskar och vill ta bort dem. Till detta använder man kommandot Flatten (finns i ListTools). Ett exempel lista1={{1},{},{3},{4}}; Flatten[lista1] {1,, 3, 4} lista={{1,},{1,3},{4,5}}; Flatten[lista] {1,, 1, 3, 4, 5} Strukturen av parenteser kan vara mer komplicerad lista3={{{1,},3},{{4,5},6},{{7,8},9}}; Flatten[lista3] {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Flatten[lista3,1] {{1, }, 3, {4, 5}, 6, {7, 8}, 9} Med hjälp av en parameter kan man bestämma hur måna nivåer man vill skala bort. Ett sista exempel lista4 = {1, {{{}}}, {3, {{4}}}, {{1}, {{}}}}; Flatten[lista4] {1,, 3, 4, 1, } Håkan Strömberg 10 KTH STH

Flatten[lista4, 1] {1, {{}}, 3, {{4}}, {1}, {{}}} Flatten[lista4, ] {1, {}, 3, {4}, 1, {}} Kommandot select Denna funktion kommer att returnera True eller False f[lista_] := Length[Union[lista]] == Length[lista] Det är en sådan funktion, ( boolsk), man måste ha i kombination med Select. När vi använder den får vi till exempel lista = {{1,, 3}, {1, 1, 3}, {3,, }, {4, 5, 6}}; Select[lista, f] {{1,, 3}, {4, 5, 6}} Returnerar de underlistor som kan tjänstgöra som mängder Teoriuppgifter Problem 1 Fyra personer ska bilda kö framför korvkiosken. Hur många olika köer kan bildas? Problem Ett företag säljer mobiltelefoner. De för 4 olika modeller. Varje modell kan fås i en av 3 färger. Hur många kunder kan man högst sälja till, innan man med säkerhet kan säga att två personer har identiska mobiltelefoner? Problem 3 Som bekant kan en bit i datorn anta ett av värdena 0 eller 1. Om ett ord (word) i minnet består av 3 bitar, hur många olika värden (kombinationer av 0:or och 1:or) kan då ett ord anta? Problem 4 Tre vägar förbinder städerna A och B. Hur många olika turer kan man då företa om man startar i A, åker till B och sedan hem igen? Samma fråga om antalet vägar mellan städerna är 10. Problem 5 Hur många köer kan n personer bilda? Om vi sätter n personer runt ett bord, på hur många sätt kan det då göras? Problem 6 Håkan Strömberg 11 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Vi har ett 10 cm långt måttband, som kan klippas av vid jämna centimeter, ett eller flera klipp. På hur många sätt kan hela arbetet utföras? Problem 7 Att tippa en rad på stryktipset innebär att välja 1, X eller för 13 matcher. Hur många olika tipsrader kan tippas? Problem 8 En förening har 0 medlemmar. Bland dessa väljs en styrelse bestående av en ordförande, en sekreterare och en kassör. På hur många olika sätt kan styrelsen väljas? Problem 9 På V75 en vecka deltog i de sju olika loppen 7, 9, 8, 6, 10, 8 respektive 8 hästar. Hur många möjligheter finns det att tippa vinnarna i de sju loppen? Problem 10 Hur många femsiffriga tal finns det, om ett tal inte får inledas med siffran 0? Problem 11 Det finns förstås bara en rad som ger 13 rätt på tipset, men hur många rader finns de som ger 1 rätt? Hur många finns det som ger 0 rätt? Problem 1 En ganska ordinär bok innehåller 00 sidor. Varje sida har 30 rader och på en rad ryms 50 tecken, som kan väljas bland 80 tecken. Hur många olika böcker kan man skriva? Problem 13 På hur många sätt kan man ordna en kortlek? Är detta tal större än antalet elektroner i Vintergatan? Problem 14 På hur många sätt kan man ordna de åtta bokstäverna A,B,C,d,e,f,g,h? I hur många av dessa hamnar de tre versalerna (stora bokstäverna) först? Problem 15 En mängd har 5 objekt. Hur många delmängder med objekt kan bildas? Hur många delmängder med 3 element kan bildas? Problem 16 Idag blommar alla tre växterna! Växten A blommar var 7:e dag, växten B blommar var 3:e dag och växten C blommar var 4:e dag. Efter hur många dagar blommar de tre växterna igen på samma dag? Problem 17 Håkan Strömberg 1 KTH STH

Idag blommar alla tre växterna! Växten A blommar var 8:e dag, växten B blommar var 4:e dag och växten C blommar var 16:e dag. Efter hur många dagar blommar de tre växterna igen på samma dag? Problem 18 Vi har 5 kulor i olika färger. På hur många sätt kan vi plocka ut 0,1,,3,4 respektive 5 kulor från dessa? Problem 19 3 herrar och 4 damer bildar kö. Hur många köer kan bildas om vi betraktar damerna som lika och även herrarna? Problem 0 Hur många tresiffriga tal finns det där ingen siffra är 7? Problem 1 I ett sammanträde deltar 14 herrar och 10 damer. Bland dessa ska utses en kommitté bestående av herrar och damer. På hur många sätt kan detta göras? Problem Hur många olika ord kan man bilda med hjälp av de sex bokstäverna som finns i ordet PEPPER. Problem 3 Hur många gånger kommer satsen c++ att utföras i följande rutin for(i=1;i<=7;i++) for(j=4;j<9;j++) for(k=1;k<=13;k=k+) c++; Problem 4 Orden ANNA och DALLASSALLAD kallas palindromer därför att de läses lika dan baklänges. Vårt alfabet innehåller numera 9 bokstäver, eftersom W har upphöjts till en egen bokstav. Hur många palindromer kan bildas med 5 bokstäver? Problem 5 Adam har 8 nära vänner. Varje lördag går han på krogen med av dem. Efter hur många veckor måste han åter gå ut med två vänner som han tidigare varit ute med? Problem 6 Med hur många 0:or avslutas 100! Håkan Strömberg 13 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Problem 7 Hur många heltal finns det där alla siffror är olika Problem 8 Hur många pokerhänder finns det, i 5-kortspoker? Hur många av dessa kan uppvisa en straight flush, (kort i nummerföljd i samma färg)? Problem 9 Fyra gifta par ska placeras runt middagsbordet, så att man sitter varannan dam och varannan herre och så att damerna slipper sitta bredvid sin man. Hur många olika placeringar finns det? Problem 30 Hur många pokerhänder finns det, i 5-kortspoker som innehåller ett fyrtal? Problem 31 Hur många pokerhänder finns det, i 5-kortspoker som innehåller precis två par? Problem 3 Framför Adam står tre skålar med godis. En innehåller kola, en polkagrisar och en sega gubbar, tillräckligt många av varje sort. Adam har fått tillåtelse att ta tillsammans 1 bitar. På hur många sätt kan han välja? Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Man kan bilda 4 köer 4! = 4 3 1 = 4 Lösning Teoriuppgift Totalt finns det 4 3 = 1 olika telefoner. När den 13 personen köper en telefon vet man med säkerhet att (duvhålsprincipen) minst två personer har identiska telefoner. Lösning Teoriuppgift 3 3 =... = 4 94 967 96 Lösning Teoriuppgift 4 Man kan välja 3 olika vägar när man reser från A. Man har lika många vägar att välja på när man lämnar B. Totalt kan man företa 3 3 = 9 olika turer. Då antalet vägar mellan städerna är 10 finns det 10 = 100 olika turer. Håkan Strömberg 14 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 5 Man kan bilda n! köer och placera n människor runt ett bord på (n 1)! olika sätt om man bestämmer att två placeringar, som kan roteras så att de överensstämmer, är identiska. Lösning Teoriuppgift 6 För varje centimeter-markering har vi att välja om vi vill klippa här eller inte. Totalt har vi att göra 9 val. Det leder till 9 = 51 olika sätt att utföra arbetet. Lösning Teoriuppgift 7 Vi ska göra 13 val. För varje val har vi 3 möjligheter Det finns 1 594 33 olika tipsrader. 3 13 = 159433 Lösning Teoriuppgift 8 Om samma person inte får inneha fler än en post kan styrelsen väljas på 0 19 18 = 6840 sätt. Om däremot samma person kan inneha flera poster finns det möjligheter. 0 0 0 = 0 3 = 8000 Lösning Teoriuppgift 9 7 9 8 6 10 8 8 = 1 935 360 vilket är liktydigt med antalet olika V75-rader som kan konstrueras Lösning Teoriuppgift 10 Eftersom 0 inte är tillåtet alternativ i valet av första siffra får 9 10 10 10 10 = 90000 Håkan Strömberg 15 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Lösning Teoriuppgift 11 Vi tillåter oss att ha 1 fel. Eftersom det finns 13 matcher finns det 13 möjligheter att välja ut en match. Varje match kan tippas fel på sätt. Alltså finns det 6 rader med 1 rätt. När man har 0 rätt på tipset har man fel i alla matcher. I varje match har man möjligheter att tippa fel. Alltså finns det 13 = 819 rader med 0 rätt. Sannolikheten att få 0 rätt är Chansen att få 13 rätt är betydligt mindre 13 0.005 313 1 6.7 10 7 313 Lösning Teoriuppgift 1 Totalt innehåller boken 00 30 50 = 300000 tecken. Varje tecken kan väljas på 80 olika sätt. Det betyder att man kan skriva olika böcker av denna storlek. 80 300000 10 57097 Lösning Teoriuppgift 13 En kortlek kan ordnas på 5! = 80658175170943878571660636856403766975895054408837784000000000000 olika sätt, ungefär 8 10 67 Lösning Teoriuppgift 14 Bokstäverna kan ordnas på 8! = 4030. Om vi tvingas att ha versalerna först får vi rader. 3 1 5 4 3 1 = 70 Lösning Teoriuppgift 15 Vi kan välja ut element ur 5 på ( ) 5 = 10 sätt. Kanske inser man att även ( ) 5 = 10 3 Håkan Strömberg 16 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 16 Svaret till detta problem får vi genom lcm(7,3,4) = 7 3 4 = 84 De tre talen har inga gemensamma faktorer Lösning Teoriuppgift 17 Svaret till detta problem får vi genom eftersom 4 16 och 8 16 lcm(4,8,16) = 16 Lösning Teoriuppgift 18 Femte raden i Pascals triangel ser ut så här som vi får genom att beräkna ( ) 5, 0 ( ) 5, 1 1,5,10,10,5,1 ( ) 5, ( ) 5, 3 ( ) 5, 4 ( ) 5 5 Lösning Teoriuppgift 19 7! 4! 3! = 35 Lösning Teoriuppgift 0 Första siffran kan väljas på 8 sätt. Andra och tredje på 9. Totalt finns tresiffriga tal som saknar siffran 7. 8 9 9 = 648 Lösning Teoriuppgift 1 Först har vi att välja ut herrar bland 14 ( ) 14 = 91 sedan damer bland 10 ( ) 10 = 45 Totalt kan valet göras på ( ) 14 ( ) 10 = 91 45 = 4095 sätt Håkan Strömberg 17 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Lösning Teoriuppgift 6! 3!! 1! = 60 Lösning Teoriuppgift 3 Den yttersta loopen snurrar 7 varv. Den mittersta snurrar 5 varv och den innersta 7. Det betyder att den innersta satsen kommer att utföras 7 5 7 = 45 Lösning Teoriuppgift 4 Första, andra och tredje bokstaven kan alla väljas på 9 sätt. Den femte och sjätte är däremot redan bestämda. Alltså finns det palindromer med 5 bokstäver. 9 3 = 4389 Lösning Teoriuppgift 5 Kan kan välja ut vänner ur en grupp på 8 på ( ) 8 = 8 sätt. Det betyder att han den 9 dagen måste göra ett val som han gjort tidigare. Lösning Teoriuppgift 6 Vi ska alltså multiplicera talen 1 3... 99 100 För att åstadkomma en 0:a sist i talet krävs en faktor 5 och en faktor. Antalet nollor i 100! beror på hur många par 5 det finns i produkten ovan. Vi förstår att det måste finnas betydligt fler av faktorn än av faktorn 5. Därför räknar vi nu hur många faktorer 5 det finns. Vi betraktar de 0 talen 5,10,15,0,5,...,95,100 Då talen 5,50,75,100 innehåller faktorn 5 två gånger får vi att faktorn 5 förekommer totalt 4 gånger, vilket betyder att 100! avslutas med 4 nollor. Håkan Strömberg 18 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 7 Eftersom talet 987654310 är det största tal som kan skapas under dessa förutsättningar finns det en övre gräns för antalet. Det finns 10 ensiffriga tal, 9 9 tvåsiffriga och 9 9 8 tresiffriga. Fortsätter vi denna serie får vi 10+81+648+4536+716+136080+54430+36590+36590 = 744731 Lösning Teoriuppgift 8 Det finns ( ) 5 = 598960 5 olika pokerhänder. Det finns 4 färger att välja mellan. Inom varje färg finns 10 olika straight flush. ( ) 4 10 = 40 1 Lösning Teoriuppgift 9 Vi börjar med att placera ut herrarna på varannan stol. Detta kan göras på (4 1)! = 6 sätt. Den första damen vi ska placera ut har två möjliga platser. Sedan finns det inga fler val! Det finns nu en man med två tomma stolar intill sig och vars fru ännu inte är placerad. Eftersom det finns tre lediga stolar så är det bestämt var hon ska sitta. Fruarna till de två män, som inledningsvis fick en dam bredvid sig är ännu inte placerade. För dessa damer finns inga val. Svaret är alltså 6 = 1 olika placeringar. Lösning Teoriuppgift 30 Det finns 13 olika valörer att välja bland. Det femte kortet kan väljas på 48 olika sätt ( ) ( ) 13 48 1 1 Lösning Teoriuppgift 31 Vi ska välja ut valörer av 13. När valörerna är valda ska vi välja ut kort av 4 för varje valör. Återstår så att välja ut det sista kortet, så att det inte leder till en kåk (full hand). ( 13 )( 4 )( ) 4 44 = 1355 1355 händer av 598960 innehåller två par i given. Sannolikheten för att detta ska inträffa är 1355 598960 = 4.75% Håkan Strömberg 19 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK Lösning Teoriuppgift 3 Här är det inte fråga om ordning eller återläggning. Alltså är det formeln ( ) ( ) ( ) n+m 1 3+1 1 14 = = = 91 m 1 1 Så här kollade jag resultatet med några rader i Mathematica m=flatten[table[k,{i,1,1}],table[p,{i,1,1}],table[s,{i,1,1}]]; m1 = Permutations[m,{1}]; Length[m1] 531441 m1[[13000]] {k, s, k, k, s, k, s, k, p, p, p, s} m = Map[Sort, m1]; Length[m] 531441 m[[13000]] {k, k, k, k, k, p, p, p, s, s, s, s} Length[Union[m]] 91 Metoden fungerar, vad gäller minnet, så länge det är ett relativt litet antal karameller det handlar om. Laboration Laborationsuppgift 1. Summa av primfaktorer () Talet 1 har primfaktorerna,,3 och deras summa är 7. Vilket är det minsta tal som vars primfaktorer har summan 100? Laborationsuppgift. Summa bildar heltalskvadrat () En heltalskvadrat är, som du nu bör känna till, ett tal x där x N. Två konsekutiva heltal är två på varandra följande, till exempel 1 och 13. Följaktligen är tre konsekutiva heltal tre på varandra följande heltal, till exempel 17, 18 och 19. Ta reda på hur många tripplar av konsekutiva heltal, där alla tre talen är < 1000, det finns vars summa också är en heltalskvadrat. Laborationsuppgift 3. Ulam () Den här algoritmen kom en matematiker vid namn Ulam på: Börja med ett positivt heltal n vilket som helst. Om talet n är udda beräkna n 3n+1 Om talet n i stället är jämnt beräkna n n/ Om talet n 1 gå tillbaka till första punkten. Håkan Strömberg 0 KTH STH

Ingen matematiker har ännu lyckats bevisa att man alltid, förr eller senare, når talet 1, vilket tal man än börjar med. Eller kanske finns det något tal som leder till en loop som aldrig når 1? Din uppgift är nu att skriva en funktion ulam, som tar reda på, vilket startvärde i intervallet...1000 som kräver flest varv innan det når talet 1. Laborationsuppgift 4. Vilken siffra () Tänk dig att vi skriver talen 1 och uppåt på en enda lång rad 134567891011113... Vilken siffra befinner sig då på plats 1 000 000? Laborationsuppgift 5. Summor av siffersummor () Talet 13 har siffersumman 1 + + 3 = 6. Vilket tal får man om man summerar alla siffersummor från 1 till 008? Laborationsuppgift 6. Den saknade sidan () Adam fick för sig att med hjälp av räknedosan summera alla sidnummer i matematikboken. Han fick summan 106830. Det visade sig att han hade hoppat över ett sidnummer vilket och hur många sidor hade boken? Laborationsuppgift 7. Kyrkklockorna () Två kyrkklockor började ringa samtidigt. Den ena slog sedan var 4 3 sekund och den andra med ett intervall på 7 4 sekunder. Hur många slag kunde man höra under 15 minuter om två slag från de båda klockorna, som låg varandra närmare 1 sekunder, uppfattades som ett slag? Laborationsuppgift 8. Skattkistorna () Tre skattkistor, A, B och C innehåller olika antal guldmynt. Skillnaden i antalet mynt i kistorna B och A är lika stor som skillnaden mellan C och B. Om man summerar antalet mynt i vilka två kistor som helst får man en heltalskvadrat. a) Vilket är det minsta antal mynt, som kan finnas i den minsta kistan? b) Vilket är det minsta totala antalet mynt som kan finnas i kistorna? Laborationsuppgift 9. Minsta största delaren () Vilken är den minsta, största delaren d > 1 en produkt (p 1)p(p +1) kan ha för heltal p N där p kan skrivas som n 3, är en heltalskub. Testa för n {...100}. Och gör därefter en gissning. Laborationsuppgift 10. Antal lösningar () Hur många lösningar har ekvationen x 1 +x +x 3 +x 4 +x 5 = 14 Håkan Strömberg 1 KTH STH

6.1. KOMBINATORIK då x i N alltså även 0. Laborationsuppgift 11. Den n:te raden () Ta fram en formel, eller dylikt, som bestämmer den n:te raden. Här ser vi de fyra första raderna 1 = 1 +3+4 = 3 3+4+5+6+7 = 5 4+5+6+7+8+9+10 = 7... Laborationsuppgift 1. Den n:te raden igen (3) Ta fram en formel, eller dylikt, som bestämmer den n:te raden. Här ser vi de fyra första raderna +3 +4 +14 = 15 4 +5 +6 +38 = 39 6 +7 +8 +74 = 75 8 +9 +10 +1 = 13... Håkan Strömberg KTH STH