729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag 1 Uppgifter 1.1 Relationer 1. Vi ges mängden A = {p, q, r, s, t}. Är följande mängder relationer på A? Om inte, ge ett exempel som visar vad som gör att det inte är det. a) {(p, q), (p, r), (p, s), (p, t)}. JA b) {(q, p), (s, p), (r, q), (s, p), (t, p)}. JA c) {(p, s, s, t), (s, p, q, r)} Nej Till exempel är (p, s, s, t) A A (och en relation på A måste vara en delmängd av A A) d) {(p, p), (q, q), (r, r), (s, s)}. JA e) {(t, t)} JA f) {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (p, 4} NEJ. (p, 1) A A. g) {} (= ) JA h) {(, )} NEJ. A, så (, ) A A 2. Du får mängden A = {a, b, c, d, e}. För vart och en av egenskaperna nedan, skriv upp ett exempel på en relation på A som uppfyller den. Det behöver inte vara samma relation du beskriver i alla deluppgifterna. Tips: Det kan vara värt att rita ut en grafisk visualisering av relationen medan du skriver den (punkter och pilar) för att hålla koll på vilka element du lagt till i relationen. 1
Nedan ges lite ledning för att bedöma relationerna du skapat. Detta ersätter inte att kunna definitionerna (slå upp dem i dina anteckningar!), utan är bara praktiska tips. a) reflexiv Varje relation R som innehåller alla elementen i {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)} fungerar. b) irreflexiv Varje relation R som inte innehåller något av elementen i {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)} fungerar. c) symmetrisk Så fort (a, b) R så måste (b, a) R och så vidare. (Detta gäller alla möjliga par av element i A.) d) antisymmetrisk Så fort (a, b) R så måste (b, a) R och så vidare. Detta gäller alla möjliga par av element i A, utom tupler där båda elementen är samma (det är alltså ok att ha med (a, a) i relationen). e) transitiv Här är det lättast att hänvisa till definitionen! I en graf med A som noder och relationen som bågar ser man det tydligaste genom att om man har en (direkt) båge a b och en b c så måste det finnas en direkt båge a c också. Observera att detta kan ge upphov till öglor. Om (a, b), (b, a) R så måste också (a, a) R (kan du ta dig från a till a via b, måste det finnas en direkt båge a a också). f) en ekvivalensrelation Relationen ska uppfylla kraven (1) reflexiv, (2) symmetrisk och (3) transitiv. Intuitivt: Tänk i termer av att en ekvivalensrelation R säger att om arb så liknar a och b varandra på något vis. Så om a liknar b och b liknar c så måste relationen säga att a, b, c liknar varandra (och sig själva). g) en partialordning Relationen ska uppfylla kraven reflexiv, antisymmetrisk och transitiv. 3. Vi utökar nu mängden A från uppgiften ovan, så att den innehåller A = {a, b, c, d, e, f }. Antag att du har kvar de olika relationerna du beskrev 2
i uppgiften ovan. Vilka av egenskaperna du skrev ovan kommer att påverkas? Nu när vi har en ny mängd, är den (tidigare) reflexiva relationen du skrev fortfarande reflexiv, den (tidigare) symmetriska fortfarande symmetrisk och så vidare? Bekräfta. Svar Enbart reflexiv påverkas. Vi har inget som f är relaterat till, eller relateras till (grafiskt: inga nya bågar). Så vi inte behöver fundera över symmetri, antisymmetri, irreflexivitet eller transitivitet. Om relationen ska vara reflexiv, måste vi däremot lägga till elementet (f, f). 4. Vi ges D = {1, 2,..., 15}, och relationen R där xry om både x och y är jämna eller om både x och y är udda. (Så exv 2 R 10, 7 R 3, 2 R 7). a) Visa att detta är en ekvivalensrelation. Visa (i ord) att de tre egenskaperna uppfylls. reflexiv. Om x är jämnt så gäller xrx ( båda x är jämna), om x är udda så gäller xrx. symmetrisk. Om xry så är antingen båda jämna eller båda udda. I det första fallet: om vi antar att xry eftersom båda x, y D är jämna, gäller ju såklart att yrx. På samma sätt visas det för fallet där x, y udda. transitiv. Antag att xry, yrz. Vi får två fall: x är jämnt. Då måste y också vara jämnt (eftersom xry). Om y är jämnt måste z vara jämnt (yrz). Därmed: om x är jämnt så gäller xrz. På samma sätt visar man det för x udda. b) Visa att D 1 = {x D : xr1}, D 2 = {x D : xr2} är en partition av D. Svar D 1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, D 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Ser man till definitionen av en partition, krävs att elementen i D 1 och D 2 tillsammans ska utgöra hela D, och att D 1 och D 2 inte får ha några gemensamma element. Detta stämmer. D 1 D 2 = D, och D 1 D 2 =. c) (*) Betrakta relationen R på N som definieras på samma sätt som R ovan (x R y om båda jämna...). Beskriv partitionen av N. Återigen: D 1 = {x N : xr1} = / x R 1 om både x och 1 är jämna eller x och 1 är udda / = {x N : x udda }, D 2 motsvarande för jämnt. N = D 1 D 2, D 1 D 2 = (för inget tal är både udda och jämnt). 5. Vi ges följande data, som vi vill ordna och dela upp: 3
Person Födelseår Anders 1985 Tesco 2004 Bill 1964 Dennis 1941 Eddie 1962 a) Skriv upp mängden personer P. Klassificera relationen äldre än (eller lika gammal som) (reflexiv, antireflexiv, symmetrisk, antisymmetrisk, transitiv). Avgör också om det är en ekvivalensrelation, partialordning eller båda (eller om inget av dem gäller). Svar P = {anders, tesco, bill, dennis, eddie}. Relationen är symmetrisk (alla är lika gamla som sig själva), transitiv (om person x är äldre än, eller lika gammal som, person y och y i sin tur är äldre än z så är x äldre än z). och antisymmetrisk. Partialordning. b) Gör samma sak för relationen R = {(x, y) : x är född samma årtionde som y}. Ekvivalensrelation. Reflexiv, symmetrisk, transitiv. 6. Vi ges A = {x, y, z}. Potensmängden P(A) består som bekant av alla delmängder till A (totalt 8 st). Vi ges nu relationen R = {(D, E) : D E} på P(A). Exempelvis gäller att {x}r{x, y} eftersom {x} {x, y}. a) Intuitivt, borde detta vara en ekvivalensrelation eller en partialordning (eller båda)? Svar Det är inte en ekvivalensrelation iallafall. Intuitivt: vi har inte en relation som på något sätt kan sägas handla om likhet. Till exempel är relationen inte symmetrisk. Vi säger att {x}r{x, y}, men inte {x, y}r{x}. (Att hitta ett sådant motexempel räcker dessutom för att visa formellt att den inte är en ekvivalensrelation.) Däremot är det en partialordning. Vi ges något slags ordning på elementen (där xry om elementen i x finns med i y, men y potentiellt är större). Vi kan också bekräfta att egenskaperna reflexiv, antisymmetrisk och transitiv uppfylls. b) Visa din slutsats. Det vill säga, gå igenom de (tre) olika egenskaperna en sådan relation ska ha, en i taget, och bekräfta att relationen uppfyller dem. Intuition: 4
Reflexiv: Y Y för alla mängder Y P(A). Antisymmetrisk: Y Z, Y R Z Z R Y. Vi kan gå igenom alla värden och se om detta håller (det gör det). Vi kan också fråga oss hur man skulle kunna bryta mot villkoret. Det kan man bara om man hittar två mängder Y, Z P(A) där Y Z och Z Y, men Y Z. Men det går inte (varför inte?). Transitiv: om Y Z, Y W så Y W. c) Vi säger att en ordning R är en totalordning av en mängd om den säger något om förhållandet mellan varje element i mängden. Mer formellt: om vi för varje x, y kan säga att xry eller yrx (eller båda). Är en totalordning på mängden ovan? Nej. Vi kan varken säga att {x, y} {y, z} eller {y, z} {x, y}. d) Om vi ersatt med ovan, vilka egenskaperna i uppgift a/b hade påverkats? Vi hade inte längre haft en reflexiv relation. Exempelvis hade inte {x}r{x} längre. e) (*) Gäller detta för relationen på P(B) för valfri icke-tom mängd B? Svar: Ja. Notera att detta är en överkursuppgift. Reflexiv: Välj X P(B) godtyckligt. Då gäller X R X, eftersom X X gäller för alla mängder. Antisymmetrisk: Välj X, Y P(B) godtyckligt. Om X Y och Y X så gäller X = Y (bevis, se Kuhlmann & Dahllöf). Därmed kan vi inte hitta några element som bryter mot villkoret. Transitiv: Låt X, Y, Z vara godtyckliga element i P(A) sådana att X Y, Y Z. Vi fångar alltså precis sådana fall där mängderna X, Y, Z uppfyller om -delen av transitivitetsvillkoret. Nu ska vi visa att så -delen isåfall måste uppfyllas (att X Z följer). Välj ett element e X godtyckligt. Enligt antagandet gäller X Y, så e Y enligt definitionen av (alla element i X finns också i Y ). e Y och Y Z ger e Z. Eftersom e X valdes godtyckligt gäller att X Z (det vill säga, oavsett vilket element i X vi väljer, så finns det i Z. Alla element i X måste alltså finnas med i Z) 5