Flervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 1
|
|
- Eva Vikström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematiska institutionen, LTH, 20 november 2003 Flervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 1 Laborationen består av två delar. I den första använder vi det numeriska beräkningsprogrammet Matlab och i den andra använder vi beräkningsprogrammet Maple som stöder symbolisk beräkningar som till exempel beräkning av partiell derivata av funktioner av flera variabler. 1 Matlab I vissa versioner kan man inte skriva in tecknen [ och ], vilka används ganska mycket i matlab. Du kan få in dem i matlab tex genom att skriva [ ] i ditt shell och sen göra cut and paste in i matlab-fönstret. Olika bildformat Precis som för videofilmer och musik finns det många lagringssätt för bilder. Även om man begränsar sig till digital lagring finns det ett otal olika format. Vi skall nu se på några vanliga sådana. Börja med att studera en bildfil som heter kalle.pgm till din katalog. Bilden är lagrad i asciiformat. Den är alltså fullt läsbar även för människor, även om det inte är så lätt att på så sätt se vad bilden föreställer. Titta på filen genom kommandot: less kalle.pgm avsluta programmet med q. Vad tror du att de fyra första raderna betyder? Vad betyder resten av datan? Det finns en uppsjö av rutiner som konverterar mellan olika bildformat. Ett mycket bekvämt sätt att konvertera mellan olika bildformat är med hjälp av programmet xv. Att visa en bild med programmet xv Titta på filen kalle.pgm genom att skriva ~fredrik/xv kalle.pgm & När du är nöjd kan du gå ur genom att skriva q i bildfönstret. Kopiera filen mkalle.gif till din katalog. Bilden är lagrad på gif-format, vilket inte är särskilt läsbart för människor, men ger filer av mindre storlek. Se på filen med less mkalle.gif 1
2 Filen är benär till skillnad från kalle.pgm. Jämför filernas storlek genom kommandot ls -l Skriv sedan ~fredrik/xv mkalle.gif & så syns förhoppningsvis bilden på skärmen (fast inte särskilt tydligt). Lägg märke till att du kan avläsa enskilda pixlars koordinater och värde bara genom att peka på dem och trycka ned vänsterknappen. Tryck med högerknappen någonstans i xv-s bildfönster så öppnas xv-s kontrollpanel. Här finns en hel del funktioner. Bland annat kan man spara bilden på olika format genom att trycka på save-knappen. Vi kommer att använda Matlab en hel del i våra laborationer. Det finns en Matlabrutin som kan läsa in bilder, men bara om de är sparade på pgm-format. Spara bilden i pgm-format på din katalog, genom att välja pbm (ascii) och greyscale i xv-s kontrollpanel xv save. Man kan också klippa ut en del av bilden genom att först markera en fyrkant av bilden med mittenknappen och sen trycka på crop-knappen i kontrollpanelen. Förstora sedan bilden genom att trycka på Image Size och sen Double Size i kontrollpanelen några gånger. Notera speciellt att xv använder pixelreplikering när den förstorar bilder. Gråskaletransformationer i xv Labhandledaren på bilden är mycket för mörk och har dålig kontrast. Tryck på Windows och sen Color Editor i kontrollpanelen så öppnas färgpanelen. I delfönstret intensity kontrollerar man hur olika gråskalenivåer ska ritas på skärmen. Testa vad som händer genom att ändra i detta delfönster. Ta tag i de små boxarna med vänster musknapp och och drag! Testa också histogramutjämning med knappen HistEq. Vad svarar grafen i intensityfönstret nu emot? Testa även knappen Norm. Hur tror du att den fungerar? Du kan avsluta xv genom att trycka på quit i kontrollpanelen. Gör det nu. Konversion till Matlab Matlab är en programmeringsmiljö framförallt för numeriska matrisberäkningar. En bild kan ju betraktas som en matris där varje element svarar mot en pixel. Starta matlab genom att skriva matlab & För laborationerna finns ett matlab-kommando readpgm som läser in bilder i pgmformat till matriser. Skriv: >> help readpgm så får du mer information. Ladda nu in en bild, t ex genom: >> kalle=readpgm( kalle.pgm ) 2
3 Genom att sätta semikolon efter kommandot slipper du se Matlab skriva ut resultatet, som i det här fallet blir en ganska stor matris. Ladda även in en lite mindre bild. >> tolv=[1 2 3;4 2 6;7 8 7; ] Du kan ta reda på vilka matriser du för tillfället har inlagda i Matlab och hur stora de är med kommandot >> whos Att titta på en bild inifrån Matlab Som nämnts i introduktionen till laborationerna så använder sig våra maskiner av färgtabeller istället för att låta pixelvärdena direkt styra intensiteten i varje bildpunkt. I Matlab kan man specificera dessa tabeller själv. Prova följande kommandon: >> map=(0:11) /11*[1 1 1] >> colormap(map) >> image(tolv) Den första raden skapar en färgpalett med 12 olika färger. Varje rad har tre element som styr andelen rött, grönt respektive blått. I detta fall valdes den första som helt svart och de övriga i gråskalenivå upp till den tolfte som är helt vit. Den andra raden talar om för Matlab att vi vill använda paletten map. Skriv gärna >> help colormap Den tredje är ett kommando för att visa matrisen tolv som en bild. Skriv gärna >> help image för att få mer information. Vad händer om du nu skriver >> colormap((0:11) /11*[1 0 0]) Ersätt [1 0 0] med [0 1 0] och [0 0 1]. Prova även >> colormap(rand(12,3)) några gånger. Titta nu på matrisen kalle med kommandona >> image(kalle) >> colormap(gray(255)) Hur fungerar gray? Vilka andra fördefinierade färgskalor finns? Observera att bilderna visas med origo i övre vänstra hörnet. Det finns andra rutiner i Matlab för att illustrera en matris. Rita upp kalle med 3
4 >> mesh(kalle) Matrisen/bilden ritas nu verkligen som ett grånivålandskap där pixelelementets värde styr både höjd och gråskala. Om du inte får fram någon graf så prova istället med >> meshc(kalle) Du ser nu landskapet lite snett uppifrån. Kommandot view ändrar synvinkeln. Prova >> view([-20 50]) >> view([ ]) >> view([0 90]) Observera att mesh använder ett koordinatsystem med origo längst ner till vänster. Vänd nu bilden rätt. Det finns ett lokalt kommado show som fungerar ungefär som image. Genom kommandot >> show(kalle) skapas ett nytt fönster med bilden kalle i ungefär samma storlek som den skulle haft i xv, d v s en pixel på skärmen motsvarar en pixel i kalle. Du kan stänga sådana fönster med >> close Nivåkurvor Ladda in bilden på Lena och titta på den. >> lena = readpgm( lena.pgm ); >> imagesc(lena) >> colormap gray Vi tolkar ju bilden som ett grånivålandskap. Det ger att finns nivåkurvor. Rita ut dessa med contour. Vad gör kommandot axis ij? >> contour(lena); >> axis ij Om det finns skrivare i närheten så skriv ut bilden på papper och rita in gradienten på några ställen i bilden. Hur hänger gradienten och nivåkurvorna ihop? Kantdetektering Man kan använda sig av partiell derivata i x och y-led för att detektera kanter. Vi tänker oss här att x-axeln pekar åt höger i bilden och y-axeln nedåt. Partiell derivata detekterar kanter i en av axelriktningarna. Absolutbeloppet at gradienten däremot detekterar kanter i alla riktningar. Funktionen kantdetektering ger som resultat tre bilder. Vilken bild är resultatet av partiell derivata i x-led, y-led och gradienten? 4
5 >> [a,b,c] = kantdetektering(lena); Bilderna kan göras binära genom att skriva >> abinar = a < troskel; där variabeln troskel väljs lämpligt. Prova med lite olika värden för bästa resultet. Upprepa trösklingen för bilerna b och c också. Titta på den binära bilden med tex imagesc. Skala om bilder Ibland vill man förstora eller förminska en bild. Tänk efter vilka problem som uppkommer om du vill göra gatubilden 3.72 gånger bredare och 4.1 gånger högre. Hur ska man bestämma de nya pixelvärdena? Det finns många olika sätt att göra det på. Tre sådana finns implementerade i kommandot imresize. Läs mer i >> help imresize Optionerna nearest (som är default ), bilinear och bicubic väljer mellan respektive pixelreplikering, bilineär interpolation och kubisk splineinterpolation. Till c optionen kan även en parameter anges, 0.5 till 1.0 brukar bli bra. Förstora kalle med de olika metoderna och jämför, t ex med >> show(kalle) >> show(imresize(kalle,1.5)); >> show(imresize(kalle,[ ], bilinear )); >> show(imresize(kalle,[ ], bicubic )); Generera nu följande bild i Matlab. >> prickig=zeros(30,40); >> prickig(2:2:30,2:2:40)=256*ones(15,20); >> show(prickig) Resultatet blir kanske inte riktigt vad man väntar. Anledningen är interferens mellan pixlarna på datorskärmen och pixlarna i bildfilen. Förstora bildfönstret med musen och se vad som händer! Skala nu bilden prickig med en faktor 1.6 (med imresize) med de tre olika metoderna ovan. Vad händer med skarpa kanter i de olika fallen? Är någon metod klart sämst eller klart bäst, eller kan de tänkas vara bra i olika fall? Hur skulle en algoritm fungera som förstorade en bild riktigt snyggt? 5
6 2 Maple Allmänt om Maple Maple är ett mycket mångsidigt program, och man kan ägna mycket tid åt att utforska dess användningsmöjligheter. Dess mångsidighet gör det samtidigt svårare att använda än tex Matlab. Liksom de flesta programpaket uppgraderas Maple relativt ofta. Versionerna skiljer sig något åt, och anvisningarna nedan är gjorda för Maple6. Mer information om Maple än vad som ryms i denna korta introduktion kan man finna i det inbyggda hjälpsystemet samt i en stort antal skrifter och böcker. På institutionen har utgivits en utförligare introduktion (mest avsedd för envariabelanalys) Andersson Nilsson, Maplehandboken (1995). Den beskriver version MapleVR3 och finns att hämta via Där finns också länkar till mer information. Starta Maple på UNIX-system genom att ge kommandot maple -x, eller, på vissa maskiner, xmaple &. På Windows-maskiner brukar finnas en Maple-ikon. Placera Maplefönstret, som strax kommer upp, på lämpligt ställe. Man går ur Maple genom att välja Exit i File-menyn. Behöver man avbryta någon process kan man använda en stop-knapp på menyraden. Hjälp Maple har ett omfattande inbyggt hjälpsystem. Om man klickar på Help i menyraden, så får man tillgång till hjälpfunktioner. Dessa fungerar på lite olika sätt, beroende på vilken Mapleversion man kör, men brukar vara lätta att använda. Plocka fram hjälpen för exp och constant. Observera i det senare fallet särskilt de symboliska konstanterna I, Pi och infinity. Dessa är reserverade namn, som inte får användas till annat. Observera att Maple skiljer på stora och små bokstäver. Talet e skrivs exp(1). Man kan också få hjälp genom att skriva ett sökord föregånget av ett frågetecken, t ex?exp,?inifcn. I slutet på varje hjälptext finns exempel och hänvisningar till andra kommandon som kan vara av nytta. Grundläggande kommandon och aritmetiska beräkningar I Maplefönstret hittar du en prompt >, som betyder att Maple väntar på ett kommando. Skriv in 7+5; och tryck på Enter, så utförs summationen. Observera att varje kommando till Maple måste avslutas med ett semikolon ;, utan detta händer ingenting. Detta gör att man kan slå in långa formler som inte får plats på en rad. Skriver man kolon : så utförs operationen, men resultatet kommer inte upp på skärmen. Kontrollera att Maple kan fungera som en vanlig räknedosa. Prova i tur och ordning 2-3*5; 1/2+1/3; sqrt(4)*sqrt(3); Observera att Maple ger exakta svar, inte närmevärden. 6
7 Närmevärden erhålles genom kommandot evalf;, som står för evaluate using floating point arithmetic. För att få ett närmevärde för den senast utförda beräkningen (2 3 i vårt fall) kan man skriva evalf(%); Man kan naturligtvis också skriva evalf(sqrt(4)*sqrt(3));. På samma sätt kan resultatet av den näst senaste beräkningen åberopas genom %%, etc. En annan praktisk detalj i Maple är möjligheten att gå tillbaka till gamla kommandon på skärmen med pil-upp och pil-ner tangenterna, ändra i kommandona och utföra dem på nytt. Man kan också använda musen för att snabbt flytta sej till olika delar av skärmen. Testa genom att gå tillbaka till kommandot 1/2+1/3; och gör en annan bråkberäkning genom att ändra siffror. När det gäller kommandot evalf så kan man ur hjälpfunktionen, som nås med?evalf, utläsa att man genom ett andra argument kan ange med hur många siffror man vill ha svaret. Använd detta för att få ett värde på π med 1000 decimaler, evalf(pi,1000);. Variabler Maple kan inte bara räkna med tal utan också med variabler och med funktioner. Detta gör att ett Maplesystem blir större och ofta mer invecklat att programmera än ett vanligt programmeringspråk, men också oerhört mycket mera kraftfullt. Ge kommandot (x+1)^3;. Maple svarar med samma sak. Som svar på expand(%); så utvecklar Maple uttrycket enligt binomialteoremet. Prova även med expand((a-b)*(a+b)); expand(x*(x+1)*(x+2)*(x+3)); expand(cos(x+y)); Som bekant vill man ofta gå åt andra hållet, och faktoruppdela ett givet uttryck. Detta görs med kommandot factor. Prova detta på de polynomuttryck som du fick ovan. Ett annat kommando för förenkling är simplify. Prova detta genom att skriva simplify(1/(x-1)+1/(x+1)); Maple gör inte alltid det man önskar. Ett annat kommando man kan ha nytta av för att göra omskrivningar är normal. Tilldelningssatser Man kan tilldela en variabel ett värde, numeriskt eller symboliskt. Tilldelningssymbolen är liksom i Pascal och Simula :=. Prova med x:=2;. Kommandot x; ger nu variabelvärdet 2. Prova också med (x+1)^2;. En variabel som fått ett värde behåller detta tills man går ur Maple eller ger den ett annat värde. För att ta bort värdet kan man använda kommandot x:= x ;, som gör att Maple tolkar bokstaven x som en variabel, betecknad x, inte som variabelns värde. Det är lätt att glömma bort att man gett en variabel ett värde tidigare, vilket kan leda till obegripliga resultat av räkningar. Vill man ta bort alla värden på variabler och helt och hållet börja om från början skriver man restart;. Variabler kan förutom numeriska värden även ha Mapleuttryck som värden. Genom tilldelningskommandot 7
8 f:=(x+1)^3; så sätter vi f lika med (x + 1) 3. (Blir svaret 27 så tag bort det tidigare värdet från x och försök igen.) Man kan sedan räkna vidare med f och skriva t ex f^2; och expand(f^2);. Om man vill beräkna värdet av uttrycket f^2 för t ex x=2 utan att varaktigt tilldela x ett värde så kan man skriva subs(x=2,f^2); Funktioner Maple kan hantera inte bara analytiska uttryck, som vi sett exempel på ovan, utan även funktioner. Dessa kan definieras på flera olika sätt. Det för våra ändamål enklaste påminner om beteckningen för en funktion g. Ge kommandot g:= x->(x+1)^3; x g(x) Nu kan funktionsvärden beräknas på det sätt man är van vid. Prova t ex med g(0);, g(-1);, g(a); och g(y+z);. Anmärkning Man måste noga hålla isär begreppen funktion och funktionsuttryck, där det senare behandlades under rubriken Tilldelningssatser ovan. För säkerhets skull upprepar vi skillnaden: Om vi ger ett värde till F genom tilldelningen F:=exp(x)-sin(x); så är F ett uttryck med variabeln x inbyggt. Om vi i stället ger F ett värde genom F:=x->exp(x)-sin(x); så är F en funktion, där x bara används för att definiera en regel, och där man skulle kunna använda vilken annan symbol som helst. Funktioner är mycket mer flexibla, men ibland något mer svårhanterliga än funktionsuttryck. Det finns lyckligtvis ett enkelt sätt att göra om ett uttryck till en funktion, nämligen genom att använda kommandot unapply. Till exempel ger kommandot F:=unapply(exp(x)-sin(x),x); samma sak som F:=x->exp(x)-sin(x);. Maple klarar också funktioner av flera variabler. Funktionen h(x, y) = x 2 y 3 + x 2 y 3 definieras i Maple på följande sätt: h := (x,y) -> x^2-y^3+x^2*y^3; Vad ger h(0,0); och h(3,2);? Derivation Derivator beräknas med kommandot diff. Användningen framgår ur exemplen diff(x^3+2*x^2,x); diff(tan(x),x); 8
9 Andraderivator beräknas enligt diff(tan(x),x,x); På samma sätt beräknas derivator av högre ordning, där antalet x anger ordningen. För detta finns ett kortare skrivsätt. Beräkna fjärdederivatan av tan(x) genom att skriva diff(tan(x),x\$4);. Prova även att förenkla svaret med hjälp av factor(%);. Vi kan också derivera det tidigare definierade funktionsuttrycket f och funktionen g genom att skriva diff(f,x); resp diff(g(x),x); Tänk ut vad som kommer ut ur kommandona diff(f,y);, diff(g,x);, diff(g(y),y); och prova om det stämmer. Anmärkning. Maple har också en derivationsoperator D, se?d. Pröva tex D(g); och D(sin);. Man kan även lätt beräkna partiella derivator. Till exempel får man h x och h y för funktionen h ovan genom kommandona diff(h(x,y),x); diff(h(x,y),y); Högre derivator fås genom uppräkning av variabelnamnen. Pröva t ex diff(h(x,y),x,y); Gränsvärden Gränsvärden beräknas med kommandot limit, prova limit(sin(x)/x,x=0); limit((sqrt(1+x))/exp(x),x=infinity); 9
Introduktion till Maple
Introduktion till Maple Allmänt Maple är ett mycket mångsidigt program, och man kan ägna mycket tid åt att utforska dess användningsmöjligheter. Dess mångsidighet gör det samtidigt svårare att använda
Läs merLaboration: Grunderna i Matlab
Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid
Läs merInnehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.
Grunderna i MATLAB eva@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Eempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
Läs merLaboration 1. Grafisk teknik (TNM059) Introduktion till Matlab. R. Lenz och S. Gooran (VT2007)
Laboration 1 Grafisk teknik (TNM059) Introduktion till Matlab R. Lenz och S. Gooran (VT2007) Introduktion: Denna laboration är en introduktion till Matlab. Efter denna laboration ska ni kunna följande:
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan
Läs merDatorövning 2 med Maple
Datorövning 2 med Maple Flerdimensionell analys, ht 2008, Lp1 15 september 2008 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator,
Läs merMAPLE MIKAEL STENLUND
MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I dina inlämningsuppgifter skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett antal
Läs merExtra datorövning med Maple, vt2 2014
Extra datorövning med Maple, vt2 2014 FMA430 Flerdimensionell analys Denna datorövning är avsett för självstudie där vi skall lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella
Läs merTechnology Management Mapleövning 1 och 2
Technology Management Mapleövning 1 och 2 Namn: Personnummer: Allmänt Maple är ett kraftfullt program för både symboliska och numeriska beräkningar Att det kan räkna symboliskt betyder i korthet att det
Läs merAnvändarmanual till Maple
Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort
Läs merIntroduktion till Maple
Introduktion till Maple Allmänt Ett modernt datoralgebrasystem har som huvudfunktion att göra symboliska beräkningar, i motsats till numeriska. Det kan utföra algebraiska manipulationer och förenklingar,
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Funktionsteori Funktionsteori Datorlaboration 1 Rekursionsekvationer och komplex analys Syftet med datorövningen Övningens ändamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas för
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merTSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D
TSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D Utvecklad av Maria Magnusson med mycket hjälp av Lasse Alfredssons material i kursen Introduktionskurs i Matlab, TSKS08 Avdelningen för Datorseende, Institutionen
Läs merKomplex Analys. Datorlaboration 1. av Sven Spanne. Reviderad ht av Anders Holst
Komplex Analys Datorlaboration 1 av Sven Spanne Reviderad ht 2005 av Anders Holst Inledning Syftet med datorövningen Övningens ändamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas
Läs merAssiML. Användarbeskrivning
AssiML A spreadsheet in ML Användarbeskrivning 2003-10-15 AssiML version 1.1 Lars-Henrik Eriksson Institutionen för informationsteknologi Uppsala universitet lhe@it.uu.se You will be assimilated. Resistance
Läs mer3.3. Symboliska matematikprogram
3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.
Läs merWord Grunderna 1. Om du kan det allra enklaste i Word, hoppa över uppgifterna A-E.
Word Grunderna 1 Om du kan det allra enklaste i Word, hoppa över uppgifterna A-E. A Starta programmet Word. Titta på skärmen efter en bild som det finns ett W på. Tryck med musknappen snabbt två gånger
Läs merInternet. En enkel introduktion. Innehåll:
Internet En enkel introduktion Innehåll: Datorns olika delar Starta datorn Så gör du om du kan webbadressen Så gör du om du inte kan webbadressen Kortfattad repetition Alingsås bibliotek, 2012 2 3 4 6
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 1: TIDSSERIER.
MATEMATISKA INSTITUTIONEN Tillämpad statistisk analys, GN STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB 2011-03-24 DATORLABORATION 1: TIDSSERIER. I Tarfala har man under en lång följd av
Läs merInstruktion för laboration 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik MD, ANL, TB (rev. JM, OE) SANNOLIKHETSTEORI I Instruktion för laboration 1 De skriftliga laborationsrapporterna skall vara
Läs merLinjär algebra med tillämpningar, lab 1
Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt
Läs merVilken version av Dreamweaver använder du?
Sida 1 av 7 Lektion 1: sida 1 av 4 Till kursens framsida Sida 2 av 4» Lektion 1 Då ska vi sätta igång med den här kursens första lektion! Här kommer du att få lära dig hur man skapar och förbereder webbplatser
Läs mer% Föreläsning 4 22/2. clear hold off. % Vi repeterar en liten del av förra föreläsningen:
% Föreläsning 4 22/2 clear hold off % Vi repeterar en liten del av förra föreläsningen: % Vi kan definiera en egen funktion på följande sätt: f = @(x) 2*exp(-x/4) + x.^2-7*sin(x) f(2) % Detta ger nu funktionsvärdet
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merMATLAB Laboration problem med lokala extremvärden
MATLAB Laboration problem med lokala extremvärden Sonja Hiltunen, sohnya@gmail.com Sanna Eskelinen, eskelinen.sanna@gmail.com Handledare: Karim Daho Flervariabelanalys 5B1148 Innehållsförteckning Problem
Läs merIntroduktion till Maple
Flerdimensionell analys för F och π, vt 1 2007 Introduktion till Maple Allmänt Ett modernt datoralgebrasystem har som huvudfunktion att göra symboliska beräkningar, i motsats till numeriska. Det kan utföra
Läs merMedicinska Bilder, TSBB31. Lab: Mätvärden på Medicinska Bilder
Medicinska Bilder, TSBB3 Lab: Mätvärden på Medicinska Bilder Maria Magnusson, 22 Senaste updatering: september 25 Avdelningen för Datorseende, Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet Introduktion
Läs merFri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima
Per Jönsson & Thomas Lingefjärd Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima I takt med att priserna sjunker utrustar allt fler skolor sina elever med små bärbara datorer. Detta innebär nya och
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merLaboration 4: Digitala bilder
Objektorienterad programmering, Z : Digitala bilder Syfte I denna laboration skall vi återigen behandla transformering av data, denna gång avseende digitala bilder. Syftet med laborationen är att få förståelse
Läs merMedicinska Bilder, TSBB31. Lab: Mätvärden på Medicinska Bilder
Medicinska Bilder, TSBB3 Lab: Mätvärden på Medicinska Bilder Maria Magnusson, 22 Senaste updatering: september 27 Avdelningen för Datorseende, Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet Introduktion
Läs merAllmänt om Mathematica
Allmänt om Mathematica Utvecklades av Wolfram Research (Stephen Wolfram) på 80-talet Programmet finns bl.a. till Windows, Mac OS X, Linux. Finns (åtminstone) installerat i ASA B121 (Stansen), i matematik
Läs merLaboration 1 Introduktion till Visual Basic 6.0
Laboration 1 Introduktion till Visual Basic 6.0 Förberedelse Förbered dig genom att läsa föreläsningsanteckningar och de kapitel som gåtts igenom på föreläsningarna. Läs även igenom laborationen i förväg.
Läs merDigitalBild del 2 Adobe Photoshop Elements ver 6.0
Sidan 1 av 5 Inbyggd hjälpfunktion i Photoshop Elements... 2 Dataprogram för bildbehandling... 3 Forts. Adobe Photoshop Elements verktygsfält... 3 Menyraden, Bild... 3 Ändra bildstorlek... 3 Intensitet
Läs merJuni 2003 PlanCon Viewer Handledning PlanCon PROJEKT
PlanCon Viewer Med PlanCon Viewer kan du som inte har PlanCon öppna PlanCon projekt (*.prj) och skriva ut dessa. Inga ändringar i projektet kan göras. Filtreringar, sorteringar och vissa ändringar i utseendet
Läs merInstruktion för laboration 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik ANL/TB SANNOLIKHETSTEORI I, HT07. Instruktion för laboration 1 De skrifliga laborationsrapporterna skall vara skrivna så att
Läs merDatorövning 2 med Maple, vt
Flerdimensionell analys, vt 1 2009 Datorövning 2 med Maple, vt 1 2009 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator, transformera
Läs merInstitutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning
Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning
Läs merEnklast att skriva variabelnamn utan ; innehåll och variabelnamn skrivs ut
F5: Filhantering in- och utmatning (kap. 2 och 8) 1 Utskrift på skärm, inläsning från tangentbord (kap. 2) Spara och hämta variabler med save och load (kap. 2) Kommandot textread Mer avancerad filhantering:
Läs merMedicinska Bilder, TSBB31. Lab3: Mätvärden på Medicinska Bilder
Medicinska Bilder, TSBB3 Lab3: Mätvärden på Medicinska Bilder Maria Magnusson, Avdelningen för Datorseende Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet Introduktion I denna laboration ska vi göra
Läs merLägg märke till skillnaden, man ser det tydligare om man ritar kurvorna.
Matlabövningar 1 Börja med att läsa igenom kapitel 2.1 2 i läroboken och lär dig att starta och avsluta Matlab. Starta sedan Matlab. Vi övar inte på de olika fönstren nu utan återkommer till det senare.
Läs merBeräkningsvetenskap och Matlab. Vad är MATLAB? Vad är MATLAB? Användningsområden. Vad är MATLAB? Grunderna i Matlab. Beräkningsvetenskap == Matlab?
Beräkningsvetenskap och Matlab Beräkningsvetenskap == Matlab? Grunderna i Matlab Beräkningsvetenskap I Institutionen för, Uppsala Universitet 1 november, 2011 Nej, Matlab är ett verktyg som används inom
Läs merIntroduktion till MATLAB
29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merDATORINTRODUKTION. Laboration E850-2000 ELEKTRO. UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Ulf Holmgren
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Ulf Holmgren 2000-03-17 specialversion inför kursstart Elektronik och mätteknik 2000 DATORINTRODUKTION Laboration E850-2000 ELEKTRO Personalia: Namn: Kurs:
Läs merInnehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.
Grunderna i MATLAB stefan@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Exempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat
Läs merSimulera med ModelSim
Simulera med ModelSim ModelSim - simuleringsprogramvara ModelSim kan användas till att simulera VHDL-kod, för att avgöra om den är "rätt" tänkt. Alteras version av ModelSim är också kopplad till en "databas"
Läs merde uppgifter i) Under m-filerna iv) Efter samlade i en mapp. Uppgift clear clc Sida 1 av 6
Inlämningsuppgift 2, HF1006.. (MATLAB) INLÄMNINGSUPPGIFT 2 (MATLAB) Kurs: Linjär algebra och analys Del2, analys Kurskod: HF1006 Skolår: 2018/19 Redovisas under en av de tre schemalaggs gda redovisningstillfällen
Läs merInledning till OpenOffice Calculator Datorlära 2 FK2005
Inledning till OpenOffice Calculator Datorlära 2 FK2005 Mål Lära sig att skapa och använda ett räkneblad med OpenOffice Calculator Beräkna medelvärde och standardavvikelsen med räknebladet Producera en
Läs merHär hittar du ett exempel på ritprogrammet: https://scratch.mit.edu/projects/82515788/
Termin 1 Block 4 Ritprogram Nu kommer du att få skapa ett ritprogram där du sedan kan göra egna konstverk! Programmet låter dig rita med olika färgpennor, sudda med suddgummi och måla med stämplar som
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom PM:et. Gå sedan igenom exemplen
Läs merOBS! Snabbinsatt Matlab-intro vissa fönsterhanteringsdetaljer kan vara fel men gör gärna Matlab-uppgifterna. DN1240, Numeriska metoder för OPEN1.
OBS! Snabbinsatt Matlab-intro vissa fönsterhanteringsdetaljer kan vara fel men gör gärna Matlab-uppgifterna. DN1240, Numeriska metoder för OPEN1. Laboration 0 del 1-3 (frivilliga delar) Del 1-3 (dvs upg
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 27 oktober 2015 Sida 1 / 31
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 27 oktober 2015 Sida 1 / 31 TANA17 Kursmål och Innehåll Målet med kursen är att Ge grundläggande färdighet
Läs merManual till Båstadkartans grundläggande funktioner
Manual till Båstadkartans grundläggande funktioner Webbfönstret När du klickar på kartlänken öppnas Båstadkartan i eget fönster eller egen flik, beroende på inställningen i din webbläsare. Bilden nedan
Läs merUppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.
INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006, HF1008 Skolår: 2016/17 armin@kth.se www.sth.kth.se/armin Redovisas under sista två (av totalt fem) labbövningar i Analys-delen. Preliminärt:
Läs merGeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1
Läs merTexten är en omarbetning av en text skriven av Rikard Bögvad för kursen Matematik I (30 hp).
Introduktion Med hjälp av dator kan man utföra omfattande matematiska beräkningar, men också få datorn att producera lösningar på icke-triviala uppgifter. I det här momentet av kursen ska vi bekanta oss
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom hela PM:et. Gå sedan igenom
Läs merLaboration Fuzzy Logic
BILAGA B Laboration Fuzzy Logic Lär dig simulera ett program! ABB INDUSTRIGYMNASIUM Fuzzy Logic Wikingsons Wåghalsiga Wargar Projekt ABB VT 2006 Västerås Innehåll 1 Introduktion... 3 2 Uppgiften... 3 2.1
Läs merSwitch Driver 4. Programvara för Radio Switch, JoyBox och JoyCable. Sensory Software
Switch Driver 4 Programvara för Radio Switch, JoyBox och JoyCable. Sensory Software Innehåll ATT ANVÄNDA PROGRAMVARAN SWITCH DRIVER... 3 SWITCH DRIVER ANSLUTNING... 4 USB JOYSTICK KALIBRERING... 4 TESTFUNKTION...
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU STUDIO 1 LMA515b - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor
Läs merKom igång med. Windows 8. www.datautb.se DATAUTB MORIN AB
Kom igång med Windows 8 www.datautb.se DATAUTB MORIN AB Innehållsförteckning Grunderna i Windows.... 1 Miljön i Windows 8... 2 Startskärmen... 2 Zooma... 2 Snabbknappar... 3 Sök... 4 Dela... 4 Start...
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merIntroduktion till programmering D0009E. Föreläsning 1: Programmets väg
Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 1: Programmets väg 1 Vad är en dator? En maskin vars beteende styrs av de innehållet (bitmönster) som finns lagrade i datorns minne (inte helt olikt förra
Läs merDN1212, Numeriska metoder & grundläggande programmering. Laboration 1 del 1-3 (frivilliga delar) Del 1-3 (dvs upg 1.1-1.17) behöver inte redovisas
DN1212, Numeriska metoder & grundläggande programmering för P1. Laboration 1 del 1-3 (frivilliga delar) Del 1-3 (dvs upg 1.1-1.17) behöver inte redovisas Introduktion till UNIX och MATLAB Del 1: UNIX och
Läs merDatorövning 1 Calc i OpenOffice 1
Datorövning 1 Calc i OpenOffice 1 1 OpenOffice Calc Till förmån för de som följer kursen Fysikexperiment för lärare skall vi här gå igenom några få exempel på hur OO Calc (motsvarar MS Excel) kan användas
Läs merSF1672, Linjär Algebra med Matlab för F1 Lab0
SF1672, Linjär Algebra med Matlab för F1 Lab0 Denna labb är tänkt att öva datorhantering och öva inledande Matlab. Eftersom förkunskaperna varierar finns en hel del uppgifter så att alla kan få något att
Läs merObjektorienterad programmering i Java I. Uppgifter: 2 Beräknad tid: 5-8 timmar (OBS! Endast ett labbtillfälle) Att läsa: kapitel 5 6
Laboration 2 Objektorienterad programmering i Java I Uppgifter: 2 Beräknad tid: 5-8 timmar (OBS! Endast ett labbtillfälle) Att läsa: kapitel 5 6 Syfte: Att kunna använda sig av olika villkors- och kontrollflödeskonstruktioner
Läs merFlervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 3
Matematiska institutionen, LTH, December 2, 2004 Flervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 3 Matlab Gå till underkatalogen matlab (skapa den om den inte redan finns) av din rotkatalog.
Läs merLABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND
LABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I laborationen skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett
Läs merMATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...
Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»
Läs merTEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB sid. 2 av 12 Innehåll 1 Vad är MATLAB? 3 1.1 Textens syfte..................................... 3 2 Grundläggande
Läs merIndex. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera
Läs mer14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.
PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade
Läs merProgrammeringsteknik med C och Matlab
Programmeringsteknik med C och Matlab Kapitel 2: C-programmeringens grunder Henrik Björklund Umeå universitet Björklund (UmU) Programmeringsteknik 1 / 32 Mer organisatoriskt Imorgon: Datorintro i lab Logga
Läs merDatorövning 1 Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet
Läs meroch Lär dig surfa på Internet Bilden nedan föreställer Södertälje kommuns hemsidans startsida Adressen till hemsidan
Utgåva 1 och Lär dig surfa på Internet Sammanställd av: SeniorNet i Södertälje November 2008 Vi använder här Microsofts surfprogram: Windows Internet Explorer På skrivbordet högerklickar du på ikonen:
Läs merFK2005 Datorövning 3
FK2005 Datorövning 3 Den här övningen vänder sig endast till lärarstudenter (FK2005). Målet är att lära sig hur man gör en minsta kvadrat anpassning med hjälp av OpenOffice Calc. Laboration 2 kräver att
Läs merLABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering
SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med
Läs merETT FÖRSTORINGSPROGRAM PÅ DATORN ANVÄNDARHANDLEDNING
ETT FÖRSTORINGSPROGRAM PÅ DATORN ANVÄNDARHANDLEDNING 2007 Innehåll Innehåll...1 1. Om Lightning...2 2. Systemkrav...2 3. Installera och använda Lightning...2 4. Lightnings kontrollpanel...3 5. Ändra förstoringsgrad...3
Läs merSymprint Snabbstartsguide
Symprint Snabbstartsguide Artikelnummer: 12020, 12021, 12022 v.1 0.10 1 Innehåll Välkommen till SymPrint... 3 Installation av medföljande mjukvara:... 3 Komma igång... 4 Skapa nytt dokument från mall...
Läs merSymboliska beräkningar i Matlab
CTH/GU LABORATION 6 MVE45-5/6 Matematiska vetenskaper Inledning Symboliska beräkningar i Matlab Verktygslådan Symbolic Math Toolbox i Matlab kan utföra symbolisk matematik. Vi skall se på ett antal exempel
Läs merAtt skapa en bakgrundsbild och använda den i HIPP
Att skapa en bakgrundsbild och använda den i HIPP Bakgrundsbilder i HIPP kan användas till olika saker, t ex som ett rutnät för en tabell eller en grundkarta. Här visas hur man gör en grundkarta som en
Läs merPrecis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren
Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merLaboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen
Programmerade system I1 Syfte Laboration 1. Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i att skriva
Läs merGeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det
Läs merVerktygsfält. Hantering av webbkarta Grundinstruktion. Sida 1 av 6. De olika verktygen och delarna förklaras i detalj längre ner i dokumentet.
De olika verktygen och delarna förklaras i detalj längre ner i dokumentet. Flytta i sidled Zooma in Zooma ut Panorera Hela utbredningen Tillbaka Framåt Förstoring av kartdel Kartskikt Förstora/ förminska
Läs merMatlab-uppgift 3 i Flervariabelanalys
5B1148 Flervariabelanalys Karim Daho 2007-04-09 Matlab-uppgift 3 i Flervariabelanalys Av: Arash Rezai IT1 och Lucas Held ME1 Rapport i 5B1148 Flervariabelanalys Innehållsförteckning Förord.....3 Problem
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU LABORATION 1 TMV216/MMGD20-2017/2018 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska
Läs merIT-körkort för språklärare. Modul 9: Rätta skrivuppgifter
IT-körkort för språklärare Modul 9: Rätta skrivuppgifter Innehåll I. Rätta uppgifter i Word... 3 Markera fel med färger snabbt och enkelt... 3 Använd Words rättningsverktyg skriv kommentarer... 4 Gör ändringar
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 4 GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merDigitalBild del 2 Adobe Photoshop Elements ver 5.0
Sidan 1 av 5 Inbyggd hjälpfunktion i Photoshop Elements... 2 Dataprogram för bildbehandling... 2 Forts. Adobe Photoshop Elements verktygsfält... 2 Menyraden, Bild...3 Ändra bildstorlek...3 Intensitet och
Läs merHandbok Färgredigeraren. Artur Rataj Översättare: Stefan Asserhäll
Artur Rataj Översättare: Stefan Asserhäll 2 Innehåll 1 Inledning 5 2 Filoperationer 6 2.1 Om palettfiler........................................ 6 2.2 Att öppna en fil.......................................
Läs mer