MATLAB - en kompakt introduktion av Tore Gustafsson

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATLAB - en kompakt introduktion av Tore Gustafsson"

Transkript

1 ÅBO AKADEMI TEKNISKA FAKULTETEN MATLAB - en kompakt introduktion av Tore Gustafsson MATLAB 1 är ett interaktivt programpaket för numeriska beräkningar. Matlab står för matrix laboratory och är således konstruerat speciellt för matrisberäkningar. Matlab används via några interaktiva fönster. De viktigaste är "Command window" i Matlabs huvudfönster, "M-file editor" och "Help". I "Command window" kan man ge beräkningsinstruktioner och detta är det normala stället för beräkningsresultaten. Det rekommerade arbetssättet är att skriva ner instruktionerna för att lösa ett problem i en speciell instruktionsfil, som kallas m-fil, därför att förlängningen skall vara ".m". M-filerna innehåller egentligen datorprogram skrivna i Matlabs eget programmeringsspråk. M-filerna skrivs och editeras lämpligen med Matlabs egen editor, "M-file editor". Referenser för programmeringen fås ur fönstret "Help". Här hittar vi t.ex. "Getting started", som nybörjaren bör studera. Även en van Matlabanvändare behöver hjälp med instruktionerna. Dessa hittar han i "Help" under rubrikerna "Reference" och "Matlab function reference" (kan variera från version till version). Följande arbetssätt rekommeras: öppna "Command window", "M-file editor" och "Help" och placera dem på skärmen så att alla tre fönstren samtidigt är synliga. Välj sedan den katalog du vill använda som arbetsområde (välj "current directory" uppe i Matlabs huvudfönster). Skriv de instruktioner som behövs för beräkningen i en m-fil med hjälp av "M-file editor" och med "Help" som referens. Lagra filen och utför instruktionerna genom att i "Command window" skriva filens namn (observera att förlängningen bortlämnas). M-filen bör ha ett namn med förlängningen ".m". Bokstäverna å, ä och ö får inte förekomma i filnamnet, som heller inte får börja med en siffra. Matlab styrs av alfanumeriska radvisa instruktioner. Normalt avslutas en instruktion till Matlab med radslutet. Om man önskar fortsätta instruktionen på nästa rad skrivs tre punkter (...) i slutet av raden. Variabler Alla variabler är i princip av typen "matris med flyttalselement". En variabel har ett namn beståe av bokstäver och siffror. Bokstäverna å, ä och ö får inte förekomma, inte heller en siffra som första tecken. En variabel "deklareras" i och med att den tilldelas ett värde. Matrisens dimension slås fast i och med att variabeln tilldelas en given matris. Dess dimension kan ändras genom att tilldela den ett nytt värde. Tilldelning a =.5 definierar en skalär a (= 1x1-matris) och ger den värdet,5. Observera att Matlab använder decimalpunkt, inte decimalkomma! A = [1 3; 4 5 6; 7 8 9] definierar en 3x3 matris A med elementen som givits mellan hakparenteserna [ och ]. Semikolon (;) åtskiljer raderna. Det lönar sig i allmänhet att skriva ned större matriser en rad i gången. Efter semikolon behöver man inte skriva tre punkter (...) för att fortsätta instruktionen: A = [ 1 3; 4 5 6; 7 8 9] Matriselement kan bestå av uttryck eller funktioner: b = [-1.3; sqrt(3); (1++3)*4/5] resulterar i matrisen (vektorn) b till höger. 3 A = ,3 b = 1,731 4,8 1 MATLAB är ett varumärke ägt av The MathWorks, Inc.

2 Tore Gustafsson Matlab - en kompakt introduktion Matlab känner en konstant pi = 3, A = s = 1, Matlab känner en konstant i i = 1 Kolon (:) är en operator i MATLAB för att tilldela en sekvens av tal till en matris eller vektor, t.ex x = 1:5 resulterar i x = [ ], dvs varje element i sekvensen inkrementeras med ett. I ett uttryck med två kolon anger uttrycket mellan kolonen hur mycket talvärdet skall ökas i varje steg i sekvensen, y = : pi/4 : pi resulterar i y = [,,7854 1,578,356 3,1416]. Matriselement anges med index inom parentes, t.ex. som A(,3) eller b(). Första indexet anger raden och andra indexet kolumnen. Ett a index anger elementets ordningsföljd oberoe om det är en radvektor eller kolumnvektor. Vi kan t.ex. ändra värdet på elementet i rad 3, kolumn 3 i den tidigare specificerade matrisen A med instruktionen A(3,3) = 1 Små och stora tal skrivs i traditionellt e-format: s = 1.3e-4 Komplexa tal är tillåtna i alla funktioner z = 3 + 4*i Uttryck Matematiska operatorer + addition - subtraktion * multiplikation / högerdivision \ vänsterdivision ^ exponent ' transponering c = b T b = [ 1,3 1,731 4,8] = 7,73 d = 4 7 c f 5 8 x = x = 1 3 1,3 1,731 4,8 En MATLAB-sats är ofta av formen variabel = uttryck eller enbart uttryck. Ett uttryck består av variabler och aritmetiska operatorer och/eller funktioner. T.ex. c = b' * b ger inre produkten b T b = 7,73. Satsen fungerar så att uttrycket till höger om likhetstecknet evalueras, varefter räkneresultatet tilldelas variabeln till vänster om likhetstecknet. Observera att likhetstecknet i Matlab alltid betyder tilldelning. Likhetstecknet innebär inte att vi har en ekvation såsom i matematiken. T.ex. instruktionen n = n + 1 innebär att värdet av n ökas med ett. Normalt skrivs resultatet genast ut på skärmen, ett semikolon (;) efter uttrycket förhindrar utskrift Högerdivision och vänsterdivision är för skalärer identiska, är samma som d = c / f d = f \ c, dvs c divideras med f. För matriser gäller att x = A \ b är en lösning till ekvationen A x = b. Om A är kvadratisk innebär division en direkt Gausselimination av A, annars innebär operationen en minsta-kvadrat-lösning till ekvationen.

3 Matlab - en kompakt introduktion Tore Gustafsson 3 Elementvisa operationer (Array operations) Elementvisa operatorer utför aritmetiska operationer element för element på matriser eller vektorer. T.ex. om x = [ 1 3] och y = [4 5 6] så ger operationen z = x.^ y resultatet z = [ ], medan om exponenten är skalär, z = x.^ resulterar i z = [ 1 4 9]. Variablerna i högerledet kan vara vektorer eller matriser, men alla bör ha samma dimension. Resultatet blir då en vektor eller matris med denna samma dimension. Addition och subtraktion behöver inte specificeras som elementvisa därför att addition och subtraktion av matriser enligt definition utförs elementvis. Elementvisa operatorer + addition - subtraktion.* multiplikation./ högerdivision.\ vänsterdivision.^ exponent Matematiska funktioner Matlab innehåller ett otal elementära matematiska funktioner samt vektor-, matris- och polynomtransformationer. Funktionerna sin, cos, exp etc fungerar elementvis med vektorer eller matriser som argument, medan för motsvarande matrisfunktioner finns skilda funktioner, t.ex. matrisexponentialfunktionen expm. alfa = : pi/ : *pi x = sin(alfa) resulterar i x = [, 1,, -1,, ]. Listan till höger ger några vanliga funktioner. Matlabs manual innehåller många fler. En snabb metod att kontrollera hur en matlabfunktion skall användas är att i instruktionsfönstret ge instruktionen help, t.ex. help atan resulterar genast i en grov anvisning för funktionen ifråga. Några matematiska funktioner i Matlab e x exp(x) ln x log(x) log 1 x log1(x) x abs(x) x sqrt(x) sin x sin(x) cos x cos(x) tan x tan(x) arcsin x asin(x) arccos x acos(x) arctan x atan(x) arctan (x/y) atan(x,y) Egna funktioner i m-filer Egna funktioner programmeras med Matlabs uttryck i m-filer, där första utförbara raden är en deklarationsrad, som deklarerar m-filen som en Matlabfunktion. Vi vill t.ex. beräkna integralen = 3 x Q cos( x) e dx. I Matlabs fönster "Help" väljer vi MATLAB /Reference / Functions by Category / Function Functions - Nonlinear Numerical Methods och där hittar vi funktionen quadl för numerisk integration. Quadl behöver integranden som en matlabfunktion. Det mest generella sättet är att skriva ner integranden som en funktion i en m- fil. För detta exempel kan vi kalla m-filen "integrand.m" och därmed har vi introducerat en ny matlab-funktion med namnet "integrand". M-filen ser ut så här: % integrand.m - funktion för quadl function y = integrand(x) y = cos(x).* exp(x); Integralen beräknas sedan med quadl. Integrandfunktionen specificeras i quadl:s argument som ett "handtag", med funktionsnamnet föregått av ett snabel-a Q = 3) Andra och tredje argumentet för quadl är nedre respektive övre integrationsgränsen. Egna funktioner i m-filer - Första delen av filnamnet fungerar som namn för funktionen. - % anger att resten av raden är en kommentar. - Första utförbara raden i funktionsfilen är en deklarationsrad. - Deklarationsraden måste börja med ordet function. - Andra ordet är den variabel som tilldelas funktionsvärdet. - Efter likhetstecknet ges funktionens namn (samma som första delen av filnamnet) och funktionens argument inom parentes. - Sedan följer beräkning av funktionsvärdet.

4 Matlab - en kompakt introduktion Tore Gustafsson 4 Quadl kräver att man använder elementvisa operatorer i funktionen ty argumentet x till integranden innehåller samtidigt flera värden. Det lönar sig att avsluta raderna i funktionen med semikolon. Detta förhindrar att resultatet skrivs ut varje gång som funktionen utförs. Diagram f(x) Integrandens graf x - plot(x,y,'-') ritar heldragen linje - plot(x,y,'--') ritar streckad linje - plot(x,y,'o') märker ut de givna punkterna med cirklar - plot(x,y,'k') ritar en heldragen svart linje. hold on hold off plot(x,y) ritar diagram. Ett diagram med grafen av funktionen "integrand", definierad i filen integrand.m, erhålls med följande sekvens: x = :.1 : 3; y = integrand(x); clf plot(x,y) title('integrandens graf') xlabel('x') ylabel('f(x)') Den första raden bildar en vektor med 31 ekvidistanta x-värden, och den andra raden beräknar motsvarande funktionsvärden, som lagras i variabeln y. clf raderar en eventuell tidigare figur. plot(x, y) ritar ett linjediagram med räta linjer mellan (x, y)-par i vektorerna x och y. Diagrammet skalas automatiskt. De tre sista raderna sätter till en titel ovanför diagrammet och storheter på x- och y-axeln. Önskar man rita flera kurvor i samma diagram med olika plot-instruktioner bör man efter den första kurvan ge instruktionen hold on. Diagram kan i Windows överföras via klippbordet till ett textbehandlingsprogram genom att i figurfönstret ur menyn "Edit" välja "Copy Figure". Diagrammet kan sedan överföras till textbehandlingsprogrammet med "paste". Räknenoggrannhet och utskrift Matlab räknar med ca 15 siffrors noggrannhet. Detta gäller emellertid inte för alla funktioner. T.ex. numerisk lösning av differentialekvationer med funktionen ode3 ger en relativt fel mindre än 1 3 och ett absolut fel mindre än 1 6 i resultatet. Önskas högre noggrannhet måste detta specificeras skilt. Likaså beräknar quadl integraler med en felgräns 1 6. Oberoe av räknenoggrannheten skrivs resultatet ut med ett fast antal siffror. Det normala formatet är "short", som skriver resultatet med fyra decimaler. Om det normala formatet för talvärden inte är tillfredsställande kan man välja format short 5 siffror t.ex format short e 5 siffror med exponent t.ex E+ format long 15 siffror t.ex format long e 15 siffror med exponent E+ Mera om matriser A = d = g = [ 4 5 6] F = Undermatriser kan specificeras med vektorer som index, t.ex d = A(1:,3) ger en x1-matris, dvs rad 1 och ur kolumn 3 ur A. Observera att indexeringen av matriser startar från 1, inte från som i vissa programmeringsspråk. Ett ensamt kolon som index betecknar alla element i motsvarande rad eller kolumn: g = A(,:) F = A(:3,:)

5 Matlab - en kompakt introduktion Tore Gustafsson 5 En matris kan sättas ihop av ett antal undermatriser, t.ex. b1 = [4 6 8]; b = [1 3 ]; c1 = [ ; 7]; B = [[ b1 ; b ] c1 ].Då det är tvetydigt om en vektor är en radvektor eller kolumnvektor föredrar Matlab radvektorer. T.ex. instruktionerna h(1) = 1 h() = resulterar i en radvektor h = [ 1 ]. Önskar vi bestämma en kolumnvektor elementvis kan vi skriva h(1,1) = 1 h(,1) = Dimensionen av en matris eller vektor X erhålls med instruktionen [m, n] = size(x) Tre speciella matriser definieras med Z = zeros(m,n), som ger en mxn-matris fylld med nollor, E = ones(m,n), som ger en mxn-matris fylld med ettor och I = eye(n), som ger en identitetsmatris av dimensionen nxn. Diagonalmatriser konstrueras enkelt med instruktionen F = diag(d), där d är en vektor. Funktionerna det, norm, rank, cond beräknar matrisens determinant, norm, rang respektive konditionstal. Funtkionen inv inverterar en matris. Se "Matrix Functions - Numerical Linear Algebra" i "Help" för närmare instruktioner, eller skriv en instruktion av typen help det i instruktionsfönstret för en snabbreferens. b 1 = [ 4 6 8] b [ 1 3 ] = c = B = Exempel: >> size(b) ans = 4 7 Exempel: E = ones(3,1) I = eye(3) D = [E I] ger matrisen 1 D = Exempel: d = [1 3]' F = diag(d) ger matrisen D = 3 Olinjära ekvationer Iterativ lösning av skalära olinjära ekvationer kan utföras med fzero. x = fzero beräknar här iterativt ett nollställe x för en given funktion, definierad i en m-fil med namnet funktion.m, utgåe från en given gissning x. Exempel. Bestäm en lösning till ekvationen ( x 3) 1 = i närheten av x = 1. Vi skriver en m-fil, som definierar funktionen vars värde skall vara noll, och kallar den funk.m. Filen ser ut såhär: % funk.m - funktion för fzero function y = funk(x) y = (x-3).^ - 1; Lösningen fås med följande instruktion i "Command window" eller i huvudprogrammet: x = Observera att vi i m-filen använder elementvisa operationer, och tillåter sålunda att argumentet x kan vara en vektor. Matlab kan inte lösa ekvationer! fzero löser egentligen inte ekvationer, utan söker nollställen för funktioner. Ekva tionen måste alltså först skrivas i normalformen f(x) =, dvs med en nolla i högra membrum. Funktionen f(x) specificeras i m-filen, som ges som argument åt fzero.

6 6 Tore Gustafsson Matlab - en kompakt introduktion y ( x 3) e = xy = 1 Matlabs normalform: x ( x 3) e 1 = x1x 1 = x x = 1 x x y x f ( x) = ( x1 3) e x1x 1 >> x = Optimization terminated successfully: Relative function value changing by less than OP- TIONS.TolFun x = >> Fsolve. Med fzero kan vi enbart lösa skalära ekvationer. Olinjära ekvationssystem löses med funktionen fsolve ur optimization toolbox. Fsolve använder som standard Gauss-Newtons metod för att lösa ekvationen f(x) =. Vektorfunktionen f(x) bör ges i form av en m-fil. Exempel. Bestäm en lösning till ekvationssytemet y ( x 3) e = xy = 1 i närheten av origo. Vi skriver en m-fil, som definierar funktionen vars värde skall vara noll, och kallar den ekvsys.m. Filen ser ut såhär: % ekvsys.m - ekvationssystem för fsolve. function f = ekvsys(x) f(1,1) = (x(1) - 3)^ - exp(x()); f(,1) = x(1)*x() - 1; Lösningen fås med följande instruktion i "Command window" eller i huvudprogrammet: x = där andra argumentet är startvärdet för iterationen, en vektor [ ] T. Ordinära differentialekvationer Ordinära differentialekvationer kan lösas numeriskt med funktionen ode45. Funktionen ode45 använder en Runge-Kutta-metod av 4:e och 5:e ordningen för numerisk lösning av begynnelsevärdesproblem. Funktionen ode45 löser ett system av 1:a ordningens differentialekvationer, skrivet i formen dy f ( t, y) dt =, med begynnelsetillståndet y vid ett värde t = t. y är tillståndsvektorn, t är den oberoe variabeln och f är en vektorfunktion. [t, y] = [t tf], y); löser differentialekvationen definierad i en m-fil funktion.m från t = t till t = tf och med begynnelsevärdet y(t) = y. M-filen "funktion.m" har två argument: t, som är en skalar och y, som är en kolumnvektor. Den skall sedan returnera värdet på funktionen f(t, y) i form av en kolumnvektor. y1 = y1(1 y ) y y = y1 y y = 1 y dy f ( t, y) dt = f ( t, y) = y1 (1 y ) y y1 Exempel. Vi skall lösa differentialekvationen y 1 = y1(1 y ) y y = y1 mellan < t < med begynnelsetillståndet y 1 () =, y () =,5. Differentialekvationen skrivs i normalformen ovan. Funktionen f(t, y) definieras i m-filen som vi kallar "diffek.m" med följande innehåll: % diffek.m - beräknar högerledet av en diffe- % rentialekvation function f = diffek(t,y) f = [y(1)*(1-y()^)-y(); y(1)];

7 y Matlab - en kompakt introduktion Tore Gustafsson 7 En grafisk lösning erhålls genom att i Matlabs instruktionsfönster (eller i huvudprogrammet) ge instruktionerna 1 y = [.5]'; [t, y] = [ ], y); -1 plot(t,y') - xlabel('\itt') -3 ylabel('\ity') 5 1 t 15 3 Flödeskontroll i Matlabprogram Instruktionerna "for - ", "if - (else -)" och "while - " kan användas för flödeskontroll i Matlabprogram. Instruktionerna mellan for och utförs upprepade gånger medan variabel tar ett värde i gången ur uttryck. T.ex. for k = 1:5 x(k,1) = log(k); bildar en vektor x som innehåller 5 element: naturliga logaritmerna av 1,, 3, 4 och 5. Om värdet av uttryck är sant ( ) utförs instruktionerna mellan if och, annars utförs intruktionen efter. If - kan kompletteras med else. Då utförs antingen den första satsen instruktioner eller den andra satsen instruktioner beroe på om uttryck är sant eller falskt. T.ex. if x >, y = log(x) else y = -inf ger y värdet ln x om x >, annars får y värdet. Instruktionerna mellan while och utförs upprepade gånger så länge uttryck är sant. T.ex. k = while k < 1 k = k + 1; ökar värdet på k tills k = 1 varefter instruktionen efter utförs. Räkneslingan utförs alltså 1 gånger och resulterar ast i att k = 1 efter slingan. Flödeskontroll kräver logiska uttryck. Ett logiskt uttryck (variabel) får värdet 1 då det är sant och värdet då det är falskt. De logiska operatorerna jämför matriser elementvis. T.ex. k = L = k < 1 ger resultatet L = 1 (k och L är skalärer), medan x = [1 5.3]; L = (x == [1 1 1]) ger resultatet L = [1 ]. for variabel = uttryck instruktion... instruktion if uttryck instruktion... instruktion if uttryck instruktioner else instruktioner while uttryck instruktioner Logiska operatorer < mindre än > större än == lika med <= >= ~= olika & och eller ~ inte Anonyma funktioner Enkla egna funktionsuttryck kan definieras som anonyma funktioner (anonymous function) på en rad i den m-fil, varifrån funktionen anropas. T.ex. integrationsexemplet ovan kunde skrivas på två rader, först en anonym funktion som definierar integranden, sedan anropet till quadl, y cos(x).*exp(x); Q = quadl(y,, 3)

8 8 Tore Gustafsson Matlab - en kompakt introduktion Syntaxen för anonyma funktioner är funktionshandtag matlabuttryck. Nästlade funktioner Man kan även skriva funktioner inne i andra funktioner. Dessa funktioner kallas nästlade (nested functions). Fördelen med nästlade funktioner är att man klarar sig med ett mindre antal m-filer. En annan fördel är att den yttre funktionens variabler är kända i de inre funktionerna. Alla nästlade funktioner avslutas med ordet. Exempel. Vi skall beräkna integralen för c = 1;,9;,8;...;. Huvudprogram: = 3 cx Q( c) cos( x) e dx for c = 1:-.1: Q = berintegral(c) M-filen berintegral.m ser ut på följande sätt: % berintegral.m - beräknar integral för c. function q = berintegral(c) q = 3); function y = coscx(x) y = cos(x).*exp(c.*x); Mera om variabler och funktioner global x y z Variabler i Matlab är lokala. Detta betyder att en variabels värde är känt ast i den funktion där variabeln har givits ett värde. Globala variabler kan definieras med instruktionen global. Globala variablers värden är dock fortfarande kända ast i de funktioner där de är definierade som globala. Instruktionen global måste således finnas i alla funktioner inklusive huvudprogrammet. Matlabfunktioner av typen quadl, fzero och ode45 kräver att användaren bildar en egen matlabfunktion med de argument som funktionen ifråga kräver. Vill man få in i funktionen värden på egna variabler som beräknas i en annan del av programmet, kan man antingen använda sig av globala variabler, eller låta bli att skriva funktionen i en egen m-fil, utan istället använda anonyma eller nästlade funktioner. Felsökning Matlabs m-fileditor har innehåller funktioner för felsökning i matlabprogram, såsom insättning av stoppunkter och utförning av matlabprogram ett steg i gången. För enklare beräkningsuppgifter rekommeras hellre följande procedurer: - skriv några få rader i gången varefter programmet testas genom att utföras i "Command window" - uttryck du är osäker på kan testas genom att kopiera uttrycket till "Command window" och utföra det där - kontrollera viktiga variablers värden och dimensioner genom att tillfälligt ta bort semikolon på den rad där de beräknas, eller sätt in ny rader med enbart variabelns namn för att få en utskrift. T.ex. kan vi kontrollera att parametern c fungerar som den bör i funktionen coscx genom att låta dess värde skrivas ut medan funktionen utförs. - pröva att dina funktioner fungerar genom att beräkna något funktionsvärde från "Command window". Kom ihåg att du måste ge argumenten inom parentes. - alla variabler som definierats i huvudprogrammet är tillgängliga i "Command window" och finns listade i fönstret "Workspace". Kontrollera dimensionerna. Många fel beror på felaktiga dimensioner, t.ex. att variabeln är en radvektor i stället för en kolonnvektor.

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde: TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger

Läs mer

Beräkningsvetenskap föreläsning 2

Beräkningsvetenskap föreläsning 2 Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa

Läs mer

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab CTH/GU 2015/2016 Matematiska vetenskaper Introduktion till Matlab 1 Inledning Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor och universitet runt

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

Funktioner och grafritning i Matlab

Funktioner och grafritning i Matlab CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.

Läs mer

MATLAB handbok Introduktion

MATLAB handbok Introduktion Department of Physics Umeå University 30 juni 2014 MATLAB handbok Introduktion Marina Wallin Martin Hansson Per Sundholm 1 INTRODUKTION TILL MATLAB 1 1 Introduktion till Matlab Något man som Teknisk fysiker

Läs mer

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna

Läs mer

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB sid. 2 av 12 Innehåll 1 Vad är MATLAB? 3 1.1 Textens syfte..................................... 3 2 Grundläggande

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,

Läs mer

4.3. Programmering i MATLAB

4.3. Programmering i MATLAB 4.3. Programmering i MATLAB MATLAB används ofta interaktivt, dvs ett kommando som man skriver, kommer genast att utföras, och resultatet visas. Men MATLAB kan också utföra kommandon som lagrats i filer,

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. För att lösa uppgifterna

Läs mer

3.3. Symboliska matematikprogram

3.3. Symboliska matematikprogram 3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

Du kan söka hjälp efter innehåll eller efter namn

Du kan söka hjälp efter innehåll eller efter namn Du kan söka hjälp efter innehåll eller efter namn Skalärer x = 2 y = 1.234 pi, inf Ex: Skriver du >> x+100*pi Så blir svaret ans = 316.1593 (observera decimalpunkt.) Vektorer v = [1 2 3 4] radvektor u

Läs mer

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 Ove Edlund LTU 2014-11-07 Ove Edlund (LTU) M0043M, M1 2014-11-07 1 / 14 Några elementära funktioner i Matlab Exempel exp Beräknar e

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab

Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab Matematiska vetenskaper 2010/2011 Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab 1 Inledning Vi skall denna vecka se på matriser och funktioner som är inbyggda i Matlab, dels (elementära) matematiska funktioner

Läs mer

Datorlära 3 Octave Workspace ovh mijlö Skriva text på skärmen Värdesiffror Variabler och typer Strängar Makro Vektorer

Datorlära 3 Octave Workspace ovh mijlö Skriva text på skärmen Värdesiffror Variabler och typer Strängar Makro Vektorer Datorlära 1 Introduktion till datasystemet, epost konto, afs hemkonto Introduktion till datorer och datasalar Open Office Calculator Beräkningar med Open Office Calc Diagram med OO Calc Datorlära 2 Utforma

Läs mer

Matlabövning. Matlab har en enkel syntax och många av er har använt programmet tidigare. Inga deklarationer behövs.

Matlabövning. Matlab har en enkel syntax och många av er har använt programmet tidigare. Inga deklarationer behövs. Funktionsteori ht 2010 Matlabövning Inledning Denna datorövning ger en introduktion till Matlab. Systemet används här som en avancerad räknedosa med inbyggda matrisoperationer och grafik. Ha den Matlabmanual

Läs mer

KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2. Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar

KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2. Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2 Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar Vektorer För att skapa vektorn x = [ 0 1 1 2 3 5]: >> x = [0 1 1 2 3 5] x = 0 1 1 2 3 5 För att ändra (eller lägga till)

Läs mer

4.4. Mera om grafiken i MATLAB

4.4. Mera om grafiken i MATLAB 4.4. Mera om grafiken i MATLAB Larry Smarr, ledare för NCSA (National Center for Supercomputing Applications i University of Illinois, brukar i sina föredrag betona betydelsen av visualisering inom den

Läs mer

Programmera i C Varför programmera i C när det finns språk som Simula och Pascal??

Programmera i C Varför programmera i C när det finns språk som Simula och Pascal?? Programmera i C Varför programmera i C när det finns språk som Simula och Pascal?? C är ett språk på relativt låg nivå vilket gör det möjligt att konstruera effektiva kompilatorer, samt att komma nära

Läs mer

Textsträngar från/till skärm eller fil

Textsträngar från/till skärm eller fil Textsträngar från/till skärm eller fil Textsträngar [Kapitel 8.1] In- och utmatning till skärm [Kapitel 8.2] Rekursion Gränssnitt Felhantering In- och utmatning till fil Histogram 2010-10-25 Datorlära,

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

Dagens program. Programmeringsteknik och Matlab. Administrativt. Viktiga datum. Kort introduktion till matlab. Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E32)

Dagens program. Programmeringsteknik och Matlab. Administrativt. Viktiga datum. Kort introduktion till matlab. Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E32) Programmeringsteknik och Matlab Övning Dagens program Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E2) Johannes Hjorth hjorth@nada.kth.se Rum 458 på plan 5 i D-huset 08-790 69 02 Kurshemsida: http://www.nada.kth.se/kurser/kth/2d2

Läs mer

Komponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska

Komponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska Matlab-föreläsning 3 (4), 17 september, 2015 Innehåll Sekvenser (från förra föreläsningen) Upprepning med for-slingor och while-slingor Villkorssatser med if - then -else - Logik Sekvenser - repetion från

Läs mer

Matlabföreläsningen. Lite mer och lite mindre!

Matlabföreläsningen. Lite mer och lite mindre! Inmatning: Här är lite exempel på inmatning i Matlab: >> pi 3.1416 >> format long >> ans 3.141592653589793 Matlabföreläsningen Lite mer och lite mindre! >> format %återställer format (%- tecknet gör att

Läs mer

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script

Läs mer

Matematisk programvara. Föreläsning 7 Matlab. Användning av Matlab. Matlab

Matematisk programvara. Föreläsning 7 Matlab. Användning av Matlab. Matlab Matematisk programvara Förberedelse inför laboration 5. Matlab, Maple, Mathematica Flyttal Matlab som miniräknare Vektorer Grafik Funktioner Matriser, ekvationssystem Föreläsning 7 Matlab Datorer kan räkna,

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 4. Funktioner 1 Egna Funktioner Uppgift 1.1 En funktion f(x) ges av uttrycket 0, x 0, f(x)= sin(x), 0 < x π 2, 1, x > π 2 a) Skriv en Matlab funktion

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar

Läs mer

Lab 2, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 2, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 2, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Laborationen innehåller 8 deluppgifter. Uppg. 1-3: behandlar Matlabs grundläggande operationer Uppg. 4-5: behandlar kurvritning Uppg. 6-8: behandlar funktionsfiler

Läs mer

Introduktion till MATLAB

Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB Om laborationen Övningarna går ut på att bekanta sig med MATLAB och se hur man löser olika typer av problem. Arbetet är självständigt. Hoppa över sådant ni tycker verkar för lätt

Läs mer

ATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT "PLOT"

ATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT PLOT MATLAB, D-plot ATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT "PLOT" Syntax: Vi börjar med det enklaste plot-kommandot i matlab,,där x är en vektor x- värden och y en vektor med LIKA MÅNGA motsvarande y-värden. Anta att

Läs mer

16 Programmering TI -86 F1 F2 F3 F4 F5 M1 M2 M3 M4 M5

16 Programmering TI -86 F1 F2 F3 F4 F5 M1 M2 M3 M4 M5 16 Programmering Skriva program till TI-86... 214 Köra program... 221 Arbeta med program... 223 Hämta och köra assemblerprogram... 226 Arbeta med strängar... 227 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 214

Läs mer

Ickelinjära ekvationer

Ickelinjära ekvationer Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod

Läs mer

Matriser. Vektorer. Forts. Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.

Matriser. Vektorer. Forts. Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi. Forts. Grunderna i MATLAB eva@it.uu.se Matriser Matrisen är den grundläggande datatypen. En tvådimensionell matris är en tabell med rader och kolonner. En matris med m rader och n kolonner har storleken

Läs mer

Introduktion till MATLAB Föreläsning 1

Introduktion till MATLAB Föreläsning 1 Introduktion till MATLAB Föreläsning 1 FY021G Ingenjörsvetenskap Magnus.Eriksson@miun.se Reviderad 2007-09-23 1 Dagens agenda MATLAB - vad ska det vara bra för? Arrayer, matriser och vektorer Manipulation

Läs mer

Laborationstillfälle 1 Lite mer om Matlab och matematik

Laborationstillfälle 1 Lite mer om Matlab och matematik Laborationstillfälle Lite mer om Matlab och matematik En första introduktion till Matlab har ni fått under kursen i inledande matematik. Vid behov av repetition kan materialet till de övningar som gjordes

Läs mer

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0 Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

Laboration: Grunderna i Matlab

Laboration: Grunderna i Matlab Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Innehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.

Innehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi. Grunderna i MATLAB stefan@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Exempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat

Läs mer

Programmeringsteknik med C och Matlab

Programmeringsteknik med C och Matlab Programmeringsteknik med C och Matlab Kapitel 2: C-programmeringens grunder Henrik Björklund Umeå universitet Björklund (UmU) Programmeringsteknik 1 / 32 Mer organisatoriskt Imorgon: Datorintro i lab Logga

Läs mer

Kursinnehåll. Introduktion till kursen. Hederskodex. Programmering

Kursinnehåll. Introduktion till kursen. Hederskodex. Programmering DN1212 för P1 Föreläsning 1 Introduktion till kursen De flesta av er kommer att i ert arbete göra en massa tekniska beräkningar För dessa beräkningar behöver ni ett smidigt verktyg så att ni slipper att

Läs mer

Matematisk Modellering

Matematisk Modellering Matematisk Modellering Föreläsning 1 Anders Heyden Matematikcentrum Lunds Universitet Matematisk Modellering p.1/37 Denna föreläsning (läsvecka 1) Vad handlar kursen om, mål, kurskrav, ide. Matematisk

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

Språket Python - Del 1 Grundkurs i programmering med Python

Språket Python - Del 1 Grundkurs i programmering med Python Hösten 2009 Dagens lektion Ett programmeringsspråks byggstenar Några inbyggda datatyper Styra instruktionsflödet Modulen sys 2 Ett programmeringsspråks byggstenar 3 ETT PROGRAMMERINGSSPRÅKS BYGGSTENAR

Läs mer

Översikt över Visual Basic

Översikt över Visual Basic Översikt över Visual Basic Om denna översikt Denna översikt ger en kort introduktion till de viktigaste delarna i programspråket Visual Basic 6.0. På alla ställen där det beskrivs hur man skriver kod gäller

Läs mer

MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik

MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik Övningarna på de två första sidorna är avsedda att ge Dig en bild av hur miljön ser ut när Du arbetar med MATLAB. På de följande sidorna följer uppgifter som behandlar

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

Allmänt om Mathematica

Allmänt om Mathematica Allmänt om Mathematica Utvecklades av Wolfram Research (Stephen Wolfram) på 80-talet Programmet finns bl.a. till Windows, Mac OS X, Linux. Finns (åtminstone) installerat i ASA B121 (Stansen), i matematik

Läs mer

1 Funktioner och procedurell abstraktion

1 Funktioner och procedurell abstraktion 1 Funktioner och procedurell abstraktion Det som gör programkonstruktion hanterlig och övergripbar och överhuvudtaget genomförbar är möjligheten att dela upp program i olika avsnitt, i underprogram. Vår

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

2.4. Teckensträngar och logiska uttryck

2.4. Teckensträngar och logiska uttryck 2.4. Teckensträngar och logiska uttryck I Fortran sparar man text i variabler av typen CHARACTER. För varje tecken reserveras normalt 1 byte i minnet. För att deklarera en teckenvariabel TEXT och samtidigt

Läs mer

RödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar

RödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens

Läs mer

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 3. Repetitionssatser och Programmering 1 Introduktion Denna övning syftar till att träna programmering med repetitionssatser och villkorssatser. Undvik

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Matriser och linjära ekvationssystem

Matriser och linjära ekvationssystem Linjär algebra, I1 2011/2012 Matematiska vetenskaper Matriser och linjära ekvationssystem Matriser En matris är som ni vet ett rektangulärt talschema: a 11 a 1n A = a m1 a mn Matrisen ovan har m rader

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

Instruktion för laboration 1

Instruktion för laboration 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik MD, ANL, TB (rev. JM, OE) SANNOLIKHETSTEORI I Instruktion för laboration 1 De skriftliga laborationsrapporterna skall vara

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Vad är MATLAB? Användningsområden. Var kan man köra MATLAB? MATLAB-miljön: avsluta. MATLAB-miljön: Start. Informationsteknologi. Grunderna i MATLAB

Vad är MATLAB? Användningsområden. Var kan man köra MATLAB? MATLAB-miljön: avsluta. MATLAB-miljön: Start. Informationsteknologi. Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB stefan@it.uu.se Utvecklat av MathWorks, Inc. http://www.mathworks.com Ursprungligen MATrix LABoratory. Första versionen klar i slutet av 70-talet Matematisk labbmiljö

Läs mer

Kort om programmering i Matlab

Kort om programmering i Matlab CTH/GU 25/26 Matematiska vetenskaper Kort om programmering i Matlab Inledning Redan första tillfället gjorde ni ett litet program. Ni skrev ett script eller en skriptfil som beräknade summan 5 i 2 = 2

Läs mer

Dagens föreläsning. Repetition. Repetition - Programmering i C. Repetition - Vad C består av. Repetition Ett första C-program

Dagens föreläsning. Repetition. Repetition - Programmering i C. Repetition - Vad C består av. Repetition Ett första C-program Dagens föreläsning Programmeringsteknik för Ingenjörer VT05 Föreläsning 3-4 Repetition Datatyper Uttryck Operatorer Satser Algoritmer Programmeringsteknik VT05 2 Repetition Repetition - Programmering i

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar

Läs mer

Motivering för programmering. F1: Introduktion, Matlabrepetition (kap. 1 2) Att kunna programmera. Interpreterat/kompilerat

Motivering för programmering. F1: Introduktion, Matlabrepetition (kap. 1 2) Att kunna programmera. Interpreterat/kompilerat F1: Introduktion, Matlabrepetition (kap. 1 2) Gemensam intro Kursinnehåll Varför programmera? Egenskaper hos Matlab Kommando-, redigerings-, arbetsplats-, tabell-, guide- och hjälpfönster, kommando-, funktions-,

Läs mer

Kapitel 4. Programmet MATLAB

Kapitel 4. Programmet MATLAB Kapitel 4. Programmet MATLAB MATLAB (namnet härlett ur MATrix LABoratory) är ett matematikprogram baserat på matrisalgebra, som blivit mycket använt för fysikaliska och tekniska tillämpningar. Den ursprungliga

Läs mer

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO 1 TMV06b - 2012/201 Matematiska vetenskaper Linjär algebra Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Vi fortsätter även denna läsperiod att arbete med Matlab i matematikkurserna

Läs mer

2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2.

2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2. Kursöversikt Numme för V, 2003. 1 Beatrice Frock NADA, KTH 030612 ANADA 2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2. Kursprogram. Läsanvisningar. Om WWW: I World Wide Web på Internet finns aktuell information

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

Lösningar till linjära problem med MATLAB

Lösningar till linjära problem med MATLAB 5B1146 - Geometri och algebra Mikrolelektronik, TH ista ösningar till linjära problem med MATAB Av: oel Nilsson, alikzus@home.se atrik osonen, pkosonen@kth.se 26-12-4 roblem 1 Man ska bestämma ett tredjegradspolynom:

Läs mer

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället!

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! Ska du t ex förenkla 2(a + b) 2 3(b a) 2 utför först kvadreringarna

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad

Läs mer

KPP053, HT2015 MATLAB, Föreläsning 1. Introduktion till MATLAB Skript Inläsning och utskrift av variabler Ekvationssystem Anonyma funktioner

KPP053, HT2015 MATLAB, Föreläsning 1. Introduktion till MATLAB Skript Inläsning och utskrift av variabler Ekvationssystem Anonyma funktioner KPP053, HT2015 MATLAB, Föreläsning 1 Introduktion till MATLAB Skript Inläsning och utskrift av variabler Ekvationssystem Anonyma funktioner MATLAB Väletablerat Mycket omfattande program GNU OCTAVE Öppen

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab CTH/GU LABORATION 1 MVE011-2012/2013 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på de flesta tekniska högskolor

Läs mer

Matematisk Modellering

Matematisk Modellering Matematisk Modellering Föreläsning läsvecka 3 Magnus Oskarsson Matematikcentrum Lunds Universitet Matematisk Modellering p.1/33 Denna föreläsning (läsvecka 3) Kursadministration (hur går projektarbetet?)

Läs mer

Grundläggande kommandon

Grundläggande kommandon Allmänt om Matlab Utvecklades på 70-talet som ett lättanvänt gränssnitt till programbiblioteken LINPACK (linjär algebra) och EISPACK (egenvärdesproblem), ursprungligen skrivna i Fortran. En kommersiell

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Linjär Algebra, Villkor och Logik 1 Linjär Algebra Programsystemet Matlab utvecklades ursprungligen för att underlätta beräkningar från linjär

Läs mer

Enklast att skriva variabelnamn utan ; innehåll och variabelnamn skrivs ut

Enklast att skriva variabelnamn utan ; innehåll och variabelnamn skrivs ut F5: Filhantering in- och utmatning (kap. 2 och 8) 1 Utskrift på skärm, inläsning från tangentbord (kap. 2) Spara och hämta variabler med save och load (kap. 2) Kommandot textread Mer avancerad filhantering:

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION 3 MVE270-2013/2014 Matematiska vetenskaper Newtons metod 1 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer. Som exempel kan vi ta, { x1 (1 + x 2 2) 1 = 0 x 2 (1 + x 2 1 ) 2

Läs mer

Programmerbar logik. Kapitel 4

Programmerbar logik. Kapitel 4 Kapitel 4 Programmerbar logik Programmerbar logik (PLC: Programmable Logic Controller; fi. ohjelmoitava logiikka) är en sorts mikrodatorliknande instrument som är speciellt avsedda för logik- och sekvensstyrningsproblem.

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Tentamen DE12, IMIT12, SYST12, ITEK11 (även öppen för övriga)

Tentamen DE12, IMIT12, SYST12, ITEK11 (även öppen för övriga) Grundläggande programmering med C# Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: 7,5 högskolepoäng TEN1 NGC011 Tentamen DE12, IMIT12, SYST12, ITEK11 (även öppen för övriga) (Ifylles av student) (Ifylles av student)

Läs mer

MATLAB. En kort praktisk introduktion. Olof Hultin FAFA Omarbetad efter original av Henrik Persson

MATLAB. En kort praktisk introduktion. Olof Hultin FAFA Omarbetad efter original av Henrik Persson MATLAB En kort praktisk introduktion Olof Hultin olof.hultin@ftf.lth.se Omarbetad efter original av Henrik Persson FAFA10 2014-11-06 Dagens föreläsning K404: Kort introduktion till MATLAB - ca 40 min H212:

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Matematisk Modellering

Matematisk Modellering Matematisk Modellering Föreläsning läsvecka 3 Anders Heyden Matematikcentrum Lunds Universitet Matematisk Modellering p.1/39 Denna föreläsning (läsvecka 3) Matematisk modellering - fördjupning Modelleringsexempel

Läs mer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer