301 Matematik för elever med läs- och skrivsvårigheter

Transkript

1 301 Matematik för elever med läs- och skrivsvårigheter Efter omfattande litteraturstudier och med lång erfarenhet av undervisning med elever som har läs- och skrivsvårigheter har vi hittat ett antal grundläggande problem eller varningsklockor. Läs- och skrivsvårigheter eller dyslexi ger stora effekter på elevens matematikinlärning. Vilka svårigheter man kan befara, hur man upptäcker dem samt kompensatoriska vägar man kan hitta ges exempel på under denna föreläsning. Per Berggren och Maria Lindroth arbetar som matematiklärare på Trädgårdsstadsskolan i Tullinge. De skriver också läromedel och pedagogisk litteratur samt bedriver lärarfortbildning. Föreläsning Alla Dokumentation I samband med att LPO94 och tillhörande kursplaner infördes startade vi ett förändringsarbete i matematik. Den ursprungliga tanken med detta var egentligen mycket enkel. Vi ville att vår matematikundervisning skulle vara mer spännande och intressant istället för förutsägbar och tråkig som både vi och eleverna upplevde den. Vårt credo blev att vi skulle arbeta med laborativ matematik. Av en tillfällighet startade samtidigt projektet Läs- och skrivutveckling i Botkyrka som hade sin bas på vår dåvarande skola. Ganska snart insåg både vi att dessa två saker hade flera gemensamma beröringspunkter. Det blev en start för oss i vårt arbete att försöka hitta vägar för att göra matematiken roligare, mer utmanande och lättare att tillägna sig för elever med läs- och skrivsvårigheter. Något som vi under resans gång kommit att förstå att det ger samma fördelar även till resten av eleverna. Vi vill redan här göra klart att vi inte använder oss av begreppet dyskalkyli. För oss är det ett begrepp som inte är klart definierat. Beroende på vem man pratar med så verkar andelen med denna diagnos variera mellan några få procent till mer eller mindre alla som har någon form av matematiksvårigheter, vilket kan vara en ansenlig andel. Vår utgångspunkt är istället att de bakomliggande faktorer som orsakar dyslexi har en direkt inverkan även på matematikinlärningen. Från början hade vi en tanke om att ifall eleverna har svårt att läsa (och skriva) är det självklart att de får svårt att lösa lästal i matematik. Givetvis finns det en viss sanning i detta. Lästalen är ofta mycket faktaintensiva och fulla med matematiska begrepp som behöver förstås för att kunna se sammanhanget och förstå problemet. Dessutom har de ofta karaktären av att försöka beskriva en verklig situation på bara ett par rader och för att kunna lösa uppgiften bör man kunna måla upp en inre bild av situationen för att därigenom förstå vad som är givet och vad som söks. Här behövs såklart en bra och aktiv lässtrategi. Eva arbetade extra på helgerna för att få pengar till en resa på sommarlovet. Hon tjänade 45 kr i timmen, resan skulle kosta kr. Hur många timmar måste hon arbeta för att få ihop så mycket pengar?

2 I den här uppgiften saknar vi uppgifter om ifall Eva arbetar varje helg, arbetar hon både lördag och söndag och har hon i så fall samma lön på lördag och söndag? Hur länge jobbar hon varje dag? Vem är Eva, hur gammal är hon, var bor hon, ska hon resa själv, var ska hon resa? Utan dessa, eller åtminstone en del av dessa uppgifter blir det inte mycket till inre bild av uppgiften 2100 ovan. För det kan väl inte vara så att det enda som är väsentligt är att eleverna beräknar? I 45 så fall tycker vi att man borde ta bort både Eva, resan och helgarbetet och bara fråga hur många timmar man behöver arbeta för att tjäna 2100 kr om man tjänar 45 kr i timmen. Är det förresten före eller efter skatt, en inte helt oviktig detalj. Som en parentes kan vi väl tillägga att denna uppgift förmodligen inte skulle sett ut på detta sätt då svaret blir 46,666 timmar, det är troligare att priset skulle varit 2125 kr eller liknande så att svaret blir ett heltal eller möjligen ett tal som slutar med,5. Det vi har kommit fram till är dock att detta är en mindre del av förklaringen till att elever med läs- och skrivsvårigheter också har svårigheter i matematik. Efter 10 års studier och arbete kring dessa svårigheter har det utkristalliserats ett antal varningsklockor som vi anser förklarar många av de svårigheter som dessa elever kan ha i matematik. En av svårigheterna är att elever med läs- och skrivsvårigheter behöver mer tid för att lösa samma uppgifter. Nicholson och Fawsett har gjort undersökningar som tyder på att elever med läs- och skrivsvårigheter behöver 50% mer tid för att lösa samma uppgifter. Ett annat sätt att säga det på är att de endast får 2/3 av den undervisningstid som andra elever få, resten behövs för att göra klart det som resten hinner på den vanliga tiden. I ett större perspektiv innebär det att elever med läs- och skrivsvårigheter har 6 års undervisningstid på samma tid som andra har 9 års undervisningstid! I det perspektivet är det lätt att förstå att det uppstår problem. Tyvärr så är dessa undervisningen under dessa 6 år inte sammanhållen, vid varje undervisningstillfälle finns det risk att elever med läs- och skrivsvårigheter endast får med sig delar av undervisningen av den enkla anledningen att de inte hinner göra klart. Det är svårt att hitta en lätt genomförbar praktisk lösning till detta men det är viktigt att man har detta i åtanke t ex då eleverna skriver prov. Förutom detta finns det en lista över varningsklockor eller kognitiva funktioner som kan göra att elever med läs- och skrivsvårigheter kan få problem då de arbetar med matematik. Det är inte så att alla elever med läs- och skrivsvårigheter har svårigheter med alla funktioner, det är därför viktigt att läraren har en kunskap om dessa funktioner så att hon/han är uppmärksam på vilket eller vilka områden eleven får problem inom. Omkastningar Sekvensering Symbolosäkerhet Spatial förmåga Långtidsminnet Korttidsminnet Begreppsbildning

3 Omkastningar Omkastning, både av typen b-d och omkastningar där bokstäver byter plats, förekommer även inom matematik. Problemet är dock att effekterna i matematik blir dramatiskt mycket större än inom läsning och skrivning. Om man skriver: Jag ska spela på mitt nya datrospel när jag kommer hem. Är det inte svårt att gissa vad det skulle stå, kanske är det till och med så att man missar felstavningen eftersom vi med hjälp av sammanhanget redan vet vilket ord det skulle vara redan innan vi läst ordet eller hela ordet. Då blir det svårare att veta vad det felstavade ordet skulle ha varit i denna mening: Peter kände sig rik, han hade kronor. Skulle det egentligen ha varit 10051, eller kanske 151 kronor? Det är nästan omöjligt att avgöra, även om man har meningen i ett sammanhang. Bokstäver kan inte kombineras i godtyckliga kombinationer för att skapa ord, vissa kombination är omöjliga eller snarare det är bara några som är giltiga för att bilda ord. Med siffror finns inte detta ramverk. Varje möjlig kombination av siffror är ett riktigt tal. Kanske har vi för lite matematisk diktamen för att upptäcka dessa svårigheter. Sekvensering Årstider, månader, veckodagar, alfabetet och talserien är exempel på sekvenser. Att ha svårigheter med att t ex kunna räkna upp årets månader framlänges och baklänges kan vara en indikation på en bristande sekvensering. I matematik kan det få allvarliga konsekvenser. Den som inte kan se tallinjen som en sekvens och på den kunna hoppa framåt och bakåt, kanske i steg om 3, kommer att bli tvungen att hitta kompensatoriska vägar runt detta. Det vanligaste är då att ta till fingerräkning, en strategi som tyvärr inte är särskilt framgångsrik eller utvecklingsbar. Förvånansvärt många elever i grundskolans senare del har svårigheter att räkna baklänges från t ex 35 i steg om 4. För den som inte ser tallinjen som en sekvens blir varje hopp en beräkning, ibland med de besvärliga 10-talsövergångarna, men för den som ser tallinjen framför sig är det enkla förflyttningar i steg om 4. Tallinjen som är ett mycket kraftfullt verktyg försvinner enligt vår uppfattning alldeles för tidigt. Om en tallinje fanns i alla klassrum där man undervisar i matematik är vi övertygade om att många problem med decimaltal och negativa tal skulle bli betydligt mindre. Symbolosäkerhet Det finns mycket som pekar på att det formella symbolspråket ofta införs för tidigt. Symboler som införs innan det finns en ordentlig förståelse riskerar att göra matematik till ett ämne som handlar om att lära sig regler och hur man ska flytta runt siffror för att få fram rätt svar. I det sammanhanget vill vi slå ett slag för likhetstecknets betydelse. Likhetstecknet är troligen den mest missbrukade symbolen inom matematiken. (G Malmer, 1999). Att säga 12+3=15 som tolv plus tre blir femton är logiskt men hur säger man då 12+3=7+8? Blir känns inte naturlig här. Det kan verka som ett trivialt problem men när eleverna kommer upp i skolår 6-9 så kommer de få en hel del problem inom olika områden om de har en uppfattning om

4 att = innebär blir. Ett mycket vanligt fel som vi ser är när eleverna skriver 12+3=15/5=3 vilket i princip innebär att eleverna säger att 12+3=3! Som lärare måste man vara väldigt försiktig med vad man säger till eleverna, det finns en risk att man tar till förenklade, men kanske inte helt sanna regler, som ska hjälpa dem i en speciell situation men som kan ge stora problem senare. Om en yngre elev frågar om man kan räkna 2-13, eller en något äldre elev undrar vad ( 1) blir får man inte säga att det inte går att räkna. Vår erfarenhet säger att det finns många som har regler typ störst först (subtraktion), stora talet överst (division), det lilla talet står uppe (bråk), man kan inte dra roten ur ett negativt tal osv. Att detta inte är sant vet vi men ändå möter vi elever som har dessa uppfattningar och det tar mycket längre tid att först avinlära för att sedan lära in nytt, och de som oftast har tagit till sig dessa förrädiska regler är de elever som har haft svårigheter i matematik. Ett mycket bra kompensatoriskt hjälpmedel för elever med läs- och skrivsvårigheter är miniräknaren. Den kan dock lägga hinder i vägen om inte eleven lär sig att hantera symbolerna på miniräknaren, och här finns det en hel del intressanta fallgropar. Tecknet som på miniräknaren symboliserar multiplikation används normalt inte av eleverna när de skriver, det tecken de skriver är istället det som på miniräknaren ger ett decimaltecken. Tecknet för division används inte heller när man skriver en division och det är lätt att förväxla med additions- och multiplikationstecknet, framför allt för de som ser bokstäver, siffror och tecken som genom ett glas med vatten, vilket är fallet för en del elever med läs- och skrivsvårigheter. Spatial förmåga Den spatiala förmågan handlar om rums- och tidsuppfattning. Elever med nedsatt spatial förmåga kan ha mycket svårt att planera sitt arbete, att veta hur lång tid det tar att utföra en uppgift eller att rumsligt se hur saker hänger ihop. De kan ha stora svårigheter att till exempel rita en lägenhet. Det kan bli en rektangel som motsvarar ytterväggarna med rummen ritade som lösa rektanglar innanför dessa, dvs rummen hänger inte ihop. Eleven har inte en bild av en vägg i ena rummet också är en vägg i intilliggande rum eller att taket i ett rum är golvet i ett annat. De kan också ha stora svårigheter att utifrån en bild eller verklig situation kunna tala om hur detta skulle se ut från ett annat perspektiv. En annan osäkerhet som de kan visa upp är riktningsorsäkerhet då de det gäller höger och vänster. Detta kan ge allvarliga konsekvenser då de ska identifiera räkneriktningar. Räkneriktningar förresten, finns det? Läsning är enkel så till vida att man vet var man börjar åt vilket håll man går, det är alltid samma. Men hur ser det ut med matematik, åt vilket håll går man när man har en additionsalgoritm, en divisionsalgoritm (beroende på vilken man använder förstås) eller om man har uttryck som innehåller parenteser och flera räknesätt. Det finns ingen enhetlig räkneriktning utan det beror på vad som ska räknas! Detta är något som vi funnit att många elever har svårt för. Långtidsminnet Ibland vill vi att eleverna ska lära sig saker utantill, att de ska kunna det som ett rinnande vatten, det ska sitta i ryggmärgen, vi ska kunna väcka dem mitt i natten omskrivningarna eller beskrivningarna är många för det som kallas automatiserad kunskap. Kunskap som är automatiserad är sådan som vi lagt in i långtidsminnet och som vi har lätt åtkomligt. Ett av det tydligaste exemplen i matematik är multiplikationstabellerna. Dessa vill vi att eleverna ska kunna utantill utan att behöva räkna ut vad olika multiplikationer blir.

5 Elever med läs- och skrivsvårigheter har inte ett sämre eller mer begränsat långtidsminne än andra. Deras problem är att de har svårare att lägga in saker i långtidsminnet, och en mycket viktig sak är att de är inte hjälpta av det som på engelska heter rote-learning eller traggel. Fler uppgifter av samma sort hjälper dem inte de behöver få uppgifter på så många olika sätt som möjligt. Här betonar vi åter vikten av att arbeta med multisensorisk inlärning. Korttidsminnet Förmågan att ta emot instruktioner och att arbeta med huvudräkning bestäms till stor del av korttidsminnet eller arbetsminnet. För att få en bild av korttidsminnet kan man arbeta med en enkel övning där den man vill testa får upprepa sifferkombinationer. Börja med serier med fyra siffror och fortsätt sedan med fem, sex tills eleven känner att den inte kommer ihåg alla. Om man har ett begränsat korttidsminne är det viktigt att veta om det så att man kan kompensera för detta. Ett mycket enkelt, men kraftfullt sätt, är att helt enkelt använda sig av penna och papper och skriva ner mellanled, stödord mm. Begreppsbildning Begrepp är en kombination av ord, ordförståelse och erfarenheter. Om en elev har läs- och skrivsvårigheter kan det ofta vara lättare att lägga tyngdpunkten på erfarenhet och återigen ser man styrkan i att arbeta mycket med laborativt material för att ge eleverna upplevelser och erfarenheter som nya begrepp kan byggas runt. Som vi nämnde tidigare så är det inte så att alla elever har problem inom alla dessa områden men det är viktigt att du som lärare är observant på vilka problem eleven visar så att ni tillsamman kan kartlägga vilka starka och svaga sidor eleven har. Detta för att kunna hitta kompensatoriska vägar runt de problem som kan uppstå. Vår erfarenhet säger oss att när både läraren och eleven är medvetna om vilka svårigheter som kan dyka upp och hur man ska hantera dessa så blir problemen mycket mindre och eleven slipper därigenom uppleva upprepade misslyckande. Tillsamman kan man vända en neråtgående spiral till något positivt som går att bygga vidare på och som kan leda till spännande utmaningar och lustfyllt lärande. Litteratur Berggren, P. & Lindroth, M. (2004). Positiv matematik. Ekelunds förlag. Berggren, P. & Lindroth, M. (2001). Räkna, Läsa, Skriva Test enligt Bangormodellen. Ekelunds förlag. Berggren, P. & Lindroth, M. (1997). Kul matematik för alla. Ekelunds förlag. Chinn, S. & Ashcroft, R. (1999). Mathematics for Dyslexics A Teaching handbook. Whurr Publishers Ltd. Fawcett, A. (editor) (2001). Dyslexia Theory & Good Pratice. Whurr Publishers Ltd. Henderson, A. (1998). Maths for the Dyslexic A Practical Guide. David Fulton Publishers. Henderson, A. & Miles, E. (2001). Basic topics in mathematics for dyslexics. Whurr Publishers Ltd. Høien, T. & Lundberg, I. (1990). Läsning och lässvårigheter. Natur och Kultur. Høien, T. & Lundberg, I. (2001). Dyslexi Från teori till praktik. Natur och Kultur.

6 Johnsen Høines, M. (1990). Matematik som språk verksamhetsteoretiska perspektiv. Liber. Kaldo, M. & Högberg, C. (1997). Ordrike reportage från ett möjligt Sverige. Johansson / Skyttmo Förlag. Kimhag, K. m.fl. (1995) Dyslexi och dyskalkyli. Pedagogiska institutionen, Uppsala universitet Ljungblad, A-L. (1999). Att räkna med barn med specifika matematiksvårigheter. Argument förlag Ljungblad, A-L. (2001). Matematisk medvetenhet. Argument förlag Ljungblad, A-L. (2003). Att möra barns olikheter åtgärdsprogram och matematik. Argument förlag Lundberg, I. (1994). Nu ska vi prata matematik. Lärarhögskolan i Stockholm institutionen för specialpedagogik. Magne, O. (1994). Dysmatematik den framtida skolans matematik för elever med särskilda utbildningsbehov. Lunds universitet, institutionen för pedagogik och specialmetodik. Malmer, G. & Adler, B. (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi. Studentlitteratur. Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Studentlitteratur. Miles, E. (1998). The Bangor dyslexia teaching system. Whurr Publishers Ltd. Miles, T.R. & Miles, E. (editors) (1997). Dyslexia and mathematics. Routledge. Miles, T.R. & Miles, E. (1998). Help for dyslexic children. Routledge. Miles, T.R. (1997). Dyslexia the pattern of difficulties. Routledge. Miles, T.R. & Westcomb, J. (2001) Music and dyslexia opening new doors. Whurr Publishers Ltd. Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik en studie av påverkansfaktorer i årskurserna 4-9. Lärarhögskolan i Malmö Institutionen för pedagogik. Persson, B. & Ödman, M. (1997). Bli vän med orden. Johansson & Skyttmo Förlag Persson, B. (1999). Botkyrkaprojektet en dyslexipedagogisk handlingsplan för alla skolor. Johansson & Skyttmo Förlag. Skolverket. (2000). Grundskolan kursplaner och betygskriterier. Fritzes. Skolverket. (2001). Bedömning och betygssättning. Liber. Skolverket rapport 114. (1996). TIMSS Third International Mathematics and Science Study. Liber. Skolverket rapport 209. (2001). PISA 2000 Program for International Student Assessment. Liber. Stadler, E. (1994). Dyslexi en introduktion. Studentlitteratur Sterner, G. & Lundberg, I. (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. NCM rapport 2002:2. Svärdemo-Åberg, E. (1999). Datorstödd undervisning för elever med läs- och skrivsvårigheter/dyslexi. HLS Förlag. Utbildningsdepartementet. (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet. Skolverket, Fritzes.

7 302 MATEMAtakkTIKK, matematikksatsing i Osloskolen, organisering og aktiviteter Utdanningsetaten i Oslo har iverksatt en forsterket innsats for matematikkopplæringen. Det legges opp til et planmessig arbeid over tid med oppfølging og tiltak rettet mot skolene ( 175 skoler) for å forbedre elevenes læringsutbytte. For å bidra skolene i dette arbeidet legger Utdanningsadministrasjonen til rette for kompetanseutvikling, erfaringsutveksling og samarbeid med ulike fagmiljøer. Utvikling av nettverk for hvert skoleområde er en sentral del av satsingen sammen med flere andre konkrete tiltak. Det er utarbeidet en håndbok som presenterer fokus for satsingen. Randi Schiøll Heneide, fagkonsulent i matematikk ved Utdanningsetaten i Oslo, Norge. Föreläsning Alla Dokumentation Styrking av matematikkopplæringen i Osloskolen I tråd med Oslo bystyrets føringer i budsjettet og Utdannings- og forskningsdepartementets strategiplan for styrking av realfagene, Realfag, naturligvis, har Utdanningsetaten i Oslo iverksatt forsterket innsats for matematikkopplæringen i Osloskolen Målet er å forbedre elevenes læringsutbytte ved å utvikle motivasjon, engasjement og interesse for faget. Innsatsen rettes mot å heve lærernes kompetanse som grunnlag for faglig trygghet og kvalitetssikring i opplæringen. Det viktigste leddet er engasjerte lærere som deltar aktivt i nettverksgrupper. Arbeid i nettverkene fremmer varierte læringsstrategier, læringsarenaer og arbeidsmåter i matematikkfaget. Videreutvikling av samarbeidsformer mellom skole og hjem står sentralt i det videre arbeid. Det er utarbeidet en Håndbok som presenterer mål og fokus for satsingen i grunnskolen og synliggjør tilbud og aktiviteter tilrettelagt av Utdanningsetaten i Oslo. Den skal bidra til å inspirere og motivere den enkelte skole til arbeid med tilpasset og variert opplæring i matematikk Det er lagt opp til et planmessig arbeid over tid med oppfølging og tiltak rettet mot skolene for å forbedre elevenes læringsutbytte. For å bidra skolene i dette arbeidet legges

8 Utdanningsadministrasjonen i Oslo til rette for kompetanseutvikling, erfaringsutveksling og samarbeid med ulike fagmiljøer. Utvikling av nettverk for hvert skoleområde er en sentral del av satsingen og utvikling av nettsider skaper inspirasjon til å ta IKT i bruk i opplæringen. Nettverksmodellen Det er etablert 12 matematikknettverk i grunnskolen med en leder i hver gruppe. Disse har fått og får kontinuerlig spesial skolering i matematiske emner og i ledelsesopplæring. De blir i tillegg fulgt opp av et Matematikkteam i Utdanningsadministrasjonen. 260 matematikklærere til sammen deltar aktivt i nettverk, 2 fra hver grunnskole møter fast. Det er de samme lærene som møter hver gang. Disse er utnevnt av skolen rektor til å delta som nettverksdeltagere/ressurspersoner fra sin skole. I hvert nettverk deltar ca 25 lærere. Disse har faste møter med 3-4 ganger pr halvår. Møtene skaper samarbeidsarena for matematikklærere og det foregår god kunnskaps- og erfaringsutveksling i nettverkene. Ved at de samme lærere møter hver gang blir lærerne godt kjent med hverandre noe som bidrar til at mange kommer med bidrag og innspill i møtene. Dette fører til god kompetanseutvikling både rent faglig og didaktisk. Erfaringene fra nettverksgruppene videreutvikles i samarbeidsgrupper ved den enkelte skole. Nettverksdeltagere sammen med skolens ledelse utvikler samarbeidsgrupper ved egen skole. Ved at lærere i matematikk ved samme skole får anledning til å møtes til faste tider, spres erfaringene fra nettverkene til alle lærere som underviser i matematikk. Et eget nettverk, Overganger n utvikler modeller for samarbeid mellom grunnskolens ungdomstrinn og videregående opplæring. Kompetanseutvikling Samarbeid med universiteter og høyskoler sikrer kvaliteten i kompetanseutviklingen for det pedagogiske personalet i grunnopplæringen. Det er nå i satsingsperioden et omfattende tilbud om kompetanseutvikling med faglige og didaktiske kurs. Det er videre tilbud om konferanser og seminarer for skoleledere og lærere. Matematek - Matematikkverksted Det lanseres årlig en matematekkonkurranse der den enkelte skole kan delta. Konkurransen går ut på å bygge opp et matematek, et konkretiseringsverksted, på egen skole og etter visse kriterier kan skolen vinne et betydelig beløp Nettsider Det er opprettet egne nettsider for matematikksatsingen i Oslo med løpende informasjon. Det legges ut nyhetsbrev, synliggjøring av aktiviteter sentralt og på den enkelte skole samt linker til nyttige sider til bruk i matematikkopplæringen. Her er en direktelink: /matematikk/ Dokumentasjon Som grunnlag for systematisk vurdering og dokumentasjon står resultater fra prøver, kartlegginger og eksamener i matematikk sentralt. Kompetansekartlegging ble foretatt høsten 2003 av alle lærere i grunnskolen som underviser i matematikk. Kartleggingen avdekket et stort kompetansebehov.

9 For å kartlegge elevenes ferdigheter er en kartleggingsprøve på 3. årstrinn gjennomført i to år. Prøven gjennomføres av ca elever, er læringsstøttende og den favner i stor grad det å kunne avkode matematiske symboler, men omfatter også forståelse av tall og tallbegrep. Videre utvikles det hvert år en Osloprøve for 8. årstrinn. Dette er en mer omfattende prøve som er utviklet for å finne ut om læreplanmålene for dette årstrinnet er nådd. Videre er det nasjonale avgangsprøver på 10. årstrinn, da elevene i Norge avslutter grunnskolen. I videregående skole er det sentralgitte og lokalgitte eksamener i matematikk. Årlig rapportering fra skolene Skolene sender inn års planer for matematikksatsingen og plan for bruk av tid og ressurser. Videre sender de inn rapportering på gjennomført satsing på egen skole. Samarbeidspartnere For å sikre faglig kvalitet har satsisingen følgende samarbeidspartnere: Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen, Norge Nationellt Centrum för matematik, Sverige Universitetet i Oslo Høyskolen i Oslo, Avdeling for lærerutdanning Norsk Teknisk Museum Næringslivets Hovedorganisasjon

10 303 How do Students and Teachers Deal with Demanding Modelling Tasks? The Example Sugarloaf task In this lecture, I will report on some of the work that has been and is being done in the DISUM project. First, I shall describe the context of our investigations, that is the attempt to improve the quality of teaching, and give a working definition of quality mathematics teaching. Then, I shall briefly describe the DISUM project itself, and present one of our modelling examples: the Sugarloaf task. By means of this example, I shall remind the audience of why such tasks are relevant for teaching, present our version of the modelling cycle and analyse the example accordingly. In the following, I shall report into some detail on how students and teachers dealt with this task in the lab and in the classroom. I shall close by discussing some implications of our findings on teaching and on further research. Werner Blum är professor i matematikdidaktik vid universitetet i Kassel Föreläsning Gr Gy Högsk Lärutb

11 304 Små barns matematik - vad behöver lärare kunna? Här beskrivs bakgrunden till Pilotprojektet och hur vi arbetat med att utmana barns och lärares kunnande i och om matematik. Under föreläsningen ges exempel på aktiviteter där barn och lärare har utforskat och reflekterat över den matematik som förekommer i förskolan. - Kompetensutvecklingens innehåll och genomförande - Lärares betydelse för barns lärande - Dokumentations betydelse för både barn och lärares lärande Elisabet Doverborg är förskollärare, forskare och projektledare vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM Föreläsning Fö Dokumentation Föreläsningen ingår i serien om SMÅ BARNS MATEMATIK, NCM:s redovisning av Pilotprojektet för förskolan (se referenser nedan). Kompetensutvecklingens innehåll och genomförande Projektet hade som mål att fördjupa och vidga det kunnande och den didaktik som lärare behöver för att kunna fördjupa barns intresse för och lärande i matematik enligt Lpfö 98. Ett 30-tal förskoleavdelningar fördelade över landet från Övertorneå till Vetlanda har deltagit. Bland dessa fanns det lärare som medvetet arbetade med matematik men det ingick också en grupp lärare som hade mindre erfarenheter av att utmana barns matematiklärande i förskolan. Pilotprojektets uppläggning förutsatte att samtliga i arbetslaget deltog aktivt både vid och mellan träffarna. På varje avdelning har det funnits en kontaktperson och förskolecheferna har deltagit i varierande grad. Under maj 2003 startades Pilotprojektet ute på förskolorna. Samtliga fem handledare besökte sina förskoleavdelningar och mötte de lärare som skulle deltaga i projektet. Under en halvdag eller kväll introducerades projektet för lärarna och de berörda förskolecheferna. Vid denna gruppträff gjordes en lägesbeskrivning med hjälp av att alla besvarade en enkät, beskrev matematiken i en bild och dokumenterade den matematik som var och en mött under just denna dag. Under hösten 2003 träffades grupperna vid tre tillfällen tillsammans med sina handledare och vid ytterligare tre tillfällen träffades gruppen utan handledare. Samma antal träffar ägde rum under våren 2004 och träffarna omfattade tre timmar. Gruppträffarna hade ett i förväg planerat innehåll som NCM:s handledare hade huvudansvaret för. Projektet följde en tydlig arbetsgång vilken kommer att presenteras. Innehållet som bearbetades var taluppfattning, rumsuppfattning, sortering, tabeller och diagram samt matematiken i lek, vardagsarbete och tema. Lärarens betydelse för barns lärande Detta var ett innehåll som diskuterades under hela projekttiden. Läroplanen betonar bl a att alla som arbetar i förskolan skall utmana barns nyfikenhet och begynnande förståelse för matematik. Vad innebär matematik för förskolebarn? Svaret på den frågan är till en del avhängigt av hur lärare i förskolan ser på matematik. Olika forskningsstudier visar på lärares stora betydelse för barns lärande i och om matematik. Under projekttiden har lärarna fått ett fördjupat ämnes- och

12 didaktiskt kunnande. Vi vet att lärares kunskaper och sätt att tänka om matematik har betydelse för vad de faktiskt gör. Därför har lärarna i projektet fått utmana sina sätt att tänka om matematik i allmänhet och om matematik för förskolebarn i synnerhet. Dokumentationens betydelse för både barn och lärares lärande Under hela projekttiden arbetade vi både med lärarnas och barnens dokumentation med hjälp av observationer, intervjuer, videofilmning och fotografering. Barnen har med olika uttrycks-medel dokumenterat vad de varit involverade i med fokus på matematik. Det har bidragit till att både lärarna och barnen kunnat se lärandet och minnas vad de gjort, vad de tänkt och vad de talat om. Lärarna har kontinuerligt dokumenterat både barnens och eget lärande i sina loggböcker. En del av kompetensutvecklingen innebar att lärarna skulle reflektera över sitt eget lärande och på vilket sätt barnens tankar och föreställningar kunde tas som utgångspunkt för vidare reflektion och dialog. Referenser Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran (red). (2006). Små barns matematik. Under tryckning. Göteborg:NCM. Emanuelsson, Göran & Doverborg, Elisabet (red). (2006). Matematik i förskolan (Nämnaren TEMA).Under tryckning. Göteborg:NCM.

13 305 Kommunikation: muntlig matematik Människan har fått den unika gåvan att tänka och reflektera. Det är i samspelet människor emellan som begreppsutveckling äger rum och eleverna måste därför träna sig i att kommunicera, men även att lyssna på andra. Birgitta Kuijl, låg- och speciallärare, fortbildare, läromedelsförfattare. Föreläsning Fö Gt

14 306 Matematikfortbildning i Vetlandas förskolor Under läsåret 2004/2005 har Vetlanda kommun satsat på en uppföljning av Pilotprojektet Matematik från början som under läsåret 2003/2004 drevs av NCM i några kommuner i Sverige. Här har lärare från förskolor i Vetlanda själva hållit i kompetensutvecklingen för sina kollegor på andra förskolor med mycket lyckat resultat. Under föreläsningen redovisas erfarenheter och exempel på aktiviteter inom taluppfattning, rumsuppfattning och mönster från kursdagarna, samt utdrag ur barnens och lärarnas dokumentation. Margareta Forsbäck, lärararutbildare Saltsjö-Boo Maria Axelsson, förskollärare Vetlanda Anne-Liese Haugan, förskollärare Vetlanda Maria Klaesén, förskollärare Vetlanda Lill-Marie Karlsson, förskollärare Vetlanda Föreläsning Fö Dokumentation Under var några förskolor i Vetlanda med i NCM:s pilotprojekt för fortbildning av förskolepersonal i matematik. I Pilotprojektet var totalt 16 deltagare - förskollärare, barnskötare och förskolechefer från fyra förskoleavdelningar med. Intresset för den här fortbildningen spred sig bland övriga förskolor i kommunen och när projektet avslutades bestämde Vetlanda kommun att driva liknande fortbildning i egen regi med dem som deltagit i Pilotprojektet som Utbildare för den övriga förskolepersonalen i kommunen. Följande läsår ledde tre Utbildargrupper varsin grupp med deltagare och under innevarande läsår leder två Utbildargrupper två nya grupper med 15 deltagare i varje grupp. Vetlanda kommuns egen fortbildning följer samma modell som Pilotprojektet. Det ställs samma krav på deltagarna att göra aktiviteter mellan träffarna och att skriva loggbok minst en gång i veckan. Det ges också samma förmåner, fri litteratur och tidskompensation för att läsa litteratur och skriva i loggboken. Från att ha varit deltagare i fortbildningen till att istället bli utbildare är steget längre än man kan tro. Även om vi följer samma struktur som under den första omgången fortbildningsdagar, blir varje nytt tillfälle både en form av kompetensutveckling för egen del och en utmaning att kunna ge de nya deltagarna inspiration att utveckla den matematik de redan använder i vardagen och att synliggöra den för sig själva och barnen samt att reflektera över vad de har gjort, tänkt och lärt sig Det första tillfället var en allmän introduktion till matematik i allmänhet och till matematik i förskolan och vad det kan vara för olika åldrar.

15 Nästa träff ägnades åt sortering. Förskolebarn sorterar gärna och sortering kan också vara en bra grund för att hjälpa dem att utveckla matematisk medvetenhet, eftersom sortering förekommer på många olika sätt inom matematiken. Vid följande träff pratade vi om att taluppfattning för små barn innebär att uppfatta antal och inte alltid räkna dem, att se skillnaden i hur många barn som är flickor resp pojkar genom att jämföra och bilda par, att leka lekar där det ingår att uppfatta olika antal föremål, att lära sig räkna upp talen i räkneramsan på ett lekfullt sätt både framlänges och baklänges och att göra uppgifter där olika sätt att bestämma antal blir tydliga. Rumsuppfattningstillfället ägnades åt läges- och riktningsord, samt åt att tydliggöra vad som är rimliga begrepp och ord för de minsta barnen när det gäller geometri och mätning. Kaplastavarna fungerade utmärkt som mätredskap och barnen fick uppleva vad mätning egentligen handlar om inte bara hur man gör nä man mäter. Vid detta tillfälle undersökte deltagarna också vilka mönster och former som fanns utomhus i närmiljön och dokumenterade detta på olika sätt. Samma övningar som deltagarna fick göra vid utbildningstillfällens gjorde de sedan med barnen, med ett innehåll som var relevant för den åldersgrupp de arbetade med. Vid de övriga kursträffarna arbetade vi med olika teman. Ett tema som blev väldigt lyckat och som både barnen och deltagarna engagerade sig extra mycket i var Matematik i en barnbok. Detta var också något som var lätt att visa för föräldrarna och på så sätt göra dem delaktiga i matematiksatsningen på förskolorna. Loggboken, som många upplevde som lite jobbig i början, blev under året en källa till idéer och kunskap och många av deltagarna reflekterade över hur mycket de själva hade utvecklats när de tittade tillbaka i sina loggböcker.

16 307 Gladmatte i förskolan Matematik i en grupp med 16 ett- och tvååringar eller 18 tre- och fyraåringar; hur går det till och hur kan det se ut? Erfarenheter och praktiska tips. Vi berättar ckså om hur vi pedagoger inom ett projekt i matematik 1-16 år fortbildar varandra och på ett bra och billigt sätt ökar allas kompetens. Marlene Allsten, förskollärare och särskilt ansvarig för förskolans kompetensutveckling inom ett matematikprojekt i Järfälla kommun. Arbetar på Mjölnarens förskola i Jakobsberg. Eva Wedlund, förskollärare och särskilt ansvarig för förskolans kompetensutveckling inom ett matematikprojekt i Järfälla kommun. Arbetar på Fastebol förskola i Viksjö. Föreläsning Fö Gr Lärutb Dokumentation Inledning Vad är matematik i förskolan? Informell matematik I för barnen meningsfulla sammanhang. Uppdraget enligt Lpfö98 Lyssna på barnens tankar, ge utmaningar för att få pröva sina hypoteser och lösa problem Lära med hela kroppen Matematik i en grupp med åringar Hur går det till? Hur kan det se ut? åringar Projektet Höja Nivån Matematikutvecklare på varje arbetsplats i varje grupp eller på varje avd. på många ställen Mandat att driva utveckling Projektform med mål Referensgrupp Nätverksgrupp Hemmaträffar Fortbildning Forskningscirkel om matematiska begrepp. Det forskande barnet och den medforskande pedagogen 2 förstklassiga föreläsningar med Karl-Åke Kronkvist och Ann Åberg Coaching av matematikutvecklarna Projektets hemsida Idébanken De aktiva pedagogernas möjlighet att fortbilda sig själva och fortbilda varandra.

17 308 Matematisk beskrivning av loopar i berg- och dalbanor Moderna berg- och dalbanor innehåller ofta loopar. Även om textböckernas loopar oftast är cirkulära gäller detta inte verkliga loopar, där krökningsradien är större närmare marken för att minska belastningen på den som åker. Olika former kan genereras numeriskt t.ex i kalkylprogram eller matlab och jämföras med foton av verkliga berg- och dalbanor. Loopen i Lisebergs nya berg- och dalbana, Kanonen, innehåller t.ex. en klotoid, som är en del av en Cornu-spiral. Att spåret kan beskrivas med en funktion som har kontinuerliga högre ordnings derivator visar sig ha stor betydelse för att minska skaderisken för den som åker. Ann-Marie Pendrill är professor i fysik vid Göteborgs universitet Ann-Marie.Pendrill@physics.gu.se Föreläsning Gy Högsk Dokumentation Loopar i berg- och dalbanor Figur 1: Exampel på olika loopformer. Den röda Loopen till vänster finns på Tusenfryd i Norge (Vekoma, Corkscrew, 1988). Den gula loopen i mitten var en del av HangOver på Liseberg (Vekoma, Invertigo, 1996), som numera finns på Sommerland Syd in södra Danmark. Loopen till höger är från Kanonen som öppnade 2005på Liseberg (Accelerator Coaster, Intamin/Stengel). övning för läsaren: Kanonens tåg är 9.5m långt och passerar loopens högsta punkt på ungefär 1.3s. Använd bilden för att uppskatta "g-kraften" i högsta punkten för den som åker. Spelar det någon roll var i tåget man sitter? Hur mycket? 1. Introduktion Har du någon gång tittar närmare på en loop i en berg- och dalbana? Har du sett hur överdelen kan likna en halvcirkel, medan nederdelen ser helt annorlunda ut, men ökande krökningsradie

18 närmare marken. När du har observerat det är skälen troligen uppenbara. Vi behandlar först cirkulära loopar som inledning till en beskrivning av andra former, och tar upp de formler som behövs för att beräkna hastighet och acceleration i en given punkt. "Roller coaster data base" [1] innehåller många foton på loopar att jämföra med. 2. Cirkulär vertikal loop Den matematiska beskrivningen av en cirkulär loop är enkel och friktionsfria cirkulära loopar med försumbar tåglängd är populära problem i fysikböcker. Tågets fart erhålles direkt genom att använda energiprincipen, dvs mv 2 /2=mg h.vid en given punkt i berg- och dalbanan kan centripetalaccelerationen då uttryckas som a c = v 2 /r = 2gh/r där h är höjdskillnaden jämfört med berg- och dalbanans högsta punkt och r är den lokala krökningsradien. Om tåget skulle röra sig långsamt över toppen skulle det falla av spåret om det inte vore för de extra hjulen på andra sidan spåret. På samma sätt skulle de som åker falla ut om de inte hölls fast av byglarna. Även om tåget nästan vore i vila i högsta punkten, och de som åkte skulle hänga upp och ned och uppleva "-1g", så skulle de ändå utsättas för 5g i lägsta punkten (och 2g på sidan) om loopen vore cirkulär. Med högre fart blir accelerationerna och krafterna naturligtvis större. Åkattraktioner för mindre barn är ofta begränsade till omkring 2g, attraktioner som vänder sig till familjer kommer ofta upp i 3g, ibland mer, medan många av dagens större berg- och dalbanor överskrider 4g. Problemen med cirkulära loopar är inte bara den maximala g-kraften i botten: På väg in i en cirkulär loop från ett horisontellt spår skulle innebära att man på mycket kort tid skulle gå från 1g till den maximal g-kraft. Dessutom skulle kroppens vinkelhastighet plötsligt öka. När denna typ av loopar användes under 1900-talets början ledde det till ett antal whiplash-skador [2]. En funktion med kontinuerliga högre ordnings derivator skulle naturligtvis vara att föredra. Fotografierna i figur 1 visar exempel på olika sätt att uppnå en mjuk övergång från en liten krökningsradie högst upp till en större radie längst ned. Vi fortsätter nu att diskutera några olika loop-former med denna egenskap. 3. Att generera olika loopformer Kurvor med olika form kan beskrivas med ett system av differentialekvationer som anger derivatan av läget med avseende på en sträcka, s, utmed kurvan. Skillnaden mellan olika loopformer avspeglas då i uttrycket för krökningsradien, r. Banans form kan erhållas genom att utnyttja matlabs program för att lösa system av ordinära differentialekvationer (t.ex. "ode45"). Man kan också utnyttja kalkylprogram och dela upp loopen i små vinkelsteg. I en given punkt beräknas krökningsradien. Den multipliceras sedan med vinkelsteget för att få fram avståndet utmed spåret till nästa punkt. Läget för nästa punkt approximeras med en förflyttning med denna sträcka i spårets riktning; spåret approximeras med en rät linje eftersom vinkeländringen är liten. 3.1 Konstant centripetalacceleration En av de loopformer som är enklast att generera leder till en konstant centripetalacceleration, som föreslås i den klassiska ingenjörs-mekanikboken av Meriam and Craige [3]. Krökningsradien varierar då linjärt med höjden. Detta villkor kan tillämpas för hela loopen, eller endast för nederdelen som sedan matchas till ett cirkulärt spår för överdelen. En loop som kan ge 3g centripetalacceleration genom hela loopen är mycket lik Hangoverloopen i Fig. 1. Villkoret att centripetalaccelerationen skall vara konstant resulterar i en loop som är symmetrisk kring lägsta punkten och denna form kan utvidgas till en sekvens av loopar, som t.ex. i The Great American Scream Machine [1] från Som ett alternativ till konstant centripetalacceleration kan man tillämpa ett villkor att "g-kraften" på den som åker skall vara

19 konstant i hela loopen. Dessa loopar blir något smalare. Exempel på olika loopformer med konstant centripetalacceleration och konstant g-kraft presenteras i ref. [4] 3.3 Klotoid-loopar Kanonens loop är ett exempel på en klotoid-loop, som innehåller en del av en Cornu-spiral. Klotoidformen för loopar introducerades av Werner Stengel och implementerades första gången 1976 [2]. Cornu-spiralen har egenskapen att krökningsradien är omvänt proportionell mot avståndet till spiralens centrum. Denna egenskap används för att förbinda delar av spår med olika krökningsradier och används även vid järnvägs- och vägbyggen, t.ex. vid motorvägsavfarter [5]. Om man kör med kosntant fart på en vägsträcka som kan beskrivas som en klotoid, så kan man följa vägen genom att vrida ratten med konstant fart. Krökningsradiens variation kan enkelt uttryckas som dθ /ds=as. För att erhålla ett yttryck på parametern s i relation till läget i loopen kan man integrera över vinkeln, vilket ger θ = θ 0 + a s 2. Om Cornuspiralen orienteras med ett centrum som lutar nedåt kommer spåret att passera en lägsta punkt som ligger mellan loopen och klotoidens centrum. I denna punkt blir krökningsradien större än i toppen eller sidan av loopen. Kvoten mellan dessa radier kan vara ett sätt att specifiera den önskade formen. Figur 2. Exempel på klotoidloopar där spåret kommer in horisontellt. I den vänstra figuren upptar klotoiden hela loopen, medan figuren till höger visar en loop dör en cirkelbåge på toppen har matchats till en klotoid där spåret är vertikalt. För dessa fall blir vinkeln i skärningspunkten 127 o respektive 141 o. De streckade linjerna markerar dels spiralens fortsättning, dels en cirkel som svarar mot krökningsradien i högsta punkten. 4. Diskussion Att konstruera program som ritar loopar av olika slag och jämföra med verkliga loopar kan vara givande projektarbete. För att undersöka hur god approximationen är kan man jämföra den beräknade loopen på datorskärmen med ett foto utskrivet på OH-blad (eller i ett lämplig ritprogram). Mindre beräkningsprojekt kan erhållas genom att tillhandahålla koordinater för en given loopform och be studenter beräkna t.ex. hur krökningsradien varierar som funktion av höjden, hur lång tid det tar att åka igenom loopen och hur krafterna på kroppen varierar under

20 turen. Vill man öka svårighetsgraden kan man ta hänsyn till skillnaden mellan "hjärtlinje" och spår, och illustrera skillnaden mellan en vanlig och inverterad berg- och dalbana. Tågets längd innebär en förskjutning av tyngdpunkten som innebär att man utsätts för olika krafter beroende på var man sitter i tåget. Tågets längd sammanhänger också med spårets form, vilket spegas i figur 1. (Fler exempel finns i ref. [1]). För ett längre tåg ligger masscentrum längre ned, vilket möjliggör en högre och smalare loop [6]. De loopformer som diskuterats i denna artikel speglar "det systematiska överförenklandets konst". Samtidigt illustrerar tidiga erfarenheter att kontinuerliga högre ordnings derivator i den matematiska beskrivningen av spårets form är viktiga för en säker tur! Att beräkna olika former kan förändra sättet att se på loopar i berg- och dalbanor. Duane Marden uppmärksammade mig på skillnaden mellan klotoidloopen som introducerats av Stengel och de mera droppformade loopar som används t.ex. av Arrow. Clarence Bakken gav mig tillgång till accelerometer data för Invertigo. Ulf Johansson på Liseberg and Werner Stengel lät mig få ana något om de komplikationer som gäller verkliga loopar. Delfinansiering för detta arbete erhållits från CSELT (Chalmers Strategic Effort in Learning and Teaching) och från RHU (Rådet för Högre Utbildning). 1. The Roller Coaster Data Base, av Duane Marden innehåller bl.a. många loopfoton som illustrerar olika former. 2. Roller Coaster - The Achterbahn-Designer Werner Stengel, Klaus Schützmannsky (Kehler Verlag, Heidelberg, 2001) Werner Stengel utnämndes 2005 till hedersdoktor av Naturvetenskapliga fakulteten vid Göteborgs universitet. Mer Information om hans arbete finns också på och på 3. Engineering Mechanics: Dynamics (5th ed), J. L. Meriam och L. G. Kraige, problem (s180) 4. Roller Coaster Loop Shapes, Ann-Marie Pendrill, Physics Education 40, 517 (2005) 5. Vejgeometri, Erik Vestergaard, 6. Werner Stengel, private communication, 2005.