Angelika Kullberg. What difference does teaching make for student learning?

Angelika Kullberg What difference does teaching make for student learning?

`lkqbkqp= CHAPTER ONE...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. INTRODUCTION...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. LEARNING STUDY: A WAY TO ENHANCE TEACHING AND LEARNING WITH MEANS OF A LEARNING THEORY...Fel! Bokmärket är inte definierat. WHAT HAS BEEN CONSIDERED MAKING DIFFERENCE FOR STUDENT LEARNING...Fel! Bokmärket är inte definierat. THE WHAT OF TEACHING...Fel! Bokmärket är inte definierat. Teaching and learning in classrooms... Fel! Bokmärket är inte definierat. Knowledge about teaching and learning... Fel! Bokmärket är inte definierat. PURPOSE AND RATIONAL OF THE STUDY...Fel! Bokmärket är inte definierat. Research questions...fel! Bokmärket är inte definierat. STRUCTURE OF THE THESIS...Fel! Bokmärket är inte definierat. CHAPTER TWO...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. VARIATION THEORY...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. A THEORY OF LEARNING...Fel! Bokmärket är inte definierat. Dimensions of variation...fel! Bokmärket är inte definierat. The object of learning and its critical features... Fel! Bokmärket är inte definierat. Patterns of variation and the space of learning... Fel! Bokmärket är inte definierat. LEARNING AS DIFFERENTIATION...Fel! Bokmärket är inte definierat. PHENOMENOGRAPHY AND VARIATION THEORY - WHAT HAS BEEN LEARNT FROM RESEARCH?...Fel! Bokmärket är inte definierat. How learners experience phenomena... Fel! Bokmärket är inte definierat. Possibilities for learners to learn...fel! Bokmärket är inte definierat. Using variation theory to enhance learning... Fel! Bokmärket är inte definierat. Are findings from learning studies transferable to other teachers and students?...fel! Bokmärket är inte definierat. CHAPTER THREE...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. TWO LEARNING STUDIES IN MATHEMATICS...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. RESEARCH ABOUT TEACHING AND LEARNING OF RATIONAL NUMBERS. Fel! Bokmärket är inte definierat. Representation of rational numbers... Fel! Bokmärket är inte definierat. 2

A LEARNING STUDY ABOUT DENSITY OF RATIONAL NUMBERS...Fel! Bokmärket är inte definierat. RESEARCH ABOUT TEACHING AND LEARNING OF ADDITION AND SUBTRACTION OF NEGATIVE NUMBERS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Representation of negative numbers... Fel! Bokmärket är inte definierat. A LEARNING STUDY ABOUT ADDITION AND SUBTRACTION OF NEGATIVE NUMBERS...Fel! Bokmärket är inte definierat. CHAPTER FOUR...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. FROM DATA PRODUCTION TO RESULTS...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. DESIGN OF THE STUDY...Fel! Bokmärket är inte definierat. Setting and selection...fel! Bokmärket är inte definierat. PROCEDURE...Fel! Bokmärket är inte definierat. The meetings...fel! Bokmärket är inte definierat. Video recordings of the lessons... Fel! Bokmärket är inte definierat. Transcriptions...Fel! Bokmärket är inte definierat. Written tests...fel! Bokmärket är inte definierat. DATA ANALYSIS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Analysis of lessons...fel! Bokmärket är inte definierat. Analysis of tests...fel! Bokmärket är inte definierat. ETHICS...Fel! Bokmärket är inte definierat. VALIDITY AND RELIABILITY...Fel! Bokmärket är inte definierat. CHAPTER FIVE...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. A STUDY ABOUT TEACHING AND LEARNING OF DENSITY OF RATIONAL NUMBERS...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. THE INTERVENTION...Fel! Bokmärket är inte definierat. FINDINGS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Intended, enacted and lived object of learning... Fel! Bokmärket är inte definierat. ANALYSIS OF LESSONS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Lesson design 1...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 1: Decimal numbers as points on a number line...fel! Bokmärket är inte definierat. Other features of decimal numbers... Fel! Bokmärket är inte definierat. Lesson design 2...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 1: Decimal numbers as points on a number line...fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 2: Interchangeable representation... Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 3: Part of a whole...fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 4: Divisibility...Fel! Bokmärket är inte definierat. Other features of decimal numbers... Fel! Bokmärket är inte definierat. 3

Lesson design 3...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 1: Decimal numbers as points on a number line...fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 2: Interchangeable representation... Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 3: Part of a whole...fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 4: Divisibility...Fel! Bokmärket är inte definierat. Other features of decimal numbers... Fel! Bokmärket är inte definierat. CONCLUSIONS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical features for student learning... Fel! Bokmärket är inte definierat. The range of change...fel! Bokmärket är inte definierat. CHAPTER SIX...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. A STUDY ABOUT TEACHING AND LEARNING OF ADDITION AND SUBTRACTION OF NEGATIVE NUMBERS...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. THE INTERVENTION...Fel! Bokmärket är inte definierat. FINDINGS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Intended, enacted and lived object of learning... Fel! Bokmärket är inte definierat. ANALYSIS OF LESSONS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Lesson design 1...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 1: Subtraction as a difference... Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 2: Perspective - the commutative law does not apply in subtraction...fel! Bokmärket är inte definierat. Other features of negative numbers... Fel! Bokmärket är inte definierat. Lesson design 2...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 3: The sign...fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 4: The numerical system... Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 1: Subtraction as a difference... Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical feature 2: Perspective the commutative law does not apply in subtraction...fel! Bokmärket är inte definierat. Other features of negative numbers... Fel! Bokmärket är inte definierat. CONCLUSIONS...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical features for student learning... Fel! Bokmärket är inte definierat. The range of change...fel! Bokmärket är inte definierat. CHAPTER SEVEN...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. DISCUSSION AND IMPLICATIONS...FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. TEACHERS USE OF CRITICAL FEATURES AND VARIATION...Fel! Bokmärket är inte definierat. THE PREDICTABLE AND UNPREDICTABLE NATURE OF TEACHING AND LEARNING...Fel! Bokmärket är inte definierat. THEORETICAL IMPLICATIONS OF THE STUDY...Fel! Bokmärket är inte definierat. Critical features and range of change... Fel! Bokmärket är inte definierat. PRACTICAL IMPLICATIONS OF THE STUDY...Fel! Bokmärket är inte definierat. 4

Implications of critical features...fel! Bokmärket är inte definierat. A resource of knowledge among teachers... Fel! Bokmärket är inte definierat. What difference does teaching make for student learning?. Fel! Bokmärket är inte definierat. LIMITATIONS OF THE STUDIES...Fel! Bokmärket är inte definierat. SUGGESTIONS FOR FURTHER RESEARCH...Fel! Bokmärket är inte definierat. CHAPTER EIGHT...6 SWEDISH SUMMARY...6 INLEDNING... 6 Learning study (Lärstudier)...7 Avhandlingens syfte och forskningsfrågor...7 Teoretiskt ramverk... 7 METOD...Fel! Bokmärket är inte definierat. Resultat... 9 STUDIE 1: OM LÄRANDE OCH UNDERVISNING OM RATIONELLA TAL...9 STUDIE 2: OM LÄRANDE OCH UNDERVISNING AV ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL...11 DISKUSSION...13 Vilken skillnad gör undervisning för elevers lärande?...14 REFERENCES...16 5

CHAPTER EIGHT SWEDISH SUMMARY INLEDNING Vilken skillnad gör undervisningen för elevers lärande? Kennedy (1999) hävdar att relationen mellan undervisning och lärande är den mest centrala när det gäller undervisning, men också den som är mest förbryllande och minst förstådd. Det har visat sig att en del lärare ser relationen mellan undervisning och lärande som en direkt relation genom överföring av kunskap, medan andra lärare ser inga direkta samband på kort sikt utan ser relationen som mystisk och oförutsägbar (Kennedy, 1999; Lortie, 1975). Nuthall (2004) framhåller vikten av en teori som kan förklara samband mellan undervisning och lärande på ett sätt som är användbart för lärare. I denna avhandling prövas variationsteorin för att beskriva samband mellan undervisning och lärande. Den undervisning eleverna får konstateras vara en av orsakerna till att svenska elevers kunskaper i matematik har sjunkit under de tio senaste åren nationellt och i internationella jämförelser som TIMSS 1 och PISA 2 (Skolverket, 2007, 2008, 2009). Det hävdas bland annat att eleverna ägnar mycket tid åt individuellt arbete i matematikböcker (cf., Johansson, 2006; Löwing, 2004; Skolverket, 2008). Undervisningen lyfts även fram som en orsak till att elever i asiatiska länder, som exempelvis Kina och Japan, lyckas så bra i internationella jämförelser (Stigler & Hiebert, 1999). I Kina och Japan är det vanligt att lärare arbetar tillsammans med att planera och analysera undervisning i så kallade lesson- eller teaching studies (Fernandez & Yoshida, 2004; Lewis, 2002). Forskarna hävdar att det bidrar till att utveckla lärarnas kunnande och därmed bidrar till bättre möjligheter till lärande hos eleverna (Stigler & Hiebert, 1999). 1 TIMSS, Trends In Mathematics and Science Study 2 PISA, The Programme for International Student Assessment 6

Learning study (Lärstudier) Bakgrunden till avhandlingen är frågor om relationen mellan undervisning och elevers lärande som väcktes genom ett forskningsprojekt om learning studies vid Göteborgs Universitet 2003 till 2006. Learning study utvecklades i början på 2000- talet utifrån den japanska modellen kallad lesson study. En learning study innebär att lärare tillsammans planerar, analyserar och reviderar sin undervisning (Marton & Pang, 2003; Marton & Tsui, 2004). I en learning study arbetar en grupp lärare, ofta med stöd av en forskare, under en längre tid (en termin), med att systematiskt undersöka vad som gör skillnad för elevernas möjlighet att lära en specifik förmåga. I en cyklisk process försöker de förbättra undervisningen av en lektion så att elevernas möjlighet att lära ökar (Gustavsson, 2008; Holmqvist, 2006; Kullberg, 2009a; Lo, Chik, & Pang, 2006; Runesson, 2009). Resultaten från studierna visade att elevernas lärande ökade dramatiskt och att lärarna kunde förklara vad i undervisningen som gjorde att eleverna lärde sig. Lärarna hade identifierat aspekter av innehållet (det eleven förväntades att lära), som i förhållande till elevernas förståelse av innehållet, den lärande behövde få möjlighet att urskilja; så kallade kritiska aspekter. Avhandlingens syfte och forskningsfrågor Avhandlingen syftar till att ge ett kunskapsbidrag till forskning om relationen mellan undervisning och lärande. Två studier har genomförts tillsammans med åtta lärare för att studera hur tidigare identifierade kritiska aspekter gör skillnad för andra elevers lärande i matematik. Följande frågor belyses: Vilken skillnad gör närvaro respektive frånvaro av kritiska aspekter i undervisningen för elevernas lärande? Kan kritiska aspekter användas som kunskapsresurs mellan lärare för att förbättra eleverna möjlighet att lära? På vilket sätt kan kritiska aspekter bidra till kunskap om relationen mellan undervisning och lärande? TEORETISKT RAMVERK OCH METOD Det teoretiska ramverket för avhandlingen är variationsteorin (Marton & Booth, 1997; Marton & Tsui, 2004). Variationsteorin är en teori om lärande och ett analytiskt redskap för att analysera och planera undervisning. En central utgångspunkt inom variationsteorin är att lärande alltid är lärande av något. Det kan vara en förmåga eller en förståelse, exempelvis förståelse för att det finns oändligt 7

många decimaltal. Den förmågan eller förståelsen är lärandets objekt. Lärandeobjektet har aspekter som den lärande bör urskilja för att uppfatta lärandeobjektet på ett visst sätt, som beskrivits tidigare, kritiska aspekter. Det innebär dock inte att alla personer lär sig samma saker. Utan tvärtom, i en lärandesituation urskiljer människor olika saker och lär sig därför olika. Vad som är kritiskt för lärandet är beroende på vad eleverna skall lära sig och i förhållande till dem som skall lära. Variationsteorin har används som teoretiskt ramverk i ett flertal klassrumsstudier för att analysera elevers möjlighet att lära (Emanuelsson, 2001; Marton & Morris, 2002; Marton & Pang, 2006; Rovio-Johansson, 1999; Runesson, 1999). Den här studien bidrar med att systematiskt pröva identifierade kritiska aspekter från tidigare genomförda learning studies genom att analysera undervisning där nya lärare implementerar kritiska aspekter i nya elevgrupper (Runesson & Marton, 2009; Kullberg, 2007). Inom ramen för denna avhandling genomfördes två interventionsstudier med kvasiexperimentell design. Genom att skapa olika betingelser i form av två lektionsdesigner (LD1 och LD2) var det möjligt att jämföra lektioner i termer av olika implementerade kritiska aspekter. Lektionsdesignerna bestod enbart av specificerade kritiska aspekter och var ingen lektionsplan (med uppgifter eller arbetsmetoder) som lärarna förmodades följa. Samma lärare genomförde både lektionsdesign 1 och 2, vilket gjorde det möjligt att separera läraren från undervisningen. I både LD1 och LD2 använde samma lärare likadana elevuppgifter och organiserade undervisningen på liknande sätt. I varje studie deltog fyra lärare och åtta elevgrupper, vilket gjorde att det i de två studierna totalt var åtta lärare och sexton elevgrupper (247 elever) tillsammans. Insamlade data bestod av sexton videofilmade lektioner (ca 16h), åtta videoinspelade planeringsmöten med lärarna (ca 16h), fem stimulated recall intervjuer (ca 8h, används som bakgrundsmaterial), och elevtester. Elevgrupperna var inte randomiserade utan de elevgrupper som lärarna undervisade eller kände till var i första hand de som lärarna undervisade i. De deltagande eleverna hade skriftligt tillstånd av sina målsmän att medverka. Lärarna som deltog kom från två olika 0-9 skolor och alla var något bekanta med variationsteorin och learning study. Lärarna från samma skola arbetade tillsammans med att planera lektionerna för att få fram de kritiska aspekterna. Lärarna fick titta på videoinspelade lektioner (från learning study) där andra lärare implementerade de kritiska aspekterna. Utifrån de kritiska aspekterna planerade lärarna nya lektioner och nya elevuppgifter. 8

Lektionerna analyserades tillsammans med elevtester utifrån det intentionella (vad läraren avsåg att eleverna skulle lära), det iscensatta (vad eleverna hade möjlighet att lära) och det levda lärande objektet (vad de lärde sig) (Marton & Tsui, 2004). För att göra det möjligt att studera elevernas lärande så fick eleverna genomföra ett test en vecka före och två dagar efter lektionen (se bilagor). För- och eftertest var identiska och testen analyserades kvalitativt och med deskriptiva statistiska mått. RESULTAT STUDIE 1: OM LÄRANDE OCH UNDERVISNING OM RATIONELLA TAL Bakgrunden till denna studie är en learning study om rationella tal med tre lärare, en forskare och tre klasser med elever i skolår 6 (Kullberg, 2004a, 2007a; Runesson & Kullberg, in press). Rationella tal har egenskapen att mellan två olika tal så finns det oändligt många tal. Elever har svårt att uppfatta denna egenskap hos rationella tal; att dessa är oändliga och att det exempelvis är omöjligt att ange närmast största tal efter 1 (e.g., Fischbein et al., 1979; Hart, 1981; Stacey et al., 2001; Steinle, 2004; Vamvakoussi & Vosniadou, 2007; Vosniadou et al., 2008). I en learning study fann lärarna att vissa aspekter var kritiska för att eleverna skulle lära sig om rationella tals täthet. Den studerade gruppens elever behövde erfara; decimaltal som punkter på en tallinje, rationella tals olika representationsformer, tal som del av en helhet och rationella tals täthet. Analysen visade att när det enbart var möjligt att erfara decimal tal som uppräkningsbara tal (punkter) på tallinjen (exempelvis, 0.971, 0.972, 0.973 etc.) var effekten på elevernas lärande lägre (Kullberg, 2004) än då talen behandlades som olika antal delar i ett intervall (exempelvis, 197/1000, 1970/10000), då den var signifikant högre. I avhandlingsstudien deltog fyra erfarna matematiklärare från två olika skolor och 113 elever från skolår 5 och skolår 6 från åtta elevgrupper. Lärarna från samma skola arbetade tillsammans med att planera lektionerna för att de skulle bli så lika som möjligt. Studiens design var sådan att samma lärare skulle implementera både lektionsdesign 1 och 2 som bestod av olika kritiska aspekter. Lektionsdesign 1 (LD1); decimaltal som punkter på en tallinje (t.ex. 0.971, 0.972 o.s.v.) 9

Lektionsdesign 2 (LD2); decimaltal som punkter på en tallinje (t.ex. 0.971, 0.972 o.s.v.), rationella tals olika representationsformer (t.ex. bråk), tal som del av en helhet (t.ex. 0.17 eller 17/100 som en del av en linjal), och rationella tals delbarhet/täthet (samma intervall mellan två tal eller talet i sig visas i olika antal delar, oändligt antal delar) Analysen visar att de kritiska aspekterna i LD1 var möjliga att erfara som planerat i fyra grupper (1A, 1B, 1C, 1D) medan de kritiska aspekterna i LD2 enbart i två (1E, 1F) av fyra grupper. I två grupper (1G, 1H) var det enbart möjligt att erfara tre av de planerade fyra kritiska aspekterna och därför skapades en tredje lektionsdesign, LD3 (se tabell x). Lärarna i dessa klasser fick helt enkelt inte med alla de kritiska aspekterna de skulle ha med. Tabell x. Aspekter av rationella tal möjliga att erfara under respektive lektioner. Lektionsdesign Lektion Lärare N Tal som punkter på tallinjen Flera representations former Tal som del av helhet Delbarhet/ täthet LD1 1A A 19 LD1 1B B 13 LD1 1C C 16 LD1 1D D 15 LD2 1E B 12 LD2 1F C 12 LD3 1G A 13 LD3 1H D 13 Analysen av för- och eftertest visar att det var främst de uppgifter som handlade om lärande objektet, att förstå rationella tals täthet, som visade ett bättre resultat för elevernas lärande om de fått möjlighet att erfara de kritiska aspekterna i LD2. 10

Resultatet för elevernas lärande (LD2) visar medelvärdesskillnad på +1.58 (effektstorlek, Cohens d 1.1). Detta kan jämföras med testresultaten för LD1, som visar en medelvärdesskillnad på +0.68 (effektstorlek 0.6), samt LD3 en medelvärdesskillnad +0.60 (effektstorlek 0.34). Effekt storleken mätt på hela testet visar att LD2 har 0.62 jämfört med 0.40 för LD1 och 0.38 för LD3. En slutsats som dras av analysen av testen och de videofilmade lektionerna är att man kan se att undervisningen reflekteras i elevernas lärande om rationella tals täthet. Främst visade det sig att aspekten om (oändlig) delbarhet/täthet var av avgörande betydelse för elevernas lärande, medan de övriga kritiska aspekterna kan ses som en nödvändig förutsättning för att erfara täthet. Studien visar även att de kritiska aspekterna blev iscensatta på olika sätt i undervisningen. Ett exempel är den range of change (Watson & Mason, 2006), det vill säga de värden inom en dimension av variation som eleverna erbjuds att erfara. Analysen visar att rationella tals olika representationsformer blev möjlig att urskilja på olika sätt, genom att de värden som erbjöds att erfara under lektionen skiljde sig åt. Under en lektion var det möjligt att erfara 17/100 och 18/100 som en representation av 0.17 och 0.18 medan i en annan lektion dessutom 170/1000 och 180/1000 och även mindre delar. Analysen pekar på att de värden som var möjliga att erfara (t.ex. 0.25, 25/100, 0.250, 250/1000, 0.2500) bidrog till elevernas möjlighet att urskilja både olika representation av rationella tal och talens täthet. De slutsatser som dras från studien är att, även om alla lektioner hade samma intentionella lärande objekt, så hade eleverna olika möjligheter att lära vad läraren avsåg. Däremot visade det sig att det iscensatta lärande objektet och det levda lärande objektet sammanföll, det vill säga att det eleverna hade möjlighet att urskilja under en lektion visade sig även som ökat resultat på eftertest. STUDIE 2: OM LÄRANDE OCH UNDERVISNING AV ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL Forskning om elevers förståelse av addition och subtraktion med negativa tal visar att undervisningen kan leda till att elever får svårigheter med detta (e.g., Ball, 1993; Carraher & Schliemann, 2002; Gallardo, 1995). Det har visat sig att undervisningen om negativa tal ofta bygger på olika metaforer som gäller enbart i vissa situationer eller på regeln två minus ger plus (se Vlassis, 2004 p. 480). Bakgrunden till denna studie är en learning study där fyra lärare och en forskare på djupet studerade sin 11

undervisning om negativa tal. i skolår 7 och 8 (Maunula, manuskript). Lärarna identifierade fyra aspekter som kritiska för elevernas lärande (se LD2). I avhandlingsstudien implementerades de kritiska aspekterna av fyra nya erfarna matematiklärare i åtta nya elevgrupper (n= 134 elever) från två olika skolor. Studiens design var sådan att samma lärare implementerade både lektionsdesign 1 och 2 som bestod av följande kritiska aspekter: Lektionsdesign 1 (LD1); subtraktion som skillnad ( ett annat sätt att se på subtraktion jämfört med ta bort ), perspektivet (kommutativa lagen gäller inte för subtraktion) Lektionsdesign 2 (LD2); minustecknet (skillnad mellan tecknet för subtraktion och negativt tal), talsystemet (talen blir större ju längre åt höger på tallinjen man kommer), subtraktion som skillnad ( ett annat sätt att se på subtraktion jämfört med ta bort ), perspektivet (kommutativa lagen inte gäller subtraktion) Analysen av de videofilmade lektionerna visade att de kritiska aspekterna blev implementerade som planerat förutom i lektion 2B där speciellt en elevs frågor om innehållet bidrog till att fler kritiska aspekter var möjliga att erfara. Även om tanken var att de kritiska aspekterna i LD1 skulle implementeras så var det möjligt att erfara de kritiska aspekterna i LD2. Förutom att det var möjligt för eleverna att erfara subtraktion som skillnad och perspektivet så hade de även möjlighet att erfara minustecknet och dess olika betydelse samt talsystemets uppbyggnad att talen växer blir större ju längre åt höger man kommer på tallinjen. Samma elev gjorde även en distinktion mellan två aspekter, subtraktion som skillnad (som absolutbelopp) och perspektivet (riktningen på skillnaden). Denna distinktion kan även ha varit kritisk för elevernas möjlighet att lära. Analysen visade även att de kritiska aspekterna implementerades på olika sätt och förmodligen med något olika möjlighet att erfara aspekterna. Tabell x. Aspekter av negativa tal möjliga att erfara under lektionerna. 12

Lektionsdesign Lektion Lärare N Tecknet för negativt tal Tal systemet Subtraktion som skillnad Perspektivet LD1 2A E 22 LD2 2B F 11 LD1 2C G 30 LD1 2D H 15 LD2 2E E 16 LD2 2F F 10 LD2 2G G 16 LD2 2H H 14 Analysen av lektionerna visar att vad eleverna har möjlighet att erfara under lektionerna (det iscensatta lärande objektet) reflekteras i vad de lär (det levda lärande objektet). Medelvärdesskillnaden mellan för- och eftertest var +4.39 (effektstorlek 0.65) för LD1, men den var högre, +6.67 (effektstorlek 0.90) för LD2. Även denna studie visar att det sätt på vilket det görs möjligt för eleverna att erfara de kritiska aspekterna skiljer sig åt mellan lektionerna. Även de värden (range of change) som görs möjliga att erfara inom en dimension av variation skiljer sig åt mellan de olika lektionerna. Ett exempel på detta är hur det görs möjligt att erfara subtraktion som skillnad. I lektion 2A och 2B jämförs subtraktion som skillnad med subtraktion som ta bort (vilket eleverna möter oftast) för att göra skillnadstanken mer synlig. I andra lektioner, 2D och 2G talar man om subtraktion som skillnad men det görs inte tydligt hur det skiljer sig åt från ta bort -tanken, utan detta tas mer förgivet att eleverna själva skall inse. DISKUSSION Syftet med denna avhandling har varit att ge ett kunskapsbidrag till relationen mellan undervisning och lärande. I denna avhandling utforskas relationen mellan 13

undervisning och lärande genom att studera hur implementerade kritiska aspekter gjorde skillnad för elevernas möjlighet att lära. I varje studie var intentionen att samma lärare skulle implementera två olika lektionsdesigner. Genom att flera lärare implementerade samma kritiska aspekter var det möjligt att jämföra likheter och skillnader i hur aspekterna implementerades och vad eleverna lärde sig. Syftet med den kvasiexperimentella designen var även att separera läraren från de kritiska aspekterna. Några frågor som studierna besvarade var; Är de identifierade kritiska aspekterna överförbara till andra liknande kontexter? Hur implementerade lärarna de kritiska aspekterna? Vad lärde sig eleverna? Från analysen av studierna kan man hävda att de kritiska aspekterna är överförbara i två avseenden, i förhållande till elevers lärande och i förhållande till ett medel för lärares kommunikation om vad som gör skillnad för elevers lärande. Båda studierna visade att de iscensatta kritiska aspekterna påverkade elevernas möjlighet att lära. Stöd för detta påstående baseras på analysen av de videoinspelade lektionerna och elevtesten. När enbart några av de kritiska aspekterna var möjliga att erfara under lektionen så var resultatet för elevernas lärande lägre än då alla de identifierade kritiska aspekterna var möjliga att erfara. Analysen av elevtesten visar att det var en skillnad i avseende på elevernas lärande mellan vilken kritiska aspekter eleverna fått möjlighet att erfara. Ytterligare argument som talar för denna tolkning är att det endast var de testuppgifter som var direkt knutna till lärandeobjektet som förbättrades. Detta stödjer antagandet om kritiska aspekter för olika lärandeobjekt. Vilken skillnad gör undervisning för elevers lärande? Kritiska aspekter har beskrivits som de aspekter som den lärande måste komma i besittning av för att förstå lärande objektet på ett visst sätt (cf., Marton & Booth, 1997; Marton & Tsui, 2004). Denna studie har visat att de kritiska aspekterna till viss del kan vara överförbara till andra grupper av elever. Studierna visar även att lärarna kan göra bruk av kritiska aspekter när de planerar och genomför undervisning. En slutsats som kan dras av studierna är att undervisningen, i meningen den meningen lärandets objekt behandlas, gör skillnad för elevernas möjlighet att lära. Analysen av de videoinspelade lektionerna visade att det var främst vad eleverna hade möjlighet att urskilja som var av betydelse för lärandet och inte de uppgifter 14

som eleverna arbetade med eller hur undervisningen var organiserad. Detta stöds av att det var flera lärare arbetade med samma uppgifter och samma arbetssätt men att eleverna hade olika möjlighet att urskilja de kritiska aspekterna under lektionerna. Analysen visar att det var otillräckligt att omnämna, eller att bekräfta andra elevers idéer om kritiska aspekter. Om elever hade möjlighet att erfara kritiska aspekter under lektionen eller inte visade sig vara av betydelse för lärandet. Med andra ord så samvarierar det levda lärande objektet med det iscensatta lärande objektet. Resultatet av studierna kan sammanfattas i följande punkter: Närvaron och frånvaron av kritiska aspekter i undervisningen i de två studierna utgör förutsättningar för elevernas möjlighet att lära. Studierna visar att det är inte är tillräckligt att omnämna de kritiska aspekterna för eleverna, dessa behöver urskiljas (göras möjliga att erfara) Lärare och elever konstituerade tillsammans den variationsrymd som var möjlig för eleverna att erfara. Analysen visar att de värden som erbjöds inom en dimension variation (range of change) gör skillnad för elevernas möjlighet att erfara dimensionen. Studierna tyder på att variationsteorin som analytiskt verktyg gör det möjligt att tydliggöra samband mellan undervisning och lärande. 15

REFERENCES Ahlberg, A. (1992). Att möta matematiska problem. En belysning av barns lärande [Meeting mathematical problems. An illumination of childrens learning; in Swedish]. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Al- Murani, T. (2007). The deliberate use of variation to teach algebra: A realistic variation study. University of Oxford, Oxford. Al-Murani, T. (2006). Teachers awareness of dimensions of variation: A mathematics intervention project. In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká & N. Stehlikova (Eds.), Proceeding of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 25-32). Prague, Czech Republic: PME. Al-Murani, T. (2007). The deliberate use of variation to teach algebra: A realistic variation study. University of Oxford, Oxford. Al-Murani, T., & Watson, A. (2009). Exchange systematicity: interactional dynamics of variation in mathematics lessons. Paper presented at the Variation Theory SIG, European Association for Research on Learning and Instruction, EARLI. Alexandersson, M. (1994). Metod och medvetande [Method and consciousness; in Swedish]. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Altiparmak, K., & Özdogan, E. (2009). A study on the teaching of the concept of neagtive numbers. International journal of Mathematical Education in Science and Technology, ifirst, 1-17. Andersson, B., & Bach, F. (1996). Developing new teaching sequences in science: the example of Gases and their properties. In G. Welford, J. Osborne & P. Scott (Eds.), Research in Science Education in Europe: Current Issues and Themes (pp. 7-21). London: The Falmer Press. Ball, D. L. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. Elementary School Journal, 93, 373-397. Barab, S. A., & Kirshner, D. (2001). Rethinking methodology in the learning sciences. Journal of the Learning Sciences, 10, 5-15. Bransford, J. D., Brown, A. L., & Cocking, R. R. (Eds.). (2000). How people learn: Brain, mind, experience, and school. Washington, DC: National Academy Press. Brinberg, D., & McGrath, J. E. (1985). Validity and the reserach process. Beverly Hills, CA: Sage. Brown, A. L. (1992). Design experiments: Theoretical and methodological challenges in creating complex interventions in classroom settings. The journal of the learning sciences, 2(2), 141-178. Bryman, A. (2004). Social research methods. United States: Oxford University Press. Carraher, D., & Schliemann. (2002). The Transfer dilemma. The Journal of the Learning Sciences, 11(1), 1-24. 16

Chazan, D., & Ball, D. L. (1999). Beyond being told not to tell. For the Learning of Mathematics, 19(2), 2-10. Cheung, W. M. (2005). Describing and enhancing creativity in Chinese writing. Unpublished thesis, Hong Kong University, Hong Kong. Chik, P. M. P. (2006). Differences in learning as a function of differences between hierarchical and sequential organisation of the content taught. Unpublished thesis, Hong Kong University, Hong Kong. Clarke, D., Emanuelsson, J., Jablonka, E., & Mok, I. (2006). Making connections: Comparing mathematics classrooms around the world. Rotterdam: Sense publishers. Clarke, D., Keitel, C., & Shimizu, Y. (2006). Mathematics classrooms in twelve countries. The insider's perspective. Rotterdam: Sense publishers. Cobb, P. (1994). Where is the mind? Constructivist and sociocultural perspectives on mathemathical development. Educational Researcher, 23(7), 13-20. Cobb, P. (2000). Conducting teaching experiments in collaboration with teachers. In E. A. Kelly & A. R. Lesh (Eds.), Handbook of research. Design in mathematics and science education (pp. 307-333). London: Earlbaum. Cobb, P., Confrey, J., di Sessa, A., Lehrer, R., & Schauble, L. (2003). Design experiments in educational research. Educational researcher, 32(1), 9-13. Cohen, D. K., & Ball, D. L. (2001). Making change. Instruction and its improvement. Phi Delta Kappan(September 2001), 73-77. Collins, A. (1992). Toward a design science of education. In E. Scanlon & T. O'Shea (Eds.), New directions in educational technology. Berlin: Springer. Dahlgren, L. O. (1975). Qualitative differences in learning as a function of content-oriented guidance. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. de Groot, A. D. (1965). Thought and choice in chess. The Hague: Mouton. Design-based research collective. (2003). Design-based reserach: An emerging paradigm for educational inquiry. Educational researcher, 32, 5-8. Dewey, J. (1916). Democracy and education. New York: The Macmillan company. Dienes, Z. P. (1960). Building up mathematics. London: Hutchinson Educational. Dufour-Janvier, B., Bednarz, N., & Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations concerning the problem of representation. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Ekeblad, E. (1996). Children Learning Numbers. A phenomenographic excursion into firstgrade children's arithmetic., Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Emanuelsson, J. (2001). En fråga om frågor. Hur lärares frågor i klassrummet gör det möjligt att få reda på elevernas sätt att förstå det som undervisningen behandlar i matematik och naturvetenskap. [A question about question. How teachers' questioning makes it possible to learn about students' ways of understanding the content taught in mathematica and science; in Swedish]. Göteborg: Acta Universitais Gothoburgensis. Erickson, F. (2006). Definition and analysis of data from videotapes: Some research procedures and their rationales. In J. L. Green, G. Camilli & P. B. Elmore (Eds.), Book of complementary methods in education research. Mahwah: New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc. 17

Fernandez, C., & Yoshida, M. (2004). Lesson study. A Japanese approach to improving mathematics teaching and learning. Mahwah; N.J.: Lawrence Erlbaum Associates. Fernandez, C., & Yoshida, M. (2009). Lesson study - Recasting this practice in more productive terms. Paper presented at the The World Association of Lesson studies International Conference 2009, Hong Kong. Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics: An educational approach. Hingham, MA, USA: Kluwer Academic Publishers. Fischbein, E., Tirosch, D., & Hess, P. (1979). The intuition of infinity. Educational Studies in Mathematics, 10, 3-40. Floden, R. E. (2001). Research on effects of teaching: A continuing model for research on teaching. In V. Richardson (Ed.), Handbook on research on teaching. Washington: American Educational Research Association. Freudental, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Hingham, MA, USA: Kluwer Academic Publishers. Gage, N. L. (1963). Paradigms for research on teaching. In N. L. Gage (Ed.), Handbook of Research on Teaching. Chicago: Rand McNally and company. Gallardo, A. (1995). Negative numbers in teaching of arithemic. Repercussions in Elementary Algebra. In M. Owens, M. Reeds & G. Millsaps (Eds.), Proceeding of the 17th Annual Meeting for the Psychology of Mathematics Education (North America) (Vol. 1, pp. 158-163). Ohio, USA: PME. Gibson, E. J., & Levin, H. (1975). The psychology of reading Cambridge, MA: The MIT Press. Gibson, J. J. (1979). The ecological approach to visual perception. Boston, Mass.: Houghton Mifflin Gibson, J. J., & Gibson, E. J. (1955). Perceptual learning: Differentiation or enrichment? Psychological Review, 62(1), 32-41. Greeno, J. (1994). Gibson's Affordances. Psychological review, 101(2), 336-342. Gustavsson, L. (2008). Att bli bättre lärare. Hur undervisningsinnehållets behandling blir till samtalsämne lärare emellan [Becoming a better teacher. Ways of dealing with the content made a topic of conversation among teachers; in Swedish]. Umeå University, Umeå. Hannula, M. S., Kaasila, R., Laine, A., & Pehkonen, E. (2005). Structure and typical profiles of elementary teacher students' views of mathematics. In H. L. Chick & J. L. Vincent (Eds.), Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 89-96). Melbourne: PME. Hart, K. (1981). Children's understanding of mathematics: 11-16. London: Murray. Hattie, J. (1992). Measuring the effects of schooling. Australien Journal of Educational Research, 11, 155-164. Hattie, J. (2009). Visible learning. A synthesis of over 800 meta-analyses relating to achievement. New York: Routledge. Hella, E. (2007). Variation in the understanding of lutheranism and its implications for religious education. Meaning discernment of students and teachers in finnish upper secondary schools.phd thesis. Helsinki: Faculty of Theology, University of Helsinki. 18

Herscovics, N., & Linchevski, L. (1994). A cognitive gap between artithmetic and algebra. Educational Studies in Mathematics, 27, 59-78. Hiebert, J., Carptenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., et al. (1997). Making sense: Teaching and learning mathmatics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. Hiebert, J., Gallimore, R., & Stigler, J. W. (2002). A knowledge base for the teaching profession: What would it look like an how can we get one? Educational Researcher, 31, 3-15. Hiebert, J., & Grouws, D. A. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students' learning. In F. K. J. Lester (Ed.), Second handbook of reserach on mathematics teaching and learning (pp. 371-404). United States of America: Information Age Publishing Inc. Hiebert, J., & Handa, Y. (2004). A modest proposal for reconceptualizing the activity of learning mathematics procedures. Paper presented at the Annual meeting of the American Educational Research Association, AERA, San Diego. Holmqvist, M. (Ed.). (2006). Lärande i skolan. Learning study som skolutvecklingsmodell [Learning in school. Learning study as a model for school development; in Swedish]. Lund: Studentlitteratur. Holmqvist, M., Gustavsson, L., & Wernberg, A. (2008). Variation theory: An organizing principle to guide design reserach in education. In A. E. Kelly, J. Y. Baek & R. A. Lesh (Eds.), Handbook of design research methods in education. Mahwah,NJ: Erlbaum. Hopkins, D., & Stern, D. (1996). Quality teachers, quality schools: International perspectives and ploicy implications. Teaching and Teacher Education, 12, 501-517. Husserl, E. (1995). Fenomenologins idé. [The idea of Phenomenology] (J. Bengtsson, Trans.). Göteborg: Daidalos. Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn? Göteborg Acta Universitatis Gothoburgensis. Ingerman, Å., Linder, C., & Marshall, D. (2009). The learners' experience of variation. Following students' threads of learning physics in computer simulation sessions. Instructional science, 37(3), 273-292. Janvier, C. (1987a). Representing and understanding: The notion of function as an example. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in teaching and learning of mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Janvier, C. (Ed.). (1987b). Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular perspective. Luleå: Luleå tekniska universitet. Kennedy, M. M. (1999). A test of some common contentions about educational research. American Educational Research Journal, 36(3), 511-541. Kilhamn, C. (in press). Making sense of negative numbers. In J. Emanuelsson, L. Fainsilber, J. Häggström, A. Kullberg, B. Lindström & M. Löwing (Eds.), 19

Voices on learning and instruction in mathematics. Göteborg: National Centre of Mathematics Education, University of Gothenburg. Kilpatrick, J. (1993). Beyond face value: Assessing research in mathematics education. In M. Blomhøj & G. Nissen (Eds.), Criteria for scientific quality and relevance in the didactics of mathematics:report from symposium held in Gillelje, Denmark, april 27 to May 2, 1992 (pp. 15-34) IMFUFA, Roskilde University. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. (a report sponsored by the U.S. department of education and the National science foundation). Washington D.C.: National Akademy Press. Kuchemann, D. E. (1981). Positive and negative numbers. In K. Hart (Ed.), Children's understanding of mathematics: 11-16. London: Murray. Kullberg, A. (2004a). Tal, delar och oändlighet. En studie om avgörande skillnader i undervisning och lärande om decimaltal [Numbers, parts and infinity. A study about differences in teaching and learning about decimal numbers; in Swedish]: Institutionen för pedagogik och didaktik, Department of education, Göteborg university. Kullberg, A. (2004b). Tal, delar och oändlighet. En studie om avgörande skillnader i undervisning och lärande om decimaltal. [Numbers, parts and infinity. A study about differences in teaching and learning about decimal numbers; in Swedish]. Göteborg: Institutionen för pedagogik och didaktik. Kullberg, A. (2006). Teaching for understanding infinity of rational numbers. Paper presented at the 2nd Annual conference on Learning study, The Hong Kong institute of Education, Hong Kong 1-2 december 2006. Kullberg, A. (2007a). Can lessons be replicated?. In J. H. Woo, H. C. Lew, K. S. Park & D. Y. Seo (Eds.), Proceedings of the 31st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 121-128). Seoul: PME. Kullberg, A. (2007b). Can lessons be replicated?. In J. H. Woo, H. C. Lew, K. S. Park & S. Dong-Yeop (Eds.), Proceedings of the 31st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3). Seoul: PME Kullberg, A. (2007c). Students opening up dimensions of variation for learning negative numbers. Paper presented at the World Association of Lesson Studies international conference, Hong Kong 30 nov-1 dec 2007. Kullberg, A. (2008). Relating classroom teaching to student learning about negative numbers. Paper presented at the EARLI SIG 9 Biennal workshop, Kristiandstad university college 22-24 may 2008. Kullberg, A. (2009a). What does it take to learn negative numbers? In J. Emanuelsson, L. Fainsilber, J. Häggström, A. Kullberg, B. Lindström & M. Löwing (Eds.), Voices on learning and instruction in mathematics. Göteborg: National Centre of Mathematics Education, University of Gothenburg. Kullberg, A. (2009b). What is the next number after 0.97? Validating critical features for learning about the density of rational numbers. Paper presented at the The World Association of Lesson Studies International Conference 2009, Hong Kong Kullberg, A., & Runesson, U. (2006). Exploring teaching and learning of letters in algebra: A report from a Learning study In J. Novotná, H. Moraová, M. 20

Krátká & N. Stehlíkova (Eds.), Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, p. 273). Prague:PME Kullberg, A., Watson, A., & Mason, J. (2009). Variation within, and covariation between, representations. In M. Tzekaki, M. Kaldrimidou & C. Sakonidis (Eds.), Proceedings of the 33rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Thessaloniki, Greece: PME. Lagemann, E. C. (2000). An elusive science : the troubling history of education research. Chicago: University of Chicago Press. Lewis, C. (2002). Lesson study: A handbook of teacher-led instructional change. Philadelphia: Research for better schools inc. Lewis, C., Perry, R., & Murata, A. (2006). How should research contribute to instructional improvement? The case of Lesson study. Educational researcher, 35(3), 3-14. Liljestrand, J., & Runesson, U. (2006). Interaction, organisation, tasks and possibilities for learning about mathematical relationships: A Swedish classroom compared with a US classroom. In D. Clarke, J. Emanuelsson, E. Jablonka & I. A. C. Mok (Eds.), Making connections: Comparing mathematics classroom around the world (pp. 165-183). Rotterdam: Sense Publishers. Lilliestam, A. (2009). Kontrafaktisk historia som pedagogisk metod [Counter factual history as method of pedagogy; in Swedish]. Paper presented at subjectmatter didactics conferens in Middelfart, Denmark may 2009 Linchevski, L., & Williams, J. (1999). Using intuition from everyday life in 'filling' the gap in children's extension of their number concept to include negative numbers. Educational Studies in Mathematics, 39, 131-147. Lo, M. L., Chik, P. P. M., & Pang, M. F. (2006). Patterns of variation in teaching the colour of light to primary 3 students. Instructional Science, 34(1), 1-19. Lo, M. L., Pong, W. Y., & Chik, C. P. M. (2005). For each and everyone. Catering for individual differences through Learning Studies. Hong Kong: Hong Kong University Press. Lobato, J., Clarke, D., & Ellis, A. B. (2005). Initiating and eliciting in teaching: A reformation of telling. Journal for Reserach in Mathematics Education, 36(2), 101-136. Lortie, D. C. (1975). Schoolteacher. A Sociological study. Chicago: The University Press of Chicago. Lybeck, L. (1981). Arkimedes i klassen. En ämnespedagogisk berättelse [Archimedes in the classroom; in Swedish]. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Lybeck, L., Marton, F., Strömdahl, H., & Tullberg, A. (1988). The phenomenography of "the mole concept" in chemistry. In P. Ramsden (Ed.), Improving learning: New perspectives (pp. 81-108). London: Kogan Page. Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar [The character of mathematics education. A study about communication teacher - student and 21

the mathematics' lesson's didactical frames]. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah, N.J: Erlbaum. Marton, F. (1981). Phenomenography- Describing conceptions of the world around us. Instructional science, 10, 177-200. Marton, F. (1994). On the structure of teachers' awareness. In I. Carlgren, G. Handal & S. Vaage (Eds.), Teachers' minds and actions. Research on teachers' thinking and practice. London: Falmer Press. Marton, F. (2005). Om praxisnära grundforskning [About basic research in practice; in Swedish]. In I. Carlgren (Ed.), Forskning av denna världen II- om teorins roll i praxisnära forskning [Research of this world II - about the role of theory in research in practice; in Swedish]. Stockholm: Vetenskapsrådets rapportserie. Marton, F., & Booth, S. (1997). Learning and awareness. Mahwah N.J.: Lawrence Erlbaum. Marton, F., Dahlgren, L. O., Svensson, L., & Säljö, R. (1977). Inlärning och omvärldsuppfattning [Learning and conceptions of reality]. Stockholm: Almqvist & Wiksell. Marton, F., & Morris, P. (2002). What matters? Discovering critical conditions of classroom learning (Vol. no 181). Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Marton, F., & Pang, M. F. (2003). Beyond "lesson study": Comparing two ways of facilitating the grasp of economic concepts. Instructional Science, 31(3), 175-194. Marton, F., & Pang, M. F. (2006). On some necessary conditions of learning. The Journal of the Learning Sciences, 15(2), 193-220. Marton, F., Runesson, U., & Tsui, A. B. (2004). The space of learning. In F. Marton & A. B. Tsui (Eds.), Classroom discourse and the space of learning (pp. 3-40). Mahwah, N.J: Erlbaum. Marton, F., & Signert, K. (2005 ). Affordances for learning. Studying teaching in terms of the learning that the inherent pattern of variation and invariance makes possible: Maria Montessori s pedagogy as an example. Paper presented at the 11th biennal Conference of the Assciation for Research on Learning and Instruction Nicosia, Cyprus, August 23-27. Marton, F., & Tsui, A. B. (2004). Classroom discourse and the space of learning. Mahwah, N.J.: Erlbaum. Maunula, T. (manuscript). Positiv till negativa tal? En studie av kritiska aspekter i undervisning om addition och subtraktion av negativa tal [Positive to negative numbers? A study about critical aspects in teaching about addition and subtraction of negative numbers]. Institutionen för pedagogik och didaktik, Department of education, Göteborg university Maxwell, J. A. (2002). Understanding and validity in qualitative research. In M. A. Huberman & M. B. Miles (Eds.), The qualitative researcher's companion. Thousand Oaks, CA: Sage. 22

Medley, D. M., & Mitzel, H. E. (1963). Measuring classroom behavior by systematic observation. In N. L. Gage (Ed.), Handbook of research on teaching. Chicago: Rand Mc Nally and Company. Moskal, B. M., & Magone, M. M. (2000). Making sense of what students know: Examining the referents, relationships and modes students displayed in response to a decimal task. Educational Studies in Mathematics, 43(3), 313-335. Neuman, D. (1987). The origin of arithmetic skills: A phenomenographic approach., Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Nuthall, G. (2004). Relating classroom teaching to student learning: A critical analysis of why research has failed to bridge the theory-practice gap. Harvard educational review, 74(3), 273-306. Nuthall, G. (2005). The cultural myths and realities of classroom teaching and learning: A personal journey. Teachers College Record, 107(5), 895-934. Olander, C., Hagman, M., & Wallin, A. (2001). Teaching and learning about biological evolution: a research based teaching-learning sequence. Paper presented at the Proceedings of the third international conference on science education research in the knowledge based society, Thessaloniki, Greece. Olteanu, C. (2007). Vad skulle x kunna vara? Andragradsekvation och andragradsfunktion som objekt för lärande [What could x be? Second degree equations and second degree functions as objects for learning; in Swedish]. Kristianstad: Högskolan Kristianstad. Oser, F. K., & Baeriswyl, F. J. (2001). Choreographies of teaching: Bridging instruction to learning. In V. Richardson (Ed.), Handbook of research on teaching. Washington: American Educational Reserach Association Pang, M. F., & Marton, F. (2005). Learning theory as teaching resource: Enhancing students' understanding of economics concepts. Instructional science, 33, 159-191. Pehkonen, E., Hannula, M., Maijala, H., & Soro, R. (2006). Infinity of numbers: How students understand it. In J. Novotná, H. Moraová., M. Krátka & N. Stehlíková (Eds.), Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4). Prague: PME. Pong, W. Y., & Morris, P. (2002). Accounting for differences in achievement In F. Marton & P. Morris (Eds.), What matters? Discovering critical conditions of classroom learning. Gothenburg: Acta Universiatis Gothoburgensis. Pramling, I. (1983). The child's conception of learning. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Reis, M. (manuscript). Att ordna. Från oordning till ordning, "toddlares" matematiserande i förskolan [To order, From nonorder to order, toddlers mathematizing in preschool; in Swedish].Unpublished manuscript, University of Gothenburg. Remillard, J. (1990). Is there an alternative? An analysis of commonly-used and distinctive elementary mathematics curricula. Elementary Subjects Center Series No. 31. East Lansing: Michigan State University, Institute for Research on Teaching, Center for the Learning and Teaching of Elemenary Subjects. Rovio-Johansson, A. (1999). Being good at teaching. Exploring different ways of handling the same subject in Higher Education. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. 23