Hertzsprung-Russell-diagrammet Ulf Torkelsson

Transkript

1 1 Stjärnors temperatur Föreläsning 26/2 Hertzsprung-Russell-diagrammet Ulf Torkelsson Om vi antar att en stjärna strålar som en svartkropp så kan vi bestämma dess temperatur genom att studera dess spektrum. I det enklaste fallet skulle det räcka med att bestämma den våglängd vid vilken stjärnans spektrum har sitt maximum, och sedan kan vi använda Wiens förskjutningslag, men i praktiken gör man snarare som så att man mäter upp strålningsenergin i två våglängdsband, och sedan ser man vilken temperatur som krävs i Plancks strålningslag för att reproducera intensitetsförhållandet. Denna form av temperatur kallar man för en färgtemperatur. Ett annat sätt att bestämma stjärnans temperatur är att studera styrkan av de absorptionslinjer som man ser i stjärnans spektrum. Absorptionslinjer kan i vissa fall vara breda, men bara absorbera en liten del av ljuset, och i andra fall är de smala, men de absorberar en stor del av ljuset inom detta våglängdsband, så för att kunna mäta styrkan på en spektrallinje definierar man en ekvivalentbredd. Detta är den bredd som en spektrallinje, som absorberar allt ljus måste ha för att totalt sett absorbera lika mycket ljus som den linje som man studerar. För att förstå hur temperaturen påverkar en spektrallinjes styrka låt oss titta på Balmer-linjerna från väte. Dessa uppkommer då en väteatom i nivån n = 2 absorberar en foton av lämplig energi så att atomen kan hoppa till en högre nivå. När temperaturen är låg så ligger alla väteatomerna i grundnivån n = 1, och då kan det inte uppkomma några Balmer-linjer, men när temperaturen ökar så kommer väteatomerna att börja röra sig allt snabbare, och när de kolliderar så kommer en del av atomerna att exciteras till högre nivåer som n = 2 och Balmerlinjerna blir allt starkare. Till slut så blir dock temperaturen tillräckligt hög för att väteatomerna istället skall joniseras vid kollisionerna, och då avtar Balmer-linjerna i styrka igen. Därför kan vi använda spektrallinjerna från väte och en del andra atomer som termometrar för att mäta stjärnornas temperaturer. O-stjärnorna som är de hetaste stjärnorna med temperaturer på runt K och blå färg har spektrallinjer av joniserat helium och andra joniserade atomer. De blåvita B-stjärnorna har temperaturer mellan och K, och har starka linjer från neutralt helium. A-stjärnorna är vita med temperaturer mellan och K och har spektrallinjer av väte. Vätelinjerna finns kvar i F-stjärnorna, men dessa har också linjer av joniserat kalcium, järn och andra metaller. F-stjärnorna har temperaturer mellan och K. G-stjärnorna är gula med temperaturer mellan och K. I dessa blir vätelinjerna svagare, och linjer av joniserat och neutralt kalcium samt metallinjer dominerar. K-stjärnorna är orange med temperaturer mellan och K, och har främst linjer från neutralt kalcium, järn och andra metaller. Slutligen har vi de röda M-stjärnorna vars temperaturer kan gå ner till under K. Deras spektra domineras av linjer från molekyler som TiO och neutralt kalcium. Enligt Stefan-Boltzmanns lag finns det ett enkelt samband mellan area, temperatur, och luminositet (total utstrålad effekt) för en svartkroppsstrålare. För en sfärisk svartkropp gäller att luminositeten L = 4πR 2 σt 4. (1) En stjärna är i och för sig inte en perfekt svartkroppsstrålare, men vi kan definiera en effektiv temperatur T eff som exakt uppfyller den här relationen. Tyvärr så kan vi inte direkt mäta upp en stjärnas luminositet, utan det vi observerar från jorden är luminositeten utspridd över en sfär med radien d, så vi mäter upp fluxen eller ljusflödet F = L 4πd 2, (2) och i praktiken mäter vi vanligen bara upp strålningen inom ett begränsat våglängdsband, till exempel V -bandet som approximativt svarar mot det område där våra ögon är känsliga. För att 1

2 beskriva en stjärnas totala utstrålning har man infört en bolometrisk magnitud m bol = V + BC, (3) där BC är den bolometriska korrektionen. Den absoluta bolometriska magnituden för en stjärna är ett mått på stjärnans totala luminositet, och man kan relatera den till solens luminositet och absoluta bolometriska magnitud genom där M bol ( ) = 4.75 och L = W. 2 Hertzsprung-Russell-diagrammet M bol ( ) M bol ( ) = 2.5 lg L L (4) Man kan ordna stjärnorna i ett diagram på vilket man sätter stjärnans luminositet eller absoluta magnitud på y-axeln och dess effektiva temperatur eller spektralklass på x-axeln (men temperaturen avtar i så fall åt höger. Ett sådant diagram kallas för ett Hertzsprung-Russell-diagram efter de båda astronomer som uppfann det. I Hertzsprung-Russell-diagrammet samlar sig de flesta stjärnorna kring ett diagonalt band som går från ljusstarka blå stjärnor överst till vänster till ljussvaga, röda stjärnor längst ner till höger. Detta band är vad vi kallar för huvudserien. Det finns också en del stjärnor som ligger över huvudserien vilka vi kallar för jättar och överjättar. Under huvudserien finns det subdvärgar och vita dvärgar. Röda dvärgar är en beteckning som ibland används på de mest ljussvaga huvudseriestjärnorna. För att skilja på stjärnor av olika luminositet, men av samma spektralklass införde Morgan och Keenan en luminositetsklassifikation, som består av en romersk siffra vilken ibland följs av en bokstav. Luminositetsklass I är en överjätte, II och III är jättar, IV subjättar, V huvudseriestjärnor och VI subdvärgar. Eftersom spektralklasserna är ett mått på stjärnornas yttemperatur, så är det inte stjärnans temperatur utan snarare dess storlek (radie) som bestämmer huruvida en stjärna är en huvudseriestjärna eller en jätte. Från studier av dubbelstjärnor vet vi att de ljusstarka blåa huvudseriestjärnorna är tunga (upp till 40 solmassor), och att massan sedan minskar längs med huvudserien så att de röda dvärgarna är betydligt lättare än solen. Jättestjärnorna har vanligen massor på ett par solmassor, medan överjättarna vanligen är tyngre än 10 solmassor. Ett viktigt instrument om man vill förstå stjärnors utveckling är att studera stjärnhopar, eftersom det är rimligt att anta att alla stjärnor i en stjärnhop har bildats samtidigt, och man kan då upprätta ett Hertzsprung-Russell-diagram för en stjärnhop, även om man inte känner avståndet till hopen. En del stjärnhopar uppvisar praktiskt taget bara en i stort sett fullständig huvudserie, och väldigt få stjärnor utanför huvudserien bortsett från möjligen någon enstaka överjätte. Andra stjärnhopar saknar den övre delen av huvudserien, men har istället mer jättestjärnor. En rimlig tolkning av detta är att tunga huvudseriestjärnor har kortare livstid än lätta huvudseriestjärnor, och de tunga stjärnorna går igenom en kort period som överjättar. De lättare stjärnorna lever längre, men efter en tid, vilken beror på deras massa, så utvecklas de till jättestjärnor. 3 Dubbelstjärnor Det enda sättet vi har att bestämma stjärnors massor är genom att studera dubbelsstjärnor. Betrakta en dubbelstjärna som består av två stjärnor med massorna M 1 och M 2. Stjärnorna ligger på avstånden a 1 och a 2 från deras gemensamma masscentrum. Från definitionen av masscentrum följer att M 1 a 1 = M 2 a 2. (5) De båda stjärnorna beskriver likformiga elliptiska banor kring masscentrum. Ur detta följer att de båda stjärnorna har hastigheter v 1 och v 2 så att M 1 v 1 = M 2 v 2. (6) 2

3 Låt oss nu för enkelhets skull anta att stjärnornas banor är cirkulära. då stjärna 1 med en gravitationskraft Stjärna 2 påverkar F = GM 1M 2 a 2, (7) där a = a 1 +a 2 är avståndet mellan stjärnorna. För en cirkulär bana balanseras gravitationskraften av centrifugalkraften som verkar på stjärna 1 Alltså får vi sambandet M 1 v 2 1 a 1. (8) GM 1 M 2 a 2 = M 1v 2 1 a 1. (9) Vi kan nu utnyttja sambandet v 1 P = 2πa 1, där P är omloppstiden för att eliminera v 1 Vi noterar nu att och utnyttjar detta för att eliminera a 1 Vi skriver nu om ekvationen som GM 2 a 2 = 4π2 a 1 P 2. (10) a = a 1 + a 2 = a 1 + M 1 M 2 a 1 = M 1 + M 2 M 2 a 1, (11) GM 2 4π 2 am 2 a 2 = (M 1 + M 2 ) P 2. (12) (M 1 + M 2 ) P 2 = 4π2 a 3 G. (13) Detta är Keplers tredje lag. Vi kan förenkla ekvationen något genom att välja att mäta stjärnmassorna i solmassor, avståndet mellan stjärnorna i astronomiska enheter och omloppstiden i år: (M 1 + M 2 ) P 2 = a 3. (14) Detta samband gäller även om stjärnorna rör sig längs elliptiska banor. I det fallet så är a 1 och a 2 längderna av halva storaxlarna för stjärnornas banor. Genom att analysera en visuell dubbelstjärna, en dubbelstjärna där vi kan se de båda stjärnorna och i princip följa deras rörelser kring varandra, kan vi därför bestämma de båda stjärnornas massor, men det finns två komplikationer. För det första så är det inte banornas storaxlar a 1 och a 2 som vi mäter upp, utan de vinklar α 1 och α 2 som banorna upptar, och om dubbelstjärnans banplan ligger i himmelsplanet så har vi att a 1 = dα 1 och a 2 = dα 2, där d är avståndet till dubbelstjärnan. Lägg här märke till att om vi mäter α i bågsekunder och d i parsec så får vi a i astronomiska enheter. I praktiken så kommer dubbelstjärnans banplan inte att ligga i himmelsplanet, utan vi ser bara projektionen av de elliptiska banorna på stjärnhimlen. Detta medför att ellipsens projicerade form inte överensstämmer med banornas verkliga ellipsform. Det går dock att korrigera för projektionseffekten och bestämma banplanets inklination, vinkel mot himmelsplanet. Exempel: För en dubbelstjärna har man mätt upp parallaxen 0.23 bågsekunder, och att de båda stjärnorna rör sig på cirkulära banor med radierna 0.2 och 0.4 bågsekunder. Bestäm stjärnornas massor om banperioden är 208 dagar. Lösning: I och med att banorna är cirkulära så vet vi att systemets inklination är 0 grader. Separationen mellan stjärnorna är 0.6 bågsekunder. Om parallaxen är 0.23 bågsekunder, så blir separationen mellan stjärnorna 0.6/0.23 = 2.6 AU. Alltså följer ur Keplers tredje lag att summan av stjärnornas massor blir M 1 + M 2 = a3 P 2 = (208/365) 2 = 54M. (15) 3

4 Nu gäller också att M 1 = a 2 = 0.4 = 2. (16) M 2 a Därför följer att 3M 2 = 54M, och alltså har vi M 2 = 18M och M 1 = 2M 2 = 36M. Om stjärnorna ligger alltför nära varandra kan vi inte separera dem på himlen, utan vi ser hela dubbelstjärnan som en ljuspunkt. I dessa fall kan vi fortfarande känna igen den som en dubbelstjärna, om vi i dess spektrum ser spektrallinjerna från båda stjärnorna, och ser hur dessa periodiskt förskjuts relativt varandra genom stjärnornas rörelser kring sitt gemensamma masscentrum. Sådana stjärnor kallas för spektroskopiska dubbelstjärnor, och för dessa fungerar inte den här massbestämningsmetoden eftersom vi inte vet banplanets inklination, men genom att jämföra radialhastigheterna för de båda stjärnorna så kan vi åtminstone bestämma förhållandet mellan stjärnornas massor. Det finns dock ett fall i vilket vi känner banplanets inklination, och det är om det är en förmörkelsedubbelstjärna, så att sett från oss förmörkar stjärnorna varandra under det att de rör sig kring sitt gemensamma masscentrum. I det fallet måste inklinationen vara nära 90 grader, och det går återigen att bestämma stjärnornas massor. Under förmörkelsen avtar stjärnornas ljusstyrka genom att man inte tar emot ljus från båda stjärnornas totala ytor längre. Ljuskurvan under förmörkelsen består av en inledande del under vilken ljusstyrkan gradvis sjunker i takt med att förmörkelsen blir allt mer omfattande, en total del då en yta som svarar mot tvärsnittsarean av den mindre stjärnan är skymd, och sedan en del då ljusstyrkan gradvis ökar igen. Genom att bestämma förmörkelsernas längd, så kan man bestämma stjärnornas radier. Exempel: Man observerar en förmörkelsedubbelstjärna med perioden 12.6 d. Genom spektroskopiska studier mäter man också upp stjärnornas banhastigheter till 80 och 93 km s 1. Bestäm stjärnornas massor och avståndet mellan stjärnorna. Förmörkelsen varar 13.9 h och är maximal under 4.0 h. Beräkna radierna för de båda stjärnorna. Lösning: Genom att det är en förmörkelsedubbelstjärna så vet vi att systemets inklination är praktiskt taget 90 grader. Därför kan vi beräkna separationen a mellan stjärnorna ur 2πa = (v + V ) P. (17) Detta ger oss a = (v + V ) P ( ) = = km = 0.2AU. (18) 2π 2π Vi kan beräkna summan av de båda massorna ur som ger Vi har också att som ger oss vilket ger Den andra stjärnans massa är då (M 1 + M 2 ) P 2 = a 3, (19) M 1 + M 2 = a3 P 2 = (12.6/365) 2 M = 6.7M. (20) M 2 v = M 1 V, (21) ( V M 1 + M 1 v = M V ) = 6.7M, (22) v M 1 = 6.7M 1 + V/v = 6.7M /93 = 3.6M. (23) M 2 = 3.1M. (24) Under den totala tiden som förmörkelsen varar så måste den ena stjärnan förflytta sig en sträcka 2(R 1 + R 2 ) relativt den andra stjärnan. Förflyttningen sker med hastigheten v + V, så vi har 2 (R 1 + R 2 ) = (v + V ) t 41. (25) 4

5 Förmörkelsen är total under den tid som den ena stjärnan täcker den andra stjärnan så mycket som möjligt. Detta sker under en sträcka R 1 R 2, så vi har Om vi adderar dessa ekvationer får vi så att 2 (R 1 R 2 ) = (v + V ) t 32. (26) 4R 1 = (v + V ) ( t 41 + t 32 ), (27) R 1 = 1 4 (v + V ) ( t 41 + t 32 ) = 1 4 ( ) ( ) = km = 4.0R. (28) Om vi istället subtraherar ekvationerna får vi så att 4R 2 = (v + V ) (t 41 t 32 ), (29) R 2 = 1 4 (v + V ) (t 41 t 32 ) = 1 4 ( ) ( ) = km = 2.2R. (30) 5