Huvudräkning i årskurs 8

Transkript

1 Linköpings universitet Institutionen för beteendevetenskap och lärande Examensarbete, 15 hp Speciallärarprogrammet 90 hp Vårterminen 2017 LIU-IBL/SPLÄR-A-17/16-SE Huvudräkning i årskurs 8 - en kvantitativ studie om ett interventionsprogram för automatisering av tabellkunskaper avseende addition och subtraktion inom talområde Mental Calculation in Grade 8 - a Quantitative Study of an Interventions Program regarding Automation of Addition and Subtraction within Number Area Ingela Sjölin Handledare: Rickard Östergren Handledare: Pether Sundström Examinator: Margaretha Grahn Linköpings universitet SE Linköping, Sweden ,

2 Förord Alla ni elever som på något sätt har deltagit i min studie, har möjliggjort att jag kunde genomföra examensarbetet som avslutar min utbildning till speciallärare med inriktning matematikutveckling. Ett stort tack till er! Det har varit en lärorik, men också slitsam tid, framförallt de här sista månaderna när studien skulle planeras, resultaten skulle noteras och examensarbetet skulle skrivas ihop. En total redigeringstid om i runda slängar 300 timmar sedan jag började skriva den 2 april säger kanske mer om att jag inte är snabbast på att skriva, men samtidigt om att det är en mödosam process att forma och formulera ett arbete av det här slaget. Jag hade aldrig klarat att genomföra detta parallellt med heltidsarbete om det inte varit för ett flertal stöttande och förstående personer i min närhet. Tack Gunnar för att du som chef tog mina tecken på utbrändhet på allvar. Du pekade med hela handen och möjliggjorde att jag kunde skriva klart mitt arbete. Utan ditt stöd hade jag stupat på mållinjen. Och det är väl som du säger Att bli utbränd är igen arbetsuppgift! Vill även säga tack till mina kollegor, framförallt i det arbetslag jag tillhör. Ni har varit så förstående och har blivit så bra på att anpassa undervisningen för eleverna att jag börjar känna mig överflödig. Utan er hade jag inte klarat att genomföra detta. Det största tacket vill jag ändå framföra till min dotter Tilda och till min man Magnus. Jag är skyldig er en evighet av tid genom dessa år av studier. Jag ser fram emot att tillbringa fritiden tillsammans med er på ett sätt som inte varit möjligt på flera år. Utan er stöttning hade jag aldrig klarat mig genom de många tuffa perioderna, TACK! Jag hade heller inte kommit i mål om det inte varit för min mamma. Tack för all tid du tillbringat med Tilda. Du är en klippa som alltid finns där för oss. TACK! Sofia och Maja, mina två utflugna döttrar, till er vill jag säga att jag inte har glömt bort er. Tack för att ni har varit förstående för att jag inte har kunnat vara så närvarande som jag önskat. Utan er stöttning hade jag inte klarat av denna utbildning. TACK! Till sist Ett stort tack till mina handledare Rickard och Pether som har stått ut med mina frågor gång på gång. Ni har gett mig värdefull kritik och har fått mig att reflektera över begrepp och formuleringar vilket har bidragit till att jag känner stolthet över det arbete som presenteras här nedan. Ingela Sjölin

3 Sammanfattning Brister i grundläggande taluppfattning, så som avsaknad av automatiserade talfakta, är ett hinder för fortsatt utveckling i matematik. Syftet med min studie har varit att se ifall det går att träna upp elevers huvudräkningsförmåga i årskurs 8, avseende addition och subtraktion inom talområdet 0 20 genom en strukturerad intervention samt att se ifall det finns skillnader i effekt av interventionen beroende på svårighet utifrån fördiagnosen. Fördiagnosen avslöjade att drygt hälften av eleverna som genomfört testet inte hade automatiserade kunskaper varpå de erbjöds delta i interventionen. Övriga elever utgjorde kontrollgrupp som inte erhöll träning i grundläggande talfakta. Eleverna har färdighetstränat additioner och subtraktioner inom talområdet 0 20 genom digitala träningsuppgifter i vilka eleverna erhållit direkt feedback. Studiens resultat bygger på data över tidsförbrukning och antal korrekt lösta uppgifter från fördiagnos och efterdiagnos. Resultatet har analyserats genom mixed ANOVA och visar en statistiskt signifikant effekt både för interventionen som helhet, men även för stora skillnader i effekt mellan grupperna. Som helhet har interventionsgruppen utvecklats genom interventionen, men det är eleverna som uppvisat störst svårighet med fördiagnosen som har förbättrat sig mest både vad gäller tidsförbrukning och antal korrekt lösta uppgifter. Diskussionen utgår i första hand från resultaten på gruppnivå, men även utifrån några individuella resultat som visat på anmärkningsvärda förbättringar genom interventionen. Resultatet visar även på behovet av framtida samarbete över stadiegränser för att förebygga att en så hög andel högstadieelever saknar automatiserade räknefärdigheter avseende addition och subtraktion vilket borde vara befäst i årskurs 3, i alla fall hos merparten av eleverna. Nyckelord: Aritmetik, Automatisering, Huvudräkning, Högstadiet, Intervention.

4 Innehåll 1. Inledning Syfte Teoretiskt perspektiv Teoretisk bakgrund Styrdokument Matematiska förmågor Grundläggande taluppfattning - Aritmetik Att utveckla en grundläggande taluppfattning Grundläggande tabellkunskaper och räknelagar Automatiserad huvudräkning När taluppfattningen brister Matematiksvårigheter Förebyggande och ingripande åtgärder Prevention Intervention Speciallärarens roll Metod Metodansats Urval Insamling av data För- och efterdiagnos Genomförande Verktyg för interventionens genomförande Analys Etiska ställningstaganden Resultat Resultat av interventionen på gruppnivå... 24

5 Interventionens effekt på tidsförbrukning Sammanfattning av resultat avseende tidsförbrukning Interventionens effekt på antal korrekt lösta uppgifter Sammanfattning av resultat avseende antal korrekt lösta uppgifter Exempel på individuella resultat Diskussion Resultatdiskussion Gruppnivå Individnivå Metoddiskussion Validitet och reliabilitet Specialpedagogiska implikationer Vidare forskning Referenser Litteratur Webbaserat läromedel Bilaga 1 Additionstabell och Subtraktionstabell Bilaga 2 - Missivbrev Bilaga 3 - Informationsbrev Bilaga 4 - För- och efterdiagnos Bilaga 5 Individuella resultat... 46

6 1. Inledning Elevers matematikresultat, eller brist därav, har varit ett välrepresenterat ämne i den allmänna debatten under flera år nu. Enligt Lunde (2011) är det inte enbart i Sverige som resultatet av PISA-undersökningarna resulterar i nedslående siffror. De övriga Nordiska länderna, bortsett från Finland, har enligt författaren liknande problem med elevers matematikkunskaper. Sverige har sedan 1995 deltagit i TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) och vid senaste undersökningen, 1995, deltog 56 länder. För första gången sedan 1995 presenterar resultatet en ökning av de svenska elevernas resultat både i matematik och naturvetenskapliga ämnen, men fortfarande är resultatet lägre än vid första mätningen. Glädjande nog syns resultatökningen både bland lågpresterande och högpresterande elever men trots ökningen hamnar svenska elevers resultat under genomsnittet för samtliga deltagande länder (Skolverket, 2016b). I en nyligen presenterad forskningsrapport (Löwing, 2016) där kartläggning av elevers matematikkunskaper presenteras utifrån diagnoser från Diamantmaterialet (Skolverket, 2013) visar resultatet att elever saknar djupare kunskaper inom alla räknebegrepp. När uppgifters svårighetsgrad överstiger de mest grundläggande kunskaperna så lyckas eleverna inte lösa dessa. Svårigheterna ses uppkomma redan i de tidiga skolåren och hänger i genom hela skoltiden (Löwing, 2016). Jag arbetar vid en högstadieskola och ser med frustration relativt många elever som inte har fungerande strategier för de allra mest grundläggande beräkningar så som addition och subtraktion. Dessa elever sitter mer eller mindre öppet och räknar på fingrarna, ofta med ett mindre lyckat resultat, vilket leder till stress och minskat självförtroende. Fungerande strategier för huvudräkning är en förutsättning för att kunna lösa matematiska problem. När eleven fastnar i beräkningarna kommer förståelsen för själva problemet i skymundan (Skolverket, 2013). Det blir dock ett dilemma, både på organisations-, grupp- och individnivå att på högstadiet backa bandet tillbaka till lågstadienivå. Svårigheterna är schemarelaterade, resursrelaterade och inte minst relaterade till individen och dennes känsla av att riskeras bli utpekad, vilket blir svårt att undvika eftersom dessa elever behöver arbeta på en nivå helt skild från övriga gruppen då dessa kunskaper och strategier ska repeteras och befästas. Otaliga gånger har jag, tillsammans med mina kollegor försökt hitta lösningar på hur vi skulle kunna hjälpa dessa elever på ett sätt som inte inkräktar på dem som individer eller på organisationen i övrigt. Genom examensarbetet såg jag en möjlighet att via en kvantitativ studie se ifall det gick att förbättra dessa elevers huvudräkningsförmåga på ett strukturerat sätt genom en intervention. 1

7 2. Syfte Syftet med studien har varit att undersöka hur en intervention påverkar den grundläggande taluppfattningen hos elever som ännu inte tillägnat sig detta på ett tillfredsställande sätt. Studien utgick ifrån följande forskningsfrågor: - Vilken effekt har en intervention på elevers grundläggande taluppfattning avseende huvudräkningsstrategier för addition och subtraktion i årskurs 8? - Kan man se en skillnad i resultat av interventionen beroende på elevens grad av uppfattade matematiksvårighet utifrån resultatet på fördiagnosen? 3. Teoretiskt perspektiv Taluppfattningens grunder börjar byggas upp redan innan barnen börjar skolan och fortsätter att utvecklas under de allra första skolåren (Skolverket, 2013; Löwing & Kilborn, 2003; McIntosh, 2008; Baroody, Bajwa & Eiland, 2009). En förutsättning är att möjligheter ges till rika tillfällen att möta matematiken i samspel med andra och med konkreta representationer (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009) i enlighet med de fem principerna (se 3.3.1) för hur taluppfattning utvecklas (Löwing, 2016). Gradvis byggs sedan kunskapen på, med start i konkret nivå för att efter hand abstraheras, från välkända uppgifter till generalisering av kunskapen så att den blir giltig i ett vidare sammanhang. (Löwing, 2016; Baroody, Bajwa & Eiland, 2009). En god taluppfattning bygger på förståelse, men även på automatiserade talfakta för att inte arbetsminnet ska belastas av beräkningar utan istället fokusera på förståelse och problemlösning (Löwing, 2016). För att automatisera talfakta krävs upprepad träning vilket inte står i motsatsförhållande till förståelse (ibid.). Däremot krävs förståelse för att den automatiserade kunskapen inte ska vara begränsad till välkända uppgifter, utan istället kunna bli generellt applicerbar (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009; McIntosh, 2008; Löwing, 2016; Skolverket, 2013). Ett perspektiv på taluppfattning kallat Active Construction View stämmer väl in på hur jag ovan har beskrivit synen på hur en god grundläggande taluppfattning utvecklas. Teorin utgår från att taluppfattningens grunder börjar byggas upp redan innan barnen börjar skolan och fortsätter att utvecklas under de allra första skolåren. En förutsättning är att möjligheter ges till rika tillfällen att möta matematiken i samspel med andra och med konkreta representationer. Automatiserad taluppfattning bygger på en väv av kunskaper så som räknelagar, mönster, talfakta och fungerande strategier och det är en långsiktig och komplex process (ibid.). Hur kan då elevers avsaknad av en god grundläggande taluppfattning förklaras? Anledningen till att jag genomför min studie och skriver detta examensarbete är ju elevers avsaknad av en god grundläggande taluppfattning 2

8 avseende automatiserade tabellkunskaper. Detta föranleder att i det teoretiska perspektivet lyfta fram troliga förklaringar till varför elever i årskurs 8 brister i grundläggande taluppfattning, och då automatiserade talfakta i synnerhet. Baroody, Bajwa & Eiland (2009) beskriver, parallellt med Active Contstruction View, ett annat perspektiv på taluppfattning kallat Passive Storage View vilket beskriver konsekvenserna av undervisning som inte tar hänsyn till att färdighetsträning behöver ha sin utgångspunkt i förståelse. Genom Passive Storage View kan visserligen kunskap automatiseras, men den blir inte generaliserbar och i förlängningen inte särskilt användbar varför automatiseringen inte blir till nytta (ibid.). Detta skulle kunna ses som en förklaring till de svårigheter jag ser hos mina elever men det finns även en annan tänkbar teori, nämligen att behovet att automatisera tabellkunskaper för addition och subtraktion inte getts nödvändigt utrymme i undervisningen då det är förhållandevis enkelt att räkna ut enklare additioner och subtraktioner till skillnad från multiplikationer (McIntosh, 2008). Ett hjälpmedel för att utföra beräkningar är miniräknaren och om eleverna använder miniräknare finns ingen nödvändighet att fortsätta ha tabellkunskaper lagrade i långtidsminnet vilket gör att de pressas tillbaka (Löwing & Kilborn, 2002). Det är skolan och undervisningen som ska anpassas efter elevers olika förutsättningar vilket överensstämmer med det kritiska perspektivet på specialpedagogik (Nilholm, 2007). Syftet med min studie bygger dock på flera dilemman i och med att elever på högstadiet saknar kunskaper som de förväntas ha förvärvat flera år tidigare. Det är en svårighet att inom ramen för ordinarie undervisning reparera detta varför jag samtidigt vill ansluta mig till dilemmaperspektivet, även beskrivet av Nilholm (2007) som det perspektiv som ligger närmast det sociokulturella perspektivet. Det kritiska perspektivet har en mer svartvit bild av inkludering än vad dilemmaperspektivet har. Personligen ser jag att elever kan må väldigt gott av att arbeta utanför klassrummet vilket i sig är exkluderande enligt det kritiska perspektivet. Jag ser även att det finns elever som blir exkluderade i en inkluderande miljö då de inte kan arbeta på lika villkor som övriga gruppen. Ytterligare ett dilemma är hur elever som saknar grundläggande taluppfattning ska bedömas uppnå kunskapskraven ifall de inte har tillfredsställande metoder för beräkningar annat än med stöd av miniräknare (Löwing, 2016). Mitt examensarbete skall, mot bakgrund av ovanstående, ses ur ett taluppfattningsperspektiv utifrån Active Construction View samt ur ett specialpedagogiskt perspektiv mot bakgrund av dilemmaperspektivet i första hand. 3

9 4. Teoretisk bakgrund I det här avsnittet kommer att jag presentera relevant bakgrund för min studie. Bakgrunden tar sin start i gällande styrdokument för att sedan redogöra för centrala begrepp utifrån forskning som berör matematikutveckling gällande aritmetik, svårigheter inom matematik samt förebyggande och åtgärdande insatser. 4.1 Styrdokument Undervisningen i grundskolan styrs av Lgr11 (Skolverket, 2016a) och ett av skolans övergripande mål är att alla elever ska inhämta kunskaper tillräckliga för att klara sin vardag och för matematikens del handlar det om att kunna använda och förstå den matematik som behövs i vardagslivet och för eventuellt fortsatta studier i matematik. Vad matematikundervisningen mer precist ska leda till för kunskaper och förmågor hos eleverna, framgår av det centrala innehållet för årskurserna 1 3, 4 6 och 7 9. Gemensamt för det centrala innehållet i de olika stadierna är att de är indelade i sex matematiska områden: Taluppfattning och tals användning, Algebra, Geometri, Sannolikhet och statistik, Samband och förändring samt Problemlösning. Till skillnad från kunskapskrav i vissa andra ämnen så som samhällsorienterande ämnen (SO) och naturorienterande ämnen (NO) där kunskapsområden betas av, bygger kunskapskraven i matematik på en progression i och med en ökande svårighetsgrad som bygger på kunskaper från föregående år och således tidigare kunskapskrav (Skolverket, 2016a). När det gäller huvudräkning avseende addition och subtraktion inom talområdet 0 20 så räknas detta till kunskapsområde Taluppfattning och tals användning och följande delar av det centrala innehållet för årskurs 1-3 är tillämpbara: Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning. De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer. Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer (Skolverket, 2016a). För godtagbara kunskaper i matematik i årskurs 3 som svarar mot ovanstående krävs att - Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal. - Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0 20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. (Skolverket, 2016a) 4

10 I de påföljande kunskapskraven för årskurs 4-6 och 7-9, finns inte huvudräkning uttryckt som beräkningsmetod utan eleverna förväntas ha tillägnat sig flera metoder för att utföra beräkningar och de ska kunna använda sig av dessa med tillfredsställande resultat (Skolverket, 2016a). 4.2 Matematiska förmågor Bedömning i matematik utgår från fem förmågor vilka eleverna ska ges möjlighet att utveckla genom undervisningen i skolan. De fem förmågorna är: Begreppsförmåga, Kommunikationsförmåga, Metodförmåga, Problemlösningsförmåga och Resonemangsförmåga (Skolverket, 2014a). De olika förmågorna är i realiteten inte särskilda från varandra utan är till viss del överlappande. Förmågorna bedöms i förhållande till varje område i det centrala innehållet för kursplanen i matematik (se 4.1). Följande redogörelse över de olika förmågorna utgår ifrån Skolverkets (2016a) definitioner om inte annat anges. Att elever har begreppsförmåga innebär att de ska veta vad begrepp betyder, hur de relaterar till varandra samt i vilka sammanhang begreppen kan användas. Exempel kan vara att förstå att addition innebär att slå ihop två kvantiteter till en större kvantitet eller att subtraktion innebär att ta bort en kvantitet från en större kvantitet och resultatet blir då en mindre kvantitet, alternativt att se skillnad i storlek mellan kvantiteterna. Begreppsförmåga innebär även att kunna jämföra begrepp och att hitta likheter och skillnader mellan begrepp som relaterar till varandra. Begreppsförmåga innefattar även att kunna beskriva begrepp, till exempel en summa, och det kan göras med hjälp av olika uttrycksformer så som bilder, konkret material eller det matematiska symbolspråket. Kommunikationsförmåga handlar om att kunna samtala med andra om matematik. Detta kan ske muntligt eller i skrift och för att kunna göra detta på ett ändamålsenligt sätt krävs att eleverna har utvecklat sitt språk till att omfatta de termer och begrepp som gör beskrivningar precisa för att undvika missförstånd. Likaväl som eleven ska kunna tala om matematik ska kommunikationsförmågan även innefatta att förstå vad andra säger, att kunna lyssna och följa andras förklaringar och tankar. Resonemangsförmåga tangerar kommunikationsförmåga i sin karaktär. Till skillnad från kommunikationsförmåga handlar resonemangsförmåga om att kunna resonera logiskt kring hur ett matematiskt samband kan se ut samt ha förståelse för att dessa samband är konstruerade av andra. I högre matematiska studier ingår att kunna bevisa och härleda begrepp, men i grundskolan läggs istället vikt vid att kunna resonera sig fram till lösningar. 5

11 Med metodförmåga menas att elever ska utveckla flera olika metoder för att operera med tal samt för att lösa så kallade rutinuppgifter. Huvudräkning, skriftlig räkning eller att kunna använda sig av tekniska hjälpmedel så som exempelvis miniräknare är exempel på metoder som eleverna ska utveckla förtrogenhet med. Metodförmåga innebär att kunna välja lämplig metod för att lösa sin uppgift eller sitt problem och sedan att använda denna metod på ett fungerande sätt och det innebär även att kunna rita diagram, koordinatsystem eller att kunna utföra mätningar. Att lösa problem handlar om att kunna lösa uppgifter utan given lösning, där det istället krävs kunskap om att hitta vägar som leder fram till en lösning av problemet eller situationen. Problemlösningsförmåga innefattar på grund av detta många matematiska förmågor, såsom metodförmåga, begreppsförmåga och resonemangsförmåga. Vad som anses vara ett problem är individuellt utifrån den kunskapsnivå eleven befinner sig samt vilka erfarenheter elever bär med sig. Enligt Hudson & Miller (2006) har forskare inom kognitiv vetenskap identifierat tre kunskapsområden inom matematik som är grundläggande för förmågan att lösa problem: Conceptual Understanding, Procedural Knowledge och Declarative Knowledge. Conceptual Understanding kan jämföras med Skolverkets definition Begreppsförmåga. Hudson & Miller (2006) menar i sin bok Designing and Impementing Mathematics Instruction för Students with Diverse Learning Needs att matematikundervisningens primära mål är att ge eleverna förutsättningar att förstå vad begrepp innebär eftersom all fortsatt matematikinlärning och generalisering av denna bygger vidare på detta. De menar också att det finns elever som saknar förståelse för underliggande begrepp som ändå klarar att utföra beräkningar. Dessa elever har då lärt sig proceduren men kan ändå sakna förståelse för vad exempelvis addition innebär och dessa elever får då problem att omsätta sina kunskaper till att gälla i problemlösningen. Procedural Knowledge är kunskaper om de strategier, så som procedurer och sekvenser, som behöver genomföras för att lösa problem eller utföra beräkningar. En stor del av matematikundervisningen läggs på att träna procedurer och enligt Hudson & Miller (2006) leder detta i förlängningen till att eleverna automatiserar sina kunskaper. McIntosh (2008) understryker hur viktigt det är att eleverna får möjlighet att memorera faktakunskaper, men att det måste vara förankrat i god begreppsförståelse. Declarative Knowledge kan beskrivas som faktakunskaper. För att utvecklas inom matematiken behöver grundläggande fakta så som exempelvis tiokamrater, dubblor och tabellkunskaper memoreras för att eleven snabbt och säkert ska kunna återkalla 6

12 informationen. Om inte dessa kunskaper är automatiserade, menar Hudson & Miller (2006), kommer eleven få svårt att komma vidare i sin matematikutveckling. 4.3 Grundläggande taluppfattning - Aritmetik Taluppfattning är ett stort matematiskt område och i kursplanen för matematik (Skolverket, 2016a) benämns området som Taluppfattning och tals användning. Berch (2005) redogör för forskningsfältets svårighet att enas i vad taluppfattning är och menar att det inte bara råder oenighet mellan enskilda forskare utan även mellan de olika forskningsdisciplinerna kognitiv vetenskap och utbildningsvetenskap. Uppfattningar att taluppfattning är genetiskt betingat kontrasterar mot att taluppfattning konstrueras genom upplevelse och samspel (ibid.). Det kan låta som att taluppfattning handlar om helt vitt skilda begrepp och förmågor, men oenigheten till trots finns det ändå en samsyn om kärnan i taluppfattning vilket exempelvis avspeglas i kursplaner (Skolverket, 2016a) och internationella test så som PISA och TIMSS (Skolverket, 2016b). Vad är det då som kan anses vara grundläggande inom området taluppfattning? I Skolverkets (2013) diagnosmaterial, den del som behandlar aritmetik (A), görs en indelning av området i förberedande aritmetik (AF), grundläggande aritmetik (AG), skriftlig aritmetik (AS) och slutligen utvidgad aritmetik (AU). I en sådan indelning ses grundläggande taluppfattning, tillsammans med den förberedande aritmetiken, omfatta följande grundläggande begrepp och samband där eleven förväntas behärska och tillämpa: tals ordning och dess grannar; talraden 10-bassystemet samt 10- och 100-talsövergångar de grundläggande räknelagarna tals uppdelning i termer och faktorer tals storleksordning; avrundning och överslagsräkning utföra beräkningar med de fyra räknesätten (Skolverket, Didaktiska kommentarer till A, sid 4) Hudson & Miller (2006) beskriver taluppfattning generellt och gör ingen indelning i grundläggande taluppfattning eller ej, men i deras beskrivning framgår att taluppfattning omfattar förmåga att uppfatta tals betydelse samt förmåga att med enkelhet kunna utföra beräkningar. De förklarar taluppfattning i likhet med ovanstående uppräkning med undantag för några tillägg som gäller för elever som uppfattas ha utvecklat en god taluppfattning: känna igen talmönster självständigt kunna utarbeta strategier för problemlösning 7

13 kan använda matematik i olika sammanhang kan resonera kring matematik på en mer avancerad nivå (Hudson & Miller, 2006, sid 171) Att känna igen talmönster, är en återkommande del av de diagnoser som finns i McIntosh (2008) handbok, Förstå och använda tal. Boken som tar sin utgångspunkt i de svårigheter som många elever hamnar i när det gäller matematik, är uppbyggd kring att hitta arbetssätt som leder elever vidare i sin taluppfattning. Uppgifterna med talmönster testar i huvudsak förmåga att se hur tal relaterar till varandra, storleksordning samt talraden i och med att eleven förväntas fortsätta mönster som bygger på att öka eller minska ett givet antal steg i taget. Mot bakgrund av ovanstående har ett försök gjorts att ringa in vad grundläggande taluppfattning kan tänkas vara, i nästa stycke redogörs för vad som krävs för att utveckla en god grundläggande taluppfattning Att utveckla en grundläggande taluppfattning Grundläggande taluppfattning börjar byggas upp redan innan skoltiden och förmågan att uppfatta små mängder, så kallad subitisering, är medfödd (Ahlberg, 1995; McIntosh, 2008). Allteftersom barnet blir större kommer det att genom samspel med sin omgivning gruppera, sortera och räkna föremål, de kommer möta former och figurer och genom lek och andra aktiviteter (Hudson & Miller, 2006). Under de första åren utvecklas taluppfattningen utifrån fem principer (Skolverket, 2013; Löwing, 2016). De första tre av dessa är: 1. Abstraktionsprincipen som innebär att det är möjligt att bestämma antalet föremål (element) i varje väl avgränsad mängd. 2. Ett-till-ett principen som innebär att man, genom att ordna föremål parvis, kan avgöra om två mängder innehåller lika eller olika många föremål. 3. Principen om godtycklig ordning som innebär att man får samma resultat oavsett i vilken ordning man räknar föremålen. De här tre principerna anses vara genetiskt nedärvda och brukar utvecklas i tidig ålder. För att barn ska kunna hantera dem krävs det emellertid en miljö där principerna kan användas. De två övriga principerna utvecklas i en social kontext (sammanhang) och kräver träning. Dessa principer är: 4. Principen om talens stabila ordning. För att kunna ange antalet föremål i en mängd krävs det att man gör en ett-till-ett tillordning (parbildning) mellan räkneord och föremål. Detta kräver att man behärskar talens namn i rätt ordning. 5. Antalsprincipen som innebär att det sist nämnda talnamnet vid en uppräkning (enligt princip 4) anger antalet föremål i den uppräknade mängden. 8

14 (Skolverket, Avsnitt Aritmetik sid 7) Just samspelet med andra och att få växa upp i en miljö där matematiken används betonas i Skolverket (2013) som en viktig faktor för att utveckla känsla för tal och dess användning. När barnet sedan börjar skolan har de oftast lärt sig räkneramsor och räkneord och enligt Ahlberg (1995) kan de flesta barn räkna till 30 när de börjar i förskoleklass medan Skolverket (2013) nämner att många barn kan benämna tal upp till 20 och att de kan även klarar att räkna lika många föremål. Den kunskap barnet har med sig när det börjar skolan kallas förkunskaper, och utgör den absoluta grunden för att utvecklas vidare i riktning mot en god grundläggande taluppfattning och för att kunna bygga vidare i sin matematikutveckling (Skolverket, 2013; Baroody, Bajwa & Eiland, 2009) Grundläggande tabellkunskaper och räknelagar Följande avsnitt är begränsat såtillvida att det endast berör tabellkunskaper och räknelagar avseende addition och subtraktion inom talområdet 0-20 eftersom detta ligger i studiens fokus. Till en god grundläggande taluppfattning hör att kunna utföra additioner och subtraktioner inom talområdet 0 20, de så kallade additions- och subtraktionstabellerna (bilaga 1). De innehåller var och en 190 kombinationer som eleven bör behärska eftersom de utgör stommen i såväl huvudräkning som skriftlig räkning (Löwing & Kilborn, 2002). Undervisningen i de grundläggande additions- och subtraktionstabellerna tar sin början i det som kallas för lilla additions- och subtraktionstabellen, det vill säga talen inom talområde 1-10 och då med talen och deras grannar till höger och vänster alltså +1 och -1. Senare tränas talen grannar till höger och vänster med +2 och -2 och vidare +3 och -3 (Skolverket, 2013; Löwing & Kilborn, 2003). McIntosh (2008) benämner detta som uppåträkning och nedåträkning ett steg i taget. Kunskaperna över den lilla additionstabellen kan sedan generaliseras för att utföra beräkningar inom talområde Om man vet att = 5 är det också lätt att beräkna alternativt (Löwing & Kilborn, 2003). Vanlig arbetsgång för att befästa kombinationerna i additions- och subtraktionstabellerna är: - Talkamraterna - Tiokamraterna - Dubbelt/Hälften - Nära dubbelt/hälften 9

15 - Addera/Subtrahera 10 - Gå vägen om 10 - Samband mellan addition och subtraktion - Räknelagarna (Skolverket, 2013; McIntosh, 2008; Löwing & Kilborn, 2003) Räknelagarna för addition är kommutativa lagen samt associativa lagen. Förståelse för dessa innebär att veta att = (associativa lagen) eller att = (kommutativa lagen) samt förståelse för att dessa regler inte gäller för subtraktion Automatiserad huvudräkning Huvudräkning är den viktigaste metoden för att utföra beräkningar och för att elever ska utveckla sin känsla för tal (McIntosh, 2008) och utgör även grunden för att elever ska kunna utvecklas och kunna ta sig an matematik på högre nivå (Price, Mazzocco & Ansari, 2013; Löwing & Kilborn, 2003). En förutsättning för att snabbt kunna utföra beräkningar i huvudet är att eleverna har kunskaper om de grundläggande talkombinationerna. Till skillnad från algoritmräkning (uppställd räkning), som i princip alltid utförs på samma sätt kan metoden att utföra beräkningar med hjälp av huvudräkning göras på flera olika sätt. Att utföra beräkningar snabbt och effektivt med hjälp av huvudräkning förutsätter att man har kunskaper om tillämpbara räknelagar och att man kan vara flexibel i sitt val av huvudräkningsstrategi beroende på de ingående talen (Löwing & Kilborn, 2003). Även i algoritmräkningen är huvudräkningen en viktig komponent. Fördelen med att räkna med hjälp av en algoritm är att beräkningen kan utföras talsort för talsort vilket gör att minneskapacitet kan frigöras till förmån för nya operationer (Löwing & Kilborn, 2003). Grunden till att utföra beräkningar med hjälp av algoritmer är dock huvudräkning och för att kunna bli effektiv behöver eleven ha goda kunskaper i räknelagar, tabellkunskaper och hur tal kan delas upp. När dessa grundläggande matematiska kunskaper är automatiserade har eleven stor möjlighet att välja det sätt som på minsta möjliga sätt belastar arbetsminnet (Löwing & Kilborn, 2003). Att man har automatiserat sina kunskaper innebär att man snabbt och säkert kan hämta information som finns lagrat i långtidsminnet (McIntosh, 2008; Bentley & Bentley, 2016; Skolverket, 2013). För att talkombinationer ska lagras i långtidsminnet behöver elever omfattande träning i huvudräkning, där de samtidigt får bekräftelse på att beräkningarna är korrekta. Om inte, finns risken att det lagras flera möjliga lösningar till en och samma beräkning vilket leder till att det är lönlöst att söka svaret i minnet eftersom det saknas 10

16 regelbundenhet i svaren (Bentley & Bentley, 2016). Till skillnad från nämnda forskare, som tycks poängtera minnesträning med snabb korrekt feedback, menar Skolverket (2013), Löwing & Kilborn (2003) samt McIntosh (2008) att i de fall eleverna inte har automatiserat sina talfakta behöver eleverna gå tillbaka till det konkreta stadiet för att utveckla strategier för automatisering eftersom förståelse för begrepp är starkt sammankopplat med färdigheter i räkning (Löwing, 2016). Baroody, Bajwa & Eiland (2009) räknar upp tre faser som är typiska för att lära sig grundläggande taluppfattning, eller mer specifikt de grundläggande talkombinationerna. 1. Räknestrategier muntlig eller tyst räkning, med eller utan föremål. 2. Resonemangsstrategier härleder svaret i en okänd uppgift genom att använda sig av tidigare inlärd fakta. 3. Behärskande/Automatisering Hittar svaren snabbt och effektivt i minnet, De två första faserna kännetecknas av långsamma, medvetna processer medan fas tre kännetecknas av snabba processer som inte kräver eftertanke, det vill säga automatisering. (ibid.). Baroody, Bajwa & Eiland (2009) redogör för att den tredje fasen ovan, kan uppnås på olika sätt ett mindre effektivt genom rutinmässig träning (Passive Storage View) eller ett mer effektivt sätt som bygger på memorering utifrån en djupare förståelse (Active Construction View). Den rutinmässiga träningen, även kallad passiv inlärning, kan visserligen leda till automatisering men kunskapen leder ofta till att eleven inte kan generalisera sina kunskaper i och med att kunskaperna inte behöver vara förankrade i de två första inlärningsfaserna, vilket redogjorts för i tidigare stycke. Minnesbilden av kunskapen kan liknas vid att lagra varje minne isolerat från de andra minnesbilderna. Aktiv inlärning däremot förutsätter att inlärningen bygger på god förankring i de två föregående inlärningsfaserna och resultatet blir att minnesbilderna vävs samman och kopplingar knyts mellan begrepp och fakta. Automatisering som bygger på aktiv inlärning resulterar i en djupare förståelse för hur grundläggande talfakta relaterar till varandra samt att kunskapen blir användbar i ett generellt sammanhang (ibid.). Löwing & Kilborn (2003) lyfter fram att trenden inom skolan varit att träning har fått stå tillbaka till förmån för förståelse. En anledning till detta är att kunskapssynen på senare år har ändrats från att ha fokuserat på utantillkunskaper till att bygga på förståelse (Löwing, 2016). Träning är en viktig del i att automatisera sina kunskaper och för att utföra operationer med flyt. Författarna menar att bristen på träning skulle kunna vara en orsak till de svårigheter många elever i högre skolår uppvisar. Price, Mazzocco & 11

17 Ansari (2013) har i sin forskning visat att det är ytterst avgörande att elever automatiserar den grundläggande aritmetiken då detta påverkar all fortsatt matematikinlärning. Författarna lämnar inga pedagogiska riktlinjer till hur undervisningen på ett bättre sätt skulle kunna stödja automatiseringen av grundläggande talkombinationer, men pekar samtidigt på att elever i länder med goda matematikresultat ägnar mer tid åt aritmetisk träning vilket skulle kunna vara en förklaring. Skolverket (2013) påtalar vikten av att skolan, redan när eleven börjar första klass, ska erbjuda stora möjligheter att upptäcka, träna och samtala om matematik för att eleverna på sikt ska kunna automatisera sina kunskaper. Grunden bör ta sin utgångspunkt i konkret material för att senare övergå i mer och mer abstrakta former av matematik och rika tillfällen till att praktisera och memorera kommer att leda till att eleverna kan räkna med flyt. En automatiserad taluppfattning kan liknas vid att kunna läsa med flyt utan att behöva reflektera över varje bokstav eller ord, utan att de kognitiva resurserna kan frigöras till att förstå vad texten förmedlar (ibid.). McIntosh (2015) betonar att undervisningen först måste utgå ifrån att utveckla strategier och förståelse av samband mellan begrepp. Senare övergår undervisningen till att memorera kunskaperna man förvärvat och dessa två steg i undervisningen får inte blandas ihop (ibid.). 4.4 När taluppfattningen brister De elever som brister i matematikens grunder får mycket små möjligheter att klara matematiken vidare i sin utbildning (Skolverket, 2013; Löwing & Kilborn, 2003; McIntosh, 2008; Baroody, Bajwa & Eiland, 2009). För de elever som inte hänger med i skolans matematik, kommer vardagen att bli svårare att hantera. Det är till exempel svårt att kontrollera summor i samband med inköp eller göra beräkningar för sin egen ekonomiska situation ifall man inte har med sig baskunskaper i matematik (Löwing & Kilborn, 2002). Svaga matematiska kunskaper visar sig även påverka möjligheter till arbete vilket påpekas i förordet till den svenska utgåvan av Lundes (2011) översikt över matematiksvårigheter och det forskningsfält som belyser dessa svårigheter. Taluppfattning och tals användning, ett av de centrala områdena i matematik (Skolverket, 2016a) påverkar alla de andra centrala områdena i de fall det ingår beräkningar för att lösa uppgifter, vilket det i de allra flesta fall gör. I geometri skall eleven klara att beräkna area och volym, i statistik ska eleven klara att räkna ut ett medelvärde för att ge ett par exempel. En följd av bristande taluppfattning och avsaknad av automatiserade sifferkombinationer är att eleven utför beräkningar långsamt och inte sällan med ett felaktigt resultat, såtillvida att inte hjälpmedel i form av miniräknare är tillåtet att använda. Elever med bristande 12

18 taluppfattning använder sig av icke fungerande strategier i högre grad (McIntosh, 2008; Skolverket, 2013) vilket visar sig i hur eleven tolkar och tänker sig lösa det problem eleven har framför sig. När taluppfattningen brister påverkar detta även självförtroendet i hög grad och eleverna har ofta gett upp tron på sig själva vad gäller matematik (Bentley & Bentley, 2016). I de fall där brister i taluppfattning uppstår redan i tidiga skolår kan detta utvecklas från att ha varit en specifik svårighet med exempelvis att minnas talfakta till en mer generell svårighet som spänner över matematiken som helhet (Adler, 2007). Den största orsaken till att barn inte behärskar de grundläggande talkombinationerna är enligt Baroody, Bajva & Eiland (2009) att eleverna inte har getts möjlighet att utveckla sin taluppfattning innan de börjar skolan eller i de allra första skolåren. Price, Mazzocco & Ansari (2013) menar att övergången från att räkna med primära procedurer så som verbal räkning och fingerräkning till att använda sig av minnesbaserad räkning är avgörande för fortsatt utveckling i matematik varför det är viktigt att uppmärksamma de elever som inte automatiserar talfakta. Det är viktigt att redan i förskoleklass få syn på de tecken som kan skvallra om att förkunskaper saknas och att även uppmärksamma de elever som inte utvecklas i önskvärd riktning (Skolverket, 2013). Återkommande bedömning för att få syn på vilka begrepp eleven behärskar och vilka begrepp läraren behöver undervisa mer om, måste utgöra en del av undervisningen redan i de allra första skolåren (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009; Hudson & Miller, 2006) Matematiksvårigheter Många elever uppvisar svårigheter i matematik och orsakerna kan vara allt från bristande undervisning, långvarig frånvaro eller mer specifika svårigheter med att lära sig matematik (Lunde, 2011; Butterworth & Yeo, 2010). Det finns flera olika definitioner av matematiksvårigheter och forskningen är inte helt enig (Mazzocco, 2007). Ett begrepp som inte är så snävt, är Mathematical Difficulties (MD) som innefattar de elever som på olika sätt visar på svaga prestationer (ibid.) och en svensk översättning av detta är just matematiksvårigheter (Lunde, 2011). Begreppet är, enligt författaren, praktiskt att använda sig av såtillvida att det speglar matematiksvårigheter ur ett relationellt perspektiv som uppkommer mellan individens förutsättningar och mötet med sin omgivning så som undervisningens innehåll och dess former. Lunde (2011) redogör för en samspelsmodell framtagen av Olof Magne och som kallas MIO (Matematiken Individen Omgivningen). Dessa tre faktorer samspelar och när det uppstår en störning i samspelet kan denna finnas såväl inom som utom individen. Ett snävare begrepp som också är vanligt inom forskningen är Mathematical Learning Disabilities (MLD) vilket även allt oftare används synonymt med 13

19 Dyskalkyli eller Specifika Matematiksvårigheter (Lunde, 2011). I det här begreppet ryms inte de elever vars svårigheter beror på yttre faktorer, utan härrör sig istället till individen och fokuserar det eleven inte behärskar (Mazzocco, 2007; Lunde, 2011). MLD, eller dyskalkyli uppskattas förekomma hos 3,6 6,5 % av befolkningen (Butterworh & Yeo, 2010) och det definieras utifrån flera kriterier så som minnesfunktion, språkfunktion, strategianvändning och rumsuppfattning (Lunde, 2011). En viktig, men också omdiskuterad faktor (Berch 2005), är ifall tid spelar en avgörande roll för att mäta ifall elever ha automatiserat sin grundläggande taluppfattning. Enligt Berch (2005) syns denna skilda uppfattning i utvecklandet av instrument som screenar elever för eventuella matematiksvårigheter. Vissa forskare menar att det saknas bevis för att tiden det tar att utföra beräkningar skulle vara en viktig faktor i dessa sammanhang, samtidigt som annan forskning pekar på att tid, tillsammans med precision visar på stora skillnader i hur information bearbetas. Berch (2005) lyfter fram flera studier som visar att elever med matematiksvårigheter eller dyskalkyli, jämfört med elever utan svårigheter, använder avsevärt mycket mer tid för att jämföra storleken på tal trots att det inte går att se skillnader i antalet korrekt lösta uppgifter. Tiden blir, mot bakgrund av detta, en viktig faktor när det gäller att få syn på de elever som brottas med svårigheter i matematik och det finns en risk att dessa elever inte får den undervisning de har rätt till om man enbart ser till deras lösningsfrekvens på uppgifter. Elever med MLD/Dyskalkyli kan ha god förståelse för matematiken trots att de inte har automatiserat sina kunskaper vilket utmärks av långsammare tempo, och dessa elever kompenseras för sina svårigheter med pedagogiska och tekniska hjälpmedel (Adler, 2007) Förebyggande och ingripande åtgärder Alla klassrum kännetecknas av att där finns elever med olika förutsättningar för lärande. Förutom bakgrund, sociala- och kulturella skillnader och inställning till ämnet måste även hänsyn tas till varje individs förkunskaper, motivation och kognitiva förmåga (Skolverket, 2016a). För elever som halkar efter i sin matematikutveckling kan åtgärder sättas in på olika nivåer och i olika omfattning. Vanligen kallas förebyggande åtgärder för prevention och mer ingripande åtgärder för intervention vilket är de begrepp som kommer att användas fortsättningsvis Prevention Fuchs & Fuchs (2001) redogör för en åtgärdsmodell i tre steg: Primär, Sekundär och Tertiär prevention vilken i viss mån är lätt att översätta till vårt svenska system med Anpassningar och Särskilt stöd (SFS 2010:800). 14

20 Primär prevention tar sin plats i det ordinarie klassrummet och kännetecknas av högt tempo, varierande instruktioner och gruppaktiviteteter, självvärderingar och till sist höga förväntningar från läraren. Som ett led i preventionen bedöms elevernas framsteg återkommande genom databaserade tester. Eleverna får sedan ta del av sina utvecklingskurvor varannan vecka och utifrån dessa formulera egna mål för den kommande tvåveckorsperioden. Testerna ger även läraren värdefull information om hur undervisningen ska planeras och individualiseras framåt (Fuchs & Fuchs, 2001). Sekundär prevention blir nästa steg i denna åtgärdstrappa. Även denna bedrivs i klassrummet, men skillnaden är att åtgärderna är mer individuella och tar sin utgångspunkt i elevers mer specifika behov av undervisning. Behovet synliggörs i och med de återkommande tester som genomförs i den primära interventionen. Läraren kan tillsammans med eleven identifiera vilket behov som föreligger och sätta upp rimliga mål tillsammans. Här kan läraren behöva konsultera exempelvis speciallärare för att hitta strategier och metoder som bättre gynnar elevens fortsatta inlärning. Den sekundära interventionen kan jämföras med det vi i Sverige benämner som anpassningar inom ramen för den ordinarie undervisningen (SFS 2010:800). Viktiga utgångspunkter i den sekundära preventionen är att eleven inte ska känna sig utpekad eller att klassen i övrigt inte ska bli störd av de extra anpassningar som görs. Dessutom måste åtgärderna vara möjliga för den ordinarie läraren att bemästra och genomföra (Fuchs & Fuchs, 2001). Tertiär prevention även kallat intervention tar vid där den sekundära interventionen inte räcker till. Intervention är en mer ingripande åtgärd då det ofta innebär att eleven lämnar ordinarie klass för att få specialpedagogiskt stöd, vanligtvis av speciallärare. Enligt Fuchs & Fuchs (2001) kännetecknas den tertiära preventionen av intensiv och mycket strukturerad undervisning som tar sin utgångspunkt i eleven och dennes individuella behov. I den svenska skolan krävs, för ett stöd av denna omfattning, att rektor fattar beslut om särskilt stöd (SFS 2010:800) och behovet av stöd samt i vilken omfattning ska framgå genom utredning av elevs behov av särskilt stöd. Ofta ges stödet av speciallärare som genom sin utbildning har större kunskap om elevers matematikutveckling samt större möjlighet att möta elever individuellt eller i mindre grupperingar (SFS 2011:186). Stödet dokumenteras i ett åtgärdsprogram och effekten av insatserna ska utvärderas regelbundet (Skolverket, 2014b) Intervention I föregående stycke redogjordes för en prevention som även kan räknas till intervention. Det finns även andra tankar och tillvägagångssätt men gemensamt är att dessa är åtgärdande till skillnad från prevention som är förebyggande. Ett vanligt begrepp när det kommer till 15

21 interventioner är Response To Intervention (RTI) vilket egentligen inte är en intervention i sig, utan ett verktyg som kan användas i syfte att diagnostisera ifall en elev skulle kunna sägas ha specifika matematiksvårigheter, så kallad dyskalkyli (Gersten, Clarke & Mazzocco, 2007; Lunde, 2011). Kortfattat kan RTI beskrivas som kartläggning åtgärder utvärdering och det är effekten av åtgärden som fokuseras särskilt. En elev med specifika matematiksvårigheter, torde inte utvecklas till följd av interventionen utan svårigheterna skulle indikeras vara av en mer bestående natur (Lunde, 2011). Vanliga rekommendationer för elever med svårigheter i matematik är att explicit undervisning är till stor hjälp och då framförallt genom att få möjlighet att använda sig av olika uttrycksformer och med hjälp av laborativt material, tydliga instruktioner och samtal om den matematik som står i fokus (Lundberg & Sterner, 2009; Adler, 2007). Forskning på interventionsstudier har, enligt Lundberg & Sterner (2009) påvisat goda effekter på elevers lärande när klassrumsundervisningen kombineras med individuell träning. Enligt författarna påvisas den goda effekten framförallt på de yngre eleverna, vilket står i kontrast till vad Almqvist, Malmqvist & Nilholm (2015) kommer fram till i sin forskningsöversikt publicerad i Vetenskapsrådets rapport Tre forskningsöversikter inom området specialpedagogik/inkludering (2015). Utifrån översikten drar de slutsatsen att interventioner tycks ge bättre resultat hos elever i de senare årskurserna än i de lägre. Elever med stora svårigheter visade sig också hjälpta av interventioner i matematik. Översikten visade även att datorbaserade träningsprogram hade effekt på lärandet även på lång sikt men även att lärarledd undervisning vars innehåll kunde knytas till den ordinarie undervisningen hade bättre effekt än om innehållet tränade annat kunskapsinnehåll. Interventioner är som beskrivits inriktade mot elever som av olika anledningar halkat efter i matematikundervisningen. Eftersom allt fler elever bedöms ha svårigheter i matematik (Caviola, Gerotto & Mammarella, 2016) har intresset för interventioner, vars avsikt är att stärka grundläggande kunskaper i matematik ökat. Trots det ökande intresset, finns det relativt lite, både nationell och internationell, forskning om just interventioner i matematik som även innefattar beräkningar, men Caviola, Gerotto & Mammarella (ibid.) har genomfört en färsk studie i vilken man studerat effekterna av datorbaserad intensivundervisning i åk 3 och 5 som innefattade beräkningar med addition och subtraktion. De testade två olika typer av datorbaserad träning, en strategiskt baserad där eleverna fick instruktioner och en processbaserad där eleverna skulle lösa uppgifterna på egen hand. En kontrollgrupp helt utan träning fanns också. Resultatet visar på skillnader i utveckling mellan grupperna där de yngre 16

22 eleverna utvecklades mer i de fall där instruktioner ingick, medan de äldre eleverna utvecklades mest när de fick lösa problemen utan instruktioner. Det har som sagt varit svårt att hitta internationell forskning över interventioner för äldre elever som innefattar beräkningar inom grundläggande taluppfattning. I Sverige har olika interventioner testats inom ramen för examen på avancerad nivå, men jag hittar ingen studie vars upplägg liknar mitt eget. Trots detta kan det vara intressant att kort redovisa några av dessa som bakgrund till min egen intervention genomfördes en fallstudie (Meyer, 2015) där två elever i årskurs 9 genomförde en 10 veckors intervention i matematik. Eleverna genomförde taluppfattningstest utifrån McIntosh (2008) före och efter interventionen och resultatet visade på en förbättring om 12 respektive 36 procent för de båda eleverna. Ytterligare en intervention (Therén & Wahlsten, 2015) med kvalitativ ansats genomfördes med elever i årskurs 4 och 7. Syftet var att se hur strategeier för räkneflyt inom talområdet kunde utvecklas med hjälp av Wendickmodellen. Resultatet visade att eleverna utvecklades genom interventionen som pågick i fem veckor, men att det skulle krävas mer tid för full automatisering. Schyrman (2015) genomförde också en studie 2015 över ett interventionsprogram i årskurs 7. Studien hade en kvantitativ ansats och syftet var att se ifall en intervention bestående av träning av tabellkunskaper (talområde 0 20) och diskussioner om strategier i kombination med minuttester kunde ha effekt på elevers automatisering. Elevernas resultat jämfördes med en kontrollgrupp som enbart genomförde minuttester. Resultatet visade ingen signifikant skillnad mellan interventionsgruppen och kontrollgruppen från förtest till eftertest även om interventionsgruppen tenderade att förbättra sig något mer än kontrollgruppen. 4.5 Speciallärarens roll Speciallärarens roll är, bland annat att, arbeta tillsammans med de elever som har svårt att nå kunskapskraven trots anpassningar av den ordinarie undervisningen. Ytterligare en av speciallärarens uppgifter är att undanröja de hinder som gör det svårt för vissa elever att följa den ordinarie undervisningen (SFS 2011:186). Arbetet med anpassningar och stöd skall i första hand ges i den ordinarie grupp som eleven tillhör (Skolverket, 2016a) och det bygger på tanken att ingen elev ska exkluderas. Omfattningen av speciallärarens arbete spänner över ett stort område och innefattar bland annat att arbeta förebyggande, undanröjande, utredande, handledande och åtgärdande (SFS 2011:186). Ett av speciallärarens uppdrag är alltså att förebygga att svårigheter uppstår samt att undanröja de hinder som kan stå i vägen för elevers kunskapsutveckling (ibid.). En stor del av det förebyggande arbetet kan ske inom ramen för elevhälsans arbete där specialläraren kan bidra med specialpedagogisk kompetens (SFS 17

23 2010:800). Utifrån ett övergripande perspektiv kan hinder i lärmiljön identifieras och genom handledning och samarbete med övrig personal kan specialläraren arbeta för att undanröja dessa hinder (Skolverket, 2014b). Ett exempel på detta är att hitta lösningar för att stärka elevers grundläggande taluppfattning. Om det upptäcks hinder i form av bristande taluppfattning är det angeläget att hitta arbetsformer som är vetenskapligt förankrade och som även bygger på beprövad erfarenhet (SFS 2011:186) för att hjälpa eleverna att komma förbi detta hinder. Samarbete med, och handledning tillsammans med undervisande lärare kan göra att undervisningen anpassas bättre efter elevernas behov så de känner att de får det stöd de behöver. I vissa fall, när svårigheterna är så pass stora att anpassningar inte räcker till, behöver elevens behov av särskilt stöd utredas vilket ingår i speciallärarens yrkesroll att utföra. Om behoven inte kan tillgodoses genom anpassningar inom ramen för ordinarie undervisning skall åtgärdsprogram upprättas där behoven tydligt framgår samt vilka åtgärder som konkret svarar mot dessa behov (Skolverket, 2014b). 5. Metod 5.1 Metodansats Kvalitativa och kvantitativa forskningsansatser skiljer sig åt så tillvida att den kvalitativa ansatsen ofta är mer förutsättningslös i sitt förhållningssätt medan den kvantitativa ansatsen förhåller sig till en teori som kan bekräftas eller förkastas. Den kvalitativa ansatsen utgår från ett induktivt tänkande medan den kvantitativa ansatsen utgår från ett deduktivt tänkande (Olsson & Sörensen, 2002). Den kvalitativa ansatsen lämpar sig väl för att studera exempelvis attityder och synsätt hos en grupp medan den kvantitativa ansatsen lämpar sig bättre för analys av sifferdata (Patel & Davidsson, 1994). Utifrån syftet med min kommande studie, där jag vill undersöka ifall elever kan förbättra sin strategi avseende huvudräkning ser jag att en kvantitativ ansats svarar bäst mot detta. En kvantitativ metodansats lämpar sig när man vill analysera statistisk data i numerisk form (Bryman, 2011) vilket jag kommer att göra i min studie. Studien är designad utifrån kvasiexperimentell design, utan formell kontrollgrupp, eftersom det av etiska skäl inte är lämpligt att utesluta elever i behov av stöd från interventionen (se Etiska ställningstaganden 6.4). 5.2 Urval Urvalsramen utgörs av samtliga elever i årskurs 8 (N = 121 elever) vid en grundskola i en mindre kommun. Ett utskick (bilaga 2) gjordes till samtliga vårdnadshavare i åk 8 för att 18

24 inhämta samtycke till att deras barn medverkade i studien och svaren fördelades enligt följande: 64 ja, 14 nej och 43 har ej svarat. Efter detta vägrade fyra elever att delta, vilket ledde till att 60 elever genomförde den digitala diagnosen som utgjort grund för urvalet till studien. De elever (N=36) vars resultat indikerade att de inte hade automatiserat sina kunskaper utifrån lång tidsförbrukning och/eller högt antal fel erbjöds att delta i intensivundervisningen. Ytterligare ett utskick (bilaga 3) gjordes till dessa vårdnadshavare för att informera om att deras barn var i behov av undervisning samt för att säkerställa att eleverna skulle genomföra intensivundervisningen fullt ut. I detta utskick framgick även den ändring av studiens genomförande som gjordes utifrån att det var så många elever som inte klarade gränsen för testet att det inte var praktiskt genomförbart med två olika studier. Orsaken till detta var framförallt brist på flera salar av tillräcklig storlek. Efter detta föll ytterligare fem elever bort, vilket resulterade i att 31 elever deltog i interventionen från start (flickor=19, pojkar=12). Vid den avslutande diagnosen var flera elever borta vilket resulterade i ett bortfall om 5 elever ur interventionsgruppen och 7 elever ur kontrollgruppen. 5.3 Insamling av data För- och efterdiagnos För- och efterdiagnosen (bilaga 4) är utformad utifrån Skolverkets (2013) diagnosmaterial Diamant och mer specifikt genom ett urval av uppgifter från diagnoserna som testar kunskaper inom området grundläggande aritmetik (AG) och då närmare bestämt AG1, AG2 samt AG3. Dessa tre diagnoser testar sammantaget kunskaper vilka är relevanta för studien. För- och efterdiagnosen som testar additioner och subtraktioner inom talområdet 0 20, konstruerades digitalt vilket har underlättat rättning och analys av elevernas resultat. För att säkerställa att elever har utvecklat sitt matematiska kunnande inom avsett område bör det finnas med flera uppgifter av liknande slag för att undvika att diagnosen blir missvisande (Hudson & Miller, 2006) vilket är en faktor som Diamantdiagnoserna (Skolverket, 2013) tillgodoser i och med sin utformning. Den digitala diagnosen omfattar 75 uppgifter totalt, där varje delmoment testas med minst 6 uppgifter. I handledningen till Diamantdiagnoserna (ibid.) föreskrivs att läraren gör en uppföljning av elevers kunskaper i de fall de gjort ett fel eller mer. Rekommendationen är att uppföljningen görs i intervjuform. I min studie har jag ingen möjlighet att följa upp varje elevs felsvar, det kändes heller inte helt rättvist att de under tidspress skulle klara alla uppgifter. Jag valde en gräns baserat på att eleverna skulle klara cirka 90% av uppgifterna vilket motsvarade 67 korrekta svar. En viktig faktor att överväga är tidsaspekten, vilken är en bra indikator på ifall elever har automatiserat sina kunskaper (Butterworth & Yeo, 2010). Diamantdiagnoserna (Skolverket, 19

25 2013) rekommenderar en tidsåtgång på 2-3 minuter (AG1) och 3-4 minuter (AG2 och AG3) vilket ger en tidsåtgång per tal på 3,3-5 sekunder (AG1) och 5,0 6,7 sekunder (AG2 och AG3). Bentley & Bentley (2016) menar att 3 sekunder är den tid det tar att utföra en beräkning med hjälp av huvudräkning vilket är en hårdare gränsdragning än vad som görs i Diamant. Mot bakgrund av detta och att innehållet i diagnosen enbart testat rena tabellkunskaper, sågs en rimlig tidsåtgång i studiens för- och efterdiagnos vara max 4 sekunder per uppgift vilket ledde till en cut-off på 5 minuter. Diagnosen har genomförts tre gånger av de elever som ingår i interventionen. De elever som klarade gränsvärdena på fördiagnosen, tillsammans med de elever som av olika anledningar inte deltog trots behov av intervention, har genomfört diagnosen två gånger och utgör en informell form av kontrollgrupp. Som redovisningen av resultatet senare kommer att avslöja, har jag valt att inte redovisa alla tre diagnostillfällena som interventionsgruppen genomförde. Mellandiagnosen tillförde inget till resultatet, utan var mer ett sätt för mig att under interventionens gång, se att vi var på rätt väg Genomförande Från början var avsikten att interventionen skulle genomföras på två olika sätt. En grupp skulle träna med hjälp av lärarledd undervisning och den andra gruppen skulle få träna i form av databaserad träning. Syftet var att se ifall det gick att utläsa några skillnader i effekt av de olika interventionerna (se bilaga 2). Som jag redogjort för i stycke 6.2 visade sig antalet elever i behov av träning vara så stort att det inte var praktiskt genomförbart med två grupper, varför studien fick designas om. Istället genomförde de 31 eleverna samma intervention utifrån följande lektionsplanering: Vecka Lektion Innehåll 9 1 5:ans talkamrater Addition upp till 5 Subtraktion upp till 5 Addition och subtraktion upp till 5 (blandat) 2 6:ans talkamrater Dela upp talet 6 Addition upp till 5 (repetition) Subtraktion upp till 5(repetition) :ans talkamrater Dela upp talet 7 Addition upp till 5 (repetition) Subtraktion upp till 5(repetition) 5 8:ans talkamrater Dela upp talet 8 Addition upp till 10 Subtraktion upp till 10 20

26 6 9:ans talkamrater Dela upp talet 9 Addition upp till 10 (repetition) Subtraktion upp till 10 (repetition) :ans talkamrater Addition upp till 10 (repetition) Subtraktion upp till 10 (repetition) Addition och subtraktion upp till 10 (blandat) 8 Addition och subtraktion upp till 10 (blandat repetition) Addition upp till 20 utan övergång (generalisering) Subtraktion upp till 20 utan övergång (generalisering) 9 Eleverna genomför diagnosen för mittresultat Addition öka med 10 Addition upp till 20 med övergång Subtraktion upp till 20 med övergång Addition och subtraktion upp till 20 med övergång (blandat) 11 Addition upp till 15 Addition upp till 20 med övergång (repetition) Subtraktion upp till 20 med övergång (repetition) 12 Addition upp till 20 med övergång (repetition) Subtraktion upp till 20 med övergång (repetition) Addition upp till 20 med övergång (repetition) Subtraktion upp till 20 med övergång (repetition) 14 Addition upp till 20 med övergång (repetition) Subtraktion upp till 20 med övergång (repetition) 15 Eleverna genomför diagnos för slutresultat Det fanns utrymme att genomföra interventionen mellan veckorna 9 13 och inom den tidsramen frigjordes 15 tillfällen till interventionen. Två av dessa tillfällen innehöll ingen träning då eleverna genomförde samma diagnos som innan interventionen. Interventionen hölls av en undervisande lärare i matematik som erhöll stöd och instruktioner för genomförande från mig som speciallärare. Den undervisande läraren har haft en relativt passiv roll, då eleverna har tränat grundläggande taluppfattning via sin dator, se Verktyg för interventionens genomförande Som träningsverktyg har det digitala träningsprogrammet Nomp (Selessia AB, n.d) använts. Nomp är uppbyggt av ett batteri av träningsuppgifter som är framtagna utifrån det centrala innehållet i läroplanen Lgr11 (Skolverket, 2016a) och utifrån Diamantdiagnosernas uppbyggnad (Skolverket, 2013) 1. Genom att använda mig av Nomp kunde jag skräddarsy varje träningstillfälle utifrån ett progressivt arbetssätt (se lektionsplanering ovan) och jag fick kontroll över elevernas prestationer vid varje enskilt tillfälle. Antal rätt, tidsåtgång samt mediantid är exempel på resultat jag kunde erhålla för varje elev. Eleverna fick omedelbar feedback på ifall de hade löst uppgiften korrekt och de genomförde varje uppgift 5 gånger på 1 Uppgifterna om den vetenskapliga utformningen av Nomp står inte att läsa i programmet utan uppgifterna har jag fått från grundaren Marianne Norberg via mailkontakt

27 tid, med uppmaning att försöka förbättra sin tid. Just tidspressen visade sig vara väldigt lyckad, vilket jag diskuterar kring i 8.2 Resultat Analys De data jag har erhållit utifrån min studie har statistiskt analyseras genom medelvärdesanalys för att se ifall det finns skillnader i förändringarna av medelvärdena hos de olika grupperna. För att kunna göra detta har en så kallad variansanalys, ANOVA, genomförts vilket är att föredra när det finns fler än två grupper i ingående data (Barmark & Djurfeldt, 2015). Analysen utgår ifrån en signifikansnivå om 95 %. Det innebär att om resultatet visar på en signifikans p <.05 så betyder det att det är < 5 % risk att sambandet som uppkommer i stickprovet uppkommer även om det inte finns något samband i populationen (Barmark & Djurfeldt, 2015, sid 141). För att förtydliga så kan man även vända på perspektivet och säga att vi med 95 % säkerhet kan säga att sambandet existerar i populationen som helhet (ibid.). I något fall, där skillnaden mellan de tre grupperna inte gett tydligt utslag, har det varit nödvändigt att ytterligare testa ifall förändringarna skiljer sig åt mellan två av grupperna och då har t-test genomförts för att tydligare kunna utläsa ifall det finns en statistiskt signifikant skillnad i medelvärdesförändring mellan gruppernas resultat av interventionen (ibid.). Fokus har legat på att se effekt av interventionen på gruppnivå dels för interventionsgruppen som helhet, och dels utifrån gruppering beroende på uppfattad grad av svårighet med fördiagnosen. Gränsen mellan vad som uppfattats vara svårigheter, respektive stora svårigheter är satt utifrån en analys av elevernas tidsprestationer i fördiagnosen. Det kunde skönjas en gräns vid 10 minuter då flertalet elever landade på 8-9 minuter i tidsförbrukning. Ovanför denna gräns syntes resultaten av tid vara något mer spretiga varför gränsen sattes till 10 minuter. För att få svar på min andra forskningsfråga analyseras således resultaten utifrån följande gruppering: Stor svårighet >10 minuter i tidsåtgång Svårighet 6 10 minuter i tidsåtgång Kontrollgrupp < 6 minuter i tidsåtgång 5.4 Etiska ställningstaganden När fördiagnosen var genomförd indikerade resultatet att mer än hälften av eleverna inte hade automatiserat sina kunskaper avseende addition och subtraktion inom talområdet Det hade inte varit etiskt försvarbart att undanhålla möjlighet till träning för vissa elever genom att bilda en kontrollgrupp som bättre skulle belysa effekterna av interventionens effekt. Om en elev bedöms vara i behov av stöd är det skolans skyldighet att tillgodose att eleven får det 22

28 stöd som krävs (SFS 2010:800). Det har dock i några fall visat sig att elever som inte har klarat gränserna för fördiagnosen har vägrat att delta i interventionen trots att vårdnadshavare har gett sitt medgivande. Jag har fört samtal med dessa elever och påpekat vikten av att delta, men inte lyckats att få dem att ändra sig. Det finns även ett stort mörkertal när det gäller alla de elever vars vårdnadshavare inte har gett sitt samtycke till studien tillsammans med alla de elever vars vårdnadshavare inte svarade alls på missivbrevet. Om lite mer än hälften av eleverna som genomförde fördiagnosen inte klarade gränserna, finns då samma frekvens bland de elever som inte genomförde fördiagnosen? Om studien visar att interventionen varit lyckad bör skolan hitta arbetssätt som fångar upp alla elever redan i årskurs sju. Dels för att ge alla elever möjlighet att bättre nå kunskapskraven och dels för att inte någon elev ska missas på grund av valmöjlighet eller vårdnadshavare som inte ser vikten av att deras barn tränar grundläggande taluppfattning. Innan studien planerades informerades rektor och kollegor på aktuell skola om studien och dess syfte. Studien är genomförd utifrån de forskningsetiska principer som är framtagna av Vetenskapsrådet (2002) och har tillgodosetts genom de missivbrev(bilaga 2; bilaga 3) som skickats ut för information (informationskravet) och inhämtande av samtycke (samtyckeskravet). Av missivbrevet (bilaga 2) har framgått att inga elevers namn kommer att publiceras (konfidentialitetskravet), ej heller vilken skola som varit föremål för studien. Det jag i efterhand ser att jag kunde varit mer tydlig med är att informera om att studien och resultatet av studien skulle resultera i ett examensarbete som eventuellt ska publiceras samt att elevernas enskilda resultat i samband med interventionen inte delges andra eller nyttjas i annat ändamål än för den avsedda studien (nyttjandekravet). 23

29 6. Resultat Resultaten från interventionsstudien har analyserats på gruppnivå utifrån medelvärden genom flertalet mixed ANOVA med enkla kontraster. Därtill har paired t-tests genomförts för att kontrollera signifikansen för enskild grupp vid ett par tillfällen. Jag har även valt att lyfta in några exempel på individuella resultat och dessa redovisas endast i skillnader i resultaten före och efter intervention på vardera tidsförbrukning och antal rätt. 6.1 Resultat av interventionen på gruppnivå Min första frågeställning syftade till att se vilken effekt en intervention kunde ha på elevers automatisering av grundläggande taluppfattning avseende addition och subtraktion inom talområdet 0-20 när de går i årskurs 8. Den andra frågeställningen syftade till att se ifall det kunde synas någon skillnad i effekt av interventionen beroende på uppfattad grad av matematiksvårighet utifrån resultatet på fördiagnosen (se 5.3.4) Interventionens effekt på tidsförbrukning Resultatet av interventionens effekt på elevernas medelvärde av tidsförbrukning presenteras först i tabellform, där medelvärde och standardavvikelse presenteras. Dessutom visas resultatet i ett diagram för att tydligt åskådliggöra effekten av interventionen för de tre grupperna. Tabell 5. Effekt av interventionen avseende tidsförbrukning presenterad utifrån medelvärde av elevernas tidsförbrukning vid fördiagnos och efterdiagnos. (SD=standardavvikelse; N=totalt antal elever i gruppen) Effekt på tidsförbrukning (min) Fördiagnos Medel (SD) Efterdiagnos Medel (SD) Skillnad i medelvärde Stor svårighet N= (5.38) 7.33 (1.94) Svårighet N= (1.12) 5.35 (1.90) Kontrollgrupp N= (1.06) 4.73 (2.98) 0.23 Det visar sig att de elever som haft störst svårighet att klara fördiagnosen (> 10 minuter i genomförande) har minskat sin genomsnittliga tidsförbrukning med drygt nio minuter, och eleverna som bedömdes ha mindre svårighet (6-10 minuter i genomförande) har minskat sin 24

30 genomsnittliga tid med drygt 2 minuter. Kontrollgruppen har marginellt ökat sin genomsnittliga tidsförbrukning. Det finns ett samband mellan grupptillhörighet och effekt då interaktionseffekten mellan grupp och tid (före och efter) är statistiskt signifikant F(2,45)=34,523, p <.001, partial η 2 = 0,605. Det finns en statistiskt signifikant skillnad i grupptillhörighet F(2,45) = 45,088, p <.001, partial η 2 = 0,667. Interventionsgruppen stor svårighet visar ett tydligt signifikant resultat p <.001. För att kontrollera effekten hos gruppen svårighet genomfördes ett t-test som visade att förbättringen också för denna grupp var högst signifikant p <.001. Båda grupperna har alltså en statistiskt säkerställd effekt av interventionen även om det är gruppen stor svårighet har förbättrat sin tid mest. Tabell 6. Effekt av interventionen avseende tidsförbrukning presenterad utifrån medelvärde av elevernas tidsförbrukning vid fördiagnos och efterdiagnos Sammanfattning av resultat avseende tidsförbrukning Interventionsgruppen som helhet ( stora svårigheter + svårigheter ) har sammantaget förbättrat medelvärdet avseende räkneflyt genom att delta i interventionen. Den största förbättringen syns i gruppen stor svårighet. Båda grupperna genererar ett statistiskt signifikant resultat p <.001 varpå det går att dra slutsatsen att det med 99 % säkerhet går att säga resultatet inte är slumpmässigt. Ur resultatet går det följaktligen att dra slutsatsen att det finns en statistisk signifikans att effekten av interventionen beror på grupptillhörighet ju större svårighet, ju större effekt har interventionen haft på gruppnivå. För diskussion om rimligheten i detta resonemang, se

31 Interventionens effekt på antal korrekt lösta uppgifter På samma sätt som i presenteras först en tabell över resultatet av interventionens effekt på elevernas medelvärde av korrekt antal lösta uppgifter, där medelvärde och standardavvikelse presenteras. Efter detta visas resultatet i ett diagram för att tydligt åskådliggöra effekten av interventionen för de tre grupperna. Tabell 7. Effekt av interventionen, avseende antal korrekt lösta uppgifter, presenterad utifrån medelvärde av elevernas resultat vid fördiagnos och efterdiagnos. (SD=standardavvikelse; N=totalt antal elever i gruppen) Effekt på antal rätt Fördiagnos Medel (SD) Efterdiagnos Medel (SD) Skillnad i medelvärde Stor svårighet N=9 61,4444 (13,60249) 68,7778 (8,19722) 7,3334 Svårighet N=17 71,5882 (5,12419) 71,7647 (3,25057) 0,1765 Kontrollgrupp N=22 72,5909 (5,37772) 73,0455 (1,86387) 0,4546 Det är gruppen stor svårighet som står för ökningen av antal korrekt lösta uppgifter, de andra två grupperna presterar en marginell ökning av antal rätt. Skillnaden i gruppeffekt är statistiskt signifikant F(2,45) = 7,879, p <.001, partial η 2 = 0,259. Interaktionseffekten mellan grupp och för/eftertest (avseende antal korrekt lösta uppgifter) var statistiskt signifikant F(2,45) = 3,866, p = 0,028, partial η 2 = 0,147. Det finns en skillnad i effekt avseende antal rätt beroende på grupptillhörighet, eller med andra ord beroende på grad av svårighet utifrån fördiagnosen. 26

32 Tabell 8. Effekt av interventionen, avseende antal korrekt lösta uppgifter, presenterad utifrån medelvärde av elevernas resultat vid fördiagnos och efterdiagnos Sammanfattning av resultat avseende antal korrekt lösta uppgifter Interventionsgruppen som helhet ( stora svårigheter + svårigheter ) har sammantaget förbättrat medelvärdet avseende antal korrekt lösta uppgifter genom att delta i interventionen. Det är endast gruppen stor svårighet som uppvisade förbättring av medelvärdet när det gäller antalet korrekt lösta uppgifter, och resultatet för den gruppen är statistiskt signifikant p <.001 vilket betyder att vi med 99 % säkerhet kan säga att resultatet inte är slumpmässigt. Interventionen som helhet har haft effekt på antalet korrekt lösta uppgifter men det är alltså gruppen stor svårighet som står för det förbättrade resultatet. Ur resultatet går det följaktligen att dra slutsatsen att det finns är statistiskt säkerställt att effekten av interventionen beror på grupptillhörighet ju större svårighet, ju större effekt har interventionen haft på gruppnivå. För diskussion om rimligheten i detta resonemang, se