Problem med verklighet i skolan

Transkript

1 Problem med verklighet i skolan Foong Pui Yee & Koay Phong Lee Här berättar två lärarutbildare från Singapore om en undersökning kring problemlösning. Många elever löser matematikproblem på ett sätt som tyder på att de inte relaterar dem till verkligheten. Författarna anser att detta är ett resultat av undervisningstraditionen. Hur ser motsvarande tradition ut hos oss? Har våra elever liknande svårigheter? Tradition och läroboksstyrning Foong Pui Yee & Koay Phong Lee arbetar vid National Institute of Education, Singapore. Pui Yee gästade Nämnaren och Matematikavdelningen under ett par månader hösten 1998 och vi kommer att publicera flera artiklar från Singapore i kommande nummer. Översättning av redaktionen. I traditionell aritmetikundervisning används ofta en förenklad form av problem, sk benämnda uppgifter, för att eleverna ska träna användning av de fyra räknesätten. Dessa problem formuleras med en given uppsättning information så att eleverna kan ta sig an uppgiften genom att endast välja det räknesätt som leder till lösningen. Sådana standardiserade uppgifter medför en oönskad stelbenthet hos eleven och deras svar blir mycket mekaniska. Eleverna tenderar att bortse från den situation som beskrivs. I stället börjar de direkt undersöka möjliga sätt att kombinera talen. Denna strategi för att finna rätt räknesätt och att beräkna svaret utvecklas ständigt i skolan. Eleverna får mängder av arbetsblad och övningar med vilka de ska lära sig konstgjorda språkliga ledtrådar och jämföra med tidigare, till synes likadana, uppgifter de löst. Sådana genvägar till färdigheter utvecklar inte elevernas förmåga att lösa verkliga problem. Studier har visat att användningen av sådana stereotypa problem i undervisningen hindrar elevernas problemlösningsförmåga (Davis, 1989; Greer, 1993; Verschaffel, De Corte & Lasure, 1994). Eftersom skolans benämnda uppgifter inte motsvarar verklighetens problem, är det ofta så att eleverna inte relaterar dessa till verkligheten och tar hänsyn till situationen. Följande problem om förhållande och proportionalitet är hämtat från en lärobok som ofta används i våra skolor. En maskinskriverska kan skriva 575 ord på 25 minuter. Hur lång tid skulle de ta för henne att skriva (a) ord, (b) ord? Lärare och läroboksförfattare kan uppfatta detta som ett verkligt problem, men det finns orealistiska antaganden i det. Man antar implicit att en maskinskriverska kan skriva 3680 eller 8855 ord med samma hastighet som hon skriver 575 ord. Elever i Secondary One har nog en förnuftig uppfattning om produktivitet och de har själva erfarit uttröttningseffekter när det gäller prestationer, men hur många av dem skulle överföra den kunskapen till lösningen av problemet? Hur många av dem skulle ifrågasätta problemformuleringen och svaret i läroboken? Hur många matematiklärare skulle verkligen diskutera modellens problematiska antaganden med klassen? Bussproblemet från the Third National Assessment of Educational Progress (NAEP) är ett av de bäst dokumenterade exemplen som handlar om elevers svårigheter att använda sunt förnuft när de löser problem: 6 Nämnaren nr 4, 1998

2 Skolan i Singapore I Singapore börjar barnen skolan vid 6 års ålder. Primary School är 6 år och avslutas med en examen. Examensresultaten i engelska, modersmål (kinesiska, malayiska) och matematik ligger sedan till grund för nivågupperingar från och med Secondary One, vilket motsvarar vår årskurs 7. De 10 % av eleverna som presterat bäst resultat går till Special stream. De därefter, omkring 40 %, går till Express stream och resten går till Normal stream. Eleverna i Normal stream går 5 år i Secondary School, medan de övriga går 4 år. Det som i texten kallas Lower Secondary skulle alltså motsvara årskurs 7-8, men med ett år yngre elever än hos oss. I den undersökning som artikeln berättar om finns inte elever från Special stream med. Artikeln speglar ett något annorlunda sätt att se på matematikämnet än det vi har. Exempelvis skulle inte vi betrakta en elev som duktig i matematik om den bara var en duktig räknare, utan tolkning och tillämpning ingår som en del av matematiken hos oss. Redaktionen En armébuss kan ta 36 soldater. Hur många bussar behövs om 1128 soldater ska bussas till sitt övningsfält? Omkring 70% av eleverna kunde på ett korrekt sätt utföra beräkningen och få kvoten 31 med resten 12, men endast 32% klarade att avgöra att det var 32 bussar som behövdes. De flesta elever gav ett svar som inte blev rimligt om problemet betraktas fullt ut, t ex svaren 31 rest 12 eller 31. Schoenfeld (1991) säger att sådana elever ägnar sig åt att tillfälligt utestänga meningsfullheten. De misslyckas med att se att lösningen inte är meningsfull i förhållande till problemet. I stället använder de ett stereotypt tänkande och löser problemet med det som de anser vara den lämpligaste operationen. Autentiska situationer Om elever ges möjlighet att engagera sig i problem från verkligheten, där en analys av situationen snarare efterfrågar alternativ än bara beräkning skulle absurda svar kunna undvikas. Om vi använder det tidigare problemet med maskinskriverskan, skulle det kunna formuleras som ett verkligt problem: Du ska på maskin skriva ut en uppsats på ord. Uppsatsen skall betygsättas. Hur lång tid skulle det ta? Elevernas främsta uppgift blir nu att finna relevant information för att kunna lösa problemet. Då måste de fatta en del beslut, t ex när på dagen det är bäst att arbeta, när de är mest produktiva och om de kan använda ordbehandlare. Här ska vi berätta om en undersökning från Singapore där vi undersökt i vilken grad elever i Lower Secondary Schools använde sina vardagskunskaper när de löste problem av olika slag (Koay & Foong, 1996). Studiens resultat borde påverka undervisningen enligt den reviderade kursplanen i matematik, vilken betonar utveckling av problemlösning och mer komplext tänkande hos våra elever. En studie i Singapore 156 elever i Secondary One (79 Normal och 77 Express stream) och 148 elever i Secondary Two (73 Normal och 75 Express) från åtta skolor valdes ut till studien. Dessa elever hade lång erfarenhet av att lösa traditionella benämnda uppgifter. Varken deras lärare eller läroböckerna hade behandlat realistiska överväganden vid problemlösning. Benämnd uppgift är här en sådan som ofta finns i läroböcker. Den är vanligen kontextoberoende och en korrekt beräkning med givna tal ger rätt lösning. Benämningen problem från verkligheten är ett sådant där eleverna måste ta hänsyn till det sammanhang problemet är en del av. Enbart korrekta beräkningar le- Nämnaren nr 4,

3 der sällan till en korrekt lösning av ett sådant kontextberoende problem. Studien ville försöka besvara följande frågor: 1. Visar elever i Singapore en stark tendens att använda stereotypt tänkande när de löser problem med realistiskt innehåll, så att de därmed löser dem som standarduppgifter? 2. Beror elevernas förmåga att känna igen verklighetens begränsningar i ett problem på problemsituationen? 3. Om man jämför elever i Normal stream med elever i Express stream, är då elever i Express stream mer medvetna om det stereotypa tänkandets begränsningar när det gäller autentiska problem. Våra problem Vi använde, något modifierade, par av uppgifter, som tidigare använts i liknande studier (Greer, 1993; Verschaffel et al. 1994). Varje par bestod av en benämnd uppgift (spalten till vänster nedan) och ett problem från verkligheten (spalten till höger). Uppgifterna fanns i två varianter. Svaret skrevs på en svarsrad och eleverna fick också visa sina lösningar och förklara sina svårigheter, om de haft några, på en plats för kommentarer. Klassläraren delade slumpmässigt ut de två varianterna av testet i klassen under en vanlig lektion. Eleverna fick minimalt med instruktioner. Om de ställde frågor under arbetets gång skulle lärarna neutralt uppmuntra eleverna att skriva ner sina svårigheter på platsen för kommentarer. 1. Antal gäster David skulle ha födelsedagskalas. Han bjöd 15 pojkar och 11 flickor. Hur många barn bjöd David till kalaset? 2. Hur lång tid? Ett tågs medelhastighet är 50 km /h. Hur lång tid tar det för tåget att färdas 250 km? 3. Delning Hur kan 4 barn på ett kalas dela på 14 Kit-kats chokladkakor? 4. Avstånd Ali gick på en promenad i naturen. Han gick 7 km innan han vilade 15 minuter. Sen fortsatte han att gå 12 km till han nådde målet. Hur lång var hans vandring? 5. Fylla kolvar Denna kolv fylls från en kran med konstant hastighet. Om vattnet når 2,4 cm upp efter 10 sekunder, hur högt når det efter 30 sekunder? May Ling har 7 kamrater och May Lee har 9. De hade ett gemensamt kalas i slutet av terminen. De bjöd alla sina vänner och alla kom. Hur många kamrater var på kalaset? Ahmads bästa tid på 100 meter är 13 sekunder. Vilken tid skulle han få på 800 meter? Hur kan 4 barn på ett kalas dela på 14 ballonger? Ali och Ah Meng går i samma skola. Ali bor 24 km från skolan och Ah Meng 12 km. Hur långt från varandra bor Ali och Ah Meng? Denna kolv fylls från en kran med konstant hastighet. Om vattnet når 2,4 cm upp efter 10 sekunder, hur högt når det efter 30 sekunder? 8 Nämnaren nr 4, 1998

4 Stereotypt tänkande Hur eleverna svarade på problemen från verkliga situationer framgår av tabell 1. Deras svar har kategoriserats enligt Verschaffel et al. (1994). Förväntat svar, FS resultat av stereotypt tänkande med direkt användning av den beräkning som problemformuleringen lockar fram. Realistiskt svar, RS resultat av en effektiv användning av kunskaper om den verkligheten som problemet behandlar. Inget svar IS inget svar, eller då eleven skriver att han eller hon inte vet hur problemet ska lösas eller andra svar som inte kan kategoriseras som förväntat eller realistiskt svar. Bortsett från uppgift 3 gav alla omkring 80% eller fler svar som kategoriserats som förväntade. Detta tyder på att majoriteten av eleverna i undersökningen använde sig av ett stereotypt tänkande och utförde beräkningar utan att tänka på de verkliga förhållandena i problemsituationen. Tabell 1 visar att eleverna i denna studie inte använde sina kunskaper om verkligheten när de löste problemen. Tecken på att eleverna kan känna igen begränsningar som beror på situationen visas bara i uppgift 3, som handlar om att dela ballonger. Av de fem problemen är detta det där relativt sett flest elever använde sina kunskaper om verkligheten. Man kan anta att eleverna, utan att de behöver föreställa sig vad som skulle hända om man delar ballonger i delar, känner väl till att ballonger lätt spricker. Dessa resultat stämmer väl överens med Greers (1993). Här följer en mer detaljerad analys av svaren på några problem. Hur kan 4 barn på ett kalas dela på 14 ballonger? De flesta insåg att det i praktiken inte skulle gå att dela ballongerna genom att dela de återstående två i halvor, och gav det realistiska svaret 3 till var och en. 19,1 % av Tabell 1. Fördelning av svar på problem från verkligheten i procent, N = 304. FS RS IS 1 Antal gäster Hur lång tid? Dela ballonger Avstånd Fylla kolvar eleverna gav förnuftiga förslag på vad man skulle göra med de återstående två ballongerna. De föreslog bl a: smälla dem, ge dem till det yngsta eller "bästa" barnet, kasta dem eller behålla dem för att använda vid senare tillfälle. 18,4 % av dem gav inget svar men visade att 14 inte kan delas med 4, det skulle bli en rest på 2. Bland dem som gav andra svar tycktes sex elever medvetna om att det skulle bli omöjligt att ge samma antal ballonger till varje barn. De svarade två får fyra och två får tre. En elev avrundade kvoten 3,5 till 4 i stället för till 3. Sammantaget var det bara 4,1 % av svaren som inte visade på omöjligheten att dela ballonger i halvor. May Ling har 7 kamrater och May Lee har 9. De hade ett gemensamt kalas i slutet av terminen. De bjöd alla sina vänner och alla kom. Hur många kamrater var på kalaset? Precis som i den belgiska studien (Verschaffel et al. 1994), gav inte någon ett realistiskt svar på denna uppgift. Ett rimligt antagande i det här fallet skulle vara att de två flickorna är goda vänner och att de har gemensamma kamrater. Därför skulle ett realistiskt svar ha varit "det går inte att säga". 84,7 % av våra elever gav det förväntade svaret 16, som man får genom att summera de givna talen. Några av dessa elever kommenterade att frågan var "mycket lätt". Några skrev inte något på svarsplatsen men påpekade att May Lee och May Ling skulle kunna vara kamrater och en trodde att de var systrar. Omkring 12 % Nämnaren nr 4,

5 ökade summan av 7 och 9 med två, där några förklarade det med att de två flickorna var kamrater och också borde räknas. Ahmads bästa tid på 100 meter är 13 sekunder. Vilken tid skulle han få på 800 meter? 79 % av eleverna gav det förväntade svaret 104 sekunder, eller 1 minut och 44 sekunder. Endast 3,8 % gav ett realistiskt svar mer än 104 sekunder. De tycktes vara medvetna om att det är omöjligt att springa 800 m och 100 m med samma hastighet. De två kommentarer vi fick var: "När han sen kommer mot mål borde han bli trött och sakta ner." "Ahmas hastighet kan nog inte vara konstant eftersom han ska springa 800 meter" Några elever svarade inte, men gav kommentarer antingen om omöjligheten för en löpare att hålla konstant hastighet på den längre distansen eller om att det skulle gå långsammare på grund av brist på uthållighet. Denna kolv fylls från en kran med konstant hastighet. Om vattnet når 2,4 cm upp efter 10 sekunder, hur högt når det efter 30 sekunder? Som väntat svarade de flesta som om det handlade om direkt proportionalitet. Eleverna brydde sig inte om kolvens form. Man kan förmoda att de flesta elever i denna ålder är medvetna om att vattennivån inte stiger med konstant hastighet i en konformad kolv. Ändå var det mycket få elever i undersökningen som kunde aktivera denna fysikaliska kunskap när de skulle lösa uppgiften. Endast en elev gav ett realistiskt svar "högre än 7,2 cm". Han kommenterade dock inte sitt svar. Några lämnade svarsplatsen tom men gav vettiga skäl till varför de inte lämnade någon lösning. " kolven har en oregelbunden form" " kolven är konisk" " kolvens sida är inte 90 o " " kolven är inte rak". Jämförelse mellan Normal och Express stream Tabell 2 på nästa sida visar fördelningen av svaren på de fem problemen från verkligheten för elever i Normal resp Express stream. Deras prestationer på detta test är ganska lika. Resultatet i denna undersökning visar att färdigheter i matematik inte tycks vara relaterade till förmågan att använda kunskaper om verkligheten vid lösning av textproblem. Slutsatser och förslag Resultaten visar att vi i vår undervisning någonstans på vägen misslyckas med att betona hur viktigt det är att göra kopplingar mellan skolans matematik och verkligheten. Elever anser inte att textproblem i skolan har med verkligheten att göra. Lärare formulerar väl avgränsade problem där eleverna inte behöver bry sig om att ta hänsyn till situationen. För eleven är det viktigast att känna igen vissa nyckelord för att kunna välja rätt räknesätt och att göra några beräkningar med given information för att komma fram till ett svar, oavsett om detta är förnuftigt eller ej. Denna form av stereotypt tänkande är ett hinder vid inlärning av tillämpad aritmetik, en av de mest betydelsefulla ingredienserna i matematiskt tänkande och något som krävs för att klara ett framtida liv och som är en basfärdighet för den vanliga medborgaren. Å andra sidan visar studier att elever ofta kan lösa problem med addition och subtraktion i vardagliga situationer, men att de misslyckas med att lösa liknande problem när de ges som en skoluppgift. (Schoenfeld, 1991). Som vi ser i vår undersökning kan vi inte förvänta oss att eleverna gör dessa kopplingar spontant. Eleverna måste i skolan få se hur matematik kan användas i verkliga situationer, vi måste främja deras förmåga att undvika att ytligt bearbeta informationen i problemtexten. De måste få tillgång till olika typer av problem i skolan, speciellt sk kontextberoende problem som inbjuder till och ibland tvingar dem att an- 10 Nämnaren nr 4, 1998

6 Tabell 2 Fördelningen av förväntat svar (FS) och realistiskt svar (RS) hos Normal och Express, uttryckt i procent. Uppgift N E N E N E N E N E FS RS IS N Normal stream, 152 elever, E Express stream, 152 elever vända kunskaper om verkligheten och personliga erfarenheter för att analysera och lösa problemen. Eleverna borde bli mer intresserade av matematik om de kan se hur matematik används i deras dagliga liv. Många av de problem som finns i läroböcker är orealistiska. Dessa problem torde inte motivera eleverna att lösa problem, de bara bekräftar elevernas uppfattning om att matematik inte har med verkligheten att göra. För att förända denna uppfattning måste vi ännu mer betona kopplingen mellan matematiken i skolan och i omvärlden. Detta kräver en förändring av undervisningen kring benämnda uppgifter. När man arbetar med räkning bör båda problemtyperna diskuteras i klassen. Eleverna bör få fler öppna uppgifter hämtade från verkligheten t ex Hur mycket skulle det kosta om hela skolan skulle åka på dagsutflykt till Sentosa? Den verbala formuleringen på ett sådant öppet problem ger inga ledtrådar om räknesätt och det finns inte något enda rätta svar, utan eleverna måste ta hänsyn till situationen. Detta ska inte bara de "bättre" eleverna arbeta med. I grupper där eleverna både utvecklar basfärdigheter och kommunicerar sina egna idéer och tänkande kan alla elever möta sådana problem. Lärare tror ofta att om man sätter upp ett antal strategier som eleverna kan följa så blir eleverna väl rustade att lösa problem i matematik. I läroböcker har varje uppgift ett och bara ett rätt svar. Den vanliga problemlösningsstrategien "Läs och förstå, planera, genomför planen och kontrollera" hjälper eleverna att lösa dessa uppgifter. Nämnaren nr 4, 1998 Men den hjälper dem inte att lösa verklighetens problem som ofta saknar exakt svar och ofta har flera lösningar. Därför borde undervisning i problemlösning också innefatta att känna igen de förutsättningar och begränsningar som finns i olika problemsituationer och att använda förnuftiga bedömningar för att få rimliga svar. Eleverna borde också få möjlighet att tala om problemen och deras lösningar. Referenser Carpenter, T. P., Lindquist, M. M., Matthews, W. & Silver, E. A. (1983). Results of the third NAEP mathematics assessment: Secondary School. Mathematics Teacher, 76, Davis, R. B. (1989). The culture of mathematics and the culture of schools. Journal of Mathematical Behavior, 8, Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer. Greer, B. (1993). The mathematical modeling perspective on wor(l)d problems. Journal of Mathematical Behavior, 12, Koay, P. L.,& Foong, P. Y. (1996). Do Singapore Pupils Apply Common Sense Knowledge in Solving Realistic Mathematics Problems? Bidrag presenterat vid The Joint Conference of Educational Research Association, Singapore and Australian Association for Research in Education, november 1996, Singapore. Schoenfeld, A. H. (1991). On mathematics as sense-making: An informal attack on the unfortunate divorce of formal and informal mathematics. I J. F. Voss, D.N. Perkins & J.W. Segal (Red.) Informal reasoning and education. Hillsdale, NJ: Erlbaum Verschaffel, L., De Corte, & Lasure, S. (1994). Realistic considerations in mathematical modeling of school arithmetic word problems. Learning and Instruction, 4,