4.4. Mera om grafiken i MATLAB
|
|
- Rasmus Johansson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 4.4. Mera om grafiken i MATLAB Larry Smarr, ledare för NCSA (National Center for Supercomputing Applications i University of Illinois, brukar i sina föredrag betona betydelsen av visualisering inom den moderna forskningen, för att göra det lättare att tolka resultaten. Genom visualisering, säger han, kan man förvandla berg av beräknade tal till en animationsfilm om simulerad verklighet. Vi skall inte här gå in på animation, men bara konstatera, att en grafisk framställning ofta kan säga mer än tusen siffror. Man skall givetvis inte överbetona bildens betydelse, eftersom de flesta bilder måste åtföljas av en förklarande text. I ett tidigare avsnitt berörde vi i korthet hur man använder grafik i MATLAB. Här skall vi skall se på litet fler exempel. I MATLAB användes kommandot plot när man vill rita grafer. Den allmänna formen av detta kommando är plot (x1, y1, str1, x2, y2, str2,...), där str1 och str2 är teckensträngar, som används för att ange färg och stil för varje kurva, som ingår i grafen. Programmet känner till följande stilar och färger: Punkttyper: punkt (.), asterisk (*), bokstaven x (x), bokstaven o (o), plustecken (+) Linjetyper: heldragen linje (-), streckad linje (- -), streckprickad linje (-.), prickad linje (:) Färger: gul (y), grön (g), lila (magenta) (m), blå (b), cyanblå (c), vit (w), röd (r), svart (k) Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
2 Dessa stilar och färger kan kombineras med varandra. Sålunda ger t.ex. strängen r+ en kurva ritad med röda plustecken, och g- en grön heldragen linje. I Matlab är det lätt att rita flera kurvor i samma graf, vilket vi redan sett. Här är ytterligare ett exempel på några trigonometriska funktioner: >> t = 0:pi/50:2*pi; >> y1 = sin(t)+1.5*sin(3*t); >> y2 = sin(t)+0.75*sin(t/2); >> plot(t,y1, r.,t,y2, g- ) Kurvorna har beräknats för 100 punkter inom intervallet [0, 2π]. I äldre versioner av MATLAB (t.ex. version 4) var det inte så enkelt att skriva ut bilden eller överföra den till ett annat program, eftersom kurvorna ritades på en svart bakgrund. I de nya versionerna av MATLAB ritas kurvorna på en ljus bakgrund, och grafikfönstret är mera avancerat. Man kan sålunda editera många av bildens egenskaper, såsom axlarna och kurvorna. Dessutom går det också att exportera bilden till olika format (t.ex. postscript och jpeg), och skicka bilden till en laserskrivare. I svartvitt ser bilden ut på följande sätt: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
3 Vi skall också studera några andra MATLAB-kommandon, som kan användas vid tvådimensionell grafik. Med kommandot plot kan man också behandla komplexa matriser, som framgår av exemplet nedan. Arkimedes spiral (ca 225 f.kr.) uttrycks i polära koordinater som r = aθ, där a är en konstant. Vi konstruerar med MATLAB först en vektor θ, och sedan en vektor r, som båda har 100 element: >> theta=linspace(0,10*pi); >> r=theta/(5*pi); Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
4 De polära koordinaterna r och θ transformeras därpå till kartesiska koordinater x och y med MATLABkommandot pol2cart (x = r cos θ, y = r sin θ), varefter den komplexa vektorn z = x + iy kan ritas med ett vanligt plot-kommando: >> [x,y]=pol2cart(theta,r); >> z=x+i*y; >> plot(z) Diagrammet visar en spiral: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
5 I fysiken anger man ofta data med felgränser. MATLAB har ett kommando errorbar, som gör det möjligt att sätta ut sådana felgränser. Som ett exempel skall vi rita kurvan y = e x2 jämte felgränser (som antas vara 15 %): >> x=linspace(-3,3,50); >> y=exp(-x.^2); >> delta=0.15*y; >> errorbar(x,y,delta); Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
6 I MATLAB är det också möjligt att rita diagram i andra koordinatsystem än kartesiska. Som ett exempel skall vi upprita funktionen f(x) = e x + e 2x i ett vanligt kartesiskt koordinatsystem, samt i ett halvlogaritmiskt koordinatsystem (y-axeln logaritmisk). >> x=linspace(0,6,50); >> y=exp(-x)+exp(-2*x); >> subplot(1,2,1); plot(x,y); >> subplot(1,2,2); semilogy(x,y); Här har subplot-kommandot använts för att generera två grafer sida vid sida. Resultatet ser ut så här: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
7 Vi skall också studera ett annat exempel på användningen av kommandot subplot med fyra grafer i samma bild. Först ritas funktionen f(x) = x cos x inom intervallet [ 5, 5], och därpå dess derivata f (x) = cos x x sin x. Derivatan approximeras dessutom med differenskvoterna f(x i+1 ) f(x i ) x 2 x, 1 i = 1, 2,..., n 1. Differenserna uträknas med MATLAB-funktionen diff(x), som beräknar skillnaderna mellan närliggande element i en vektor x = [x 1 x 2... x n ], och lagrar dem i en annan vektor: [x 2 x 1 x 3 x 2... x n x n 1 ]. MATLAB-instruktionerna ser ut på följande sätt: >> x=linspace(-5,5,1000); >> y1=x.*cos(x); >> y2=cos(x)-x.*sin(x); >> y3=diff(y1)./(x(2)-x(1)); >> y4=y2(1:999)-y3; >> subplot(2,2,1); plot(x,y1); title ( Funktionen ) >> subplot(2,2,2); plot(x,y2); title ( Derivatan ) >> subplot(2,2,3); plot(x(1:999),y3) ; title ( Approximativ derivata ) >> subplot(2,2,4); plot(x(1:999),y4) ; title ( Deriv. - Approx. deriv. ) Observera att differensvektorn y2 innehåller endast 999 element. Bilden ser ut på följande sätt: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
8 Man kan också rita diagram i polära koordinater med kommandot polar. I exemplet nedan visas hur man kan rita en ros-funktion uttryckt i polära koordinater med hjälp av detta kommando, samt efter transformation till kartesiska koordinater med ett vanligt plot-kommando. >> t = linspace(0,2*pi,100); >> r = cos(2*t); >> subplot(1,2,1) Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
9 >> p = polar(t,r); >> subplot(1,2,2) >> [x,y] = pol2cart(t,r); >> plot(x,y); Om vi tillägger kommandot axis( equal ) (eller förändrar bildens egenskaper på motsvarande sätt) får vi en snyggare graf i det senare fallet. Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
10 Vi skall nu studera närmare några av möjligheterna att upprita funktioner i tre dimensioner, som finns i MATLAB. MATLAB har en inbyggd funktion med två variabler av formen f(x, y) = 3(1 x) 2 e x2 (y+1) 2 10( x 5 x3 y 5 )e x2 y e (x+1)2 y 2. Denna funktion, som har tre lokala maxima och minima, beräknas av peaks.m, som generar en matris med värden av funktionen för olika värdepar (x, y). Om vi ritar denna funktion i ett diagram med kommandot plot(peaks), så får vi en graf med 49 kurvor: Denna graf visar kurvytan sedd längs x-axeln. Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
11 En dylik tvådimensionell funktion är dock lättare att studera i tre dimensioner, där den tredje dimensionen (höjden ovanför x, y-planet) anges av funktionsvärdet f(x, y) i varje punkt (x, y). För detta ändamål kan man använda funktionen mesh. Om vi använder kommandot mesh(peaks), så får vi följande graf: Ibland brukar man också rita en konturgraf av en tvådimensionell funktion. Detta betyder att man ritar konturlinjer, som sammanbinder punkter i x, y-planet, där funktionsvärdena är lika. För att rita konturlinjer används i MATLAB funktionen contour. En konturgraf av funktionen peaks ritas med 20 konturlinjer, om man ger kommandot contour(peaks,20). Resultatet ser ut så här: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
12 Ett ganska intressant exempel på en tvådimensionell funktion är sin r/r, även kallad sinc-funktionen, där r = x 2 + y 2 (dvs avståndet från (x, y) till origo). För att kunna använda mesh-funktionen i MATLAB, måste man först konstruera två matriser, X och Y utgående från två koordinatvektorer x och y. Raderna i X är kopior av vektorn x, och kolumnerna i Y är kopior av vektorn y. Vi antar att funktionen beräknas för x-värden och y-värden inom intervallet [ 8, 8]. Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
13 >> x=-8:.5:8; >> y = x; >> [X,Y] = meshgrid(x,y); >> R = sqrt(x.^2 + Y.^2) + eps; >> Z = sin(r)./r; >> mesh(z) Konstanten eps är här ett mycket litet tal ( ) som har adderats för att divisionen sin r/r skall fungera även då r = 0. Grafen av funktionen liknar en sombrerohatt: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
14 Istället för kommandot mesh(z), kan man också använda surfc(x,y,z), som ritar en ytgraf (i färg) samt konturer under ytan: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
15 4.5. Mera om programmering i MATLAB Vi har tidigare beskrivit hur man behandlar elementära funktioner i MATLAB. Om man t.ex. vill tabulera en funktion inom ett givet intervall, så kan börja med att konstruera en funktionsvektor y, vars element svarar mot elementen i en argumentvektor x (zeros nollställer vektorn y): n = 21; x = linspace(-1,1,n); y = zeros(1,n); for k=1:n y(k) = cos(pi*(x(k))); end Eftersom de flesta av de inbyggda funktionerna, såsom cos tillåter vektorer som argument, så kan man ersätta slingan i programmet med ett enkelt kommando: n = 21; x = linspace(-1,1,n); y = cos(pi*x); Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
16 Detta brukar kallas för vektorisering, och är ett mycket viktigt begrepp nuförtiden, t.ex. när man programmerar superdatorer. Fördelarna är flera: - Snabbhet. Många funktionsanrop utförs snabbare, om funktionerna endast anropas en gång. - Tydlighet. Det är lättare att förstå en vektoriserad programkod, än en skalär kod. - Inlärning. För att kunna programmera superdatorer, måste man lära sig tänka vektoriellt. Detta tankesätt understöds av MATLAB. Vektoriseringen av en slinga kan vara mycket effektiv i Matlab. Vi kan t.ex. skriva ett enkelt testprogram (novtest.m) som räknar ut värden av cosinusfunktionen: t=cputime; for i=1: y(i)=cos(pi*i/1000); end cpu = cputime-t och räknar ut den använda cpu-tiden (i sekunder) med Matlabkommandot cputime. Det motsvarande vektoriserade programmet (vtest.m) skulle kunna se ut så här: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
17 t=cputime; x = 0:200000; y = cos(pi*x/1000); cpu = cputime-t När programmen kördes, blev resultatet: >> novtest cpu = >> vtest cpu = (olika datorer och olika versioner av Matlab ger förstås olika resultat). Matlab har ett antal kommandon, som underlättar vektorisering. Ett av dem är find, som används för att söka upp index för de element i en matris, som är olika noll. Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
18 Som en tillämpning skall vi behandla ett problem, där man vill göra en lista över alla element i en matris som t.ex. är större än 0. Detta kan man göra med en slinga som ser ut så här: k=0; for j=1:n for i=1:n if(a(i,j)>0), k=k+1; c(k)=i+n*(j-1); end end end Vi antar, att a är en kvadratmatris med n rader, och att c är en vektor, där de positiva elementens ordningsnummer lagras. Eftersom matrisen a genomgås kolumnvis, kommer c att innehålla ordningsnumren för elementen, då man tänker sig matrisens kolumner placerade efter varandra. Samma beräkning kan å andra sidan utföras betydligt enklare med Matlabkommandot b=find(a>0). Vektorn b kommer att innehålla samma element som vektorn c i den föregående beräkningen, och find kommandot löser också problemet betydligt snabbare. Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
19 Som ett annat exempel på ett vektoriserat program skall vi se hur man kan använda MATLAB för att bestämma koefficienterna α 1,..., α 4 i funktionen f(x) = α 1 sin(x) + α 2 sin(2x) + α 3 sin(3x) + α 4 sin(4x) då man vet att f(1) = 2, f(2) = 0, f(3) = 1 och f(4) = 5. Dessa villkor leder till ett ekvationssystem med fyra obekanta: α 1 sin(1) + α 2 sin(2) + α 3 sin( 3) + α 4 sin( 4) = 2 α 1 sin(2) + α 2 sin(4) + α 3 sin( 6) + α 4 sin( 8) = 0 α 1 sin(3) + α 2 sin(6) + α 3 sin( 9) + α 4 sin(12) = 1 α 1 sin(4) + α 2 sin(8) + α 3 sin(12) + α 4 sin(16) = 5. (1) I matrisform kan ekvationssystemet skrivas sin(1) sin(2) sin(3) sin(4) α 1 2 sin(2) sin(4) sin(6) sin(8) α 2 sin(3) sin(6) sin(9) sin(12) α 3 = 0 1. sin(4) sin(8) sin(12) sin(16) α 4 5 Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
20 Ekvationssystemet kan lösas med MATLAB programmet X = [ ; ; ; ]; Z = sin(x); f = [-2; 0; 1; 5] alpha = Z\f Observera, att man får en matris innehållande sinus funktionens värden, då man anropar sin med en matris som argument. Ekvationsssystemet löses med \- operatorn, som vi använt tidigare. Lösningen blir enligt MATLAB alpha = Funktionen f(x) och dess värden i punkterna x = 1, 2, 3, 4 kan ritas med följande MATLAB kommandon: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
21 x1=[1;2;3;4];x2=linspace(0,5,100); y2=alpha(1)*sin(x2)+alpha(2)*sin(2.*x2)+alpha(3)*sin(3.*x2)+alpha(4)*sin(4.*x2); plot(x1,f, ro,x2,y2, b- ) Resultatet ser ut så här: Introduktion till vetenskapliga beräkningar I, Tom Sundius
Funktioner och grafritning i Matlab
CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.
Läs merATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT "PLOT"
MATLAB, D-plot ATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT "PLOT" Syntax: Vi börjar med det enklaste plot-kommandot i matlab,,där x är en vektor x- värden och y en vektor med LIKA MÅNGA motsvarande y-värden. Anta att
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2/22 Matematiska vetenskaper Inledning Mer om funktioner och grafik i Matlab Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och cosinus
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU 2015/2016 Matematiska vetenskaper Introduktion till Matlab 1 Inledning Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor och universitet runt
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2017/2018 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och
Läs mer3.3. Symboliska matematikprogram
3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.
Läs merVariabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:
TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger
Läs merIndex. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera
Läs merMMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB
MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer
Läs merKPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 3. Plotter och diagram Läsa och skriva data till fil
KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 3 Plotter och diagram Läsa och skriva data till fil 2D-plott (igen) x = linspace(-10,10); %godtyckligt intervall % punkt framför * och ^ ger elmentvis operation y = x.^2
Läs merIntroduktion till MATLAB
29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 Ove Edlund LTU 2014-11-07 Ove Edlund (LTU) M0043M, M1 2014-11-07 1 / 14 Några elementära funktioner i Matlab Exempel exp Beräknar e
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merCTH/GU LABORATION 1 MVE /2013 Matematiska vetenskaper. Mer om grafritning
CTH/GU LABORATION 1 MVE16-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om grafritning Vi fortsätter att arbeta med Matlab i matematikkurserna. Denna laboration är i stor utsträckning en repetition och
Läs merIntroduktion till Gnuplot
Utkast till Introduktion till Gnuplot Johan Wild c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 5 november 2009 Innehåll 1 Inledning 4 2
Läs merDatorlära 3 Octave Workspace ovh mijlö Skriva text på skärmen Värdesiffror Variabler och typer Strängar Makro Vektorer
Datorlära 1 Introduktion till datasystemet, epost konto, afs hemkonto Introduktion till datorer och datasalar Open Office Calculator Beräkningar med Open Office Calc Diagram med OO Calc Datorlära 2 Utforma
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. Starta Matlab genom att
Läs mer15 februari 2016 Sida 1 / 32
TAIU07 Föreläsning 5 Linjära ekvationssystem. Minsta kvadrat problem. Tillämpning: Cirkelpassning. Geometriska objekt. Translationer. Rotationer. Funktioner som inargument. Tillämpning: Derivata. 15 februari
Läs merTSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D
TSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D Utvecklad av Maria Magnusson med mycket hjälp av Lasse Alfredssons material i kursen Introduktionskurs i Matlab, TSKS08 Avdelningen för Datorseende, Institutionen
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom PM:et. Gå sedan igenom exemplen
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. För att lösa uppgifterna
Läs mer( ) i xy-planet. Vi skapar ( ) med alla x koordinater och en ( ) med alla y koordinater. Sedan plottar vi punkterna med kommandot. , x 2, x 3.
Envariabelanalys med Matlab Under denna kurs kommer vi framförallt att använda Matlab som verktyg i Envariabelanalys. Bl.a skall vi se hur man mha Matlab kan vi rita kurvor i xy-planet, rita grafer till
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom hela PM:et. Gå sedan igenom
Läs mer9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:
9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner
Läs merGrafik och Egna funktioner i Matlab
Grafik och Egna funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht11 Moore: 5.1-5.2 och 6.1.1-6.1.3 1 Inledning Vi fortsätter med läroboken Matlab for Engineers av Holly Moore. Först
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merLaborationstillfälle 1 Lite mer om Matlab och matematik
Laborationstillfälle Lite mer om Matlab och matematik En första introduktion till Matlab har ni fått under kursen i inledande matematik. Vid behov av repetition kan materialet till de övningar som gjordes
Läs merLösningar till linjära problem med MATLAB
5B1146 - Geometri och algebra Mikrolelektronik, TH ista ösningar till linjära problem med MATAB Av: oel Nilsson, alikzus@home.se atrik osonen, pkosonen@kth.se 26-12-4 roblem 1 Man ska bestämma ett tredjegradspolynom:
Läs merVar försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.
Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.
Läs merNewtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION 3 MVE270-2013/2014 Matematiska vetenskaper Newtons metod 1 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer. Som exempel kan vi ta, { x1 (1 + x 2 2) 1 = 0 x 2 (1 + x 2 1 ) 2
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merIckelinjära ekvationer
Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 20 Mars, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merProblemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att:
Problemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att: 1. Om två punkter befinner sig på avståndet pi/2 från varandra så skall de ha olika färg. 2. Endast tre färger används.
Läs merKort introduktion till Casio fx-9750 GII. Knappsats
Kort introduktion till Casio fx-9750 GII Knappsats För ytterligare information kontakta Viweka Palm Viweka.palm@casio.se Tel 08-442 70 25 1 De vanligaste programmen: RUN- MAT Vanliga beräkningar och matrisberäkning
Läs mer9.3. Egenvärdesproblem
9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.
Läs merAt=A' % ' transponerar en matris, dvs. kastar om rader och kolonner U' % Radvektorn U ger en kolonnvektor
% Föreläsning 1 26/1 % Kommentarer efter %-tecken clear % Vi nollställer allting 1/2+1/3 % Matlab räknar numeriskt. Observera punkten som decimaltecken. sym(1/2+1/3) % Nu blev det symboliskt pi % Vissa
Läs merGrafritning och Matriser
Grafritning och Matriser Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1, ht11 1 Inledning Vi fortsätter under läsperiod och 3 att arbete med Matlab i matematikkurserna Dessutom kommer vi göra projektuppgifter
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merFunktioner och grafritning i Matlab
CTH/GU STUDIO 1b MVE350-2014/2015 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab. Sedan ser vi
Läs merTEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB sid. 2 av 12 Innehåll 1 Vad är MATLAB? 3 1.1 Textens syfte..................................... 3 2 Grundläggande
Läs merNewtons metod och arsenik på lekplatser
Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare
Läs merMATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...
Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»
Läs merf(a + h) = f(a) + f (a)h + f (θ) 2 h2, θ [a, a + h]. = f(a+h) f(a)
Vi skall nu se, hur man kan beräkna numeriska derivator. Antag att vi vill beräkna derivatan av f(x) i en punkt x = a, och att dess Taylor utveckling kring denna punkt är f(a + h) = f(a) + f (a)h + f (θ)
Läs merLaboration i Fourieroptik
Laboration i Fourieroptik David Winge Uppdaterad 4 januari 2016 1 Introduktion I detta experiment ska vi titta på en verklig avbildning av Fouriertransformen. Detta ska ske med hjälp av en bild som projiceras
Läs merKPP053, HT2015 MATLAB, Föreläsning 1. Introduktion till MATLAB Skript Inläsning och utskrift av variabler Ekvationssystem Anonyma funktioner
KPP053, HT2015 MATLAB, Föreläsning 1 Introduktion till MATLAB Skript Inläsning och utskrift av variabler Ekvationssystem Anonyma funktioner MATLAB Väletablerat Mycket omfattande program GNU OCTAVE Öppen
Läs merBeräkningsverktyg HT07
Beräkningsverktyg HT07 Föreläsning 1, Kapitel 1 6 1.Introduktion till MATLAB 2.Tal och matematiska funktioner 3.Datatyper och variabler 4.Vektorer och matriser 5.Grafik och plottar 6.Programmering Introduktion
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 13:e Mars, 2018 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merLinjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.
Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 22 Mars, 2016 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merMatematisk Modellering
Matematisk Modellering Föreläsning läsvecka 4 Magnus oskarsson Matematikcentrum Lunds Universitet Matematisk Modellering p.1/17 Denna föreläsning (läsvecka 4) Kursadministration (redovisning projekt 2,
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU TIF7/MVE3-7/8 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus
Läs merDatorlaborationer i matematiska metoder E1, del C, vt 2002
Matematiska metoder E del C, vt, datorlaborationer, Datorlaborationer i matematiska metoder E, del C, vt. Laborationerna är ej obligatoriska.. Laborationerna genomförs individuellt. Grupparbete godkänns
Läs merTextsträngar från/till skärm eller fil
Textsträngar från/till skärm eller fil Textsträngar [Kapitel 8.1] In- och utmatning till skärm [Kapitel 8.2] Rekursion Gränssnitt Felhantering In- och utmatning till fil Histogram 2010-10-25 Datorlära,
Läs merMer om linjära ekvationssystem
CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad
Läs merMATLAB övningar, del1 Inledande Matematik
MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik Övningarna på de två första sidorna är avsedda att ge Dig en bild av hur miljön ser ut när Du arbetar med MATLAB. På de följande sidorna följer uppgifter som behandlar
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
Matematiska vetenskaper 2010/2011 Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab 1 Inledning Vi skall denna vecka se på matriser och funktioner som är inbyggda i Matlab, dels (elementära) matematiska funktioner
Läs merLABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs mer4.3. Programmering i MATLAB
4.3. Programmering i MATLAB MATLAB används ofta interaktivt, dvs ett kommando som man skriver, kommer genast att utföras, och resultatet visas. Men MATLAB kan också utföra kommandon som lagrats i filer,
Läs merLab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.
Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU LABORATION 1 TMV206-2018/2019 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor
Läs merIntroduktion till Matlab 1
Laboration 1, M0043M, HT14 Laborationsuppgifter skall lämnas in senast 21 november 2014. Introduktion till Matlab 1 Förberedelseuppgifter 1. Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs mer2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder
Läs mer1.1 MATLABs kommandon för matriser
MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion
Läs merMATLAB the Matrix Laboratory. Introduktion till MATLAB. Martin Nilsson. Enkel användning: Variabler i MATLAB. utvecklat av MathWorks, Inc.
Introduktion till MATLAB Martin Nilsson Avdelningen för teknisk databehandling Institutionen för informationsteknologi Uppsala universitet MATLAB the Matrix Laboratory utvecklat av MathWorks, Inc. Matematisk
Läs merMatematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 2 digitala övningar med TI 82 Stat, TI 84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel
Läs merStudiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03
Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse
Läs merQuiz name: FV4 Date: 10/03/2015 Question with Most Correct Answers: #2 Total Questions: 11 Question with Fewest Correct Answers: #3
Quiz name: FV4 Date: 10/03/2015 Question with Most Correct Answers: #2 Total Questions: 11 Question with Fewest Correct Answers: #3 1. Vilka av följande påståenden är sanna för en dubbelintegral av en
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Linjär Algebra, Villkor och Logik 1 Linjär Algebra Programsystemet Matlab utvecklades ursprungligen för att underlätta beräkningar från linjär
Läs merLinjär algebra med tillämpningar, lab 1
Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt
Läs merLab 2, Funktioner, funktionsfiler och grafer.
Lab 2, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Laborationen innehåller 8 deluppgifter. Uppg. 1-3: behandlar Matlabs grundläggande operationer Uppg. 4-5: behandlar kurvritning Uppg. 6-8: behandlar funktionsfiler
Läs merUppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln
Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
Läs merLathund algebra och funktioner åk 9
Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken
Läs merKPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2. Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar
KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2 Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar Vektorer För att skapa vektorn x = [ 0 1 1 2 3 5]: >> x = [0 1 1 2 3 5] x = 0 1 1 2 3 5 För att ändra (eller lägga till)
Läs merLaboration: Grunderna i Matlab
Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid
Läs merFria matteboken: Matematik 2b och 2c
Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons
Läs merDN1212/numpm Numeriska metoder och grundläggande programmering Laboration 1 Introduktion
Staffan Romberger 2008-10-31 DN1212/numpm Numeriska metoder och grundläggande programmering Laboration 1 Introduktion Efter den här laborationen ska du kunna hantera vektorer och matriser, villkorssatser
Läs merMATLAB. Vad är MATLAB? En kalkylator för linlär algebra. Ett programspråk liknande t.ex Java. Ett grafiskt verktyg.
MATLAB Vad är MATLAB? En kalkylator för linlär algebra. Ett programspråk liknande t.ex Java. Ett grafiskt verktyg. 1 När används MATLAB? Några exempel: För små beräkningar när en räknedosa inte riktigt
Läs merIntroduktion till Python Teoridel
Institutionen för teknikvetenskap och matematik, LTU 2 november 2014 Laboration 1, M0043M, HT14 Laborationsuppgifter skall lämnas in senast 21 november 2014. Introduktion till Python Teoridel 1 Inledning
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU LABORATION 1 TMV216/MMGD20-2017/2018 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs mer2 februari 2016 Sida 1 / 23
TAIU07 Föreläsning 4 Repetitonssatsen while. Avbrott med break. Exempel: En Talföljd och en enkel simulering. Egna funktioner. Skalärprodukt. Lösning av Triangulära Ekvationssystem. Programmeringstips.
Läs merMATLAB handbok Introduktion
Department of Physics Umeå University 30 juni 2014 MATLAB handbok Introduktion Marina Wallin Martin Hansson Per Sundholm 1 INTRODUKTION TILL MATLAB 1 1 Introduktion till Matlab Något man som Teknisk fysiker
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
CTH/GU STUDIO 1 TMV036a - 2012/2013 Matematiska vetenskaper Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1 Moore: 2.3, 3.1-3.4, 3..1-3.., 4.1, 7.4 1 Inledning Nu
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs mer