Variation i matematikläroböcker på gymnasiet

Transkript

1 Natur, miljö, samhälle Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik och Lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå Variation i matematikläroböcker på gymnasiet Variation in Swedish Upper Secondary School Mathematics Textbooks Mattias Andersson Ämneslärarexamen med inriktning mot gymnasieskolan, 300 högskolepoäng Datum för slutseminarium: Examinator: Leif Karlsson Handledare: Annica Andersson

2 Abstrakt I detta arbete undersöks hur gymnasieböcker i matematik använder sig av innehållslig variation. Läroböckerna analyseras utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv, med fokus på hur funktionsbegreppet presenteras i kursen Matematik 1c. Inspiration har även tagits från asiatisk matematikundervisning där variation är ett betydande inslag. Begreppen proceduriell respektive begreppslig variation har hämtats från forskning kring denna undervisningstradition, och har också använts för att analysera hur innehållet varieras. Arbetet har två syften, dels att identifiera innehållslig variation i läroböckerna och dels att beskriva en analysmetod för att göra detta. Analysen resulterade i en beskrivning av tio dimensioner av variation som återfinns i böckerna. Studien visar även exempel på hur proceduriell och begreppslig variation kan användas, även om upplägg i enlighet med kriterierna för proceduriell och begreppslig variation återfinns i liten utsträckning i läroböckerna. Resultaten kan ha betydelse för planering av undervisning kring funktionsbegreppet och användningen av läroböcker i allmänhet när det gäller tillämpning av variation som en princip för lärande. Med den utarbetade analysmetoden är det också möjligt att analysera andra områden inom skolmatematiken. Nyckelord: variationsteori, matematikläroböcker, funktionsbegreppet, dimensioner av variation. 2

3 Innehållsförteckning 1. INLEDNING SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR TEORI Variationsteori Bakgrund till variationsteorin Variationsteorin i skolsammanhang Variationsmönster Variationsteori och matematikuppgifter Sammanfattning av centrala begrepp TIDIGARE FORSKNING Elevers uppfattningar om funktionsbegreppet Forskning utifrån variationsteorin Sammanfattning METOD Urval Urval av matematiskt innehåll Urval av analysmaterial Analysmetod Steg 1: kartläggning av externa horisonten Steg 2: identifiera dimensioner av variation och variationsmönster Steg 3: identifiera proceduriell och begreppslig variation Forskningsetiska överväganden RESULTAT OCH ANALYS Läroböckernas upplägg Dimensioner av variation och variationsmönster Dimensioner av variation Exponent Matematik M-serien Sammanfattning

4 6.3 Proceduriell och begreppslig variation Exponent Matematik M-serien Sammanfattning DISKUSSION Resultatdiskussion Analysdiskussion Vidare forskning REFERENSER BILAGOR Bilaga Bilaga Bilaga

5 1. Inledning Flera rapporter har visat att läroböcker har en stor roll i de svenska matematikklassrummen (Skolinspektionen, 2010; Skolverket, 2003). Enligt dessa rapporter finns det stora variationer i hur läroboken används, vissa lärare utgår helt från boken medan andra använder den som ett stöd för att konkretisera kursmålen. Gemensamt är dock att många lärare följer lärobokens upplägg och att eleverna ofta spenderar mycket tid med att räkna på de uppgifter läroboken erbjuder (Skolinspektionen, 2010). Läroböcker är ett användbart verktyg då de tillhandahåller ett färdigt upplägg med förklaringar, exempel och uppgifter vilket på många sätt kan underlätta för läraren. Men som lärare är det viktigt att själv fundera över hur innehållet i kursplanerna kan tolkas och kritiskt reflektera över hur läroboken kan användas för att skapa så bra lärandesituationer som möjligt (Johansson, 2006; Skolverket, 2015). I kommentarsmaterialet till ämnesplanen i matematik för gymnasieskolan talas det om variation, variation i form av arbetsform, arbetssätt och frågeformuleringar (Skolverket, 2011a). Men i kommentarsmaterialet tas även innehållslig variation upp och styrdokumenten refererar då uttryckligen till variationsteorin. Variationsteorin går ut på att eleven endast kan få syn på en egenskap hos ett begrepp om det presenteras i ljuset av en variation. (Skolverket, 2011a, s. 9). Enligt variationsteorin kan ett matematiskt begrepp ses som uppbyggt av ett antal delar, så kallade aspekter. Variation i dessa aspekter är nödvändigt för att förstå begreppet. Teorin fokuserar alltså på vad det är som ska läras, till skillnad från många andra teorier där t.ex. arbetssätt eller elevens omgivning kan vara det som betonas. Variationsteorin är en relativt ung teori och kopplingen mellan teori och praktik är fortfarande under utveckling. Denna koppling görs ofta genom så kallade learning studies, men lärarna som deltar i dessa upplever ofta att det är svårt att fortsätta använda sig av teorin efter projektet avslutats (Lo, 2014). En annan möjlighet att tillämpa variationsteorin kan vara att analysera läroböcker (Häggström, 2008; Lo, 2014), vilket är precis vad som görs i detta arbete. I Kina har variation länge utgjort en naturlig del av matematikundervisningen och där intar även läroboken en central roll i undervisningen (Zhang, Wang, Huang & Kimmins, 2017). I Kina har begreppen proceduriell respektive begreppslig variation använts för att beskriva variationen. Detta sätt att se på innehållslig variation påminner om det variationsteoretiska 5

6 men det finns även skillnader (Gu, Huang & Marton, 2004). Flera forskare anser att detta fokus på variation kan vara en del av förklaringen till att Kina och andra asiatiska länder, som arbetar efter liknande principer, presterar bättre än västerländska elever i internationella jämförelser (Pang & Marton, 2007). Eftersom läroböckerna har en stor roll i undervisningen i Sverige är det intressant att fråga sig hur svenska matematikläroböcker är uppbyggda utifrån ett variationsteorietiskt perspektiv. Hur ämnesinnehållet i matematikläroböcker presenteras med avseende på innehållslig variation är i stor utsträckning ett outforskat område men skulle som sagt kunna vara ett sätt för lärare att använda sig av variationsteorin i praktiken. I detta arbete genomförs en sådan analys med avseende på det matematiska begreppet funktion. Det är ett begrepp som är grundläggande inom matematiken men är samtidigt något som eleverna ofta upplever svårigheter med. Eleverna har t.ex. ofta skilda uppfattningar av dess betydelse och har dessutom svårt att växla mellan olika perspektiv på begreppet (Bardini, Pierce, Vincent & King, 2014). Sammanfattningsvis utgörs arbetet av en analys av hur svenska matematikläroböcker använder sig av variation i framställningen av funktionsbegreppet. 6

7 2. Syfte och frågeställningar Detta arbete har två syften. Det första är att undersöka hur matematikläroböcker på gymnasiet använder sig av innehållslig variation. Detta görs genom att analysera hur funktionsbegreppet presenteras i olika läroböcker utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Utifrån detta syfte skapas de tre frågeställningarna: - Vilka dimensioner av variation av funktionsbegreppet är möjliga att urskilja i gymnasiets matematikläroböcker? - Hur varieras dessa aspekter i matematikläroböckerna? - Hur använder sig matematikläroböcker av proceduriell och begreppslig variation Eftersom få liknande studier genomförts tidigare blev ett andra syfte att formulera och diskutera en användbar analysmetod. Förhoppningsvis kommer därmed arbetet även utgöra ett litet bidrag till att konkretisera variationsteorin och göra det lättare att tillämpa dess idéer i praktiken. Utifrån detta blir en fråga: - Hur skulle en metod för att analysera innehållslig variation i matematikläroböcker kunna utformas? 7

8 3. Teori I teoriavsnittet presenteras det teoretiska perspektiv arbetet utgår från, det variationsteoretiska. Först presenteras variationsteorins huvudidéer samtidigt som relevanta begrepp inom teorin redogörs för. De teoretiska begreppen är ganska många men är också centrala i arbetet och har inte alltid en helt entydig innebörd. Därför sammanfattas begreppen och deras användning i ett eget avsnitt. 3.1 Variationsteori Bakgrund till variationsteorin Synen på lärande inom variationsteorin kommer från fenomenografin, där lärande sker genom att den lärande erfar fenomen (Marton & Booth, 2000). Fenomen kan stå för olika saker så som en situation, en händelse eller ett föremål. Erfara kan ses som synonymt med uppfatta och förstå men erfara är den vanligaste benämningen i variationsteoretisk litteratur. Erfarande kan i sin tur ses som en process där någonting urskiljs från sitt sammanhang. Enligt teorin är det alltså inte möjligt att lära om ett fenomen om vi inte först kan urskilja fenomenet från dess sammanhang (Lo, 2014). För att kunna göra denna urskiljning och skilja fenomenet från andra fenomen måste vi uppleva en variation av fenomenet i fråga (Bowden & Marton, 1998). Det är även möjligt att bryta ner fenomenet i ett antal delar som tillsammans utgör fenomenets helhet, dess struktur. Dessa delar måste i sin tur urskiljas från omgivningen samt urskiljas och sättas i relation till varandra för att vi ska kunna erfara fenomenet i dess helhet. Om samtliga delar kan urskiljas och fokuseras på samtidigt kommer den lärande ha en fullständig förståelse för fenomenet (Marton & Booth, 2000). Att lyckas med detta är dock väldigt osannolikt i de flesta situationer. Istället är det troligt att olika personer fokuserar på olika delar, och ofta långt ifrån samtliga delar, vilket enligt detta perspektiv ses som anledningen till att vi erfar samma fenomen på skilda sätt (Bowden & Marton, 1998). Med denna bakgrund kan det vara intressant att fråga sig vad dessa idéer betyder mer konkret. Denna syn på lärande kan illustreras med följande exempel från Marton och Booth (2000). De ställer sig frågan vad som krävs för att få syn på ett orörligt rådjur i en skog om natten. För att 8

9 få syn på rådjuret överhuvudtaget måste vi urskilja det från dess sammanhang, från de omgivande träden och buskarna. Vi måste alltså uppfatta dess konturer och dessutom sätta dem i relation till omgivningen. I denna process använder vi våra tidigare erfarenheter från andra sammanhang för att sluta oss till att det är just ett rådjur. Till exempel vet vi att det inte är en björn eftersom konturerna inte stämmer överens. Vi kan även dra slutsatsen att det inte är en antilop eftersom dessa vanligtvis inte befinner sig i skogen. För att sedan utveckla vår förståelse för situationen ytterligare krävs det att vi uppfattar mer specifika delar av situationen, t.ex. djurets hållning, dess storlek och vad det har uppmärksamheten riktad mot. Dessa och många andra delar kommer olika personer att ha olika fokus på, och därmed uppfattar och reagerar de på situationen på olika sätt. Detta perspektiv på lärande är allmänt men är för en lärare givetvis intressant att applicera på undervisningen Variationsteori i skolsammanhang När variationsteorin tillämpas på lärandemiljön i ett skolsammanhang används ofta en något utvidgad begreppsapparat än den som redogjorts för hittills. Först och främst behövs någonting som lärs för att lärande ska kunna ske. Detta någonting kallas för lärandeobjektet (Runesson, 2005). Lärandeobjektet utgörs av det innehåll som behandlas under den avsedda lärandesituationen och kan vara allt från en viss aktivitet till ett helt ämnesområde (Lo, 2014). Lärandeobjektet kan ses utifrån tre perspektiv (Marton, Runesson & Tsui, 2004). I detta arbete används svenska översättningar av perspektiven, i enlighet med Wernberg (2009). Det första kallas för det intentionella lärandeobjektet och utgörs av det läraren avser att förmedla kunskap kring. Det som läraren avser att förmedla behöver dock inte överensstämma med det som faktiskt är möjligt för eleven att lära sig, det iscensatta lärandeobjektet, vilket till stor del är beroende på hur läraren lägger upp undervisningen. Slutligen finns såklart möjligheten att eleverna inte tar till sig det som presenteras till fullo. Det innehåll som eleverna uppfattar kallas för det erfarna lärandeobjektet. Enligt den tidigare beskrivningen av lärandets uppbyggnad kan lärandeobjektet ses som bestående av en mängd aspekter som eleverna måste urskilja för att skaffa sig en förståelse för objektet. Men alla aspekter kan inte fokuseras samtidigt och elevernas förståelse för ett visst lärandeobjekt beror på vilka av dessa aspekter som hamnar i för- respektive bakgrunden. Lärande sker enligt teorin när eleven urskiljer nya aspekter av ett lärandeobjekt, klarar av att 9

10 fokusera på flera aspekter samtidigt och därmed uppfattar lärandeobjektet på ett nytt sätt (Marton, 2015). Men ett lärandeobjekt är inte en isolerad företeelse, det existerar och får mening i ett sammanhang som kallas för lärandeobjektets externa horisont (Marton & Booth, 2000). Den externa horisonten kan utgöras av det eleverna har med sig när de stöter på objektet, den användning eleverna kan ha av objektet i framtiden och av andra relaterade lärandeobjekt (Lo, 2014). Hur lärandeobjekten väljs ut och behandlas är enligt Lo (2014) grundläggande i undervisningen men är något som många lärandeteorier inte fokuserar på. Istället kan t.ex. arbetsform eller det sociala samspelet stå i fokus. Variationsteorin sätter däremot frågor om vad som ska läras och hur detta ska läras i fokus (Marton & Booth, 2000). Det korta svaret som teorin ger på dessa frågor är att lärandeobjektet, eller de aspekter som utgör lärandeobjektet, är det som ska läras och att det ska läras genom variation (Marton, 2015). När en aspekt varieras sägs att dess dimension av variation öppnas (Marton, Runesson & Tsui, 2004). Detta uttryck har en stor roll i arbetet eftersom det utgör en länk mellan lärandeobjektets aspekter och vad som är möjligt för eleverna att lära, det iscensatta lärandeobjektet. Till exempel kan det finnas aspekter som tas för givna av läraren, inte öppnas genom variation och därmed inte blir möjliga för eleverna att urskilja (Häggström, 2008). De aspekter som anses avgörande för förståelsen av ett lärandeobjekt kallas i variationsteoretisk litteratur ofta för kritiska aspekter men benämningen nödvändiga aspekter är mer lämplig i detta arbete. Detta eftersom en aspekt kan benämnas som nödvändig om den anses vara avgörande för att uppfatta lärandeobjektet på ett visst sätt. Aspekten blir inte kritisk förrän den relateras till en elev som ännu inte har urskilt aspekten (Marton, 2015). Om eleven sedan tillägnar sig aspekten anses den inte längre vara kritisk. Kritiska aspekter är alltså förknippade med en viss elevs sätt att förstå ett lärandeobjekt. Eftersom detta arbete utgår från läroböcker finns det inte några elever att koppla aspekterna till och nödvändiga aspekter är därför mer passande Variationsmönster Exempel på vad som skulle kunna utgöra aspekter av ett lärandeobjekt är färg, temperatur och storlek. En aspekt är i sin tur uppbyggd av olika drag (Lo, 2014). För aspekten färg utgörs 10

11 dragen av färgerna, t.ex. grön, blå och röd. För aspekten temperatur kan dragen exempelvis vara kall och varm. Urskiljandet av en aspekt sker genom att aspektens drag varieras och aspekten blir på så sätt tillgänglig för den lärande. Aspekter och drag är alltså i högsta grad beroende av varandra i lärandesituationer. Dragen kan inte uppfattas utan vetskap om aspekten som förenar dem och en aspekt kan inte uppfattas utan medvetenhet om dess drag (Marton, 2015). En aspekts drag kan varieras på olika sätt, enligt så kallade variationsmönster. Antalet variationsmönster som används inom variationsteorin kan skilja sig något mellan olika studier. De fyra som vanligtvis används är kontrastering, separation, generalisation och fusion (Lo, 2014). I denna studie antas dock Martons (2015) upplägg. Detta innebär att separation ses som en del av kontrastering, ett samband som förklaras nedan. För att urskilja en aspekt hos ett objekt kan den fokuserade aspekten kontrasteras mot andra aspekter. Detta görs genom att variera dragen hos den fokuserade aspekten samtidigt som dragen hos de övriga aspekterna hålls konstanta (Marton, 2015). I denna process blir den lärande även medveten om vissa drag hos en aspekt. Dessa drag blir då en ny upplevelse för den lärande eftersom aspekten som dragen är en del av inte kunnat urskiljas tidigare. Dessa nyuppfattade drag kan då fokuseras på och varieras separat från det objekt vilket de utgör drag av. Detta är precis det som avses med variationsmönstret separation (Lo, 2014). Som ett exempel kan lärandeobjektet vara att urskilja en kvadrat från andra geometriska figurer. Då är vinklarnas storlek en aspekt som kan varieras och därmed kontrasteras mot en romb. Om övriga aspekter, t.ex. sidornas längd, antalet sidor och figurens position, hålls konstanta kommer vinkelns betydelse att kunna fokuseras. Sedan kan även sidornas längd varieras samtidigt som övriga aspekter hålls konstanta. Dragen rät vinkel och lika långa sidor har då kontrasterats genom variation och kan separeras från objektet. Nästa variationsmönster syftar till att den lärande ska inse att ett drag kan vara detsamma trots att objektet skiljer sig i andra aspekter. Genom att hålla ett visst drag av en aspekt konstant och samtidigt variera andra aspekter som kan påverka elevernas förståelse kan eleverna uppleva en så kallad generalisering. Det drag som hålls konstant generaliseras då över de aspekter som varieras (Marton, 2015). Generalisering skiljer sig från kontrastering genom att det vid kontrastering är den fokuserade aspekten som varieras medan det vid generalisering är den fokuserade aspekten som hålls konstant. Som en fortsättning på exemplet ovan kan den räta vinkeln hållas konstant samtidigt som övriga aspekter varieras. Den räta vinkeln blir då ett generaliserat drag. Samma process kan sedan genomföras med konstant längd på sidorna 11

12 för att generalisera detta drag. Det sista variationsmönstret, fusion, sker genom att flera aspekter hos ett objekt varieras samtidigt. Detta kan ses som att objektets delar blir tydligt kopplade till varandra och till objektet som helhet (Lo, 2014). Att den lärande ska kunna uppfatta den samtida variationen i flera aspekter förutsätter givetvis att dessa har separerats av den lärande i ett tidigare skede. Som en avslutning på exemplet med kvadraten kan både vinkeln och sidornas längder nu varieras samtidigt för att eleven ska se båda aspekternas betydelse för att den geometriska figuren ska klassificeras som en kvadrat Variationsteori och matematikuppgifter När variationsteorin tillämpas i praktiken räcker det enligt Marton (2015) inte att variation av de nödvändiga aspekterna är närvarande i undervisningen, vilket det i någon utsträckning är i de flesta klassrum. Läraren måste också arbeta med att göra det så troligt som möjligt att eleven uppmärksammar variationen. Watson (2003) samt Watson och Mason (2006) har försökt att utveckla variationsteorin till att användas på uppgifter och beskriver hur variationsteoretiska idéer skulle kunna tillämpas i dessa. De menar att uppgifter i matematikläroböcker ofta har som syfte att träna eleverna. Men enligt Watson följer uppgifterna inte alls ett upplägg som gör denna träning lärorik utan är i stor utsträckning varierade på ett godtyckligt sätt. För många delar som varierar samtidigt gör att eleverna inte klarar av att uppfatta de mönster och strukturer som är viktiga inom matematiken. Watson och Mason har utgått från att uppgifter utformade med en viss systematisk variation borde kunna uppmärksamma eleverna på specifika matematiska strukturer. Detta påstående baserar författarna på att de lärande inte kan låta bli att leta efter mönster och generalisera när de arbetar med denna typ av uppgifter. De använder sig av uttrycket dimensioner av möjlig variation för att beskriva de aspekter som faktiskt varieras, vilket i princip kan förstås på samma sätt som dimensioner av variation ovan. Men de använder också tillåten räckvidd av variationen för att beskriva de nya drag som eleverna kan urskilja genom uppgiften. Väljer man att se en hel större uppgift som ett enda lärandeobjekt bör det enligt Watson bara finnas en dimension av variation inledningsvis, fast med en stor tillåten räckvidd av variation. Längre fram i uppgiften kan det öppnas upp fler dimensioner men det ska då ske på ett systematiskt sätt så att eleverna kan uppmärksamma variationen. Watson och Mason ger 12

13 följande exempel på en uppgift där eleven får möjlighet att hitta mönster och göra generaliseringar genom att uppgiften presenteras med en systematisk variation: D(P, A) är det kortaste avståndet från P till A i ett tvådimensionellt rutsystem där enbart horisontell och vertikal rörelse är tillåten. Detta avstånd kallas för taxi-avståndet eftersom rutsystemet kan ses som en stadskarta. I den här uppgiften är A= (-2,-1). Markera A i rutsystemet. För varje punkt P i (a) till (h) nedan, bestäm D(P, A) och markera P i rutsystemet. (a) P = (1, -1) (e) P = (1/2, -1 1/2) (b) P = (-2, -4) (f) P = (-1 1/2, -3 1/2) (c) P = (-1, -3) (g) P = (0, 0) (d) P = (0, -2) (h) P= (-2, 2) (Watson & Mason, 2006, s. 7. I originalet presenteras (a) till (h) i en kolumn och texten har här översatts från engelska.) Författarna har genomfört uppgiften med hundratals personer i olika åldrar och nästan alla gör generaliseringar medan de löser uppgiften. Generaliseringarna görs utifrån punkternas varierande position på samma linje och det konstanta avståndet till utgångspunkten. När mönstret väl bryts gällande positionen längs linjen men avståndet fortfarande är detsamma har det visat sig att många personer självmant börjar ställa ytterligare frågor. Denna uppgift och hur variation används i den skulle också kunna beskrivas utifrån de variationsteoretiska begrepp som redogjorts för ovan, en analys som utförs av Watson och Mason (2006). Författarna ger avslutningsvis exempel på ett antal steg för planering av lärande som utgår från hur elever uppfattar matematiska objekt: - Analys av begrepp som eleven förväntas stöta på inom ett visst område. - Identifiera regelbundenheter i typexempel som kan hjälpa eleven att göra generaliseringar kring begreppet. - Identifiera variationer som skulle kunna utgöra exempel på dessa generaliseringar, vad som skulle varieras och hur det skulle varieras. - Skapa uppgifter med kontrollerad variation som ger eleverna möjlighet att observera regelbundenheter, utveckla förväntningar, göra jämförelser och testa sina antaganden inom uppgiften. 13

14 3.2 Sammanfattning av centrala begrepp I föregående avsnitt beskrevs variationsteorin och hur olika begrepp relaterar till varandra. Eftersom det är många begrepp som kommer att användas genom hela arbetet presenteras här en kort beskrivning av de mest väsentliga. Lärandeobjekt: Den del av matematiken som eleverna ska utveckla sin förståelse för. I detta arbete utgörs lärandeobjektet av funktionsbegreppet. Iscensatt lärandeobjekt: Det som eleverna faktiskt får möjlighet att lära sig genom undervisningen. Aspekt: En del av lärandeobjektet. Lärandeobjektets aspekter kan ses som delar av objektet som tillsammans gör objektet till en helhet och ger det dess egenskaper. Drag: De värden som en viss aspekt kan anta. Dimension av variation: Används för att beskriva en aspekt när den varieras. I arbetet kan uttrycket att en dimension öppnas ses som ekvivalent med att en aspekt varieras. Extern horisont: Det sammanhang som lärandeobjektet existerar i. I skolsammanhang utgörs den externa horisonten av de erfarenheter och kunskaper eleverna har med sig sedan tidigare och det de kommer att lära i framtiden. Variationsmönster: Olika sätt att variera aspekter och drag hos ett lärandeobjekt. Kontrastering: Variation av den aspekt som vill fokuseras samtidigt som övriga aspekter hålls konstanta. Generalisering: Variation av de aspekter som inte vill fokuseras samtidigt som den fokuserade aspekten hålls konstant. Fusion: Samtidig variation av flera aspekter som vill fokuseras för att skapa en förståelse för lärandeobjektets helhet. 14

15 4. Tidigare forskning I detta kapitel belyses två områden som anses vara relevanta för studien. Först diskuteras ett antal studier rörande elevers svårigheter med och missuppfattningar kring funktionsbegreppet. Dessa är kopplade till funktionsbegreppets nödvändiga aspekter vilket gör det relevant att ha med sig denna kunskap vid analysen av läroböckerna. Avslutningsvis presenteras några studier som har undersökt hur variationsteorin kan användas i praktiken, framförallt vid konstruktion av matematikuppgifter. 4.1 Elevers uppfattningar om funktionsbegreppet Funktionsbegreppet är ett område som har studerats i stor utsträckning inom den matematikdidaktiska forskningen. Vinner och Dreyfus (1989) undersökte närmare 300 israeliska elevers uppfattningar om vad en funktion är. Detta undersöktes både genom slutna frågor kring grafiska representationer och påståenden i textform samt öppna frågor där eleverna fick beskriva vad en funktion är. Forskarna försökte kategorisera svaren på de öppna frågorna och kom fram till sex stora kategorier samt en stor andel svar som inte passade in i någon av dessa. Bland kategorierna fanns t.ex. funktionen som en beroende relation, som en algebraisk operation och som en symbolisk eller grafisk representation. På senare tid har Bardini et al. (2014) genomfört en liknande studie bland australiensiska universitetsstudenter. Även i denna studie angav många av eleverna ofullständiga beskrivningar av vad en funktion är och många elever hade även problem med att koppla ihop olika representationsformer. I båda studierna påpekas vikten av att ha en god förståelse för funktionsbegreppet när eleverna påbörjar universitetsstudier eftersom begreppet har en central roll i de flesta inledande matematikkurserna. Båda studierna inriktar sig på studenter i inledningen av sina universitetsstudier. Det är en något högre nivå än i detta arbete men är ändå relevant eftersom resultaten pekar på vikten av att skaffa sig en god förståelse för funktionbegreppet i ett tidigare stadium. Just elevers uppfattningar kring olika representationer av en funktion har studerats mer ingående. Enligt Nitsch et al. (2015) har förmågan att växla mellan olika representationsformer en nyckelroll för att förstå funktionsbegreppet. De påstår att eleverna 15

16 ofta kopplar en viss representationsform till en viss typ av kontext och har svårt att använda sig av en annan representationsform i samma kontext. Detta problem identifierar även Pettersson (2008) i en studie kring svenska universitetsstudenters uppfattning om grundläggande begrepp inom den matematiska analysen. Att både internationell och svensk forskning påvisar svårigheter hos eleverna att hantera olika representationsformer tyder på att dessa problem återfinns i stor utsträckning och därmed är bra att ha vetskap om i denna studie. Sfard (1991) beskriver att matematiska begrepp kan uppfattas på två sätt, som operationella eller som strukturella. För just funktionsbegreppet framhäver olika representationsformer dessa synsätt olika bra och att det är viktigt att behärska flera representationsformer för att få en övergripande förståelse för begreppet. Nitsch et al. (2015) genomförde en studie på vad som motsvarar gymnasienivå i Tyskland där de undersökte kopplingen mellan elevernas förmåga att växla mellan olika representationsformer och deras förståelse för funktionsbegreppet. Resultatet visar att det finns ett tydligt samband mellan dessa faktorer och att de dessutom är avgörande för att eleverna ska få en helhetssyn över funktionsbegreppet. Författarna drar slutsatsen att förmågan att växla mellan representationsformer är något som måste tränas mer, bland annat genom en större variation i vilka representationsformer som kopplas samman. Som nämnts ovan är både representationsformerna och definitionen av en funktion två delar som eleverna ofta upplever svårigheter med. Men även den vanligt använda symbolen f(x) kan orsaka problem hos eleverna. Nyikahadzoyi (2015) påpekar att beteckningen kan vara förvirrande eftersom den ofta används för att beskriva själva funktionen men samtidigt står för ett visst funktionsvärde. Nyikahadzoyi föreslår att funktioner istället kan presentera genom uttryck på formen x f f(x), för att tydliggöra skillnaden mellan funktionen f och funktionsvärdet f(x). Även Sajka (2003) kommer i en djupintervju med en polsk gymnasielev fram till att notationen f(x) kan vara problematisk. Eleven har i studien svårt att förklara f(3) med motiveringen att de bara använder symbolen f(x) för att beskriva en formel i skolan, exempelvis f(x)=2x+3. Denna typ av uppfattningar är viktiga att arbeta med eftersom de kan ställa till stora problem för eleverna längre fram (Vinner & Dreyfus, 1989). Flera av de ovan redovisade studierna visar på liknande resultat trots att det gått ganska lång tid mellan studierna. Detta tyder på att svårigheterna som beskrivs är vanligt förekommande och inte helt lätta att hantera. 16

17 Ji-Won och Qintong (2016) jämförde hur funktionsbegreppet introduceras i läroböcker i USA och Kina. Detta gör de med avseende på inledande gymnasienivå, vilket gör det till en relevant jämförelse för detta arbete. Författarna motiverar sin studie med att läroböckerna utgör en stor del av hur kursplanerna konkretiseras i undervisningen. Eftersom det skiljer mycket mellan länderna i internationella kunskapsmätningar är läroböckerna en tänkbar del i denna skillnad. De undersöker både introduktionen av innehållet och de tillhörande uppgifterna som presenteras. En stor skillnad som framkommer i undersökningen är att det i de amerikanska läroböckerna fanns runt tre gånger så många uppgifter relaterade till funktionsbegreppet som i de kinesiska läroböckerna. Zhu och Fan (2006) har tidigare också noterat detta och påpekar att även om det fanns fler uppgifter i de amerikanska böckerna var dessa ofta korta och det saknades uppgifter i flera steg, vilket det fanns desto fler av i de kinesiska läroböckerna. Deras forskning har dock varit inriktad på andra områden än just funktionsbegreppet, och dessutom med inriktning på högstadiet. Detta gör att deras slutsatser inte är helt överförbara till detta arbete men det kan åtminstone ge en bild av läroböckers upplägg i andra länder. Ji-Won och Qintong fann även att lösningarna till de exempel som presenteras i böckerna var mycket mer detaljerade i de kinesiska böckerna, med förklaringar och redovisningar av de olika stegen i lösningen. Dessa studier redovisas för att ge en insikt i hur läroböcker struktureras i andra länder men väldigt få konkreta exempel på innehållet i böckerna presenteras i studierna. Detta är en svaghet med studierna då det försvårar möjligheten att granska deras analys och göra jämförelser med andra resultat. 4.2 Forskning utifrån variationsteorin Den största delen forskning som genomförts med variationsteorin som teoretisk grund är så kallade learning studies. Det vanliga upplägget i dessa är att några lärare tillsammans planerar en eller flera lektioner utifrån variationsteorin. När en lektion genomförts analyseras den gemensamt, justeras och genomförs i en annan klass. Denna process kan sedan upprepas ytterligare gånger. När lektionssekvensen är genomförd utvärderas momentet genom ett eftertest och erfarenheterna dokumenteras (Marton, 2015). Studier med samma upplägg som detta arbete har inte genomförts i någon större utsträckning tidigare. Men det har genomförts studier där variationsteorin tillämpats på andra sätt, då framförallt i samband med uppgiftsutformning, och några av dessa beskrivs nedan. 17

18 Pang och Marton (2007) undersökte hur olika sorters variation i uppgiftsformuleringar påverkar elevernas förståelse. Författarna jämförde två gymnasieklassers förståelse för ett lärandeobjekt i en ekonomikurs. Den ena klassen blev under första lektionen guidade genom en serie frågor som med hjälp av variation avsåg att separera två aspekter av lärandeobjektet. Den andra klassen fick under en lektion arbeta i grupper med ett material där båda aspekterna fanns med men utan den tydliga variation som fanns hos den första klassen. Detta upplägg beskrivs inte speciellt detaljerat i deras rapport, vilket gör det svårt att veta vilka skillnaderna mellan de båda uppläggen faktiskt är. Nästa lektion fick båda klasserna en likvärdig föreläsning där de båda aspekterna varierades samtidigt, genom fusion, för att skapa en helhetsbild av lärandeobjektet. För att undersöka skillnaden mellan metoderna genomfördes ett eftertest direkt efter lektionen och ytterligare ett sex veckor senare. Dessa tester kompletterades med intervjuer av ett urval av eleverna. Resultaten av eftertesterna visade att bland eleverna som undervisades efter det första upplägget hade 90% en uppfattning av lärandeobjektet som stämde överens med den högsta nivån i bedömningen. Motsvarande andel för den andra klassen var 73%. Detta pekar på att det första upplägget ger goda effekter men det är samtidigt svårt att säga vad som det bättre än det andra, då beskrivningen inte är mer detaljerad. Författarna drar dock en viktig slutsats av studien, nämligen att det inte räcker att berätta för eleverna vad de nödvändiga aspekterna är. För att eleverna ska kunna urskilja deras betydelse för lärandeobjektet behöver de uppleva en genomtänkt variation i just dessa aspekter. Pang och Marton är alltså inne på vikten av att tänka på vad det iscensatta lärandeobjektet är, det vill säga vad som faktiskt är möjligt för eleverna att lära. Deras studie är inriktad på ett begrepp inom ekonomi, vilket inte gör den direkt applicerbar på detta arbete utan mer som ett exempel på att goda resultat kan uppnås genom användning av variationsteorin. I Kina utgör matematikläroböcker en viktig del av undervisningen och där har variation länge varit en grundläggande idé när läroböcker konstrueras (Zhang, Wang, Huang & Kimmins, 2017). Som nämnts tidigare kom Ji-Won och Qintong (2015) fram till att det finns stora skillnader mellan amerikanska och kinesiska matematikläroböcker. En skillnad var att det i de kinesiska läroböckerna fanns många längre uppgifter där eleverna till synes bara gjorde samma sak gång på gång. Just denna repetitionsträning förbryllade under 90-talet många västerländska forskare som inte förstod hur kinesiska elever trots detta arbetssätt genomgående presterade bättre än västerländska elever i internationella jämförelser (Gu, Huang & Marton, 2004). Andra forskare har sedan dess undersökt upplägget noggrannare. 18

19 Mer precist så har flera studier identifierat en variation i uppgifterna som kan delas upp i två kategorier, proceduriell respektive begreppslig variation (Gu, Huang & Marton, 2004). Den proceduriella variation återfinns i stor utsträckning i de kinesiska uppgifterna men saknas ofta i västerländska läroböcker (Yeap, Ferrucci & Carter, 2006). Proceduriell variation kan ses som en stegvis process där eleverna övar på rena procedurer samtidigt som de får möjlighet att utveckla förståelse för matematiska begrepp (Lai & Murray, 2012). Repetitionen blir då inte bara en slags drillande utan ett sätt att visa på egenskaper som kan ge eleverna djupare förståelse. Men även begreppslig variation är mer vanligt förekommande i Kina än i USA och europeiska länder. Begreppslig variation innebär att eleverna tränas i att se begrepp utifrån olika perspektiv och därmed får möjlighet att välja och anpassa metoder efter problemsituationen (Gu, Huang & Marton, 2004). Ett problem med forskning inom variationsteori, och även forskning med fokus på proceduriell och begreppslig variation, är att det är ett relativt nytt forskningsfält. Att mycket forskning är relaterad till Kina är en följd av detta och det går att ifrågasätta i vilken utsträckning denna forskning är applicerbar i andra skolkulturer. Detta leder också till att de använda metoderna inte prövas under olika förutsättningar i någon större utsträckning. Både en större geografisk och innehållsmässig spridning skulle behövas i framtiden för att ge ytterligare tyngd till den typ av forskningsresultat som presenteras ovan. I detta arbete används den tidigare forskningen som en inspiration vid konstruktionen av analysmetoden, vilket kan ses som en del i denna utvidgning av forskningsfältet. 4.3 Sammanfattning Utifrån den tidigare forskningen kring funktionsbegreppet kan tre huvudsakliga problem urskiljas. Dessa delar är definitionen av en funktion, funktionens olika representationsformer och det symbolspråk som vanligtvis används i samband med funktionsbegreppet (Nitsch et al., 2015; Sajka, 2003; Vinner & Dreyfus, 1989). Flera studier framhäver också att god grundläggande förståelse för funktionsbegreppet är viktigt för att klara av framtida matematikstudier. Mycket av den forskning som använder sig av variationsteorin har varit inriktade på Kina. Flera studier har jämfört kinesisk och västerländsk matematikundervisning och hittar stora skillnader i hur innehållet behandlas. Variation utgör ett naturligt inslag i den kinesiska matematikundervisningen och begreppen proceduriell respektive begreppslig variation används vanligtvis för att beskriva denna variation (Gu, Huang & Marton, 2004). 19

20 5. Metod I metodavsnittet beskrivs inledningsvis det urval som har gjorts i studien, både vilket matematiskt innehåll samt vilka läroböcker som undersöks. Analysmetoden beskrivs och motiveras sedan utförligt eftersom det inte har genomförts så många liknande studier tidigare. I sista avsnittet diskuteras arbetet utifrån ett forskningsetiskt perspektiv. 5.1 Urval Urval av matematiskt innehåll Undersökningen har innehållsmässigt begränsats utifrån följande punkter i det centrala innehållet för kursen Matematik 1c (Skolverket, 2011b): Begreppen funktion, definitions- och värdemängd samt egenskaper hos linjära funktioner samt potens- och exponentialfunktioner. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer. I det centrala innehållet beskrivs funktion och definitions- och värdemängd som separata begrepp. Men med tanke på definitionen av en funktion som en regel mellan en mängd invärden och en mängd tillåtna utvärden, med egenskapen att varje invärde svarar mot exakt ett utvärde, ses definitions- och värdemängd samt olika representationsformer som delbegrepp av funktionsbegreppet i arbetet. Definitions- och värdemängd ses därmed som några av de delar som tillsammans bildar helheten, begreppet funktion. Variation i dessa delar gör det möjligt för eleverna att erfara funktionsbegreppet. En annan möjlighet hade varit att formulera definitions- och värdemängd samt olika representationsformer som separata lärandeobjekt. Men utifrån hur formuleringarna ser ut i kursplanen och hur innehållet vanligtvis presenteras i läroböcker används här ett lärandeobjekt på denna något mer odetaljerade nivå. Denna nivå är också vald eftersom det är en lagom nivå om man vill arbeta på liknande sätt i praktiken, vilket arbetet syftar att inspirera till. Att se ett lärandeobjekt som funktioner i allmänhet skulle antagligen bli alldeles för brett i praktiken. Men att gå in på allt för detaljerad nivå skulle samtidigt bli för mycket arbete i förhållande till den tid som finns tillgänglig. Därför används 20

21 alltså denna nivå av noggrannhet, en indelning som även är möjlig att tillämpa på andra delar av gymnasiematematiken. Innehållet är också avgränsat till själva funktionsbegreppet och de funktionstyper som ges exempel på i det centrala innehållet bortses från i arbetet, förutom att de ses som en del av lärandeobjektets externa horisont. Även dessa delar skulle var och en kunna vara område för en separat analys enligt samma princip som används i detta arbete. Urvalet har gjorts eftersom det är svårt, om inte omöjligt, att ta sig an en hel kurs eller ens ett helt delområde under den begränsade tid som examensarbetet innebär. Att just funktionsbegreppet valdes beror på att funktioner och dess egenskaper är centrala begrepp inom alla matematikkurser på gymnasiet och även för vidare studier inom många olika utbildningsdiscipliner (Bardini, Pierce, Vincent & King, 2014; Pettersson, 2008) Urval av analysmaterial I arbetet undersöks tre läroböcker: Exponent 1c (Gennow, Gustafsson & Silborn, 2011), Matematik c (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne, 2011) och Matematik M 1c (Holmström, Smedhamre, Sjunnesson, Jakobsson & Nilsson, 2012). Dessa benämns fortsättningsvis med de förkortade beteckningarna Exponent, Matematik 5000 och M-serien. Det finns fler läroböcker för kursen på marknaden men detta urval har gjorts eftersom jag stött på dessa under praktiken. Arbetet syftar inte till att jämföra läroböckerna utan flera böcker används för att kunna visa på olika sätt att använda variation. Tre böcker gör det också möjligt att kunna dra mer generella slutsatser kring sådant som är liknande i alla böckerna. C-spåret har valts eftersom eleverna som läser den kursen är de som i störst utsträckning använder sig av funktionsbegreppet i senare kurser. I respektive bok avgränsades analysen till att omfatta de sidor som endast berörde det innehåll som beskrevs i kapitel ovan. Detta betyder att delar om t.ex. räta linjen, koordinatsystem och exponentialfunktioner inte tas med i analysen. Dessa delar beskrivs dock ändå kortfattat i ett avsnitt i resultatdelen utifrån deras förhållande till de analyserade delarna. I enlighet med de variationsteoretiska idéerna kring lärandeobjektets externa horisont (Lo, 2014) är det av intresse att veta vad som har tagits upp innan och vad som tas upp efter det valda lärandeobjektet. I respektive lärobok resulterade detta i att sid i Exponent, sid

22 och i Matematik 5000 samt sid i M-serien studerades i analysen. Exempel på materialet som valdes ut för analys ges i bilagorna. Där presenteras introduktionen till funktionsbegreppet i Exponent i bilaga 1, Matematik 5000 i bilaga 2 och M-serien i bilaga Analysmetod Detta arbete avser att undersöka hur läroböcker i matematik använder sig av variation i framställningen av ett visst innehåll, i detta fall funktionsbegreppet. I studier av läroböcker undersöks oftast bara själva teoridelarna eller t.ex. hur många uppgifter det finns till ett visst kapitel (Li, 2000). I detta arbete undersöks både de teoretiska genomgångarna och de tillhörande uppgifterna, med fokus på själva innehållet, eftersom båda delarna har potential att påverka elevernas lärande (Li, 2000). Då få studier har genomfört liknande undersökningar används ingen tidigare metod i sin helhet. Istället sätts kriterier för analysen ihop utifrån teorin och tidigare studier. På grund av detta beskrivs och motiveras analysen utförligt i kommande avsnitt. Analysen genomfördes i tre steg, som beskrivs nedan Steg 1: kartläggning av externa horisonten I första steget undersöktes vilket sammanhang det undersökta området presenteras i. Detta innebär hur böckerna presenterar moment relaterade till funktionsbegreppet. Både vilken förkunskap eleverna kan tänkas ha och även gällande det som eleverna kommer att stöta på senare i kursen. Detta kan ses som ett kartläggande av lärandeobjektets externa horisont och är relevant att göra eftersom lärandeobjektet först får sin innebörd i relation till det system det existerar inom (Lo, 2014). Den externa horisonten skulle per definition kunna sträcka sig väldigt mycket längre framåt och bakåt och även inkludera alla elevens tidigare erfarenheter (Marton & Booth, 2000) men här var det nödvändigt att göra en avgränsning. För ett lärandeobjekt som funktionsbegreppet och med tanke på att det är en analys av läroböcker anses denna avgränsning till relaterade moment i kursen vara tillräcklig. Denna bakgrundsanalys är dock inte helt oproblematisk eftersom elevernas tidigare kunskaper och erfarenheter skiljer sig åt i praktiken, vilket i sin tur kan påverka deras sätt att uppfatta området. Detta är en svaghet i läroboksanalyser och i en undersökning av en riktig elevklass skulle denna del spela en större roll. Om ett liknande arbete skulle genomföras i relation till en viss elevgrupp skulle det också vara möjligt att ha ett något annorlunda fokus. Läraren har då 22

23 förhoppningsvis haft eleverna i tidigare delar av kursen och har en plan inför framtida delar. För att kartlägga den externa horisonten i detta arbete studerades alltså böckerna för att identifiera det innehåll som är närmast relaterat till funktionsbegreppet. Detta innehåll lästes igenom översiktligt och en sammanfattning presenteras i resultatdelen. Att ha med sig kunskap om detta är relevant i analysen eftersom det kan ge en förståelse för varför en lärobok har lagt upp innehållet på ett visst sätt. Det kan också underlätta för läsaren att få en mer övergripande bild av sammanhanget Steg 2: identifiera dimensioner av variation och variationsmönster När sammanhanget kartlagts analyserades i nästa steg hur läroböckerna använder sig av variation. Detta innebar en undersökning av hur variation används i text och uppgifter. Utifrån detta kunde slutsatser dras kring vilka dimensioner av variation som öppnas upp samt vilka variationsmönster som används. Att identifiera detta är viktigt eftersom det enligt teorin är nödvändigt för eleverna att urskilja att nya dimensioner av variation öppnas för att utveckla förståelse för lärandeobjektet (Marton, 2015). Först lästes de valda delarna igenom med fokus på att identifiera variation. Den variation som uppfattades vid genomläsningen noterades för var och en av böckerna. Detta tillvägagångssätt kan ses som inspirerat av diverse textanalyser där genomläsning av texten och bokföring av intressanta delar är en allmän princip (Denscombe, 2016). Därefter genomfördes en andra genomläsning av böckerna med samma fokus. Detta gjordes för att öka tillförlitligheten i undersökningen då viss variation kan ha identifierats i den andra boken och därmed påverkat analysen av den tredje men inte den första. Vid genomläsningen hölls kriterierna för vad som skulle noteras väldigt öppna och allt som på ett eller annat sätt varierades antecknades. I detta steg räknades övningsuppgifterna också igenom för att få insikt i vad eleverna faktiskt kan uppfatta när de arbetar i boken. I denna process intogs ett elevperspektiv för att försöka uppfatta all den variation som kan sägas utgöra det iscensatta lärandeobjektet, alltså det som görs möjligt för eleverna att lära sig. Inspiration togs här från Häggströms (2008) studie där han analyserar och jämför svenska och kinesiska lektioner om ekvationssystem. Inledningsvis noterades all möjlig variation för att få med den variation som kan sägas utgöra dimensioner av variation. Men då kom även variation som inte nödvändigtvis hjälper lärandet enligt variationsteorin med. 23

24 Den variation som identifierades inledningsvis var väldigt spretig och alla delar av den kunde alltså inte anses utgöra någon dimension av variation. Därför gjordes en inledande analys av det initiala materialet för att identifiera de dimensioner av variation som kan sägas vara öppnade i böckerna. För att en variation från första steget skulle klassas som en dimension av variation användes kriteriet att det skulle finnas en systematisk variation där olika drag antas. Även kriteriet att variationen ska utgöra en möjlighet för eleverna att urskilja något nytt kring lärandeobjektet användes (Marton, 2015). Dessa kriterier gjorde det möjligt att skilja på variation som kan tänkas bidra till att eleverna utvecklar en förståelse för funktionsbegreppet från variation som t.ex. endast syftar till repetition, sätter fokus på annat än lärandeobjektet eller rent av försvårar lärandet. Variationen tilläts att ske på olika nivåer: i genomgångarna, i exemplen, inom en uppgift eller genom på varandra följande uppgifter. Bland de situationer som inte ansågs som en del i någon dimension av variation finns uppgifter där samma sak efterfrågas och förutsättningarna bara ändras något. Ett exempel är upprepade uppgifter där f(x) är given på algebraisk form och f(a) ska beräknas för olika värden på a. Om denna typ av uppgifter inte innehåller något speciellt som eleverna kan uppfatta anses de mer som ren repetition än uppgifter som öppnar någon dimension av variation. Även situationer där möjligheten att uppfatta variationen var alldeles för liten valdes bort. Exempel på detta är aspekter som bara antar andra drag på ett ställe i kapitlet, och då inte med direkt koppling till övriga drag. I Exponent användes även benämningarna funktion och avbildning parallellt inledningsvis men denna variation ansågs inte heller leva upp till kravet att ge eleverna nya insikter kring funktionsbegreppet. En analys av hur variationen skedde i böckerna gjordes till viss del redan när dimensionerna identifierades. Men en noggrannare analys av hur dimensionerna faktiskt varierades i var och en av läroböckerna genomfördes i en separat del där just användandet av variationsmönster stod i fokus. I denna del av analysen användes de variationsmönster som beskrevs i teoridelen som utgångspunkt. Frågor som hur sker variationen?, vilka variationsmönster används? och vad varieras och vad hålls konstant? ställdes under denna process. Även denna del av analysen upprepades för att ge en så korrekt beskrivning av variationen som möjligt. 24

25 5.2.3 Steg 3: identifiera proceduriell och begreppslig variation I det sista steget av analysen undersöktes i vilken utsträckning böckerna använde sig av proceduriell och/eller begreppslig variation. Analysen utgick från de definitioner och beskrivningar av proceduriell respektive begreppslig variation som ges av Gu et al. (2004), Lai och Murray (2012) samt Zhang et al. (2017). I de exempel på uppgifter och beskrivningar av proceduriell respektive begreppslig variation som ges i litteraturen är det i princip alltid väldigt lätt att identifiera uppgiften som tillhörande någon av variationsformerna. Det konstaterades direkt att det fanns få uppgifter i läroböckerna som tydligt kunde placeras i någon av kategorierna. Därför identifierades istället uppgifter och beskrivningar som åtminstone uppfyller några av kriterierna för respektive variationsform och dessa beskrevs utifrån hur de uppfyller kriterierna. Utifrån den litteratur som angetts ovan sattes ett antal frågor ihop. Dessa användes som utgångspunkt för att identifiera hur proceduriell och begreppslig variation användes i läroböckerna. Även i denna del av analysen lästes böckerna igenom upprepade gånger och de situationer som ansågs uppfylla kriterierna för proceduriell respektive begreppslig variation valdes ut. Dessa analyserades sedan utifrån hur de uppfyller kriterierna och hur de bidrar till ökad förståelse. Vid sökandet efter begreppslig variation ställdes frågor som går begreppet från att vara en konkret till en abstrakt upplevelse för eleven?, varieras betydelsen av begreppet?, påpekas viktiga egenskaper genom specialfall eller motexempel? och visas förhållandet till andra närliggande begrepp?. Dessutom användes grundidén att den begreppsliga variationen ska leda till att eleverna får möjlighet att förstå begreppet på olika sätt. För proceduriell variation användes istället frågor som tillåts eleverna att göra stegvis framsteg?, löses större problem genom att det bryts ner i mindre delar?, byggs elevens erfarenheter på genom varierande processer? och används olika metoder för samma problem eller samma metod till olika problem?. Även här utgjorde syftet med proceduriell variation, att främja elevernas begreppsförståelse genom stegvisa processer och problemlösning, ett stöd i att klassificera innehållet. Dessa frågor är framtagna utifrån de beskrivningar av begreppslig och proceduriell variation som ges av Gu et al. (2004) samt Lai och Murray (2012). Ett exempel på en uppgift som varken klassades som proceduriell eller begreppslig variation ges från Matematik Uppgiften går ut på att bestämma x om g(x)=0 för funktionerna 25

26 g(x)=x-6, g(x)=2x-6 och g(x)=12x+3. Även om denna uppgift uppfyller att det är samma metod för olika problem så är det troligare att det blir en övning i ekvationslösning än ett bidrag till elevernas förståelse för funktioner. Enligt kriterierna för de olika variationsformerna behöver variationen inte ske inom en specifik uppgift utan den kan även ske i genomgångar eller för en serie uppgifter. Men detta ledde även till problem i analysen och i Exponent fanns ett exempel på det. Där fanns ett avsnitt där sju frågor i rad hade exakt samma struktur: en situation formulerad i textform som följdes upp av frågorna a) bestäm en funktion samt b) bestäm funktionens definitions- och värdemängd. Denna situation låg på gränsen mellan vad som kan klassa som proceduriell variation och vad som utgör rena repetitionstillfällen. Denna situation valdes dock ut och beskrivs närmare i resultatdelen. Om man drar tolkningen av kriterierna till sin spets skulle man kunna hitta ytterligare situationer i böckerna som skulle kunna klassas som proceduriell eller begreppslig variation. Exempelvis så används begreppen i viss mån i varierande sammanhang. Även olika metoder för att lösa samma problem sker till exempel när f(3) ska bestämmas ur en graf i en uppgift och när sedan f(5) ska bestämma ur en värdetabell i en annan uppgift. Men denna skeva tolkning av vad proceduriell och begreppslig variation innebär anses inte ligga i linje med de grundidéer som redogörs för i litteraturen och denna tolkning görs därmed inte i arbetet. 5.3 Forskningsetiska överväganden I och med att arbetet utgörs av en läroboksanalys saknas det undersökningsdeltagare vilket gör att Vetenskapsrådets fyra forskningsetiska begrepp (Vetenskapsrådet, 2011) inte behöver tas hänsyn till. Men det är ändå viktigt att vara öppen med hur arbetet genomförts för att öka användbarheten och trovärdigheten i resultaten. Detta har i arbetet gjorts genom att följa de krav som ställs på god validitet och reliabilitet i kvalitativ forskning (Cohen, Manion & Morrison, 2011). Genom att tydligt beskriva det urval som gjorts och de metoder som använts i analysen har arbetet gjorts tillgängligt för granskning. Analysen genomfördes upprepade gånger och vid de olika genomläsningarna identifierades nya aspekter samtidigt som vissa initiala ströks eller omformulerades. Dessa revideringar har stärkt resultatets trovärdighet men 26

27 visar även på att det kanske skulle vara möjligt att identifiera ytterligare aspekter om fler analysen genomförts. Analysen har också genomförts så objektivt som möjligt och grundats i teorin för att stärka reliabiliteten i resultatet. 27

28 6. Resultat och analys I denna del av arbetet presenteras resultatet från undersökningen. Resultaten presenteras som en kombinerad beskrivning och analys av det utvalda innehållet, i enighet med vad som angetts i metodkapitlet. Resultaten för vart och ett av stegen presenteras under egna rubriker och inom de olika stegen presenteras de olika böckerna var för sig. Detta upplägg används för att skapa en struktur i resultatredovisningen. 6.1 Läroböckernas upplägg I det övergripande upplägget är alla böckerna strukturerade på samma sätt, med kapitelrubriker som direkt går att känna igen från det centrala innehållet. De delar som är intressanta för arbetet finns inom kapitlet där funktionsbegreppet tas upp, vars rubricering presenteras i tabell 1. Tabell 1. Rubriker för kapitlet som innehåller funktioner i respektive bok. Delkapitlet som innehåller funktionsbegreppet är markerat i kursiv stil. Lärobok Exponent Matematik 5000 M-serien Kapitelrubrik Funktioner Grafer och funktioner Samband och förändring Underrubriker Repetition. Vad är en funktion? Egenskaper hos olika typer av funktioner. Grafer och direkt proportionalitet. Funktioner. Procent. Funktionsbegreppet. Linjära funktioner. Proportionalitet. Potensfunktioner. Exponentialfunktioner. Mer om grafiska lösningar. I Exponent föregås introduktionen till funktionsbegreppet av ett uppslag med repetition där gradering och avläsning i grafer tas upp. Denna del kan introducera eleverna till det grafiska sättet att beskriva ett samband mellan två variabler och att hantera koordinatsystem, vilket är högst väsentliga delar i den grafiska representationen av en funktion. Själva funktionsbegreppet introduceras sedan i tre delar, fördelat över tio sidor. Först definieras innebörden av en funktion, därefter visas olika sätt att representera funktioner och avslutningsvis förklaras definitions- och värdemängd mer ingående. Kapitlet avslutas med att linjära funktioner, potens- och exponentialfunktioner tas upp, tillsammans med hur dessa kan hanteras grafiskt. Även i dessa delar är det ett stort fokus på olika representationsformer, men 28

29 framförallt den grafiska. Utspritt över kapitlet finns även ett antal andra moment så som gruppaktiviteter, utmaningar och sant eller falskt. Några av dessa med direkt koppling till just funktionsbegreppet. Matematik 5000 inleder funktionskapitlet med en aktivitet där eleverna direkt får arbeta med funktionsbegreppet. Olika samband presenteras med ord, tabell eller grafiskt och eleverna får i uppgift att beskriva sambanden med formler. Därefter följer ett kortare delkapitel om koordinatsystem, tolkning av grafer och direkt proportionalitet. I dessa delar är det mycket fokus på grafiska representationer, som nästan uteslutande utgörs av räta linjer. Men det förekommer även en hel del uppgifter där eleverna ska tolka oregelbundna grafer baserade på verkliga situationer. Funktionsbegreppet tas sedan upp på två uppslag. Ett där teori och ett par exempel visas samt ett uppslag med övningsuppgifter. Därefter följer räta linjer, potens- och exponentialfunktioner men också en del där skillnaderna mellan algebraiskt uttryck, ekvation, funktion och olikhet tas upp. Noterbart från dessa delar kan vara att beteckningen f(x) inte används i någon större utsträckning utan istället beskrivs funktionerna oftast som y=. Kapitlet avslutas med en del där olika funktionstyper jämförs med varandra. Det finns även ett par aktiviteter i kapitlet, dock med specifik koppling till exponentialfunktioner och räta linjer. I M-serien är inte funktioner ett eget kapitel utan det inkluderar även kursinnehållet procent. Kapitlet är dock tydligt uppdelat och inleds med procentdelen. Därefter tas funktionsbegreppet upp direkt. Denna del är på åtta sidor, med varierande genomgångar, exempel och uppgifter. Själva teorin är uppdelad i två stycken. Först ett stycke med funktionsbegreppet och olika representationsformer och sedan ett med definitions- och värdemängd. Sedan följer delkapitel om linjära funktioner, potens- och exponentialfunktioner samt en större del med fokus på grafiska lösningsmetoder. I kapitlet finns två aktiviteter som dock är kopplade till exponentialfunktioner och att hantera andragradsfunktioner med digitala verktyg. Därmed är dessa inte något som analyseras vidare i arbetet. Genom denna övergripande analys av böckernas upplägg urskiljs en intressant aspekt inför vidare analyser, att funktionsbegreppet i Exponent och Matematik 5000 föregås av en introduktion med delar som anses vara användbara när funktionsbegreppet och olika funktionstyper introduceras. Även omfattningen på det innehåll som behandlas i arbetet kan vara värt att notera, även om det inte säger något om det faktiska innehållet. Det som tas upp på åtta respektive tio sidor i M-serien och Exponent behandlas på fyra sidor i Matematik 29

30 5000. Det ska dock tas i beaktande att Matematik 5000 har en relativt omfattande introduktion till funktionsbegreppet innan den analyserade delen och följderna av detta tas upp i kommande avsnitt. 6.2 Nödvändiga aspekter och variationsmönster Dimensioner av variation I tabell 2 presenteras de dimensioner av variation som ansågs öppnade i någon av böckerna. Hur dessa dimensioner av variation öppnades beskrivs sedan för var och en av läroböckerna. Detta görs genom att situationerna där variationen förekommer beskrivs och hur själva variationen används analyseras utifrån variationsteorin. Tabell 2. Sammanställning av de dimensioner av variation som identifierades vid analysen av läroböckerna. Dimensioner av variation. - Definitions- och värdemängderna kan vara andra tal än heltal. - Definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal. - Definitions- och värdemängderna kan anta olika former (kontinuerlig, diskret). - Alla samband behöver inte utgöra funktioner. - Samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer. - Samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer. - Funktioner kan inte alltid beskrivas med sammanhängande grafer. - Det är skillnad på funktionsvärdet, f(x), och funktionsregeln. - Andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen. - Funktionsregeln går inte alltid att beskriva med en enkel algebraisk formulering Exponent I Exponent beskrivs funktioner inledningsvis som en avbildning från en mängd till en annan. Detta visas med ett exempel där ett antal namn paras ihop med antalet bokstäver i namnet. Genom denna inledning görs direkt tydlig skillnad på funktionsregeln och funktionsvärdet. I efterföljande exemplen visas på fler samband mellan mängder och dimensionen att det är skillnad på funktionsvärdet, f(x), och funktionsregeln öppnas. Detta görs i exemplen genom att funktionsregeln hålls konstant och varierande funktionsvärden tas fram för den givna regeln. Skillnaden görs även tydlig i ett senare avsnitt där f(x) används som ett element i värdemängden och regeln beskrivs som pilar mellan två mängder. I den inledande 30

31 genomgången förklaras även begreppen definitions- och värdemängd, vilket blir tydligt då namnen och antalet bokstäver i namnen beskrivs som mängder. Här kontrasteras direkt vad elementen i mängderna kan vara. Dimensionen att definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal öppnas genom att dragen namn och tal används som element i mängderna inom samma exempel. I det första lösta exemplet ges tre par av mängder där regeln samt definitions- och värdemängden ska bestämmas. Inom dessa kontrasteras beskrivningen av funktionen samtidigt som funktionsregeln är konstant. Därmed öppnas dimensionen samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer, om än bara mellan mängdrepresentationen och den algebraiska representationen. Genom upprepade exempel kan det även ses som att dimensionen generaliseras. Detta eftersom de båda representationsformerna fortsätter att visas upp för olika funktionsregler. I ett av de tre mängdparen tillordnas ett tal i definitionsmängden två tal i värdemängden. Sambandet utgör därmed inte en funktion. Detta exempel är ett sätt att öppna dimensionen att alla samband inte behöver utgöra funktioner. Denna variation sker dock mellan olika exempel, som är väldigt lika i utformning men som ändå skiljer sig i vilka tal som utgör mängdelementen. Kontrasteringen anses vara möjlig att uppfatta även om den skulle kunna göras ännu tydligare genom att visa på en funktion och en icke-funktion med samma mängder. De efterföljande uppgifterna inleds med att eleverna får göra precis det som beskrivits i exemplen och får därmed möjlighet att själva uppleva samma variation. De sista uppgifterna skiljer sig dock något. I en uppgift ges fyra exempel på grafer där eleverna ska avgöra vilka som beskriver en funktion. Med denna uppgift kontrasteras grafer som utgör funktioner med grafer som inte beskriver funktioner. Denna uppgift anses vara ytterligare ett sätt att öppna upp dimensionen att alla samband inte behöver utgöra funktioner. Som avslutande uppgift är en funktion given på algebraisk form och f(a), f(2a) och f(g(x)) ska bestämmas. Därmed öppnas dimensionen definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal ytterligare, denna gång genom att dragen mängderna som algebraiska uttryck och andra funktioner antas. I dessa uppgifter har funktionsuttrycket och frågeformuleringen varit konstant och variationen har endast skett i det som vill fokuseras, vad definitions- och värdemängderna kan vara. Därmed underlättas för eleverna att faktiskt urskilja det som vill fokuseras. Med tanke på att uppgiften ligger sist och anses vara extra svår är risken stor att dimensionen inte öppnas för många elever. I några av uppgifterna används mängder med dagar och namn som 31

32 definitionsmängder. Detta öppnar inte bara för variation i definitions- och värdemängd utan också i hur funktionsregeln anges. Dessa specialfall blir en kontrast mot övriga uppgifter där funktionen beskrivs som en algebraisk regel. Denna variation möjliggör för eleverna att urskilja att funktionsregeln inte alltid går att beskriva med en enkel algebraisk formulering. Om eleverna endast får uppleva funktioner som kan beskrivas enkelt kan denna aspekt felaktigt generaliseras. Rubriken för nästa stycke i boken är olika sätt att beskriva funktioner och inleds med ett exempel på en cykeltur med konstant hastighet. I samband med detta visas att andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen genom att sträckan beskrivs som en funktion av tiden, s(t). Detta sker i kontrast mot samtliga fall så långt, där en funktion än så länge varit synonymt med f(x), med undantag för sista uppgiften i exemplet ovan där f(g(x)) skulle bestämmas. I de exempel och uppgifter som ges är det dock endast i situationer där en sträcka beror på tiden som s(t) används. För cykelexemplet visas även hur funktionen kan beskrivas med olika representationsformer. Dimensionen samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer utvidgas här ytterligare. Från att tidigare ha varierats genom att representeras som mängder och på algebraisk form beskrivs funktionen här även i ord, i tabellform och grafiskt. Detta görs för samma situation så urskiljandet av variationen underlättas. Den grafiska representationen beskrivs som att värdena från tabellen prickas in i koordinatsystemet och punkterna sammanbinds med en linje. Att sammanbinda punkter på detta viset kan leda till en övergeneralisering att alla funktioner kan beskrivas med sammanhängande grafer om inte dimensionen funktioner kan inte alltid beskrivas med sammanhängande grafer öppnas. De uppgifter som följer denna förklaring har alla samma tema. En representationsform är given i uppgiftstexten och sedan blir uppgiften att beskriva sambandet med en annan representationsform och i vissa fall ta reda på något utifrån den nya representationsformen. Även om uppgifterna skiljer sig något i formulering så anses ändå dimensionen samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer öppnad. Frågorna är i princip likadana, bortsett från själva kontexten, och detta gör det möjligt att fokusera på variationen i representationsform. Men det skulle kunna gjorts tydligare genom upprepade frågor på samma situation. Det uppvisas en stor variation i vilka övergångar mellan representationsformer som används i uppgifterna. Flera av uppgifterna har potential för att visa på andra aspekter, exempelvis det ovan nämnda om grafer av funktioner, men som uppgifterna är formulerade är det långsökt att de skulle leda till att några nya dimensioner av variation öppnas. 32

33 Därefter följer ett avsnitt där begreppen definitions- och värdemängd förklaras ytterligare. En löprunda ges som exempel, med sträckan som en funktion av tiden. Definitions- och värdemängden beskrivs här som intervall med hjälp av olikheter. I och med detta kan ytterligare en dimension anses öppnad, nämligen att definitions- och värdemängderna kan anta olika former. Med detta avses att det visas på att mängderna kan vara både kontinuerliga och diskreta. Denna aspekt varieras dock samtidigt som frågeformuleringen varieras. Flera saker som varierar samtidigt kan göra det svårare för eleverna att urskilja det som avses att fokuseras på. I detta fall så är formen på mängderna dock beroende på situationen så att denna aspekt också varieras är svårt att undgå. Det skulle däremot vara möjligt att kontrastera det kontinuerliga mot det diskreta i samma uppgift genom att exempelvis fråga efter vilket sätt som bäst beskriver en viss situation. Detta görs dock inte någonstans i boken Matematik 5000 Funktionskapitlet i Matematik 5000 inleds med en aktivitet där två samband finns beskrivna med ord, två i tabellform och ett med en graf. Uppgiften är sedan att hitta ett algebraiskt uttryck som beskriver respektive samband. I denna aktivitet får eleverna erfara att samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer även om det bara är mellan två representationsformer i var och en av uppgifterna. Exempelvis görs sambandet mellan värdetabell och graf inte tydligt i detta skede. Representationsformen kontrasteras mot ett konstant samband i var och en av uppgifterna. Men då olika representationsformer används för olika samband görs det även en generalisering av aspekten. När funktionsbegreppet sedan introduceras ges definitionen av en funktion direkt, med hänvisning till att det är detta som har studerats i det föregående kapitlet Grafer och direkt proportionalitet, vilket beskrevs kortfattat i kapitel 6.1. Direkt ges som exempel att arean av en kvadrat, y, är en funktion av kvadratens sida, x. Detta samband beskrivs sedan med ord, en formel y=x^2, en tabell med fyra talpar och en graf. Här får eleverna igen se att samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer, fast nu hålls funktionen konstant och variationen sker med samtliga representationsformer, vilket ger goda förutsättningar för att aspekten ska kunna urskiljas. I samband med detta exempel introduceras även definitions- och värdemängd. Dessa beskrivs som de tillåtna x- och y-värdena. Med denna slutna beskrivning är det omöjligt att urskilja att definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal. I texten förklaras även skrivsättet y=f(x) och h(x) samt g(x) ges som exempel på beteckningar som 33

34 kan användas när flera funktioner är inblandade. I ett par av övningsuppgifterna används andra bokstäver för den beroende variabeln medan det helt saknas variation i den oberoende, där används x i varje exempel och uppgift. Därmed är det svårt att anse dimensionen andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen som öppnad. I ett exempel visas grafen till funktionen f(x)=3x-1 och vad f(2) är samt vilket x som ger f(x)=2 efterfrågas. Dessa frågor besvaras både algebraiskt och grafiskt vilket gör att samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer kan uppfattas av eleverna. För var och en av frågorna hålls problemet konstant samtidigt som lösningsmetoden varieras. Men aspekten generaliseras också i och med att den hålls konstant. Olika sätt används fortfarande för att lösa ett problem, samtidigt som själva problemet varieras. Det ges även två exempel på vad definitions- och värdemängden är för olika funktioner. Olika sätt att beskriva mängderna på visas upp, de uttrycks både i ord och med olikheter, men det är i samtliga fall fråga om intervall. Varken i den förklarande texten eller i några av uppgifterna görs det möjligt att urskilja att definitions- och värdemängderna kan anta olika former. Av de tillhörande övningsuppgifterna är en klar majoritet på formen bestäm x för ett givet värde på f(x) eller bestäm f(x) för ett givet värde på x. Detta genomförs för alla olika representationsformer så att dimensionen samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer öppnas även i denna del. I en av uppgifterna ges exempel på två grafer där den ena inte beskriver en funktion. Eleverna får i uppgift att bestämma vilken som inte beskriver en funktion och förklara varför. Detta öppnar dimensionen att alla samband inte behöver utgöras av funktioner genom att exempel och motexempel ställs mot varandra. Det som varieras är helt enkelt grafens utseende, en normal parabel i kontrast mot en roterad 90 grader. Denna variation begränsar dock möjligheten att uppfatta olika drag av aspekten eftersom det endast ges två exempel, som dessutom är begränsade till den grafiska representationen. En kontrastering med avseende på att definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal görs inte förrän i de sista uppgifterna. I dessa ska bland annat f(2a), f(a+1) och f(g(x)) bestämmas när f(x) är given på algebraisk form. Dessa uppgifter anses vara de svåraste i kapitlet och det är en stor risk att många elever aldrig gör dessa och därmed inte får möjlighet att urskilja denna aspekt. I och med att detta är den enda situationen med variation i detta avseende anses denna dimension av variation inte öppnad. I samtliga övningsuppgifter är 34

35 talen som utgör delar av definitions- och värdemängderna, i förutsättningarna och i de beräknade svaren, heltal. Detta betyder även att dimensionen definitions- och värdemängderna kan vara annat än heltal inte öppnas M-serien I M-serien inleds funktionskapitlet med ett exempel där kostnaden för att köpa räkor, f, sägs utgöra en funktion av hur många kilo räkor, x, man köper. Först beskrivs detta samband med ord. Därefter presenteras en värdetabell med sex värden på x och motsvarande y-värden. Sambandet tecknas sedan algebraiskt, f(x)=300x, och beteckningen förklaras genom att kostnaden räknas ut för ett par värden på vikten. Slutligen markeras punkterna från värdetabellen i ett koordinatsystem och en linje dras genom punkterna. I detta inledande exempel framhävs det tydligt att en funktion kan representeras på olika sätt. I och med detta blir det möjligt att urskilja att samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer. Variationen blir tydlig genom att representationsformerna kontrasteras för en situation där övriga aspekter är konstanta. För att visa på vad som inte är en funktion presenteras två grafer tillsammans med frågan vilken av dem som visar hur temperaturen beror av tiden. Graferna utgörs av en vanlig parabel och en parabel roterad 90 grader. Eftersom den andra grafen visar upp olika temperaturer för samma tid konstateras att den inte uppfyller kravet på en funktion. Genom att kontrastera en graf av en funktion med en graf som inte är en funktion kan eleverna inse att alla samband inte behöver utgöras av funktioner. I övningsuppgifterna finns ett ekvivalent exempel men det erbjuder ingen utökad variation och är också begränsat till grafiska representationer. I ett exempel ges funktionen f(x)=2x^3-3x+6 och funktionsvärdet beräknas för x=2, 3, -2 och 2a. Denna variation öppnar upp för att eleverna ska kunna urskilja att definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal. Genom att göra detta för samma funktion blir kontrasten mellan när funktionsvärdet endast blir ett tal och när det blir ett algebraiskt uttryck tydlig. I exemplet efter visas istället hur funktionsvärden kan bestämmas utifrån en graf av funktionen. Därmed kan eleverna se att samma typ av problem kan lösas med olika representationsformer, representationsformen varieras alltså medan problemtypen är 35

36 densamma. Detta är inte ett helt uppenbart exempel på variation i denna dimension då funktionen inte är densamma men exemplens utformning anses ändå tillräckligt bra för att aspekten ska vara möjlig att urskilja. I detta exempel bestäms också funktionsvärdet f(f(-2)), vilket öppnar dimensionen av variation som beskrevs ovan ytterligare. Dimensionen att definitions- och värdemängderna kan vara annat än heltal öppnas i några av de följande övningsuppgifterna där funktionsvärdet blir decimaltal. Detta görs dock i de sista uppgifterna och i ett läge där begreppen definitions- och värdemängd inte har introducerats. Detta gör att dessa uppgifter inte anses bidra till att öppna den ovan beskrivna dimensionen. I uppgifterna varieras dock bokstäverna som används för den beroende och oberoende variabeln, genom att bland annat g(t), P(x) och V(t) används. Denna variation, även om den sker mellan uppgifter med viss skillnad i frågeformulering, görs i flera lägen tydlig och anses öppna dimensionen att andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen. Bland övningsuppgifterna är annars den vanligaste variationen att sambandet mellan olika representationsformer fokuseras och eleverna får göra beräkningar av funktionsvärdet med olika form på den oberoende variabeln. I en uppgift som sticker ut lite ska en graf till funktionen som uppfyller villkoren f(1)=2, f(4)=5, f(0)=3 samt har nollställena x=2 och x=3 ritas. Denna uppgift möjliggör för eleverna att uppfatta att en graf inte nödvändigtvis måste vara av standardformerna räta linjer eller andragradsfunktioner. Det går att skapa en tredjegradsfunktion som uppfyller villkoren men det är mycket tveksamt om eleverna inser det i Matematik 1c. Därmed finns möjlighet för eleverna att urskilja att f(x) går inte alltid att beskriva med en enkel algebraisk formulering. Att eleverna gör kopplingen mellan den grafiska representationen och en möjlig algebraisk beskrivning är dock långt ifrån självklar då detta inte uttryckligen efterfrågas. Men det är en uppgift med potential att utvecklas till att visa upp mer ovanliga grafer av funktioner som kan öka förståelsen för funktionsbegreppet. När definitions- och värdemängd introduceras görs det genom ett exempel där ett rektangulärt område ska inhägnas med en viss mängd stängsel. Arean utgör då en funktion av längden på ena sidan och de tillåtna värdena på arean respektive sidans längd undersöks. Situationen diskuteras både utifrån en tabell med ett antal heltalsvärden på respektive variabel och en graf över funktionen. Definitions- och värdemängen beskrivs sedan med olikheter vilket även är det sätt som de beskrivs på i de efterföljande uppgifterna. Samtliga uppgifter handlar om att bestämma en funktion och sedan dess definitions- och värdemängd. I alla uppgifterna blir 36

37 mängderna kontinuerliga intervall som förväntas beskrivas med hjälp av olikheter. I och med detta öppnas aldrig dimensionen att definitions- och värdemängderna kan anta olika former Sammanfattning Utifrån de ovan givna beskrivningar av variationen i läroböckerna presenteras i tabell 3 en sammanställning av vilka dimensioner av variation som öppnades i respektive bok. De dimensioner som identifierades som öppnade är markerade med ett kryss. Ringarna är dimensioner som diskuterats i analysen ovan men som av någon anledning inte anses öppnade. För de positioner som lämnats blankt förekom det ingen variation värd att nämna. Tabell 3. Sammanställning av vilka dimensioner av variation som öppnades i respektive lärobok. Dimensioner av variation. Exponent Matematik 5000 M-serien - Definitions- och värdemängd kan vara andra tal än heltal. O O - Definitions- och värdemängd kan var annat än tal. X O X - Definitions- och värdemängderna kan anta olika former (kontinuerlig, diskret). X O O - Alla samband behöver inte utgöra funktioner. X X X - Samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer. X X X - Samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer. X X X - Funktioner kan inte alltid beskrivas med sammanhängande grafer. O - Det är skillnad på funktionsvärdet, f(x), och funktionsregeln. X - Andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen. X O X - Funktionsregeln går inte alltid att beskriva med en enkel algebraisk formulering. X O 6.3 Proceduriell och begreppslig variation I detta avsnitt ges exempel på situationer där respektive lärobok använder sig av proceduriell och/eller begreppslig variation. Situationerna beskrivs och analyseras utifrån de kriterier som diskuterats i metoddelen. 37

38 6.3.1 Exponent Funktionsbegreppet introduceras i Exponent med sambandet mellan ett antal namn och antalet bokstäver i respektive namn. I denna framställningen används mängder vilket gör kopplingen mellan begreppen funktion samt definitions- och värdemängd tydlig. Symbolen f(x) och användningen av mängdklamrar tillämpas på detta inledande exempel och utvidgas sedan till situationer där mängderna är tal och regeln är ett algebraiskt uttryck. Detta upplägg innebär en tydlig övergång från ett konkret inledande exempel till den matematiska beskrivningen av en funktion och användningen av samma principer i mer abstrakta sammanhang. Ett sådant sätt att närma sig ett begrepp är alltså i enighet med kriterierna för begreppslig variation. Det visas även exempel på vad som inte är funktioner, både genom mängder och grafer. Exempelvis ges samband mellan mängder där ett element i definitionsmängden kopplas till två i värdemängden och en uppsättning grafer där enbart vissa är funktioner. Detta utgör exempel på hur exempel och motexempel kan användas för att belysa viktiga egenskaper hos ett begrepp. I en del som kallas utmaningen och ligger utanför de vanliga uppgifterna får eleverna en tabell med sambandet mellan portot och ett pakets vikt. De olika priserna gäller upp till en viss högsta vikt på paketet. Eleverna får sedan frågorna vad det innebär att rita grafen som en sammanhängande linje eller som en trappa med vågräta streck. I uppgiften efterfrågas också vilken av modellerna som beskriver sambandet på ett riktigt sätt. I denna uppgift visas på skilda sätt att beskriva en situation och eleverna tvingas genom frågorna att reflektera över vad deras svar innebär. Denna sorts uppgifter, där specialfall används för att utmana elevernas förståelse är precis vad som framhävs i beskrivningar av begreppslig variation. Denna uppgift ligger dock som en extrauppgift, benämns som en utmaning och det är troligt att många elever inte tar sig an den utan en uppmaning från läraren. Det är även det enda exemplet på en situation där elevernas förståelse utmanas på detta sätt. Uppgifterna är ofta upplagda på samma sätt men tillämpas i olika situationer. Detta gör att eleverna får uppleva hur begreppen kan användas på olika sätt samtidigt som eleverna får använda samma procedurer till att lösa olika problem, vilket är en av idéerna med proceduriell variation. Ett extremfall på denna typ av variation ges i avsnittet om definitions- och värdemängd. Där finns sju uppgifter på rad som alla har följande upplägg: först ges en beskrivning av en verklig situation och sedan efterfrågas, a) en funktion som beskriver 38

39 situationen, och b) funktionens definitions- och värdemängd. Denna situation kan lätt avfärdas som typiskt repetitionstragglande men analyseras uppgifterna närmare finns det en del viktiga skillnader mellan dem. Dessa skillnader ligger exempelvis i hur funktionen kan bestämmas utifrån den givna informationen eller hur definitions- och värdemängden beror på situationen. Detta gör att uppgifterna har potential att bidra till en ökad förståelse hos eleverna men det är ändå ett gränsfall om de viktiga delarna kommer fram när upplägget är så pass omfattande. Här är det just bristen på systematisk variation som gör uppgiften till ett tveksamt fall av proceduriell variation Matematik 5000 I och med att det finns ett relativt stort kapitel där eleverna får arbeta med olika samband före funktionsbegreppet introduceras kan inledningen inte bedömas helt fristående från detta. När funktionsbegreppet introduceras ges direkt definitionen följt av en kort beskrivning av hur arean av en kvadrat kan beskrivas med olika representationsformer samt definitioner av definitions- och värdemängd. Just denna del är väldigt komprimerad och ger inte möjlighet att förstå dessa begrepp utifrån mer konkreta situationer. Däremot har samband beskrivits, till stor del med grafer av vardagliga situationer, i föregående avsnitt. På så sätt har eleverna fått en del av den konkreta upplevelsen av funktionsbegreppet innan det egentligen introduceras. Detta kan ses som ett sätt att använda begreppslig variation till att förklara ett matematiskt begrepp. Det görs dock en tydlig skillnad i den grafiska representationen när funktionsbegreppet introduceras som eventuellt skulle kunna påverka elevernas förmåga att koppla samman det konkreta med det abstrakta. I den inledande delen är samtliga grafer som presenteras oregelbundna, det vill säga att de består av både vertikala, horisontella och sneda linjesegment kopplade till varandra. När funktioner sedan introduceras används endast räta linjer och ett par andragradsfunktioner. När det blir en så drastisk skillnad i hur samband och funktioner presenteras är det inte självklart att eleverna överför det de insett rörande den konkreta beskrivningen till den mer abstrakta. I uppgifterna är det inte möjligt att identifiera några exempel som kan sägas använda proceduriell variation för att förbättra elevernas förståelse. Alla uppgifter är korta och fokuserar på att repetera standardprocedurer. Dessutom finns det inte någon tydlig struktur i 39

40 ordningen uppgifterna presenteras i så risken är stor att eleverna upplever att uppgifterna helt saknar koppling till varandra M-serien Att introducera funktionsbegreppet med att gå igenom olika representationsformer för ett konkret exempel (kostnaden för att köpa räkor som en funktion av hur mycket man köper) är ett sätt att använda begreppslig variation för att introducera ett begrepp. På detta sätt går man från den konkreta beskrivningen av situationen till mer abstrakta beskrivningar av sambandet i form av den grafiska och algebraiska representationen. Därefter ges den formella definitionen av en funktion, vilken i högsta grad kan ses som abstrakt men som det är möjligt för eleverna att förstå med hjälp av det föregående exemplet. Även i introduktionen till definitions- och värdemängd utgår man från en konkret situation, ett område som ska inhägnas med en viss mängd staket. Utifrån detta diskuteras vilka värden som är möjliga och som slutligen leder fram till en mer strikt matematisk definition av begreppen. I ett exempel och även i en av uppgifterna visas egenskapen att ett x-värde ska ge precis ett y- värde genom att två grafer ställs mot varandra. Den ena har denna egenskap och den andra har den inte. Detta kan ses som en situation där begreppslig variation, i form av exempel och motexempel, används för att visa på viktiga egenskaper hos ett begrepp. Detta är dock det enda exemplet på denna typ av variation, även om det finns fler situationer där det skulle kunna vara användbart. Det enda exemplet på proceduriell variation i någon utsträckning fås från en uppgift där volymen V i en vattentank avtar med tiden x enligt formeln V(x)= x. Frågorna är sedan i tur och ordning att beräkna V(0), tolka V(0), beräkna V(150), beskriva sambandet med en värdetabell, rita en graf över sambandet och bestämma efter hur långt tid tanken är tom. I denna uppgift får eleven genom en serie frågor möjlighet att se hur funktioner kan användas och reflektera över hur situationen kan förstås utifrån olika representationsformer. Uppgiften skulle dock kunna utvecklas till att visa på ännu fler kopplingar mellan representationsformerna genom att ställa frågor kopplade till de representationsformer som eleverna ska skapa. Det skulle exempelvis kunna handla om vilka värden som kan beräknas i värdetabellen eller om grafen kan ritas som en oändligt utsträckt rät linje. Som uppgiften är 40

41 formulerad i nuläget finns möjligheten att eleven kommer till nya insikter själv men det är långt ifrån självklart. 6.4 Sammanfattning av resultat Utifrån analysen av läroböckerna går det att dra en hel del övergripande slutsatser. För det första kan det konstateras att böckerna använder sig av begreppslig och proceduriell variation i begränsad utsträckning. Den begreppsliga variationen återfinns i något fler situationer, t.ex. används principer som är i enighet med begreppslig variation i samband med introduktionen till funktionsbegreppet. Böckerna använder sig av konkreta situationer som inledande exempel och utgår sedan från detta när de redogör för de mer abstrakta matematiska beskrivningarna av begreppet. Exempel/motexempel används för att illustrera att ett element i värdemängden endast får lov att svara mot ett element i definitionsmängden. Användandet av exempel/motexempel är dock begränsad till detta fall. Även användandet av icke-standard situationer är i princip helt frånvarande. Definitions- och värdemängderna samt utseendet på grafer av funktioner är exempel på egenskaper som skulle kunna varieras med icke-standard situationer. Det finns alltså möjlighet att använda sig av denna slags begreppslig variation i flera situationer i böckerna men dessa möjligheter tas inte tillvara på. I samtliga böcker saknas möjligheter för eleverna att upptäcka samband och strukturer genom större uppgifter eller aktiviteter, vilket är en av de centrala idéerna kring användandet av proceduriell variation. Det finns enstaka tillfällen där det skulle vara möjligt men det är långt ifrån självklart. När det dessutom saknas genomtänkt variation i dessa uppgifter är det svårt att identifiera någon slags proceduriell variation. 41

42 7. Diskussion I detta kapitel diskuteras studiens resultat. Detta betyder att både själva resultaten av analysen tas upp men även att själva analysmetoden diskuteras, eftersom konstruktionen av den utgjorde ett av studiens syften. Avslutningsvis presenteras några förslag till vidare forskning. 7.1 Resultatdiskussion Analysen av läroböckerna ledde fram till att tio dimensioner av variation identifierades i böckerna. Av dessa var det vissa som var mer framträdande än andra. Flera av dimensionerna berörde olika representationsformer. Detta är kanske inte så konstigt eftersom det skrivs fram tydligt i det centrala innehållet att olika representationsformer ska vara en del av undervisningen. Det är möjligt att en viss naturlig variation då uppstår som en följd av denna formulering och inte beror på ett mer avsiktligt varierande från författarna. Detta syns t.ex. också genom den bristande variation som finns kring begreppen definitions- och variationsmängd, vilka formuleras annorlunda i styrdokumenten. Att kontrastering är det vanligast förekommande variationsmönstret är inte så konstigt med tanke på att detta även enligt teorin anses vara det inledande mönstret. Problemet uppstår dock när det inte finns någon möjlighet att sammanföra olika aspekter genom generalisering och fusion. De dimensioner som identifierats har stora likheter med de huvudsakliga delar som har beskrivits som problematiska i tidigare forskning. Att dessa delar tas upp är bra men samtidigt så är variationen i delarna relativt liten. Denna bristande variation är viktig att vara medveten om som lärare. Svaret på frågan hur läroböcker använder sig av proceduriell och begreppslig variation beskrivs i analysen men den stora slutsatsen är ändå att det återfinns i liten utsträckning. Avsaknaden av begreppslig och framförallt proceduriell variation kan utifrån analysen uppfattas som något väldigt negativt. Men det bör tas i beaktande att dessa variationsformer syftar till att stärka elevernas förståelse för olika begrepp. Det kan finnas andra syften med matematikuppgifter än att just skapa ökad förståelse. Det kan exempelvis vara av intresse att eleverna behärskar vissa standardprocedurer och detta kan då försöka övas in genom att helt enkelt göra många liknande uppgifter. Problemet blir snarare när denna del av undervisningen blir den styrande. Läroböckernas användning av variation påminner om de beskrivningar av 42

43 amerikanska böcker som ges i annan forskning där de jämförts med kinesiska böcker (Ji-Won & Qintong, 2015; Yeap, Ferrucci & Carter, 2006). Det ska även framhållas att denna studie varken syftar till eller kan göra anspråk på att dra några större slutsatser om t.ex. resultaten är generella drag för hela böckerna eller om någon viss bok är bättre än någon annan. Resultatet visar mer på vilka aspekter som bör tas i beaktande vid undervisning om funktionsbegreppet och bidrar även med idéer om hur undervisningen kan genomföras. Givetvis kan det också finnas viktiga aspekter och variationsmönster som inte finns med i böckerna eller som inte identifierats i analysen. En slutsats som jag tar med mig från detta arbete är vikten av att tänka igenom vad eleverna faktiskt lär sig när de arbetar med ett visst innehåll. Som konstaterades redan i inledningen är det viktigt att läraren själv reflekterar över hur läroboken ska användas i undervisningen (Johansson, 2006; Skolverket, 2015). 7.2 Analysdiskussion Detta arbete visar på att det är möjligt att analysera den innehållsliga variationen i matematikläroböcker. Ett av arbetets syften var just att skapa en metod för att genomföra denna analys, vilket har uppfyllts i och med att en metod presenteras och tillämpas. Dock kvarstår frågan huruvida den konstruerade metoden faktiskt är bra. Att flera av de aspekter som identifieras även återfinns som missuppfattningar i tidigare forskning pekar på att det finns något bra med metoden. Men för att säkerställa kvalitén i metoden skulle även andra jämförelser behövas. Exempelvis skulle undersökningen behöva upprepas för att testa om den då leder till liknande resultat. Metoden skulle även kunna tillämpas på andra områden för att se om den faktiskt går att generalisera till andra delar av gymnasiematematiken. Under arbetets gång har själva upplägget i analysen justerats flera gånger. Användningen av proceduriell och begreppslig variation som en del i analysen var inte med i den ursprungliga idén till arbetet utan framkom utifrån studiet av tidigare forskning. Att kombinera variationsteorin med begreppslig och proceduriell variation är något som har diskuterats (Gu, Huang & Marton, 2004). Utifrån hur detta arbete genomförts tror jag att det skulle vara möjligt att använda en mer enhetlig analysmetod som tar inspiration från båda perspektiven. Under analysen dök det upp flera situationer där en kombination av synsätten hade kunnat ge bättre verktyg för att beskriva situationen. Ett sådant analysverktyg skulle verkligen kunna 43

44 sätta fokus på vad som faktiskt lärs genom ett visst innehåll och även hur detta innehåll kan hanteras i undervisningen. Analyser av den innehållsliga variationen bortser från flera andra aspekter än just innehållet. Detta kan ses som en styrka för den enskilda analysen men samtidigt begränsar det möjligheten att säga något om lärande i ett större perspektiv. Vid genomförandet av den här typen av analyser är forskarens roll viktig. Genom att ha formulerat en tydlig beskrivning av hur analysprocessen utfördes kan reliabiliteten i studien ses som stark. Trots detta är tolkningarna och analysen av innehållet beroende på den specifika forskaren. Här spelar min egen kunskap inom området givetvis in. Dels påverkar det jag redan vet om funktionsbegreppet hur jag uppfattar innehållet i böckerna, även om jag också försökt inta ett elevperspektiv. Men även min egen begränsade erfarenhet, både gällande undervisning och användning av variationsteorin, påverkar antagligen hur jag uppfattar innehållet. Med en mer erfaren forskare som genomfört analysen är det möjligt att andra dimensioner av variation hade kunnat identifieras. 7.2 Vidare forskning Under detta arbete har många nya idéer till vidare forskning dykt upp. Metoden som detta arbete genomförts utifrån är möjlig att tillämpa på andra delar av gymnasiematematiken. Undersökningar som denna kan hjälpa läraren att identifiera nya dimensioner av variation och även ge idéer kring hur variation i dessa kan genomföras. Men just läroboksanalyser skulle också behöva kompletteras med andra metoder, exempelvis klassrumsobservationer, för att faktiskt koppla variationen till riktiga elevgrupper. I princip samma metod skulle kunna användas men då med ett annat analysmaterial. En annan möjlighet är att konstruera lektionssekvenser utifrån variationsteorin samt kombinera teorin med begreppen proceduriell och begreppslig variation. Det hade varit intressant att intervjua läroboksförfattarna för att höra hur de resonerat när de designat böckerna. Att undersöka hur de tänkt kring sättet att introducera innehållet, vad de tänker sig att eleverna ska få ut av uppgifterna, hur materialet bör behandlas och i vilken utsträckning de använt sig av variation när de konstruerat böckerna hade alla varit intressanta frågor att få svar på. 44

45 Utifrån den litteratur som har studerats under arbetets gång hade det också varit intressant att undersöka asiatiska läroböcker, framförallt från de länder där variation är ett viktigt inslag i undervisningen. Att jämföra hur begrepp introduceras och vilka uppgifter som används i dessa länders läroböcker med hur samma saker presenteras i svenska böcker hade antagligen kunnat ge många nyttiga insikter. Problemet med detta är bara att det kan vara svårt att hitta ett innehåll som går att förstå, om man inte behärskar t.ex. kinesiska. Det är möjligt att det finns böcker översatta till engelska som skulle kunna användas men det skulle behöva undersökas närmare i en framtida studie. 45

46 8. Referenser Alfredsson, L., Bråting, K., Erixon, P., & Heikne, H. (2011). Matematik 5000 Kurs 1c Blå Lärobok. Stockholm: Natur & Kultur. Bardini, C., Pierce, R., Vincent, J., & King, D. (2014). Undergraduate mathematics students understanding of the concept of function. Indonesian Mathematics Society - Journal on Mathematics Education, 5, Hämtad från: Bowden, J., & Marton, F. (1998). The university of learning. London: Kogan Page. Cohen, L., Manion, L., & Morrison, K. (2011). Reasearch methods in education (7 uppl.). New York: Routledge. Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken: För småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna (3 uppl.). Lund: Studentlitteratur. Gennow, S., Gustafsson, I-M., & Silborn, B. (2011). Exponent 1c [matematik för gymnasiet]. Malmö: Gleerups. Gu, L., Huang, R., & Marton, F. (2004). Teaching with variation: A Chinese way of promoting effective mathematics learning. I L. Fan (Red.), How Chinese learn mathematics: Perspectives from insiders (ss ). Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Holmström, M., Smedhamre, E., & Sjunnesson, J. (2012). Matematik M 1c (2 uppl.). Stockholm: Liber. Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn? (Göteborg studies in educational sciences, nr. 262). Doktorsavhandling, Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. 46

47 Ji-Won, S., & Qintong, H. (2016). The initial treatment of the concept of function in the selected secondary school mathematics textbooks in the US and China. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 47, doi: / X Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: A classroom and curricular perspective (Luleå tekniska universitet, nr. 2006:23). Doktorsavhandling, Luleå: Luleå tekniska universitet. Lai, M.L., & Murray, S. (2012). Teaching with procedural variation: A Chinese way of promoting deep understanding of mathematics. International Journal for Mathematics Teaching and Learning. Hämtad från: Li, Y. (2000). A comparison of problems that follow selected content presentations in American and Chinese mathematics textbooks. Journal for Research in Mathematics Education, 31, doi: / Lo, M.L. (2014). Variationsteori - för bättre undervisning och lärande. Lund: Studentlitteratur. Marton, F. (2015). Necessary conditions of learning. New York: Routledge. Marton, F., & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur. Marton, F., Runesson, U., & Tsui, A. B. M. (2004). The space of learning. I F. Marton & A. B. M. Tsui (Red.), Classroom discourse and the space of learning (ss. 3 40). Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum. Nitsch, R., Fredebohm, A., Bruder, R., Kelava, A., Naccarella, D., Leuders, T., & Wirtz, M. (2015). Students competencies in working with functions in secondary mathematics education - empirical examination of a competence structure model. International Journal of Science and Mathematics Education, 13, doi: /s

48 Nyikahadzoyi, M.R. (2015). Teachers knowledge of the concept of a function: A theoretical framework. International Journal of Science and Mathematics Education,13, doi: /s Pang, M.F., & Marton, F. (2007). The paradox of pedagogy: The relative contribution of teachers and learners to learning. Iskolakultura Online, 1, Hämtad från: Pettersson, K. (2008). Algoritmiska, intuitiva och formella aspekter av matematiken i dynamiskt samspel (Doktorsavhandlingar vid Chalmers tekniska högskola). Doktorsavhandling, Göteborg: Instutitionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola. Runesson, U. (2005). Beyond discourse and interaction. Variation: A critical aspect for teaching and learning mathematics. Cambridge Journal of Education, 35, doi: / Sajka, M. (2003). A secondary school student s understanding of the concept of function a case study. Educational Studies in Mathematics, 53, doi: /A: Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, doi: /BF Skolinspektionen. (2010). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan (Skolinspektionens rapport, nr. 2010:13). Stockholm: Skolinspektionen. Skolverket. (2003). Lusten att lära- med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket. Skolverket. (2011a). Ämne- Matematik [Kommentarsmaterial till ämnesplanen]. Hämtad från: kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/sok-amnen-kurser-och- 48

49 program/subject.htm?subjectcode=mat&lang=sv&tos=gy Skolverket. (2011b). Ämne- Matematik [Ämnesplan]. Hämtad från: Skolverket. (2015). På vilket sätt kan läromedel styra undervisningen? Hämtad från Vinner, S., & Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education, 20, doi: / Vetenskapsrådet. (2011). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet. Hämtad från: Watson, A. (2003). Opportunities to learn mathematics. I Mathematics education research: Innovation, networking, opportunity. Proceedings of the 26th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, July (ss ). Geelong: Deakin University. Watson, A., & Mason, J. (2006). Seeing an exercise as a single mathematical object: Using variation to structure sense-making. Mathematical Thinking and Learning, 8, doi: /s mtl0802 Wernberg, A. (2009). Lärandets objekt: Vad elever förväntas lära sig, vad görs möjligt för dem att lära och vad de faktiskt lär sig under lektionerna. (Nationella forskarskolan i pedagogiskt arbete). Doktorsavhandling, Umeå: Umeå universitet. Yeap, B-H., Ferrucci, B., & Carter, J. (2006). Comparative study of arithmetic problems in Singaporean and American mathematics textbooks. I. F.K.S. Leung, K-D, Graf & F.J. Lopez-Real (Red.), Mathematics education in different cultural traditions: A 49

50 comparative study of East Asia and the West (ss ). USA: Springer. Zhang, J., Wang, R., Huang, R., & Kimmins, D. (2017). Strategies for using variation tasks in selected mathematics textbooks in China. I R. Huang & Y. Li (Red.), Teaching and learning mathematics through variation: Confucian heritage meets western theories (ss ). Rotterdam: Sense Publishers. Zhu, Y., & Fan, L.H. (2006). Focus on the representation of problem types in intended curriculum: A comparison of selected mathematics textbooks from mainland China and the United States. International Journal of Science and Mathematics Education, 4, doi: /s

51 9. Bilagor 9.1 Bilaga 1 Exempel på det analyserade innehållet i Exponent (Gennow, Gustafsson & Silborn, 2011). 51

52 9.2 Bilaga 2 Exempel på det analyserade innehållet i Matematik 5000 (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne, 2011). 52

53 9.3 Bilaga 3 Exempel på det analyserade innehållet i M-serien (Holmström, Smedhamre, Sjunnesson, Jakobsson & Nilsson, 2012). 53