Millennieproblemen. Björn Elmers Linus Hammarlund Sara Andersson Anja Lemic Anton Persson. Handledare: Petter Strandmark 12 maj 2011

Transkript

1 Millennieproblemen Björn Elmers Linus Hammarlund Sara Andersson Anja Lemic Anton Persson Handledare: Petter Strandmark 12 maj 2011 Sammanfattning Ett enkelt sätt att vinna en miljon dollar? Ett arbete om sju av vår tids viktigaste matematiska problem. Vi har valt att ägna några sidor åt vart och ett av problemen. Vissa har fått mer plats än andra, mycket på grund av problemens svårighetsgrad. Vi börjar dock med ett stycke med mer allmän fakta om problemen.

2 Innehåll 1 Inledning Clay Mathematics Institute Hilbertproblemen Regler Motivation P vs NP Inledning Begrepp och definitioner Komplexitetsklasserna Diskussion och konsekvenser Riemannhypotesen Inledning Primtal Eulers zeta-funktion Riemanns zeta-funktion Riemannhypotesen Konsekvenser av ett eventuellt bevis Navier-Stokes ekvationer Inledning Beskrivning av problemet Lagrangska koordinater och Eulerska koordinater Poincarés förmodan Inledning Beskrivning av problemet Viktiga delbevis Bevis Birch och Swinnerton-Dyers förmodan Inledning Elliptiska kurvor Vad vet vi? Yang-Mills Teori 19 8 Hodges förmodan 19

3 1 Inledning Matematikens utveckling har främst vilat på två pelare, behovet av redskap för att lösa praktiska problem och människans nyfikenhet. Båda dessa drivkrafter är i allra högsta grad relevanta för lösandet av de sju Millennieproblemen. Vi skall i denna rapport ge läsaren en inblick i vilka problemen är samt redogöra för en del intressant bakgrundsfakta och kuriosa. Under 1900-talet brottades matematiker och andra vetenskapsmän med mängder av problem. Sju av dessa ansågs extra viktiga av Clay Mathematics Institute (CMI). Dessa följer i listan nedan tillsammans med årtalen då de formulerades: P vs NP, 1971, Riemannhypotesen, 1859, Navier-Stokes Ekvationer, 1820-talet, Poincarés Förmodan, 1904, Birch and Swinnerton-Dyers Förmodan, 1960-talet, Yang-Mills Teori, 1954, Hodges Förmodan, 1950-talet. För att ge dessa problem extra uppmärksamhet annonserade CMI år 2000 en prissumma på en miljon dollar för lösandet av var och ett av de sju Millennieproblemen. En tävling i vem som kunde lösa problemen först och en bra prissumma garanterade stor mediabevakning. På det sättet visade man även för allmänheten att matematiken inte är någon färdig vetenskap. Tvärtom finns det en mycket bred front av viktig kunskap som fortfarande är kvar att upptäcka. När problemen skulle väljas ut samlades en liten grupp av internationellt hyllade matematiker. Tillsammans ägnade de flera månader åt att bestämma sig för vilka problem som var värda att ta med. Det blev just dessa sju problem därför att de anses vara de absolut viktigaste olösta problemen inom sina respektive områden. Områdena i sin tur är vitt skilda och innefattar bland annat matematisk fysik, datorvetenskap, topologi med mera. Dessutom har problemen förblivit olösta under lång tid, trots mycket stora ansträngningar av världens ledande matematiker. 1.1 Clay Mathematics Institute Clay Mathematics Institute (CMI) grundades 1998 av Landon Clay tillsammans med hans fru Lavinia. CMI är en privat finansierad, icke vinstdrivande organisation. Organisationens huvudsakliga mål var att öka och sprida den 1

4 matematiska kunskapen [2]. CMI har utan tvekan fått mest uppmärksamhet för Millenieproblemen. Men deras arbete för att driva på matematikens utveckling sträcker sig långt utöver detta. Bland annat finns möjligheten att bli en Clay Research Fellow. Det innebär att man som ung forskare får anställning hos CMI. De förser en med de absolut bästa förutsättningarna för att driva sin forskning, tillsammans med en generös lön. 1.2 Hilbertproblemen Millennieproblemen presenterades i Paris den 24 maj år Anledningen till att man valde Paris som staden för tillkännagivandet var att hylla något som hände 100 år tidigare. Det var nämligen här den store tyske matematikern David Hilbert presenterade sin samling med 23 stycken matematiska problem. Problemsamlingen skulle komma att färga matematikens utveckling under 1900-talet. Den ansågs och anses fortfarande vara en av de viktigaste inom matematiken. Många av problemen har idag blivit lösta, andra har bevisats vara omöjliga att lösa. Några var redan från början för vagt formulerade för att alls kunna sägas ha en lösning. Nu drygt hundra år senare så finns det dock ett problem som sticker ut lite extra. Ett problem som av många matematiker anses vara det viktigaste rent teoretiska matematikproblemet just nu: Riemannhypotesen. Detta, än idag olösta problem, betraktas som så viktigt att det även inkluderats i Millennieproblemen. 1.3 Regler Att granska en lösning till ett invecklat problem kan vara knepigt. När problemet är så avancerat att endast ett fåtal människor i hela världen förstår problemet fullständigt blir det direkt svårt. Därför har CMI satt upp regler för hur granskningen av en påstådd lösning skall gå till. Reglerna säger att lösningen skall publiceras i en erkänd, världsomfattande matematisk tidsskrift. Om lösningen nått allmän acceptans efter två år gör CMI ett övervägande om de skall granska beviset. Detta kan tyckas vara en lite märklig regel men då skall man hålla i åtanke att när någon påstår sig ha hittat en lösning så kastar sig hela det matematiska samhället över beviset. Det diskuteras och granskas av matematiker över hela världen. Beviset studeras i hopp om att hitta något fel, för att upprätthålla stringensen inom matematiken eller helt enkelt av ren nyfikenhet. Att beviset har klarat av två års dissekering från hela den matematiska världen är alltså ingen liten sak. 2

5 Därefter avgör CMI om lösningen har gjort sig värd att granskas. Om så är fallet sätts en grupp med ämnesexperter ihop för att studera lösningen. Gruppen skall inom en rimlig tid ge ett förslag på om och i så fall vem eller vilka som skall få priset. Förslaget ges till styrelsen för CMI som tar det slutgiltiga beslutet. 1.4 Motivation Genom historien har matematiker ägnat flera år, ibland hela sin livstid åt att grubbla på matematiska problem. Men varför väljer människor att viga sitt liv åt sådant? Är det berömmelsen som följer om man löser problemet? Är det pengarna som lockar? Vi tror att det helt enkelt är så att när en matematiker ser ett olöst problem så börjar det klia i fingrarna. För det måste finnas något enklare sätt att tjäna en miljon dollar. 2 P vs NP Är alla svåra problem egentligen enkla problem? Kan vi, för alla problem som är enkla att verifiera svaret på, hitta en lösningsbeskrivning som låter datorn lösa problemet åt oss på ett effektivt sätt? 2.1 Inledning Datorn är ett effektivt verktyg för att lösa problem. Anledningen till det är att den kan utföra oerhört många operationer på mycket kort tid. Den är däremot relativt usel på är att själv komma på hur ett problem skall lösas, det måste vi göra åt den. Efter att vi beskrivit för datorn hur den skall gå till väga för att lösa problemet är det bara att vänta tills den är färdig. Om vår förklaring är tillräckligt bra så kommer datorn ge oss svar på problemet relativt fort. Vår förklaring, visar det sig, är av extremt stor vikt. Tiden det tar för en dator att lösa ett problem påverkas oerhört mycket mer av hur vår förklaring ser ut än av hur snabbt datorn utför de beräkningar som krävs. Det är detta som P vs NP grundar sig i och som gör det relevant. En närmre definition av vad P och NP är följer längre ner. P och NP är klasser av problem. Namnen är hämtade ifrån Polynomial time och Nondeterministic polynomial time [10, P (complexity), NP (complexity)]. Ett sätt att formulera problemet på är följande: Finns det effektiva lösningsalgoritmer för alla problem med en effektiv verifikationsalgoritm?. 3

6 2.2 Begrepp och definitioner För att kunna förstå problemet P vs NP från grunden behöver vi kunna en del begrepp och definitioner Algoritm Med ordet algoritm menas en metod som kommer fram till rätt lösning för varje indata för ett visst problem. När vi t.ex. använder liggande stolen för att beräkna lösningen på en division mellan två heltal så använder vi en algoritm. För P vs NP, som grundar sig i datorvetenskap så är det vår förklaring till datorn av hur problemet ska lösas som är algoritmen. [11, Algoritm] Polynomiell tid När vi följer instruktionerna i en algoritm så gör vi det efter tydligt definerade steg. Ett steg i taget i en specifik följd. Det vi intresserar oss för när vi utformar en algoritm är hur effektiv den är. D.v.s. hur många steg som krävs i förhållande till mängden indata. Med ett steg menas en enskild beräkning eller jämförelse. När vi beräknar addition mellan två tal så tar det givetvis längre tid om talen är stora, alltså när vi har stor indata. Om mängden indata blir mycket stor kommer effektiviteten hos algoritmen bli extremt viktig för att den överhuvudtaget skall vara användbar. Vi säger att en algoritm är effektiv om den löser problemet inom polynomiell tid [14]. Vad betyder då polynomiell tid? Om antalet steg som krävs för datorn att lösa ett problem kan begränsas med ett polynom f(n), där n är mängden indata, så är lösningen inom polynomiell tid. Många problem kan dock inte lösas inom polynomiell tid. Man får ofta använda exponentialfunktioner, fakultetsberäkning eller annat för att beskriva lösningstiden. Vidden av hur stor skillnad det är mellan polynomiell tid och exponentiell tid illustreras av tabellen nedan [14]. Som synes spelar snabbheten på datorn mindre och mindre roll ju längre körtiden för algoritmen blir. På sista raden, den enda som inte är inom polynomiell tid, så hjälper det oerhört lite att förbättra datorn Problem och beslutsproblem När vi talar om problem så är det lätt att det blir luddigt. Vi beskriver ett problem som en fråga med ett visst antal parametrar. För problemets lösning ställs vissa krav på parametrarna. Ett typiskt exempel är en ekvation, x + 1 = 2. Här är x vår parameter och kraven som ställs på x är att om du 4

7 Körtid för Maximal storlek på indatan lösbar på 1s, N. algoritmen Dagens dator 100 x snabbare 1000 x snabbare n N 0 = 100 miljoner 100N N 0 100n N 1 = 1 miljon 100N N 1 n 2 N 2 = N 2 31, 6N 2 n 3 N 3 = 464 4, 64N 3 10N 3 2 n N 4 = 26 N 4 + 6, 64 N 4 + 9, 97 Tabell 1: Tabell över lösningstid där n är mängden indata. lägger till 1 till x så skall summan bli 2. De problem som oftast kommer i fråga när vi talar om P vs NP är så kallade beslutsproblem. Detta är problem som kan besvaras med ja eller nej. Finns det ett tal i indatan som är mindre än eller lika med 100? Blir summan av de två talen mer än 15? Som exempel. 2.3 Komplexitetsklasserna Vi kan dela in alla problem i olika komplexitetsklasser. De för oss väsentliga klasserna är P, NP och NP-fullständiga problem. Den officiella beskrivningen för komplexitetsklasserna innehåller begrepp som deterministiska och ickedeterministiska Turingmaskiner. Vi kommer använda oss av en informell men mer lättförståelig definitition. Den intresserade läsaren kan dock läsa vidare om detta på Wikipedia[10, Deterministic Turing machine] P och NP Definition 1 (Komplexitetsklassen P). Komplexitetsklassen P är mängden av de problem som effektivt, alltså inom polynomiell tid, kan lösas av en dator [14]. Enklare sagt de problem som har en enkel lösning. Definition 2 (Komplexitetklassen NP). Komplexitetsklassen NP är alla beslutsproblem som har en verifikationsalgoritm som körs inom polynomiell tid [14], d.v.s. att lösningen är lätt att kontrollera. Observera att P är en delmängd av NP, d.v.s att många NP-problem har en enkel lösning. Om alla NP-problem skulle ha det är således P = NP. För att bättre förstå vad det innebär kommer här två exempel på NP-problem. 5

8 2.3.2 Hamiltoncykeln En graf har en Hamiltoncykel om det är möjligt att från punkt till punkt gå längs linjerna i grafen och sedan återvända till startpunkten genom att besöka varje punkt exakt en gång.[14] Hamiltoncykel-problemet lyder: Har en given graf en Hamiltoncykel? Den kortaste hittills kända lösningen kräver n! steg där n är antal linjer. Alltså inte inom polynomiell tid. Metoden går ut på att man testar alla möjliga alternativ. Grafen till vänster i Figur 1 har en lösning, denna är utritad i grafen till höger. Att hitta Hamiltoncykeln innan man sett lösningen tar tid men att kontrollera att den stämmer går snabbt. Prova själv! Figur 1: En graf och en av dess Hamiltoncykler Handelsresandeproblemet. Handelsresandeproblemet (hädanefter kallat TSP efter det engelska Travelling Salesman Problem) är ett så kallat optimeringsproblem som handlar om att optimera grafer. Det är ett klassiskt problem som formulerades redan på 1850-talet [11, Handelsresandeproblemet]. Enkelt sett går TSP ut på att hitta den kortaste vägen för en handelsresande som ska besöka ett bestämt antal städer för att sedan återvända till startpunkten. När vi kollar på TSP som ett NP-problem formulerar vi om frågan så att det blir ett beslutsproblem. Vi frågar oss istället något i stil med följande: går det att besöka alla städer med en mindre färdad sträcka än X? Sätt varje sträcka till ett. Om vi nu frågar oss, kan vi färdas till alla punkterna på en mindre eller lika lång sträcka som antalet punkter, så har 6

9 vi istället problemet med Hamiltoncykeln. Detta är ett exempel på hur ett problem kan transformeras till ett annat NP-fullständighet Definition 3 (NP-fullständiga problem). Låt L vara ett problem och L vara ett godtyckligt NP-problem. L är ett NP-fullständigt problem om och endast om följande två villkor är uppfyllda: 1. L tillhör klassen NP. 2. Du kan transformera L till L inom polynomiell tid.[14] Ur definitionen inser man följande: Om och endast om ett NP-fullständigt problem tillhör klassen P, (d.v.s. att det finns en algoritm som löser problemet inom polynomiell tid) så är P = NP. Detta eftersom definitionen säger att man kan transformera alla NP-problem till det lösta NP-fullständiga problemet. Det räcker alltså att visa att det finns en effektiv lösningsalgoritm till ett enda NP-fullständigt problem för att bevisa P = NP. Tyvärr har detta visat sig vara mycket, mycket svårt. Det första problem som bevisades vara NP-fullständigt var det så kallade SAT-problemet. Detta gjordes av Stephen Cook 1971 i hans uppsats The Complexity of Theorem Proving Procedures. Både Hamiltoncykel-problemet och TSP har sedan bevisats vara NP-fullständiga tillsammans med tiotusentals andra. De flesta av dessa har uppkommit ur problem som behöver en praktisk lösning [14]. Den enda lösningen man hittills har hittat för ett godtyckligt NP-fullständigt problem innebär i princip att man går igenom alla tänkbara lösningar och jämför dem mot varandra. Detta sker självklart ej inom polynomiell tid. [11, NP-fullständig] 2.4 Diskussion och konsekvenser Hur ska det bevisas? Är alla NP-problem också P-problem? De flesta tror inte det men säker är ingen. Man har en ganska bra idé om hur det skulle gå till att bevisa att P = NP. Det räcker ju att hitta en lösning inom polynomiell tid till ett enda NP-fullständigt problem. I fallet P NP blir ingången till ett bevis betydligt krångligare. För att bevisa detta behöver man visa att ett godtyckligt NP-fullständigt problem saknar lösning inom polynomiell tid och att en sådan lösning aldrig någonsin kommer upptäckas. 7

10 2.4.2 Vad får det för konsekvenser? Att P = NP skulle innebära mycket. Otroligt många olösta matematiska problem skulle då bevisligen ha en lösning. Bland annat skulle det innebära att den internetkryptering (RSA) som t.ex. används av de flesta av världens banker inte skulle vara säker. Om man bevisar det genom att hitta en lösning för ett NP-fullständigt problem skulle det dessutom innebära att man hittat en superalgoritm som kan lösa problemen. Kanske löser den t.o.m. de övriga sex Millennieproblemen. [14] Att P NP skulle innebära att den otroligt stora mängden av NPfullständiga problem som finns saknar lösning i polynomiell tid. Världens matematiker skulle då kunna sluta leta efter en sådan och istället lägga kraft på annat Vem kommer att lösa det? P vs NP är det Millennieproblem som är lättast att begripa. Det är troligtvis också det enda av problemen som en amatör har möjlighet att lösa. Kanske räcker det med en bra och nytänkande idé? Keith Devlin [1] tror ändå att det i slutändan blir en professionell matematiker som löser det med hjälp av avancerade matematiska metoder, troligtvis okända för amatören. 3 Riemannhypotesen Finns det något sätt att beskriva primtalens beteende i talföljder? Följer dessa något mönster? 3.1 Inledning Riemann visade redan i sin ungdom att han hade en fallenhet för matematik. I tonåren tillbringade han mycket tid med att studera bibeln och försökte bevisa första moseboken med matematik som hjälp. Sin första universitetstid studerade han filosofi och teologi men övergick senare till heltidsstudier i matematik. Han studerade under professorer som Gauss, Dirichlit och Jacobi. Hans arbete inom matematiken var extraordinärt på grund av den stora intuition han visade. I sin uppsats On the number of primes less than a given magnitude formulerade han Riemannhypotesen. Denna var egentligen inte i fokus och brev från Riemann visar att han inte tyckte att ett eventuellt bevis var något han ville ägna sin tid åt. Efter hans död återfanns papper som innehöll en referens till hans hypotes angående zeta-funktionen. 8

11 these properties of ζ(z) are deduced from an expression of it which, however, I did not succeed in simplifying enough to publish it. [1] Det mer komplicerade uttryck han refererade till har aldrig återfunnits. År 1862 insjuknade han i tuberkulos vilket fyra år senare blev hans död. Efter hans begravning i Italien 1866 städade hans hushållerska upp i kontoret hemma i Göttingen, hur mycket opublicerat arbete som slängdes vet ingen. 3.2 Primtal För att förstå Riemannhypotesen och dess användningsområden måste man först och främst ha en viss förståelse för primtal. Ett primtal definieras som ett heltal som är större än 1 och som endast är delbart med 1 och sig självt. Distributionen av primtal bland de naturliga talen följer inga hittills regelbundna mönster. Primtalen har länge förbryllat matematiker och deras beteende i den naturliga talföljden är ett mysterium nästan lika gammalt som matematiken i sig. Redan tidigt (ca 350 f.kr.) bevisade Euclides att varje heltal större än 1 är antingen ett primtal eller så kan det skrivas som en unik produkt av primtal Hur många primtal finns det? Bland de små talen är primtalen väldigt vanliga, men ju större tal man studerar, desto ovanligare bli förekomsten av dem. Låt oss beteckna förhållandet mellan antalet primtal och antalet ickeprimtal upp till ett visst tal N som D N. Låt oss åskådliggöra detta med en tabell för D N i olika intervall från 1 till : N D N 0,5 0,24 0,168 0,123 0,096 0,078 Tabell 2: Antal primtal upp till N dividerat med N Ju längre i den naturliga talföljden man förflyttar sig, desto lägre blir densiteten av primtal. Då väcks självklart frågorna: Fortsätter primtalen att minska och tar så småningom slut? Finns det något logiskt mönster i hur primtalen beter sig? 9

12 Den första frågan besvarades av Euklides, då han lyckades bevisa att det finns oändligt många primtal. Men svaret på den andra frågan är fortfarande olöst och det är just detta Riemannhypotesen handlar om. Det är många innan Riemann som har försökt lösa denna gåta. År 1791 insåg Gauss, endast 14 år gammal, att D N borde gå att approximera med hjälp av funktionen 1/ ln(n). Ju större N är, desto bättre verkade approximationen bli.[1] 3.3 Eulers zeta-funktion Nästa stora steg i primtalens historia var då Euler 1740 introducerade en funktion som kallas zeta-funktionen. Eulers zeta-funktion gäller för varje s R > 1 och säger att för varje tal s du sätter in i funktionen kommer du att få tillbaka ett reellt tal ζ(s). ζ(s) är en oändligt lång summa: ζ(s) = 1 1 s s s s +... Eftersom varje tal är uppbyggt av en unik kombination av primtalsfaktorer så kan ζ(s) skrivas som den oändliga produkten nedan: ( s s ) 3s ( 4s s s ) 3s ( 4s s s ) 3s ( 4s s s ) 3s s. Då man multiplicerar ihop dessa oändliga geometriska summor kommer alla möjliga kombinationer av primtalsfaktorer att uppkomma en och endast en gång. Detta medför att alla termer i Eulers zeta-funktion kommer att representeras i produkten. Nästa steg är att införa en omskrivning av varje geometrisk summa enligt principen: p 1 + x + x 2 + x 3 + x = 1 1 x. Då följer att man kan skriva produkten som: 1 1 (1/p) = 1 s 1 (1/2) 1 s 1 (1/3) s (1/5) s 1 1 (1/7) s...

13 över alla primtal p.[16] 3.4 Riemanns zeta-funktion Även om Eulers zeta-funktion kopplas samman till primtalen med hjälp av Eulers oändliga produkt så räckte inte detta för att klargöra primtalens beteende. Det Riemann gjorde var att ta zeta-funktionen, som i Eulers fall var en-dimensionell, och bytte ut s mot ett komplext tal z vilket gjorde zetafunktionen 2-dimensionell. Riemanns zeta-funktion fick då utseendet: ζ(z) = och gäller för varje komplext tal z vars reella del är större än 1.[1] Riemanns mål var från början att bevisa Gauss hypotes om att 1/ ln(n) konvergerar mot D N för stora värden på N. Trots att han aldrig lyckades bevisa detta så spelade hans insater en stor roll för förståelsen av primtal. Förutom detta formulerade han även en egen (än idag olöst) hypotes. 3.5 Riemannhypotesen Eftersom funktionen ζ(z) endast är definierad för Re(z) > 1 (ty annars divergerar serien) så får man använda komplex analys för att undersöka funktionen i övriga delar av det komplexa talplanet [19]. Då Riemann gjorde detta observerade han att alla jämna negativa heltal är nollställen (d.v.s. ζ(z) = 0 för dessa värden på z). Efter detta bevisade han att zeta-funktionen måste ha oändligt många andra, komplexa, nollställen utöver dessa reella. Hans hypotes går ut på att alla ickereella nollställen till zeta-funktionen är av formen z = bi för något reellt tal b. Riemann visade att om alla icke-reella nollställen till zeta-funktionen har Re(z) = 1/2 så varierar D N från 1/ ln(n) på ett mycket systematiskt sätt. Även om detta inte innebär att vi kan förutspå exakt när nästa primtal kommer att dyka upp i talföljden så är mönstret ändå överlag extremt regelbundet.[16] Med datorer har man lyckats visa att de första nollställena ligger längs Re(z) = 1/2, d.v.s. uppfyller Riemanns hypotes. Men ännu har ingen lyckats utföra ett matematiskt bevis. n=1 1 n z 11

14 3.6 Konsekvenser av ett eventuellt bevis Ett bevis av Riemannhypotesen kan komma att ha en mycket stor betydelse inom såväl den rena matematiken som i det moderna samhället. Primtalen har alltid varit något av ett mysterium för matematiker världen över och nu för tiden finns det ett stort användningsområde för dem inom internetkrypteringen. Framförallt banker använder sig av primtalsnycklar i sin kryptering. Riemannhypotesen i sig utgör inget direkt hot mot detta krypteringssystem då den främst beskriver fördelningen av primtalen. Men det finns många som befarar att ett eventuellt bevis kan komma att innehålla nya tillvägagångssätt, vilka i sin tur kan äventyra bankernas säkerhetssystem. Men ur matematikers synvinkel så skulle ett bevis av Riemannhypotesen vara ett enormt framsteg för vår förståelse för primtalen. Hypotesens koppling till förekomsten av primtal på tallinjen ansågs redan för 100 år sedan vara så viktig att David Hilbert skall ha sagt [10, Hilbert s Problem]: If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: Has the Riemann hypothesis been proven? 4 Navier-Stokes ekvationer Navier-Stokes ekvationer är en matematisk modell som beskriver hur vätskor och gaser flödar. 4.1 Inledning Navier-Stokes ekvationerna beskriver rörelser i gaser och vätskor, så kallade fluider, något som har anknytning till många områden inom fysiken. De används bland annat när man modellerar väder, oceanernas undervattensströmmar, blodflödet i kroppens ådror och luftflöden kring flygplansvingar. De är mycket viktiga för förståelsen av turbulens, ett av de fenomen inom fysiken som fortfarande är aningen mystiskt [10, Navier Stokes existence and smoothness]. Det som är spännande är att vi fortfarande inte kan bevisa att lösningar till dessa ekvationer alltid existerar och att om de existerar, är de då definierade i alla punkter? Ingenjörer världen över räknar numeriskt fram approximativa lösningar som idag används ute på arbetsmarknaden. Detta trots att Navier-Stokes ekvationer varit nedskrivna ända sedan 1800-talet. Ekvationerna är döpta efter Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes. Navier formulerade dem , och Stokes utökade dem senare, bland annat med korrekta bakomliggande resonemang [1]. 12

15 4.2 Beskrivning av problemet Vi börjar med ett par, för vissa självklara, men nödvändiga definitioner. Inkompressibel betyder att det inte går att komprimera eller trycka ihop fluiden. Viskös betyder trögflytande. Navier-Stokes ekvationer beskriver fluiders rörelsemönster. För att beskriva hur ett objekt rör sig med hjälp av matematik börjar man med Newtons andra lag, F = ma. Eftersom en fluid består av väldigt många små objekt som alla påverkar varandra behöver vi en variant av Newtons formel som tar med den totala påverkan från alla objekten i beräkningen. Dessutom måste den ta hänsyn till fluidens viskositet. Uttrycket som arbetats fram ser ut såhär [12]: t u i + n j=1 u j u i x j = v u i p x i + f i (x, t), 1 i n, 1 j n. Fluidens viskositet är v, trycket betecknar vi p. Vid positionen x har fluiden hastigheten u vilken beror av tiden. Antalet dimensioner fluiden rör sig i betecknas n. Förutom detta finns det ytterligare ett villkor. Om man trycker ihop en fluid så expanderar den någon annanstans, eftersom den är inkompressibel. För att få med detta i den matematiska modellen används följande ekvation: n i=1 u i x i = 0. Vid en första anblick tycks ekvationerna inte vara helt omöjliga att förstå. De resulterar dock ofta i otroligt komplicerade partiella differentialekvationer som hittills inte gått att lösa. Ett bevis ska bestå av en allmän lösning av dessa ekvationer. 4.3 Lagrangska koordinater och Eulerska koordinater Det finns två olika sätt att betrakta flöden, med Lagrangska koordinater och med Eulerska koordinater [10, Lagrangian and Eulerian specification of the flow field]. Om vi specificerar Navier-Stokes ekvationer med Lagrangska koordinater så betraktar vi flödet för varje enskild partikel i tiden och rummet. Vi kan plotta en bana för hur en partikel rör sig genom fluiden, det vill säga att partikeln x befinner sig på positionen y vid tiden t. 13

16 Med Eulerska koordinater betraktar vi istället varje punkt i flödet vid en viss tid. Med en vektor kan detta uttryckas som v(x, t) där X är en punkt i flödet vid tiden t. Här kan vi alltså inte följa en partikel genom flödet. Beroende på hur man betraktar Navier-Stokes ekvationer så blir olika delar svåra. För acceleration är det enklare att betrakta dem med Lagrangska koordinater medan viskositeten är enklare att beskriva med Eulerska. Viskositeten blir så pass mycket enklare med Eulerska koordinater att det, enligt Luis Cafarelli [13], troligtvis blir med dem som ekvationerna slutligen löses. 5 Poincarés förmodan Är det skillnad på en badboll och en munk? Varje kompakt enkelt sammanhängande tredimensionell mängd är homeomorf med 3-sfären. 5.1 Inledning År 1904 formulerade den franske matematikern Henri Poincaré ett problem som visade sig vara mer avancerat än han själv insåg. Under slutet av 1800-talet hade han studerat solsystemet och planeternas banor för att finna svar på frågor som: Är planeternas banor konstanta eller kommer de förr eller senare att urarta. Kommer himlakropparna då kastas ut i rymden eller in i solen? Detta arbete ledde honom till det matematiska området topologi. År 1900 publicerade han en sats inom denna gren av matematiken: Every compact polyhedral manifold with the homology of an n- dimensional sphere is actually homeomorphic to the n-dimensional sphere. Detta betyder ungefär att varje månghörning som påminner om en sfär i n-dimensioner kan deformeras till en sådan sfär Satsen drogs senare tillbaka då han själv funnit ett motexempel som han publicerade år Motexemplet ledde honom till att ställa frågan som senare har blivit omnämnd Poincarés förmodan. Denna förmodan dedikerade han sedan sitt liv till att bevisa men lyckades aldrig. [4, 11] 14

17 5.2 Beskrivning av problemet För att förstå detta problem behöver man först kunna visualisera vad en enkelt sammanhängande mängd innebär samt få en elementär uppfattning om vad topologi är. Problemet gäller en 3-sfär (en sfär som ligger i fyra dimensioner och därför blir svår att visualisera).för att underlätta kommer vi därför att använda en 2-sfär (en sfär i tre dimensioner) och en cirkel. 3-sfären har ekvationen x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 Villkoret att mängden ska vara enkelt sammanhängande kan lättast visualiseras genom att ta en jättelik badboll (d.v.s. en 2-sfär), och stiga in i denna. Hur du än ritar en sluten kurva inuti badbollen så kan kurvan alltid dras ihop till en punkt. Skulle du istället stiga in i en badring så kan det bli omöjligt att dra ihop din kurva till en punkt utan att förstöra antingen kurvan eller badringen. Topologin är en gren inom den moderna matematiken och kan enklast beskrivas som en typ av geometri där endast formen på objekten, och inte några avstånd, betraktas. En av de enklaste topologiska formerna är en cirkel.hur denna kan deformeras kan lätt åskådliggöras genom att ta en bit snöre och knyta ihop ändarna. Hur mycket du än skrynklar till snöret så kan du göra om det till en cirkel igen. Inom topologin ses alla dessa möjliga deformationer som en och samma form eftersom de kan återskapa cirkeln utan att klippa av snöret. Det problem vi vill förklara är enkelt sett samma situation men istället för en cirkel har vi en 3-sfär. Problemet består av att bevisa att varje enkelt sammanhängande tredimensionell yta på något sätt kan deformeras till en 3-sfär. Detta är inom topologin analogt med att säga att varje sådan yta är 3-sfären. Deformationen innebär att man genom någon funktion kan få varje punkt på ytan att representera en punkt på 3-sfären och att man med inversen till denna funktion kan avbilda 3-sfären på ytan. Denna funktion sägs då vara bijektiv. [6, 4] Definition 4 (Inverser [9]). Låt f(x) vara en funktion av en reell variabel x med definitionsmängden D f och värdemängden V f. Vi säger att funktionen f(x) är inverterbar om ekvationen f(x) = y har precis en lösning x D f för varje givet y V f. Genom tillordningen y x definieras en funktion från V f till D f. Denna funktion kallas inversen till f och betecknas f 1. Enligt definitionen: f(x) = y f 1 (y) = x 15

18 dessutom D f = V f 1 och V f = D f 1. Figur 2: Åskådliggörande av en inversfunktion [20]. 5.3 Viktiga delbevis På tidigt 1960-tal kom en viktig insikt för topologin då Poincarés förmodan bevisades i alla dimensioner större än eller lika med fem. Det visade sig att högre dimensioner än fyra var mycket lättare att arbeta med. Ett delbevis som i slutändan spelade en stor roll var Richard Hamiltons utveckling av något som kallas för Ricciflödet vilket är en metod för att deformera mängder. Med hjälp av denna kunde Hamilton bevisa en del specialfall men i många fall uppkom det singulära punkter på mängden där Ricciflödet inte längre gick att använda. Dessa punkter kan liknas vid svarta hål. Hamilton lyckades aldrig riktigt förstå eller beskriva dessa punkter och detta gjorde att hans försök att skära bort dem och klistra ihop mängden misslyckades. En stor anledning till att han misslyckades var att när en sådan singularitet väl uppstått ökade andelen singulariteter kraftigt. 5.4 Bevis Problemets slutliga lösning publicerades först 2002 och 2003 av Gregorij Perelman som i sitt bevis till en stor del använde sig av Ricciflödet. Han fann ett sätt att beskriva de punkter som blivit Hamiltons akilleshäl och detta gjorde att han kunde kringgå hindret med att allt fler singulära punkter uppstod. Hans publicerade beviset på arxiv.com vilket var väldigt kontroversiellt då reglerna för Millenieproblemen säger att beviset måste publiceras i en välkänd matematisk tidskrift. En mycket intressant aspekt av Perelmans bevis är att det utgjorde ett specialfall i hans bevis av en helt annan förmodan. Uppståndelsen efter att beviset publicerats var stor och Huai-Dong Cao och Xi-Ping Zhu publicerade en kort tid därefter ett bevis som de hävdade 16

19 vara det slutgiltiga beviset då de ansåg att Perelmans bevis var ofullständigt. Det klargjordes dock senare att Perelmans bevis var komplett. Beviset var cirka 100 sidor långt och accepterades år 2010 som officiellt bevis av CMI. Detta är det första (och i skrivandets stund enda) av de sju millenieproblemen som lösts. All publicitet och Huai-Dong Cao och Xi-Ping Zhus provocerande publikation gjorde att Perelman fann matematiksamhället alltför korrupt och drog sig undan. Han valde att varken ta emot de utlovade prispengarna eller närvara för att ta emot Fieldsmedaljen (ett av världens mest prestigefyllda matematikpris). [4, 11, 5, 7, 8] Enligt källor så bor han nu hemma hos sin mamma och tillbringar merparten av sin tid med att spela pingis. 6 Birch och Swinnerton-Dyers förmodan Kan vi enkelt se om det finns oändligt många rationella punkter på en elliptisk kurva? 6.1 Inledning Birch och Swinnerton-Dyers förmodan berör studierna av så kallade elliptiska kurvor 1 och huruvida man kan uttala sig om antalet rationella punkter på dessa är oändligt. Den formulerades av matematikerna Brian Birch och Peter Swinnerton-Dyer i början av 1960-talet, då de numeriskt studerat hur kurvorna betedde sig med hjälp av en av dåtidens kraftfullaste datorer, EDSAC [1]. 6.2 Elliptiska kurvor Kurvor av formen y 2 = x 3 + ax + b (1) kallas elliptiska om dess heltalskoefficienter a och b uppfyller vilkoret 16(4a b 2 ) 0. Det Birch och Swinnerton-Dyer ville göra var att räkna antalet rationella punkter på dessa kurvor, något som inte är så enkelt. Hur gjorde de då istället? Knepet de använde sig av var att dela upp denna beräkning över flera delberäkningar genom att använda sig av moduloräkning och istället betrakta 1 Elliptiska kurvor är ej det samma som ellipser. Namnet kommer ifrån att ekvationerna dyker upp när man studerar båglängden hos ellipser. 17

20 kongrusensen y 2 x 3 + ax + b (mod p) (2) där p är ett primtal. Detta medför att för varje givet primtal så kommer det finnas ett ändligt antal punkter (x, y) som uppfyller kongruensen. Antalet lösningar (kalla dem N p ) är fiffigt nog antalet rationella lösningar till (1) på grund av moduloräkningen. Löper vi över alla primtal kommer vi alltså få den totala mängden rationella punkter på kurvan, något som är svårt då det finns oändligt många primtal. Slutsatsen är att om det finns en rationell punkt på den elliptiska kurvan (1) kommer det att för varje primtal p finnas en lösning till den motsvarande mod p kongruensen. Alltså så kommer kongruensen, om det finns oändligt många rationella punkter på kurvan, ha många lösningar för flertalet primtal p. Birch och Swinnerton-Dyer antog istället att motsatsen skulle gälla: att om det fanns många lösningar till kongruenserna för flertalet primtal så borde det medföra att (1) skulle ha oändligt många rationella punkter. Så hur skulle de nu ta reda på om det fanns många lösningar? För detta krävdes en något mer komplicerad funktion, nämligen L-funktionen. Med hjälp av denna ställde de upp sin förmodan [1]: Den elliptiska kurvan E har oändligt många rationella punkter om och endast om dess L-funktion L(E, s) = 0 då s = Vad vet vi? Enligt flertalet numeriska experiment verkar deras förmodan stämma men man har ännu inte lyckats bevisa den [15]. Ett intressant faktum är att i Hilberts tionde problem, som är likartat men beskriver mer generella ekvationer, har det visat sig att man inte kan bestämma om det överhuvudtaget finns en lösning till ekvationen [10, Millennium Prize Problems]. Att L-funktionen är definierad vid s = 1 bevisades dock 2001 [10, Birch and Swinnerton-Dyer conjecture]. Om det skulle visa sig att Birch och Swinnerton-Dyers förmodan stämmer skulle det påverka flera områden inom matematiken. Det är ett problem inom talteori men anknyter även starkt till bland annat kryptografi och dataöverföring. När Andrew Wiles bevisade Fermats stora sats 1995 gjorde han det bland annat med hjälp av elliptiska kurvor [1]. 18

21 7 Yang-Mills Teori I vårt universum finns det fyra fundamentala krafter: Gravitationen, den elektromagnetiska kraften samt den starka och den svaga kärnkraften. Under 1900-talets andra hälft lyckades fysiker förena alla utom gravitationen under en och samma teori. Den matematiska grunden till detta skapades av fysikerna Chen Ning Yang och Robert Mills. Experiment har visat att teorin är extremt nogrann, faktiskt den överlägset mest exakta fysiska teorin som vi har i världen. Trots detta har vi ännu inte förstått matematiken som ligger bakom. Såhär skriver Keith Devlin [1, s. 94]: When you think about it for a moment, it seems incredible. The most accurate scientific theory the world has ever seen is built upon equations that no one can solve. Ett annat ännu olöst problem är att den starka kärnkraften bara verkar inom atomens kärna och inte mellan atomer. Detta fenomen saknar förklaring. Den som kan reda ut de matematiska oklarheterna i Yang-Mills teori, samt ge en förklaring till den starka kärnkraftens underligga uppträdande, har löst detta Millennieproblem.[1, 18, 17][11, Fundamental kraft] 8 Hodges förmodan Avslutningsvis har vi det utan tvekan svåraste av de sju Millennieproblemen. Här följer ett citat av Keith Devlin [1, s. 213]: On the principle that an author should delay as long as possible introducing anything that is likely to make his reader give up in despair, when I numbered the seven Millennium Problems for the purpose of writing this book, I put the Hodge Conjecture last. Om du trots detta citat är intresserad och vill se Hodges förmodan, så ser den ut såhär [1, s. 214]: Every harmonic differential form (of a certain type) on a nonsingular projective algebraic variety is a rational combination of cohomology classes of algebraic cycles. Förstår du vad den innebär? Då är du bra mycket smartare än oss. 19

22 Referenser [1] Keith Devlin, The Millenium Problems. Basic Books, 1st Edition, [2] Clay Mathematics Institute, History. (hämtad maj 2011) [3] Clay Mathematics Institute, The Millennium Prize Problems (hämtad maj 2011) [4] Clay Mathematics Institute, Poincaré [5] Clay Mathematics Institute, Ricci Flow and the Poincaré conjecture [6] Christer Kiselman, Datorskärmens geometri [7] Forskning och Framsteg, Grigorij Perelman [8] Dagens Nyheter, Grigorij Perelman [9] Definition av invers funktion [10] Wikipedia, the free encyclopedia (april-maj 2011) [11] Wikipedia, den fria encyklopedin (april-maj 2011) [12] Matt Parker, Win a million dollars with maths, No. 3: The Navier- Stokes equations, december million-dollars-maths-navier-stokes (hämtad april 2011) [13] Luis Cafarelli, Navier-Stokes Equations, inspelad föreläsning. (hämtad april 2011) [14] Vijaya Ramachandran, P versus NP, inspelad föreläsning. (hämtad april 2011) 20

23 [15] Fernando Rodriguez, Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture, inspelad föreläsning. (hämtad april 2011) [16] Jeff Vaaler, Riemann Hypothesis, inspelad föreläsning. (hämtad april 2011) [17] Erik Wied, Matematikens svåraste gåtor. Illustrerad Vetenskap nr 2/2007. [18] [19] Petter Strandmark, doktorand. Lunds Tekniska Högskola, Personlig kontakt. (2011) [20] 21