Det är jättesvårt, nästan omöjligt En studie kring hur lärarna individualiserar matematikundervisningen i grundskolans tidigare år

Transkript

1 Självständigt arbete I, 15hp Det är jättesvårt, nästan omöjligt En studie kring hur lärarna individualiserar matematikundervisningen i grundskolans tidigare år Författare: Amanda Malm Handledare: Berit Roos Johansson Examinator: Torsten Lindström Termin: HT-14 Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN02E Institutionen för matematikdidaktik

2 Det är jättesvårt, nästan omöjligt En studie kring hur lärarna individualiserar matematikundervisningen i grundskolans tidigare år It is very difficult, almost impossible A study of how the teachers individualize the teaching of mathematics in the early years of primary school Abstrakt Föreliggande studie syftar till att studera hur några lärare individualiserar matematikundervisningen till varje enskild individ för att utveckla deras matematiska kunskaper i grundskolans tidigare år. Detta görs genom att observera och intervjua tre lärare i årskurs två och årskurs tre. Resultatet visar att den huvudsakliga individualiseringen främst sker till elever som finner matematiken svår och till elever som arbetar med snabbt tempo och med stor förståelse till det matematiska innehåll som behandlas. Lärarna individualiserar matematikundervisningen genom att variera material och att anpassa återkoppling till den enskilda eleven. Nyckelord Elevers förkunskaper, individualisering, individualiseringstyper, matematikundervisning, mångfald av elever Amanda Malm Antal sidor: 23 i

3 Innehåll 1 Inledning 1 2 Syfte och frågeställningar Syfte Frågeställningar 2 3 Teoretisk bakgrund Matematik Lärandeteori Mångfald av elever Elever i matematiksvårigheter Elever med fallenhet för matematik Vårdnadshavarnas socioekonomiska status Individualisering Individualisering ur skolans perspektiv Individualisering ur ett matematiskt perspektiv Lärarens kompetens Kartläggning av eleven 8 4 Metod Metodval Urval Presentation av lärarna Datainsamlingsmetoder Observationer Intervjuer Genomförande Observationer Intervjuer Etiska överväganden Databearbetning Tillförlitlighet 13 5 Resultat och analys Matematikundervisningens utformning Lärarnas definition av individualisering Matematikundervisningen Mångfald av elever Analys Möjligheter och svårigheter i att individualisera matematikundervisningen Faktorer som gynnar individualisering Svårigheter i att individualisera matematikundervisningen Analys 18 ii

4 6 Diskussion Metoddiskussion Resultatdiskussion Förslag på fortsatt forskning 23 Referenser 24 Bilagor I Bilaga 1 Missivbrev I Bilaga 2 Observationsmanual II Bilaga 3 Intervjuguide IV iii

5 1 Inledning I dagens skola finns en mångfald av elever som besitter olika skickligheter. Dessa ska få möjlighet att utvecklas efter egen förmåga, vilket gör att lärarens roll blir central. Ett av lärarens uppdrag är att utmana samtliga elever. Det ställer stort krav på lärarens kompetens, då välplanerade och strukturerade lektioner samt en bedömning av elevernas förmågor är avgörande för en lyckad individualiserad matematikundervisning (Forslund Frykedal & Thorsten, 2013). Ett av skolans uppdrag är att undervisningen ska utformas efter varje enskild elevs behov och förutsättningar för att främja lärandet. Skolan ska även utforma en likvärdig utbildning för alla elever (Skolverket, 2011). En likvärdig utbildning innebär inte att undervisningen ska utformas på samma sätt överallt [ ] Hänsyn ska tas till elevernas olika förutsättningar och behov. [ ] Därför kan undervisningen aldrig utformas lika för alla (Skolverket, 2011 s, 8). Liknande uttryck förekommer i skollagen: Alla barn och elever ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. Elever som lätt når de kunskapskrav som minst ska uppnås ska ges ledning och stimulans för att kunna nå längre i sin kunskapsutveckling. (SFS, 2010:800 kap 3, 3, s, 12) Trots att det tydligt framkommer både i läroplan och i skollag att skolorna är skyldiga att anpassa undervisningen efter varje enskild elev, har de senaste rapporterna från Skolinspektionen visat på brister i grundskolornas verksamheter. Bland annat visar var femte skola sig ha svårt att anpassa undervisningen utefter varje enskild elevs olika förutsättningar och behov. Undervisningen anpassas oftast efter majoritetens kvalifikationer, vilket gör att elever i behov av särskilt stöd och elever i behov av extra utmaningar missgynnas (Skolinspektionen, 2010; 2011; 2012; 2013). Större delen av den forskning som ägt rum inom området är baserad på studier från högre årskurser. Det är konstaterat att den individualisering som sker inom matematikundervisningen oftast är anpassad hastighetsmässig, vilket inte gynnar eleverna på längre sikt (Bentley, 2003; Löwing, 2004). Utifrån denna bakgrund finner jag det viktigt att studera hur individualisering etableras i skolan och vad det är som skapar gynnsamma förhållanden för ett individualiserat arbetssätt. Denna studie är skriven inom ramen för matematikdidaktik och grundlärarprogrammet med inriktning mot förskoleklass och årskurs ett till tre. Därav är den begränsad till att studera hur individualisering genomförs i matematikundervisningen för grundskolans tidigare år. Jag har valt att ha tyngdpunkt och betoning på hur lärarna utformar en undervisning för alla elever, inte enbart elever i matematiksvårigheter eller de elever som lätt når kunskapskraven för årskurs tre. Anledningen till detta är att jag som lärare ska, inom klassrummets väggar, utforma en undervisning där alla elever oavsett behov och förutsättningar finner en utvecklande och lärorik matematikundervisning. Jag ser att kunskaper i hur lärarna bäst utformar en individualiserad undervisning är av stor vikt eftersom det är grunden för att ett fortsatt lärande ska ske. Det är även en avgörande faktor för att eleverna ska klara kunskapskraven inom matematiken. 1

6 2 Syfte och frågeställningar I detta kapitel presenteras studiens syfte samt två frågeställningar som syftet utmynnar i. 2.1 Syfte Syftet med studien är att undersöka hur några lärare individualiserar matematikundervisningen till varje enskild individ för att utveckla deras matematiska kunskaper i grundskolans tidigare år. 2.2 Frågeställningar Studiens frågeställningar är: - Hur utarbetar lärarna en undervisning som tillgodoser alla elevers behov? - Vilka möjligheter/ svårigheter ser lärarna i individualisering av matematikundervisningen? 2

7 3 Teoretisk bakgrund I följande avsnitt presenteras de teoretiska utgångspunkter som utgör grunden i studien. Inledningsvis sker en presentation av ämnet matematik. Vidare beskrivs delar av Vygotskys teori. Därefter belyses den mångfald av elever som finns i skolan, vilket syftar till att visa vilka stora spektra av elever det finns. Därpå definieras begreppet individualisering och jag beskriver hur det kommer till tals i matematiken. 3.1 Matematik Matematiken har en historia som sträcker sig långt tillbaka i tiden, ända till 7000-talet f.kr. vilket gör matematiken till världens äldsta vetenskap (Johansson, 2013). Nationalencyklopedin beskriver matematik som vetenskapen om logiska samband mellan storheter såsom tal, mängder, funktioner etc (Nationalencyklopedin, 1996 s. 360). Vidare framhåller Löwing (2004) att matematiken innebär att kunna upptäcka generella mönster. Likaså beskriver Mouwitz (2006) matematikens innebörd som vetenskapen om mönster. Matematiken är en oändlig kunskap, ju mer matematisk kunskap vi har desto mer kan och vill vi undersöka. Matematik existerar överallt i samhället. Det kan förklara varför barn redan vid en tidig ålder upptäcker matematiken. Barnets matematiska utveckling påbörjas vid upptäckandet av mönster genom symmetri, ordning och antal (2006). Barnen ritar mönster och räknar föremål, de ställs inför uppgifter då alla barn ska få lika stora mängder vid uppdelning av föremål. Dessa barn visar förmåga i att resonera, förklara och lösa enkla matematiska problem. Grundläggande matematiska kunskaper är nödvändiga för att verka i vårt samhälle och barnen som börjar skolan har oftast påbörjat dessa kunskaper (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001). Alla har dock kommit olika långt i sin matematiska utveckling och läraren bör möta eleven på den nivå som eleven befinner sig (Löwing & Kilborn, 2002). 3.2 Lärandeteori Vygotsky, , är en forskare ur det sociokulturella perspektivet. Han ser att människans fysiska handlingar är sammanlänkande med mentala tankar och vid utförandet av en handling samverkar dessa. Vygotsky är framförallt känd för sitt synsätt av språk och tanke. Språket ses som ett verktyg för att kunna utvecklas i en social interaktion med andra. Det är i den sociala interaktionen som ett lärande uppstår. Vygotsky myntade begreppet zone of proximal development, fortsättningsvis nämnt som den proximala utvecklingszonen. Det innebär att individen utvecklas inom den närmaste utvecklingszonen. Vygotsky beskriver det som att två elever, vid samma ålder kan befinna sig på olika mentala åldrar och har därför olika utgångslägen kunskapsmässigt. Därpå menar han att nivån på uppgifterna bör vara strax över elevens kunskapsnivå för att ett lärande ska uppnås. Zonen som uppstår mellan elevens kunskapsnivå och uppgiftens svårighetsgrad är den proximala utvecklingszonen. Med vägledning från en kunnig lärare, vuxen eller kamrat kan då eleven klara en uppgift som han eller hon inte skulle klarat av på egen hand (Vygotsky, 1978). 3.3 Mångfald av elever Alla elever är olika, lär sig på olika sätt och har olika behov vid olika tillfällen. De individuella behov som varje elev besitter skiljer sig från individ till individ. En del elever har behov av rörelse samtidigt som andra elever har behov av en stillsam miljö. Likväl arbetar vissa elever bäst i gemensamma aktiviteter och i grupp, andra föredrar enskilt arbete. Elevers behov kan även innefatta en rolig och stimulerande undervisning, att få utveckla sina kunskaper och på så sätt få känna tillfredställelse samt att en 3

8 möjlighet till fortsatt utbildning skapas (Vinterek, 2006). Elevers olikheter borde ses som en tillgång i undervisningen. Genom att elever tar del utav andra elevers tankar skapas en medvetenhet i elevernas förståelse kring sina egna tankar. Detta gör att den enskilda eleven kan utveckla sitt eget tänkande (Runesson, 1994) Elever i matematiksvårigheter Elever i matematiksvårigheter innefattar de elever som riskerar att inte nå de kunskapskrav som krävs. Det är ett brett begrepp som innefattar ett område med stor variation i svårigheter. Orsaker till att matematiksvårigheter uppstår är varierade. Det kan bland annat bero på neuropsykologiska svårigheter eller att elever har en svag språklig kompetens. Elever i svårigheter gällande läs- och skrivutvecklingen kan även få svårt inom matematiken. Ytterligare en orsak till att elever får matematiksvårigheter är lärarens bristande undervisning. Rätt pedagogik gör att färre elever får svårigheter. Eleverna behöver ges tid till att tillägna sig grundläggande begrepp och läraren måste ta sig tid till att kontrollera elevernas förståelse för matematiken. Viktigt att poängtera är att ingen lärare kan få alla elever duktiga i matematik men det är viktigt att alla elever får förutsättningar att nå så långt som möjligt (Malmer, 1999) Elever med fallenhet för matematik Elever med fallenhet för matematik är ett diskuterat begrepp med flera olika benämningar. I Sverige förekommer det flera uttryck för denna definition, bland annat elever med fallenhet, talangfulla, högpresterande och elever med särskilda förutsättningar (Westling Allodi, 2014; Wistedt, 2005). Det som kännetecknar en elev med fallenhet för matematik är bland annat en förmåga att analysera, ha en snabb inlärning och ett logiskt tänkande, ett enastående minne samt att ha förmågan att kunna hantera stora mängder information. Det finns stor okunskap ute i skolorna kring hur elever med fallenhet för matematik ska bli bemötta för att få en utmaning i sitt skolarbete. En konsekvens av detta kan göra att dessa elever blir omotiverade och riskerar då att inte klara kunskapskraven (Westling Allodi, 2014 ). Elever med fallenhet för matematik ska likväl som alla elever bemötas och få en undervisning anpassad till deras förmåga och behov. De ska integreras i undervisningen och få ta del utav material som är anpassat både i svårighetsgrad och i tempo till den enskilda eleven. Detta sätter krav på både skolorna och lärarna där samarbete och flexibilitet är ett måste för att kunna bemöta dessa elever (Mönks & Ypenburg, 2009) Vårdnadshavarnas socioekonomiska status Socioekonomisk status är ett begrepp som avser en individs, familjs eller hushållets tillgång på resurser. Det innefattar vilken inkomst, utbildning och yrke som vårdnadshavarna har. Detta kan avspegla sig inom skolan, dels genom vilka förkunskaper eleverna har och dels på hur vårdnadshavarna engagerar sig i sina barns skolgångar. Studier har visat att den socioekonomiska statusen troligtvis har störst påverkan hos elever i förskolan och under de första skolåren. Vidare visar studier att skolor på landsbygden har minst påverkan av socioekonomisk status. Detta eftersom landsbygden inte kan tillgå resurser i lika stor uträckning som städer och förorter. Vårdnadshavarnas engagemang i sina barns skolgångar har påvisats i studier med ett varierat resultat. Det har visat sig att deras engagemang inte har haft någon större påverkan på elevernas resultat i den mån då vårdnadshavarna har övervakat till exempel läxläsning. Samtidigt som studier visat att vårdnadshavarnas engagemang och stöd har varit en avgörande faktor vid påverkan av elevernas prestationer. Framförallt är det när vårdnadshavarna har höga ambitioner och förväntningar på sina barns skolresultat, det 4

9 resulterar även i att barnen har höga ambitioner och presterar mer i skolan. Ovanstående har Hattie (2009) konstaterat genom fyra metaanalyser där 499 studier ingick. 3.4 Individualisering De senaste årtiondena har skolan genomgått en rad förändringar. Bland annat har undervisningen gått från en katederundervisning i helklass där slutmålet var i fokus, till en undervisning där processen av lärandet på individnivå utgör grunden för lärandet. Elevens roll har blivit mer central och lärarens kännedom om elevernas förutsättningar blir en avgörande faktor för en undervisning på individnivå (Vinterek, 2006). Därav blir individualisering ett bärande begrepp, vilket Nationalencyklopedin (1996) definierar som en undervisning vilken är utformad efter den enskilda individen. Vidare menar Löwing och Kilborn (2002) att individualisering innebär att ett visst innehåll anpassas till den enskilda individen, baserat på dennes förkunskaper och inlärningsstil (2002). Ur ett vidare perspektiv innebär individualisering att skapa förutsättningar till att utbilda viktiga resurser inför framtiden, som stärker samhällets utvecklingsförmåga (Vinterek, 2006) Individualisering ur skolans perspektiv Under slutet av 1800-talet och större delen av 1900-talet diskuterades det att individer skulle få ta del utav en jämlik utbildning. Alla individer skulle erbjudas lika tillgång på utbildning oavsett vad individen hade för social- och ekonomisk klasstillhörighet, bostadsort, kön eller etnicitet. Detta medförde att den allmänna utbildningsnivån i landet ökade men skillnaderna mellan individernas utbildning förblev desamma. Detta eftersom skolan stod i centrum, inte individen och individens behov och förutsättningar. Under 1980-talet påbörjades därför en diskussion där en jämlik utbildning ersattes av en likvärdig utbildning. En likvärdig utbildning skulle ta sin utgångspunkt i elevernas behov och möjligheter. Vilket medförde att utbildningen skulle varieras och kunde inte vara densamma för alla elever eftersom alla var olika (Wallin, 2002). Med detta som utgångspunkt påbörjades ett projekt, under 1990-talet, kallat Skola Ett av projektets huvudmotiv var att skapa förutsättningar till en likvärdig skola för alla elever, vilket är det enda huvudmotiv som kommer att överläggas i denna studie. Grundtanken var att lärarna tillsammans med vårdnadshavare och elever under utvecklingssamtal skulle upprätta individuella studieplaner i förhållande till den aktuella läroplanen. Lärarna skulle erbjuda eleverna så kallade baskunskaper, vilka var de som framkom i respektive kursplan, men utgångspunkten skulle tas i elevens intressen och förutsättningar. Skolor som deltog i projektet skulle strukturera om sin organisation till att dela in personalen i mindre arbetsenheter. Skolornas fysiska miljö förändrades för att ge de nya arbetsenheterna egna lokaler. Tanken var att det skulle bildas mindre skolor i den stora skolan (Wallin, 2000). Wallin (2002) beskriver i en artikel hur han följde en kommun som arbetade med projektet Skola Han konstaterar att Skola 2000 och den omorganisation det medförde gav förutsättningar till att möta elevernas behov. Han framhåller även att en likvärdig utbildning förutsätter en långsiktig individualisering och poängterar att det inte innebär att eleverna arbetar enskilt utan snarare i gemenskap. En individualiserad undervisning skapar möjlighet till att möta elevers olika behov (Vinterek, 2006). Utgångspunkten till att genomföra individualisering i skolan är kännedom om elevernas olika lärstilar. I och med att alla elever har individuella behov och individuella inlärningssätt har alla egna lärstilar. Lärstilar definieras av hur en individ koncentrerar sig och processar ny kunskap och syftar till att hitta sättet som den enskilda individen lär sig bäst på. Individens lärstil är till en stor del genetisk och individen behåller i stort sett sin lärstil genom hela livet. Däremot kan lärstilen utvecklas genom social interaktion och ett medvetet arbete. Två forskare har utarbetat 5

10 en lärstilsmodell, The Dunn & Dunn learning style Model, vilken är grundad i 40 års forskning. Modellen utgörs av följande fem faktorer som påverkar lärandet (Boström & Svantesson, 2007). Miljöfaktorer, vilket innefattar rummets utformning, temperatur, ljud och ljus. Emotionella/känslomässiga faktorer innefattar individens behov av struktur, motivation, vilken uthållighet och anpassningsförmåga individen har. Om läraren väljer rätt arbetsmetod till en elev, ökar dennes motivation. Sociala faktorer innefattar hur individen arbetar bäst, ensam, i par, grupp, i team, med en ledare eller en variation av sätt. Fysiska faktorer syftar till vilka sinnen individen helst använder, vilken tid på dygnet som individen bearbetar information bäst och vilket behov av matintag individen har. Psykologiska faktorer, vilket innefattar hur individen bäst strukturerar ny information. Antingen via ett analytiskt sätt då individen utgår från delar som sedan binds ihop till en helhet. Eller via ett holistiskt sätt då individen utgår från helheten för att sedan bryta ner den till detaljer. Alla individer är inte lika beroende av alla faktorer för att ett lärande ska uppstå. Därav är det viktigt att läraren har insikt i varje elevs lärstil eftersom det möjliggör att läraren kan anpassa undervisningen utefter varje elev. För att identifiera elevens lärstil utgår läraren från elevens styrkor istället för att fokusera på vilka svagheter eleven har. Med utgångspunkt i elevernas behov och lärstilar kan läraren utarbeta en individualisering (Boström & Svantesson, 2007). Vinterek (2006) framhåller att undervisningens innehåll och utformning är de avgörande faktorerna för en lyckad kunskapsutveckling. Detta grundar hon på sin sammanställning och granskning av tidigare forskning. Hon preciserar individualisering på åtta olika sätt, vilka hon benämner individualiseringstyper: Innehållsindividualisering, vilket innebär att läraren anpassar innehållet i det berörda ämnesområdet till den enskilda elevens behov, kunskaper eller intressen. Innehållsindividualisering kan i sin tur generera i ytterligare två individualiseringstyper, nämligen omfångsindividualisering och nivåindividualisering. Omfångsindividualisering innebär att ämnesområden och uppgifter begränsas och anpassas i kvantitet till elevens förmåga. Nivåindividualisering syftar till att anpassa ämnesområden svårighetsmässigt, beroende på elevens skicklighet. Metodindividualisering innebär att aspekten, hur, lyfts fram. Det innefattar vilka arbetssätt och arbetsformer eleven ska ha, enskilt eller i grupp. Hastighetsindividualisering avser framförallt tiden, eleven arbetar i egen takt. Denna typ av individualisering kan handla om en arbetsbok likväl som att hoppa över en årskurs. Miljöindividualisering är en typ av individualisering där miljön anpassas till elevens behov, exempelvis vilka lokaler eleven arbetar i och hur de är utformade. Det innefattar även elevernas behov av ljud, rörelse, lugn och stillsamhet. Materialindividualisering ser till vilka läromedel och arbetsredskap som gynnar elevens kunskapsutveckling. 6

11 Värderingsindividualisering syftar till bedömning och värdering av elevens arbete. Värdering och bedömning ska ske i förhållande till elevens egna prestationer i förhållande till sig själv, inte i förhållande till några andra elever Individualisering ur ett matematiskt perspektiv Matematikundervisningen hamnar vanligtvis på en medelnivå, men med väl valda individualiseringsmetoder ökar chanserna för en lyckad individualisering. Detta konstaterar Löwing & Kilborn (2002) efter ett flerårigt forsknings- och utvecklingsarbete inom matematikdidaktik. Även Skolinspektionen (2010; 2011; 2012; 2013) har vid flertalet granskningar av skolor konstaterat att undervisningen tenderar att hamna på en medelnivå. Löwing (2004) fastställer i sin avhandling, vilken är baserad på observationer och intervjuer av nio lärare i olika årskurser, att lärarna finner det svårt att välja rätt arbetsform och arbetssätt relaterat till lektionens innehåll för att samtliga elever ska utvecklas. I framförallt högre årskurser är det konstaterat att hastighetsindividualisering är det vanligaste sättet att individualisera matematiken på. Läraren följer matematikläromedlets upplägg och hastighetsanpassar innehållet, eleverna arbetar i egen takt och uppgifterna varieras inte innehållsmässigt (2004). En fördel med detta individualiseringssätt är att eleverna inte behöver invänta varandra. Däremot finns det en risk att ett visst arbetssätt, i detta fall hastighetsindividualisering, föder en viss typ av matematiskt innehåll då undervisningen kräver förtryckt material. Eleverna behöver få ta sig an ett matematiskt innehåll på olika sätt tillexempel genom att diskutera för att utveckla det matematiska tänkandet. Det räcker inte att reglera tiden för att skapa sig en förståelse av innehållet (Runesson, 1994). Löwing och Kilborn (2002) tillhandahåller en modell för individualisering. Utgångspunkten är att alla elever ska tillägna sig en viss baskunskap inom ett matematiskt undervisningsmoment. Baskunskapen är knuten till en årskurs, för årskurs ett är det en viss förståelse av baskunskap som ska tillägnas och i årskurs två en annan förståelse av baskunskap och så vidare. På så sätt sker det en progression i undervisningen för alla elever. När baskunskapen inom ett visst undervisningsmoment är tillägnad ska eleven ges möjlighet till fördjupning inom samma innehåll. På sikt ger denna modell alla elever kunnigheter i grundläggande matematiska kunskaper. I verkligheten utspelar sig denna modell genom att alla elever arbetar med samma matematiska innehåll och individualisering sker genom olika nivåer på uppgifter. Inledningsvis kan gemensamma genomgångar förekomma eftersom alla elever ska tillägna sig samma baskunskaper. Senare konkretiseras det matematiska innehållet på olika nivåer för olika elever med hjälp av olika material. När baskunskaperna är inhämtade fördjupar och breddar eleven sina kunskaper inom det område som behandlas Lärarens kompetens Det finns flera faktorer i lärarens kompetens som gynnar individualisering. Framförallt är det lärarens didaktiska och innehållsliga kunskaper. Läraren måste vara väl förtrogen med matematikens innehåll, även i högre årskurser än vad läraren undervisar i samt besitta kunskaper i att kunna visa ett lärandeobjekt på flera olika nivåer. Läraren måste även ha förmågan att ta en annan människas perspektiv. Genom att göra detta kan läraren möta eleven på dennes nivå. Om läraren har förmågan att möta eleven på dess nivå, kan läraren konkretisera det matematiska innehållet så elevernas förståelse ökar. Även kunskaper i olika arbetssätt och hur lärandeobjekt kan förklaras på olika sätt lyfts fram som avgörande faktorer för att kunna stimulera eleverna (Bentley, 2003; Löwing, 2004). Hattie (2009) visar studier som påstår att en mindre klass ökar lärarens förutsättningar till att individualisera undervisningen och ger ett ökat lärande för 7

12 eleverna. Han visar också studier som tyder på att mindre klasser inte skapar några förutsättningar för individualisering eller ger upphov till en ökad effekt på elevernas lärande. En slutsats som Hattie (2009) gör, vilken är grundad på tre metaanalyser där 96 studier ingår, är att det snarare är lärarens och elevernas arbetssituation som gynnas av mindre klasser. Mindre klasser behöver heller inte leda till ett ökat lärande, men det kan göra det. Det är då lärarens didaktiska kompetens som blir en viktig faktor för individualisering Kartläggning av eleven Lärarens kompetenser tillsammans med lärarens kunskaper om den enskilde elevens förkunskaper är grunden i att kunna individualisera matematikundervisningen. De förklaringar läraren ger till respektive elev bör utgå från elevens förkunskaper. Dock är det vanligt att lärarna saknar betydelsefull information om varje elevs förkunskaper. Det visar sig oftast genom att alla elever får samma information inför ett matematiskt innehåll oavsett vilka förutsättningar eleverna besitter. På längre sikt blir detta ett allvarligt problem eftersom ett matematiskt innehåll kan utgöra grunden till ett annat matematiskt innehåll. Om eleverna då inte fått en individualiserad undervisning vid första tillfället minskar deras förståelse vid senare tillfällen. Detta iakttog Löwing, (2004) under några observationer då lärarna gav instruktioner till elever vid början av en lektion. Instruktionerna var inte baserade på elevernas förkunskaper och kunde därmed inte individualiseras. Effekten av detta blev att eleverna inte förstod hur de skulle genomföra uppgifterna. Vid slutet av lektionen var elevernas förståelse ännu mindre än vad den var i början av lektionen eftersom uppgifterna hade ökat i svårighetsgrad (2004). För att få kunskaper om vart eleven befinner sig kunskapsmässigt krävs en kartläggning av eleven. Kartläggningarna kan göras muntligt eller skriftligt. Det vanligaste sättet att införskaffa detta är bland annat genom fördiagnoser. Det vill säga diagnoser som görs innan undervisningen av ett visst matematiskt område ska börja. Ytterligare ett sätt att genomföra kartläggning på är underhandsdiagnoser. Det är diagnoser som görs under arbetets gång, vilka avser att synliggöra om eleven kan tillgodogöra sig undervisningen. Vid slutet av ett arbetsområde kan läraren genomföra så kallade efterdiagnoser. Dessa ger läraren en indikation på huruvida eleven inhämtat och förstått de kunskaper som krävs eller om något behöver kompletteras. Vid arbetet med kartläggning och diagnoser är det avgörande att läraren inhämtar rätt information i förhållande till de mål som undervisningsområdet har samt att läraren har ett tydligt syfte med diagnosen och följer upp resultatet i undervisningen (Löwing & Kilborn, 2002). För att kartlägga eleven kan läraren även göra en formativ bedömning. Det är en form av bedömning som sker under arbetets gång och ska resultera i att eleven vägleds till att prestera bättre och får en ökad förståelse. Grunden för att läraren ska kunna ge formativ bedömning är att upprätthålla en dialog med eleven. Genom dialoger kan läraren skapa sig en uppfattning kring vilka kunskaper eleven besitter och kan därmed ge eleven en återkoppling som utvecklar dess lärande (Callingham, 2008). Black, Harrison, Lee, Marshall och Wiliam (2004) genomförde ett projekt på sex skolor i England. Projektet syftade till att studera hur formativ bedömning kan förbättras. De konstaterade att en aktiv bedömning ökar förutsättningar för att ett lärande ska uppstå samt ger information till läraren, vilken läraren kan använda i sin återkoppling till eleven. En slutsats de gör, är att läraren kan förbättra elevens resultat genom att kontinuerligt ställa frågor och ha en dialog med eleven. De uppmanar läraren att ge eleven betänketid eftersom det är vanligt förekommande att läraren annars själv besvarar frågan alternativt ställer en ny fråga. Utifrån elevens svar kan sedan läraren ge eleven återkoppling. Återkopplingen 8

13 bör bestå av kommentarer som dels innefattar vilka kunskaper eleven har och dels vad och hur eleven kan förbättra sitt resultat. 9

14 4 Metod I detta avsnitt presenteras de urval och avgränsningar som gjordes inför insamlingen av data samt val av datainsamlingsmetoder, observationer och intervjuer. Detta följs upp av en redogörelse för undersökningens genomförande. Avslutningsvis framförs hur den insamlade datan bearbetats samt huruvida metoderna är tillförlitliga. 4.1 Metodval Studien avsåg att undersöka egenskaper inom en individualiserad matematikundervisning. Därav har studien en kvalitativ ansats. Detta grundades i att kvalitativ forskning har ett fenomen i fokus och undersöker fenomenets betydelse och egenskaper. En kvalitativ studie bygger på analyser och tolkningar av data, vilket kräver att forskaren är förtrogen med tidigare forskning av fenomenet (Widerberg, 2002). Den har talade och skrivna ord samt visuella bilder som utgångsläge istället för att fokusera på kvantitet av data. Kvalitativ metod utgår från empiriskt insamlat material som granskas och analyseras av forskaren. Det insamlade materialet kan vara av varierande datainsamlingsmetoder, men gemensam utgångspunkt är att de har egenskaper och djupgående data i fokus (Denscombe, 2009). 4.2 Urval Urvalet begränsades till tre lärare som undervisade i matematik i årskurs två och tre. Anledningen till denna begränsning var att lärarna hade arbetat med sina elever i minst ett och ett halvt år, vilket gjorde att de hade relativt stor kännedom om sina elevers behov och förutsättningar. De deltagande lärarna handplockades utifrån kännedom och tidigare kontakter. Detta gjordes på grund av att lärarna skulle känna sig trygga och bekväma under intervjuerna samt att elevernas trygghet ökade om observatören inte var en främmande person. Denscombe (2009) benämner denna typ av urval som ett bekvämlighetsurval. Urvalet utgår då från forskarens bekvämlighet. Det är ett lämpligt urval om forskaren vill undersöka något i sin allmänhet som inte kräver att lärare plockas ut efter fenomenet som ska undersökas (2009). Det togs inte någon ställning till huruvida de deltagande lärarna individualiserade sin matematikundervisning innan undersökningarna genomfördes. Grunden till detta var att undersökningarna syftade till att studera hur en individualiserad matematikundervisning etablerar sig i allmänhet Presentation av lärarna Lärarna arbetade på två mindre skolor ute på landsbygden i södra Sverige. I resultatet benämns lärarna som lärare A, B och C. Lärare A har arbetat som lärare i tre år, varav ett och ett halvt med den nuvarande klassen, årskurs två. Läraren undervisade främst i matematik. Lärare B undervisade också i årskurs två och har arbetat som lärare i tio år. Läraren var behörig att undervisa i matematik, naturkunskap och idrott. Lärare C hade lång arbetserfarenhet, nämligen 40 år. Läraren undervisade för tillfället i årskurs tre samt var behörig att undervisa i samtliga ämnen för årskurs ett till tre. 4.3 Datainsamlingsmetoder Utgångspunkten vid val av datainsamlingsmetoder var studiens frågeställningar. För att få en inblick i hur lärarna arbetade för att tillgodose alla elevers behov krävdes både observationer och intervjuer. Observationerna avsåg att samla in empirisk data av synlig karaktär. Intervjuernas mål var att följa upp observationerna och samla in data som inte var möjligt att upptäcka vid observationerna, så som bakomliggande tankar, erfarenheter och inställningar. Intervjuerna syftade även till att få inblick i vilka faktorer som 10

15 skapade en gynnsam individualisering samt om lärarna fann svårigheter i att individualisera matematikundervisningen Observationer Observationer är en metod som skapar möjligheter till att förena praktik och teori. Forskaren ges tillfälle att studera och tolka ett valt fenomen på egen hand utifrån deltagarnas agerande och uttryck (Dimenäs, 2007; Widerberg, 2002). En fördel med observationer är att de sker i deltagarnas naturliga miljöer, observatören besöker platsen som ämnas undersökas. Däremot ställer metoden krav på att observatören inte stör miljön och på så sätt skapar en oro hos deltagarna. Aspekter att ha i åtanke vid observationer är att de data som produceras och samlas in är influerade av observatörens erfarenheter, en del synsätt tenderar att framhävas mer än andra (Denscombe, 2009). En form av observationer är de som är framställda med hjälp av egna kategorier. Observatören utformar då en observationsmanual som kategoriseras efter aspekter att observera. En svårighet med denna observationsmetod är att utforma kategorier som särskiljer sig från varandra (Johansson & Svedner, 2010) Intervjuer Intervjun utgör en lämplig metod för att få ta del utav lärarens erfarenheter och tankar kring undervisning, planering och förhållningssätt till olika aspekter. Intervjuer ger djupgående information av ett förutbestämt område (Johansson & Svedner, 2010). En intervjumetod är den semistrukturerade intervjun, vilken innebär att intervjuaren har områden med utskrivna frågor. Denna form av intervju är flexibel, frågorna behöver inte tas i en viss ordning och det ges utrymme till att tala fritt. Den intervjuade ges möjlighet att berätta och utveckla sina svar utförligt. Semistrukturerade intervjuer är vanligen av en personlig karaktär, som består av informanten och intervjuaren. Fördelen med detta är att den intervjuades uppfattningar och åsikter inte påverkas av någon annan eftersom det enbart är en som blir intervjuad åt gången. Transkriberingen av intervjun underlättas då intervjun utgörs av en deltagare (Denscombe, 2009). Ett tillvägagångssätt för att få stora mängder information ur intervjun är att ställa frågor av en mer berättande karaktär, även följdfrågor rekommenderas. Dock ska följdfrågor som inleds med varför undvikas. Det är bättre att uttrycka följdfrågor genom att be den intervjuade att ge exempel och förtydliga sig (Johansson & Svedner, 2010). 4.4 Genomförande Den första kontakten togs med skolornas rektorer via mail. Det efterfrågades då att få ta kontakt med lärare i årskurs två och årskurs tre för att genomföra observationer och intervjuer. Därvid togs kontakt med tre lärare på två skolor, via mail. Lärarna informerades om studiens syfte samt fick en förfrågan till att delta. Detta gjordes med ett missivbrev som lades som bilaga i mailet (Bilaga 1). I missivbrevet informerades även lärarna om att intervjuerna skulle spelas in. När lärarna bekräftat att de ville medverka i studien bestämdes tidpunkter för genomförandet. Observationerna genomfördes först och följdes upp med intervjuer samma dag. Alla undersökningar skedde under loppet av en dag. Detta var inte tanken från början men slumpen gjorde att alla lärarna föredrog samma dag Observationer Observationerna som genomfördes utgick från en observationsmanual. Manualen var konstruerad efter egna kategorier hämtade från Vintereks (2006) individualiseringstyper, vilka finns representerade i den teoretiska bakgrunden. De typer av individualisering som gick att upptäcka i en observerande situation bröts ner till 11

16 mindre frågor. Frågorna besvarades med ja eller nej och förtydligande till varje fråga skrevs i efterföljande kommentarruta (Bilaga 2). Denna form av observationsmanual kräver tydligt avgränsade kategorier, för att inte skapa förvirring hos observatören gällande markering av händelser (Johansson & Svedner, 2010). Observationsmanualen inbjuder till viss del systematiska observationer. Systematiska observationer skapar förutsättningar till att undersöka samma typer av händelser vid upprepade observationer. Detta gör att de data som produceras överensstämmer mellan de observationer som genomförts, vilket underlättar redovisningen av resultat och analys. Däremot ger systematiska observationer ingen inblick i sammanhang kring varför en viss händelse äger rum (Denscombe, 2009). Observationerna inleddes med en kort presentation av mig samt att jag var där för att observera läraren och hur denne undervisade i matematiken. Vid samtliga observationer var jag placerad längst bak i klassrummen, där satt jag större delen av observationerna. Dock krävde en del uppgifter i observationsmanualen att jag rörde mig i klassrummen. Ett exempel är den första punkten i manualen som syftade till att utforska om alla elever arbetade med samma uppgifter. Observationsmanualen fylldes i efter hand att aspekterna blev synliga. En observation skedde under 30 minuter, de andra två hade en lektionslängd på 40 minuter Intervjuer Observationerna följdes upp med intervjuer. Denscombe (2009) framhåller att intervjuer bör genomföras vid en ostörd plats. Samtliga intervjuer genomfördes individuellt i enskilda rum, två i mindre grupprum och en i ett klassrum efter att eleverna slutat sin skoldag. Intervjuerna dokumenterades med hjälp av inspelningar samt anteckningar i form av papper och penna. Att föra anteckningar under intervjun skapar en naturlig paus mellan frågorna, då både intervjuaren och den intervjuade ges möjligheter till reflektion (Johansson & Svedner, 2010). Anteckningar ger även information som inspelningar missar, till exempel kroppsuttryck. Inspelade intervjuer gör att intervjun förblir permanent och hela intervjun kan skrivas ner ordagrant, vilket skapar underlaget till analys av resultatet (Denscombe 2009). Intervjuerna genomfördes utifrån en intervjuguide (Bilaga 3). Denscombe (2009) menar på att intervjuer bör introduceras med en presentation av studien samt information om den intervjuades rättigheter för att därvid påbörja intervjufrågor av en mer allmän och avslappnad karaktär (2009). Därav var intervjuguiden utformad till att inledningsvis informera den intervjuade om syftet med studien. Sedan fortsatte intervjuguiden med frågor, vilka avsåg att skapa en trygghet hos den intervjuade. Det första området som berördes i guiden var konstruerade utifrån hur läraren utarbetade sin undervisning och var en uppföljning till observationerna. Därefter tog intervjufrågorna sin utgångspunkt i lärarens erfarenheter och tankar rörande vilka förutsättningar individualisering kräver samt om det fanns några svårigheter i att individualisera matematikundervisningen (Bilaga 3). Intervjuerna tog mellan 15 och 30 minuter att genomföra. 4.5 Etiska överväganden För att forskning ska bedrivas på ett sätt som ger hög kvalitet och skyddar deltagande individer, har etiska principer utvecklats. Dessa etiska principer är indelade i fyra kategorier. Informationskravet utgör den första kategorin, vilken innebär att berörda deltagare i forskningen ska få information gällande studiens syfte, vad resultatet kommer att användas till samt att deltagande är frivilligt. Vidare finns samtyckeskravet, deltagarna ska ge sitt samtycke till att delta i studien. Deltagarna har även möjlighet att avbryta sin medverkan under studiens gång. Den tredje kategorin utgörs av konfidentialitetskravet. Det innebär att deltagarna är anonyma och att insamlad data ska förvaras med försiktighet och skyddat från obehöriga. Slutligen innefattar de etiska 12

17 principerna kravet om nyttjande. Insamlad data så som uppgifter av personlig karaktär och personuppgifter, får inte lånas ut eller användas till andra ändamål än studien. Ska detta göras krävs tillåtelse av den berörda deltagaren (Vetenskapsrådet, 2002). Dessa principer togs det hänsyn till vid utförandet av studien. Först togs kontakt med rektorer för att få samtycke till att genomföra observationer och intervjuer i deras skolor. Därefter skickades ett missivbrev ut till lärare för att få samtycke av varje deltagare. I missivbrevet framkom studiens syfte, vad insamlad data skulle användas till, att medverkan var frivillig samt att deltagarna var anonyma. Även i den inledande delen av intervjun upprepades de etiska principerna för deltagarna samt att de hade möjlighet att avbryta studien om så önskades. Insamlad data, i form av ljudinspelningar, transkriberingar och anteckningar förstördes efter att studien avslutats. I studien togs det hänsyn till den enskilde individens integritet, då personuppgifter inte samlades in. 4.6 Databearbetning Databearbetning underlättas om materialet grupperas efter frågeställningar (Johansson & Svedner, 2010). Varje intervju transkriberades och skrevs in i ett dokument. De intervjuade gavs kodnamn efter alfabetet. Den första intervjun som genomfördes fick därmed kodnamn A, den andra intervjun gavs kodnamn B och den tredje intervjun fick kodnamn C. Efter att alla intervjuer var utskrivna sammanställdes alla svaren i ett gemensamt dokument. Detta gjordes för att kunna sortera svaren efter studiens två frågeställningar. Varpå svaren kategoriserades under varje frågeställning. Kategorierna utmynnade sedan i underrubriker till respektive frågeställning. Därefter bearbetades observationerna. Eftersom observationsmanualen (Bilaga 2) var indelad efter olika individualiseringstyper sammanfördes dessa med de individualiseringstyper som framkom under intervjuerna. Även observationerna fick kodnamn likt intervjuerna. 4.7 Tillförlitlighet Tillförlitligheten ökar om studien använder flera metoder. Intervjuer bör kontrolleras med andra datainsamlingsmetoder för att fastställa tillförlitligheten i intervjusvaren. Att enbart genomföra intervjuer ger ett resultat som inte är tillförlitligt eftersom informanten kan säga att den gör på ett sätt men i verkligheten gör på ett annat sätt (Denscombe, 2009). Tillförlitligheten av intervjuer ökar om intervjuerna genomförs av samma person (Johansson & Svedner, 2010). Ur denna synvinkel är intervjuerna som genomfördes i studien tillförlitliga. Intervjuerna syftade även till att följa upp observationerna, vilket i sin tur skapade ett trovärdigt resultat. Trovärdighet kan översättas till validitet. God validitet uppstår om observatören eller intervjuaren mäter det som avses att mätas (Denscombe, 2009). Med observationer är det lätt att olika synvinklar synliggörs beroende på observatörens erfarenheter och om det är olika observatörer vid olika observationer (Johansson & Svedner, 2010). I studien togs detta hänsyn till, då en observatör observerade vid samtliga tillfällen. Dock kvarstår att observatören riskerar att ha fokus på olika saker vid de olika observationerna. Eftersom observationerna utgick från ett systematiskt schema ökade chanserna till att studera samma sak vid alla observationstillfällen. Däremot missades dock händelser som uppstod men inte var kategoriserade på observationsmanualen. Detta kan vägas upp av kommentarrutorna som fyllde en del av denna funktion, eftersom observatören kunde anteckna händelser som uppstod. 13

18 5 Resultat och analys I följande kapitel presenteras en sammanställning av resultatet som framkommit i de tre genomförda observationerna och intervjuerna. Resultatet utgår från studiens två frågeställningar, vilka utgör två rubriker följt av underrubriker och analyser. 5.1 Matematikundervisningens utformning I både observationer och intervjuer framgår det att lärarna använder sig utav flera individualiseringstyper för att tillgodose alla elevers behov, en del framträder mer än andra. Nedan redovisas vilka typer av individualisering som lärarna använder samt hur de arbetar för att bemöta sina elever Lärarnas definition av individualisering Ett genomgående mönster i intervjuerna hos lärarna är att samtliga definierar individualisering som en form av anpassning utifrån elevernas matematiska kunskaper. Dock skiljer det sig vilka elever lärarna syftar att anpassa undervisningen till. Lärare A framhåller tydligt att det är en anpassning till den enskilda eleven, där varje elev ska utmanas så exakt som möjligt. Lärare B poängterar däremot att undervisningen ska utgå från elevens kunskaper men syftar lite på den enskilda eleven och diskuterar mer begreppet individualisering i grupp. Lärare C avser att anpassa undervisningen på individnivå till elever i matematiksvårigheter och till de elever som arbetar i snabbt tempo Matematikundervisningen Samtliga lärare förespråkar gemensamma genomgångar vid inledningen av ett nytt matematiskt område med efterföljande uppgifter i matematikboken. Lärare C ser detta som ett tillfälle att anpassa undervisningen efter varje enskild elev då alla elever får varsin uppgift att lösa vid genomgången. Läraren uttryckte det på följande sätt: Om vi sitter tillsammans och alla ska få göra en uppgift, för det vill jag när vi sitter i grupp. Då delar jag ut uppgifter och säger att de ska bygga tal med pengar. Jag tänker då på att ge starka elever lite svårare uppgifter, en elev kan då bygga 802 kr. En annan elev som jag vet tycker att det är svårt, ber jag bygga 120 kr, som är lite lättare. (Lärare C) Lärare A individualiserar när en elev är i behov av det, till exempel om det upptäcks att en elev har svårt för en uppgift, då tas material som behövs fram. Läraren ger mer förklaringar och fler uppgifter inom det svåra området. Detta uttrycker även de andra två lärarna framförallt när det gäller elever som upplever matematiken svår. Under en observation hos lärare B får elever som upplevt subtraktion svårt, genomgångar av läraren. Genomgångarna ges till två elever åt gången, läraren tillhandahåller material i form av klossar. I den efterföljande intervjun berättar läraren sedan att de elever som togs fram befann sig ungefär på samma kunskapsnivå gällande subtraktionen. Vidare säger läraren att eleverna brukar arbeta i par eller grupper. Ibland arbetar likasinnade med varandra och ibland paras elever ihop som befinner sig på olika kunskapsnivåer inom matematiken. Samtliga lärare håller alla elever inom samma kapitel i matematikboken. Däremot tillåts eleverna att räkna i sin takt inom kapitlet, om det är uppgifter som inte kräver någon genomgång. Detta synliggörs i observationen hos lärare A, då några elever räknar i matematikboken, de befinner sig på olika sidor. Två elever är klara med kapitlet och 14

19 gör då extrauppgifter i form av arbetsblad. Anledningen till att eleverna hålls inom samma kapitel uttrycker lärare A på följande sätt: Det gör jag för annars kunde en del elever räkna ut boken på en månad, men då vet jag inte vad de har för kunskaper. Jag vet inte om de har rätt strategier eller hur de tar sig an ett problem. Så därför försöker jag hålla klassen samlad. (Lärare A) Lärarna framhåller vid flertalet tillfällen att bedömning och feedback av elevernas arbeten sker utifrån den enskilde elevens kunskaper. Vilket gör att kraven kan variera mellan eleverna. Detta visar bland annat lärare C när eleverna skulle lägga tal med pengar. Lärare A visar det genom att konstant gå runt mellan eleverna på lektionen som observerades och be eleverna förklara hur de gjort och därvid ge eleverna återkoppling. Lärare B betonar att kraven på eleverna varierar och därmed också återkopplingen till den enskilde eleven. Lärarna framhåller att detta är det enklaste sättet att individualisera på, eftersom det inte kräver några egentliga resurser Mångfald av elever Lärarna visar på ett gemensamt synsätt gällande elever som är starka i matematiken. Alla uttrycker att dessa elever får arbeta med extrauppgifter, vilka är mer utmanande och klurigare än de uppgifter som matematikboken, gemensamma genomgångar och uppgifter består av. Extrauppgifterna är däremot ingen uppföljning eller fördjupning till det matematiska innehåll eleverna arbetar med i den ordinarie undervisningen. Alla lärarna berättar även att elever som är starka i matematiken oftast har svårt att uttrycka sig och berätta hur de gör. Lärare A säger att många elever bara ser svaren och då behöver de träna på att visa hur de tänker, resonera fram sitt svar och argumentera för sin tanke. Två av lärarna framhåller att ett sätt att utveckla elevernas sätt att uttrycka sig är genom att låta eleven som upplevs som stark i matematiken förklara för en annan elev hur en uppgift kan lösas. Lärarna menar att de då får tillfälle att verkligen höra om eleven har förstått uppgiften. En lärare uttrycker att om eleven inte förstått uppgiften är det oftast svårt att förklara för en annan elev. Lärare C har vid ett fåtal gånger under sitt yrkesliv haft elever som haft stor fallenhet för matematik. Dessa elever fick arbeta i egen takt i matematikböckerna. I slutet av årskurs tre kunde eleverna arbeta i matematikboken för årskurs fyra eller fem. Läraren såg ingen vits med att hålla eleverna vid samma matematiska innehåll som övriga elever då det var för lätta uppgifter för dem. Till elever i matematiksvårigheter ses specialläraren som ett stort stöd. Lärare C framhåller att den grupp som går till specialläraren kan variera utefter vilket matematiskt innehåll eleverna arbetar med för tillfället. Det går inte att generalisera att en elev som har svårt för till exempel subtraktion, har svårt för allt inom matematiken Analys Tre lärare och tre definitioner av individualisering. Gemensamt är dock att lärarna, likt Löwing och Kilborn (2002), anser att individualisering syftar till att anpassa undervisningen. När lärarna definierar individualisering avser de olika elever men i lärarnas sätt att utarbetar sin undervisning verkar det följaktligen som de främst syftar till elever som finner matematiken svår eller till de elever som arbetar i snabbt tempo. Ett sätt att utarbeta en matematikundervisning för alla elever är att påbörja ett nytt moment med en gemensam genomgång och därefter ge alla elever uppgifter rörande de baskunskaper eleverna förväntas tillägna sig inom det matematiska området. När baskunskaperna är inhämtade ges eleverna uppgifter inom samma matematiska område 15