Fördelningsfria / icke - parametriska / generella test

Transkript

1 Statistikteori fr F vt Frdelningsfria / icke - parametriska / generella test I de hypotesprvningssitationer som behandlats hittills har årminstone endera av nedanstående frtsättningar ingått ; Bakomliggande poplation(er) är normalfrdelad(e). () Stickprovet är "någorlnda stort". () I praktiken mter man mången gång sitationer där ingen av () eller () är ppfylld. Stickprovet är "litet" och normalfrdelningsantaganden känns hgst tveksamma. Då är frdelningsfria / icke - parametriska / generella (att ppfattas som synonyma) metoder av intresse. rvning av hypoteser om väntevärdet i en poplation. Inledning Låt, som vanligt, x, x,..., x n vara tfallet av ett slmpmässigt stickprov X, X,.., X n från en poplation F vars väntevärde m och standardavvikelse antas vara okända. Vi intresserar oss fr den sedvanliga hypotesprvningssitationen ; Testa nollhypotesen : m = m med mothypotes H : m m eller m > m. (3) Den andra varianten av enkelsidig mothypotes, m < m, behandlas "helt analogt". Exempel : Låt x, x,..., x n vara differenser fr y - observationer i par x i = y i, efter - y i, fre, i =,,, n, där "fre" och "efter" hänfr sig till någon viss behandling. Vi antar modellen Y i, fre = i + i och Y i, efter = i + m + i, där m = behandlingseffekt och,,..., n och,,..., n är oberoende "brsvariabler". (Här avviker vi från tidigare beteckningsmnster, där differensvärden brkar betecknas med z, men här heter x, och där behandlingseffekten brkar betecknas med, men här heter m.) I den här typen av sitation är den "saklogiska nollhypotesen" oftast ; * : Behandlingen har ingen effekt. (4) Mer tekniskt formlerat medfr (4) dels att - väntevärdet m fr x - observationerna är, dels att och har samma frdelning. Vid testsitationer av typ (3) har vi tidigare använt testvariabeln X m T, där s = stickprovets standardavvikelse. (5) s / n Under frtsättningen () har det kritiska området vid signifikansnivå satts till T / vid dbbelsidig mothypotes (m m ) och till T vid enkelsidig mothypotes (m > m ). Dessa kritiska områden baseras på att när stickprovet är "någorlnda stort" säger centrala gränsvärdessatsen att T med god approximation är N(, ) - frdelad nder. Under frtsättningen () har det kritiska området satts till T t / (n - ) vid dbbelsidig mothypotes (m m ) och till T t (n - ) vid enkelsidig mothypotes (m > m ). Dessa kritiska områden baseras på att när () gäller är T t(n - ) - frdelad nder. N släpper vi båda frtsättningarna () och (), men gr fljande frtsättning. oplationsfrdelningen F har täthet som nder är symmetrisk kring m. (6) Exempel, forts. : I exemplet kommer (6) att vara ppfyllt. Själva nollhypotesen är : m =. Vidare, när och är oberoende och har samma frdelning har - en frdelning som är symmetrisk

2 kring. (Övning : Visa att så är fallet.) Vi frtsätter att och har kontinerliga frdelningar. Detta ger att (6) är ppfyllt. Exempel, forts. : Vi antar fortsättningsvis att n = och att x - observationerna (satta i storleksordning) är : -., -.,.3, 4., 4.7, 6.7, 8., 9., 9.6,.. De illstreras grafiskt nedan. Figr Vad tänker man, när man ser på figren ovan? Jo, man tycker (väl?) någonting i fljande stil. verkar onekligen skm eftersom de flesta observationerna ligger på pls - sidan, vilket j talar fr att behandlingen lett till hgre värden. En natrlig fråga är ; Är det nder så osannolikt att få ovanstående frdelning av x - observationer att br frkastas? (7) Det finns åtminstone två olika ansatser fr att besvara frågan i (7), teckentest och teckenrangtest. Dessa behandlas i det fljande.. Teckentest (Blom sidor 6-64) Fr enkelhets skll håller vi oss till fallet m =, dvs. att nollhypotesen är : m =. (Fallet när m är något annat kan behandlas "hgst analogt".) Som testvariabel används ; T = antal positiva x - värden i stickprovet. (8) (Om man vill kan man lika gärna använda antalet negativa x - värden som testvariabel.) Vid dbbelsidig mothypotes H : m m framstår som "skm" om T antar antingen ett stort värde (som indikerar att m > ) eller ett litet värde (som indikerar att m < ). Testets kritiska område br därfr vara av typen ; (T k ) (T k ), där k är en ndre kritisk gräns och k en vre kritisk gräns. (9) Det gäller att bestämma k och k så att testet får nskad signifikansnivå / felrisk. Fr detta behvs testvariabelns frdelning nder. Fljande skall vara i stort sett självklart ; Under är testvariabeln T i (8) Bin(n, /) - frdelad. () Bin(n, /) - frdelningen ser t enligt nedan. 3 n - n Vid freskriven signifikansnivå skall k och k väljas så att fljande gäller ; (T k ) + (T k ), men inte verstiger. () Vid bestämning av k och k brkar man så gott som alltid frdela totala felrisken lika i båda ändarna av testvariabelns frdelning. De bestäms då av ; (T k ) / (men inte mer) och k = n - k. () Vid bestämningen gäller det att beräkna binomialfrdelningssannolikheter, vilket j är nmeriskt litet jobbigt. Dock, man kan få hjälp från tabeller. FT - samlingens Tabell 8 ger sådana sannolikheter fr bl.a. p = / (som är det här intressanta p - värdet). När mothypotesen är enkelsidig, m >, är det endast stora värden på testvariabeln T som får nollhypotesen att framstå som skm. Det kritiska området väljs då som med kritisk gräns k, som bestäms av ;

3 H, men inte verstiger. (3) Exempel forts. : Låt stickprovsvärdena vara enligt ovan i ansltning till Figr, där n =. Låt freskriven signifikansnivå vara 5 %. Nedan anges några sannolikhetsvärden fr en Bin(, / ) - frdelad s.v. T (hämtade från FT - samlingens Tabell 8. (T ) =.98, (T ) =.74, (T ) =.5469, (4) Från () och (4) framgår att det kritiska området vid dbbelsidig testning på 5 % signifikansnivå är (T ) (T 9). Med här aktella T obs = blir sltsatsen alltså att nollhypotesen inte kan frkastas med 5 % felrisk. Från (3) och (4) framgår att det kritiska området vid enkelsidig testning på 5 % signifikansnivå är (T ). Med T obs = blir sltsatsen likaså att nollhypotesen inte kan frkastas med 5 % felrisk..3 Teckenrangtest (Blom sidor 56 och 57) När observationerna faller som i Figr tycker man (kanske?) att teckentestet inte fångar pp all tillgänglig information i observationerna. En sak som gr litet "extra skm" är att de flesta observationerna med stora absoltvärden (= som ligger långt från ) är positva. Det beaktar inte teckentestet, dess testvariabel tar bara fasta på om observationen faller nder eller ver. (Med testvariabeln (5) fångas detta pp av att X blir stort. Men, som sagt, användning av (5) kräver frtsättningar som vi inte gr här.) Man kan dock fånga pp även nyssnämnda aspekt tan att gra frdelningsantaganden, genom att ranga (= rangordna) observationernas absoltvärden. Härvid ges observationen med minst absoltvärde rang, den med näst minst absoltvärde rang, osv., och i sltändan får den med strst absoltvärde rang n (= stickprovsstorleken). Som testvariabel väljs sedan ; T = smman av rangerna fr de negativa observationerna. (5) Man kan också välja T = smman av rangerna fr de positiva observationerna. Det spelar ingen roll vilken av dem man väljer att arbeta med (men det gäller att hålla tngan rätt i mnnen när mothypotesen är enkelsidig). När mothypotesen är H : m m framstår som skm om T i (5) blir antingen markant liten (som indikerar att m < ) eller markant stor (som indikerar att m > ). Det kritiska området väljs därfr av typen ; (T k ) (T k ), med lämpliga kritiska gränser k och k. Vid freskriven signifikansnivå gäller det att finna k och k så att ; (T k ) + (T k ), men inte verstiger. (6) Fr detta behver man, åtminstone i princip, känna frdelningen fr T nder. T har diskret frdelning med mjliga värden,,, 3, osv. t.o.m n = n (n - ) /. Frdelningen fr T nder ser t enligt nedan. Frdelning fr T nder 3 n (n - ) / Att beräkna frdelningen fr T nder är ett jobbigt kombinatorik - problem. Men man behver inte gra jobbet själv. I FT - samlingens Tabell 7 (på sidan med nmmer ) ges fr = %,.5 % och 5 % fr n = 5, 6,, lsningar k till såväl relationen ; 3

4 som H H, men inte verstiger, (7), men inte verstiger. (8) Vid dbbelsidig testning på signifikansnivä väljer man k och k så att (T k ) / och (T k ) /. Vid enkelsidig testning väljs den kritiska gränsen k med hjälp av den lämpliga av (7) och (8). Vilken som är den lämpliga beror av mothypotesen och vilken testvariabel man valt. Man får själv tänka t hr det kritiska området skall se t. Exempel forts. : Vi använder teckenrangtestet fr att prva den tidigare hypotesen. I frsta omgången gäller då att ranga observationernas absoltvärden, vilket grs i tablån nedan. Observationernas absoltvärden Ranger Observationer Som testvariabel väljs T enligt (5). Vid testning på 5 % signifikansnivå skall, enligt FT - samlingens Tabell 7 (på sidan ), det kritiska området vara (T 8) (T 4). Här blir T obs = smman av rangerna fr de negativa observationerna = + 3 = 4. Det värdet faller i det kritiska området, och sltsatsen blir att nollhypotesen frkastas till frmån fr alternativet m >. I exemplet ger teckentestet "ej signifikant" medan teckenrangtestet ger "signifikans". Detta är ingen motsägelse, och heller ingen tillfällighet. Allmänt gäller att teckenrangtestet har bättre styrka än teckentestet, vilket innebär att teckenrangtestet har strre sannolikhet att "pptäcka" skillnad än teckentestet. Vidare gäller att när normalfrdelningsfrtsättningen () är ppfylld så har t - testet bättre styrka än teckenrangtestet. Likaså gäller att när stickprovet är "någorlnda stort" så har - testet bättre styrka än teckenrangtestet. Sensmoralen blir att så snart någon av fortsättningarna () eller () är ppfylld, skall man använda testvariabeln i (5). Frst när ingen av () eller () freligger tillgriper man ett icke - parametriskt test, och då i frsta hand teckenrangtestet. Kommentar : I såväl Blom som FT - samlingen sägs rätt mycket om att T i (5) är approximativt normalfrdelad N(E(T), D(T)), och formler fr E(T) och V(T) ges. Dock, fr stickprovsstorlekar som omfattas av FT - Tabell 7 skall man inte använda normalapproximation, tan använda kritiska gränser enligt tabellen ifråga. Jämfrelse av två poplationer. Rangsmmetest (Blom 57-6) Här betraktas fljande sitation ; (x, x,..., x n ) är tfallet av ett slmpmässigt stickprov (X, X,.., X n ) från en poplation F med väntevärde m och (y, y,..., y n ) tfallet av ett slmpmässigt stickprov (Y, Y,.., Y n ) från en poplation G med väntevärde m. De två stickproven har dragits oberoende av varandra. Man vill prva nollhypotesen : m = m med mothypotes H : m m. I den hypotesprvningssitationen har vi tidigare avvänt en av nedanstående testvariabler; X Y ( m m T s / n s /n ) eller X Y ( m m T s / n /n p ), (9) den vänstra med kritiskt område T / nder () och den hgra med kritiskt område T t / (n + n - ) nder () med tilläggsvillkor att F och G har samma standardavvikelse. 4

5 N betraktar vi sitationer där ingen av () eller () kan frtsättas. Även här kan man klara sig rangbetraktningar, åtminstone nder nedanstående (milda) tilläggsfrtsättning. Såväl F som G är kontinerliga frdelningar. () Det s.k. Wilcoxons rangsmmetest tfrs på fljande sätt. Steg : Slå ihop värdena (x, x,..., x n ) och (y, y,..., y n ) till ett dataset, och ranga värdena i detta totala dataset. (Observera : Här handlar det inte om att ranga absoltvärden, tan de rsprngliga värdena.) Steg : Använd endera av nedanstående testvariabler; R x = smman av rangerna fr x - observationerna. R y = smman av rangerna fr y - observationerna. med kritiskt område av formen (R k ) (R k ). (Dvs. frkasta om R antingen blir stort eller litet,) De kritiska gränserna k och k vid signifikansnivå ges av relationerna (R k ) / och (R k ) / () De två variablerna R x och R y bär ekvivalent information, vilket inses av att deras smma R x + R y är given på frhand = (n + n ) = (n + n ) (n + n + ) /. Fr att bestämma k och k via () gäller det, åtminstone i princip, att beräkna frdelningen fr R nder nollhypotesen, som innebär att de två stickproven kommer från samma kontinerliga frdelning. Vid litet eftertanke inses att detta medfr att R x kan ses som smman av n på måfå tan återläggning valda värden från den totala psättningen av ranger (,, 3,, n + n ). Att beräkna sannolikheterna i en sådan frdelning är jobbigt, men man slipper ifrån det om man vänder sig till FT - samlingens Tabell 6 på sidan. Kommentar : Ovan behandlas fallet med dbbelsidig mothypotes. Vid enkelsidig testning grs de "natrliga" modifikationerna. Kommentar 3 : Här gäller resltat som är analoga till dem fr teckenrangtestet. När åtminstone endera av () eller () är ppfylld har test med testvariablerna i (9) bättre styrka än rangsmmetestet, och sådana test skall därfr fredras när de kan användas. Kommentar 4 : Det som sägs i Kommentar är (efter natrlig modifikation) tillämpligt även här. 5