Gjert-Anders Askevold & Silke Lekaus Matematisk argumentation genom imaginära dialoger Hur kan lärare engagera elever i bevis- och argumentationsprocesser? På vilket sätt kan vi få tillgång till elevers resonemang i sådana kreativa processer? I ett pågående projekt undersöker artikelförfattarna elevers resonemang i årskurs 7. De använder så kallade imaginära dialoger knutna till undervisningsinnehållet geometri och undersöker elevers skriftliga dialoger. Vi blev inspirerade av en form av matematiskt skrivande, imaginära dialoger, som är både en uppgiftsform att använda i klassrummet och en forskningsmetod som introducerades av Annika Wille. Använt som forskningsmetod undersöker Wille hur metoden kan ge tillgång till elevernas resonemang i bevis- och argumentationsprocesser. Använt som undervisningsverktyg i klassrummet introducerar läraren en skriftlig dialog mellan två tänkta elever som resonerar kring ett matematiskt problem. Elevernas uppgift är att hjälpa de båda påhittade eleverna att undersöka problemet och att skriva fortsättningen på dialogen. Idéer kan skrivas ner av den ene imaginära eleven som påståenden eller frågor som den andre kan argumentera för eller emot. Ett mål är att hela tankeprocessen som eleven går igenom kommer fram i dialogen, både fruktbara och mindre fruktbara idéer. Eleverna uppmanas därför att inte använda suddgummi eller stryka över något som de har skrivit när de upptäcker att en idé inte leder framåt. Återvändsgränder blir då synliga som en del av diskussionen mellan de båda tänkta eleverna. Eleverna i klassrummet skriver dialogen var för sig. En och samma elev får därmed två roller i skrivprocessen. En tanke bakom metoden är att eleven ska få hjälp att föra en matematisk diskussion och resonera med sig själv. Eleverna ska också få erfara att återvändsgränder är en naturlig del av matematisk argumentation som varken kan eller bör undvikas. Willes forskningsresultat visar att dialogskrivandet kan hjälpa eleverna att utveckla sina matematiska idéer och att spår av deras tänkande syns i dialogen mellan de imaginära eleverna. Metoden har därför potential att hjälpa lärare att få mer insyn i elevers resonemang och tankeprocesser. Denna artikel är den första av två som tidigare publicerats i den norska tidskriften Tangenten, nr 4/2014. Vid översättningen har viss anpassning gjorts till svenska förhållanden. Bland annat skrivs årskurs 7 istället för 8. trinn, vilket motsvarar vartannat avseende elevålder. Artikeln kommer att få en uppföljning i kommande nummer. Nämnaren nr 2 2015 41
Argumentation För att undersöka argumentationen i elevernas dialoger, skriftliga och muntliga, använde vi Aiso Heinzes modell med sex faser i bevisprocesser knutna till matematiklärande: Fas 1: Undersökning av problemsituationen, formulering av hypotes, finna argument för att hypotesen verkar rimlig. Fas 2: Precis formulering av hypotesen i förhållande till etablerade språkkonventioner i klassrummet. Fas 3: Undersökning av problemet och antaganden, utveckling av bevisidé. Fas 4: Kombination av argument funna i fas 3 till en deduktiv argumentation som ger ett bevis; möjligen bara muntligt. Fas 5: Precis formulering av ett bevis i förhållande till etablerade språkkonventioner i klassrummet. Heinze genomförde en undersökning av lärarstyrda bevisprocesser i åtta olika klassrum där matematiska bevis utvecklades i samtal mellan lärare och elever. Heinze påpekar att det kan skilja mellan den kreativa processen med att utveckla bevis på egen hand och genomgången av ett färdigt bevis. I undersökningen blev bland annat tidsåtgången i varje enskild bevisfas en indikator för att värdera i hur hög grad eleverna fick möjlighet att självständigt utforska antaganden och utveckla en bevisidé. Heinze observerade att det ofta användes kort tid för fas 3, där fokus ligger på att undersöka problemet och antaganden samt att generera bevisidén. Det var något vi ville titta närmare på. Hos en matematiker tar fas 3 ofta lång tid då den är präglad av kreativitet och av att finna idéer, pröva ut dem, göra fel och hitta nya idéer. En möjlig orsak till att denna fas tar förhållandevis liten tid i några av de undersökta klassrummen, kan enligt Heinze vara en följd av att eleverna vid dessa tillfällen lotsades mot ett färdigt bevis som läraren hade valt. Även om läraren tar emot inspel från eleverna blir de i regel ledda av läraren genom ledtrådar och frågor. Eleverna får därmed inte möjlighet att gå fullt upp i den kreativa processen med att på egen hand utveckla ett bevis. Imaginära dialoger i grupper I vårt försök med imaginära dialoger ändrade vi metoden och lät eleverna arbeta i grupper. Eftersom eleverna inte hade arbetat med metoden tidigare trodde vi att tröskeln skulle bli för hög för vissa elever om de skulle skriva dialoger enskilt. Dialoguppgiften blev utprövad i en sjundeklass med 30 elever. Klassmiljön uppfattade vi som öppen och inkluderande och de var vana vid grupparbete. Därmed tyckte vi att det var en kontext som var lämplig för utprövning. Det var första gången vi mötte eleverna och de hade inte använt arbetsmetoden tidigare. Läraren delade klassen i sju olika grupper med 4 5 elever i varje. Varje vecka samlade vi in det skriftliga material som eleverna producerade, både de färdiga dialogerna och eventuella teckningar och anteckningar som eleverna hade gjort under tiden. Den dialog vi har valt som exempel i artikeln skrevs av en grupp bestående av två pojkar och två flickor som läraren bedömt som starka i ämnet. Eleverna fick följande dialoguppgift: 42 Nämnaren nr 2 2015
Lise och Yaqub är två elever som går i sjuan. Lise: Nyligen lärde vi oss om area och omkrets på matten. Nu funderar jag: Har alla trianglar med samma omkrets också samma area? Yaqub: Bra fråga! Det har jag aldrig tänkt på. Ska vi försöka ta reda på det? Vad tror ni? Kan ni hjälpa Lise och Yaqub? Det matematiska lärmålet i uppgiften är att eleverna ska upptäcka att det inte finns ett entydigt sammanhang mellan area och omkrets, d v s att olika figurer med samma omkrets både kan och kommer att ha olika areor. Matematisk argumentation genom dialogskrivning syftar också till att arbeta upp grundläggande färdigheter i att skriva matematiska texter. I (den norska) läroplanen LK 06 står det att kunna skriva i matematik innebär att beskriva och förklara en tankegång och sätta ord på upptäckter och idéer och att skrivande i matematik är ett redskap för att utveckla egna tankar och eget lärande. Den givna dialogen introducerar en problemställning som ska väcka intresse för ett självständigt utforskande av problem med skrivprocessen som stöd. Analys av elevernas skriftliga dialog Läraren introducerade uppgiften och bad eleverna att formulera svaret i form av en dialog. Vi observerade att dialogerna skrevs i slutet av gruppdiskussionen och inte under tiden samtalet i gruppen pågick. I gruppen som dialogen i figuren nedan utspelade sig i är det de båda flickorna som skriver ner dialogen. De använder sina egna namn och det kan tyda på att dialogen summerar diskussionen i elevgruppen. Det verkar som om eleverna först önskar att finna svaret på uppgiften innan de skriver dialogen. Detta kan ha flera orsaker: En anledning kan vara att eleverna inte är vana vid arbetsformen med att skriva dialoger om matematiska problemställningar, en annan orsak kan vara att eleverna inte är vana vid att argumentera på det sätt som uppgiften kräver. En tredje orsak kan vara att eleverna är vana vid det som Ole Skovsmose benämner uppgiftsparadigmet som kännetecknas av att uppgifter ska ge ett rätt svar och där återvändsgränder och felaktiga svar inte värdesätts. En fjärde orsak kan ha varit att det uppfattades som för krävande att avbryta gruppdiskussionen för att skriva ner idéer och dellösningar efter hand. Hege: Kaja: Hege: Jag tror att trianglar med samma omkrets inte nödvändigtvis har samma area. Arean beror ju på basen och höjden i triangeln. Vi kan rita tre olika trianglar med en omkrets på 6 cm och mäta arean. Bra idé. Det gör vi. Fem minuter senare har vi ritat tre trianglar och mätt areorna. Kaja: Hege: Klart! Måtten blev: 2 cm 2 på första triangeln, 0,75 cm 2 på den andra triangeln och den sista triangeln hade 1,5 cm 2. Slutsatsen blir att trianglar med samma omkrets inte nödvändigtvis har samma area. Nämnaren nr 2 2015 43
de reflekterar inte över om trianglarna verkligen kan existera med de angivna mätetalen I dialogen kommer Hege med hypotesen att det finns trianglar med samma omkrets men olika areor. I samma yttrande nämner hon faktakunskap som kan vara nyttiga att använda, nämligen att arean beror ju på basen och höjden i triangeln. Kaja föreslår hur problemet kan utforskas vidare: Vi kan rita tre olika trianglar med en omkrets på 6 cm och mäta arean. Det är värt att notera att hon kallar detta att mäta arean när de egentligen mäter längder för att sedan beräkna arean. Vi ser på detta som ett tecken på att eleverna ännu inte har utvecklat ett precist matematiskt språk. Hege får rollen med att stötta bevisidén: Bra idé. Det gör vi.. Detta kan tyda på att gruppen i sin diskussion har blivit eniga om att den metoden ska användas. Det kan också vara ett tecken på att eleverna är vana vid att få stöd för sina idéer av en auktoritet, t ex läraren eller läroboken, för de kör igång med arbetet. Eleverna ritar därefter tre trianglar vars omkretser uppges vara 6 cm. De använder de ditsatta måtten för bas och höjd och beräknar arean. Vi ser bara resultatet av detta arbete i dialogen. Uträkningarna är gjorda på ett kladdpapper. Det är intressant att betrakta de tre första trianglarna som eleverna använder som underlag för sin argumentation. Det kan verka som om eleverna tar de tre mest kända specialfallen av triangel i beaktande: liksidig, likbent och rätvinklig. När vi kontrollerar trianglarnas verkliga mått upptäcker vi att de delvis skiljer sig från de ditskrivna måtten. Det verkar som eleverna växlar mellan att använda de ritade trianglarna som tankeskisser och som faktiska figurer som de kan ta mått på, trots att trianglarna inte är precisa konstruktioner. Den första triangeln är liksidig med sidlängden 2 cm. Eleverna beräknar dess area till 2 cm 2 när den egentligen ska vara 3 cm 2. När vi tittar på elevernas kladdpapper ser vi att de har satt höjden till att också vara 2 cm. Det kan hända att eleverna antar att avstånden mellan linjerna på pappret är 1 cm, vilket är ett vanligt linjeavstånd i deras skrivböcker men inte var det på det utdelade skrivpappret. Höjden och arean av den liksidiga triangeln är alltså egentligen mindre än det som eleverna har räknat ut. Även den andra triangeln är intressant att titta närmare på. Basen är 3 cm medan de andra sidorna är 1,5 cm var, alltså 3 cm tillsammans. Denna triangel har egentligen höjden 0 cm, d v s ett streck med arean 0 cm 2. Det verkar som att eleverna är mest upptagna av att summan av sidorna är 6 cm och de reflekterar inte över om trianglarna verkligen kan existera med de angivna mätetalen. Bara den tredje triangeln som är ritad med en rät vinkel existerar med de angivna måtten. En snabbkoll med Pytagoras sats visar att den rätvinkliga triangeln med kateter på 2 cm och 1,5 cm har en hypotenusa med längden 2,5 cm, som eleverna påstår. Eleverna har emellertid inte lärt sig Pytagoras sats ännu i undervisningen och det verkar därför som att det är en tillfällighet att hypotenusan har fått rätt längd. Detta stödjs av att det på kladdpappret inte finns några uträkningar som tyder på bruk av satsen. När eleverna är färdiga med att beräkna trianglarnas areor markerar det slutet på insamling av de faktauppgifter de behöver till att fullfölja argumentationen. Bevismetoden som eleverna använder liknar ett så kallat bevis med självmotsägelse, där man antar (möjligen implicit) att alla trianglar med omkretsen 6 cm har samma area och prövar att producera ett motexempel. Detta är en väl använd bevismetod bland matematiker. Elevernas bevis är ändå ofullständigt eftersom de kommer till en slutsats med bara en triangel, den rätvinkliga, 44 Nämnaren nr 2 2015
som med de ditsatta måtten verkligen existerar. För att fullfölja beviset korrekt borde de ha funnit minst två trianglar som verkligen existerar med samma omkrets och olika areor. Diskussion Vi jämför processen hos vår observerade grupp med faserna i Heinzes modell. Speciellt är vi intresserade av att se om arbetsformen har fått eleverna att experimentera självständigt i fas 3 med att finna idéer, pröva ut dem, upptäcka fel och finna nya idéer. Även om deras dialog blev nedskriven i slutet av diskussionen ger den oss vissa intryck av de processer och arbetsfaser som eleverna gått igenom i sin argumentation. Eleverna formulerar först en hypotes: det finns trianglar med samma omkrets som inte har samma area. Det syns inte i dialogen hur eleverna har kommit fram till detta. Formuleringen av hypotesen är förhållandevis precis och därför för vi den till fas 2 som är en precis formulering av hypotesen enligt etablerade språkkonventioner i klassrummet. Heges nästa påstående att arean beror ju på basen och höjden i triangeln kan tolkas som en början av av fas 3: eleverna samlar fakta som kan vara till hjälp i argumentationen, i detta fall formeln man använder för att beräkna trianglars area. Ordet ju i Heges påstående kan emellertid också tolkas som att meningen summerar diskussion i fas 1, Undersöking av problemsituation, formulering av hypotes, finna argument för att hypotesen verkar rimlig, när eleverna utvecklar argument för att hypotesen är möjlig. Fortsättningen av elevernas dialog placerar vi i fas 3. Eleverna bestämmer sig för vilken strategi de ska använda i sitt bevis: de ska rita flera trianglar med samma omkrets, mäta dem och beräkna areorna. Detta är en bevismetod som vid detta tillfälle vill visa att om man kan hitta minst två trianglar som har samma omkrets men olika areor, har man bevisat att hypotesen om att lika omkrets inte behöver ge samma area stämmer. Eleverna börjar så en utforskningsfas där de ritar trianglar på sina kladdpapper, mäter längder och beräknar areor. I den inlämnade dialogen ser vi bara resultatet av detta arbete. I elevernas arbete består fas 3 därmed av en diskussionsdel och en utprövningsdel. Till slut samlar eleverna resultaten från utprövningen, nämligen att trianglarna har olika areor. Detta känner vi igen som fas 4, vilken kännetecknas av att man samlar argument och drar en slutsats, även om argumentationen är implicit. På sista raden säger Hege: Slutsatsen blir att trianglar med samma omkrets inte nödvändigtvis har samma area. Dialogen som skrevs ner på slutet är elevernas avslutande formulering av beviset. Vi placerar det därför i fas 5. Den gör rätt för den valda bevismetoden och är väl strukturerad, men självklart är bevisföringen inte fullständig eftersom två av trianglarna som eleverna skissade inte existerar. Potentialen i imaginära dialoger Observation av elevernas arbete i klassrummet och analysen av den skriftliga dialogen har visat att elevgruppen genom gruppdiskussion och dialog som metod använde störst del av tiden på undersökning av problemsituationen som hör till fas 3. Denna fas anser Heinze vara den viktigaste eftersom det är här den matematiska undersökningen pågår. Eleverna fick ingen hjälp längs vägen, Nämnaren nr 2 2015 45
varken från oss eller från läraren, och de utvecklade bevisidén självständigt. När det gäller elevernas självständiga arbete med matematisk argumentation har arbetsformen fungerat enligt vår intention i denna elevgrupp. Potentialen som kan finnas i en imaginär dialog som skriftlig process och produkt beskrivet av Wille blev inte helt utnyttjat. Vi hade förväntat oss att den skriftliga dialogen skulle vara längre och att den skrevs under tiden som eleverna utforskade problemet. I så fall skulle mer av argumentationsprocessen kommit fram i dialogen och vi hade kunnat få mer insikt i elevernas tankesätt. Detta var emellertid elevernas och lärarens första möte med att skriva dialoger på en matematiklektion och de behöver tid för att bli förtrogna med arbetsformen. Här kan det också ha spelat in att vi lät eleverna arbeta i grupper och att det kan ha verkat omständligt för dem att avbryta diskussionen för att skriva ner ofärdiga idéer. Det kan också ha varit förvirrande för eleverna att den skriftliga dialogen kan ha flera konkurrerande roller och aspekter. Den kan 1. vara manus till ett matematiskt skådespel mellan två tänkta elever 2. vara ett slags referat av elevernas egen diskussion i realtid 3. bli skriven i efterhand som en summering av det eleverna fann. Vi tycker att dialogen som arbetsmetod hjälpte eleverna att strukturera framställningen av bevisidé och argumentation. Även om beviset inte är helt korrekt, tycks det inte vara så lång väg att gå från den skrivna dialogen till ett matematiskt mer formellt bevis av påståenden. Dialogen fick eleverna på egen hand att dröja vid fas 3 i Heinzes modell och att utveckla argumentationen. Vi anser att detta närmande till imaginära dialoger verkar lovande för att utveckla elevers matematiska argumentation. Litteratur Askevold, G-A. & Lekaus, S. (2014). Matematisk argumentasjon gjennom imaginære dialoger. Tangenten 2014:4. Bergen: Caspar forlag. Heinze, A. (2004). The proving process in mathematics classroom method and results of a vidoe study. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (s 41 48 (Vol 3)). Bergen: Bergen University College. Skovsmose, O. (2003). Undersøgelselandskaber. I O. Skovsmose & M. Blomhøj, Kan det virkelig passe? Om matematiklæring (s 143 158). Köpenhamn: L & R Uddannelse. Wille, A. (2011). Activation of inner mathematical discourses of students about fractions with the help of imaginary dialogues: A case study. Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (s 337 344). Wille, A. & Boguet, M. (2009). Imaginary dialogues written by low-achievingstudents about origami: A case study. Proceedings of the 33rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (s 3 5 (Vol 1)). 46 Nämnaren nr 2 2015