De matematiska objektens natur - en matematikfilosofisk pragmatism. Rasmus Blanck
|
|
- Gun Persson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 De matematiska objektens natur - en matematikfilosofisk pragmatism Rasmus Blanck Filosofiska institutionen Göteborgs universitet 2007
2 De matematiska objektens natur - en matematikfilosofisk pragmatism Rasmus Blanck 9 september 2007 Sammanfattning Den matematikfilosofiska diskussionen präglas av frågor kring de matematiska objektens existens samt deras natur. Vi argumenterar för att detta kan ha ett nog så stort filosofiskt värde, men att en mer pragmatisk ståndpunkt verkar fruktbar. Sällan beror sanningshalten hos matematiska eller logiska påståenden av existensen eller naturen hos de behandlade objekten. Snarare tycks de gå att använda i tillämpningar och mer abstrakta resonemang, oberoende av ontologisk status. Vi undersöker möjligheten att ontologiska antaganden påverkar matematiska resonemang och begreppsbildning, och ger ett förslag till fortsatta efterforskningar.
3 Innehåll 1 Det matematikfilosofiska problemet Matematisk realism Platonism Logicism Empirism Formalism Intuitionism och konstruktivism Strukturalism Den ontologiska frågan 4 3 Den matematiska verksamheten Två klassiska exempel De naturliga talen De reella talen och analysen Modeller till mängdteorin Den kumulativa hierarkin Oavgörbara problem Skolem och kardinalitetsproblemet De reella talen och kontinuumproblemet Existensen av De två svaren Klassiska problem Oavgörbara problem
4 1 Det matematikfilosofiska problemet I många år har människan förundrats över matematikens häpnadsväckande tillämpbarhet i de mest varierande sammanhang. Redan de grekiska geometrikernas abstraktion från linjer i sanden till ideala sträckor och odelbara punkter ter sig som en märklig manöver, om man ser till applikationerna främst. Dock hade detta många tillämpningar, liksom mycket av den matematik som bedrivits sedan deras dagar. Ibland har teorin föregått tillämpningarna, och emellanåt har andra vetenskaper krävt ny matematik för att kunna utföra önskade beräkningar eller modelleringar. En rad frågor hopar sig nu, varav de mest centrala är de ontologiska och epistemologiska frågorna: 1. Vad är matematiska objekt? 2. Hur kan vi ha kunskap om matematiska objekt? Ett svar på dessa ger oss även svar på andra intressanta frågor mest påträngande är väl frågan om hur det är möjligt att tillämpa matematik på processer i världen. Många typer av lösningar på de två centrala frågorna har getts, men ännu har ingen lösning presenterats som ger ett tillfredsställande, oproblematiskt svar på båda frågorna samtidigt. Ett tydligt, konkret svar på den ena tenderar att kräva mer luddig argumentation kring den andra. En exposé över några av de huvudsakliga strömningarna kan vara på sin plats, och ges här utan inbördes ordning. 1.1 Matematisk realism Realistens lösning på de centrala matematikfilosofiska frågorna är vid första anblicken enkel. Matematiska objekt existerar oberoende av de medvetanden som uppfattar och bearbetar dem, och matematik är sålunda en upptäckande inte en uppfinnande verksamhet Platonism Termen platonism går uppenbarligen tillbaka till Platon. Föreställningen om en idévärld, där fullkomliga versioner av vardagliga föremål existerar vid sidan av abstrakta begrepp, utvidgas till att omfatta även alla matematiska entiteter. Här och ingen annanstans finns de objekt matematikern hanterar: de naturliga talen, trianglar, oändliga mängder av komplexvärda funktioner, och allt annat matematikern kan önska sig. Dessa objekt saknar rumslig och tidslig utsträckning såväl som möjlighet till kausal påverkan, dessutom är de evigt bestående och oföränderliga. Våra teorem och definitioner är mer eller mindre lyckade försök att utförligt och korrekt beskriva de matematiska objekten. Som ett resultat av detta upplever platonisten att alla korrekt ställda matematiska frågor har ett sanningsvärde; antingen har frågan ett positivt svar, eller också har den det inte. Kanhända är våra sinnen inte skarpa nog att nå fram till sanningen, men likväl finns den där, oberoende av oss. Som vi skall se senare intar denna uppfattning en särställning bland de andra, både vad gäller 1
5 vilka ontologiska frågor som kan besvaras, som frågan om de oavgörbara problemens natur. Nackdelen med den platonistiska uppfattningen är att vår varseblivning av dessa matematiska objekt blir mycket problematisk. Om de existerar för sig själva i en egen värld, på alla sätt oberoende av vår, hur kan vi då få någon som helst information om dem? För att kunna nå någon som helst kunskap om ett objekt verkar det krävas någon form av kausal koppling mellan oss och det betraktade objektet, annars kan det knappast ens vara fråga om ett betraktat objekt. Gödel hävdade att vi besitter en särskild typ av matematisk intuition, som låter oss betrakta matematiska objekt direkt. Den epistemologiska frågan kan kanske inte betraktas som tillfredsställande besvarad Logicism Logicismen vill göra gällande att alla frågor som rör matematik kan reduceras till frågor om logik och dess natur. Sålunda är all matematisk kunskap bara en del av vår analytiska logiska kunskap, kan vetas a priori, och därmed är alla matematiska påståenden logiska sanningar. Redan Frege gjorde försök att reducera aritmetik till logik (tillsammans med lämpliga definitioner), även om hans formulering visade sig vara inkonsistent. Tanken var att naturliga tal sålunda skulle vara de objekt vars existens implicerades av denna expanderade logik. På senare år har dock konsistenta formuleringar av Freges aritmetikfilosofi givits, men det är inte så många som drar stora växlar på detta idag. Logicismen verkar inte heller lösa det ontologiska problemet. Frågan om vilka matematiska objekt som existerar reduceras till frågan om vilka logiska objekt som existerar, vilket inte heller kan anses besvarat. Kanske vill vi inte ens att logiken i sig själv skall göra existenspåståenden Empirism Empirismen hävdar att matematiska sanningar inte på något vis är a priori, i själva verket bedriver vi här empirisk forskning på samma sätt som inom vilken (natur)vetenskap som helst. Detta ger vissa svårbegripliga föreställningar om matematisk sanning. En tidig version av empirismen gav till exempel bilden att påståenden som = 4 är empiriska upptäckter, något vi inte kan förstå på något annat sätt än genom vad vi observerat i världen. En modern naturalistisk version av empirism ges av bland andra Quine och Putnam. Den försvaras med den så kallade indispensability-tesen: 1 Eftersom matematiska objekt är oumbärliga i hart när alla empiriska vetenskaper är vi berättigade att postulera existensen av dessa objekt, på samma sätt som vi i någon mening hävdar att till exempel elektroner existerar. Matematik är helt enkelt den bästa förklaringsmodellen vi har, och den detroniseras från sin plats som den renaste, exakta vetenskapen, och placeras jämbördigt med annan empirisk vetenskap. 1 Termen används frekvent även i svenskspråkiga sammanhang, och jag har inte hittat någon tillfredsställande översättning. Oumbärlighets-tesen? 2
6 Att vi därmed skulle vara berättigade till att tro att dessa objekt existerar verkar oproblematiskt, men svaret är fortfarande otillfredsställande. Indispensability-tesen gör gällande att matematiska objekt existerar på samma sätt som till exempel elektroner, men just dessa hanteras ofta enbart som förklaringsmodeller till vissa typer av fenomen, och inte som faktiskt existerande objekt. 1.2 Formalism Formalisten betraktar matematisk verksamhet blott och bart som en lek med symboler. Givet en uppsättning symbolsekvenser (axiom och symbolmanipuleringsregler) kan vi bilda nya symbolsekvenser som följer ur de tidigare. I denna tolkning är matematiska påståenden tomma de handlar inte om någonting utöver de symboler vi skriver på papper. Detta skall inte behöva betyda att den matematiska symbolmanipulationen är meningslös; en tolkning av den formalistiska tanken är att givet någon tilldelning av mening till symbolsekvenserna, sådan att axiomen är sanna och manipuleringsreglerna sanningsbevarande, så skall de nya symbolsekvenserna också vara sanna inom den givna ramen. Därmed kan matematiker fortsätta göra vad matematiker gör bäst, och lämna de filosofiska spörsmålen till filosofer. Formalisten är realist i meningen att symbolmanipulationerna trots allt kan ge oss intressanta resultat om världen. De matematiska spelreglerna bottnar i uppförandet hos de fysikaliska strukturer vi observerar, och teorierna som skapas antas ha en riktig, meningsfull tolkning i dessa strukturer. D. Hilbert, en av de främsta företrädarna för den formalistiska ståndpunkten kan snarast betraktas som ren realist vad gäller enklare matematik den som har en uppenbar koppling till världen omkring oss. Det formalistiska synsättet uppträder då de matematiska teorierna går utöver dessa basala relationer, till exempel i fallet med oändliga mängder. Oändligheter betraktas i Hilberts formalism som ideala element: dessa entiteter behöver inte ha en konkret existens i världen, utan fungerar enbart som förenklingande element i formuleringen av teorin. Ontologin är alltså tydlig för formalisten: inga matematiska objekt existerar i någon annan mening än som streck på pappret, och vår kunskap om dem är därmed inte heller så svår att göra reda för. Däremot tycks det mer än besvärligt att förklara varför dessa symboler kan användas för att beskriva vår omvärld. 1.3 Intuitionism och konstruktivism I en något orättvis hantering av dessa båda ståndpunkter behandlar jag dem tillsammans. Intuitionisten menar att matematik är en verksamhet som bedrivs enbart i våra medvetanden. Det grundläggande begreppet för att förklara sanning är för intuitionisten inte satisfierbarhet, utan bevisbarhet. Därigenom blir sanningshalten, eller till och med meningsfullheten, hos ett matematiskt påstående enbart beroende av huruvida vi har ett bevis för det eller ej. Ett påstående som varken bevisats eller motbevisats saknar helt enkelt mening. Existensen hos ett matematiskt objekt är ekvivalent med möjligheten att explicit konstruera detta objekt. Som 3
7 ett resultat av dessa idéer blir en klassiskt gångbar typ av motsägelsevis oacceptabla i intuitionistens mening; bevis där vi antar ϕ, härleder en motsägelse och drar slutsatsen att ϕ måste gälla. Det enda sättet att bevisa ϕ är istället genom ett direkt, konstruktivt bevis. Oändliga mängder är problematiska för intuitionisten, den aktualiserade oändligheten kan inte existera, eftersom vi inte har någon empirisk upplevelse av den. Å andra sidan existerar potentiell oändlighet: givet ett naturligt tal kan vi konstruera dess efterföljare, dock har vi ingen metod för att samla alla dessa tänkbara efterföljare i en oändlig mängd. 1.4 Strukturalism Strukturalisten betraktar inte matematiska objekt som objekt i någon verklig mening, snarare fungerar de som platshållare i en större abstrakt struktur. Upptäckten att flera typer av mängdteoretiska konstruktioner kan användas för att representera de naturliga talen ledde till tanken att det inte är vilket objekt det är fråga om, eller vilka axiom objektet uppfyller, som är viktigt istället koncentreras uppmärksamheten till vilken plats objektet i fråga fyller i en viss struktur. Matematiska objekt har inga andra egenskaper än de som kan uttryckas i termer av de i strukturen tillgängliga relationerna. Den epistemologiska frågan anses därmed löst; vi betraktar helt enkelt de (tanke)strukturer vi har tillgång till, och ser hur platshållarna i den är relaterade till varandra. Ontologin ger större problem. Matematiska objekt behöver inte existera i sig själva, men däremot postuleras existensen av dessa abstrakta strukturer i vilka platshållarna uppträder, vilket knappast kan betraktas som ett mindre problematiskt ontologiskt åtagande. Som vi tidigare sett exempel på 2 är detta en vanlig lösning på de matematikfilosofiska problemen. Istället för att direkt försöka besvara de matematikfilosofiska frågorna reducerar vi problemet till en fråga av allmänfilosofisk natur; svaret på den ontologiska frågan blir i strukturalistens mening att överföra den ontologiska frågan till en annan typ av entiteter. Därmed finns inga specifika matematikfilosofiska problem, men inte heller har vi kommit särskilt mycket närmare ett svar. 2 Den ontologiska frågan Ingen av de ovan nämnda matematikfilosofiska skolorna 3 lyckas göra reda för och på tillfredsställande vis besvara både den ontologiska frågan och den epistemologiska frågan. Fokus kommer här att ligga på den förstnämnda problemställningen: vilka matematiska objekt existerar, och på vilket sätt har de existens? Mer specifikt kan vi som en följd av detta ställa oss den pragmatiska ontologiska frågan: Spelar det någon roll vilka matematiska objekt som existerar, och på vilket sätt de har existens? 2 Sektion Dessa är inte att betrakta som organiserade grupper, snarare som en samling av liknande åsikter. 4
8 I de två följande avdelningarna kommer vi att försöka besvara denna fråga negativt; argumentera för att ontologiska åtaganden inte påverkar matematikerns förmåga att bedriva matematisk verksamhet. 3 Den matematiska verksamheten 3.1 Två klassiska exempel De naturliga talen Betrakta sekvensen av de naturliga talen: 0, 1, 2, 3,... Dessa tal används i mängder av sammanhang, allt från vardagliga observationer till verksamhet av specifikt vetenskaplig karaktär. Vi kan räkna hur många kor vi har på ängen; vi kan hålla ordning på hur många kor vi har på ängen, genom att ordna korna i en en-entydig korrespondens till en påse med stenar; vi kan dessutom bedriva avancerad matematisk vetenskap, som till exempel försöka bevisa Goldbachs hypotes. Vilken typ av ontologiska antaganden behöver vi göra för att dessa typer av verksamheter skall gå att bedriva? Som tidigare noterats finns en mängd olika svar tillgängliga. Realisten hävdar att talen existerar oberoende av oss, möjligtvis i en platonistisk himmel, som en avslutad, aktualiserad oändlig mängd av alla naturliga tal. Med den epistemologiska frågan lagd åt sidan, tillsammans med till exempel frågor om tillämpbarhet, framstår detta som en rimlig förklaring till hur vi kan bedriva matematik i någon abstrakt mening. Oavsett hur vi kommer i kontakt med dessa objekt ger dess egen existens oss möjlighet att förklara vad vår matematiska verksamhet bottnar i. En liknande förklaring kan ges vad gäller den strukturalistiska hållningen. Här är det inte existensen av naturliga tal som garanterar att vi kan begripa vad vi gör garanten är snarare strukturen hos denna sekvens. En mängd tänkbara sådana strukturer finns; alla tillräckligt lika för att, oavsett vilken vi väljer, kunna beskriva aritmetiska tankegångar. Formalistens syn på verksamheten är ännu mer rättfram. Det enda vi gör är att manipulera symboler på ett papper; symboler för vilka vi själva ställt upp regler. Inget ontologiskt åtagande alls behöver göras existensen av de streck vi drar är självklar och för alla uppenbar, och vår verksamhet går aldrig utöver detta. Den konstruktivistisk-intuitionistiska synen ger heller inget problem, naturliga tal är något vi skapar i våra huvuden. Vart och ett av dessa objekt kan vi explicit konstruera; däremot ingen avslutad oändlig mängd av dem allihop. Å andra sidan kan vi i alla vardagliga fall begränsa oss till mängden av de tal som är mindre än något visst (möjligtvis mycket stort) tal. Vad gäller frågor kring egenskaper hos alla naturliga tal besvaras dessa bäst med hjälp av induktionsprincipen, vilken också finns tillgänglig. Mot bakgrund av detta verkar det rimligt att hävda att åtminstone aritmetisk verksamhet går att bedriva på ett meningsfullt sätt, oavsett 5
9 vilken matematikfilosofisk lösning som åberopas, eller vilka ontologiska åtaganden som gjorts De reella talen och analysen I. Newton och G. Leibniz utvecklade under senare halvan av 1600-talet oberoende av varandra teorier för att beräkna tangenter till kurvor i planet. Dessa metoder innefattade bruket av infinitesimaler: tal som ligger tillräckligt nära noll för att kunna bortses från, men ändå är nollskilda så de kan förekomma som nämnare i divisioner. Varken Newtons eller Leibniz framställningar var konsistenta i någon egentlig mening, men idéerna var extremt fruktbara, och användes flitigt i olika typer av fysikaliska beräkning-ar. Mot slutet av 1800-talet ville man bringa reda i den infinitesimala härvan, och grunda teorierna i något konsistent system. Ett flertal defintioner av reella tal gavs, som tillät godtyckligt små element i termer av gränsvärdesbegreppet. Resultatet var definitioner av reell analys i termer av bland annat Cauchysekvenser och Dedekindsnitt. Oberoende av vilka grundvalar som används är dessa nog för att bedriva fysikaliskt intressant analys på ett koherent sätt. Med ett konstruktivistiskt synsätt ger flertalet av de olik a definitionerna upphov till icke-ekvivalenta strukturer, men för den klassiske matematikern sammanfaller de olika strukturerna till en. Inte heller inom detta område synes det uppenbart att vi finner exempel på konkreta resultat vars status påverkas av matematikerns ontologi. 3.2 Modeller till mängdteorin Mängdteorin och dess modeller bjuder på en betydligt mer komplicerad bild, vilket vi skall argumentera för här. I de tidigare presenterade, enklare fallen, tycks det vara ett oantastligt faktum att ontologi inte påverkar den praktiska matematiken. I fallet med mängdteorin verkar det oftare tänkbart att ontologiska antaganden kan vara betydelsefulla, men vi skall argumentera för att åtminstone inget av de här behandlade exemplen ger något övertygande bevis för detta. Det kan vara värt att notera att frågorna i sektionerna är en smula svåra att strikt skilja från varandra, och kanske kan ses som olika sidor av samma(?) mynt Den kumulativa hierarkin Betrakta nu någon formulering av mängdteori, till exempel Skolem- Zermelo-Fraenkels axiomatisering tillsammans med urvalsaxiomet, ZFC. Denna teori är avsedd som en bakgrundsteori till all matematik den skall garantera existensen av alla de mängder och objekt (eller objekt kodade som mängder) som matematikern behöver för sin verksamhet. Tanken är god, men finns någon modell till ZFC? Enligt Gödels andra ofullständighetssats kan vi inte bevisa att ZFC är konsistent (och därmed har en modell) med hjälp av någon svagare teori, och inte ens med hjälp av ZFC själv. För att kunna bevisa konsistensen hos ZFC måste vi därför 6
10 ta till en starkare teori, men hur skall vi kunna veta att denna nya teori är konsistent? Denna teori behöver ju en än starkare teori för att vi skall kunna bevisa konsistensen. Betrakta till exempel följande sekvens av teorier: ZFC, ZFC + Con ZFC, ZFC + Con ZFC+ConZFC,... Var och en av teorierna bevisar konsistensen hos sin föregångare, tack vare att konsistenspåståendet är tillagt som ett nytt axiom, men vi kommer aldrig att nå ett slutmål där teorin bevisar sin egen konsistens. Om vi iställer angriper problemet genom att bygga upp en annan, från mängdteorin väsenskild teori kan vi möjligtvis i denna teori bevisa att ZFC är konsistent men hur skall vi kunna garantera att denna nya, starkare teori är konsistent? Vi befinner oss återigen i motsvarande situation. Den kumulativa mängdhierarkin definieras enligt: 8 < : V 0 = V n+1 = P(V n) V λ = S α<λ Vα Denna struktur används för att ge en intuitiv bild av hur modeller till mängdteorin ser ut. Vad gäller dessa är situationen något annorlunda jämfört med de tidigare behandlade exemplen. Upp till någon nivå (till exempel V ω, eller någon lämplig motsvarighet) är vår mängdstruktur rigid, och sålunda densamma i alla mängdteoretiska modeller. Denna del av hierarkin, bestående av alla hereditärt ändliga mängder, är tillräckligt lik de naturliga talen för att kunna betraktas som oantastlig. Längre upp i hierarkin kan strukturen skilja sig radikalt mellan olika modeller. Resultat från Gödel, Cohen, med flera, visar att kanske redan vid V ω+1 är bilden inte helt klar. Vi har mängdteoretiska påståenden som är oavgörbara inom ramen för ZFC, och vars svar hänger på hur en viss modell till teorin ser ut. Här är den faktiska existensen av vissa objekt direkt intressanta för att avgöra dessa typer av frågor Oavgörbara problem Hur kommer det sig att vissa frågor kan bevisas vara oavgörbara relativt ZFC? I ett svar på denna fråga tycks ontologiska antaganden spela en stor roll. De matematiska objektens status påverkar i hög grad vad det faktiskt innebär att ett påstående är oavgörbart. Givet en realistisk hållning har vi helt enkelt inte kommit tillräckligt långt i vår intuition. De matematiska objekten existerar oberoende av oss, och är konstituerade på ett visst sätt, oberoende av vår bild av dem. Problemet med oavgörbara påståenden är att vi inte med vårt inre öga har skådat de matematiska strukturerna tillräckligt klart. Frågan har ett svar, och vi behöver bara förfina vår bild av den faktiska, existerande strukturen för att avgöra problemet. Formalisten, å sin sida, är i ett annat läge. Mängdteori är en lek med symboler; vi har bestämt vilka symboler som får uppträda, vilka sekvenser av symboler som skall betraktas som acceptabla formler, vilka sekven- 7
11 ser av symboler som skall tas som axiom, samt vilka symbolmanipulationer vi får göra för att konstruera nya formler. För formalisten är ett oavgörbart påstående oavgörbart för att vi valt ett otillräckligt axiomsystem. Lösningen är att komplettera ett nuvarande system med nya axiom, eller att helt börja från början, med nya symboler, nya axiom, och nya regler. Här kan valet av axiom inte heller styras av några ontologiska aspekter det spelar ingen roll vilka dubiösa formuleringar eller existensantaganden vi gör valet styrs helt av matematikerns preferenser. Problemet har ingen riktig lösning, vi behöver bara omformulera vad vi trodde att vi menade. En i någon mening mellanliggande situation befinner sig intuitionisten i. Matematiska objekt är mentala konstruktioner, och existerar enbart som sådana. Vi kan inte gå ut och titta i världen för att få svar på oavgörbara problem, för några svar finns inte att få där. Strukturerna vi betraktar har inga andra egenskaper än de vi ger dem; möjligtvis kan vi omformulera våra konstruktionsmetoder, eller skärpa vår intuition, men något annat ges inte. Här tycks finnas en dikotomi mellan realister och strukturalister å ena sidan, och intuitionister, konstruktivister och formalister å den andra. De förstnämnda vet att det finns ett svar på den ställda frågan, de behöver bara skärpa sina matematiska sinnesorgan till den grad att de begriper vilket det är. Finns någon modell till mängdteorin? Om någon sådan finns behöver vi bara leta tillräckligt länge för att hitta den, eftersom den existerar oberoende av oss. Den andra gruppen kan bara acceptera att den bild de har idag inte ger svaret; nöja sig med det, eller ändra bilden Skolem och kardinalitetsproblemet Ett teorem av L. Löwenheim och T. Skolem säger att varje första ordningens teori som har en oändlig modell har en uppräknelig modell. Trots att detta är tekniskt oproblematiskt tycks det finnas några intressanta filosofiska problem kopplade till teoremet. I fallet med till exempel Peanos aritmetik är påståendet självklart: att denna teori har en uppräknelig modell lär inte förvåna någon. Ett flertal liknande fall finns, men vad gäller mängdteori uppstår en mer komplicerad situation. Om vi utgår från någon (överuppräknelig) modell A till ZFC kan vi via Löwenheim-Skolems teorem konstruera en modell B med uppräknelig domän där precis samma satser är sanna i B som i A. Bland dessa påståenden finns till exempel bevis för att det finns överuppräkneliga kardinaltal. Att det skulle finnas överuppräkneliga kardinaltal i A verkar inte så konstigt, men hur kan en modell med uppräknelig domän innehålla överuppräkneliga mängder? Lösningen ligger i själva definitionen av kardinalitetsbegreppet: två mängder sägs ha samma kardinalitet om det finns en bijektion mellan dem. En mängd som är uppräknelig i A kan alltså betraktas som överuppräknelig i B på så sätt att det i B inte finns någon bijektion mellan N och mängden i fråga. Slutsatsen som dras av detta är att kardinalitet inte kan vara ett absolut begrepp en mängd som är överuppräknelig i en modell kan mycket väl vara uppräknelig i en annan modell. 8
12 3.2.4 De reella talen och kontinuumproblemet G. Cantor formulerade kontinuumhypotesen enligt: 2 ℵ 0 = ℵ 1 Detta kan omformuleras till kontinuumproblemet: Finns något kardinaltal κ sådant att: ℵ 0 < κ < 2 ℵ 0 Om svaret är nej är kontinuumhypotesen sann; annars är kontinuumhypotesen falsk. Man har visat att givet att det finns någon modell till ZFC, finns modeller både där ett sådant κ existerar, såväl som modeller där inget sådant κ finns. Betrakta nu mängden av reella tal som mängden av alla delmängder till de naturliga talen. Kardinaliteten hos denna mängd är 2 ℵ 0 och frågan kan också uttryckas som: Hur många är de reella talen? Hur ett svar på frågan om de reella talens antal skall begripas är inte helt lätt att förstå. Som vi såg i sektion är kardinalitet ett relativt begrepp, som varierar mellan modeller. Ett överuppräkneligt kardinaltal i en modell är inte nödvändigtvis överuppräkneligt i en annan modell, eftersom det kan finnas fler bijektioner mellan mängder i den sistnämnda. Kontinuet är sålunda olika stort i olika modeller. Vilket svar på frågan är det eftersökta, eller med andra ord: vilken av dessa modeller var det vi avsåg då vi formulerade mängdteorins axiom? Mycket har skrivits i frågan kring avsedda/oavsedda 4 modeller. I vilken mening kan en modell vara den rätta? Tag till exempel Gödels axiom V = L, som säger att det enbart är de konstruerbara mängderna (och därmed enbart de konstruerbara reella talen) som finns i modellen. I en modell där detta gäller är 2 ℵ 0 trivialt lika med ℵ 1, men varför skulle bara konstruerbara mängder finnas? 5 Trots ett konkret svar leder detta oss inte heller vidare varför skulle just en modell där V = L gäller vara den rätta modellen till mängdteorin? I realistens värld kan det mycket väl existera en avsedd modell, standardmodellen till mängdteorin. I annat fall finns åtminstone de reella talen i sig, och det krävs bara djupare tankeinsatser för att avgöra hur många de reella talen är på riktigt. Andra matematiskfilosofiska ställningstaganden ger upphov till andra svar. I de fall då matematik är konstruktioner av något slag; i medvetandet, på papper, som sociala strukturer; är det svårare att tänka sig en definitiv lösning på kontinuumproblemet, eller att hitta den avsedda modellen. Varför en modell skulle vara att föredra framför en annan tycks kräva någon typ av värdebegrepp den ena modellen skall vara bättre än den andra. Problemets lösning handlar alltså bara om vilken modell man väljer, om ens nu någon modell finns. 4 Intended/unintended i den engelska litteraturen. 5 Se vidare sektion
13 3.2.5 Existensen av 0 I uppsatsen A non-constructible 1 3 set of integers [7] ger R. Solovay en definition av 0, ett exempel på en icke-konstruerbar mängd av naturliga tal, som kan definieras enligt följande: 0 existerar omm j : L L, där j är en icke-trivial inbäddning, och L är Gödels konstruerbara universum. Om 0 existerar innebär detta att det finns en obegränsad äkta klass av ordinaltal som är indiscernibilia i L, och 0 är det reella tal som kodar gödelnumren för de sanna formlerna om dessa indiscernibilia i L. Existensen implicerar också att alla överuppräkneliga kardinaltal i vårt mängdteoretiska universum V är en mängd av indiscernibilia i L, och satisfierar alla kardinaltalsaxiom som är realiserade i L. Detta innebär alltså att existensen av 0 motsäger Gödels axiom V = L. Det är inte klart huruvida 0 existerar i ZFC. Det är konsistent med ZFC att mängden inte existerar, och det har ännu inte visats vara inkonsistent att motsatsen skulle gälla. I själva verket tror många mängdteoretiker att existensen av 0 är oavgörbar inom ramen för vår vanliga mängdteori. Vid åminnelse av att reella tal kan betraktas som oändliga mängder av naturliga tal är detta alltså ett exempel på ett specifikt reellt tal, vars existens ZFC inte säger någonting om. Här föreligger sålunda ett tänkbart exempel på ett problem vars lösning tycks vara beroende av ontologi. I väntan på ytterligare mängdteoretiska landvinningar återstår dock bara att fortsätta till: 4 De två svaren 4.1 Klassiska problem Det går lätt att tänka sig att det finns en skillnad mellan olika typer av matematiska problem: vissa problem står opåverkade av ontologisk status hos de ingående objekten, medan andra har helt olika svar beroende på var, hur och om objekten existerar. De problemställningar som faller inom den första gruppen kallar vi ontologiskt invarianta; de övriga följaktligen ontologiskt varianta. I en perfekt värld är kanske alla relevanta matematiska frågor ontologiskt invarianta, och matematikfilosofi blir åtminstone för pragmatikern en fråga om tycke och smak. En annan möjlighet är att det finns en skiljelinje mellan de ontologiskt varianta och de ontologiskt invarianta frågorna, kanske i termer av något komplexitetsbegrepp eller i termer av formulerbarhet i någon viss teori. I nuläget tycks det dock inte gå att dra någon intressant slutsats om vilka frågor som faller under vilken kategori. En förhoppning var att finna någon konkret fråga där ontologisk ståndpunkt påverkade svaret. Den kanske största dikotomin är här mellan klassiska matematiker och konstruktivister. Det finns en mängd begrepp som differentieras i ett konstruktivistiskt system, men som klassiskt sammanfaller till exempel de olika definitionerna av reella tal i Även 10
14 flertalet klassiskt bevisbara teorem går igenom för konstruktivisten bara med märkbara försvagningar i slutsatsen eller förstärkningar i premissen. En sedan länge känd observation är att konstruktivisten, i flertalet intressanta teorier, kan bevisa ϕ för varje klassiskt teorem ϕ. Detta slår hål på många, annars tänkbara, argument i denna riktning. Ett tydligt exempel är fallet med icke-kontinuerliga funktioner. Den klassiske matematikern kan bevisa ϕ = det finns en icke-kontinuerlig funktionf : R R samtidigt som konstruktivisten inte kan bevisa detta, utan bara ϕ. Å andra sidan ställer det inte till något problem för klassikern, som gärna använder lagen om det uteslutna tredje och konstaterar att ϕ följer ur detta dubbelt negerade påstående. Sålunda dög detta inte som ett exempel på en fråga som accepteras som ett problem oberoende av matematikfilosofisk ståndpunkt, och dessutom ger olika svar. Alla exempel vi studerat faller i denna eller liknande fällor, och ger därför ingen ledning eller grund för att det ens skulle vara fruktbart med ett begrepp som ontologisk invarians. Frågan kvarstår dock finns det fall där ontologin påverkar svaret på en matematisk fråga? 4.2 Oavgörbara problem Vad gäller de begrepp som studerats i sektion 3.2 finns intressanta frågor kvar. De oavgörbara problemen, till exempel, har uppenbart olika status som påståenden betraktade, beroende på ontologiska bakgrundsantaganden. De som ser matematiken som ett studium av världen har bara att titta mer noggrant på sina observationer och därefter komma till djupare insikt om problemets natur. Den andra gruppen de som betraktar matematiken som någon typ av mental konstruktion kan inte titta efter någonstans, utan kan bara hoppas på att utöka sin mentala bild med nya axiom som förklarar dessa teoretiska anomalier. Hur jakten på, och rättfärdigandet av, dessa nya axiom går till är ämnet för en kommande uppsats. 11
15 Referenser [1] J. R. Brown, Philosophy of Mathematics an introduction to the world of proofs and pictures, Routledge, London and New York, [2] M. Colyvan, Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2004 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = [3] D. Hilbert, On the infinite reprinted in From Frege to Gödel, Jean van Heijenoort (ed.), Harvard University Press, [4] V. Klenk, Intended Models and the Löwenheim-Skolem Theorem in Journal of Philosophical Logic, Vol. 5, pp , [5] E. H. Reck & M. P. Price, Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy of Mathematics in Synthese, Vol. 125, pp , [6] S. Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford University Press, New York, [7] R. M. Solovay, A non-constructible 1 3 set of integers in Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 127, pp , [8] A. S. Troelstra & D. van Dalen, Constructivism in mathematics, an introduction, North-Holland, Amsterdam, [9] W. H. Woodin, The continuum hypothesis, part 1 in Notices of the AMS, Vol. 48, Nr. 6, pp , [10] W. H. Woodin, The continuum hypothesis, part 2 in Notices of the AMS, Vol. 48, Nr. 7, pp ,
Realism och anti-realism och andra problem
Realism och anti-realism och andra problem Vetenskap och verkligheten Vetenskapen bör beskriva verkligheten. Men vad är verkligheten? Är det vi tycker oss se av verkligheten verkligen vad verkligheten
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merFilosofisk Logik. föreläsningsanteckningar/kompendium (FTEA21:4) v. 2.0, den 5/ Kompakthet och Löwenheim-skolemsatsen
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium VI v. 2.0, den 5/5 2014 Kompakthet och Löwenheim-skolemsatsen 19.6-19.7 Närhelst vi har en mängd satser i FOL som inte är självmotsägande
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.
Läs mer12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI.
75 12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI. I slutet av 1800-talet uppfann Cantor mängdteorin som ett hjälpmedel vid sitt arbete med integrationsteori. Med en mängd menade Cantor "vilken som
Läs merTema Oändligheten Oändligheten - 1
Tema Oändligheten Människan har alltid funderat över oändligheten. Vem har inte tänkt att om universum inte var oändligt så måste det ha en gräns och vad skulle i så fall finnas på andra sidan. Ett motargument
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs merTal till Solomon Feferman
Ur: Filosofisk tidskrift, 2004, nr 1. Dag Westerståhl Tal till Solomon Feferman (Nedanstående text utgör det tal som Dag Westerståhl höll på Musikaliska Akademien i oktober 2003, i samband med att Feferman
Läs merK2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen
Läs merFTEA12:4 Vetenskapsteori. Realism och anti-realism
FTEA12:4 Vetenskapsteori Realism och anti-realism Realism vs. anti-realism Ontologi: Finns det en värld som är oberoende medvetandet? Semantik: Är sanning en objektiv språk-värld relation? Epistemologi:
Läs merKompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och
Läs mer1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder
Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta
Läs mer1. Öppna frågans argument
1. Öppna frågans argument ÖFA i enkel form: 1. För en given term eller beskrivning N, om det gick att definiera godhet som N, så skulle följande vara en stängd fråga: x är N, men är x gott? 2. För alla
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Om urvalsaxiomet mm. Axiom som är ekvivalenta med urvalsaxiomet
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om urvalsaxiomet mm Vi har tidigare nämnt Zermelo-Fraenkels axiom för mängdläran, de upprepas på sista sidan av dessa
Läs mer8. Moralpsykologi. Några klargöranden:
8. Moralpsykologi Några klargöranden: Det är vanligt att uttrycka MI/ME-debatten i termer av moraliska övertygelser (eller omdömen ), men detta är för generellt. MI är endast rimlig om den begränsas till
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs mer4. Moralisk realism och Naturalism
4. Moralisk realism och Naturalism Eftersom CR accepterar Harmans princip kan de bara bemöta hans argument om de kan visa att moraliska egenskaper visst förklarar vissa av våra observationer. CR delar
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade
Läs merMängder och kardinalitet
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merVärdeepistemologi. Epistemologi: allmänt. Föreläsning 8. Vad är kunskap? Värdeepistemologi. Skepticism & kognitivism
Värdeepistemologi Föreläsning 8 Epistemologi: allmänt Medan semantik handlar om språket och ontologi handlar om verkligheten så handlar epistemologi om kunskap Vad innebär det att veta ngt?, Hur kan vi
Läs merObjektivitet. Är vetenskapen objektiv? Vad betyder objektivitet
Objektivitet Är vetenskapen objektiv? Vad betyder objektivitet Utgångspunkt Objektivitet och sanning: Är våra påståenden och tankar objektiva? I så fall handlar de om något som finns i världen om existerande
Läs merKapitel 1. Denna konflikt leder till frågan om vad en desire egentligen är för något. Det finns två gängse föreställningar:
Denna konflikt leder till frågan om vad en desire egentligen är för något. Det finns två gängse föreställningar: (1) Dispositionell en desire är en disposition att handla på ett visst sätt i vissa omständigheter.
Läs merMoralfilosofi. Föreläsning 8
Moralfilosofi Föreläsning 8 Värdeepistemologi Epistemologi: allmänt Medan semantik handlar om språket och ontologi handlar om verkligheten så handlar epistemologi om kunskap om tro, vetande och rättfärdigande
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Läs merKapitel 1. Men varför är BDT falsk om vi förstår desire i fenomenologisk mening?
Det är trivialt att en desire i dispositionell mening alltid måste finnas med i varje handlingsförklaring, eftersom vad som helst som motiverar handling är en disposition att handla i vissa omständigheter.
Läs merKritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Utvärdering av argument
Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05 Utvärdering av argument Utvärdering av argument Två allmänna strategier Felslutsmetoden: Man försöker hitta felslut, formella och informella, från en lista över vanliga
Läs merGuds egenskaper och natur
Guds egenskaper och natur I diskussioner och debatter rörande kristen tro kommer man osökt in på frågor rörande universum och Gud som dess skapare. Som människor färgas vi givetvis av den världsbild vi
Läs merOm semantisk följd och bevis
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt
Läs merLikhetstecknets innebörd
Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:
Läs merLikhetstecknets innebörd
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking
Läs merFormell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall
Formell logik Föreläsning 1 Robin Stenwall Betygskriterier Mål Godkänt Väl godkänt Redogöra för grundprinciperna för härledning och översättning i sats- och predikatlogik. Utföra grundläggande översättningar
Läs merBakgrund. Bakgrund. Bakgrund. Håkan Jonsson Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige
Är varje påstående som kan formuleras matematiskt*) alltid antingen sant eller falskt? *) Inom Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige Exempel: 12 = 13 nej, falskt n! >
Läs mer3. Misstagsteorin. vårt moraliska språk är bristfälliga därför att de inte kan
3. Misstagsteorin Varför ska vi acceptera den semantiska premissen? Mackie menar att varje tolkning av våra moraliska utsagor som utelämnar de tre egenskaperna inte uttömmer de begrepp som vi faktiskt
Läs merExempel. Borde denna nya vetskap underminera vår tilltro till övertygelsen att Napoleon förlorade slaget?
1. Evolutionära undermineranden av moralen MORALENS EVOLUTION: FÖRELÄSNING 7 - Epistemologiskt underminerande 2. Harmans utmaning - Reduktion? 3. Reliabilism och koherentism Exempel Den generella tanken
Läs mer2. Kulturrelativism. KR har flera problematiska konsekvenser:
2. Kulturrelativism KR har flera problematiska konsekvenser: Ingen samhällelig praxis kan fördömas moraliskt, oavsett hur avskyvärd vi finner den. T.ex. slaveri. Vi kan inte heller meningsfullt kritisera
Läs merD. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.
Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v , den 24/
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v. 2.1.1, den 24/11 2014 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet
Läs merLogik: sanning, konsekvens, bevis
Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet
Läs merMängdlära. Kapitel Mängder
Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt
Läs merFöreläsningar. Gruppövning, grupp A: Måndag 26/ sal 318 Gruppövning, grupp B: Måndag 26/ sal 318
Föreläsningar 1. Onsdag 14/11 13-15 sal 203 2. Torsdag 15/11 13-15 sal 203 3. Måndag 19/11 13-15 sal 203 4. Tisdag 20/11 13-15 sal 203 5. Onsdag 21/11 13-15 sal 203 6. Torsdag 22/11 13-15 sal 203 Gruppövning,
Läs mer0. Meta-etik Grunderna
Vad är meta-etik? Vilka typer av frågor försöker man besvara inom metaetiken? 1. Semantiska. T. ex.: Vad betyder moraliska utsagor? 2. Metafysiska/ontologiska. T. ex.: Finns det moraliska fakta? 3. Kunskapsteoretiska.
Läs merFormell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall
Formell logik Föreläsning 1 Robin Stenwall Vad ingår i kursen? Kapitel 1-14 i kursboken (Barwise och Etchemendy) De avsnitt i kapitel 1-14 som är markerade med optional läses dock kursivt och kommer inte
Läs merPrimitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin
Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin Rasmus Blanck 0 Inledning En rad frågor inom logiken, matematiken och datavetenskapen relaterar till begreppet beräkningsbarhet. En del i kursen
Läs merHare Del I (Nivåer) H använder ofta benämningen "universell preskriptivism" för sin lära.
Huvudsyftet med delen: att beskriva uppdelningen i två nivåer för moraliskt tänkande, den kritiska och den intuitiva. Först dock lite bakgrund. H:s metaetik är en form av non-kognitivism som han själv
Läs merÖppna frågans argument
Öppna frågans argument Öppna frågans argument 1. Om godhet kan definieras som N så är frågan x är N, men är x go;? sluten. 2. För alla N gäller a; frågan x är N, men är x go;? är öppen. Slutsats: Godhet
Läs merDefinitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merTEORINS ROLL I DEN VETENSKAPLIGA KUNSKAPSPRODUKTIONEN
Disposition Motivering TEORINS ROLL I DEN VETENSKAPLIGA KUNSKAPSPRODUKTIONEN Kriterier för vad som bör kallas teori Exempel på definition Utveckling runt några begrepp Kriterier för god teori Lästips KJ
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Läs merPerspektiv på kunskap
Perspektiv på kunskap Alt. 1. Kunskap är något objektivt, som kan fastställas oberoende av den som söker. Alt. 2. Kunskap är relativ och subjektiv. Vad som betraktas som kunskap är beroende av sammanhanget
Läs merNaturalism. Föreläsning Naturalismen (tolkad som en rent värdesemantisk teori) är en form av kognitivism
Naturalism Föreläsning 5 Naturalismen (tolkad som en rent värdesemantisk teori) är en form av kognitivism Som säger att värdesatser är påståenden om empiriska fakta Värdeomdömen kan (i princip) testas
Läs merMatematiska begrepp kan ibland vara svåra att visualisera, exempelvis
Kajsa Bråting Tolka visualiseringar Vilken roll kan visualiseringar ha i skolmatematiken? Några elever på gymnasiet tar sig an ett historiskt problem som handlar om att utifrån en visualisering avgöra
Läs merKvasirealism och konstruktivism
Kvasirealism och konstruktivism I dagens metaetiska debatt finns en hel del filosofer som tänker sig att den rätta semantiska teorin måste vara antingen objektivismen eller någonting som i alla fall är
Läs merÖversikt. Tre typer av moraliska teorier: (1) Konsekvensialistiska (2) Deontologiska (3) Dygdetik
Översikt Tre typer av moraliska teorier: (1) Konsekvensialistiska (2) Deontologiska (3) Dygdetik En version av deontologiska teorier är kontraktualismen. Scanlon försvarar en form av denna. Översikt Vad
Läs merLite om bevis i matematiken
Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis
Läs merMoralfilosofi. Föreläsning 2
Moralfilosofi Föreläsning 2 Vi har noterat de empiriska observationerna (1) att olika kulturer, samhällen (etc.) har olika värderingar och (2) att det dock finns vissa värderingar som alla har gemensamt
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merIckestandardanalys ett didaktiskt knep?
Fredrik fredrikengstrom@gmailcom Mittuniversitetet Matematikbiennalen 2006, Malmö fredrikengstrom@gmailcom Mittuniversitetet 1 Introduktion Vad är ickestandardanalys? 2 Historisk bakgrund Newton vs Robinson
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Disjunktionsegenskaper och existensegenskaper inom intuitionistisk logik av Iris van Rooijen 2012 - No 17 MATEMATISKA
Läs merMoralfilosofi. Föreläsning 7
Moralfilosofi Föreläsning 7 Värdeontologi Ontologi: allmänt Medan semantik handlar om språket, så kan man säga att ontologi handlar om hur verkligheten är beskaffad Ontologi generellt kan sägas vara läran
Läs merAlgebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Läs merMoralisk oenighet bara på ytan?
Ragnar Francén, doktorand i praktisk filosofi Vissa anser att det är rätt av föräldrar att omskära sina döttrar, kanske till och med att detta är något de har en plikt att göra. Andra skulle säga att detta
Läs merFöreläsningar. Gruppövning, grupp A: Måndag 26/ sal 318 Gruppövning, grupp B: Måndag 26/ sal 318
Föreläsningar 1. Onsdag 14/11 13-15 sal 203 2. Torsdag 15/11 13-15 sal 203 3. Måndag 19/11 13-15 sal 203 4. Tisdag 20/11 13-15 sal 203 5. Onsdag 21/11 13-15 sal 203 6. Torsdag 22/11 13-15 sal 203 Gruppövning,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merVärdeontologi. Ontologi: allmänt. Föreläsning 7. Från semantik till ontologi
Värdeontologi Föreläsning 7 Ontologi: allmänt Medan semantik handlar om språket, så kan man säga att ontologi handlar om verkligheten hur verkligheten är beskaffad Ontologi kan sägas vara läran om det
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Läs merDEN TYSKA IDEALISMEN //IB 2017
DEN TYSKA IDEALISMEN //IB 2017 I. IDEALISM ALL VERKLIGHET ÄR BEROENDE AV ETT TÄNKANDE MEDVETANDE DET FINNS INGEN VERKLIGHET SOM EXISTERAR OBEROENDE AV ETT KUNSKAPSSUBJEKT II. DEN TYSKA IDEALISMENS URSPRUNG
Läs merSanning och lögnare. Rasmus Blanck VT2017. FT1200, LC1510 och LGFI52
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Vad är sanning? Vi verkar använda begreppet utan större problem till vardags. Det kanske vore intressant att ha en definition: P är sann om och endast
Läs merMoralfilosofi. Föreläsning 3
Moralfilosofi Föreläsning 3 Om minimiuppfattningens två krav är logiska krav så måste de ingå (på ett eller annat vis) i alla moralteorier (en teori som står i strid med dessa krav skulle inte kunna räknas
Läs mer13. CHURCH S OCH GÖDELS SATSER. KORT ORIENTERING OM BERÄKNINGSBARHET, EFFEKTIV UPPRÄKNELIGHET OCH AVGÖRBARHET.
81 13 CHURCH S OCH GÖDELS SATSER KORT ORIENTERING OM BERÄKNINGSBARHET, EFFEKTIV UPPRÄKNELIGHET OCH AVGÖRBARHET Våra beräkningar skall utföras på symbolsträngar, där symbolerna tas från ett givet alfabet
Läs merFTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera en argumentation II
FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera en argumentation II Dagens upplägg 1. Allmänt om argumentationsutvärdering. 2. Om rättfärdigande av premisser. 3. Utvärdering av induktiva argument: begreppen relevans
Läs merIcke- deskrip+v kogni+vism
Icke- deskrip+v kogni+vism Kogni+vism non- kogni+vism Problem för non- kogni+vism: Avviker från hur vi använder moraliskt språk Förklara hur vi kan göra moraliska slutledningar Problem för kogni+vism:
Läs merLogik och modaliteter
Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.
Läs merOm ordinaltal och kardinaltal
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om ordinaltal och kardinaltal (Ännu ofullständig version) Mängdteorin kan ses som grunden för all matematik Här skall
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merExplorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A
Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga
Läs merSANNING eller fake 1
SANNING eller fake 1 LITE DEFINITIONER Korrekt: Det som hänför sig till verkligheten (motsats: Inkorrekt) Avgörs genom empiriska observationer Personliga Sant: Logisk sanning (motsats: falskt) Avgörs genom
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merMening. Anna Petronella Foultier
Vetenskaplighet och forskningsetik Mening Anna Petronella Foultier Vad är skillnaden mellan naturvetenskaper och kulturvetenskaper (finns det en)? Vad är mening? Vad är mening inom din disciplin? Klassisk
Läs merMoralfilosofi. Föreläsning 5
Moralfilosofi Föreläsning 5 Naturalism Naturalism Form av kognitivism Naturalismen säger att värdesatser är påståenden om empiriska fakta Värdeomdömen kan (i princip) testas empiriskt och vara sanna eller
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs merSemantik och pragmatik (serie 5)
Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 41 Korsning av två egenskaper E 1
Läs merBild 1. Bild 2. Bild 3. Kuhns delade epistemiska värden
Bild 1 Om man accepterar Kuhns teori kan man ändå tala om distinktionen mellan pseudovetenskap och vetenskap? Det är ju paradigmet som avgör vad som är vetenskap. Bild 2 Även om tanken att man skall definiera
Läs merCentralt innehåll. I årskurs 1.3
3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.
Läs merSubjektivism & emotivism
Subjektivism & emotivism Föreläsning 4 Enligt Rachels så är grundtanken bakom etisk subjektivism att våra moraliska åsikter grundar sig på våra känslor Samt att det inte finns någonting sådant som objektivt
Läs merMatematiken. - Var finns den? Ola Helenius. NCM, Göteborgs universitet Avd. för Matematik, Örebro universitet
Matematiken - Var finns den? Ola Helenius ola.helenius@ncm.gu.se NCM, Göteborgs universitet Avd. för Matematik, Örebro universitet NCM Nationellt Centrum för Matematikutbildning Matematiken var finns den?
Läs merExplorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Läs merMoralfilosofi. Föreläsning 4
Moralfilosofi Föreläsning 4 Subjektivism & emotivism Enligt Rachels så är grundtanken bakom etisk subjektivism att våra moraliska åsikter grundar sig på våra känslor Samt att det inte finns någonting sådant
Läs mer7. Om argumentet är induktivt: Är premisserna relevanta/adekvata för slutsatsen?
FTEA12:2 Föreläsning 4 Att värdera en argumentation II Inledning Förra gången konstaterade vi att argumentationsutvärdering involverar flera olika steg. Den som ska värdera en argumentation behöver åtminstone
Läs merHUME HANDOUT 1. Han erbjuder två argument för denna tes. Vi kan kalla dem "motivationsargumentet" respektive "representationsargumentet.
HUME HANDOUT 1 A. Humes tes i II.iii.3: Konflikter mellan förnuftet och passionerna är omöjliga. Annorlunda uttryckt: en passion kan inte vara oförnuftig (eller förnuftig). Han erbjuder två argument för
Läs merHare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. "reflektionsprincipen" (dock ej av H). Den säger följande: för att
Syftet med denna del är att utveckla och försvara en form av preferensutilitarism, vilken kan identifieras med kritiskt tänkande. Den huvudsakliga framställningen är i kap. 5-6. En senare kort sammanfattning
Läs merBetyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik
Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs
Läs merFöreläsningar. Gruppövning, grupp A: Måndag 26/ sal 318 Gruppövning, grupp B: Måndag 26/ sal 318
Föreläsningar 1. Onsdag 14/11 13-15 sal 203 2. Torsdag 15/11 13-15 sal 203 3. Måndag 19/11 13-15 sal 203 4. Tisdag 20/11 13-15 sal 203 5. Onsdag 21/11 13-15 sal 203 6. Torsdag 22/11 13-15 sal 203 Gruppövning,
Läs merVad är matematik? Svaret kanske verkar enkelt. Vi vet alla att det är
11 Stefan Buijsman Vad är matematik? Efter ett kortare uppehåll fortsätter nu artikelserien Mattetalanger. Denna gång förs ett filosofiskt resonemang om vad matematik är. Författaren tar både Platon och
Läs merTALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski
TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski För exakt 10 år sedan publicerade Andrew Wiles sitt bevis av Fermats Stora Sats. Nyheten om hans resultat väckte enorm uppmärksamhet i hela världen. Vägen till lösningen
Läs mer0.1 Antalet primtal är oändligt.
0.1 Antalet primtal är oändligt. I Euklides Elementa (ca 300 f. kr.) påstås (och bevisas) att antalet primtal är oändligt. För att förstå påståendet och beviset måste vi först försöka klargöra betydelsen
Läs merUndervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande:
Matematik Skolverkets förslag, redovisat för regeringen 2010-09-23. Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans
Läs mer