Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23
Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet.: ω 1, ω 2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet. Ω Kolmogorovs axiomsystem 0 P(A) 1 En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 P(Ω) = 1 Sannolikheten att något skall hända är 1 P(A 1 A 2... ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... Om A 1, A 2,... är oförenliga Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 2/23
Begrepp Samband Några viktiga samband Additionssatsen: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Betingad sannolikhet: P(A B) = P(A B) P(B) defineras bara om P(B) > 0 Total sannolikhet: P(A) = n i=1 P(A H i) P(H i ) om H i H j =, i j och Bayes sats: P(H i A) = P(A H i) P(H i ) P(A) n H i = Ω Oberoende: Händelserna A och B är oberoende P(A B) = P(A) P(B) i=1 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 3/23
Stokastisk variabel En stokastisk variabel eller slumpvariabel är ett tal vars värde styrs av slumpen (en funktion som avbildar Ω R). Beteckning: X, Y,.... En stokastisk variabel är Diskret om den kan anta ett ändligt antal (ex 1, 3, π), eller uppräkneligt oändligt (ex 0, 1, 2,...). Ex: X = Antal sönderfallande partiklar i ett radioaktivt ämne under 1 s. Y = Antal Nordkoreas kärnvapentest i 2017. Kontinuerlig om den kan anta alla reella tal i ett intervall, typsikt resultatet av en mätning. Ex: X = Hastigheten hos nästa bil som passerar Vattenhallen. Y = Temperaturen i Lund i morgon. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 4/23
Sannolikhetsfunktion Standardfördelningar Sannolikhetsfunktion För en diskret s.v. X definieras sannolikhetsfunktionen som p X (k) = P(X = k) Några egenskaper: 0 p X (k) 1, eftersom de är ju sannolikheter b P(a X b) = p X (k) alla k k=a p X (k) = 1. Slh att X skall anta något värde är 1. Observera att en stokastisk variabel jämförd med ett tal, dvs. {X = k} är en händelse. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 5/23
Sannolikhetsfunktion Standardfördelningar Exempel: Keno-3 I Keno-3 väljs 3 av 70 nr. Vid dragning väljs 20 av dessa 70 ut som vinstnummer. Låt X = Antal vinstnr man prickar in. Sannolikhetsfunktionen för X är k 0 1 2 3 p X (k) 0.36 0.45 0.17 0.02 Två vinstnummer ger 5 kr och tre vinstnummer ger 90 kr. a) Vad är sannolikheten att vinna något? b) Vad är sannolikheten att man fått två vinstnummer under förutsättning att man vunnit? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 6/23
Sannolikhetsfunktion Standardfördelningar Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) där 0 < p < 1 och n {1, 2,... } Förekomst: Ett slumpmässigt försök med en händelse A där P(A) = p upprepas n oberoende ggr, X = Antal ggr A inträffar. Sannolikhetsfunktion: p X (k) = ( ) n p k (1 p) n k, k k = 0, 1,..., n Ex: X=Antal sexor på tio tärningskast: X Bin(10, 1/6) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 7/23
Sannolikhetsfunktion Standardfördelningar Poissonfördelning Beteckning: X Po(μ) där μ > 0 Förekomst: Räknar antal händelser. Sannolikhetsfunktion: p X (k) = e μ μk, k = 0, 1, 2,... k! Ex: Bilar som passerar på en väg. Antal radioaktiva sönderfall. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 8/23
Sannolikhetsfunktion Standardfördelningar ffg-fördeling Beteckning: X ffg(p) där 0 < p < 1 Förekomst: Försöket med händelsen A upprepas oberoende, där P(A) = p. X=Antal försök tills A inträffar för första gången. Sannolikhetsfunktion: p X (k) = p(1 p) k 1, k = 1, 2,... Ex: Antal slantsinglingar t.o.m. första krona. X ffg(1/2). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 9/23
Sannolikhetsfunktion Standardfördelningar Geometrisk fördelning Beteckning: Y Ge(p) där 0 < p < 1 Förekomst: Försöket upprepas. Y=Antal försök innan A inträffar första gången (dvs Y = X 1), där P(A) = p. Sannolikhetsfunktion: p Y (k) = p(1 p) k, k = 0, 1,... Ex: Antal tärningskast innan första sexa: X Ge(1/6). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 10/23
Täthetsfunktion Standardfördelningar Täthetsfunktion En kontinuerlig s.v. X har i stället en täthetsfunktion f X (x). P(X A) = f X (x) dx A Några egenskaper: f X (x) 0 P(a X b) = P(a < X < b) = b a f X (x) dx f X (x) dx = 1. Slh att X skall anta något värde är 1. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 11/23
Täthetsfunktion Standardfördelningar Rektangel- eller likformig fördelning Beteckning: X R(a, b) eller X U(a, b) (engelska Uniform) Täthetsfunktion: f X (x) = { 1 b a, 0 f.ö. a x b 1/(b a) 0 a b Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 12/23
Täthetsfunktion Standardfördelningar Exponentialfördelning Beteckning: X Exp(λ) (eller X Γ(1, λ) ) där λ > 0 Täthetsfunktion: { λe λx, x 0 f X (x) = 0 x < 0 f X (x) 2 1.5 1 λ = 2 λ = 1 λ = 1/2 λ = 1/4 0.5 0 0 2 4 6 x OBS! Ibland (t.ex i Matlab) används bet. Exp(μ) där μ = 1/λ. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 13/23
Täthetsfunktion Standardfördelningar Normalfördelning Beteckning: X N(μ, σ) där μ R, σ > 0 Täthetsfunktion: f X (x) = 1 (x μ) e 2σ 2, 2 < x < 2πσ 2 0.5 µ = 4 0.15 σ = 2 σ = 1 f X (x) f X (x) µ = 0 µ = 10 σ = 2 0 2 0 2 4 6 8 10 x 0 20 0 20 40 x Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 14/23
Exempel Glödlampa Fördelningsfunktion För att räkna ut sannolikheter behöver man summera p X (k) eller integrera f X (x). Det kan därför vara användbart att ha en fördelningsfunktion (borde heta kumulativ förd.funk.) F X (x) = P(X x) Några egenskaper: 0 F X (x) 1, eftersom det är en sannolikhet F X (x) är växande. Diskret Kontinuerlig F X (x) = k x p X (k) F X (x) = x p X (k) = F X (k) F X (k 1) f X (x) = d dx F X(x) f X (t) dt Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 15/23
Exempel Glödlampa Fördelningsfunktion Diskret b P(a < X b) = p X(k) P(a < X b) = F X(b) F X(a) k=a+1 p X (k) F X (x) P(a < X b) = a b a b k k b a f X(x) dx Kontinuerligt P(a < X b) = F X(b) F X(a) f X (x) F X (x) a b x a b x Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 16/23
Exempel Glödlampa Fördelningsfunktion N(0,1) F X (x) = Φ(x) := 1 2π x där Φ(x) räknas ut numeriskt eller fås från tabell. e t2 /2 dt Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 17/23
Exempel Glödlampa Fördelningsfunktion Ge(0.3) F X (x) = { 1 (1 0.3) x +1 x 0 0 x < 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 18/23
Exempel Glödlampa Fördelningsfunktion Exp(0.5) F X (x) = { 1 e 0.5x x 0 0 x < 0 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 19/23
Exempel Glödlampa Exempel Glödlampa Låt X = Livslängden hos en glödlampa i år. Antag att fördelningen för X beskrivs av följande täthetsfunktion { e x, x 0 f X (x) = 0 x < 0 a) Beräkna F X (x) samt skissa den och f X (x). b) Beräkna sannolikheten att lampan håller minst två år. c) Om vi sett att lampan lyst ett år, vad är sannolikheten att den lyser två år till? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 20/23
Exempel α-kvantil, x α En kvantil, x α, till en s.v. X är en gräns som överskrids med slh α. Den fås som lösning till någon av följande ekvationer. F X (x α ) = 1 α xα f X (x) dx = 1 α x α f X (x) dx = α f 1 a a x_a x Eller direkt ur x α = F 1 X (1 α) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 21/23
Exempel Exempel Glödlampa (forts.) Låt X = Livslängden hos en glödlampa i år. Antag att fördelningen för X beskrivs av följande täthetsfunktion { e x, x 0 f X (x) = 0 x < 0 a) Beräkna kvantilen x α som funktion av α. b) Beräkna numeriskt de tre kvartilerna x 0.25, x 0.50 och x 0.75. (x 0.50 kallas även median) c) Gör en konkret tolkning av x 0.25. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 22/23
Sammanfattning En stokastisk variabel X är diskret om den kan anta ett ändligt eller uppräkneligt antal värden, typiskt några positiva heltal; kontinuerlig om den kan anta alla reella tal i ett intervall. X beskrives av: Sannolikhetsfunktion p X (k) = P(X = k) om X är diskret. Täthetsfunktion f X (x) om X är kontinuerlig. Fördelningsfunktion F X (x) = P(X x) i alla fall; bra att räkna ut sannolikheter med. En α-kvantil, x α, är en gräns som överskrids med slh α. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 23/23