Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet.

Transkript

1 Problemlösning Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Denna modul riktar sig till dig som arbetar i årskurserna 1-3 och handlar om hur du kan utveckla din undervisning i matematik genom problemlösning. I modulens åtta delar får du tillsammans med kollegor ta del av några didaktiska perspektiv på undervisning i matematik via problemlösning. Ni får veta hur olika uppfattningar om matematiska problem och arbete med matematiska problem kan påverka elevers matematiklärande. Vidare diskuterar ni hur lärare kan anpassa matematiska problem och hur elevers olika matematiska förmågor kan synliggöras i samband med problemlösning. Ni drar också slutsatser om hur lärare och elever kan lära av varandra när de med hjälp av matematikens olika strategier och uttrycksformer samtalar om problem och elevers olika lösningar. I modulen behandlas också metakognitionens betydelse för matematiklärandet. Modulens delar: 1. Matematiska problem 2. Att arbeta med matematiska problem 3. Undervisning och matematisk problemlösning 4. Strategier och uttrycksformer i problemlösning 5. Bedömning i problemlösning 6. Kommunikation i problemlösning 7. Anpassning av problem 8. Lektionsutveckling via problemlösning Innan ni tar itu med de åtta delarna kan ni med fördel se en sammanfattande film i del 8. Varje del består av fyra moment, A-D. I moment A finns det material du behöver för att vara väl förberedd för nästa moment. I moment B väljer ni i lärargruppen tillsammans ut ett gemensamt problem, anpassar det till era olika elevgrupper och planerar er undervisning kring det. Inget hindrar att samma problem används i flera delar. Våra förslag på problem är tänkta att användas i helklass och är valda så att de tillsammans täcker stora delar av kursplanens centrala innehåll. I moment C genomför ni era planerade lektioner. Observationsprotokollen är till för att du ska notera sådant som du vill berätta om och diskutera med lärargruppen i nästa moment. Ni kommer tillsammans överens om när och om ni vill använda protokollen, i vissa fall handlar noteringarna om att observera elever och deras arbeten i andra fall handlar det om dina egna reflektioner. I moment D sammanfattar ni ert lärande i delen. Ni ska också diskutera hur ni utifrån era erfarenheter från arbetet med momenten A, B och C kan fortsätta utveckla undervisningen tillsammans. Slutligen ska ni komma fram till hur ni som lärargrupp vill fortsätta ert gemensamma arbete för att problemlösning ska vara en naturlig och givande del av matematikundervisningen. Under arbetet med modulen ska ert eget lärande stå i fokus. Revision: 2 Datum:

2 Ansvariga för modulen Högskolan Dalarna. Revision: 2 Datum:

3 Del 6. Kommunikation i problemlösning Syftet med denna del är att du ska fördjupa dina kunskaper i att identifiera och synliggöra det matematiska innehållet i kommunikation för lärande. I den förra delen arbetade du med att identifiera förmågor. I arbete med problemlösning finns möjligheter att genom samtal lyfta fram och fördjupa kunskaper i matematik och få underlag för bedömning. Genom att lösa problem ges eleverna möjlighet att kommunicera matematik. I denna del ska du, genom texter och dialoger bli bekant med begreppen lotsning och stöttning samt matematiska idéer. Med hjälp av dessa begrepp ska du sedan analysera kommunikationen i din egen lektion. Lektionen planerar du tillsammans med dina kollegor. Du genomför sedan lektionen med dina elever och analyserar den kommunikation som förekommer. Målen med denna del är att du ska fördjupa dina kunskaper om betydelsen av matematisk kommunikation utveckla din förmåga att identifiera lotsning, stöttning och matematiska idéer vid kommunikation i problemlösning utveckla din förmåga att planera problemlösning med kommunikation, i syfte att tydliggöra ett matematiskt innehåll I fördjupningen finns en muntlig introduktion till del 6. Revision: 2 Datum:

4 Del 6: Moment A individuell förberedelse Läs I detta moment ska du ta del av texten Kommunikation i matematik. Texten förklarar begreppen lotsning och stöttning samt beskriver hur man kan synliggöra det matematiska innehållet i samtal och kommunikation. I dokumentet Dialog exempel från klassrummet på kommunikation i matematik hittar du en dialog mellan en elev och en lärare i en problemlösningssituation. Använd tabell 6.1 i dokumentet Observationsprotokoll del 6 tillsammans med texten Kommunikation i matematik för att beskriva och klassificera lärarens kommunikation i dialogen. Anteckna i tabell 6.1 specifika inslag i dialogen som du tycker kan kopplas till de olika kommunikationsformerna. Fokus ska ligga på lärarens kommunikation. Titta en andra gång på dialogen. Nu ska du fokusera på all kommunikation i dialogen, dvs. både lärarens och elevens kommunikation. Identifiera de olika matematiska idéer som är synliga i dialogen. Syftet är här att få syn på dialogens matematiska innehåll. I tabell 6.2 i dokumentet Observationsprotokoll del 6 ska du anteckna de olika matematiska idéer du ser. Ta med observationsprotokollet till den gemensamma diskussionen i Moment B för genomförande i Moment C och analys i Moment D. Material Revision: 2 Datum:

5 Material Kommunikation i matematik E. Taflin, J. Gracie, M. Halldén m.fl Dialog exempel från klassrummet på kommunikation i matematik J. Gracie, K. Hagland, M. Halldén m.fl. Observationsprotokoll del 6 J. Gracie, M. Halldén m.fl. Revision: 2 Datum:

6 Grundskola åk 1-3 Modul: Problemlösning Del 6: Kommunikation i problemlösning Kommunikation i matematik Eva Taflin, Jeffrey Gracie, Marit Halldén m.fl. Matematisk kommunikation handlar om att utbyta matematiska tankar och idéer. I skolans styrdokument kopplas matematisk kommunikation till förmågan att kunna tolka, förstå och själv uttrycka matematik med hjälp av olika uttrycksformer, t.ex. muntligt, skriftligt, med hjälp av bilder, gester (geometriska objekt såsom cirkelrörelse, mängd etc.) eller konkret material. Denna förmåga inbegriper även att kunna välja lämplig uttrycksform, kunna variera uttrycksform, växla mellan olika uttrycksformer och kunna peka på samband mellan olika uttrycksformer. I arbete med matematik är det säkerligen många som har tänkt: -Det här som jag har upptäckt när jag fyllde i min tabell hur kan jag beskriva det med egna ord? Och hur kan det mönstret beskrivas med matematiska symboler? Detta kan sägas uttrycka ett behov av att kunna växla mellan olika uttrycksformer. Matematisk kommunikation och kommunikationsförmågan nämns i grundskolans styrdokument (Skolverket, 2011): Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang (s.62). Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. Eleven kan dessutom vid olika slag av undersökningar i välkända situationer avläsa och skapa enkla tabeller och diagram för att sortera och redovisa resultat. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska mönster och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet (s.67-68). Således är förståelse för matematisk kommunikation och dess innebörd nödvändigt för den som vill leda och utveckla undervisning i matematik. Kommunikation i matematik Juni (4)

7 Grundskola åk 1-3 En förmåga som ofta förväxlas med matematisk kommunikation är matematiskt resonemang. Kommunikationen behöver sina olika uttrycksformer för att göra det möjligt att samtala om och i matematik medan resonemangen kan vara tysta tankar. I ett matematiskt resonemang för eleven fram sina argument för att övertyga sig själv eller någon annan om att något är sant och giltigt. Eleverna ska utveckla båda dessa förmågor genom att samtala, föra egna resonemang och följa andras matematiska resonemang. Matematiskt resonemang och matematisk kommunikation är inte samma sak och det är viktigt att känna till skillnaden. Kommunikation och resonemang Förmågan att kunna föra och följa matematiska resonemang inbegriper att kunna dra logiska slutsatser om matematiska idéer och samband och kunna uttrycka sig generellt. Ett matematiskt resonemang är en logisk följd av påståenden som leder till en slutsats. Det kan vara ett tyst resonemang (t.ex. ett litet barn som sitter med en skål med bär och äter tills han har ett bestämt antal kvar och delar upp återstoden lika på samma antal personer). Matematiska resonemang leder vidare mot matematisk bevisföring. Matematisk kommunikation däremot avser förmågan att kunna kommunicera med hjälp av olika uttrycksformer, t.ex. muntligt, skriftligt, med hjälp av material, med gester eller i bild. Vid matematisk kommunikation sker ett utbyte av matematiska tankar och idéer för att träna det matematiska språket eller för att redogöra för en enskild lösning. Matematiska samtal är en vanlig kommunikationsform i undervisningen i matematik. Beroende på innehållet i samtalen kan det också vara ett matematiskt resonemang om samtalet handlar om samband inom matematik och en redovisning av tankar och lösningsstrategier. Ett matematiskt resonemang kan vara en del i en matematisk kommunikation, dock behöver inte en matematisk kommunikation innehålla ett matematiskt resonemang. Lärarens kommunikation: lotsning och stöttning Kommunikation i matematikundervisning involvera flera aktörer. Det kan vara elever, läromedel och naturligtvis läraren. Kommunikation är en komplex och mångsidig företeelse. Man kan fokusera olika aspekter av matematisk kommunikation, som innehåll, uttrycksform eller aktörernas olika roller. När lärare hjälper elever att lösa matematiska problem, kan samtalet tolkas och förstås på olika sätt. Lärarens samtal i kommunikationen kan till exempel beskrivas med begreppen lotsning (piloting) och stöttning (scaffolding). Dessa båda sätt att förstå kommunikationen mellan lärare och elev kan ses som två olika sätt att leda eleven mot en korrekt lösning. Begreppet lotsning är inte en specifikt matematikdidaktisk term utan används i en generell betydelse då det handlar om att beskriva en situation då eleverna inte själva behöver fundera utan läraren lägger orden i munnen på eleven och löser problemet åt eleven. Kommunikation i matematik Juni (4)

8 Grundskola åk 1-3 Ett sätt att stötta eleverna är då läraren formulera frågor till eleverna som de besvarar och kommer närmare sin lösning. Om eleverna också uppmuntras att ställa frågor när de ska lösa ett problem får läraren en mer stöttande roll. Eleverna behöver tidigt få träna på att kommunicera sin matematik för att utveckla sitt språk och för att uppmuntras att formulera egna frågor till läraren. Ett utvecklat matematiskt språk innebär också att eleverna lättare kan formulera frågor till läraren och på det sättet bli mer aktiv i sitt eget lärande. Den stöttande processen finns beskriven av den moderna problemlösningens fader George Pólya i hans bok How to solve it. Där beskriver han en samtalsmetod för att till eleven formulera väl valda frågor som ska leda till att eleven själv löser det aktuella problemet. Vad kommuniceras: matematiskt innehåll Genom att arbeta med matematiska problem ges eleven möjlighet till att bli medveten om matematiska idéer. Med matematiska idéer menas både generella och specifika idéer. Matematiska idéer fungerar som nödvändiga verktyg när ett problem ska lösas på ett matematiskt sätt. Generella matematiska idéer innefattar begrepp, procedurer, konventioner, formler och strategier. Specifika matematiska idéer är idéer som används då ett problem ska lösas. Det är viktigt att som lärare känna till dessa idéer vid problemlösningsarbete. Då elevernas kommunicerar med varandra kan läraren fånga upp och bygga vidare på de matematiska idéerna som synliggörs vid samtalen. Begrepp och procedurer hör samman och kan beskrivas som centrala för att beskriva vad kunskaper i matematik innebär. Ett begrepp kan uttryckas språkligt utan symboler och består av en term, en definition och en illustration, t.ex. yta (termen) som kan definieras som en sammanhängande punktmängd i rummet (definitionen) och ses som en area (ytans storlek som kan visas och illustreras). En procedur är hur man konkret utför en uppgift t.ex. utför beräkningar med de fyra räknesätten eller fyller i en tabell. Konventioner är gemensamma överenskommelser som gäller både språk och symboler. Exempel på konventioner är hur symboler används t.ex. tecknet + för beräkning av en summa, att man ofta använder n när man avser det n:te talet i en talföljd, att man använder x som symbol för ett obekant tal eller för en variabel i en funktion terminologi som t.ex. rektangel, heltal, division prioriteringsregler, i vilken ordning matematiska operationer utförs Formler är generella matematiska samband som uttrycks med siffror, bokstäver eller andra symboler. Ett exempel är formeln för beräkning av rektangelns omkrets: 2a+2b. Strategier är metoder för att lösa problem t.ex. rita bilder, söka mönster, göra en tabell, teckna en ekvation, gissa och pröva, arbeta baklänges samt lösa ett enklare problem. Kommunikation i matematik Juni (4)

9 Grundskola åk 1-3 Lärarens roll Lärare spelar en viktig roll då elever ska bygga upp sin kunskap. Genom att ställa enkla men relevanta frågor, visa på hur elevens tankegångar enkelt kan utvidgas och fördjupas kan lärare vara ett stöd vid elevens lärande. Jaworski beskriver tre faktorer som en lärare behöver ta hänsyn till och som är avgörande för att eleven ska lära. Läraren behöver bilda sig en uppfattning av den enskilda elevens styrkor och svagheter och utifrån den kunskapen välja uppgifter som innebär matematisk utmaning. Läraren behöver även planera för undervisningen d.v.s. organisera för lärandet och den miljö där den ska ske. En lärare behöver också vara ordförande, lyssnare och lärande men dock inte domare. Lester delar in lektionen i tre faser och tydliggör elevens och lärarens roller under problemlösningsprocessen (i denna modul har lektionens faser utvecklats till sex, se del 3). I första fasen ska läraren se till att eleverna har förstått problemet. I andra fasen ska läraren se till att eleverna kan arbeta med problemet, ge stöd och uppmuntran och anvisa samarbete mellan kamrater. I tredje fasen ska läraren se till att eleverna delar med sig av sina olika resultat, lyfta fram viktiga resultat och visa på alla tänkbara generaliseringar och slutligen hjälpa eleverna att värdera arbetet, att se vad som fungerade och varför. En annan viktig roll för läraren är att anpassa undervisningen till elevernas tidigare erfarenheter, kamraternas påverkan och det omgivande samhället. Kommunikation, matematiskt innehåll och problemlösning Om problemlösningsarbetet ska leda till matematisk kunskap så måste läraren dels klargöra för sig själv vilka olika matematiska idéer som eleverna kan komma att använda och dessutom kunna upptäcka vilka specifika idéer som eleverna använder sig av. Läraren har under problemlösningsprocessen ett utmärkt tillfälle att samtala med eleverna för att förvissa sig om att de förstått vad problemet går ut på. Kommunikationen och det matematiska resonemanget mellan elever och lärare och mellan elever är en viktig del av kunskapsprocessen men ställer stora krav på lärarens kunskaper i matematik och förståelse för elevernas tankar. Resonemangen mellan lärare och elever måste utgå från elevernas egna idéer och läraren behöver ha beredskap för att möta elevernas specifika matematiska idéer. Vid redovisningen är lärarens roll att lyfta fram elevernas matematiska idéer och tydligt visa på hur dessa löser problemet. Referenser Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande. Umeå: Umeå universitet avhandling Kommunikation i matematik Juni (4)

10 Grundskola åk 1 3 Modul: Problemlösning Del 6: Kommunikation i problemlösning Dialog exempel från klassrummet på kommunikation i matematik Jeffrey Gracie, Kerstin Hagland, Marit Halldén m.fl. Analysera nedanstående dialog med hjälp av Tabellerna 6.1 och 6.2 i dokumentet dialoganalys. Läraren har presenterat problemet: Kryp I ett skåp har läraren skalbaggar och spindlar i en låda. Totalt finns där 8 småkryp. Det går att räkna till 54 ben. Hur många av småkrypen är spindlar och hur manga är skalbaggar? (Spindlar har åtta ben och skalbaggar har sex ben.) En elev sitter tyst och tänker en stund, ritar lite på ett papper. Eleven finner ganska snabbt det korrekta svaret, säger: Tre spindlar och fem skalbaggar! För att få fram elevens tysta matematiska resonemang för läraren en dialog med eleven. Ungefär så här genomfördes samtalet: 1. Läraren: Hur tänkte du när du kom fram till det svaret? 2. Eleven: Jag ritade. 3. Läraren: Rita och berätta! Vad tänkte du först? 4. Eleven: Att det var åtta stycken. 5. Läraren: Jaha. Rita hur du gjorde. Eleven ritar åtta små ovaler. 6. Läraren: Vad tänkte du sedan? 7. Eleven: Att alla måste ha minst sex ben. 8. Läraren: Ja, för att skalbaggen har sex ben? Och spindeln då? Dialog exempel från klassrummet på kommunikation i matematik Maj (3)

11 Grundskola åk Eleven: För att alla var ju skalbaggar eller spindlar. Och skalbaggar har ju sex ben. Spindlar har åtta. 10. Läraren: Jag förstår, alla måste ha minst sex ben. Rita hur du gjorde! Eleven ritar dit sex streck på varje oval. 11. Läraren: Har du fått med alla ben nu? 12. Eleven: Jag räknade alla benen. Det var Läraren: Hur räknade du då? 14. Eleven: Så här: 1,2,3,...,46,47,48 (pekar på ett streck i taget). 15. Läraren: Aha. Vad gjorde du sedan? 16. Eleven: Jag räknade hur många som var kvar. 17. Läraren: Hur menar du nu? 18. Eleven: Det fanns ju 54. Och jag hade ritat Läraren: Hur tänkte du då då? 20. Eleven: Minus. 21. Läraren: Minus hur då? 22. Eleven: 54 minus Läraren: Hur mycket blev det då? 24. Eleven: Sex. 25. Läraren: Hur kom du fram till det? 26. Eleven: Jag räknade på fingrarna, 49,50,51,52,53,54. Det blev sex fingrar. 27. Läraren: Jag förstår. Hur tänkte du sedan då? 28. Eleven: Jag delade ut de där sex benen två och två. 29. Läraren: Varför två och två? 30. Eleven: För att en spindel har två ben mer än en skalbagge. Dialog exempel från klassrummet på kommunikation i matematik Maj (3)

12 Grundskola åk Läraren: Hur visste du det? 32. Eleven: Åtta är ju två mer än sex. Jag bara visste det. 33. Läraren: Aha. Visa hur du gjorde. Eleven ritar till två streck på tre ovaler. 34. Läraren: Och hur tänkte du sedan? 35. Eleven: Att det blev tre spindlar. Och sedan räknade jag skalbaggarna, det var fem. 36. Läraren: Hur räknade du ut det? 37. Eleven: Så här (pekar): 1,2,3,4, Läraren: Så genom att tänka och rita så här kom du fram till att det var tre spindlar och fem skalbaggar i lådan? 39. Eleven: Ja. 40. Läraren: Spännande! Tänkte du något mer? 41. Eleven: Ja, nu tänkte jag att jag kunde ha tagit åtta minus tre är fem, det vet jag. Jag hade inte behövt göra så här (pekar). 42. Läraren: Nähä, det kunde du direkt utan att räkna en och en. 43. Eleven: Ja. 44. Läraren: Tänkte du något mer? 45. Eleven: Nej. Dialog exempel från klassrummet på kommunikation i matematik Maj (3)

13 Grundskola åk 1 3 Modul: Problemlösning Del 6: Kommunikation i problemlösning Observationsprotokoll del 6 Jeffrey Gracie, Marit Halldén m.fl. Tabell 6.1. Lärarens kommunikation Lärarens kommunikation Rad Nummer Lotsning Stöttning Annat Observationsprotokoll del 6 Maj (2)

14 Generella matematiska idéer Grundskola åk 1 3 Tabell 6.2. Matematiska idéer Specifika matematiska Idéer Begrepp Procedurer Strategier Formler/regler Konventioner (skriftliga) Konventioner (muntliga) Observationsprotokoll del 6 Maj (2)

15 Del 6: Moment B kollegialt arbete Diskutera Inled diskussionen genom att delge varandra era tankar från den individuella förberedelsen, dels avseende lotsning och stöttning dels avseende matematiskt innehåll som ni sett i dialogen. Diskutera med hjälp av era anteckningar från del A: Finns det kommentarer där ni gjort olika tolkningar avseende lotsning och stöttning? Argumentera och försök komma överens om en tolkning. Finns det kommentarer där ni gjort olika tolkningar avseende det matematiska innehållet? Argumentera och försök komma överens om en tolkning. Välj ut två till tre kommentarer från läraren som ni skulle vilja ändra på. Föreslå och motivera förslag på ändringar. Sammanfatta er diskussion med några anteckningar. Planera Ni ska gemensamt planera en lektion i problemlösning i matematik. Välj ett centralt innehåll och skapa ett eget matematiskt problem som kan ligga till grund för lektionsplaneringen eller använd problemet Kattmammor. I problembanken finns en genomgång av problemet Kattmammor där bl.a. det matematiska innehållet beskrivs. Diskutera i vilka faser av lektionen det kan förekomma matematisk kommunikation, elev-elev och lärare-elever (se eventuellt del 3 för repetition av begreppet faser). Planera för att spela in en ljudfil under lektionen. Det kan göras med en vanlig mobiltelefon om ni inte har någon annan utrustning till hands. Diskutera och kom överens om hur ni kan fånga den matematiska kommunikationen vid ljudinspelningen. Spela in dels samtal mellan lärare och elev och dels samtal mellan elever. Efter lektionen ska ni analysera kommunikationen i ljudfilen med samma analysverktyg som användes i moment A, Observationsprotokollet del 6. Ni ska alltså kategorisera lärarens kommunikation som lotsning, stöttning eller annat. Ni ska även identifiera vilket matematiskt innehåll som synliggörs via kommunikationen, i både elevernas och lärarens kommunikation. Observera att kommunikationen även kan förekomma på andra sätt än muntligt. Den kan vara gester, skrift, konkret material m.m. I denna uppgift ska dock fokus ligga på den muntliga kommunikationen. Material Revision: 2 Datum:

16 Material Kattmammor K. Hagland Revision: 2 Datum:

17 Grundskola åk 1 3 Modul: Problemlösning Del 6: Kommunikation i problemlösning Kattmammor Kerstin Hagland Tre kattmammor har kattungar samtidigt. Hur många kattungar kan varje kattmamma ha om det sammanlagt finns a) 3 kattungar? b) 9 kattungar? c) 10 kattungar? d) Hitta på ett liknande problem. Lös det. Kattmammor Maj (1)

18 Del 6: Moment C aktivitet Genomför lektionen Utgå från den gemensamma planeringen och spela in samtalen mellan elever och mellan lärare och elever när ni genomför lektionen. Lyssna igenom ljudfilen efter lektionen och analysera kommunikationen med samma analysverktyg som användes i moment A, Observationsprotokoll del 6. Ni ska alltså kategorisera lärarens kommunikation som lotsning, stöttning eller annan. Ni ska även identifiera vilket matematiskt innehåll som synliggörs via kommunikationen, i både elevers och lärarens kommunikation. Tag med det ifyllda observationsprotokollet till den gemensamma diskussionen i moment D. Material Revision: 2 Datum:

19 Del 6: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Utgå från era anteckningar i observationsprotokollet. Jämför kommunikationen i era lektioner. I vilken grad förekom lotsning, stöttning och annan kommunikation? Vad fanns det för likheter och olikheter avseende de matematiska idéerna i era lektioner? Diskutera möjliga samband mellan lärarens kommunikation och de synliga matematiska idéerna. Diskutera möjliga samband mellan lärarens kommunikation och de synliga matematiska idéerna. Sammanfatta Sammanfatta era diskussioner och reflektioner. Hur kan ni använda erfarenheterna från denna del för att arbeta vidare med utveckling av matematikundervisning. Att arbeta vidare med I nästa del kommer ni att arbeta med hur man kan anpassa problem utifrån elevers olika behov. Hur kan kunskaper om matematiska idéer vara ett stöd vid anpassning av problem? Fundera redan nu på hur ni gör när ett problem är för lätt eller för svårt för en elev. Material Revision: 2 Datum:

20 Fördjupning årskurs 1-3 Del 6. Kommunikation i matematik Se film I filmen Introduktion till del 6 presenteras del 6 i muntlig form. Läs I artikeln Samtalsmiljöer 4 Att leda och stödja samtal diskuteras olika aspekter av hur lärare kan leda och stödja samtal i klassrummet för att främja elevers lärande i matematik. Texten kan fungera som ett underlag till reflektion och diskussion kring undervisningsplanering och lärarens roll som ledare för elevers lärande i matematik. Material Revision: 2 Datum:

21 Material Samtalsmiljöer 4 Att leda och stödja samtal E. Silver och M. Smith Introduktion till del 6 Högskolan Dalarna Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 2 Datum:

22 EDWARD A. SILVER & MARGARET S. SMITH Samtalsmiljöer 4 Att leda och stödja samtal I denna avslutande artikel i serien Samtalsmiljöer ges exempel på hur lärare aktivt kan stödja och leda samtal i klassrummet så att det får ett djupare matematiskt innehåll. I Mrs. Nelsons klass representerade valet av en uppgift, som hade potential att utmana eleverna till att tänka och resonera, ett första steg. För att utvinna alla förtjänster hos uppgiften när det gäller elevernas lärande så krävs emellertid genomtänkt stöd och ledning. Mrs. Nelson sörjde för sådant stöd på flera sätt. Hon gav eleverna tillräckligt med tid att utveckla och undersöka sina egna idéer och att diskutera problemlösningar, till en början med bänkkamrater och sedan med hela klassen. Detta gav två budskap i klassen: en reflek terande undersökning värderades högre än snabbhet och att förstå metoden som användes för att lösa problemet var lika betydelsefullt som att finna en korrekt lösning. Det senare kom fram under elevredovisningarna vid arbetsprojektorn då Mrs. Nelson och flera elever efterlyste motiveringar och förklaringar snarare än att bara acceptera en numeriskt korrekt lösning. Så försökte t ex flera elever, och också Mrs. Nelson, få klarhet i den strategi som eleverna Tidigare artiklar i serien har publicerats i Nämnaren nr 4, 2001 samt i nr 1 och 2, De har översatts av Göte Dahland och bearbetats av redaktionen. Edward A. Silver och Margaret S. Smith är professorer i Mathematics Education vid University of Michigan respektive University of Pittsburgh, USA Lee och Randy använde. När det framgick att ytterligare utfrågning av Lee och Randy sannolikt inte skulle belysa de matematiska sambanden i problemet så beslöt Mrs. Nelson att rikta uppmärksamheten mot de matematiska idéerna och relationerna i uppgiften genom att be ett annat par av elever att förklara sin lösning. Keisha och Rachel gav då en beskrivning på högre nivå och lämnade en klar motivering och förklaring till sin lösningsprocedur. Genom att välja duktiga elever som Keisha och Rachel för att ge en alternativ förklaring till problemet la Mrs. Nelson ansvaret för förklaringen på eleverna. På så sätt visar hon att det är lika värdefullt att de själva presenterar modeller till lösningar och ger förklaringar av hög kvalitet som att läraren gör det. Matematiska samtal En liknande strävan att uppmuntra matematiskt tänkande och kommunikation beskrivs av Brown, Stein och Forman (1996) och av Silver et al. (1995). Silver et al. (1995) beskriver till exempel en annan QUASAR-episod, i vilken Ms. Healys elever försökte finna arean hos en oregelbunden figur som ritats på centimeter- 34 NÄMNAREN NR

23 rutat papper. Klassen kom snabbt överens om en lösning uttryckt i kvadratcentimeter, men det rådde långt mindre enighet när det gällde att uttrycka arean i kvadratmillimeter. Istället för att då tillhandahålla en procedur för att omvandla kvadratcentimeter till kvadratmillimeter för att hålla det hela igång så beslöt Ms. Healy att fortsätta med problemet ytterligare tills eleverna nått en stabil förståelse för denna aspekt på relationen mellan centimeter och millimeter. Därför gav hon dem mer tid att diskutera problemet med sina kamrater och gav dem arbetsmaterial (till exempel kvadratiska bitar måttsatta i centimeter, centimeterskalor, miniräknare) för att stödja deras undersökning. Senare, när eleverna gick fram till arbetsprojektorn för att dela med sig av sin lösning till klassen, stimulerade hon andra elever att ställa frågor kring resonemanget, vilket både gav stöd till lösningen som just presenterades och aktiverade övriga elever. Genom några fokuserande frågor från Ms. Healy och ett flitigt frågande från eleverna under presentationer vid arbetsprojektorn så nådde de slutligen fram till en lösning som tydliggjorde relationen mellan kvadratcentimeter och kvadratmillimeter, en lösning som de flesta eleverna verkade förstå. Att lära sig tala om matematik är inte helt lätt. Elevers försök att på ett bra sätt delta i en meningsfull diskussion behöver ofta ett omfattande stöd från läraren (Silver 1996). Cobb, Wood och Yackel (1994) skilde mellan övningar i klassrumssamtal som gällde att tala om matematik och att tala om att tala om matematik. I det senare fallet överför läraren normer för det matematiska samtalet till eleverna. Det kan gälla att begränsa vad för slags kommentarer till varandras idéer som kan accepteras eller att beskriva egenskaperna hos goda förklaringar som också är till hjälp för klasskamraterna. I exemplen från Mrs. Nelsons och Ms. Healys undervisning finner vi explicit elever som talar om matematik i sina presentationer. Exempel på att tala om att tala om matematik är inte lika synliga, men i båda fallen är det uppenbart att normer för samtalet etablerats. Mycket av den tidigare diskussionen, som handlar om att etablera förtroende och ömsesidig respekt i klassrummet lägger också en grund för att lära sig tala matematik i klassrummet och att eleverna känner sig säkra att uttrycka sina idéer utan fruktan för att väcka löje. Att ställa krav I Ms. Healys och Mrs. Nelsons undervisning finns exempel på framgångsrik användning av uppgifter som ställer höga kognitiva krav (Stein, Grover & Henningsen, 1996). Bland de faktorer som visat sig utveckla elevers lärande finns att ge tillräckligt med tid att arbeta med en uppgift, att läraren fortsatt med att kräva motivering, förklaring och mening och utnyttjat bra framställningar från duktiga elever. I sin analys av klassrumsbaserade faktorer som stödjer eller hämmar matematiktänkande och resonemang på hög nivå ger Henningsen och Stein rika beskrivningar av undervisning som varit förknippade med att upprätthålla eller förflacka höga kognitiva krav. Dessa beskrivningar framhäver relationen mellan viktiga faktorer i klassrum och pedagogik å ena sidan och kvaliteten hos matematikinlärning som kan inträffa å den andra. Att upprätthålla höga kognitiva krav vid introduktion av uppgifter är viktigt. Mycket tyder på att elevers kunskapsutveckling kring tankeförmåga, resonemang och skicklighet i problemlösning är relaterad till i vilken grad uppgifterna ställs upp och införs på ett sätt som engagerar dem på hög nivå (Stein & Lane, 1996). Genom att ställa och vidmakthålla kraven på uppgifter och genom att uppmuntra och stödja samtalet i kring dessa högnivåuppgifter skapar lärare ett rum för lärande av meningsfull matematik. Att hålla uppgifter på en hög nivå när de introduceras kan emellertid innebära NÄMNAREN NR

24 en ytterligare utmaning för lärare, i synnerhet som det finns en stark tradition att göra rutin av en problematisk uppgift genom att tydligt föreskriva en viss procedur. Men på så sätt kommer eleverna att berövas tillfället att tänka igenom uppgiften på egen hand. För att illustrera denna problematik betraktar vi följande exempel. För att utveckla sina elevers problemlösningsförmåga förser Mr. Robinson dem regelbundet med problem som inte har rutinkaraktär. Under ett avsnitt av kursen som berör talteori och räkning bad han eleverna att lösa följande problem: Beräkna summan av de 25 första konsekutiva hela talen. Eleverna arbetade på problemet i små grupper under ett antal minuter medan Mr. Robinson gick omkring i rummet och observerade arbetet. Sedan ledde Mr. Robinson en diskussion kring problemet i storgrupp. Han började med att be dem tänka på summan av talen från 1 till 25 som en mängd summor av storleken 26, se figuren. 1, 2, 3, 4,..., 22, 23, 24, 25 När han markerade grupper om 26 kom en elev genast på en lösning och sträckte ivrigt upp handen. Eleven förklarade att man kunde bestämma summan från 1 till 25 genom att finna ut hur många 26:or det finns och sedan lägga ihop antalet 26:or. Mr. Robinson kommenterade: Ja, eller man kan multiplicera varefter eleverna fick uppmaningen att avsluta uppgiften som hemarbete. Genom att välja det här problemet hade Mr. Robinson identifierat en värdefull upp gift den innehöll viktiga matematiska idéer, den kunde lösas på fler än ett sätt (till exempel vanlig addition, genom att kombinera termer i lämpliga grupperingar som multipler av 10, genom att skapa trappstegsmönster ) och den var förbunden med andra matematiska idéer (till exempel triangeltal) och procedurer (att finna den allmänna termen i en följd). Han lät emellertid inte eleverna behandla uppgiften så att de engagerades i utmanande högnivåaspekter hos uppgiften. Istället för att tillåta och uppmuntra sina elever att själva stå för tankearbetet och resonemanget som ingick i uppgiften så valde Mr. Robinson att själv göra detta åt dem. På det viset reducerades en potentiellt komplicerad uppgift till en skäligen enkel övning i att räkna och addera. Mr. Robinsons framsteg på vägen mot att berika den matematiska undervisningsmiljön och etablera en samtalsenhet i klassrummet ligger uppenbarligen i hans val av en kognitivt komplicerad och utmanande uppgift med potential att engagera eleverna i matematisk aktivitet och samtal. Trots detta lyckades han inte utnyttja uppgiftens fulla potential, kanske av sin omsorg om att eleverna inte skulle bli överdrivet frustrerade av eller förvirrade av svåra problem eller på grund av oro för att använda alltför lång tid på ett en staka problem. För att Mr. Robinson skulle ha kunnat utveckla samtalet kring denna uppgift behövde eleverna haft mer tid att brottas med problemet, fler tillfällen att undersöka och diskutera olika ansatser och mer uppmuntran att utforma sina egna generaliseringar och motiveringar. Dilemma med goda problem Komplicerade matematikuppgifter införs ofta på ett sätt som reducerar uppgiftens kognitiva krav (Doyle, 1988; Stein, Grover & Henningsen, 1996). En reduktion blir lätt direkt följd av påtryckningar från elever som är frustrerade av uppgiften. Romagno (1994) beskriver ett liknande fenomen; en brist på engagemang hos elever när en lärare försökte använda utmanande problem i en niondeklass allmän kurs och han döpte det till Dilemmat med det Goda Problemet. I det aktuella fallet blev eleverna frustrerade när de ombads att lösa uppgifter till vilka lämpliga procedurer inte var omedelbart tillgängliga och 36 N Ä MNAREN NR

25 de pressade sin lärare på mera strukturerad ledning för att lätta på deras frustration. Enligt Goldsmith och Schifter (1993) kan lärare, som känner ansvar för att skydda sina elever från känslor av frustration eller tillfällig brist på framgång, finna det svårt att se sina elever kämpa med idéer (s.11). Ball (1991) har pekat på liknande dilemman också när lärare söker införa mera diskussion i matematikundervisningen. Att finna sätt att stödja elever i samtal när de kämpar med kognitivt komplicerade situationer är inte lätt för lärare, eftersom denna roll är helt oförenlig med mer konventionella uppfattningar om matematikundervisning som tidigare beskrivits. Att vara den som främjar verksamheten gör det nödvändigt för läraren att avstå från sin roll som auktoritet i klassrummet. Läraren måste utgå från elevernas idéer och kunskaper snarare än att förmedla sitt eget sätt att arbeta med och kunna matematik. Behov av att hålla eleverna sysselsatta, att ge eleverna framgång och av att klara av kursen kan få läraren att ställa frågor som enkelt kan besvaras, att skapa situationer som garanterar eleverna framgång och att själv styra lektionen i önskad riktning. För lärare med begränsad erfarenhet med undervisning fokuserad på användningen av värdefulla matematikproblem är det en avsevärd utmaning att kunna förändras från fördelare av kunskap till främjare av inlärning. Stöd till lärare Professional Standards for Teaching Mathematics (NCTM, 1991) formulerar många förväntningar på lärare. I synnerhet krävs att lärare skall veta när de skall förmedla fakta och när de inte ska det, när lärare själva skall lämna förklaringar och när de skall locka fram förklaringar från eleverna, när lärare skall presentera notation och språk för bruk i klassen och när de skall uppmuntra till påhittade symboler eller att tala eller styra deras idéer och utmana dem att motivera sina tankar. Dessutom är det, som vi har sett, väsentligt att lärare både omhuldar denna rika diskussion och säkerställer att eleverna är sysselsatta med viktiga matematiska uppgifter. Silver och Smith (1996) skriver att Professional Standards for Teaching Mathematics (NCTM, 1991) ger en underbar bild av en sista anhalt på en lång resa klassrum som matematiska diskussionssamhällen men att man misslyckas med att visa lärare de olika vägar man kan färdas för att nå detta mål och om de utmaningar som kan möta utefter vägen. Som Silver (1996) har påpekat är skapandet av samtalsmiljöer i klassrum särskilt utmanande i vår tid eftersom de flesta lärare saknar personlig erfarenhet av sådana miljöer (gäller amerikanska förhållanden, övers. anm.). De flesta lärarutbildningsprogram ger inte blivande lärare mera omfattande erfarenhet av det matematiska samtalet, inte heller doktorandutbildningar för lärare. Fortbildningskurser är också otillräckliga källor för sådana erfarenheter. Trots att de flesta lärare har studerat den matematik de kan i traditionella klassrum, så begärs det nu av dem att skapa undervisning som de har föga erfarenhet av, varken som lärare eller som studerande. För att hjälpa lärare att röra sig bort från en metodik med enskild verksamhet och reproduktion till en undervisning som berikas av samtal så krävs det nya erfarenheter och uttalat stöd. Betrakta till exempel fallet med Mrs. Nelson. Hennes framgång med att skapa samtalsgrupperingar i klassen berodde i inte ringa grad på de olika former av stöd som stod till hennes förfogande. Flera år före de klassrumshändelser som beskrivits tidigare gick hon en serie utmärkta kurser för lärare, som gavs vid ett närliggande universitet. I dessa deltog hon i en samtalsgrupp kring tänkande, resonemang och kommunikation, och där hennes eget lärande i matematik underlättades och fick stöd. Mrs Nelsons kollegor vid skolan, av vilka många också försökte skapa sam- NÄMNAREN NR

26 talsgrupperingar i sina egna klasser, var en annan värdefull källa till stöd. Dessa gav förslag till varandra om matematikuppgifter som fungerade bra i klassen och om effektiva metoder att främja och hålla igång elevsamtal. En tredje källa till stöd var Mrs. Nelson själv. Hon utvecklade en förmåga att granska sin egen praxis på ett kritiskt sätt och att reflektera över faktorer som verkade bidra till framgång eller misslyckande under en lektion. De tre formerna av erfarenheter och stöd ger en anvisning om vad som antagligen kan vara till hjälp för en bred grupp lärare när de genomför en resa mot att skapa och behålla samtalsgrupperingar i sina klasser: Ta för det första med någon på resan kollegial gemenskap är av stort värde. Sök efter potentiellt värdefulla idéer, resurser och erfarenheter. Reflektera för det tredje över egna framsteg och justera färdriktning eller strategi i enlighet med det. Att ha stödjande kollegor Elever är inte unika i sitt behov av att känna att de arbetar i trygga, stödjande miljöer. Lärare har samma behov. När lärare utforskar nya former av pedagogik är det viktigt att de känner att deras angelägenheter uppfattas av kollegor och att de uppmuntras och stöds av kollegor och handledare i sina ansträngningar att ändra stämningen i sitt matematikklassrum och sina elevers inlärningsmöjligheter. Lärares förmåga att hantera oundvikliga utmaningar längs vägen beror i stor utsträckning på kollegornas förmåga att ge stöd och samarbetsmiljöer i just den praktik där diskussionen kring undervisningen sker. Inom QUASAR har vi sett värdet av kollegor som lär tillsammans på skolan, som ett sätt att ge stöd och hjälp när lärare stöter på utmaningar och gör framsteg i att etablera samtalsgrupper i sina klassrum (Stein, Silver & Smith, 1998). Kraften i kollegieskapet har också observerats av andra. I beskrivning av en viss lärares utveckling mot matematikundervisning berikad av kommunikation och undersökande arbetssätt refererar till exempel Silver et al. (1990) till den kritiska roll som en kollegial samverkan spelade i hennes fall. Romagno (1994) pekar på värdet i att arbeta tillsammans med en kollega och av att få tid att brottas med de många bryderier man stöter på medan man försöker utveckla arbetssättet. Lärares arbetskamrater är en mycket betydelsefull resurs för stöd genom utvecklingsprocessen, men även andra resurser, utanför skolsamhället, kan vara till hjälp. Att öka kompetensen För att bli framgångsrika i att undervisa i matematik på det sätt som formuleras i Professional Standards for Teaching Mathematics (NCTM, 1991) behöver lärare en bred, djup och flexibel kunskap om innehåll och om pedagogiska alternativ. Några av de utmaningar som möter vid skapan det och upprättandet av sam talsgrupper hör ihop med be gränsningar i matematikkunskaper bå de avseende stoff och form för undervisning. Det är sannolikt avgörande att alla lärare, liksom Mrs. Nelson, får erfarenhet av att själv studera matematik på ett sätt som understryker samtalets betydelse. Detta är viktigt inte bara därför att det ger lärare en personlig studieerfarenhet utan också för att det ger möjlighet att själv se, höra, debattera och utvärdera förklaringar och motiveringar i matematik. Även om det inte är i sig tillräckligt så kan en rik erfarenhet av att studera matematik på detta sätt, med ökning av kompetens och självförtroende, vara mycket nyttig. Med detta mål kan lärare delta i universitetskurser speciellt utformade för lärare med avsikt att utveckla matematikkunskaper genom undersökande arbetssätt och diskussion. Sådan kurser förekommer på många orter. I QUASAR har vi sett hur förvärvet av färdigheter i matematik från sådana kurser kan vara ett viktigt bidrag till lärares utveckling vad gäller matematiska samtal 38 N Ä MNAREN NR

27 (Silver, 1996). Vi har också sett värdet av en bred mångfald av andra formella och informella erfarenheter som planerats för att vidga lärares matematiska och pedagogiska kunskaper, såsom workshops och gemensam planering för kollegor inom samma stadium (Brown & Smith, 1997). Vi kan ge lärare det goda rådet att utnyttja sådan professionella utvecklingsmöjligheter, särskilt som dessa är en värdefull källa till rika matematikuppgifter och ger förslag till hur man skapar och hanterar samtalsgrupper i klassen. Tid för reflektion Det finns få skäl att förvänta sig att resan mot samtalsgrupperingar skulle vara enkel eller kort. Faktum är att man stöter på utmaningar på vägen. Silver och Smith (1996) anför att sidospår eller vilopauser kan förväntas under resan och att detta inte skall ses som misslyckanden. Det är orealistiskt att vänta sig en välputsad lösning till ett komplicerat matematiskt problem första gången man tänker på det, och det är oklokt att förvänta sig omedelbar succé i nybörjarförsök att skapa samtalsmiljöer. Det som är speciellt viktigt är att läraren ger sig in i återkommande reflektioner över sin utveckling och fortsatta steg, så som Mrs. Nelson förmådde göra. Schroeder (1996) pekar på kraften i självreflektion som stöd när en lärare försöker introducera nya former av undervisning. Grundat på egen erfarenhet, som en äldre lärare som försökte utveckla det sätt hon undervisade i matematik på, så framhåller Schroeder värdet av att ha skrivna planeringar och blad för reflektion till lektioner som avses innehålla innovativa undervisningsinslag. För att lärare med flera klasser eller undervisningsuppdrag skall klara omfattningen av denna uppgift föreslår hon att man reflekterar över en veckas lektioner i taget och reflekterar över varje klass eller undervisningsuppgift endast en dag per vecka. Smith (1995) beskriver kraften i ett per sonligt reflekterande som incitament till lärande och förändring i QUASARprojektet under det första årets införande av reforminriktad undervisning. En äldre lärare förde en journal i vilken hon noterade tankar över sina framgångar och sina ansträngningar. Genom sina regelbundna analyser gjorde denna lärare anmärkningsvärda framsteg på bara ett år mot att införa en ny form av matematikundervisning. Om lärare söker hjälp av kollegor, letar efter potentiellt användbara resurser utanför skolenheten och regelbundet reflekterar över erfarenheterna så finns det goda skäl att vänta sig att resan mot samtalsgrupper kommer att bli framgångsrik. För att förbättra matematiklärandet hos alla elever, så hoppas vi att många lärare kommer att följa med på denna viktiga resa! REFERENSER Ball, D. L. (1991). What s all this talk about discourse? Arithmetic Teacher, 39, Brown, C. A. & Smith, M. S. (1997). Support ing the development of mathematical pedagogy. The Mathematics Teacher, 90(2), Brown, C. A., Stein, M. K., & Forman, E. A. (1996). Assisting teachers and students to reform the mathematics classroom. Educational Studies in Mathematics,31 (1-2), Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1994). Discourse, mathematical thinking, and classroom practice. In E. A. Forman, N. Minnick, & C. A. Stone (Eds.), Contexts for learning: Sociocultural dynamics in children s development (pp ). New York: Oxford University Press. Doyle, W. (1988).Work in mathematics classes: The context of students thinking during instruction. Educational Psychologist, 23(2), Goldsmith, L. T., & Schifter, D. (1993). Characteristics of a model for development of mathematics teaching. Newton, MA: Center for the Development of Teaching, Educational Development Center, Inc. National Council of Teachers of Mathematics. (1991).Professional standards for the teaching of mathematics. Reston, VA: NCTM. Romagnano, L. (1994). Wrestling with change: The dilemmas of teaching real mathematics. Portsmouth, NH: Heinemann. NÄMNAREN NR

28 Schroeder, M. L. (1996). Lesson design and reflection. Mathematics Teaching in the Middle School, 1(8), Silver, E. A. (1996). Moving beyond learning alone and in silence: Observations from the QUASAR Project concerning some challenges and possibilities of communication in mathematics classrooms. In L. Schauble & R. Glaser (Eds.), Innovations in learning: New environments for education (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Silver, E. A. & Smith, M. S. (1996). Building discourse communities in mathematics classrooms: A worthwhile but challenging journey. In P. Elliott (Ed.), Communication in mathematics, K-12 and beyond (pp ). (1996 yearbook of the National Council of Teachers of Matheamtics). Reston, VA: NCTM. Silver, E. A., Kilpatrick, J., & Schlesinger, B. (1990). Thinking through mathematics. New York: College Entrance Examination Board. Silver, E. A., Smith, M. S., & Nelson, B. S. (1995). The QUASAR project: Equity concerns meet mathematics education reform in the middle school. In E. Fennema, W. Secada, & L. B. Adajian (Eds.), New directions in equity in mathe matics education (pp. 9-56). New York, NY: Cambridge University Press. Smith, M. S. (1995). One teacher s struggle to balance students needs for challenge and success. In D. T. Owens, M. K. Reed, & G. M. Millsaps (Eds.), Proceedings of the 17th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Columbus, OH: The ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education. Stein, M. K., & Lane, S. (1996). Instructional tasks and the development of student capacity to think and reason: An analysis of the relationship between teaching and learning in a reform mathematics project. Educational Research and Evaluation, 2 (1), Stein, M. K., Grover, B. W., & Henningsen, M. (1996). Enhanced instruction as a means of building student capacity for mathematical thinking and reasoning. American Educational Research Journal, 33 (2), Stein, M. K., Silver, E. A., & Smith, M. S. (1998). Mathematics reform and teacher development: A community of practice perspective. In J. Greeno & S. Goldman (Eds.), Thinking practices: A Symposium on mathematics and science learning, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Problemlösning i symbios med matematikhistoria Bengt Ulin Syftet med denna bok är att visa hur problemlösning och matematikhistoria kan korsbefrukta varandra i undervisning och i självstudier, en samverkan som också kan förbättra tidsekonomin i undervisningen. Matematikhistorien vävs i boken samman med övnings- och problemlösningsaspekter på ämnet genom valet av utmanande uppgifter. Ett stort antal uppgifter presenteras i ett intresseväckande historiskt perspektiv, alltifrån det forntida Egypten och Babylon via antikens grekiska högkultur och sjuttonhundratalets funktionslära till vår tids oändliga mängder, kaos och fraktaler. Författaren beskriver utvecklingen både historiskt och matematiskt, och visar hur dessa perspektiv kan förenas i undervisningen. Till boken hör ett problemhäfte med ytterligare drygt 100 uppgifter. Dessa uppgifter kräver ofta en större arbetsinsats och kan också ge fördjupningsmaterial för den som är särskilt intresserad. Till alla uppgifter finns svar och till de flesta också en lösningsvariant. Stöd för problemlösningsarbetet fås för vissa uppgifter i Ledning till somliga uppgifter. Problemhäftet är utformat för att direkt utgöra kopieringsunderlag för det löpande arbetet i klassrummet. Problemlösning i symbios med matematikhistoria Bengt Ulin, Ekelunds Förlag AB ISBN N Ä MNAREN NR