LABORATION 3 GASTERMOMETERN

Transkript

1 Fysikum FK Experimentella metoder Laborationsinstruktion (February 6, 2014) LABORATION 3 GASTERMOMETERN Mål I denna laboration ska du studera sambandet mellan tryck och temperatur i en gas vars volym hålls konstant. Genom att extrapolera till trycket noll kan du bestämma den lägsta möjliga temperaturen (absoluta nollpunkten). Du skall också bestämma den absoluta temperaturen för kolsyreis (torris) genom att utnyttja sambandet mellan tryck och temperatur och litteraturvärdet för den absoluta nollpunkten. Laborationen ger en övning i att planera, sätta upp och utföra ett mindre experiment. Den är utformad så att du får tillfälle att först bekanta dig med utrustningen och planera dina mätningar, för att genomföra dem vid ett senare tillfälle. Du skall ställa samman dina observationer i en individuell skriftlig rapport som innehåller en sammanställning av mätningarna, diagram över anpassade samband och mätpunkter med fel samt de sökta storheterna med statistiska och systematiska fel. Du skall dessutom göra en individuell muntlig genomgång med lärare.

2 .

3 LABORATION 3: Gastermometern 3 1 Inledning I den här laborationen är det tänkt att du genom ett genomföra lämpliga mätningar med den tillgängliga utrustningen ska bestämma två olika storheter (temperaturer). Innan frågeställningan formuleras (avsnitt 4), ges en introduktion till temperaturskalor och principen för mätningarna. 2 Temperaturskalor När vi mäter temperatur använder vi en termometer. Temperatur är exempel på en fysikalisk storhet som de flesta förknippar med ett praktiskt instrument, t.ex. en febertermometer eller en utomhustermometer, snarare än med de bakomliggande fysikaliska egenskaperna hos mätobjektet. Temperatur är emellertid ett grundläggande begrepp i termodynamiken, där det införs med hjälp av nollte och andra huvudsatsen 1. Ett antal olika temperaturskalor har utvecklats med tiden. De mest använda är idag Celsius- (Anders Celsius, , svensk astronom verksam i Uppsala) och Fahrenheit- (Daniel Gabriel Fahrenheit, , polsk-nederländsk fysiker) skalorna. Den senare är mest använd i engelsktalande länder, främst USA. Bägge temperaturskalorna definierades ursprungligen av två fixpunkter, dvs väl reproducerbara temperaturer. Celsius definierade sin skala med vattens fryspunkt och kokpunkt vid 1atm 2, och delade in avståndet mellan dem i 100 skaldelar. Notabelt är att Celsius ursprungligen valde att kalla fryspunkten för 100 grader och kokpunkten 0 grader. För de flesta av oss känns det väldigt konstigt att hög temperatur förknippas med kyla, men vid den här tiden var valet egentligen helt godtyckligt. Att säga att vatten ska koka vid hundra grader och frysa vid noll räcker inte riktigt för att entydigt definiera temperaturskalan. Vi måste också definiera en termometer så att vi kan dela upp temperaturintervallet i etthundra lika stora grader, och fortsätta den indelningen utanför intervallet. Celsius utnyttjade att kvicksilver utvidgar sig när det blir varmare och använde längden av en kvicksilverpelare som temperaturmått. Men man kan tänka sig många olika effekter som beror på temperaturen. Strömmen genom en diod t.ex. varierar med temperaturen på ett helt annat sätt än volymen hos kvicksilver. En termometer baserad på en sådan diod skulle också ge noll grader vid fryspunkten och etthundra grader vid kokpunkten, men gradernas storlek skulle variera jämfört med kvicksilvertermometerns. 1 Mer om detta i termodynamikkursen. 2 1atm (atmosfärs) tryck är definierad genom den standardiserade relationen 1atm = 1,01325bar, där 1bar = 10 5 Pa. Pascal (Pa = N/m 2 ) är SI-enheten för tryck.

4 4 LABORATION 3: Gastermometern Finns det då något sätt att definiera en temperaturskala som är universell i den meningen att den inte baserar sig på egenskaperna hos något särskilt material eller fysikalisktsystem?svaretpåfråganärja,detgår!omviinnesluterengasienvolym (t.ex. en glaskolv) kommer dess tryck att ändra sig då temperaturen ändras, och trycket kan användas för att definiera en temperaturskala. Poängen med detta är att för en tunn gas, varierar trycket på samma sätt med temperaturen oavsett vilken gas vi har. Det beror på att molekylerna är så långt ifrån varandra att växelverkan mellan dem kan försummas, de studsar mot behållarens väggar oberoende av varandra. En sådan gas kallas ideal. Vid vardagliga tryck och temperaturer kan de flesta gaser anses vara ideala, och vi kan alltså använda vilken gas som helst för att definiera temperaturskalan den är universell. Vi mäter alltså trycket när kolven är nedsänkt i isvatten respektive kokande vatten. En ändring av trycket med en hundradel av skillnaden mellan dessa båda fixpunkter svarar mot en grads temperaturändring. Men vad händer om vi sänker temperaturen så lågt att trycket blir noll? Trycket beror på att rörelsemängd överförs när gasens molekyler studsar mot väggarna. Om molekylerna inte rör sig alls blir trycket noll 3, men negativt kan det aldrig bli. Trycket noll definierar alltså den lägsta temperatur vi kan ha över huvudtaget. William Thompson ( ), brittisk ingenjör, matematiker och fysiker, utnyttjade insikten om att det finns en lägsta möjliga temperatur för att definiera en absolut temperaturskala där denna temperatur är skalans nollpunkt. Skalan kallas kelvinskalan (Thompson adlades 1892 och blev Lord Kelvin). Kelvinskalan börjar alltså vid absoluta nollpunkten, som är 273,15 C. SI-enheten för temperatur är kelvin (K), och enheten 1K är lika stor som enheten 1 C. Observera att vi uttrycker t.ex. 25,00 C som 298,15K (kelvin, utan grader). För en ideal gas är alltså trycket hos en volym innehållande en viss mängd gas proportionellt mot temperaturen. Trycket beror som nämnts på att rörelsemängd överförs till behållarens väggar. Eftersom molekylerna i en ideal gas inte växelverkar med varandra är trycket proportionellt också mot antalet molekyler per volymenhet i gasen, dvs proportionellt mot antalet mol av gasen och omvänt proportionellt mot volymen. Vi kan skriva detta som p = nrt V (1) där n är antalet mol och R en konstant. Sambandet ovan kallas den allmänna gaslagen och R är den allmänna gaskonstanten 4. Genom att mäta tryck och temperatur (i C) för en verklig gas i det ideala 3 Om vi kyler en verklig gas minskar trycket och så småningom kondenserar gasen. Den är då inte längre ideal (inte ens en gas), och trycket sjunker snabbare än för en ideal gas. Men vi kan tänka oss en gas som verkligen är ideal hela vägen ned till trycket noll. 4 R har värdet 8,314J/mol K.

5 LABORATION 3: Gastermometern 5 området och extrapolera till trycket noll kan vi alltså bestämma temperaturen vid absoluta nollpunkten uttryckt i celsiusskalan. I denna laboration ska du göra just detta. Litteraturvärdet för den absoluta nollpunkten är T 0 = 273,15 C, och sambandet mellan de två temperaturskalorna blir T = T c T 0 = T c +273,15 C (2) där T är absoluta temperaturen (i kelvin) och T c temperaturen i grader celsius. 3 Gastermometern Den allmänna gaslagen (1) utnyttjas i gastermometern, där man har en behållare med en konstant volym, fylld med en gas (t.ex. luft som är nära nog en ideal gas) som får anta 5 den temperatur man vill mäta. Trycket bestäms, och om man tidigare kalibrerat sin termometer mot ett antal kända (definierade) temperaturer, är också gasens temperatur entydigt bestämd. Om vi antar ett konstant antal mol gas, samt konstant volym, får vi med hjälp av allmänna gaslagen (1) och sambandet (2) relationen T c = T 0 +bp (3) Här kan man behandla T 0 (den absoluta nollpunkten) som okänd och genom att anpassa en linje till tryck uppmätta för kända temperaturer på celsiusskalan kan man bestämma T 0 tillsammans med lutningen b (som bestäms av gasmängden och volymen). Om man istället utnyttjar att T 0 = 273,15 C är känt kan man arbeta i den absoluta temperaturskalan där sambandet (3) lyder T = bp. (4) Genom att anpassa detta samband till mätningarna vid kända absoluta temperaturer kan man kalibrera gastermometern. Den kan sedan användas för mäta andra temperaturer genom att man helt enkelt mäter motsvarande tryck och multiplicerar med b. 5 I detta sammanhang får vi nöja oss med att säga att två kroppar har samma temperatur när de befinner sig i termisk jämvikt, dvs när storheter som volym och tryck och energi-innehållet inte ändras med tiden för det mätande och det mätta mediet. En mer precis definition av temperaturbegreppet kommer att diskuteras i termodynamikkursen.

6 6 LABORATION 3: Gastermometern 3.1 Korrektion av temperatur-tryckberoendet Det linjära sambandet i ekvationerna (3) och (4) gäller inte exakt för en verklig gastermometer. Det finns ett antal orsaker till detta. Vi har t.ex. förutsatt att vi har en ideal gas. att vi inte har ett s.k. skadligt rum, dvs. en volym som vi inte kan kontrollera temperaturen på. Detta är inte sant om vi (som i laborationen) använder en slang för att ansluta en tryckmätare (manometer) vid rumstemperatur. att volymen är konstant. Detta är inte riktigt sant, eftersom glaset utvidgas vid högre temperaturer och dras ihop vid lägre. En korrektion för de två sistnämnda punkterna kan förväntas förändra det linjära sambandet uttryckt i ekvation (3) till ett andragradssamband: T c = T 0 +bp+cp 2 (5) eller för den absoluta temperaturen T = bp+cp 2. (6) Även i dessa uttryck svarar absoluta nollpunkten mot trycket p = 0. Det är dessa samband som du bör anpassa till dina mätpunkter Temperaturbad I detta experiment har du tillgång till en glasbehållare som kan fås att anta temperaturen för ämnen i fem olika tillstånd: Kokande vatten. Vatten vid rumstemperatur. Is/vatten-blandning (smältande is). Kolsyreis (fast koldioxid) som sublimerar (övergår i gas). Kokande (flytande) kväve. 6 Man skulle kunna tänka sig att bestämma hur de olika effekterna ovan påverkar mätningarna, utifrån glasets expansionskoefficient och slangens volym etc. På så sätt skulle man kunna reducera antalet parametrar från två till en, vilket skulle ge en bättre bestämning av sambandet utifrån de uppmätta värdena på p och T c. I den här laborationen väljer vi att bortse från denna möjlighet för att uppgiften ska bli någorlunda enkel.

7 LABORATION 3: Gastermometern 7 4 Frågeställning Du har tillgång till fyra kända temperaturer på celsiusskalan, nämligen fixpunkterna (smältande is och kokande vatten), ett vattenbad som hålls vid rumstemperatur (mäts med en vanlig termometer) och temperaturen hos kokande kväve. Genom att utnyttja dessa referenstemperaturer med gastermometern skall två storheter bestämmas 1. Värdet på den absoluta nollpunkten i celsiusskalan. För denna bestämning får naturligtvis inte det kända värdet på nollpunkten användas. Däremot bör man jämföra sitt resultat med litteraturvärdet. 2. Temperaturen hos sublimerande torris (kolsyreis). För denna bestämning kan värdet T 0 = 273,15 C användas. Lägg märke till att vid en minsta kvadratanpassning med matrismetoden ges parametrarna av A = V a X T V 1 Y, där V a = (X T V 1 X) 1 är variansmatrisen för parametrarna (se kompendium eller( föreläsningsanteckningar). ) Om du t.ex. anpassar parametrarna i ekvation 6, A =, för att sedan bestämma temperaturen a b hos torris, ges kovariansen mellan a och b av det icke-diagonala elementet i (den symmetriska) matrisen V a. 5 Utrustning Se till att lämpligt material finns tillgängligt för mätningarna. En lista på lämplig utrustning finnner du här nedan. Termometer (för mätning av rumstemperaturen). Hink med vatten nära rumstemperatur. Aneroidbarometer för mätning av atmosfärstrycket. Digitalmanometer M+S 1010 med voltmeter. Glasbehållare med plastslang. Behållare med flytande kväve. Behållare med kolsyreis (handskar). Behållare med is. Vattenkokare med kastrull. Termoskärl.

8 8 LABORATION 3: Gastermometern 5.1 Manometern Den typ av digital manometer vi använder här mäter tryckskillnaden mellan instrumentets två ingångar. Glasbehållaren med sin plastslang anslutes till den ena ingången och den andra ingången lämnas öppen. För att få trycket i behållaren måste alltså trycket i rummet adderas till den mätta tryckskillnaden. Manometern omvandlar tryckskillnaden mellan de båda ingångarna till en elektrisk signal, som i sin tur omvandlas till ett digitalt värde på displayen 7. Manometern har även en analog utgång där spänningen är proportionell mot tryckskillnaden. I denna laboration skall denna spänning mätas med voltmeter och användas i den fortsatta datanalysen då man härigenom erhåller en decimal extra i tryckangivelsen. I princip skulle det räcka med att läsa av spänningen enbart, eftersom omvandlingsfaktorn mellan volt och pascal är angivet på manometern. Det innebär emellertid endast ett litet, extra arbete att också läsa av den digitala displayen. Dessa data kan användas för att kontrollera den använda omvandlingsfaktorn. För att manometern skall ge stabila värden skall den vara påslagen minst 15 minuter före första avläsningen så att den hinner anta konstant arbetstemperatur. Manometerns värde motsvarar inte exakt skillnaden mellan de två ingångarna, utan lite för lite eller lite för mycket. Skillnaden mellan vad manometern visar och den faktiska tryckskillnaden kallas för offset och kan antas vara oberoende av tryckskillnadens värde. För att kunna korrigera för offset måste man bestämma det genom en mätning där tryckskillnaden är känd. Eftersom manometern ger skillnaden i tryck måste också trycket i rummet bestämmas för att man ska kunna ta fram ett värde på trycket i glaskolven. Du ska mäta trycket för samma temperaturbad flera gånger och därigenom få en bättre bestämning av trycket, samt bestämma det statistiska felet i mätningen. För att detta ska fungera måste mängden luft i kolven vara densamma för alla mätningarna. Om slangen skulle lossna från kolven, eller från manometern, kommer mängden luft sannolikt att ändras. Var noga med att inte koppla loss slangen vare sig från kolven eller manometern när du väl påbörjat mätningarna. Fråga assistenten om du är tveksam! 6 Mätningar Glasbehållaren, som med sin plastslang är ansluten till manometern, sänks ned i ett antal temperaturbad, och gasen (dvs luften) i behållaren kommer efter en kort tid att anta samma temperatur som temperaturbadet. Gasen kommer vid dessa olika 7 Med hjälp av en omkastare kan man välja mätområdet mbar eller kpa. Notera vilket mätområde du använder.

9 LABORATION 3: Gastermometern 9 temperaturer att vara under olika tryck. För att du skall kunna bestämma det statistiska felet i tryckmätningen måste du upprepa den ett antal gånger på ett så oberoende sätt som möjligt. (Att t.ex. läsa av skalan flera gånger under några sekunders tid utan att blinka eller vrida på huvudet skulle uppenbarligen inte inkludera effekten av alla slumpmässiga effekter som kan påverka mätningen). Här följer några praktiska tips om mätningarna: Se till att glasbehållaren kommer ner ordentligt i det aktuella temperaturbadet (hela kolven skall vara nedsänkt). För att underlätta handhavandet bör man använda en speciell klämma att hålla fast den med (anbringa klämman mot gummiproppen som sitter på glasbehållarens rör). Om glasbehållaren är våt från ett tidigare bad bör du torka av den med en pappersservett innan den nedsänks i torris eller flytande kväve för att undvika att det bildas is. Det kokande vattnet skall stormkoka (med måtta) inte sjuda. Till isblandningen bör man använda (grov)krossad is. En handduk och en hammare underlättar iskrossningen. Isen skall vara blandad med vatten så att en issörja bildas. Detta krävs dels för att temperaturen skall bli korrekt, dels för att det ska gå lätt att föra ner kolven. Hinken med rumstempererat vatten behöver inte hålla exakt rumstemperatur, utan temperaturen bör istället hållas så konstant som möjligt. (Rumstemperaturen kommer att variera lite under försökets gång.) Tillsätt lite kallt eller varmt vatten och rör om ifall temperaturen behöver justeras. För att inte vattentemperaturen i hinken skall påverkas alltför mycket när kolven sänks ned kan det vara bra att först ge kolven ungefär rätt temperatur genom att sänka ned den i en annan behållare med vatten med ungefär samma temperatur. Torrisen(i form av pellets) kräver en speciell procedur eftersom det inte går att köra ner kolven i torrisen. Använd ett tomt kärl (med lite torris i botten), för ner kolven och häll sedan torris över kolven och täck den helt med torrisen. Observera! Torrisen ser ofarlig ut men kan ge brännskador om man håller den i handen använd för säkerhets skull handskar när du handskas med torrisen.

10 10 LABORATION 3: Gastermometern 7 Referenstemperaturer De fyra referenstemperaturerna ges av kokande vatten, uppmätt temperatur för vattnet i hinken ( rumstemperatur ), smältande is, och kokande kväve. Vattnets kokpunkt är beroende av trycket i rummet varför du måste använda en korrigeringsformel där hänsyn tas till detta. Vi förutsätter att korrektionsformeln nedan har bestämts i ett annat experiment och ger resultatet här. Den korrigerade temperaturen beräknas genom T 100 = 100 C+(p mätt 1013hPa) 0,028 C/hPa där p mätt är det tryck som du avläser från aneroidbarometern. Rådfråga assistenten vid oklarhet. Temperaturen hos blandningen av smältande is och vatten har en experimentell osäkerhet. Erfarenhetsmässigt är den cirka 0,5 C. Vattnets kokpunkt vid normalt lufttryck, 100 C, är en definition och har således inget fel. Temperaturen hos kokande kväve ges av formeln T N = C+(p mätt 1013hPa) 0,008 C/hPa. Även om koktemperaturen vid normalt lufttryck ( 195,79 C) inte är en definition förutsätts den så välbestämd att felet kan försummas. 8 Planering och analys Meningen är att du själv skall planera mätningarna och analysen. Principen är att mäta upp trycket för de olika referenstemperaturerna, och genom att anpassa ett andragradssamband för T c eller T som funktion av p bestämma absoluta nollpunktens värde i celsiusskalan, resp. temperaturen hos kolsyreis. För den senare bestämningen kan mätvärdena kompletteras med det sanna värdet (T 0 = 273,15 C) för absoluta nollpunkten. Anpassningen görs i detta senare fall enklast i kelvinskalan, där man kan anpassa en andragradsfunktion utan konstantterm. För att alla studenter ska göra jämförbara mätningar och undvika misstag skall ett planeringsschema (i appendix) lämnas in i förväg så att det kan anpassas enligt instruktioner från assistenterna. Detta schema skall fyllas i efter att du bekantat dig med försöksuppställningen under ett första pass på övningslab. Du kan då också be assistenterna om vägledning om du känner dig tveksam. För att dina data skall bli så användbara som möjligt bör du tänka igenom hur du ska analysera dem redan innan du genomför mätningarna. Det gäller att

11 LABORATION 3: Gastermometern 11 inte missa mätningar som behövs för analysen, och att använda tiden effektivt för att minimera felen. Du måste förstås också uppskatta osäkerheterna, vilket till stor del kan göras genom upprepade mätningar. Är spridningen stor kan det vara bra att mäta flera gånger än om den är liten för att öka precisionen. Kanske kan du kontrollera värden genom att mäta med flera instrument, eller på flera sätt (t.ex. kan ju tryckskillnaden avläsas direkt eller via en extern voltmeter). Du skall göra anpassningar med minsta kvadratmetoden till sambandet mellan temperatur och tryck. Genom metoden med ekvivalenta fel (se appendix) kan osäkerheten i trycket behandlas som en osäkerhet i temperaturen när anpassningen görs (algoritmen för själva anpassningen tar annars bara hänsyn till felmätningar av temperaturen). Anpassningen förutsätter 8 att de olika mätfelen är oberoende. Om felet i en ingående mätning påverkar alla punkter måste effekten av detta undersökas genom att anpassningsresultaten jämförs för olika ingångsvärden(störningsräkning). Om värdet på lufttrycket är fel, t.ex., blir effekten att alla tryckvärden (utom p = 0, som ju inte är en mätpunkt) flyttas lika mycket. 8.1 Rapporten Rapporten skall vara fullständing. Du skall beskriva uppställningen, mätproceduren och samtliga uppmätta värden (med fel). Du skall också motivera val av metoder och uppskattade fel. Även beräkningarna skall redovisas tydligt. Rapporten skall också innehålla relevanta figurer, speciellt grafer över punkter (med fel) och anpassade samband. Slutligen skall naturligtvis resultaten (absoluta nollpunktens värde i celsiusskalan och temperaturen för kolsyreis) redovisas med fel och jämföras med litteraturvärdena. Överensstämmelsen bör kommenteras och de dominerande felkällorna identifieras. 8 I den form vi behandlar i den här kursen.

12 12 LABORATION 3: Gastermometern Appendix A: Ekvivalenta fel Antag att vi har en funktion y = f(x) som skall anpassas till ett antal mätpunkter (x i,y i ), där vi har mätfel x i och y i både i den oberoende variabeln x och i den beroende variabeln y (se figuren nedan). Det är inte ovanligt att (den relativa) osäkerheten i x många gånger kan vara större än (den relativa) osäkerheten i y. Med minsta kvadratmetoden tar vi normalt bara hänsyn till osäkerheten i y men i detta fall vill vi även inkludera osäkerheten i x. Detta kan enkelt göras genom att se på hur mycket värdet y i ändras när värdet x i ändras. En enkel metod är att studera funktionens derivata (dvs funktionens lutning) i punkten (x i,y i ). Om lutningen i punkten är k i, kommer värdet på funktionen f(x) i närheten av punkten att approximativt variera som f(x) = f(x i )+k i x. Metoden är generell och gäller även för icke-linjära funktioner, så länge lutningen kan betraktas som konstant i felintervallet. För att bestämma lutningen, dvs värdet på k, gör vi först en preliminär anpassning med de givna felen i variabeln y. De ekvivalenta felen i punkterna y i som härrör från felen i x i kan sedan beräknas som k x i. y f(x) k x i x i x Om vi dessutom har mätta (eller uppskattade) fel y i i mätvärdena y i adderar vi dessa kvadratiskt till de ekvivalenta felen, dvs y tot,i = ( y i ) 2 +(k x i ) 2 De på detta sätt beräknade felen i variabeln y kan sedan används för att göra en ny (viktad) anpassning av data till funktionen y = f(x).

13 LABORATION 3: Gastermometern 13 Appendix B : Planering Som en förberedelse inför laborationen skall du tänka igenom förfarandet och svara på följande frågor. 1. Hur skall du uppskatta felet i lufttrycket i rummet? 2. Vilka osäkerheter har du i referenstemperaturerna? Var får du dem ifrån? 3. Hur omvandlar du manometerns värde till absolut tryck? Vilka fel bidrar?

14 14 LABORATION 3: Gastermometern 4. Hur uppskattar du manometerns offset med fel? 5. Hur många mätningar planerar du att göra för de olika temperaturbaden? 6. I vilken ordning kommer du att genomföra mätningarna (När mäts temperaturen i hinken? Trycket för flytande kväve? Manometerns offset? Lufttryck? etc.)

15 LABORATION 3: Gastermometern Hur skiljer sig minsta kvadratanpassningarna åt för absoluta nollpunkten och kolsyreis? Fungerar din anpassningskod för båda två? 8. Hur uppskattar du felet i absoluta nollpunkten på celsiusskalan? Hur kommer felen i offset och atmosfärstryck in? 9. Hur uppskattar du felet i temperaturen för torris? Hur kommer felen i offset och atmosfärstryck in?