Logik Filosofiska Institutionen Göteborgs Universitet B-uppsats Vt 08 Handledare: Martin Kaså Palmé MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM DAVID OLOFSSON
|
|
- Robert Gustafsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Logik Filosofiska Institutionen Göteborgs Universitet B-uppsats Vt 08 Handledare: Martin Kaså Palmé MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM DAVID OLOFSSON
2 MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM DAVID OLOFSSON Sammanfattning. Denna uppsats redogör för Michael Kasslers formella system för tolvtonsmusik. Fokus kommer dock främst att ligga på det av systemen som Kassler benämner R. Vi konstruerar ett reguljärt uttryck och bevisar att detta genererar teoremmängden för R R, en restriktion av R, och konstaterar att mängden av teorem är precis mängden av strängar vårt reguljära språk består av.. Inledning Inte helt oberoende av varandra utvecklade Josef Mathias Hauer ( ) och Arnold Schönberg (874-95) runt 920-talets början tolvtonsteorin. Av dessa två kom Schönberg och hans elever, framförallt Alban Berg ( ) och Anton von Webern ( ), att bli de mer kända. För Schönberg gav tolvtonsmetoden bland annat möjligheten att, utifrån en given serie bestående av den kromatiska skalans tolv toner, återgå till att komponera i större former och att undvika upprepningar av tonklasser i sina atonala kompositioner. Från att ha varit ett tolvtonstema kom serien sedemera att genomsyra hela strukturen hos kompositionerna. I korta drag, och generellt sett, bygger en tolvtonskomposition på en serie av den kromatiska skalans tolv toner utan upprepningar. Låt oss nu säga att vi befinner oss i ett förkompositoriskt stadium där vårt material (dvs. vår tolvtonsserie) inte än är musikaliskt bearbetat. Tolvtonserien kan nu transformeras, för att utvidga våra kompositoriska möjligheter, genom transposition, inversion och retrogression. Om tolvtonsserien ses som en sträng av tal (exempelvis 0,,2,3,4,5,6,7,8,9,0,) fungerar transposition som addition (mod. 2), inversion 2 n för alla n i serien (mod. 2), medans retrogression ger serien baklänges. Dessa 48 serier ger grunden för vår tolvtonskomposition. Även att tonupprepningar inte förekommer i serien, och har i teorin setts som förbjudet, förekommer detta och upprepningar av segment av serien i praktiken. Det ska tilläggas att den ovan beskrivna metoden för tolvtonskomposition inte är den enda, även om det kanske är den mest kända. Som exempel kan nämnas George Perle som i [8] presenterar sin tolvtonstonalitet som bygger på en så kallad allintervallserie. Denna serie innehåller alla intervall inom oktaven mellan varje par av toner. Genom att kombinera inversioner av serien bildar Perle vad han kallar för neighbor-tone collections vilket ger, tack vare symmetrin hos serien, ett till storlek begränsat harmoniskt material. Tvärtemot rådande praxis bland kompositörer under 900-talets första hälft manifesterade Schönberg inte sina teorier i skrift. Förutom Composition with Twelve Tones i [9] finns inga texter om tolvtonsteori av Scönberg. Det var främst i USA, med kompositören och musikteoretikern Milton Babbitt (96-) i spetsen, som tolvtonssystemet kom att utsättas för grundliga studier. Babbitt visade i bland annat
3 2 DAVID OLOFSSON [], [2] och [3] hur Schönberg strukturerade sina kompositioner och pekade på vissa serier med speciell betydelse för hur kompositionerna kom att utformas. Med detta lade Babbitt grunden för hur forskning kring tolvtonssystemet kom att se ut. Främst bestod denna forskning i studier av seriers egenskaper, invarians av segment under olika transformationer, seriers möjligheter att bilda aggregat dvs. vertikala tolvtonsserier, partitioner av aggregat och andra kompositionstekniska möjligheter. Från att i första hand ha lånat stor del av terminologin från matematik och logik började man snart också tillämpa dessa vetenskaper i tolvtonsteorin. Främst skedde detta i form av gruppteori och mängdteori vilket kom att sprida sig till andra grenar av musikteorin. 2. Kasslers formella system Michael Kassler, en av Babbitts studenter, presenterar i [4] och [6] de formella systemen R, R 2, R 3 och R 4. Dessa system, med olika former av tolvtonskompositioner som teorem, ska i någon mening fungera som analysverktyg för tolvtonsmusik. Vart och ett av systemen kan ses som modellera en del av kompositionsprocessen: I R kan alla tolvtonsserier härledas och i den valda serien kan segment och enstaka toner upprepas. I R 2 kan flera serier sättas samman om de är relaterade genom tolvtonsoperatorerna transposition, inversion eller retrogression. Axiomen i R 2 är teoremen i R som är de kompositioner som Kassler kallar för monolynear. Dessa kompositioner är enstämmiga med helnoten som enda notvärde. Polyfoni, och möjlighet till en något mer rytmiserad komposition med pauser, ges med införandet av nya symboler och härledningsregler i R 3. Axiomen i R 3 är teoremen i R 2. Med R 4 introduceras ytterligare symboler och regler för rytmisering vilket leder fram till den färdiga kompositionen. Att detta skulle vara en exakt bild av kompositionsprocessen är föga troligt, men det tycks heller inte vara syftet. Det tycks snarare som Kassler försöker ringa in vissa musikaliska stildrag, vilket också visar sig vara fallet. Trots detta så ger systemen ändå i grova drag en bra översikt över kompositionsprocessen: Komponerande av tolvtonsserien, tematiskt arbete, kontrapunktiska tekniker osv; från ett förkompositoriskt stadium till färdig komposition. Eftersom R och R 2 enbart har monofona kompositioner som teorem kvalificerar följaktligen inte någon av dessa som det twelve-note-class system som Kassler söker. Inte heller R 3 kvalificerar då det visar sig vara för starkt vilket Kassler demonstrerar genom att härleda ett avsnitt ur Chopins etyd för piano, opus 0 nummer 2. Kompositioner som inte är tolvtonskompositioner, dvs. kompositioner som inte bygger på cirkulation av den kromatiska skalans tolv toner ordnade i serier, men innehåller tillräckligt mycket kromatik eller modulerande avsnitt verkar alltså också falla inom ramen för R 3 -teorem. Kassler kräver inte att R 4, som är den enda kandidaten till att vara the twelve-note-class system, ska vara fullständig, dvs. ha alla tolvtonskompositioner som teorem. Han kräver dock att ett sådant system ska ge strukturell information som exempelvis förklaring av tonupprepningar och relationer mellan serier. R 4 visar sig snarare, enligt Kassler, vara ett system inskränkt till Schönbergs tolvtonsmusik än ett system för all tolvtonsmusik (i den mening som beskrivs ovan). Att R 4 inte är sund i detta avseende är inte svårt att se. Att de kompositioner som är härledbara i R 4 enbart är tolvtonskompositioner av Schönberg verkar inte rimligt. Som exempel till detta påstående, men utan bevis, kan nämnas Weberns variationer för piano, opus 27, vilket, enligt Kassler, är ett R 4 -teorem. Trots att
4 MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM 3 fler av Schönbergs kompositioner inte är teorem i systemet, så menar Kassler att R 4 ger den kompositoriska grunden för Schönbergs tolvtonsmusik. Man kan anta att R 4 ger oss grunden en ren tolvtonskomposition medan den strukturella information som Kassler kräver av systemet är avvikelserna. I denna mening tycks systemet vara utformat för stilstudier. 3. Finita automater och reguljära uttryck Eftersom mängden av R -teorem är rekursivt enumerabel finns det en Turingmaskin som räknar upp den. I själva verket klarar en enklare maskin denna uppgift, vilket vi visar i avsnitt 4, och ger därför här en kort introduktion till finita automater och reguljära uttryck. En deterministisk finit automat är en kvintuppel (Q, Σ, δ, q 0, F ) där: Q är en ändlig mängd tillstånd, Σ är en ändlig mängd symboler, δ Q Σ Q är en övergångsfunktion, q 0 Q är starttillståndet, F Q är en mängd accepterade sluttillstånd. En finit automat fungerar så att den börjar i ett starttillstånd och arbetar sig igenom symboler i en input-sträng. Om den, efter att ha förbrukat alla symboler, stannar i ett accepterande sluttillstånd så är automatens input accepterat. Låt exempelvis automaten M =(Q = {q 0, q }, Σ = {a, b}, δ = {((q 0, a, ) q ), ((q 0, b, ) q 0 ), ((q, a, ) q ), ((q, b, ) q 0 )},q 0, F = q 0 ). Denna automat startar i tillstånd q 0, läser den där ett a byter den tillstånd till q, läser den b stannar den kvar i q 0. Läser den i q ett a så stannar den kvar, men läser den ett b flyttar den till det accepterade sluttillståndet q 0 med allt input förbrukat. Automaten som beskrivs ovan är en deterministisk automat (DFA), dvs. dess övergångsfunktion tilldelar precis ett tillstånd för varje symbol och tillstånd. En icke-deterministisk automat (NFA) kan tilldela inget eller flera tillstånd för varje symbol och tillstånd, men varje språk som accepteras av en deterministisk automat accepteras av någon icke-deterministisk automat ([7] s.60-64). Språk som accepteras av finita automater kan också beskrivas med reguljära uttryck ([7] s.9-93). Syntaxen för reguljärt uttryck definieras som följer: och ɛ (den tomma strängen) är reguljära uttryck, w Σ, där Σ är en mängd symboler, är ett reguljärt uttryck, Om E och F är reguljära uttryck, så är E + F ett reguljärt uttryck, Om E och F är reguljära uttryck, så är EF ett reguljärt uttryck, Om E är ett reguljärt uttryck, så är E* ett reguljärt uttryck, Om E är ett reguljärt uttryck, så är (E) ett reguljärt uttryck. Givet ett språk L Σ*, så är L*= {w 0... w n : n N w i L}, vilket ger alla möjliga strängar i L. Vi definierar semantiken: L ( ) = och L (ɛ) = {ɛ}, L (w) = {w}, där w Σ, L (E + F ) = L (E) L (F ), L (EF ) = {vw : v L (E) w L (F )}, L (E*) = L (E)*, L ((E)) = L (E).
5 4 DAVID OLOFSSON Ett exempel på ett reguljärt uttryck är E =(0*) som beskriver språket L (E) vilket består av alla strängar med ett ändligt antal nollor, möjligtvis ingen, följt av en etta. 4. Kasslers system R Som enda axiom har R ab vilket tolkas som en stigande kromatisk skala. Dessa är också språkets enda symboler. Definition. A är en vff A är en sträng med minst en förekomst av varje symbol. Vidare är A en basformel om A = 2. Definition 2. Basen av B är den delformel A av B vars komponenter är alla första-förekomster (från vänster till höger) av symboler i B. Således är A = 2. Definition 3. Om Z är en basformel så är P Z A den vff som erhålls genom att för alla n, där n 2, låta den n:te symbolen i Z substituera varje förekomst i A av den n:te symbolen i basen av A. R har tre härledningsregler. Om A () A= ΓΦ och Γ är första förekomsten i A och ett äkta segment av basen av A, så ΓΓΦ. (Restatement) (2) A = αφ, där α är en symbol, så ααφ. (Repetition) (3) Z är en basformel, så P Z A. (Permutation) Härledningsregel () och (2) tillåter upprepningar av, i tur och ordning, segment, om det är första förekomsten av det segmentet i serien, och enstaka toner. Ett exempel kan vara på plats för definition och härledningsregel (3): Låt A = b886a99 och Z = 057a23984b6. Då är P Z A = P 057a23984b b886a99 = 057a23a b66. Denna regel ger alla 2! tolvtonsserier varför det räcker med ett axiom. Normaliserad härledning Kassler visar i [6] att det finns en normaliserad härledning, eller minimal proof i härledningssytemet: Permutationsregeln kan alltid tillämpas först i en härledning eftersom den, enligt definitionen, opererar på basen av formeln: Likaväl som att utföra permutationsregeln efter repetition och restatementregeln kan vi permutera axiomet och sedan applicera övriga härledningsregler. Likaså kan repetitionsregeln alltid appliceras sist i en härledning. Detta visar vi med följande fyra olika fall av härledningar ur Γα (Γ = Γ X och = Y ): Γ Xαα Rep. Γ XXαα Rest. Γ Xαα Rep. Γ XαXαα Rest. ΓααY Rep. ΓααY Y Rest. I var och ett av fallen kan repetitionsregeln appliceras sist: Γ XXα Rest. Γ XXαα Rep. Γ XαXα Rest. Γ XαXαα Rep. Γα Y Y Rest. ΓααY Y Rep. ΓααY Rep. ΓααY αy Rest. ΓαY αy Rest. ΓααY αy Rep. Restatementregeln kan appliceras från höger till vänster på en sträng. Detta innebär att en sträng kan kontrolleras om det är ett teorem i språket genom att stryka restatementformler från höger till vänster, vilket till sist ger axiomet under
6 MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM 5 förutsättningen att man har strykt repetitioner och gjort en permutation. Ett exempel: ab89ab ab89ab ab89ab ab89ab ab89ab ab89ab ab89ab ab Det tycks uppenbart att denna uppgift kan utföras av en enkel maskin: Läs strängen och vid upprepning, radera det upprepade segment. Detta ger bakvägen (läs exemplet nerifrån och upp) en normaliserad härledning för restatementregeln. Enligt [0] finns i Kasslers bok [5] ett bevis för att det finns en finit automat som accepterar {A : R A}, men eftersom Kasslers bok dessvärre varit omöjlig att få tag på följer här ett oberoende bevis för detta faktum. I själva verket finns en DFA som accepterar detta språk, vilket vi visar genom att ge ett reguljärt uttryck vars språk är precis {A : R A}, men inledningsvis begränsat genom att enbart ta hänsyn till restatementregeln och med ett bestämt axiom (låt oss kalla detta system R R ): T = 0(0)*2(2+02)*3( )*... b(ab+9ab+89ab ab)* Vi visar nu att mängden av R R -teorem är precis det språk som beskrivs av vårt reguljära uttryck T. Sats 4. φ L (T ) finns en restatement-härledning från axiomet till φ. Bevis. Induktion. Antag att φ L (T ) men R R φ, och låt φ = wπ vara minsta sådant motexempel. w har erhållits genom *-applikation varför Π L (T ), men φ var det minsta exemplet så R R Π. Restatementregeln ger att R R wπ, men R R φ vilket är en motsägelse. Sats 5. φ är härledd ur axiomet med applikation av restatementregeln φ L (T ). Bevis. Induktion. Basfallet, då φ = ab, är klart. Induktionsantagande: Antag att om antalet applikationer av restatementregeln är < k så gäller sats 5. Låt φ = ΓΓΠ, och betrakta följande härledning:. (k ) Rest. ΓΠ (k) Rest. ΓΓΠ Eftersom ΓΠ erhållits genom k applikationer av restatementregeln så ΓΠ L (T ), men Γ är ett segment av en basformel (i vårt fall av axiomet) och därför också av vårt reguljära uttryck. En *-applikation ger ΓΓΠ varför φ L (T )
7 6 DAVID OLOFSSON Vi visar sats 5 med ett exempel: Låt φ = ab. φ är tydligen härledd med applikation av restatementregeln, men 23 är ett segment av axiomet och återfinns därför i vårt reguljära uttryck T varför φ L (T ) Det reguljära uttrycket T ovan ger oss inte alla teorem i R eftersom vi begränsade detta till restatementregeln. Ett mer korrekt uttryck för R är därför: T = 00**(0**)*... bb*(a*b* *2*3*4*5*6*7*8*9*a*b*)* Detta uttryck tar även hand om repetitionsregeln varför enbart problemet med permutationsregeln kvarstår. Ett sådant uttryck, vilket skulle ge oss hela teoremmängden för R, består av disjunktionen av alla 2! reguljära uttryck. En intressant fråga, men som dessvärre inte ryms inom ramen för denna uppsats, är huruvida det reguljära uttrycket för R kan optimeras för att minska dess storlek. Referenser [] Milton Babbitt. Some Aspects of Twelve-Tone Composition. The Score, 5:53 6, 955. [2] Milton Babbitt. Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants. Musical Quarterly, 46: , 960. [3] Milton Babbitt. Set Structure as a Compositional Determinant. Journal of Music Theory, 5:72 94, 96. [4] Michael Kassler. A Sketch of the Use of Formalized Languages for the Assertion of Music. Perspectives of New Music, (2):83 94, 963. [5] Michael Kassler. The Decision of Arnold Schoenberg s Twelve-Note-Class System and Related Systems. Clearinghouse for Federal Scientific and Technical Information, 964. [6] Michael Kassler. Toward a Theory that is the Twelve-Note-Class System. Perspectives of New Music, 5(2): 80, 967. [7] John E. Hopcroft Jeffrey D. Ullman Rajeev Motwani. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley, 200. [8] George Perle. Twelve-Tone Tonality. University of California Press, 977. [9] Arnold Schönberg. Style and Idea. Philosophical Library, 950. [0] Richard Sharvy. Review. The Journal of Symbolic Logic, 40(4): , 975.
Idag: Reguljära språk Beskrivs av Reguljära uttryck DFA Grammatik
Idag: Reguljära språk Beskrivs av Reguljära uttryck DFA Grammatik Först några definitioner: Alfabet = en ändlig mängd av tecken. Ex. {0, 1}, {a,b}, {a, b,..., ö} Betecknas ofta med symbolen Σ Sträng =
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merLogik och modaliteter
Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.
Läs merb) S Ø aa, A Ø aa» bb, B Ø aa» bc, C Ø ac» bc» 2. Låt L vara språket över 8a< som nedanstående NFA accepterar.
Salling, 070-6527523 TID : 9-14 HJÄLPMEDEL : Inga BETYGSGRÄNSER : G 18p, VG 28p SKRIV TYDLIGT OCH MOTIVERA NOGA! PROV I MATEMATIK AUTOMATEORI & FORMELLA SPRÅK DV1, 4 p 20 MARS 2002 1. Språket L över alfabetet
Läs merOm semantisk följd och bevis
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt
Läs merPrimitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin
Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin Rasmus Blanck 0 Inledning En rad frågor inom logiken, matematiken och datavetenskapen relaterar till begreppet beräkningsbarhet. En del i kursen
Läs merMÄLARDALENS HÖGSKOLA. CD5560 Formella språk, automater och beräkningsteori. Användarmanual. för simulatorn JFLAP
MÄLARDALENS HÖGSKOLA CD5560 Formella språk, automater och beräkningsteori Användarmanual för simulatorn JFLAP Innehållsförteckning Att komma igång med JFLAP... 3 Att köra en sträng... 5 Att köra flera
Läs merK2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen
Läs merFöreläsning 2 5/6/08. Reguljära uttryck 1. Reguljära uttryck. Konkatenering och Kleene star. Några operationer på språk
Reguljära uttryck Ändliga automater och reguljära uttryck Språk som är och inte är reguljära Konkatenering och Kleene star Två strängar u och v (på alfabetet )kan konkateneras till strängen uv Givet två
Läs merKompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och
Läs merDAB760: Språk och logik
DAB76: Språk och logik /4: Finita automater och -7 reguljära uttryck Leif Grönqvist (leif.gronqvist@msi.vxu.se) Växjö Universitet (MSI) GSLT (Sveriges nationella forskarskola i språkteknologi) Göteborg
Läs merFöreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen.
Föreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet Turingmaskinen Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Data är ett oändligt långt band där nollor och ettor står
Läs merPROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (070-6527523) PROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p 19 mars 2004 SKRIVTID: 15-20. POÄNGGRÄNSER: 18-27 G, 28-40 VG. MOTIVERA ALLA
Läs merp /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig
Läs merAutomater. Matematik för språkteknologer. Mattias Nilsson
Automater Matematik för språkteknologer Mattias Nilsson Automater Beräkningsmodeller Beräkning - (eng) Computation Inom automatateorin studeras flera olika beräkningsmodeller med olika egenskaper och olika
Läs merFilosofisk Logik. föreläsningsanteckningar/kompendium (FTEA21:4) v. 2.0, den 5/ Kompakthet och Löwenheim-skolemsatsen
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium VI v. 2.0, den 5/5 2014 Kompakthet och Löwenheim-skolemsatsen 19.6-19.7 Närhelst vi har en mängd satser i FOL som inte är självmotsägande
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Läs merLite mer psykologi. L2: Automater, Sökstrategier. Top-down. Kimballs sju principer
Lite mer psykologi Perception: yntaktiskt bearbetning: emantisk bearbetning PERON() & LIKE(, y) L2: Automater, ökstrategier Korttidsminnet D4510 Parsningsalgoritmer Höstterminen 200 Långtidsminne Anders
Läs merMatematik för språkteknologer
1 / 21 Matematik för språkteknologer 3.3 Kontext-fria grammatiker (CFG) Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2014 2 / 21 Dagens saker Kontext-fria grammatiker (CFG). CFG kan
Läs merTal till Solomon Feferman
Ur: Filosofisk tidskrift, 2004, nr 1. Dag Westerståhl Tal till Solomon Feferman (Nedanstående text utgör det tal som Dag Westerståhl höll på Musikaliska Akademien i oktober 2003, i samband med att Feferman
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Läs merAutomatateori (2) Idag: Sammanhangsfria språk. Dessa kan uttryckas med Grammatik PDA
Automatateori (2) Idag: Sammanhangsfria språk Dessa kan uttryckas med Grammatik PDA Grammatik = språkregler Ett mer kraftfullt sätt att beskriva språk. En grammatik består av produktionsregler (andra ord
Läs merAlfabeten, strängar och språk. String
Alfabeten, strängar och språk Objektorienterad modellering och diskreta strukturer / design Språk och reguljära uttryck Ett alfabet är en ändlig icketom mängd vars element kallas symboler. Lennart Andersson
Läs mer10. Mängder och språk
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 10. Mängder och språk Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Rekaputilation Vi har talat om satslogik, predikatlogik och härledning
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.
Läs merObjektorienterad modellering och diskreta strukturer. 13. Problem. Sven Gestegård Robertz. Datavetenskap, LTH
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 13. Problem Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik och substitution mängder
Läs merTuringmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen.
Turingmaskiner och oavgörbarhet Turingmaskinen Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Data är ett oändligt långt band där nollor och ettor står skrivna: Oändligt
Läs merTONSÄTTAREN PER NØRGÅRDS OÄNDLIGHETSSERIE
TONSÄTTAREN PER NØRGÅRDS OÄNDLIGHETSSERIE HANS THUNBERG 1. Inledning Den danske tonsättaren Per Nørgård 1 (f.1932) har konstruerat en algoritm för att generera tonföljder 2 (melodier) rika på symmetri-
Läs merBeräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692
Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...
Läs merFunktionella beroenden - teori
Relationell databasdesign, FB Teori 7-12 Funktionella beroenden - teori Vid utformning av databassystem är det av största vikt att man kan resonera systematiskt om funktionella beroenden bl.a. för att
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Modeller och uttrycksfullhet hos predikatlogik Department of mathematics Umeå university Föreläsning 10 Dagens föreläsning 1 Innehåll på resten av kursen 2 Varför verifikation? Formella metoder för verifikation
Läs merPermutationer med paritet
238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt
Läs merLikhetstecknets innebörd
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking
Läs merOm plana och planära grafer
KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant
Läs merOm plana och planära grafer
Matematik, KTH Bengt Ek november 2017 Material till kurserna SF1679 och SF1688, Diskret matematik: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant
Läs merLogik: sanning, konsekvens, bevis
Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merEn introduktion till logik
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument
Läs merExperimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband
Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del II
Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:
Läs merOm ordinaltal och kardinaltal
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om ordinaltal och kardinaltal (Ännu ofullständig version) Mängdteorin kan ses som grunden för all matematik Här skall
Läs merPCP-satsen på kombinatoriskt manér
austrin@kth.se Teorigruppen Skolan för Datavetenskap och Kommunikation 2005-10-24 Agenda 1 Vad är ett bevis? Vad är ett PCP? PCP-satsen 2 Vad, hur och varför? Lite definitioner Huvudresultatet 3 Ännu mer
Läs merFöreläsning 7: Syntaxanalys
DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 7: Syntaxanalys Datum: 2007-10-30 Skribent(er): Erik Hammar, Jesper Särnesjö Föreläsare: Mikael Goldmann Denna föreläsning behandlade syntaxanalys.
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merKontextfria grammatiker
Kontextfria grammatiker Kontextfria grammatiker 1 Kontextfria grammatiker En kontextfri grammatik består av produktioner (regler) på formen S asb S T T # Vänsterledet består av en icke-terminal (variabel)
Läs merGruppteori. Ilyas Ahmed och Qusay Naji. 23 maj Tack till professor Dan Laksov I samarbete med Kungilga Tekniska Högskolan (KTH)
Gruppteori Ilyas Ahmed och Qusay Naji 23 maj 2007 Tack till professor Dan Laksov I samarbete med Kungilga Tekniska Högskolan (KTH) 1 Contents 1 INTRODUKTION 3 1.1 Tacksägelse............................
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)
Läs merIntroduktion till formella metoder Programmeringsmetodik 1. Inledning
Introduktion till formella metoder Programmeringsmetodik 1. Inledning Fokus på imperativa program (ex. C, Java) program betyder härefter ett imperativt program Program bestäms i en abstrakt mening av hur
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merÖvningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor
LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?
Läs merKombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av
Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merAvslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.
Läs merDefinition. Mängden av reguljära uttryck på alfabetet Σ definieras av. om α och β är reguljära uttryck så är (α β) ett reguljärt uttryck
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 6 Reguljära uttryck I unix-skal finns ange enkla mönster för filnamn med * och?. En del program, t ex emacs, egrep
Läs merLikhetstecknets innebörd
Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:
Läs merVad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system
Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets
Läs merLite om bevis i matematiken
Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis
Läs merFormell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merTentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer
Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Ulf Asklund, Sven Gestegård obertz Tentamen EDAF10 2014 10 31, 14.00 19.00 Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Vid bedömningen kommer hänsyn
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs mer13. CHURCH S OCH GÖDELS SATSER. KORT ORIENTERING OM BERÄKNINGSBARHET, EFFEKTIV UPPRÄKNELIGHET OCH AVGÖRBARHET.
81 13 CHURCH S OCH GÖDELS SATSER KORT ORIENTERING OM BERÄKNINGSBARHET, EFFEKTIV UPPRÄKNELIGHET OCH AVGÖRBARHET Våra beräkningar skall utföras på symbolsträngar, där symbolerna tas från ett givet alfabet
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion
DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs merFormell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden
Läs merSemantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler
Läs merF2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion
Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten
Läs merFinlands musikläroinrättningars förbund rf. Flöjt. Nivåprovens innehåll och bedömningsgrunder 2005. www.musicedu.fi
Finlands musikläroinrättningars förbund rf Flöjt Nivåprovens innehåll och bedömningsgrunder 2005 www.musicedu.fi NIVÅPROVENS INNEHÅLL OCH BEDÖMNINGSGRUNDER I FLÖJTSPEL Nivåproven för grund- och musikinstitutnivåerna
Läs merBlock 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder
Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är
Läs merTaluppfattning och allsidiga räknefärdigheter
Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter Handbok med förslag och råd till lärare för att kartlägga, analysera och åtgärda elevers svårigheter och begreppsliga missuppfattningar inom området tal och
Läs merDyadisk Deontisk Logik: En Härledning av Några Teorem
Dyadisk Deontisk Logik: En Härledning av Några Teorem Abstrakt Deontisk logik är en gren av logiken som handlar om normativa begrepp, satser, argument och system. Dyadisk deontisk logik är en typ av deontisk
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merSF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del IV
SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del IV Jakob Jonsson 28 april 2009 Detta häfte innehåller kompletterande material till del IV av kursen SF2715 Tillämpad kombinatorik,
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 12 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 10 december 2015 Anton Grensjö ADK Övning 12 10 december 2015 1 / 19 Idag Idag Komplexitetsklasser Blandade uppgifter
Läs merLabb 1 - Textbearbetning med reguljära uttryck. Formella språk. Definitioner. Chomskyhierarkin. Formella språk. Formella språk
Labb 1 - Textbearbetning med reguljära uttryck Textbearbetning: Dela upp en text i meningar Hitta alla namn i en text Hitta adjektiv i superlativ Lektion reguljära uttryck re modulen i Python Formella
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som
Läs merProgrammering för språkteknologer II. OH-serie: Ändliga automater. reguljära uttryck i Java. Deterministiska ändliga automater
Programmering för språkteknologer II OH-serie: ändliga automater reguljära uttryck i Java Mats Dahllöf Ändliga automater Abstrakt maskin, tillståndsmaskin, transitionssystem. (Den enklaste typ man brukar
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merTrapped in (a) Cage. Per Anders Nilsson PhD/Professor Högskolan för scen och musik Göteborgs universitet
Trapped in (a) Cage Per Anders Nilsson PhD/Professor Högskolan för scen och musik Göteborgs universitet Projektet provar alternativa förhållningssätt och metoder i ensemblespel i högre utbildning för jazz
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merÖvningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs merLars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare
Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Introduktion till och matematisk statistik diskret matematik Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare,
Läs merVid Göteborgs universitet pågår sedan hösten 2013 ett projekt under
Christina Skodras Muffles truffles Undervisning i multiplikation med systematiskt varierade exempel I Nämnaren 2015:4 beskrivs ROMB-projektet övergripande i Unga matematiker i arbete. Här redovisas och
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merMatematikens grundvalar och programmering av datorer
Matematikens grundvalar och programmering av datorer Bengt Nordström Datavetenskap, Chalmers och Göteborgs Universitet, 14 februari, 2005 Datorerna föddes ur logiken 1870: Cantor: Det finns minst två slags
Läs merProgramkonstruktion och Datastrukturer, lektion 7
Programkonstruktion och Datastrukturer, lektion 7 Johannes Åman Pohjola & William Sjöstedt, Uppsala Universitet 9 Dec 2010 Vad har följande funktion för tidskomplexitet? fun pow2 0 = 1 pow2 n = pow2(n
Läs mer