Det är så det ska vara!

Transkript

1 Examensarbete Det är så det ska vara! en studie av några lärares syn på och genomförande av individualisering i matematikundervisningen Carola Karlsson Therése Hjelmesten Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Grundnivå 15hp Kurskod: GO7483

2 Det är så det ska vara! - En studie av några lärares syn på och genomförande av individualiserig i matematikundervisningen That's how it should be! - A study of some teachers' views and implementation of individualized instruction in mathematics. Abstrakt Syftet med denna studie är att studera några utvalda lärares syn på individualisering i matematikundervisningen för årskurs 4-6. Denna studie belyser och analyserar hur lärarna i studien ser på individualisering och vilka möjligheter och begränsningar de upplever, vad lärare grundar sin individualisering på och hur de sedan planerar och anpassar den i sin matematikundervisning. Med hjälp av en urvalsenkät, där lärare svarade kortfattat på ett fåtal frågor angående deras individualisering i matematikundervisning, valdes lärare ut till sex olika kvalitativa intervjuer. De kvalitativa intervjuerna genomfördes för att få en djupare förståelse för lärares syn, förhållningssätt, målsättningar och planeringar med individualisering. De intervjuade lärarna har alla en god medvetenhet om individualisering och genomför den framförallt genom olika arbetsmoment och arbetsmaterial i sin undervisning. För att individualisera i sin matematikundervisning använder sig lärarna i studien av en stor variation av arbetsmoment och arbetsmaterial för att innehålls-, omfångs-, nivå-, hastighets- och materialindividualisera. Trots detta ser de individualisering främst som något som förekommer i elevernas enskilda arbete och inte i lika hög grad som anpassning av hela undervisningssituationen. Nyckelord Individualisering, matematik, undervisning, kartläggning, individualiseringssätt. Keywords Individualization, mathematics, education, identification, individualization way. Carola Karlsson Therése Hjelmesten Antal sidor: 42 i

3 Innehållsförteckning 1. INLEDNING SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR Syfte Frågeställningar Avgränsning TEORETISK BAKGRUND Lärandeteorier Matematik Ämnet matematik Kartläggning av matematisk kunskap Planering av matematikundervisningen Undervisning i matematik Individualisering Individuella skillnader Lärstilar, lärstilsfaktorer och individualiseringsfaktorer Individualiseringssätt Individualisering i matematikundervisningen Individualiseringens betydelse i matematikundervisning Studiens teoriska ramverk METOD Val av metod Etiska aspekter Urval Urvalsenkät Intervjuer Genomförande och bearbetning Urvalsenkät Intervjuer Validitet och reliabilitet RESULTAT Synsätt, möjligheter och begränsningar Synsätt på individualisering Möjligheter och begränsningar Kartläggning Kartläggning inför arbetsområden Underhands kartläggning Kartläggning efter arbetsområden Planering, genomförande och anpassning Planering och genomförande Anpassning ii

4 6. ANALYS Synsätt, möjligheter och begräsningar Synsätt på individualisering Möjligheter och begräsningar Kartläggning Kartläggning inför arbetsområden Underhandskartläggning Kartläggning efter arbetsområden Planering, genomförande och anpassning Planering och genomförande Anpassning DISKUSSION Metoddiskussion Resultatdiskussion Implikationer för undervisningen Vidare forskning KÄLLFÖRTECKNING BILAGOR Bilaga 1 Intervjuguide Bilaga 2 Brev till lärare Bilaga 3 Brev till rektor Bilaga 4 Matematikutvecklingsschema Bilaga 5 Kunskapsblommor i matematik iii

5 1. Inledning En av skolans viktigaste uppgifter, enligt styrdokumenten, är att individualisera undervisningen så att den anpassas efter varje elevs förutsättningar och behov (Skolverket, 2006). Individualisering är ett begrepp som kan tolkas på många olika sätt och där tillämpningen därför varierar och det finns flera sätt att utforma en individualiserad undervisning. Detta gör det intressant att se hur verksamma lärare ser på individualisering. Individualisering som begrepp fanns med och förtydligades, som ett eget avsnitt under olika undervisningsformer och arbetssätt, i de tidigare läroplanerna, Lgr62, Lgr69, Lgr80. I Lgr62 och Lgr69 återfanns individualisering under avsnittet undervisningens principer där nyckelorden motivation, aktivitet, konkretion, individualisering och samarbete utgör olika rubriker (Lindkvist, 2003). Genom att ange individualisering som en arbetsform fanns det en allmän förhoppning om att lösa de svårigheter som uppstod vid grundskolans införande Lärarna blev då tvungna att individualisera sin undervisning i en skola för alla eftersom alla elever mötte samma utbildning och individualiseringen inte längre bestod av olika skolformer eller att gå om en årskurs (Lindkvist, 2003; Löwing & Kilborn, 2002). Dessa tankar utvecklas vidare i Lgr80 där elevens erfarenheter och kunskaper som utgångspunkt i undervisningen får ytterligare betydelse (Lindkvist, 2003). Individualisering måste så långt det är praktiskt möjligt få prägla arbetet. Den innebär en anpassning av stoffet till olika elever, en intresseindividualisering. Den innebär också att olika elever får olika lång tid för att lära sig något. Ett och samma arbetssätt passar inte alla elever. Också arbetssättet måste individualiseras inom de ramar som kravet på en allsidig träning ger. Det finns inget studiesätt, som är det bästa för alla elever. (Skolöverstyrelsen, 1980:49-50) Stensmo (2008) menar att utifrån vad som står i de tidigare läroplanerna, bland annat Lgr80, om individualisering, kan man utläsa att det innebär en variation av undervisningens innehåll, former, tid, studiesätt och med avseende på elever med behov av särskilt stöd. I den nuvarande läroplanen, Lpo94 och den kommande läroplanen, Lgr11 nämns aldrig individualisering som ett konkret begrepp, utan där anges istället normerna för en likvärdig utbildning, vilket ändå indirekt förutsätter en undervisning som är individualiserad (Skolverket, 2006; 2010). Individualisering är ett relevant och viktigt ämne, eftersom det har varit och är en viktig del av skolans uppdrag och föreskrifter om hur undervisningen ska utformas. I den nuvarande läroplanen, Lpo94 står det under föreskrifterna om en likvärdig utbildning att: Undervisningen skall anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den skall med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling. (Skolverket, 2006:4) Enligt Lpo94 är alltså lärare ålagda att och skall utgå från varje enskild individs behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande (Skolverket, 2006:12). Individualisering är som tidigare nämnts ett begrepp som kan tolkas på flera olika sätt och som kan utformas på olika sätt och i varierande grad och detta är något vi har uppmärksammat genom egna erfarenheter och genom den verksamhetsförlagda utbildningen. Hur lärare tolkar begreppet individualisering tror vi påverkar planeringen och valet av metoder i matematikundervisningen och därför finner vi det intressant att undersöka vad individualisering innebär för olika lärare och hur den kommer till uttryck i undervisningen. Något vi har uppmärksammat under vår verksamhetsförlagda utbildning och andra egna erfarenheter är att elever i matematiksvårigheter ofta blir en uppgift för specialläraren eller specialpedagogen och deras undervisning blir då ofta 1

6 något som sker utanför klassrummet. Elever med stor fallenhet för matematik får då enligt vår tidigare erfarenhet bara fler likadana uppgifter och de kan därför uppleva frustration över att behöva vänta in resten av klassen och riskerar då att tappa intresset för ämnet. Vi vill därför i denna studie undersöka hur individualiseringen implementeras i matematikundervisningen. 2

7 2. Syfte och frågeställningar 2.1. Syfte Syftet med denna studie är att studera några utvalda lärares syn på individualisering i matematikundervisningen för årskurs Frågeställningar Syftet mynnar ut i frågeställningar som: Hur ser lärarna i studien på individualisering inom matematikundervisningen och vilka möjligheter och begränsningar ser de med individualiseringen? Hur skaffar sig lärarna i studien underlag för att planera, genomföra och anpassa individualiseringen i sin matematikundervisning? Hur planerar, genomför och anpassar lärarna i studien sin matematikundervisning så att den gynnar alla elever? 2.3. Avgränsning Eftersom studien skrivs inom ramen för matematikdidaktiken kommer den endast att studera individualisering inom matematikundervisningen och inte individualisering allmänt i skolan. Vi har även valt att bara studera årskurs 4-6 i grundskolan, eftersom vi tror att det eventuellt krävs mer för att individualisera i dessa årskurser, då skillnaderna och spridningen av prestationer och kunskapsnivåer hos eleverna, enligt Imsen (2006), är större i senare årskurser än i de allra tidigaste. En ytterligare avgränsning är att studien endast kommer att undersöka individualiseringen i matematikundervisningen utifrån ett lärarperspektiv. Genom detta perspektiv tror vi att den utförligaste kunskapen om individualiseringen i matematikundervisningen kan fås. 3

8 3. Teoretisk bakgrund Här beskrivs den teoretiska bakgrunden som har betydelse för studien. Bakgrunden beskriver olika lärandeteorier, matematikundervisningens förutsättningar och individualisering i ett historiskt och nutida perspektiv, vilket leder fram till teorier runt individualiseringen i matematikundervisningen. Bakgrunden kommer att belysa olika teorier som definierar och ramar in individualisering i matematikundervisningen Lärandeteorier Allt lärande och all undervisning har ett innehåll, men det finns flera olika teorier om vad kunskap är och hur lärandet går till. De olika teorierna har olika syn på kunskap och på om det är yttre beteende eller inre processer som dominerar lärandet samt olika teorier om vad som driver lärandet, det vill säga vad som är motivationen. Teorierna har även olika uppfattningar om lärarens och de lärandes roll i lärandet (Imsen, 2006). Den amerikanska filosofen och pedagogen John Dewey menar att kunskap är något som är sammanflätat med hela livet. Dewey betonar den individuella utvecklingen och menar att kunskap är något som varje enskild person erövrar genom att vara aktiv och ansvarstagande. Den progressiva pedagogiken, vilken Dewey förknippas med, handlar om att lärares roll är att fungera som en handledare i elevers erövring av kunskap. Lärare ska leda elever på rätt kurs i den personliga utvecklingen och måste därför visa respekt för elevers erfarenheter och förutsättningar. Erfarenheter sker inte enbart i huvudet på människor, utan alltid i en interaktion med den omgivning som finns i vilken erfarenheterna hela tiden ställs inför nya erfarenheter. Det är en process där tidigare erfarenheter är nyckeln och utgångspunkten för erövrande av nya erfarenheter och därmed vidgas elevernas vyer av sig själv och sin omvärld. Dewey poängterar vikten av att elevers världsbild därför måste vara utgångspunkten i undervisningen så att elever själva kan, genom handledning av lärare, erövra nya erfarenheter och kunskaper. Enligt Dewey är elevers utveckling överordnat innehållet i undervisningen och han menar att såväl mål som medel ska vara flexibla så att det kan anpassas till elevers förutsättningar i undervisningssituationen (Lindkvist, 2003). Den ryske psykologen Lev Vygotskij menar också att i en miljö som kännetecknas av aktivitet och problemlösning genom experiment och olika prövningar, möjliggörs för elever att själva erövrar sin kunskap. Eleverna har en forskarroll där de organiserar sitt eget lärande och därmed lär sig att ta ansvar och utvecklar ett självständigt tänkande. En central del i Vygotskijs lärandeteori är att individen bara har möjlighet att tillgodose sig ny kunskap inom den proximala utvecklingszonen, vilken betyder att ny kunskap finns inom räckhåll för vad individen har förståelse för (Lindkvist, 2003; Strandberg, 2006). Den proximala utvecklingszonen är en sådan period i lärandet då elever kan utföra nästa nivås uppgifter med hjälp av andra medan de fortfarande är kvar i den tidigare nivån. När de sedan klarar uppgifterna helt självstädigt är de uppe på nästa utvecklingsnivå och inne i ny proximal utvecklingszon (Egidius, 2005). Språket har en central roll i denna lärandeprocess, eftersom det är ett socialt redskap för överföring av kultur och ett kognitivt redskap för reflektion och minne. Vygotskijs syn på lärande inbegriper både ett individuellt och ett socialt perspektiv genom ett sociokulturellt lärande där elever lär tillsammans och i interaktion med varandra (Imsen, 2006; Dysthe, 1996). Konstruktivismen är ett annat sätt att beskriva lärande och undervisning som enligt Engström (1998) har haft stor betydelse inom matematikdidaktiken. Enligt konstruktivismen är kunskap inte något som finns för sig själv, utan den är något som är konstruerat av människor för att kunna förstå sin omvärld. Individen konstruerar själv aktivt kunskap utifrån egna erfarenheter (Imsen, 2006). Inlärning ses som en aktiv process hos en person och kunskap är inget som kan ges till någon, däremot kan till exempel lärare påverka eleverna i inlärningen genom sin undervisning (Engström, 1998). Den schweiziske psykologen Jean Piaget var en 4

9 kunskapsteoretiker som har haft stort inflytande på konstruktivismen. Han menar att personer, utifrån tidigare erfarenheter, kunskap och så kallade mentala scheman, bygger upp ny kunskap och förståelse genom en assimilation, där ny kunskap läggs till den gamla eller genom ackommodation, då personen förändrar sin nuvarande kunskap eller nuvarande scheman när det blir nödvändigt (Jaworski, 1998). En inriktning inom konstruktivismen är socialkonstruktivismen, som inte förnekar att det finns lärprocesser inom en person, men som mer ser inlärningen som en social konstruktion som skapas i ett socialt sammanhang (Illeris, 2007). Flera matematikdidaktiker anser att matematik bör ses som en social konstruktion (Engström, 1998), vilket även kan tolkas utifrån kursplanen för matematik där det står att: Matematik är en levande mänsklig konstruktion som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition (Skolverket, 2008:27). Undervisning påverkas och begränsas av det sociala sammanhanget som den sker i, där elever skapar både sin egen individuella förståelse och kunskap och där elever utmanar och utvidgar sin egen kunskap tillsammans med lärare och klasskamrater samt skapar en gemensam kunskap tillsammans med dem (Jaworski, 1998). Samtalet har en avgörande roll för konstruktionen av både individuell och gemensam kunskap, eftersom det är till stor del genom språket som vårt tänkande och lärande i matematik utvecklas. Därför är samtalet en viktig del av en undervisning i ett socialkonstruktivistiskt perspektiv (Ernest, 1998). Synen på elevers inlärning inom denna inriktning av konstruktivismen stödjer sig ofta på Vygotskijs teori om språkets betydelse som ett socialt redskap i lärandeprocessen (Imsen, 2006) Matematik Matematik är en av våra äldsta vetenskaper och vår vardag och vårt samhälle förutsätter och kräver matematikkunskaper för att medborgarna ska ha möjlighet att förstå och delta i olika beslutsprocesser. Författarna till rapporten Lusten att lära med fokus på matematik (Skolverket, 2003) menar att det är en demokratisk rättighet. Matematik är ett ämne som bidrar till självförtroende och kompetens och som gör det möjligt att förstå och därmed kunna delta i samhällets beslutsprocesser. Matematik är därför ett betydelsefullt ämne i skolan av den orsaken att det är ett viktigt tankeinstrument i både vardag och samhälle (Skolverket, 2003). Skolan har i uppdrag att utveckla elevers matematikkunskaper så att de kan följa och delta i samhället genom att kunna tolka och använda information samt ha förståelse för processerna (Skolverket, 2008) Ämnet matematik Nationalencyklopedin (2010) definierar matematik som en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling ( Genom att matematiken är just abstrakt och frigjord från det konkreta ursprunget medför det att den kan generaliseras och kan tillämpas i flera olika situationer, vilket är en av matematikens styrkor ( Även i kursplanen för matematik (2008) beskrivs matematiken som ett ämne vars karaktär innebär att all matematik innehåller någon form av abstraktion kursplanen menar att redan ett naturligt tal är en sådan abstraktion (Skolverket, 2008:27). Ett av flera sätt att beskriva idén om matematikkunskaper är att den består av fem komponenter, vilka är begreppsförståelse, räknefärdighet, problemlösningsförmåga, matematiskt-logiskt resonemang och en positiv inställning till matematik (Skolverket, 2009; Ryve, 2006). Matematik är ett ämne med flera olika delmoment, bland annat aritmetik, bråk och decimaltal, talmönster och formler, mätning, geometri samt statistik, vilka ofta bygger på gemensamma räknelagar och är därmed sammanlänkade med varandra. Delmomenten formar matematikens struktur som gör att varje moment kräver olika typer av förkunskaper, eftersom abstraktionsnivån hela tiden stiger (Skolverket, 2009). Målet med lärandet i matematik är att lära sig använda och upptäcka olika abstraktioner och när mentala konstruktioner görs och abstraktioner förverkligas växer den matematiska kunskapen hos eleven (Rystedt & Trygg, 2010; Jaworski, 5

10 1998). Ett sätt att uppnå målet är att genom konkretisering tydliggöra abstraktionen för elever och koppla det abstrakta till deras veklighet och erfarenheter. För att elever ska kunna göra en koppling mellan det abstrakta och det konkreta är det dock viktigt att de är medvetna om vad som avses att abstraheras (Löwing, 2006). Ofta är det så att den som är duktig i matematik allmänt uppfattas som en kompetent person (Skolverket, 2003) och att matematik är ett ämne som många har ett känslomässigt förhållande till, allt ifrån nyfikenhet till skräck och ångest (SOU, 2004:97). Författarna till Statens offentliga utredning (2004:97) och Ahlberg (2000) skriver att om till exempel föräldrar eller någon annan har och visar en negativ bild av matematik påverkas matematikutbildningen genom att det skapas en ny generation med negativ inställning till ämnet. Vuxnas negativa upplevelser och erfarenheter av matematik överförs lätt till nästa generation (Skolverket, 2003). Författarna till utredningen Statens offentliga utredning (2004:97) menar att en positiv inställning till ämnet är viktigt för lärandeprocessen och de är övertygade om att det behövs en satsning för att motverka negativa attityder så att de onda cirklarna bryts Kartläggning av matematisk kunskap Matematik är alltså ett ämne som har en unik uppbyggnad, där varje moment kräver särskilda förkunskaper, eftersom abstraktionen hela tiden stiger och kunskaper bygger på vartannat och återkommer. För att möjliggöra individualiseringen och därmed optimera varje elevs inlärning behöver lärare kartlägga sina elevers kunskaper och individuella behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande (Löwing & Kilborn, 2002; Skolverket, 2006:12). Löwing och Kilborn (2002) skriver att den vanligaste metoden för att kartlägga var varje elev befinner sig i sin kunskapsutveckling är att använda sig av olika former av diagnoser, exempelvis fördiagnos, underhandsdiagnos, efterdiagnos eller översiktsdiagnos (MSI, 2009). Med hjälp av olika diagnosmaterial kan lärare på ett relativt enkelt sätt se och följa sina elevers utveckling och diagnosmaterial är tänkta att användas av lärare för att kartlägga sina elevers matematikutveckling. Diagnosen ska stå i relation till de angiva målen i styrdokumenten och kartläggningen ska syfta till att vara formativ, det vill säga framåtsyftande. På så vis ska diagnosen ge läraren underlag för planering av undervisningen och individualiseringen i matematik såväl innehållsmässigt som metodmässigt i relation till sina elevers olika förkunskaper, intressen och personliga förutsättningar (Skolverket, 2009; Löwing & Kilborn, 2002; MSI, 2009). För att diagnosen ska fylla sitt syfte är det viktigt att den mäter rätt saker och att lärare har god kännedom om både stoffet och elevernas vanligaste tankeformer (Löwing & Kilborn, 2002). För att få en formativ och diagnostisk undervisning är det viktigt att inte bara ha skriftliga diagnoser, utan även ha en kontinuerlig dialog för att följa och följa upp elevens kunskapsutveckling och att läraren har kunskap om hur undervisningen kan anpassas efter elevernas individuella behov (MSI, 2009). En problematik i kunskapskartläggningen som Vygotskij lyfter är att skolan har koncentrerat och intresserat sig på att kartlägga vilken utvecklingsnivå som eleven befinner sig på, istället för att koncentrera och intressera sig för vilka möjligheter som finns med elevens framtida lärande (Dysthe, 1996). En svaghet med diagnoser är alltså att de mer visar eventuella brister och svårigheter än kartlägger elevens kunskapsrepertoar (Emanuelsson m.fl. red, 1995). Läraren måste vara medveten om syftet med diagnosen och på vilket sätt den ska följas upp, det vill säga hur läraren använder sig av kunskapen han/hon har fått av diagnosen (Löwing & Kilborn, 2002). Därför är det viktigt, som Löwing och Kilborn (2002) poängterar, att diagnosens uppbyggnad är logisk och att den mäter rätt saker. Löwing och Kilborn (2002) skriver vidare att de upplever en oro över att det råder en allmän uppfattning om att det är fult att diagnostisera. Författarna understryker att kunskapsdiagnos är en del av lärares skyldighet att utföra i det dagliga arbetet för att få reda på elevens individuella behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande (Löwing & Kilborn, 2002:163). Författarna menar att diagnostiseringens syfte är att individualisera och därmed optimera undervisningen och elevens inlär- 6

11 ning. Diagnoser hjälper lärare att tänka efter före och diagnosen är det första steget för en individualisering (Löwing & Kilborn, 2002:164; Löwing, 2006) Planering av matematikundervisningen Löwing och Kilborn (2002) skriver att lärare ska se sin planering av matematikundervisning som ett sätt att skapa och få en kontinuitet i lärandeprocessen för eleverna. De menar att ett vanligt sätt att planera undervisningen är att endast utgå ifrån lärobokens struktur och mål, något som de menar kan bero på att styrdokumentens mål upplevs som allt för övergripande och svårtolkade. När lärare utgår ifrån läroboken vid planering av matematikundervisningen menar Ahlberg (2000) att läroboken styr undervisningen så att den mer handlar om vilka moment eller sidor elever ska arbeta med. Undervisningen ska istället utgå ifrån styrdokumenten och elevers förutsättningar och kunskaper. Löwing och Kilborn (2002) samt Malmer (2002) menar också att läroboken inte får bli den enda utgångspunkten för planeringen av undervisningen, utan att det också krävs en tydlig planering med utgångspunkt även i styrdokumenten och en utvärdering av såväl målen som undervisningen. Det finns två olika förhållningssätt till planeringen av matematikundervisningen, där det ena är att läromedlet står för måltolkning, arbetsmetoder och uppgiftsval medan i det andra förhållningssättet utgår lärare istället ifrån kursplanens strävans- och uppnåendemål för att med en variation av olika slags läromedel och arbetssätt nå dess mål (Skolverket, 2003). I lärares planering av matematikundervisningen kan Skolverkets (2010) riktlinjer om lokala pedagogiska planeringar vara exempel på utgångspunkt för lärares planering. Den lokala pedagogiska planeringen betyder att lärare utifrån styrdokumenten tolkar och identifierar vilka kunskaper som eleverna ska utveckla och därefter gör en planering för undervisningen. Planeringen ska beskriva målen för undervisningen utifrån strävansmålen, innehållet, arbetsmetoder och redovisningssätt, där bedömningens inriktning och mål att uppnå i kursplanen är utgångspunkter för bedömningen av elevernas kunskaper. Den lokala pedagogiska planeringen bör även skrivas så att den blir tydlig för eleverna och de förstår vad de förväntas lära sig, hur deras lärande ska gå till samt hur deras kunskaper kommer att bedömas (Skolverket, 2010) Undervisning i matematik Löwing (2006) beskriver i sin bok Matematikundervisningens dilemman en generell modell av hur en matematiklektion ofta är upplagd: Start med en kort genomgång, för långa genomgångar orkar eleverna inte med. Kontroll av eventuell läxa. Eget arbete för eleverna, gärna nivåindelat. Avslutning med en summering av lektions arbete och sedan ger läraren eventuellt en ny läxa. Modellen är till synes enkel att följa och den kan kopplas till det författarna till Statens offentliga utredning Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens (SOU 2004:97) beskriver om att en allmän uppfattning är att matematik är enkelt att undervisa i. Löwing och Kilborn (2002) skriver med en underton av ironi att det är ju bara att följa en lärobok och sedan låta eleverna träna tills de behärskar stoffet ifråga (2002:74), vilket modellen ovan återger. Både Löwing och Kilborn (2002), samt författarna till utredningen Att lyfta matematiken, dementerar uppfattningen att det är enkelt att undervisa i matematik och hävdar att verkligheten bevisar motsatsen att undervisa i matematik är en enorm utmaning (SOU, 2004:97). Granskning har ändå visat att matematik för både lärare och elever ofta är just det som står i läroboken och att den har en mycket dominerande roll i undervisningen, framförallt från årskurs 4-5 och uppåt (Skolverket, 2003). Om läroboken får en sådan här alltför dominerande roll finns det en risk för att eleverna fokuserar på sidornas antal och börjar tävla med 7

12 varandra om antal gjorda sidor, istället för att fokusera på undervisningen och dess innehåll. Därmed finns det risk att elever inte uppmärksammar sitt eget lärande eller förstår och utvecklar begrepp och resonemang (Ahlberg, 2000; Skolverket, 2003). Ahlberg (2000) beskriver att när lärare använder någon typ av lärobok i matematikundervisningen finns det tre olika förhållningssätt till hur läroboken används. Några lärare har ett förhållningssätt där de använder läroboken som den enda utgångspunkten och där undervisningsinnehållet inte tar sin utgångspunkt i elevers erfarenheter. Andra lärare har också läroboken som den huvudsakliga utgångspunkten, men försöker också att till viss del utgå från elevers tankar och idéer. Ett tredje förhållningssätt är de lärare som helt tar sin utgångspunkt i elevers erfarenheter och inte har någon särskild lärobok när de planerar och genomför undervisningen. Språket har en central betydelse i matematikundervisningen, eftersom det är med hjälp av språket som vi kan ta till oss abstrakt kunskap. Språket blir en hjälp för att utveckla, förstå och använda matematikens begrepp, samband och operationer (Bratt & Wyndhamn, 1996). Elever behöver därför ges tillfälle att samtala kring matematik i undervisningen för att utveckla sitt matematiska språk, sitt matematiska tänkande, sin förståelse och språket gör även att eleven blir medveten om sitt kunnande och hur den lär. Den undervisning där elever arbetar både individuellt och i olika gruppkonstellationer och där elever och lärare gemensamt samtalar, reflekterar och redovisar olika sätt att tänka och lösa matematiska uppgifter, där undervisningen utgår från elevernas tankar och eleverna blir aktiva, innehåller de faktorer som står i rapporten Lusten att lära som viktiga för elevers lärande i matematik (Skolverket, 2003). Läroboken får inte styra matematikundervisningen så att elever enbart räknar enskilt om målen i matematik ska uppnås, eftersom lärares roll då blir ineffektiv när de ska handleda sina elever i samma innehåll, men vid olika tillfällen (Emanuelsson m.fl. red, 1996). Lärares roll är istället att leda och organisera matematikundervisningen så att elever blir aktivt delaktiga. Lärare måste skapa lärandemiljö där innehållet är både relevant och begripligt för eleverna och därför får alltså inte lärandemiljön bli för monoton genom att bara utgå ifrån läroboken, utan behöver inrymma variation och flexibilitet (Skolverket, 2003). De undervisningssituationer som enligt rapporten Lusten att lära - med fokus på matematik kännetecknades av variation i innehåll och arbetsform och där lärare haft ett tydligt, medvetet och genomtänkt agerande var de där elever mest gav uttryck för lust att lära. Här fanns utrymme för både känsla, tanke, glädje och engagemang hos både lärare och elever (Skolverket, 2003) Individualisering I nuvarande Lpo94 och den kommande Lgr11, anger de nationella målen normerna för en likvärdig utbildning (Skolverket, 2006; 2010). Läroplanerna framhäver vikten av att likvärdig utbildning inte innebär att utbildningen behöver utformas likadant, utan det är viktigt att ta hänsyn till elevers olika förutsättningar och behov samt att det finns olika vägar för att nå målen (Skolverket, 2006; 2010). Båda läroplanerna skriver även att lärare skall organisera och genomföra arbetet så att eleven utvecklas efter sina förutsättningar och samtidigt stimuleras att använda och utveckla hela sin förmåga, vilket skall göras genom att lärare skall utgå från varje enskild individs behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande (Skolverket 2006:12; 2010:11). Som tidigare nämnts benämner dessa två läroplaner aldrig individualisering som ett konkret begrepp, utan beskriver istället innebörden av en likvärdig utbildning som både förutsätter och visar vägen till en undervisning som är individualiserad. Trots att individualisering inte benämns som ett begrepp i läroplanerna, Lpo94 och Lgr11, överrensstämmer beskrivningarna där om likvärdig utbildning med det Löwing (2006) menar att individualisering betyder, nämligen att lärare anpassar sin undervisning till varje elevs individuella förmåga, behov och förkunskaper. 8

13 3.4. Individuella skillnader Elever kan vara olika på nästan obegränsat många olika sätt. Individuell variation är en viktig del av den moderna pedagogiska psykologin. De individuella skillnaderna som ofta lyfts fram som betydelsefulla för undervisningen och lärande är intelligens, kreativitet, prestationsmotiv, intressen, lärstil, lärsvårigheter, genusvariation och etnisk variation (Stensmo, 2008). Andra variabler att utgå från vid individualisering är kunskaper, fysisk utveckling, intelligensformer, personlighetsegenskaper och kulturell bakgrund (Imsen, 2006). Individuella skillnader har varit av intresse en lång tid och sedan mer än hundra år tillbaka har man försökt mäta en mängd olika egenskaper hos elever för att sedan kunna kombinera olika elevegenskaper med lämpliga typer av undervisning och lärande (Stensmo, 2008). Skolverket skriver i rapporten Lusten att lära (2003) att olika elever liksom olika individer har skilda behov och reagerar olika på samma undervisningssituationer Lärstilar, lärstilsfaktorer och individualiseringsfaktorer Olika individer har olika lärstilar och de olika lärstilarna har ett nära samband med funktioner hos olika centra i hjärnan. Analytisk verksamhet och akademiskt lärande är lokaliserade till den vänstra hjärnhalvan och elever vars vänstra hjärnhalva dominerar lär sig bäst via visuell och auditiv information, i en tyst och ljus miljö där de arbetar själva. I den högra hjärnhalvan är mer kreativa aktiviteter lokaliserade och elever som har en dominans av denna hjärnhalva lär sig bäst kinestetiskt tillsammans med andra och gärna i rum med dämpad belysning (Stensmo, 2008). Boström och Svantesson (2007) menar att lärstil är det sätt på vilket en individ koncentrerar sig för att ta in ny och svår information och de skriver att varje individ har sitt eget unika sätt att ta in, bearbeta och minnas det han eller hon lär sig (Boström & Svantesson, 2007:9). Individens lärstil är något som förändras väldigt lite under livet och de flesta individer har i princip samma lärstil, samma inlärningsstil, livet igenom. Det handlar därför om att stimulera varje elevs optimala lärande och växande genom att ta till vara varje elevs egenart och lärstil. För att matcha varje elevs särskilda behov och skapa ett lärande på elevers villkor krävs att det finns ett antal verktyg att tillgå. Lärandeprocessen är väldigt komplicerad och komplex och för att se vilka faktorer som är viktiga när elever tar in och bearbetar nytt material finns olika teorier om inlärningsstilar. En av de mest kända modellerna om vilka olika lärstilsfaktorer som påverkar inlärningen är The Dunn & Dunn Learning Style Model som professorerna Rita och Kenneth Dunn tagit fram (Boström & Svantesson, 2007). Deras modell består av fem faktorer som sedan är uppdelade i 20 olika element, vilka alla i varierad grad påverkar elevens inlärning. Dessa faktorer med underliggande element är: Miljömässiga faktorer med elementen: ljus, ljud, temperatur och studiemiljö Emotionella faktorer med elementen: motivation, uthållighet, ansvar/anpassning och behov av inre och yttre struktur Sociala faktorer med elementen: ensam, i par, i grupper, i team, med en vuxen/auktoritet eller med variation Fysiska faktorer med elementen: olika perceptuella styrkor (auditiv, visuell, taktil, kinestetisk), intag av mat, dygnsrytm, rörelsebehov Psykologiska faktorer med elementen: analytisk (börjar med detaljerna) eller holistisk (börjar med helheten) informationsbearbetning, impulsiv eller reflekterande tankestil (Boström & Svantesson, 2007; Imsen, 2006; Stensmo, 2008). Imsen (2006) har utifrån flera tidigare teorier skapat en egen modell för individualisering med den hela eleven i centrum och ett begränsat antal individualiseringsfaktorer av elevers förutsättningar runt om. Faktorerna och dimensionerna anser hon att lärare bör ta hänsyn till och reflektera över för att få ett mångdimensionellt tillvägagångssätt i undervisningen. Faktorerna eller dimensionerna är elevers: 9

14 Kulturell bakgrund. Kognitiva förmågor och kognitiva processer. Medvetenhet om vilka kognitiva förmågor och inlärningsstrategier elever behöver. Ämneskunskapsnivå. Motivation och intresse. Fysiska förutsättningar, med hänsyn till utveckling och mognad. Självinsikt. Att ge förutsättningar till god självkänsla. Social utveckling. Elevers förståelse av sig själva som social varelse och möjligheter att fungera i den sociala inlärningsgemenskapen. Konstnärliga och kreativa talanger. Tillåta ett så brett spektrum av lärstilar som möjligt. (Imsen, 2006) Individualiseringssätt Individualisering kan enligt Vinterek (2006) bestå av olika företeelser och kan uttryckas som variation av innehåll, omfång, nivå, metod, arbetstempo, miljö, material och värdering av elevernas arbete. Dessa företeelser resulterar i olika individualiseringssätt för att individualisera undervisningen, vilka är: Innehållsindividualisering, att anpassa innehållet efter elevens intresse och/eller kunskap. Omfångsindividualisering, att ytterligare anpassa innehållet med avseende på mängd och omfattning. Nivåindividualisering, att anpassa ämnesnivån efter elevens färdigheter. Metodindividualisering, anpassa metoder och arbetssätt efter elevens lärstil. Hastighetsindividualisering, att eleverna arbetar i egen takt. Miljöindividualisering, att anpassa studiemiljön efter elevens behov. Materialindividualisering, att anpassa läromedlen efter elevens förutsättningar. Värderingsindividualisering, att värdera eleven utifrån dennes egen utveckling och inte i förhållande till andra. Genom att lärare tar hänsyn till och organiserar sin undervisning utifrån de olika lärstilar och faktorer, som nämnts tidigare, kan lärare skapa en möjlighet att komma närmare att uppfylla läroplanens uppdrag vad gäller individualisering. När undervisningen utgår från elevers inlärningsstilar bygger lärare upp lärandet på elevers styrkor och unika möjligheter, vilket ger de insikt hur de lär sig, ökad självkännedom, bättre självkänsla och en mer positiv inställning till skolan och lärande. Undervisningen tycks också enligt lärare bli mer kreativ, roligare, lustfylld, öppnare och mer individualiserad, vilket kan medföra att fler elever når målen (Boström & Svantesson, 2007). Imsen (2006) menar att för varje individualiseringsfaktor eller dimension i hennes modell ska lärare ställa sig frågan om vad de i skolan kan göra för att tillmötesgå dessa sidor hos en elev. Modellen utgår från individualisering utifrån varje elev och inte på organiseringen av en individualiserad undervisning. Lärare kan inte ha ett för snävt synsätt när de anpassar undervisningen för att uppnå individualisering för sina elever. Det gäller att ha ett mångdimensionellt angreppssätt på anpassad undervisning, samtidigt begränsas individualiseringen i praktiken av skolans överordnade mål, sociala och materiella struktur (Imsen, 2006) Individualisering i matematikundervisningen Matematikundervisningen intar enligt Vinterek (2006) en särskild ställning inom individualiseringen, vilket kanske kan förklaras med att många anser att det är ett ämne som passar för individualisering. Att matematik är ett ämne som lämpar sig för individualisering kan bero på det som Imsen (2006) förklarar att elevers abstraktionsförmåga kan skilja sig mycket åt både i 10

15 avseende på spridningen och på överlappning över åldrar och årskurser. Förmågan att utveckla sina kunskaper kan skilja mycket, det vill säga elevers matematiska förmåga behöver inte följa och vara bunden till deras faktiska ålder eller årskurs. Spridning och överlappning är något som blir särskilt tydliga i ett abstrakt ämne som matematik och enligt Imsen (2006) tenderar spridningen att öka med elevers stigande ålder. En annan orsak till varför individualisering är viktigt inom matematiken är det som författarna till rapporten Lusten att lära med fokus på matematik (2003) tar upp att matematikämnet har en stark koppling till elevers självtillit och självbild av att kunna lyckas med skolarbetet. En god självkänsla och tilltro till sin förmåga hjälper och motiverar elever i deras fortsatta studier, vilket är något som även lyfts fram i Kursplanen för matematik (2008) där ett av strävansmålen för skolans matematikundervisning är just att sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer (Skolverket, 2008:26). Vid individualisering inom matematikundervisningen är den vanligaste formen hastighetsindividualisering, något som har varit fallet under lång tid och fortfarande idag är giltigt (Vinterek, 2006). Löwing och Kilborn (2002) menar att den vanligaste form av individualisering inom matematiken är hastighetsindividualiseringen som bara tar hänsyn till elevers olika arbetstempo och där läraren går runt och handleder medan eleverna räknar självständigt i egen takt i läroboken. Hastighetsindividualisering kan också genomföras antingen med inslag av omfångs- eller nivåindividualisering. Då hastighetsindividualiseringen berör omfånget får långsamma elever färre moment att utföra medan de snabbare eleverna bara får fler moment. När hastighetsindividualisering däremot har nivågruppering görs det genom att de snabba och duktiga eleverna sätts i en grupp och de mer långsamma och mindre duktiga eleverna sätts i en annan grupp (Löwing & Kilborn, 2002). En vanlig strategi att individualisera för att försöka nå alla elevers behov är att under olika perioder dela in elever i relativt homogena grupper, så kallad nivågruppering, efter deras prestationer och förkunskaper (Löwing, 2006; Wallby m fl, 2001). Nivågrupperingen styrs då ofta av lärobokens olika indelningar av nivåer eller spår (Skolverket, 2003). Det har visat sig vanligt att gruppera elever i en snabb, en mellan och en långsam grupp. Det som skiljer grupperna åt är ofta antalet moment, det vill säga omfångsindividualisering, eller svårighetsgraden på uppgifterna, det vill säga nivåindividualisering. Skillnaderna mellan grupperna handlar då alltså inte för att skapa möjlighet till alternativa arbetssätt (Skolverket, 2003; Wallby m.fl., 2001). Malmer (1990) anser att lärare vid en sån här indelning bör hålla samman hela klassen inom samma arbetsområde då hon menar att den sociala gemenskapen är av stort värde. När lärare individualiserar undervisningen menar Löwing (2006) att det är viktigt att vara medveten om skillnaden mellan individualisering och differentiering. Hon beskriver att när lärare delar upp sina elever, exempelvis utifrån kunskapsnivå, är det ett sätt att differentiera, det vill säga organisera undervisningen och inte individualisering utifrån eleven. Hon förtydligar att individualisering enligt henne innebär en anpassning av innehållet till respektive elevs behov, förkunskaper och förmåga (Löwing, 2006:108). Individualisering handlar alltså då om att anpassa stoffet till eleven, medan differentiering innebär de organisatoriska insatser som görs för att sedan kunna ha möjlighet att individualisera (Löwing & Kilborn, 2002). Löwing (2004) skriver i sin avhandling Matematikundervisningens konkreta gestaltning att även om läraren i sin handledning vid den vanligaste hastighetsindividualisering försöker individualisera för varje elev, iakttog hon att eleverna oftast hade samma material och fick samma instruktioner. Det var sällan som abstraktionsnivån anpassades eller konkretiseringsmodeller och alternativa förklaringar användes för att underlätta förståelsen. När lärare handleder sina elever finns det sällan tid till djupare matematiska samtal så att lärare kan förstå vari elevers svårigheter ligger och vad den behöver hjälp med, vilket ofta resulterar i att lärare lotsar elever till rätt svar istället för att 11

16 individualisera undervisningen (Löwing, 2004; Löwing & Kilborn, 2002; Vinterek, 2006). Även i rapporten Lusten att lära kan man läsa att den undervisning som benämns individuell inte alltid innebär individualiserad undervisning, det vill säga anpassad i fråga om innehåll, läromedel, uppgifternas art och arbetssätt till olika individers behov, utan mer varit enskilt arbete i egen takt och med olika svårighetsgrad (Skolverket, 2003). Löwing (2004; 2006) skriver vidare att lärarna i hennes avhandling ofta motiverade sin hastighetsindividualisering med att de antog att eleverna konstruerar sin kunskap på egen hand fast i olika takt, men hon menar att lärarna i hennes avhandling misstolkat konstruktivismens tankar om lärande. Lärarnas sätt att se på hastighetsindividualiseringen gör att eleverna måste erövra nya kunskaper helt självständigt istället för tillsammans med läraren, där läraren är handledare och visar på rätt väg. Studien visar alltså enligt Löwing (2006) att handledningen både hade brister i avseende på tid och på kvalité. Vidare understryks också att det kan vara mycket svårt att konstruera matematiskt kunnande genom hastighetsindividualisering, med eventuellt inslag av omfångs- och/eller nivåindividualisering, där elever arbetar i eget tempo och lärare endast går runt och handleder. Det är svårt då att konstruera matematiskt kunnande, eftersom det inte förekommer någon diskussion om alternativa tankeformer, förklaringar eller lösningsmetoder som utvecklar ett matematiskt språk och ett matematiskt tänkande (Löwing, 2004; Löwing & Kilborn, 2002; Skolverket, 2003). Vid en alltför individuell och enskild matematikundervisning finns risken att elever inte klarar av att med egen kraft skaffa sig en nödvändig förståelse av begrepp och komma vidare i sitt lärande i matematik (Skolverket, 2003) och därför är det inte önskvärt eller lämpligt att låta undervisningen blir alltför individuell på detta sätt (Malmer, 1990) Individualiseringens betydelse i matematikundervisning För att nå målen i matematik behöver olika elever/elevgrupper olika innehåll, material och arbetsmetoder för att tillgodose sina olika sätt att lära (Skolverket, 2003). Författarna till Statens offentliga utredning (2004:97) menar att undervisningen ska vara varierad på det sättet att den visar och tar hänsyn till elevers särskilda möjligheter eller svårigheter. För att lägga en god grund för elevers kommande matematiska kompetens bör alla elever involveras i aktiviteter där undervisningen tar sin utgångspunkt i elevers eget sätt att tänka omkring matematik och där alla elever får möta matematik i många olika sammanhang (Ahlberg, 2000). Lärare ska anpassa arbetssätt och innehåll så att elever blir engagerade, får tilltro till sitt lärande och sin förmåga och förstår att matematik är ett verktyg för att lösa problem samt upptäcker och förstår att det finns flera olika sätt att lösa ett problem på (Ahlberg, 2000; Emanuelsson m.fl. red, 1996). Forskning visar även att om elever får uppgifter som utmanar dem med rätt nivå av svårighetsgrad främjas deras motivation och vilja att lära (Skolverket, 2003). Lärares förmåga att motivera, inspirera och att de har tilltro till elevers förmåga att lära tillsammans med deras kunskaper i ämnet är enligt elever väsentligt för att uppnå ett lustfyllt och därmed målmedvetet lärande. Något som även kan påverka undervisningen på ett positivt sätt är att lärare kan förstå vad elever har svårt för och kan förklara på ett bra sätt (Skolverket, 2003). En av förutsättningarna för att kunna ha flera varierande arbetssätt är att lärare har tillgång till olika typer av lämpligt material som möjliggör detta samt didaktiska kunskaper om material och arbetssätt (Malmer, 1990; Löwing & Kilborn, 2002). En vanlig metod, som Ahlberg (2000) beskriver att lärare använder sig av för att skapa variation inom det enskilda arbetet, är att elever själva planerar och arbetar efter eget schema. Det vanligaste är då att schemat som elever planerar och följer bara berör vilka och hur många sidor i läroboken de ska arbeta med. Det kan innebära en risk om matematikboken blir enda utgångspunkten och det inte finns tillgång till olika material som möjliggör olika arbetssätt, vilket är en förutsättning för ett varierat arbetssätt. Om elever genom planeringen däremot får möjlighet att arbeta 12

17 i egen takt och med en variation av arbetssätt och material skapas goda förutsättningar för att elever ska ta ansvar för sin planering och sitt lärande (Ahlberg, 2000). Detta stämmer överens med det som står i Lpo94 om elevers ansvar och inflytande, att skolan ska sträva efter att varje elev tar ett personligt ansvar för sina studier och sin arbetsmiljö [och] successivt utövar ett allt större inflytande över sin utbildning och det inre arbetet i skolan (Skolverket, 2006:13), vilket betyder att skolan har i uppgift att låta ansvartagandet öka successivt i takt med elevers förutsättningar, kunskaper och mognad (Skolverket, 2003). När elever planerar sina arbetsscheman tillsammans med sin lärare blir eleverna delaktiga i sin lärandeprocess och får då ta ett allt större ansvar och får en ökad förståelse för sin kunskapsutveckling. Detta kan ge elever ökad tillit till sin förmåga att lära och samtidigt en ökad förståelse för målen och metoderna för sitt lärande. Många elever tycker också att det är positivt om de får möjlighet att påverka sina studier både beträffande innehåll och redovisningsformer (Skolverket, 2003). Att elever genom en individualisering av undervisningen får uppgifter med rätt svårighetsgrad och som svarar mot deras kunskapsnivå är en förutsättning för att upprätthålla motivationen till att lära sig eftersom det då skapas förutsättningar för att lyckas (Skolverket, 2003). Om elever får fel stimulering finns det en risk att de tappar sin motivation och därigenom möjligheten att utveckla sina matematikkunskaper optimalt utifrån sin egen förmåga. Elever i matematiksvårigheter kan tappa motivationen om de får för svåra uppgifter för sin kunskapsnivå och elever med stor fallenhet för matematik kan tappa motivationen om de får för lätta uppgifter för sin kunskapsnivå (Skolverket, 2003; SOU:2004:97). I Lpo94 står det att: Hänsyn skall tas till elevernas olika förutsättningar och behov. Det finns också olika vägar att nå målet. Skolan har ett särskilt ansvar för de elever som av olika anledningar har svårigheter att nå målen för utbildningen. Därför kan undervisningen aldrig utformas lika för alla. (Skolverket, 2006:4) Vidare betonas även att lärare i sin undervisning ska ge särskilt stöd till elever som har svårigheter (Skolverket, 2006:12) och Löwing och Kilborn (2002) menar att dessa skrivningar pekar på att skolan har en särskild skyldighet att vid utformandet av undervisningen ta särskild hänsyn till de elever i matematiksvårigheter och deras förutsättningar. Persson (2007) förklarar att specialundervisning är en vanlig åtgärd för att hjälpa elever i svårigheter istället för att anpassa och individualisera inom den ordinarie undervisningen. Om den ordinarie undervisningen inte stödjer kunskapsutvecklingen hos elever i matematiksvårigheter och inte anpassas och individualiseras i någon större omfattning finns det en risk att elever endast kan få hjälp att konkretisera och visualisera matematiken av speciallärare (Skolverket, 2003; Persson, 2007). Persson (2007) menar också att om elever börjar få specialundervisning tidigt, istället för en anpassad och individualiserad ordinarie undervisning, finns det risk att eleverna permanentar sitt behov av specialundervisning. Ahlberg (2000) menar också att detta innebär att lärare måste utgå från elevers situation och ha tillgång till flera olika metoder och arbetssätt eftersom det inte finns ett sätt eller en metod som är den rätta för samtliga elever. Ahlberg (2000) poängterar även att en anpassad och varierad undervisning också gäller de elever med stor fallenhet för matematik och som redan kanske kan, att de också får uppgifter som utmanar dem. Även i kursplanen står det att en anpassad och varierad undervisning ska gälla alla elever såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar (Skolverket, 2008:28). Även författarna till Statens offentliga utredning (2004:97) anser att elever med stor fallenhet för matematik ska få särskilda utmaningar och genomtänkt organiserad ledning för att bredda och fördjupa sitt kunnande (2004:97:83). 13

18 3.7. Studiens teoriska ramverk I den här teoriska bakgrunden har det beskrivits de teoretiska förutsättningarna för denna studie. Bakgrunden har definierat och ramat in de teorier som beskriver och belyser individualiseringen i matematikundervisningen. Bakgrunden har bland annat belyst tre olika ramverk, där The Dunn & Dunn Learning Style Model och Imsens (2006) modell beskriver olika lärstilsfaktorer och individualiseringsfaktorer för att ta hänsyn till elevers olika egenskaper när lärare individualiserar. Det tredje ramverket, Vintereks (2006) modell beskriver olika individualiseringsätt för att organisera undervisningen, det vill säga olika möjligheter och anpassningar som lärare kan genomföra för att individualisera sin undervisning. Denna studie har ett lärarperspektiv och därför kommer analysen av denna studie att, tillsammans med övrig teori om individualiseringens förutsättningar och betydelse i matematikundervisningen främst lyfta Vintereks (2006) ramverk med olika individualiseringssätt, av de tre ramverken. 14

19 4. Metod Här beskrivs vilken metodisk ansats och vilka undersökningsmetoder som valdes för uppnå denna studies syfte, vilket var att studera några utvalda lärares syn på individualisering i matematikundervisningen för årskurs 4-6, genom frågeställningar om hur lärarna i studien ser på individualisering, vilka möjligheter och begränsningar de ser, hur skaffar sig lärarna i studien underlag för att planera, genomföra och anpassa individualiseringen i matematik och hur planerar, genomför och anpassar lärarna i studien sin matematikundervisning så att den gynnar alla elever. Vidare kommer studiens etiska aspekter att presenteras och motiveras i förhållande till studiens syfte och frågeställningar utifrån olika teorier och avslutningsvis beskrivs genomförandet och bearbetningen av studien. Vi kommer även under detta avsnitt att diskutera studiens validitet och reliabilitet Val av metod Vi valde att göra denna studie med kvalitativ ansats vilket innebär en studie för att upptäcka, beskriva, tolka och förstå fenomen. Målsättningen med en kvalitativ forskning är att identifiera, undersöka och analysera fenomens egenskaper, variation, struktur och/eller processer, till skillnad mot en kvantitativ ansats som har sitt fokus på att studera och analysera mängden av ett fenomen (Patel & Davidsson, 2003; Starrin, 1994). Vid en kvantitativ studie är en förutsättning att informationen är mätbar, vilket var svårt i den här studien, eftersom det är svårt att mäta individualisering i olika grader. Därför valdes en kvalitativ ansats, eftersom den gjorde det möjligt att uppnå syftet med studien, vilket var att undersöka några utvalda lärares syn på individualisering i matematikundervisningen för årskurs 4-6. De undersökningsmetoder som valdes var en urvalsenkät och ett antal kvalitativa intervjuer för att undersöka lärares uppfattningar, erfarenheter och handlingar kring individualisering i matematikundervisningen. Dessa undersökningsmetoder valdes eftersom det genom kvalitativa undersökningar skapas möjligheter för att få fram information som möjliggör en förståelse för lärares syn på undervisningen, förhållningssätt, målsättningar och planering (Johansson & Svedner, 2001). Enkäter är oftast en metod som används vid studier med en kvantitativ ansats och enkäten i en kvantitativ studie syftar då till att undersöka samband mellan olika faktorer. Johansson och Svedner (2001) skriver att en enkät inte är lämplig som metod där syftet är att ta reda på olika syn- och förhållningssätt. De menar att öppna frågor om syn- och förhållningssätt blir breda och få orkar svara fullt ut, däremot framhäver de att en enkät där syftet är att få underlag för att välja intervjupersoner kan användas som en del i kvalitativa undersökningar. Enkät som en urvalsmetod vid en kvalitativ studie är lämpligt eftersom då finns det möjlighet att gruppera de svarande i olika grupper så att det blir en spridning i exempel synoch förhållningssätt (Johansson och Svedner 2001). Vid kvalitativa undersökningar efterstävas oftast att få en stor variation för att få med flera olikheter inom den likartade gruppen som ska undersökas (Trost 2010, Johansson & Svedner, 2001; Ryen, 2004). En intervju kan ha olika grad av formalisering eller struktur. I en kvantitativ intervju är frågorna strukturerade och formaliserade och även om svaren kan vara öppna är frågorna eller frågeområdena bestämda i förväg och starkt styrda. Den kvalitativa intervjun däremot är en icke standardiserad intervju där strukturen inte är lika styrd och på förhand bestämd. Här är ofta bara frågeområdena bestämda på förhand så att frågorna sedan kan anpassas och varieras utifrån vad informanten svarar och vilka aspekter som kommer upp. Detta för att få så uttömmande, breda och djupa svar och beskrivningar som möjligt (Johansson & Svedner, 2001; Starrin & Renck, 1996). För att få dessa uttömmande, breda och djupa svar och beskrivningar valdes kvalitativa intervjuer med en intervjuguide (Se bilaga 1) som hade ett antal frågeområden och ett fåtal tänkbara frågeställningar under varje frågeområde. 15

20 Genom att använda kvalitativa intervjuer som undersökningsmetod fick undersökningen en fenomenografiska forskningsansats. Den fenomenografiska forskningsansatsen innebär att forskningen av ett fenomen utgår från en grupp människor, i det här fallet ett urval av verksamma matematiklärare, för att beskriva fenomenet utifrån gruppens olika uppfattningar och medvetande. En viktig del i den fenomenografiska forskningsansatsen är att dessa beskrivningar inte kan vara rätt eller fel, utan målet är att klargöra mänskliga upplevelser av ett fenomen (Alexandersson, 1994). Den främsta undersökningsmetoden inom fenomenografin är intervjun, vilket vi i vår undersökning valde att göra som kvalitativ. Ryen (2004) menar att kvalitativa intervjuer inte har som avsikt att hitta kunskap som är statistisk generaliserbar eller att kunna se hur många som ser på fenomenet utifrån samma eller skilda synsätt. Detta är en metod där målet istället är att upptäcka och förstå olika beskaffenheter eller egenskaper utifrån informanternas olika uppfattningar och på så vis nå djupare i förståelsen genom intervjuer (Starrin & Renck, 1996; Ryen, 2004) Etiska aspekter Vetenskapsrådets (2002) etiska forskningsprinciper inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning beskriver fyra allmänna huvudkrav för de etiska principerna för att uppnå det grundläggande individskyddet. Dessa krav är informationskravet, samtycketskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet vilka enligt Vetenskapsrådet ska försäkra att forskning genomförs med största hänsyn till dem som deltar. Denna studie är genomförd enligt Vetenskapsrådets forskningsprinciper och hänsyn har tagits till de fyra kraven på individskydd enligt följade. Informationskravet innebär att deltagarna ska informeras om studiens syfte och villkor för deras medverkan det vill säga att allt deltagande är frivilligt och när som helst kan avbrytas. I denna studie blev varje deltagare skriftligt och muntligt informerad om syftet med studien och vilka som är ansvariga för studien samt om villkoren för deltagandet. De lärare som sedan valde att delta i studien fick ytterligare information både per telefon och vid intervjutillfället. Vid dessa kontakter blev även kravet om samtycke uppfyllt genom att lärarna samtyckte till medverkan i studien både genom skriftligt och muntligt godkännande. Deltagarna utlovades konfidentialitet genom att varken kommunens, skolans eller deras namn kom att nämnas i studien. De namn som förekommer i studien är fiktiva. Däremot är informationen om lärarnas utbildning och yrkeserfarenheter sanningsenliga, eftersom det ansågs vara relevant för studien. Allt intervjumaterial har behandlats konfidentiellt och inga obehöriga har fått tillgång till något material. Studien uppfyllde även nyttjandekravet, eftersom all insamlad och bearbetad information endast användes för studiens ändamål och inte i något kommersiellt eller icke-vetenskapligt syfte Urval Vid kvalitativa undersökningar eftersträvas oftast att få en stor variation i urvalet för att få med flera olikheter inom den likartade gruppen som ska undersökas. I vår studie eftersträvades därför att få en stor spridning och variation i avseende på synsätt och genomförande av individualisering i matematikundervisningen inom vår avgränsning av matematiklärare i årskurs 4-6. För att kunna göra ett relevant urval användes en urvalsenkät som en screening -metod, det vill säga en gallringsmetod som underlag för att välja ut rätt personer (Johansson & Svedner, 2001) Urvalsenkät Urvalsenkäten skickades (Se bilaga 2) till sex rektorer i en mindre kommun i södra Sverige med två olika följebrev (Se bilaga 2 & 3), ett övergripande till rektor och ett mer specificerat om undersökningen till lärarna. Totalt delades enkäten ut till 25 olika lärare som undervisade i matematik för årskurserna 4-6. Urvalsenkäten bestod av fem öppna frågor som behandlade 16

21 hur lärare individualiserade sin matematikundervisning. Enkäten avslutades med en fråga om de ville vara med på en intervju som berörde frågorna i enkäten djupare Intervjuer Utifrån vår urvalsenkät valdes sju lärare ut för sex olika intervjuer, då två lärare som har matematikundervisningen ihop valde att bli intervjuade vid samma tillfälle. Vi valde att göra sex intervjuer för att på så vis möjliggöra att få med en variation av åsikter och synsätt som berör studiens frågeställningar. Att ha ett större antal intervjuer är enligt Trost (2010) något som kan göra materialet ohanterligt och att detaljer kan gå förlorade, dessutom menar han att det inte är säkert att fler intervjuer tillför ytterligare ny och användbar information till studien. Lärarna har här fått fiktiva namn och av dessa lärare arbetade tre i årskurs 4, två i årskurs 5, en i årskurs 5-6 och en i årskurs 6 och de arbetade på fem olika skolor i kommunen. Sandra är utbildad 4-9 lärare i matematik och NO och tog sin examen höstterminen Senare har hon kompletterat sin examen med en kurs i utematte. Hon har varit på samma skola under hela sin tjänstgöring och arbetar för närvarande i en årskurs 4 med 14 elever. Michelle är utbildad 1-7 lärare i svenska, SO och idrott och hon tog sin examen höstterminen För två år sedan gick hon lärarlyftet och läste in matematikbehörighet. Hon har hela tiden arbetat på mellanstadiet, i huvudsak på två olika skolor och för närvarande arbetar hon delvis i en årskurs 4 med 19 elever. Magnus är utbildad i ett praktiskt-estetiskt ämne och han tog sin examen 1990 och har våren 2010 även fått behörighet i matematik. Han har arbetat på två skolor och har för närvarande matematikundervisningen i en årskurs 4 med 19 elever. Tina är utbildad 1-7 lärare i matematik och NO och tog sin examen december Hon har arbetat på samma skola hela sin tjänstgöring, de första 10 åren på lågstadiet och nu sedan dryg ett år tillbaka på mellanstadiet. För närvarande arbetar hon i en årskurs 5 med 15 elever. Annelie är utbildad 1-7 lärare i matematik, NO och idrott och tog sin examen Hon har arbetat i flera olika årskurser på olika skolor inom kommunen. För närvarande arbetar hon i en årskurs 5 med 24 elever. Kerstin är utbildad mellanstadielärare och tog sin examen Hon har arbetat med den allmänna kursen i matematik på högstadiet och sedan på mellanstadiet. För närvarande har hon en årskurs 5-6 med totalt 27 elever där hon undervisar matematiken varje årskurs för sig med elever i varje grupp. Madeleine är utbildad 1-7 lärare i matematik, NO och idrott och hon tog sin examen Hon har arbetat på flera olika skolor inom kommunen. För närvarande arbetar hon i en årskurs 6 med 25 elever Genomförande och bearbetning Urvalsenkät Rektorerna på de sex skolorna i kommunen informerades om att vi önskade komma ut och dela ut enkäterna till lärarna. Här valde dock tre av rektorerna att själva distribuera enkäterna till lärarna och svaren skickades sedan antingen via mail eller per post. Vi fick även, efter ytterligare kontakt via telefon, möjligheten att komma ut och presentera oss och arbetet samt dela ut enkäten på tre skolor, majoriteten av dessa enkäter hämtades sedan även personligen. Totalt var det 25 stycken lärare som deltog i enkäten på de sex olika skolorna och det kom in enkäter från samtliga skolor och totalt returnerades 20 enkäter med svar. De 20 enkäterna som returnerades lästes igenom och delades sedan in i två olika grupper, de som ville ställa upp på intervju och de som inte ville. Det blev tio stycken lärare i varje grupp. De tio som ville ställa upp på intervju lästes igenom en gång till för att få en uppfattning om hur de skulle kunna grupperas. De kriterier som undersöktes i enkäterna var 17

22 hur lärarna beskrev att de använde individualisering i sin undervisning och vilken syn de hade på individualisering i avseende på fördelar, nackdelar, möjligheter och begränsningar. Målsättningen var att få intervjupersoner som arbetade och tyckte på olika sätt och de olikheter som sågs i enkäterna var bland annat att några nivågrupperade, någon arbetade utifrån ett läromedel och några individualiserade genom olika arbetsmoment och arbetsmaterial Intervjuer Utifrån urvalsenkäterna valdes sju lärare ut till sex intervjuer. Dessa lärare kontaktades först via mail med information om syftet och förutsättningarna med intervjun. Sedan kontaktades lärarna per telefon för ytterligare medgivande om deltagande i intervju och för att avtala tid och plats för en intervju. Lärarna fick välja tid och plats som passade deras schema och alla intervjuerna genomfördes sedan på respektive lärares skola. Alla intervjuer genomfördes i ett enskilt rum, där intervjun i de allra flesta fall kunde genomföras utan några yttre störningar. En intervju genomfördes dock i elevernas klassrum och den intervjun blev avbruten vid ett tillfälle av elever som passerade klassrummet. Dessa kvalitativa intervjuer genomfördes med utgångspunkt i en intervjuguide som hade ett antal frågeområden och ett fåtal tänkbara frågeställningar under varje frågeområde som stöd för intervjuerna. För att kontrollera att intervjuguidens frågeområden och tänkbara frågeställningar fungerade genomförde vi en pilotintervju med en av lärarna i studien. Vi ändrade dock ingenting i intervjuguiden efter denna pilotintervju, men däremot blev vi mer uppmärksamma på att vara tydligare vid våra frågeformuleringar, helst när det gällde olika följdfrågor och att vara mer uppmärksamma på att inte ställa ledande frågor. Denna pilotintervju har sedan även använts i studien resultat, eftersom inget i intervjun ändrades och intervjun gav information som svarade mot studiens syfte. Vi valde att inte visa intervjuguiden för de intervjuade lärarna i förväg, eftersom de redan genom urvalsenkäten hade fått en förförståelse för ämnet och för att deras uppfattning om ämnet inte skulle påverkas för mycket så att deras svar tenderade att bli tillrättalagda. Samtliga intervjuer genomfördes under drygt en veckas tid och vid alla tillfällen var vi båda närvarande, eftersom vi ansåg att materialet blev rikare om båda bidrog med frågor och följdfrågor, men även för att säkerställa att vi fick samma ramar för alla intervjuer. Dessutom underlättades bearbetningen av intervjuerna, precis som Trost (2010) menar, i och med att båda deltagit så att vi kunde diskutera och hade samma förförståelse av intervjuerna. Intervjuerna varade mellan minuter beroende på när vi kände att alla frågor hade berörts och lärarna kände att de hade fått möjlighet att ge en helt fullständig bild genom sina svar. Alla intervjuer spelades in som en ljudfil med hjälp av en digitalkamera, dels för att vi som intervjuare skulle ha möjlighet att, precis som Trost (2010) och Bryman (2002) menar, fokusera på den intervjuade och verkligen lyssna för att ha möjlighet att ställa kompletterande följdfrågor och dels för att inget av informationen skulle glömmas, missas eller förvanskas, vilket kunde ha blivit fallet om endast anteckningar hade gjorts. Bryman (2002) menar att en viktig del av kvalitativa studier är att spela in intervjuerna för att sedan kunna skriva ut dem ordagrant, vilket kallas för transkribering. Vi valde att göra sådana transkriberingar, eftersom de ansågs ge bästa förutsättningar för en kommande analys. Transkriberingarna för den här studien visade intervjupersonernas svar ordagrant med dennes speciella fraser och uttryck och de var viktiga för den kommande analysen eftersom de möjliggjorde en noggrann bearbetning av svaren genom att de lästes om och om igen och bearbetades flera gånger (Bryman, 2002). Av tidsmässiga skäl valde vi att dela upp transkriberingarna av intervjuerna så att vi gjorde tre var, men vi diskuterade utformningen av dessa innan, så att utskrifterna skulle få en liknande form. Bearbetningen av transkriberingarna gjordes genom att vi bearbetade och sorterade datan utifrån olika infallsvinklar, vilka kan relateras till en så kallad huvudvariabel (Patel & Davidson, 2003; Bryman, 2002). I denna studie är huvudvariabeln individualisering och den kom sedan att behandlas genom olika infallsvinklar. Dessa infallsvinklar berörde olika delar av individualiseringen och våra fråge- 18

23 ställningar. Det första steget i bearbetningen innebar att vi bekantade oss med utskrifterna för att på så vis etablera oss ett helhetsintryck och därför läste vi igenom alla transkriberingar i sin helhet. Sedan lästes transkriberingarna igenom igen och först här uppmärksammades och markerades viktiga uttalanden. Vi delade sedan in lärarnas olika uttalande utifrån de delar av individualiseringen som framkom som viktiga både utifrån våra frågeställningar och utifrån vad som framkom i intervjuerna. Detta gjordes genom att vi tillsammans gick igenom transkriberingarna och strök under de olika uttalandena och infallsvinklarna med olika färger i transkriberingarna. Dessa sorterades sedan och kom under bearbetningen att visa sig passa in under våra tre frågeställningar, vilka därmed blev tre olika kategorier. När vi hade läst igenom transkriberingarna och färgkodat de olika uttalandena samtalade vi om vad vi uppmärksammat och vilka olika uttalande och infallsvinklar de olika lärarna hade och vi jämförde sedan skillnader och likheter i deras uttalanden och sammanställde dessa under kategorierna. Kategorierna som sedan framkom var därmed kopplade till våra tre frågeställningar, det vill säga Hur ser lärarna i studien på individualisering inom matematikundervisningen och vilka möjligheter och begränsningar ser de med individualiseringen?, Hur skaffar sig lärarna i studien underlag för att planera, genomföra och anpassa individualiseringen i sin matematikundervisning? och Hur planerar, genomför och anpassar lärarna i studien sin matematikundervisning så att den gynnar alla elever? och kategorierna kom därmed att rubriceras som, synsätt, kartläggning respektive planering, genomförande och anpassning Validitet och reliabilitet Validitet innebär på vilket sätt de valda undersökningsmetoderna är lämpliga för att uppnå studiens syfte, att det som avses att undersöka undersöks (Johannsson & Svedner, 2001; Patel & Davidsson, 2003). För att uppnå studiens syfte valdes en urvalsenkät och ett antal kvalitativa intervjuer eftersom det skapades möjligheter för att få fram så uttömmande, djupa och breda svar som möjligt som möjliggjorde en förståelse för de utvalda lärarnas syn på individualisering i matematikundervisningen. Detta i förhållande till om vi valt kvantitativa undersökningsmetoder då dessa bara mäter olika grader av individualisering. Enkäten som undersökningsmetod vid en kvalitativ undersökning är lämplig som en urvalsmetod där syftet är att försöka få en spridning av exempelvis syn- och förhållningssätt (Johansson & Svedner, 2001). Urvalsenkäten gjorde att det valdes lärare som arbetade med individualisering på olika sätt i sin matematikundervisning, så att rätt personer blev intervjuade, vilket ökade validiteten på undersökningen. Reliabilitet innebär vilka åtgärder och beslut som har tagits för att få studiens undersökningsmetoder så noggranna som möjligt, att undersökningen görs på ett tillförlitligt sätt (Johannsson & Svedner, 2001; Patel & Davidsson, 2003). För att ta reda på om intervjuguidens frågor svarade mot studiens syfte och för att säkerställa att intervjuerna genomfördes på ett tillförlitligt sätt, genomfördes en pilotintervju med en av lärarna i studien. Pilotintervjun resulterade inte i några förändringar, men gjorde oss mer uppmärksamma på hur vi ställde frågorna, vilket ökade reliabiliteten. För att ytterligare öka reliabiliteten beslöt vi att båda medverka vid intervjuerna så att alla intervjuer fick samma ramar och att vi fick samma förförståelse. För att inte lärarnas svar skulle påverkas beslöt vi att inte visa intervjuguiden i förväg, eftersom de redan genom urvalsenkäten hade fått en tillräcklig förförståelse. De åtgärder som gjordes för att ytterligare få undersökningen tillförlitlig var att intervjuerna spelades in för att sedan transkriberas. Transkriberingarna gjorde att de intervjuade lärarnas svar inte förvanskades och att inget glömdes bort, vilket var en förutsättning för få en bra tillförlitlighet som möjligt i bearbetningen och analysen. 19

24 5. Resultat Här presentas en sammanställning av studiens intervjuer. Intervjuerna presenteras inte var och en för sig utan är kategoriserade utifrån våra frågeställningar, eftersom vi anser att resultatet blir mer synligt, tydligt och strukturerat. Det är mer intressant att se likheter och skillnader i respektive frågeställning istället för att bara redovisa varje intervjuad lärares enskilda åsikter. För att förtydliga och för att åskådliggöra lärarnas åsikter har vi valt att löpande skriva lämpliga citat från lärarna under fingerade namn Synsätt, möjligheter och begränsningar Hur ser lärarna i studien på individualisering inom matematikundervisningen och vilka möjligheter och begränsningar ser de med individualiseringen? Synsätt på individualisering Lärarna beskriver olika sätt att se på individualisering där de olika synsätten inte motsätter varandra utan beskriver flera betydelser och aspekter av individualisering. Den första betydelsen av individualisering som alla lärarna anser är att individualisering innebär en anpassning av undervisningen utifrån varje individ, att försöka ge alla det de behöver så att de kan utvecklas utifrån sin förmåga. Individualisering handlar då enligt lärarna om att alla elever känner att de lär sig och utvecklas, att det varken är för lätt eller svårt och att alla ska få träna på det som de behöver. När individualiseringen lyckas, menar alla lärarna att det finns möjlighet att uppnå lust att lära och en god kunskapsutveckling. Egentligen att alla får jobba på den nivå där man befinner sig, eller att alla får en chans att utvecklas egentligen [ ] att var och en, att man ska veta vart var och en befinner sig och så ska man utvecklad från den nivån. (Annelie, ) Den andra betydelsen av individualisering som alla lärarna poängterar är att individualisering innebär mer än bara arbete i eget tempo i matematikboken, de menar att individualisering inte är att jobba i egen takt från pärm till pärm. Vid individualisering är det viktigt att eleverna får uppgifter som är stimulerande, det är så det ska vara menar lärarna. De säger också att det är viktigt att individualisera för alla elever, så att ingen tappar motivationen och målet med lärarnas undervisning är att så många möjligt ska tycka att det är roligt med matematik. Michelle: [om] alla elever får jobba med uppgifter som är stimulerande, så det är ju toppen det mår alla väl av, det är så det ska vara Magnus: eleverna blir motiverade också Michelle: ja, och dom utvecklas utifrån sin förmåga så det // Magnus: det är bara vinster ( ) En problematik som alla lärarna påtalar är att det finns en fara om individualiseringen går till överdrift, vilket de upplever att den lätt kan göra i matematiken om man endast ser individualisering som arbete i eget tempo. Jag tycker det är farligt om man individualiserar för mycket för att matte är så himla mycket prat, att mycket se matte, uppleva matte, göra matte och det gör man inte så lätt själv. (Tina, ) Alltså det kan vara lite fara med individualisering, det är ju om alla sitter och jobbar med sina grejor hela tiden, om man hårdrar det riktigt, riktigt [ ] 20

25 alltså det här mattepratet och det här att jag hör hur någon annan tänker alltså, det tappar man ju bort lite. (Annelie, ) Jag tror inte man ska total individualisera helt och hållet för varje individ, hur viktigt det är att prata matematik, man får inte glömma det, att man måste prata också ju, ha gemensamt och hur tänker ni. (Kerstin, ) De menar alltså att man inte kan eller bör individualisera matematiken totalt genom att låta alla elever alltid arbetar utifrån sin enskilda planering, eftersom de då tror att mycket av de viktiga gemensamma matematikstunderna försvinner. Den första aspekten som, enligt alla lärarna talar för individualisering, förutom att individualiseringen gynnar alla elever, är att skillnaderna mellan elevernas kunskaper stiger i takt med att svårigheten stiger i matematiken, vilket kräver mer individualisering. Den andra aspekten som talar för individualisering är den som fem av lärarna tar upp, att när eleverna med stigande ålder lär känna sig själva bättre och lär sig ta ansvar för och planera sitt lärande, gynnas elevens lärande genom att individualiseringen då blir tydligare och mer individanpassad. När eleverna utformar och arbetar med sin egen planering gör detta även att eleverna blir mer aktiva och målmedvetna i sitt lärande. Alla lärarna känner att de med hjälp av individualiseringen kan nå sina elever väldigt väl och att de kan möta varje elev på dess nivå och med det som den tycker är kul. Bland det viktigaste på mellanstadiet [är] att man får dom målmedvetna och själva förstå vikten av sitt arbete att det är dom som ska utvecklas och det är inte vi som ska tala om för dom utan dom ska själva vilja nå sina mål och lära sig kanske till och med vägen dit med hjälp utav oss förstås. (Michelle, ) En tredje aspekt som talar för individualisering som två lärarna menar är att i en individualisering där eleverna arbetar med olika uppgifter och arbetsmaterial blir det svårare för eleverna att jämföra sig med andra elever, vilket tar bort det vanliga tävlingsmomentet i matematiken. De har lagt ner det där [ ] det är inte intresserant för dom, dom befinner sig på olika nivåer helt enkelt och de har accepterat det och det är nog en vinst med att det är så spretiga. (Tina, ) Möjligheter och begränsningar Lärarna beskriver fem olika faktorer som påverkar möjligheterna och/eller begränsningarna till att genomföra en individualisering i matematikundervisningen. En första faktor som påverkar individualisering som alla lärarna beskriver är att klassens kunskapsnivå och kunskapsspridning skapar både möjligheter och begränsningar för individualiseringen. Om klassen är relativt homogen i sin kunskapsnivå menar alla lärarna att det underlättar deras möjligheter till att genomföra en god individualisering för varje elev, eftersom behovet av att individualisera på flera olika nivåer då blir mindre och lättare att tillgodose. Medan om kunskapsnivån är väldigt utspridd menar lärarna att deras möjligheter till att genomföra individualisering för varje elev försvåras och begränsas, eftersom behovet av individualisering blir större när det finns fler nivåer som behöver. När spridningen av kunskaper är stor i klassen löser lärarna ofta detta genom att nivågruppera för att kunna hantera individualiseringen. En andra faktor som påverkar individualiseringen är storleken på klassen och/eller antalet lärare i klassen. Är grupperna stora anser lärarna att det är svårare att ha tid och 21

26 möjlighet att lyckas individualisera mot varje elev och det finns en risk för en viss eftersläpning i individualiseringen, vilket gör att eleverna kan få sitta med uppgifter som inte är helt anpassade efter deras kunskapsnivå. Alltså det handlar ju mycket om att plocka fram material, fånga upp precis var alla är och ha liksom hela tiden nytt att putta in direkt så. (Annelie, ) Lärarnas nivågruppering av sin klass är även en lösning som de använder sig av när de har stora grupper och/eller är ensamma lärare för klassen. Om lärarna har färre elever i klasserna menar lärarna att det skapas fler möjligheter för dem att lättare se och märka individuella skillnader samt individualisera för varje elev och det är inte lika vanligt med nivågruppering i de klasser som har färre elever. Jag känner att det är väldigt skönt i och med att vi ha ganska små grupper så hinner man ju faktiskt gå runt till alla med då och kanske till och med kunna sitta ganska länge hos en elev och att dom får visa hur dom tänker och förklara hur dom gör. (Sandra, ) Alla lärarna påtalar också att om de är fler finns det även större möjligheter till att vara flexibel och att kunna hjälpa och sätta sig med enskilda elever, såväl elever i matematiksvårigheter som elever med stor fallenhet för matematik, löpande i undervisningen. Om det finns fler lärare som kan planera och undervisa ihop menar tre av lärarna också att detta skapar förutsättningar för att kunna vidareutveckla och fördjupa individualiseringen. Dessa tre lärare menar att det är lättare att våga och genomföra idéer om de är fler lärare, att våga tänka nytt och bryta traditioner. De betonar därför vikten av samarbete mellan lärare. Att jag hade fått jobba ihop med nån för genom samarbete och diskussion så leder man ju oftast kan jag känna pedagogiken lite på nya vägar det är lättare att våga och det är lättare att faktiskt göra. (Michelle, ) Samarbetet skapar även möjligheter till utbyte av erfarenheter och kunskaper, något som dessa tre lärare anser är en viktig del för att på ett professionellt sätt planera och genomföra individualisering i matematiken. En tredje faktor som påverkar individualiseringen i matematik anser en av lärarna är att lyfta och stärka elevers matematiksjälvförtroende. Hon upplever att elevers matematiksjälvförtroende ofta saknas, på grund av förutfattade meningar eller eventuella åsikter från föräldrar, och detta gör att eleverna blir blockerade i sitt lärande. Det är därför enligt henne viktigt att ta bort dessa blockeringar och få eleverna att lita på sin egen förmåga för att överhuvudtaget möjliggöra lärande. Hon kan inte specificera varför, men just i matematiken upplever hon självförtroende som extra avgörande. En fjärde faktor som alla lärarna påtalar är att tiden påverkar möjligheten till att kunna individualisera och att de alla har flera andra ämnen som de också ska planera och individualisera inom. Fyra av lärarna menar därför att de får lägga sig på en nivå där de känner att de hinner med, en nivå som är rimlig tidsmässigt och resursmässigt. För att få bättre förutsättningar med tid och resurser önskar sig alla lärarna att de kunde få tillgång till fler vuxna och fler lärare i skolan för att på så vis bli mer effektiv och kunna uppnå en högre grad av individualisering. 22

27 Det går ju aldrig att göra precis som man skulle vilja inte med, alltså då måste man vara fler lärare kanske om man skulle få total individanpassning. (Kerstin, ) En femte faktor som alla lärarna lyfter är att ha tillgång på bra och lämpligt material som skapar förutsättningar för individualisering. Lärarna förklarar att genom ett matematikprojekt som kommunen deltog i förra läsåret upplever och menar alla lärarna att de har en god tillgång till både kunskap och material som ger goda förutsättningar för deras individualisering. Matematikprojektet erbjöd utbildning för lärarna och varje klassrum tilldelades även ett stort urval av olika laborativa material och annat arbetsmaterial, till exempel matematikspel, problemlösningskort och datorprogram. Dessutom har skolgårdarna utrustats och förberetts med olika redskap för utomhusmatematik Kartläggning Hur skaffar sig lärarna i studien underlag för att planera, genomföra och anpassa individualiseringen i sin matematikundervisning? Lärarna använder sig av många olika sätt för att se och följa elevernas kunskapsnivå och utveckling. För att se elevernas kunskapsnivå och kunskapsutveckling menar lärarna att de försöker se till helheten för att få en så klar bild som möjligt av vad eleverna kan och inte kan. Alla lärarna menar att de ser diagnoser som en riktlinje om hur undervisningen ska genomföras i stora drag. En lärare förklarar att det är viktigt att se till helheten därför att i matematik finns så många moment som hela tiden kommer tillbaka och repeteras. För att kunna följa elevernas kunskapsutveckling över tid använder sig lärarna av diagnoser inför, under och efter arbetsområdet och även av nationella prov, olika typer av avprickningsscheman och olika utvecklingsscheman som till exempel Libers matematikutvecklingsschema (MUS) (Se bilaga 4) och Adastras kunskapsblommor (Se bilaga 5) samt kommunens matematikmatris Kartläggning inför arbetsområden Lärarna använder sig av två sätt att kartlägga sina elevers kunskaper inför ett arbetsområde. Det första sättet som lärarna förklarar att de använder sig av är en skriftlig fördiagnos för att se vad som är lätt eller svårt och för att få en bild av spridningen i gruppen, för att sedan kunna gruppera eleverna. Fem av lärarna använder sig av skriftlig fördiagnos som ett verktyg, framförallt när de har en ny grupp eller när de känner sig osäkra. Vi pratar mycket [ ] och sen gör vi en hel del små diagnoser som nu är detta en ny klass, jag har ju inte haft dom innan [ ] började helt enkelt med små diagnoser för att kolla [ ] var befinner dom sig [och] vilken nivå ligger dom på, om det skiljer sig mycket inom gruppen eller [ ] vad man behöver börja någonstans. (Sandra, ) Fördiagnosen använder dessa lärare för att se vart fokus på arbetsområdet bör läggas, så att eleverna ska få uppgifter som är anpassade utifrån deras förkunskaper. De menar att det är viktigt att man i fördiagnoser tittar på vad eleverna kan och inte bara vad de inte kan. Då gjorde vi en fördiagnos med eleverna, hur ligger dom, vad är det dom kan och vad är det vi tror dom kan men dom faktiskt inte kan. (Michelle ) Det andra sättet som alla lärarna använder sig av inför ett arbetsområde är att utgå från samtal med eleverna, vilket lärarna tycker förutsätter att de känner sina elever. Alla lärarna menar att 23

28 det är viktig att verkligen känna eleverna för att veta vilken slags och hur mycket stöttning de behöver. Lärarna menar att om de känner sina elever väl, det vill säga att de har god kännedom om elevernas kunskaper och svårigheter, är det inget svårt med individualisering Underhands kartläggning Lärarna använder sig av ett antal kartläggningsmetoder under arbetsområdets gång, bland annat matematikböckernas kapiteldiagnoser, elevernas självvärdering, samtal med eleverna vid genomgångar och diskussioner samt rättning av matematikböckerna. Vid rättning av matematikböckerna säger en lärare att hon ofta har goda möjligheter att där se hur eleverna tänker och vilka svårigheter som de eventuellt har. Jag rättar matteböckerna, dom rättar inte själva det är det många som gör, men jag rättar alltid. Bara för det är mitt sätt att inhämta hur man löser, hur man tänker, jag kan ju läsa och se mycket där tycker jag. (Annelie, ) Kapiteldiagnoserna använder alla lärarna som en avstämning där de tillsammans med sina elever bestämmer vad och hur eleven ska jobba vidare, till exempel vid utformning av arbetsscheman. Två av lärarna använder sig av självvärdering där eleverna får bedöma vad de tycker är lätt och svårt inom arbetsområdet Kartläggning efter arbetsområden Precis som kartläggningen inför och under arbetsområden, använder sig lärarna av olika sätt att kartlägga elevernas kunskaper efter arbetsområdet genom olika efterdiagnoser eller prov. Här menar tre av lärarna att det är viktigt att inte bara mäta färdigheter utan även elevernas förmågor, vilket de försöker göra genom att till exempel ha praktiska moment som redovisningsprov. Dessa tre lärare menar att eleverna visar sin förmåga när de till exempel kan beskriva vad de vet om ett räknesätt, vad räknesättet heter samt när och hur det ska användas och ett sätt att visa detta kan enligt lärarna vara att elever skriver räknesagor. Dom ska visa att, att deras förmåga att ha förstått ett begrepp, att ha förstått ett område eller [ ] deras olika förmågor [ ] där man får lite skriva kring bitar så att man faktiskt visar ja, men det här, jag har en förmåga, jag har en förmåga att beskriva det här och en förmåga att använda mig av det här och jag vet när jag ska använda det. (Michelle ) En lärare har även, efter en tid när de arbetar med ett nytt arbetsområde, ett senare prov på det tidigare arbetsområdet för att se vilka kunskaper som är befästa och vilka som eventuellt har fallit bort. Sen kör jag ett test till efter ett par veckor, när vi egentligen är på ett helt annat område, men då ser man också lite vad sitter verkligen fast, vad har verkligen fastnat eller vad är det som man kanske tappar bort. (Annelie, ) Resultatet av det senare provet använder läraren vid formulering av individuella utvecklingsmål, hon tittar på vad som behövs arbetas vidare med. 24

29 5.3. Planering, genomförande och anpassning Hur planerar, genomför och anpassar lärarna i studien sin matematikundervisning så att den gynnar alla elever? Planering och genomförande Alla lärarna gör någon form av planering för sin matematikundervisning och många av lärarna gör sin planering i form av en så kallad lokal pedagogisk planering, utifrån skolverkets och kommunens riktlinjer, inför varje arbetsområde där de utifrån strävansmålen tolkar och konkretiserar målen, beskriver undervisningen, bedömningens inriktning och vad som ska bedömas. Lärarna berättar att de arbetat och fått kunskaper i att skriva dessa planeringar i och med kommunens projekt inom kunskap och bedömning. I sin planering för individualisering i matematikundervisningen har lärarna matematikboken som bas och utgår ifrån bokens upplägg av arbetsområden. Alla lärarna utom en utgår från matematikbokens mål för arbetsområdet och jämför dessa med styrdokumentens mål och kompletterar planeringen av undervisningen. Sen innan vi börjar ett område så gör ju vi, tittar vi på dom nationella målen och gör en pedagogisk planering och ser hur väl dom målen stämmer överens med [mattebokens] och ser vad som eventuellt vi behöver komplettera med eller om vi liksom behöver justera. (Michelle, ) En av lärarna säger sig istället utgå från sin pedagogiska planering och kursplanens mål i den, för att sedan se vilka bitar i matematikboken som kan passa in. Lärarna beskriver olika faktorer som de tar hänsyn till och som påverkar deras planering av matematikundervisningen. En första faktor är tidsperioden på planeringen och de tidsperioder som lärarna använder sig av är arbetsområdesvis, terminsvis och/eller veckovis. Det vanligaste sättet att planera är att lärarna utgår från arbetsområden, som till exempel geometri, bråk eller statistik och planerar upp tre-fem veckor utifrån området. En av lärarna gör istället en stor planering för hela terminen både tidsmässigt och arbetsområdesmässigt. Oavsett om de planerar områdesvis eller terminsvis kompletterar de flesta sin planering med en veckoplanering. Veckoplaneringen har olika inriktningar allt ifrån att lärarna utgår från planering av undervisningen i hela klassen till att lärarna planerar utifrån olika grupper av elever eller utifrån varje elev. En andra faktor som påverkar planeringen är innehållet i undervisningen och det vanligaste sättet att utgå ifrån samma arbetsområde för hela klassen och sedan individualisera inom detta. En lärare använder sig däremot av tre olika arbetsområden parallellt eftersom hon anser att det är det enda alternativet då den stora spridningen i hennes klass förutsätter detta: Det är ju egentligen tre olika ämnen att bara planera där, så i en vanlig klass så hade man nog kunnat köra ihop dom så dom var på samma, alla var på bråk till exempel fast de jobbade med olika fast det går inte i detta gänget, nä de är så otroligt olika så att det skulle liksom va då skulle jag få göra någon mellanvariant. (Tina, ) En tredje faktor som alla lärarna påtalar är att planeringen alltid kan ändras och att de måste vara beredda på att ändra flera olika aspekter av planeringen i avseende på innehållet till exempel, arbetsmoment, arbetsmaterial och svårighetsgraden utifrån klassen och/eller enskilda elever. 25

30 Det är svårt att veta riktigt var det barkar hän. Man kan inte planera en sak så hemskt långt i förväg, för det beror ju helt på hur gensvaret blir i gruppen. (Annelie, ) En fjärde faktor som alla lärarna tycker är viktigt vid planeringen av matematikundervisningen är att individualiseringen måste utgå ifrån elevernas kunskaper och klassens förutsättningar, det vill säga att tyngdpunkten läggs där det behövs. De påpekar också att det i planeringen finns en risk att målen för arbetsområdet läggs på lägsta uppnåendenivå, att de tänker mer på elever i matematiksvårigheter och att det är lätt att glömma bort de elever som kan sträva högre än bara till dessa uppnåendemål. Det blir ju ofta att man tar och lägger sig på den nivån att det är den lägsta nivån, ungefär målen att uppnå, det är lättast att lägga sig där och ibland känner jag att ibland glömmer man de som ska lite högre upp, att skriva mål för dom. (Kerstin, ) Vid genomförandet av matematikundervisningen har alla lärarna korta gemensamma genomgångar där de förklarar och diskuterar olika avsnitt av arbetsområdet. Här tar lärarna upp och visar på olika sätt att lösa uppgifter och olika sätt att tänka samt olika matematiska begrepp som utvecklar elevernas matematiska språk och här kan även eleverna få redovisa sina lösningar och tankar. Genomgångarna ser lite olika ut hos olika lärare beroende på deras förutsättningar i avseende på antalet elever och lärare samt spridningen på kunskaperna. Någon av lärarna har olika genomgångar för olika kunskapsnivåer inom arbetsområdet och andra lärare har möjlighet att ha ytterligare någon lärare som tar extra genomgångar med enskilda elever eller små grupper av elever. Alla lärare menar att gemensamma genomgångar är en viktig del av matematikundervisningen för att eleverna ska få höra och prata matematik och därför lyfter alla lärarna vikten av att prata matematik som en viktig aspekt. För vi glömmer ibland att vi är faktiskt dom som kan mest matte och det är vi som ska lära ut, de ska inte behöva läsa sig till det själva, dom ska egentligen bara träna i matteboken det som vi har försökt lära dom. (Tina, ) Den lärare som individualiserar inom tre olika arbetsområden menar att detta inte får utesluta gemensamma genomgångar och diskussioner eftersom hon anser att alla elever har nytta av genomgångar och diskussioner, även om de inte är precis avsedda för deras nivå eller precis berör det arbetsområde som eleven arbetar med just då. Alla är med på alla genomgångar alltid [ ] [som] en repetition [ ] för det är alltid nått man har tappat eller nån pusselbit man behöver lägga på plats [ ] jag tror att man kan ha nytta av alla genomgångar oavsett om de är för lätta eller för svåra eller precis lagom. (Tina, ) För att eleverna ska få möjlighet till olika sätt att tänka och lösa uppgifter på, låter flera lärare sina elever redovisa för varandra eller hjälpa varandra med uppgifter för att på så vis lära sig av och med varandra. Man kan lyfta dom andra barnens idéer för de brukar vi ofta göra att se olika sätt att tänka [ ] det gäller ju att hitta den metod som passar för sig. (Madeleine, ) Eleverna utvecklas genom att sätta ord på sina kunskaper och genom att få olika metoder för att lösa uppgifter på för att kunna hitta en metod som passar just dem. 26

31 En annan viktigt aspekt vid genomförandet som alla lärarna framhåller är vikten av att tänka på elever med stor fallenhet för matematik. De menar att det är viktigt att hitta uppgifter som utmanar och stimulerar dem för att matematiken inte ska upplevas som tråkig och att då riskera att ta död på deras glädje. Lärarna upplever det som en svårighet att kunna utmana och individualisera för elever med stor fallenhet för matematik och säger att det kan finnas en risk att tappa dessa elever, eftersom lärarna ofta är så inriktade på att få med alla i undervisningen. De menar att det därför finns en risk att undervisningen läggs på en för låg nivå för de elever med stor fallenhet för matematik. Jag ska nog erkänna att man, jag har inte tänkt så mycket för dom som kanske är starkast men dom som är svagaste tänker man ju mest på att man ska få med dom, men det är ju en brist hos en annan, man ska ju även utmana dom som är starka. (Magnus, ) Vid individualisering för elever i matematiksvårigheter menar tre av lärarna däremot att dessa elever kan de ofta få med sig genom att stryka uppgifter, peppa dem och ge dem mer tid. Michelle: [ ] klasser som har speciallärare knuten till sig på matten, så då har man kanske en liten grupp som går ut till specialläraren [ ] [är det] lätt att dom där rollerna förstärks annars också om jag är den som alltid går i liten grupp och att man som elev kan känna det Magnus: jag förstår inte och sen har man den tanken från början att jag är dum, jag fattar inte det här och sen faller man in i den rollen istället för att man försöker då. ( ) Dessutom menar dessa tre lärare att ofta får även specialläraren rollen att komplettera och fördjupa undervisningen vid svårigheter genom att ge eleven stöd och hjälp. Två av lärarna upplever att det då kan finnas en risk att vissa elever faller in i rollen som den som alltid behöver specialhjälp Anpassning Lärarna använder sig av olika sätt för att anpassa sin matematikundervisning så att den gynnar alla elever. Ett anpassningssätt som alla lärarna använder sig av är att de organiserar individualiseringen i sin matematikundervisning genom att på något vis gruppera eleverna utifrån olika kunskapsnivåer. Det vanligaste är att göra detta inom samma matematiska arbetsområde, eftersom de flesta lärarna menar att det är en förutsättning för det gemensamma arbetet. Ett undantag är den lärare som nämnts tidigare som har tre olika arbetsområden som hon individualiserar inom. Samma arbetsområde /eh/ för genomgångar och matteprat måste man ju ha ändå och eftersom jag är själv om att undervisa så måste man ju liksom, det får ju köra i det stora ändå. (Annelie, ) Jag har tre stycken, eh, läger, jag vill inte säga nivåer [ ], det skiljer ju alltså två år egentligen på dom [ ] i min grupp, jag har sån himla spridning [ ] [och] man kan ju individualisera inom området så att säga, men det går verkligen inte här utan då hade de fått stå och trampa, trampa, trampa, trampa jättelänge. (Tina, ) Lärarna gör individualiseringen utifrån både grupp- och individnivå. På gruppnivå utgår de flesta lärarna bland annat ifrån matematikbokens olika kunskapsspår inom arbetsområdet när det gäller färdighetsträningen. Lärarna påpekar dock att det även inom nivågruppering finns 27

32 en spridning av kunskaper som de måste ta hänsyn till. Två av lärarna påtalar också att i vissa undervisningssituationer kan det dock vara en fördel att blanda olika kunskapsnivåer och inte enbart arbeta med andra på samma kunskapsnivå, så att elever med stor fallenhet för matematik utvecklas av att få förklara för andra och elever i matematiksvårigheter kan få en draghjälp av andra elever. Ett andra anpassningssätt som fyra av lärarna använder sig av är olika slags arbetsscheman som elever följer under delar av undervisningen. Dessa arbetsscheman har i något fall sin utgångspunkt i en grupp, men det vanligaste är att eleverna tillsammans med sin lärare skriver ett individuellt schema för det enskilda arbetet inom arbetsområdet. Här nämner fem av lärarna vikten av att eleverna skolas in i att lära sig ta mer och mer ansvar för sitt eget lärande och att de får möjlighet att lära sig se sina egen utveckling och hur de på bästa sätt vill och ska nå sina mål. Detta ansvar är något som lärarna menar ska växa med stigande ålder och något som eleverna behöver stöttning för att lära sig. I början skriver vi ju gemensamma men nu [ ] går dom i sexan här och är lite drillade på detta då så tittar vi tillsammans och sen ibland kan jag säga så här försök och skriv en egen planering [ ] dom är duktiga på det och blir duktiga på att ta ansvar. (Madeleine, ) De kände sig själva lite, de är ju rätt stora det här barnen ändå [ ] så utifrån det fick de själva välja lite vilken nivå de ville jobba på. (Kerstin, ) Eget ansvar är väldigt viktigt att man lär sig ta med stigande ålder, att man tar ansvar för att det faktiskt händer någonting att man kommer framåt och att man utvecklas och att dom kan motivera varför dom inte har hunnit i så fall. (Tina, ) Att låta elevernas planera sitt arbete tillsammans med läraren möjliggör att eleverna kan få stöd och möjlighet att hitta och välja de arbetsmoment och arbetsmaterial som de tycker passar dem bäst. Därför menar lärarna att det är viktigt att utgå från alla elever och låta alla elever prova olika arbetsmoment och arbetsmaterial, att det inte bara är de som till exempel blir klara först som får möjlighet att prova något annorlunda. Här poängterar två av lärarna att en viktig del av individualiseringen är också att dra nytta av alla de olika hjälpmedel som finns, till exempel miniräknare och datorprogram för bland annat uppläsning av textuppgifter. Då får man ju individualisera på det viset, med hjälpmedlen eller vad det nu kan vara, det måste man ju hitta också, man får ju inte vara dum. (Madeleine, ) Ett tredje anpassningssätt som lärarna beskriver att de använder är att ha flera olika arbetsmoment och arbetsmaterial utöver matematikboken, som lärarna ser som ett av flera arbetsmaterial och då framförallt för färdighetsträning. De andra arbetsmoment och arbetsmaterial som lärarna använder sig av i olika utsträckningar är olika laborativa övningar, datoruppgifter, problemlösning i grupp eller två och två, olika spel, både speciella matematikspel och vanliga sällskapsspel, mattesagor, begreppsbok där olika matematiska begrepp presenteras och förtydligas, utomhusmatematik, gemensamma genomgångar och matematikdiskussioner. Kommunen som lärarna arbetar i har som redan nämnts haft ett matematikprojekt under föregående läsår vilket har medfört att alla klassrum på mellanstadiet är utrustade med ett stort antal spel och annat material. Kommunen har även skolavtal på flera olika slags pedagogiska datorprogram i matematik som eleverna kan använda som ett arbetsmoment. I alla olika arbetsmoment och inom allt arbetsmaterial använder sig lärarna av olika svårighets- 28

33 grader för att anpassa matematikundervisningen till varje elev. Uppgifterna anpassas både i avseende på mängd och nivå till alla elever och flera av lärarna poängterar vikten av att även hitta svårare och stimulerande uppgifter inom samma arbetsområde för de elever med stor fallenhet för matematik. Alla lärarna menar att de måste blanda arbetsmoment och arbetsmaterial för att skapa variation i undervisningen, för att kunna anpassa undervisningen efter elevernas vilja, lust att lära och hålla intresset för matematiken uppe så att det inte blir långtråkigt eller upplevs som tragglande. Lärarna upplever att de genom förra läsårets matematikprojekt har fått ökad kunskap om matematik och olika arbetsmoment och har även fått en god tillgång till olika matematiska material som ger förutsättningar för en undervisning med varierade arbetsmoment och arbetsmaterial. Just materialmässigt känner jag att där är vi väldigt väl, så att nå alla då, att nån kan jobba pratiskt eller dom kan jobba med datorn eller dom kan jobba med några stenciler eller något annat material, några kort eller det finns ju ganska väl, så man kan möta varje nivå, eller varje elev på det. Så det kan ju vara olika vad dom tycker är roligt och de gäller ju att hitta det, vad som tycker är kul och där ligger vi ju ganska väl till tycker jag. (Madeleine, ) Ytterligare arbetsmoment som lärarna använder sig av för att öka elevernas förståelse och för att undvika att förklara likadant på ett upprepande sätt eller lotsa eleverna till rätt svar är att låta eleverna förklara för varandra, försöka få eleverna att rita en lösning för att tydliggöra problemet och sina tankegångar, använda konkret material som synliggör matematiken eller eventuellt se om det är något tidigare moment som har missuppfattats och behöver klargöras. En lärare påtalar att det är viktigt att man som lärare är medveten om och tänker på att ens egen erfarenhet av matematik kan påverka ens förmåga att förstå elevens svårigheter och förklara på ett lämpligt sätt. 29

34 6. Analys Under detta avsnitt bearbetar, tolkar och analyserar vi studiens resultat i förhållande till studiens teoretiska bakgrund. Analysen är, liksom resultatet, kategoriserad utifrån våra frågeställningar Synsätt, möjligheter och begräsningar Hur ser lärarna i studien på individualisering inom matematikundervisningen och vilka möjligheter och begränsningar ser de med individualiseringen? Synsätt på individualisering Individualisering är ett begrepp som kan tolkas på olika sätt och därför kan innebörden av begreppet också skilja sig åt. Den nuvarande läroplanen, Lpo94 nämner aldrig individualisering som ett konkret begrepp. Däremot beskriver läroplanen ingående innebörden av en likvärdig utbildning, vilket innebär att lärare skall utgå från varje enskild individs behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande (Skolverket, 2006:12) för att eleven ska ges möjligheter till att utveckla hela sin förmåga. Av resultatet i denna studie framgår det att lärarna i studien verkar vara medvetna om Lpo94:s beskrivningar av och för en likvärdig utbildning. De tolkar beskrivningarna i Lpo94 som att individualisering innebär att undervisningen ska anpassas och utgå ifrån varje individ och att de ska försöka ge alla elever vad de behöver för att utvecklas. Lärarna poängterar att individualisering är så mycket mer än bara enskild räkning i matematikboken från pärm till pärm. Lärarnas uppfattning av individualisering stämmer också väl överrens med Löwings (2006) uppfattning om att individualisering innebär att lärare anpassar sin undervisning till varje elevs individuella förmåga, behov och förkunskaper. Om en sådan individualisering sker främjas elevernas motivation och vilja att lära (Skolverket, 2003). Lärarna i studien menar också att en anledning till varför det är viktigt att individualisera för alla elever, är för att motivationen bevaras och att få så många som möjligt att tycka det är roligt med matematik. Det är viktigt att individualisera i matematikundervisningen. Detta menar både lärarna i studien och flera författare, men trots detta anser alla lärare i studien, precis som Malmer (1990) och Skolverket (2003), att det kan finnas en viss fara om individualiseringen i matematikundervisningen genomförs i för hög grad, det vill säga på så sätt att eleverna enbart arbetar självständigt med enskilt arbete i eget tempo. Det lärarna i studien då avser med individualisering är att eleverna enbart har enskilt räkning medan läraren går runt och handleder, vilket Löwing och Kilborn (2002) benämner som hastighetsindividualisering. Då anser lärarna i studien att denna höga grad av enskilt arbete som individualiseringsform tar överhand över den gemensamma undervisningen och att det då finns en risk att tappa de viktiga gemensamma genomgångarna och diskussionerna samt det gemensamma arbetet. Den gemensamma undervisningen är också enligt Löwing och Kilborn (2002) samt Löwing (2004) mycket viktig, eftersom de menar att det är väldigt svårt att skapa och konstruera ett matematiskt kunnande utan några former av diskussioner, alternativa tankeformer, förklaringar eller lösningsmetoder. Socialkonstruktivismen och Vygotskijs lärandeteori menar också att samtalet har en central roll för konstruktionen av kunskap, eftersom det är till stor del genom språket som eleverna utvecklar sitt matematiska tänkande och lärande (Ernest, 1998; Imsen, 2006; Dysthe, 1996). Skrivningarna om en likvärdig utbildning i Lpo94 (2006) gäller ju skolans samtliga ämnen, men matematik anses vara ett ämne där individualisering är särskilt betydelsefullt. Den främsta orsaken till varför individualiseringen är betydelsefullt i matematiken är för att elevernas olika kunskapsnivå i matematik ofta har en större spridning jämfört med andra ämnen och kunskapsspridningen inom matematiken tenderar att öka mer och mer i takt med att eleverna blir äldre och abstraktionsnivån i matematiken ökar, vilket kräver större grad av 30

35 individualisering (Vinterek, 2006; Imsen, 2006). Att skillnaderna mellan elevernas kunskaper stiger i takt med att svårigheten stiger i matematiken, vilket kräver mer individualisering är något som lärarna i studien också har erfarenheter av. En ytterligare orsak till varför individualisering lämpar sig bra i matematik är att matematik är ett ämne som är starkt förknippat med elevernas självtillit och självbild (Skolverket 2003), vilket en av lärarna i studien betonar som mycket avgörande för elevernas kunskapsutveckling. Läraren menar att eleverna ofta saknar tilltro till sin egen förmåga och självförtroende i matematik, något som kan bero på att de har fått negativa inställningar och förutfattade meningar från andra personer, till exempel föräldrar, vilket även flera författare menar är en möjlig förklaring (Skolverket, 2003; SOU:2004:97; Ahlberg, 2000) Möjligheter och begräsningar Gruppering av elever är en vanlig strategi att individualisera för att försöka nå alla elevers behov. Grupperingen av elever görs genom att dela in eleverna, under olika perioder, i relativt homogena grupper efter elevernas prestationer och förkunskaper (Löwing, 2006: Wallby m fl, 2001). Lärarna i studien upplever att klassens kunskapsnivå och kunskapsspridning påverkar behovet av individualisering och hur individualiseringen kan genomföras. Om klassen är relativt homogen i sin kunskapsnivå menar flera av lärarna i studien att behovet av individualiseringen inte är lika stort inom klassen. Detta till skillnad från om klassen är heterogen då behovet av en individualisering för varje elev ökar, eftersom det då finns ett större antal nivåer som ska tillgodoses. En av lärarna i studien har en mycket stor kunskapsspridning i sin klass, vilket förutsätter att hon individualiserar på olika nivåer och för varje enskild elev. Matematik är ett ämne som är förknippat med många olika känslor och det är ofta så att en person som är duktig i matematik allmänt uppfattas och ses som en kompetent person. Många har ett känslomässigt förhållande till matematik, det kan vara allt ifrån nyfikenhet till skräck och ångest (Skolverket, 2003; SOU, 2004:97). Självförtroendet och självbilden är något som en lärare i studien beskriver som en faktor som påverkar individualiseringen. Hon menar att självförtroendet är mycket avgörande och att det därför är väldigt viktigt att lyfta och stärka elevernas självförtroende i matematik. En satsning på att bygga upp och förstärka elevers självförtroende är något som författarna till Statens offentliga utredning (2004:97) också menar behövs för att bryta negativa attityder. Samarbete och utbyte av erfarenheter och kunskaper i ett socialt samspel, som elever kan göra enligt Vygotskijs lärandeteorier, är något som även kan gälla lärares möjligheter att tänka och lära sig nytt (Lindkvist, 2003). Lärarna i studien menar därför att det är en stor fördel att vara flera lärare som tillsammans planerar och undervisar, eftersom det då skapas förutsättningar för att på ett professionellt sätt vidareutveckla och fördjupa individualiseringen. Lärarna i studien menar också att om det finns fler lärare finns det även större möjligheter till att ha en flexibilitet och kunna hjälpa fler elever löpande i undervisningen så att den blir mer effektiv och uppnår en högre grad av individualisering. Tiden är en faktor som alla lärarna i studien påtalar som mycket avgörande för att kunna individualisera. Att det krävs tid att både planera och genomföra en god individualisering och alla poängterar att de har flera andra ämnen som de också ska planera och individualisera inom. Några av lärarna i studien anser därför att de måste anpassa individualiseringen på en nivå som är rimlig tidsmässigt och resursmässigt, till exempel beroende på storleken på klassen, kunskapsnivån och kunskapsspridningen samt antal lärare i undervisningen. 31

36 6.2. Kartläggning Hur skaffar sig lärarna i studien underlag för att planera, genomföra och anpassa individualiseringen i sin matematikundervisning? Matematik är ett ämne som har flera olika delmoment som ofta bygger på samma räknelagar och delmomentens sammanlänkning skapar matematikens unika struktur, vilket kräver olika typer av förkunskaper eftersom nivån av abstraktion hela tiden stiger (Skolverket 2009). Därför är det viktigt att lärare följer sina elevers kunskapsutveckling över tid, vilket även lärarna i studien menar är viktigt för att se elevernas kunskapsnivå och kunskapsutveckling. En diagnostisk undervisning skapar goda förutsättningar för att se helheten av elevers kunskapsutveckling (MSI, 2009). Lärarna i studien menar också att de måste försöka se till helheten för att få en klar bild över vad eleverna kan och inte kan, eftersom de menar att mycket av kunskaperna i matematiken går in i varandra och återkommer oavsett arbetsområde Kartläggning inför arbetsområden Det första steget för en individualiserad matematikundervisning är att på något sätt ta reda på sina elevers förkunskaper (Löwing 2006). Löwing och Kilborn (2002) menar att kunskapsdiagnoser är lärares skyldighet att genomföra så att de kan få reda på sina elevers individuella behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande (2002:163). Det vanligaste sättet att ta reda på elevers förkunskaper är att använda sig av en fördiagnos (Löwing & Kilborn, 2002), vilket även lärarna i studien gör i olika grad. Flera av lärarna ser diagnostisering som en självklarhet och förklarar sin användning av fördiagnoser som ett sätt att få en överblick av klassen som helhet och varje individ. De menar att fördiagnosen hjälper dem att planera sin undervisning utifrån elevernas förutsättningar och behov, framförallt när de har en ny elevgrupp Underhandskartläggning Olika diagnosverktyg hjälper lärare att både se och följa sina elevers utveckling och kontinuerliga dialoger är ett bra sätt att följa och följa upp sina elevers kunskapsutveckling (Skolverket, 2009; Löwing & Kilborn, 2002; MSI, 2009). När lärarna har haft sina elever ett tag menar lärarna att de blir mer medvetna och får större kunskaper om elevernas förutsättningar och förkunskaper. Då använder de ofta även samtal under diskussioner, redovisningar och genomgångar samt i något fall rättning av matematikböckerna som ytterligare grund för sin överblick över elevernas kunskaper. Lärarna i studien använder sig även av lärobokens kapiteldiagnoser, men menar då att de diagnoserna mer fungerar som en avstämning, som tillsammans med elevernas självvärdering, samtal vid genomgångar och diskussioner ger en bild av elevernas kunskaper Kartläggning efter arbetsområden Olika diagnoser hjälper lärare att kunna se de kunskaper som elever behärskar och hur väl elever har tillägnat sig och befäst sina matematikkunskaper (Skolverket, 2009). Efter arbetsområdets genomförande använder lärarna i studien sig av olika efterdiagnoser eller prov för att på olika vis få en bild av vilken kunskap eleverna har tillägnat sig. För att verkligen få en bild av vilka kunskaper som är befästa och vilka som eventuellt fallit bort och för att få ett redskap till fortsatt individualisering använder sig en av lärarna av ytterligare en diagnos en tid efter att de har lämnat arbetsområdet. 32

37 6.3. Planering, genomförande och anpassning Hur planerar, genomför och anpassar lärarna i studien sin matematikundervisning så att den gynnar alla elever? Planering och genomförande Poängen med planering av matematikundervisning är att skapa och få en kontinuitet i lärandeprocessen för eleverna. Ett vanligt sätt att planera undervisningen är att endast utgå ifrån lärobokens struktur och mål, vilket kan bero på att styrdokumentens mål upplevs som allt för övergripande (Löwing & Kilborn, 2002). Löwing och Kilborn (2002) samt Malmer (2002) menar att även om lärare utgår ifrån en lärobok krävs en tydlig planering och utvärdering av såväl målen som undervisningen och ett exempel på en sådan tydlig planering kan vara en planering med utgångspunkt i Skolverkets (2010) lokala pedagogiska planeringar. Precis som Löwing och Kilborn (2002) skriver att läroboken är den vanligaste utgångspunkten använder även alla utom en av lärarna i studien läroboken som grund och utgångspunkt i sin planering av matematikundervisningen. I detta förhållningssätt står läroboken för måltolkning, arbetsmetoder och uppgiftsval (Skolverket, 2003). Däremot försöker alla dessa lärarna komplettera sin planering med en lokal pedagogisk planering för varje arbetsområde, där de tolkar och planerar mål, arbetssätt och bedömning, vilket de delvis hänvisar till kommunens kunskapsoch bedömningsprojekt. En av lärarna i studien har istället sin pedagogiska planering med kursplanemålen som utgångspunkt till sin planering, vilket kan indikera att hon har en planering och undervisning som är mer styrd av styrdokumenten än matematikboken (Skolverket, 2003). Skolverkets (2010) anvisningar för pedagogisk planering kan uppfattas som relativt snäva och trots att den planering som lärarna gör därigenom kan uppfattas som relativt bunden, menar lärarna i studien att all planering måste var flexibel utifrån gruppen, både när den upprättas och under arbetets gång. Flexibilitet är viktigt eftersom alla elever är olika och har skilda behov och därför reagerar på olika sätt i samma undervisningssituation. Alla lärarna i studien poängterar vikten av att prata och diskutera matematik och de förklarar att deras genomgångar och gruppövningar av olika slag är viktiga för detta matematikprat. Språkets viktiga betydelse i matematikundervisningen lyfter också Bratt och Wyndhamn (1996) och de menar att det är med hjälp av språket som vi kan ta till oss abstrakt kunskap, språket blir en hjälp för att utveckla, förstå och använda matematikens begrepp, samband och operationer. Språket har även enligt Vygotskij en stor betydelse eftersom det är ett redskap för elevernas kunskapsinhämtning och kunskapsutveckling och språket gör även att eleven blir medveten om sitt kunnande och hur den lär (Imsen, 2006; Skolverket, 2003). Lärarna poängterar också just vikten av att prata matematik och förklarar att eleverna då lär sig av varandra och utvecklar matematiska begrepp och ett matematiskt språk och lärarna menar då att matematik-pratet är av stor betydelse för elevernas begreppsutveckling och matematiska språk. Därför avsätter lärarna lektioner eller delar av lektioner för detta, till exempel att eleverna redovisar sina problemlösningar för varandra eller att lärarna har korta gemensamma genomgångar. Vid dessa tillfällen förklarar och diskuterar de olika avsnitt av arbetsområdet, till exempel förklarar olika matematiska begrepp och termer eller olika lösningsalternativ. Just detta att redovisa olika lösningar för varandra och ha gemensamma reflektioner och samtal som utgår från elevers tankar och där elever är aktiva är faktorer som rapporten Lusten att lära (Skolverket, 2003) lyfter som viktiga för elevers lärande i matematik. Att undervisningen på detta vis har sin utgångspunkt i elevers erfarenheter och tankar är något som Dewey menar är viktigt för elevers kunskapsutveckling så att elever upptäcker och förstår att det finns flera olika sätt att lösa ett problem på (Lindkvist, 2003; Ahlberg 2000). För att öka elevernas förståelse, förutom att kommunicera och diskutera matematik, använder sig lärarna i studien av en variation på förklaringssätt, till exempel låter 33

38 eleverna förklara och hjälpa varandra, försöker få eleverna till att rita en lösning för att tydliggöra problemet och sina tankegångar, använder konkret material som synliggör matematiken eller eventuellt se om det är något tidigare moment som har missuppfattats och behöver klargöras. Det är viktigt att ge alla elever rätt stimulering för att hålla motivationen uppe. Om eleverna får fel stimulering finns det en risk att de tappar sin motivation. Elever i matematiksvårigheter kan tappa motivationen om de får för svåra uppgifter för sin kunskapsnivå och elever med stor fallenhet för matematik kan tappa motivationen om de får för lätta uppgifter för sin kunskapsnivå. I Lpo94 kan man läsa att lärare i sin undervisning ska ge särskilt stöd till elever som har svårigheter (Skolverket 2006:12) och författarna till Statens offentliga utredning (2004:97) anser att elever med stor fallenhet för matematik ska få särskilda utmaningar och genomtänkt organiserad ledning för att bredda och fördjupa sitt kunnande (2004:97:83). Lärarna i studien upplever att det är en större risk att elever med stor fallenhet för matematik tappar sin motivation, eftersom lärarna säger sig ofta vara så inriktade på att få med alla i undervisningen och därför lägger undervisningen på en för låg nivå och glömmer dessa elever. Lärarna menar att det är lättare att få med sig elever i matematiksvårigheter genom att stryka uppgifter, uppmuntra dem eller ge dem mer tid. Dessutom menar lärarna i studien att elever i matematiksvårigheter ofta får hjälp av specialläraren genom en kompletterande och fördjupande undervisning. Persson (2007) menar att om elever börjar få specialundervisning tidigt finns det en risk med att eleverna ofta permanentar sitt behov av specialundervisning, vilket även några lärare i studien menar, att det kan finnas en risk att rollerna förstärks Anpassning Inom alla klasser finns en spridning av kunskaper och kunskapsnivåer som lärare måste ta hänsyn till vid individualiseringen. Nivågruppering är ett sätt att organisera individualiseringen och indelningen av elever i olika grupper utifrån kunskaper och denna styrs ofta utifrån de nivåer och spår som finns i läroböckerna (Skolverket, 2003). Lärarna i studien organiserar ofta sin individualisering i matematikundervisning genom att på något vis nivågruppera eleverna, inte minst om de har stora klasser och/eller är ensamma lärare för klassen. De flesta lärarna gör individualiseringen på gruppnivå genom att till viss del utgå från matematikbokens olika kunskapsspår inom ett berört arbetsområde. De flesta lärarna i studien anser, liksom Malmer (1990), att det är lämpligast att nivågruppera inom ett och samma arbetsområde. Däremot förklarar en av lärarna i studien att hon nivågrupperat sina elever utifrån tre helt olika arbetsområden på grund av att kunskapsspridningen i hennes klass är så pass stor att det är omöjligt att ha alla inom samma arbetsområde. Alla lärarna påpekar dock att det även inom nivågruppering finns en spridning av kunskaper som de måste vara medvetna om och därför kan det även behövas individualisering inom en sådan gruppering. Även om lärarna i studien nämner nivågruppering som en individualisering verkar de vara medvetna om att det mer än en organisatorisk åtgärd, det vill säga det Löwing och Kilborn (2002) kallar för differentiering, för att kunna ytterligare kunna individualisera inom grupperingen. De individualiseringssätt som lärarna i studien använder inom nivågrupperingen är bland annat att låta eleverna arbeta med olika uppgifter i boken, anpassa antalet uppgifter, anpassa svårighetsgraden och låta eleverna arbeta i olika takt. Dessa individualiseringssätt kan ses som det Vinterek (2006) benämner som en individualisering av innehåll, hastighet, nivå och omfång. Lärarna i studien menar att det även är en fördel att blanda olika kunskapsnivåer så att eleverna inte alltid enbart arbetar med andra på samma kunskapsnivå, utan att elever med stor fallenhet för matematik få möjligheter att utvecklas genom att förklara för andra och elever i matematiksvårigheter kan få en draghjälp genom att samarbeta med andra elever. Lärarnas tankar speglar här mycket väl Vygotskijs lärandete- 34

39 ori om den proximala utvecklingszonen, att eleven lär sig i ett socialt sammanhang tillsammans och med hjälp av andra, för att på så vis komma vidare i sin kunskapsutveckling (Egidius, 2005). Arbetsschema är en metod som kan skapa variation i det enskilda arbetet. Flera av lärarna i studien använder sig av denna metod för att försöka skapa variation i det enskilda arbetet. Metoden fungerar på så sätt att läraren låter eleverna planera och arbeta utifrån olika slags arbetsscheman som innehåller olika övningar och arbetsmoment, till exempel i läroboken, datorövningar eller spel, allt beroende på vad varje elev har behov av. Ahlberg (2000) menar att detta är en vanlig metod som lärare använder sig av och det vanligaste är då att elever bara planerar och följer ett schema som berör vilka och hur många sidor i läroboken de ska arbeta med. Även om lärarna i studien använder sig av den här metoden som grund utökar de den genom att arbetsschemat också innehåller en variation av arbetsmoment och arbetsmaterial för elever och att arbetsschemat även anpassas till eleverna genom olika svårighetsgrad på arbetsmomenten och arbetsmaterialet. Därför kan man se att dessa lärarnas arbetsscheman fungerar som det Vinterek (2006) benämner som en metod- och materialindividualisering, där lärarna inom sina arbetsscheman även använder en innehålls- omfångs-, nivå- och hastighetsindividualisering i olika grad. När eleverna planerar sitt arbetsschema tillsammans med läraren blir eleverna delaktiga i sin lärandeprocess och får då ta ett allt större ansvar och får en ökad förståelse för sin kunskapsutveckling, vilket kan ge en ökad tillit till sin förmåga att lära och samtidigt en ökad förståelse för målen och metoderna för sitt lärande (Skolverket, 2003). Att eleverna görs delaktiga i sina egna planeringar är något som lärarna i studien, i olika grad, skolar in sina elever i utifrån den lokala pedagogiska planeringens mål, deras Individuella utvecklingsplan (IUP) samt deras egna önskemål. Detta stämmer även överens med det läroplanen (2006) skriver om elevernas ansvar och inflytande att skolan ska sträva efter att varje elev, tar ett personligt ansvar för sina studier och sin arbetsmiljö [och] successivt utövar ett allt större inflytande över sin utbildning och det inre arbetet i skolan (Skolverket, 2006:13). Även Dewey och Vygotskij menade att eleven ska ta ansvar över sin kunskapsutveckling genom att organisera och planera sitt eget lärande (Lindkvist, 2003). Metoden att använda arbetsscheman i undervisningen kan enligt Ahlberg (2000) bli något som enbart ersätter läroboken för enskilt arbete, men lärarna i studien ser på sina arbetsscheman som bara ett sätt att organisera individualiseringen och som bara får vara en del av undervisningstiden. Olika arbetsmoment och arbetsmaterial ger förutsättningar för en individualisering. Det är viktigt att i planeringen och i genomförandet tänka på att få med så många olika arbetssätt som möjligt för att motverka en för monoton lärandemiljö (Skolverket, 2003). Detta menar också lärarna i studien och pekar på sin variation av arbetsmoment och arbetsmaterial i matematikundervisningen och lärarna menar att det krävs en variation för att skapa och upprätthålla en lärandemiljö som gör att varje elev kan lära sig på sitt unika sätt. Lärarna i studien verkar se en anpassning av lärandemiljön som en anpassning av arbetsmoment och arbetsmaterial och inte det som Vinterek (2006) avser med miljöindividualisering, det vill säga en individuell anpassning av studiemiljön efter elevens behov. Istället kan lärarnas anpassning genom sin variation av arbetsmoment och arbetsmaterial ses mer som det som Vinterek (2006) benämner som materialindividualisering än miljöindividualisering. När lärare bygger upp lärandet genom att utgå från olika lärstilar för att möta varje elevs styrkor och unika möjligheter menar Boström och Svantesson (2007) att lärare skapar goda förutsättningar för lärande genom att eleverna får en ökad självkännedom, bättre självkänsla och en mer positiv inställning till skolan och lärande. Boström och Svantesson (2007) menar att undervisningen då blir mer kreativ, roligare, lustfylld, öppnare och mer individualiserad, vilket kan medföra att fler elever nå målen, något som även lärarna i studien menar och upplever. En av förutsättningarna för att kunna ha en varierad undervisning är att lärare har 35

40 tillgång till olika typer av material som möjliggör detta och didaktiska kunskaper om material och andra arbetssätt (Malmer, 1990; Löwing & Kilborn, 2002). Lärarna i studien har genomgått fortbildning i matematik och deltagit i ett matematikprojekt. De menar att detta har gett dem didaktiska kunskaper och tillgång på olika arbetsmaterial och att de därför lärt sig vikten av en varierad undervisning. Ahlberg (2000) beskriver att det finns olika förhållningssätt till användningen av läroboken. Lärarna i studiens förhållningssätt till användningen av matematikboken är att de har denna som grund för sin planering och genomförandet av sin matematikundervisning, något som speglar att de är delvis styrda av läroboken. Ändå försöker de komplettera denna med en planering som är förankrad i styrdokumenten och vid genomförande av matematikundervisningen försöker de att få med en stor variation av arbetsmoment och arbetsmaterial och inte enbart vara styrda till matematikboken. 36

41 7. Diskussion Diskussionen inleds med en metoddiskussion där vi diskuterar hur undersökningen gick både utifrån positiva och negativa erfarenheter och vad som eventuellt kan ha påverkat studiens resultat. I resultatdiskussionen kommer vi att reflektera kring innebörden och betydelsen av studiens resultat och föra en fördjupad diskussion utifrån studiens resultat, studiens teoretiska bakgrund samt egna funderingar och erfarenheter Metoddiskussion Valet att göra en urvalsenkät motiverades av att inte ha ett slumpvis eller bekvämlighets urval utan för att få en variation av synsätt och genomförande av individualisering. Vi strävade efter att få en så stor spridning och variation som möjligt och trots att vi delade ut enkäten till ett stort antal lärare fick vi inte den stora spridning och variation som vi hade önskat. Synsätt och genomförande varierade till viss del, men vi hittade inte några extrema motpoler eftersom alla de lärare som valde att gå vidare och bli intervjuade hade en hög grad av, det vill säga bred och varierad, individualisering i sin undervisning till skillnad från om de hade haft en mindre varierad eller obefintlig individualisering. En orsak till varför spridningen inte blev så tydlig kan vara att de lärare som inte upplevde att de själva individualiserade i så hög grad valde att inte delta i någon vidare intervju. En ytterligare orsak till varför spridningen av synsätt och genomföranden inte blev så stor som vi hade önskat och till varför alla de intervjuade lärarna genomförde individualisering i en hög grad kan bero på att den kommunen vi genomförde vår studie i hade nyligen genomfört ett större matematikutvecklingsprojekt för just de årskurserna som undersöktes. Dessutom tror vi att de lärare som inte valde att vidare delta kände att de trots matematikutvecklingsprojektet inte individualiserade i en så hög grad som de hade en förställning om att vi eftersökte. Av de 25 enkäter vi skickade ut fick vi slutligen tillbaka hela 20 stycken, men det tog relativt lång tid att både få respons från de berörda rektorerna och att få tillbaka de enkäter som skickades via brev och mail. Enkätens frågor var öppna och krävde därför en viss tid att svara på, vilket kan ha gjort, precis som Johansson och Svedner (2001) menar, att inte alla orkade eller hade tid att svara fullt ut och det såg även ut som att ett fåtal lärare hade svarat på enkäten gemensamt i arbetsslaget. Vi tror att responsen från rektorerna hade varit snabbare om vi direkt hade kontaktat dem personligen för att förtydliga mailet och bokat tid för utdelning av enkäten. Om vi hade insisterat på att få möjlighet att boka upp en tid för att dela ut enkäten på respektive skola tror vi att utdelningen och insamlingen av enkäterna hade gått snabbare och smidigare. Vid de skolor där vi personligen fick presentera oss och vårt arbete upplevde vi att responsen var mer positiv till arbetet och dess syfte och att fler kunde tänka sig att bli intervjuade. Då lärarna genom urvalsenkäten hade gett ett första medgivande till vidare intervju var den senare kontakten mycket positiv och det gick lätt och smidigt att boka upp tider och tillfällen för intervjuerna. Eftersom syftet med studien var att studera individualiseringen i matematikundervisningen för årskurs 4-6 eftersträvande vi, precis som Johansson och Svedner (2001) samt Starrin och Renck (1996) menar att man ska försöka få så uttömmande, breda och djupa svar och beskrivningar som möjligt och därför använde vi oss av kvalitativa intervjuer med öppna frågor som svarade mot studiens syfte och därmed säkerställde studiens validitet (Patel & Davidsson, 2003; Starrin, 1994). Nästan alla intervjuer genomfördes avskilt och utan några yttre störningar och eftersom lärarna fick välja plats och tid som passade dem kändes det som att de var bekväma med situationen och inte stressade utan hade avsatt tid för intervjun. Däremot genomfördes en intervju i lärarens klassrum och blev avbruten vid ett tillfälle av elever, men vi upplevde inte att detta påverkade intervjun i någon större utsträckning utan det blev bara en paus tills eleverna passerat. Vi upplevde att de intervjuade lärarna var engagerade, förberedda och positiva och vi tror att de flesta såg intervjun som ett lärande- 37

42 tillfälle både för oss och för dem. Att lärarna var förberedda och hade en förförståelse av intervjuns syfte och innehåll genom urvalsenkätens frågor var till största delen positivt eftersom de kunde förbereda sig och på så vis känna sig bekväma i situationen. Det fanns dock en risk för att denna förförståelse av intervjuns innehåll och studiens syfte gjorde att lärarna kanske vinklade svaren på det viset som de trodde att vi förväntade oss, men vi upplevde inte att svaren var tillrättalagda utan svaren verkade genuina, eftersom vi upplevde att lärarna var ärliga om eller när de inte förstod frågan eller hade svar. Vi båda medverkade vid intervjuerna vilket vi upplevde som mycket positivt och bra för att säkerställa studiens validitet och reliabilitet, eftersom lärarna hade olika lätt för att uttrycka sig fritt och därför krävdes ett större eller mindre antal följdfrågor för att få samma struktur på intervjun och beröra alla frågeområden grundligt, vilket alltså säkerställdes genom att vi båda medverkade. Genom att vi hade en kvalitativ intervju med öppna frågor var det mycket viktigt för validitetens skull att intervjuerna spelades in för att kunna fokusera på den intervjuade under intervjun och sedan transkribera intervjun ordagrant för att säkerställa bearbetningen av resultatet (Bryman, 2002). Även om transkriberingarna tog lång tid att skriva menar vi att de underlättade det kommande arbetet genom att vi kunde gå tillbaka till utskrifterna gång och gång, vilket gav djupare diskussioner och säkerställde att vi uppfattat lärarnas utsagor rätt Resultatdiskussion Lärarna i studien verkar vara väldigt medvetna om vad läroplanen avser med individualisering, vilket betyder att olika elever har olika förutsättningar, erfarenheter och behov och att lärarna vet att detta förutsätter att de måste försöka planera och anpassa sin matematikundervisning utifrån varje elev. Det är intressant att lärarna i studien även poängterar att de anser att individualiseringen är särskilt betydelsefull i just matematikundervisningen eftersom de menar att kunskapsnivån i matematik ofta har en större spridning och tenderar att öka jämfört med andra ämnen. Därför blev det extra intressant för oss att studera och utvärdera hur deras individualisering i matematikundervisningen genomförs. En av lärarna i studie lyfter även en annan viktig faktor och det är matematikens starka samband med elevers självtillit och självbild, men hon vet inte varför självförtroendet är så avgörande i just matematiken. Vi tror med bakgrund från teorin att självförtroendet kan ha stor betydelse eftersom matematiken ofta är förknippad med många olika känslor och för att en person som är dukigt i matematik allmänt uppfattas som en kunnig och erfaren person även inom andra områden (Skolverket, 2003; SOU:2004:97). Dessutom tror vi att den ökande kunskapsspridningen gör att elevernas kunskapsskillnader syns tydligare i matematik än i andra ämnen, vilket i sin tur kan påverka elevernas självförtroende och därför påverkar just matematiken elevers självförtroende i så hög grad. Självförtroendet är också viktigt för att hålla motivationen uppe och lärarna i studien, i likhet med flera författare, menar även att en positiv inställning till matematikämnet är vikigt för att skapa motivation och motverka eventuella negativa uppfattningar om matematik hos eleverna (Skolverket, 2003; SOU:2004:97; Ahlberg, 2000). Här får lärare en viktig roll där de ska försöka skapa ett självförtroende och en motivation för lärande hos sina elever genom att individualisera undervisningen för alla elever så att så många som möjligt upplever glädje med matematik. Alla de lärare vi intervjuade för studien är mycket medvetna om individualiseringens betydelse för matematikundervisningen och visar alla upp en stor variation av arbetsmoment och arbetsmaterial som kan möjliggöra för alla elever, oavsett förutsättningar, erfarenheter och behov, att uppnå ett optimalt lärande i matematik. En anledning till att alla lärarna har denna höga grad av variation kan vara att den kommunen vi genomförde studien i visade sig ha haft ett större matematikprojekt för årskurs 4-6 under förra läsåret. Där ingick konferenser och utbildning för lärarna och varje klassrum tilldelades ett stort urval av olika 38

43 praktiska material, vilket möjliggör en variation undervisningen genom material och kunskaper. Lärarna i studien försöker att individualisera sin matematikundervisning så att det ska gynna alla elever, men upplever samtidigt att mer fokus läggs på elever i svårigheter och att de därför känner att de kanske ofta försummar de elever med stor fallenhet i matematik och att dessa inte får utmaningar i den utsträckningen som lärarna har intention att vilja göra. En orsak till att fokus mer läggs på elever i svårigheter tror vi, i likhet med Löwing och Kilborn (2002) och Ahlberg (2000), kan vara att läroplanen beskriver att särskild hänsyn ska tas till just elever i svårigheter och konsekvensen av detta blir att eleverna stor fallenhet för matematik kanske inte får lika mycket fokus. En ytterligare konsekvens av läroplanens skrivningar blir att lärarna på grund av resurs- och tidsbrist väljer att fokusera på elever i svårigheter för att få med sig alla elever till uppnåendenivån. Några av lärarna i studien upplever även att det kan finnas en risk med att de elever i matematiksvårigheter som får hjälp och stöd av speciallärare permanentas i sin roll som någon som alltid behöver specialundervisning. Vi funderar här på om en eventuell lösning skulle kunna vara att istället för att exkludera dessa elever från den ordinarie undervisningen, kunna använda specialläraren som en resurs för att få möjlighet att förbättra och öka individualiseringen inom ramen för den ordinarie undervisningen. Specialläraren skulle då bli en resurs, inte bara för någon elev, utan skulle kanske även möjliggöra en bättre individualisering för alla elever i klassen. För elever i matematiksvårigheter kan det kanske även vara bra för deras matematiksjälvförtroende att inte exkluderas utan att få ingå i gemenskapen och känna sig delaktiga i den gemensamma matematikundervisningen. Lärarna i studien är även medvetna om att eleverna med stor fallenhet för matematik ofta inte får den stimulering och de utmaningar de behöver och lärarna säger sig ha en vilja att göra detta i större utsträckning. Lärarna påtalar vikten av att individualisera för alla elever, men de nämner nästan uteslutande individualisering för elever i matematiksvårigheter eller för elever med stor fallenhet för matematik och diskuterar nästan aldrig vad de gör för att anpassa och individualisera undervisningen för alla de elever som befinner sig mittemellan dessa grupper. Vi tror att detta beror på att dessa elever är i en diffus mellangrupp som inte specifikt nämns i varken läroplanen eller kursplanen och dessutom är detta en grupp som kanske upplevs som nöjd eller inte så krävande och därför inte uppmärksammas lika mycket. Detta har troligtvis att göra med det lärarna säger att trots sin medvetenhet menar de att tid och resurser begränsar deras möjligheter att individualisera så att det verkligen gynnar alla elever. Tids- och resursbristen begränsar mycket och kan även vara en anledning till varför flera av lärarna i studien väljer att organisera sin individualisering genom att gruppera eleverna i olika nivågrupperingar utifrån kunskapsnivå om klassen är stor eller kunskapsspridningen inom hela klassen är stor. På så vis skapar lärarna mer homogena grupper vilket gör att de upplever att behovet av individualisering inom en sådan grupp inte är lika stort och därför mer hanterbart. En konsekvens av nivågruppering kan vara att lärare lätt missar att individualisera för varje elev inom gruppen och använder istället nivågrupperingen som den enda individualiseringen vilket kan leda till att nivågrupperingen bara blir en organisatorisk åtgärd. Många av lärarna i studien poängterar att det givetvis finns skillnader även inom en sådan nivågruppering, men flera av dem ansåg sig inte alltid ha tid och möjlighet att även individualisera på individnivå inom gruppen mer än i några enstaka fall. När lärarna i studien genomförde dessa nivågrupperingar utgick majoriteten av dem från att eleverna grupperades inom samma arbetsområde, något som både de och Malmer (1990) anser är en förutsättning för att även kunna ha det viktiga gemensamma arbetet. En av lärarna i studien gör däremot denna indelning utifrån helt olika arbetsområden, eftersom hon menar att kunskapsspridningen i hennes klass förutsätter det. Hon har inte upplevt någon svårighet med att även genomföra den viktiga gemensamma undervisningen utan har istället skapat möjligheter att genomföra detta på ett kanske lite annorlunda sätt. Detta tycker vi visar på att individua- 39

44 lisering inte bara behöver eller ska vara organisatoriska åtgärder utan att individualisering även förutsätter att man kan, vill och vågar ändra sina arbetssätt för att förbättra individualiseringen. Ett första steg för att möjliggöra en undervisning som innehåller en större variation av arbetsmoment och arbetsmaterial är att som lärarna i studien menar, att inte vara bunden till matematikboken så att den styr undervisningen, utan att matematikboken bara är en del av undervisningsmomenten. Lärarna i studien beskriver att i och med att de har varit med i det kommunala matematikprojektet under förra läsåret har det gjort att de har fått goda kunskaper och brett urval av material. De kunskaper som lärarna har fått genom matematikprojektet kan även vara en anledning till att, när de använder olika arbetsschema med eleverna, använder de även dessa som ett sätt för att möjliggöra en undervisning med en stor variation av arbetsmoment och arbetsmaterial. Lärarna i studien använder alltså inte sina elevers arbetsscheman enbart till det som Ahlberg (2000) menar är det vanligaste, att arbetsscheman endast avser vilka sidor i matematikboken som ska utföras, utan de använder arbetsschemat för att få en variation av arbetsmoment och arbetsmaterial i sin individualisering matematikundervisningen. Lärarna i studien menar att de använder, som vi varit inne på tidigare, läroboken som ett av flera arbetsmoment i matematikundervisningen, men vi menar att deras förhållningssätt och användning av läroboken snarare pekar på att de har en läroboksstyrd undervisning. Vi menar detta eftersom alla utom en av lärarna i sin planering och som bas för sin undervisning utgår från läroboken och dess arbetsområdes indelning och målbeskrivningar. De varierar i och för sig sin matematikundervisning i hög grad genom olika arbetsmoment och arbetsmaterial, vilket pekar på att de trots sin läroboksstyrda undervisning vill sträva mot en undervisning som inte är så styrd av läroboken. Nästan alla lärarna använder som sagt läroboken som bas och utgångspunkt för sin planering av undervisningen, antagligen för att få hjälp och stöd med tolkningen av styrdokumentens mål. Sedan kompletterar de flesta lärarna i studien sin planering med en egen planering eller en planering utifrån Skolverkets (2010) och kommunens riktlinjer för lokal pedagogisk planering. En orsak till att så många av de intervjuade lärarna jobbade aktivt med att skapa och komplettera sin planering med en planering som är förankrad i styrdokumenten tror vi kan bero på att kommunen under flera år arbetat aktivt med ett projekt om kunskap och bedömning, där framtagandet av riktlinjer och olika bedömningsmatriser har varit en viktig del i utvecklingsarbetet. Medvetenheten om att aktivt ha med sig styrdokumenten löpande i sin planering tror vi därför har blivit en naturlig del i arbetsprocessen. Vi ser detta som att lärarna i studien har börjat en process med att gå från en läroboksstyrd undervisning till en undervisning som är styrd utifrån styrdokumenten. Vi tror att en förutsättning för de ska få en undervisning som är styrd utifrån styrdokumenten är att lärarna får ytterligare kunskaper och tränas i att börja sin planering med att utgå från styrdokumenten istället för att utgå från lärobokens målbeskrivningar och arbetsområdesindelning. Något som kan ge ökade förutsättningar för att lärarna ska få en undervisning som är styrd utifrån styrdokumenten, kan vara den kommande läroplanen, Lgr11 och de kommande kursplanerna där målen är tydligare och inte behöver tolkas i lika hög grad. Planeringen måste ha sin utgångspunkt i klassens olika förutsättningar, erfarenheter och behov. Därför måste lärare, innan de skriver sin planering, göra en fördiagnos med sina elever så att de får kunskaper om och bli medvetna om sina elevers förutsättningar, erfarenheter och behov (Löwing & Kilborn, 2002). Lärarna i studien ser diagnostisering som en naturlig del i undervisningen och använder ett flertal olika diagnosverktyg, men trots detta använder flertalet av lärarna fördiagnoser endast när de har fått en ny grupp. Lärarna i studien menar att när de sedan haft eleverna en tid och vet deras förmågor och kunskaper har de inte ett lika stort behov av att använda sig av fördiangos inför varje arbetsområde. Istället använder de sig mer av olika observationer. Vi ifrågasätter dock varför lärarna i studien inte aktivt använder 40

45 fördiagnoser i en större utsträckning än vad de gör vid planeringen av nya arbetsområden, eftersom vi tror att det skulle underlätta individualiseringen om lärarna tydligare vet elevernas förkunskaper inför varje arbetsområdet. Vi tycker att olika observationer och samtal är viktigt, men vi tror att dessa lämpar sig bättre som löpande diagnosverktyg och som komplement till fördiagnoser inför planeringen. Lärarna i studien använder kapiteldiagnoserna i läroboken som avstämning, men här ser vi en problematik om det är så att lärarna endast använder kapiteldiagnoserna som avstämning av vad eleven lärt sig inom arbetsområdet. Vi upplever att kapiteldiagnoserna i det fallet inte blir en del av en formativ bedömning utan en avstämning av nuläget. Kapiteldiagnoserna tenderar då att koncentrera sig på vilken nivå eleven befinner istället för att intressera sig för vilka möjligheter som finns för elevens framtida lärande i likhet med den problematik Vygotskij lyfter (Dysthe, 1996). De gemensamma genomgångarna och diskussionerna inom matematikundervisningen är något som alla lärarna i studien lyfter fram som en mycket väsentlig del av utvecklingen av matematikkunskaper och det stämmer väl överens med både socialkonstruktivismen och Vygotskijs lärandeteorier, eftersom kunskap då konstrueras i ett socialt samspel, där samtalet och språket har en central roll. Det är med hjälp av språket som vi kan ta till oss abstrakt kunskap och språket blir en hjälp i elevernas kunskapsinhämtning och kunskapsutveckling (Ernest, 1998; Imsen, 2006; Dyhste, 1996; Bratt & Wyndhamn, 1996). Lärarna ser också de gemensamma samtalen som en mycket viktig del som inte får gå förlorad i matematikundervisningen. För att möjliggöra en optimal individualisering efterfrågar lärarna i studien mer resurser i form av tid och fler lärare, eftersom de anser att det är en förutsättning för att kunna utveckla individualiseringen. Samtidigt kan detta verka lite motsägelsefullt i och med att lärarna i studien till stor del ser individualisering som synonymt med individanpassat enskilt arbete och samtidigt tror att det kan vara en fara för de gemensamma samtalen om individualiseringen genomförs på detta sätt i för hög grad. Vi tolkar detta som att lärarna i studien, liksom Löwing (2004), menar att eleverna inte kan konstruera kunskap på egen hand, utan detta behöver göras i samspel med andra. Trots att även Malmer (1990) och Skolverket (2003) menar att det kan finnas en fara om individualiseringen innebär enskilt arbete i för hög grad anser vi, liksom flera författare, att individualisering inte enbart handlar om en anpassning i form av enskilt arbete utan om en bredare anpassning till hela elevens undervisningssituation. En individualisering med enbart enskilt arbete får ofta formen av hastighetsindividualisering som till största delen tar hänsyn till hastighet, nivå och omfång av undervisningsmaterialet och då blir det sällan en individualisering som handlar om innehållet, metoden, miljön och materialet (Löwing, 2006; Imsen, 2006; Vinterek, 2006). Lärarna i studien individualiserar visserligen utifrån olika arbetsmoment och arbetsmaterial, så att deras individualisering till viss del även blir en individualisering som handlar om variation av innehåll och material. Däremot såg vi inga tydliga tecken på att de individualiserade genom att använda olika metoder eller anpassade miljön för att individualisera till varje elev. Det verkar också som om de inte alltid ser den individualisering de faktiskt gör som en individualisering, utan när de talar om individualisering ser de det som likställt med elevers enskilda arbete och inte alltid med allt annat de gör som individualisering Implikationer för undervisningen Individualiseringens betydelse för elevers möjlighet till en bra kunskapsutveckling i matematik kan illustreras av följande uttalande från en pojke i en av de intervjuade lärarnas klasser, som han enligt läraren har beskrivit för sin mamma, angående hennes oro för hans matematikkunskaper: 41

46 Du förstår mamma, jag har byggt mitt mattehus lugnt och försiktigt sedan 1:an. Så nu har det en fast och bra grund att stå på. Det kommer inte att rasa ihop. Det jag har lärt mig det kan jag! (Pojke, 11år) Det han beskriver här är hur han genom individualisering i matematikundervisningen har fått möjlighet att bygga upp sina matematikkunskaper utifrån sina förutsättningar, erfarenheter och behov. För att ge de bästa möjligheterna så att alla elever, oavsett förutsättningar, erfarenheter, behov och tänkande, kan utveckla sina matematikkunskaper och samtidigt stimuleras att använda och utveckla hela sin matematiska förmåga, är det mycket viktigt att alla lärare är medvetna om individualiseringens innebörd och hur de på bästa sätt kan individualisera matematikundervisningen till varje elev. Lärarna i studien efterlyser mer resurser i form av tid och lärare i skolan för att kunna vidareutveckla individualiseringen, men eftersom skolan troligen även i framtiden kommer att ha knappa resurser tror vi att lärare istället måste hitta andra vägar att individualisera och våga tänka nytt. Individualisering kan vara så mycket mer än bara hastighetsindividualisering eller nivågruppering. Lärare bör ta hänsyn till hela undervisningen genom att anpassa metoder och arbetssätt, studiemiljön, använda sig av olika läromedel för att försöka individualisera så mycket som möjligt utifrån de resurser som finns till förfogande för att gynna alla elevers matematikutveckling. Lärare i matematik bör inte bara se individualisering som något görs enbart i elevers enskilda arbete, utan de bör se på individualiseringen utifrån en helhet av hela undervisningen och att de därmed har en stor variation av arbetssätt som möjliggör att elever med olika förutsättningar och inlärningsstilar blir tillgodosedda och kan utveckla sitt lärande. Individualisering är inget som ska utesluta de viktiga gemensamma matematikdiskussionerna med bland annat diskussioner om begrepp och olika lösningsmetoder. Istället förutsätter individualiseringen matematikdiskussioner, eftersom eleven och läraren genom diskussionerna blir mer medvetna och får sätta ord på vad eleven kan respektive behöver arbeta vidare med Vidare forskning För att få fördjupade kunskaper om individualisering tycker vi att det vore intressant att vidareutveckla studiens syfte genom att även genomföra observationer för att se om lärarnas tankar och ambitioner med individualiseringen kommer till uttryck i deras matematikundervisning. En annan intressant infallsvinkel att forskare vidare inom vore att undersöka individualiseringen utifrån ett elevperspektiv och då till exempel undersöka hur eleverna uppfattar olika arbetssätt och former av individualisering eller hur eleverna uppfattar individualiseringen och vilken påverkan individualiseringen har på deras kunskapsutveckling. En ytterligare intressant forskningsingång vore att undersöka hur olika pedagogiska inriktningar ser på individualisering. 42

47 Källförteckning Ahlberg, Ann (2000). Att se utvecklingsmöjligheter i barns lärande. I: Nämnaren Tema Matematik från början. Göteborg: NCM Alexandersson, Mikael (1994). Den fenomenografiska forskningsansatsens fokus. I: Kvalitativ metod och vetenskapsteori. Lund: Studentlitteratur Boström, Lena & Svantesson, Ingemar (2007). Så arbetar du med lärstilar nyckeln till kunskap och individualisering. Jönköping: Brain Books Bratt, Bengt & Wyndhamn, Jan (1996). Språket vår mentala tumme. I: Nämnaren Tema Matematik ett kommunikationsämne. Göteborg: NCM Bryman, Alan (2002). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber Dysthe, Olga (1996). Det flerstämmiga klassrummet. Lund: Studentlitteratur Egidius, Henry (2005). Att vara lärare i vår tid. Inspirera, handleda, undervisa, organisera och bedöma. Stockholm: Natur och kultur Emanuelsson m.fl. red. (1995). Att utgå från elevers kunnande I: Matematik - ett kärnämne. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik, Emanuelsson m.fl. red. (1996). Arbetssätt och arbetsformer. I: Nämnaren Tema Matematik ett kommunikationsämne. Göteborg: NCM Engström, Arne (1998). Konstruktivismen några reflektioner. I: Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur Ernest, Paul (1998). Vad är konstruktivism? I: Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur Illeris, Knud (2007). Lärande. Lund : Studentlitteratur, 2007 Imsen, Gunn (2006). Elevens värld: introduktion till pedagogisk psykologi. Lund: Studentlitteratur Jaworski, Barbara (1998). Att undervisa i matematik: ett socialkonstruktivistiskt perspektiv. I: Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur Johansson, Bo & Svedner, Per-Olov (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen: undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget Lindkvist, Margareta (2003). Individualisering: att kliva ur och vara i gemenskap. Linköping: Univ., Institutionen för beteendevetenskap Löwing, Madeleine & Wiggo Kilborn (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemman: hur lärare kan hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur Malmer, Gudrun (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag AB Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur MSI: Matematiska och systematiska institutionen, (2009). Att bedöma och utvärdera kunskap i matematik. Kompendium vid Växjö universitet, kurs GU7411. Nationalencyklopedin (2010). Sökord: Matematik [hämtad ] Patel, Runa & Davidsson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder. Att planera och genomföra en undersökning. Lund: Studentlitteratur 43

48 Persson, Bengt (2007). Elevers olikheter och specialpedagogisk kunskap. Stockholm: Liber AB Ryen, Anne (2004). Kvalitativ intervju från vetenskapsteori till fältstudier. Malmö: Liber Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena (2010). Laborativ matematik vad vet vi? NCM: Göteborgs universitet Ryve, Andreas (2006). Vad är kunskap i matematik? I: Nämnaren Nr 2, Skolverket, (2003). Nationella kvalitetsgranskningar Lusten att lära - med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr 221. Skolverket (2006). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet Lpo 94. Stockholm: Fritzes Skolverket (2008). Kursplaner och betygskriterier för grundskolan. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Skolverket (2009). Diamant Diagnoser i matematik. Skolverket (2010). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, Lgr [hämtad ] Skolverket (2010). Lokala pedagogiska planeringar. [Hämtad ]. Skolöverstyrelsen, (1980). Läroplan för grundskolan. Allmän del: mål och riktlinjer, kursplaner, timplaner. Stockholm: Liber Läromedel Starrin, Bengt (1994). Om distinktionen kvalitativ kvantitativ i social forskning. I: Kvalitativ metod och vetenskapsteori. Lund: Studentlitteratur Starrin, Bengt & Renck, Barbro (1996). Den kvalitativa intervjun. I: Kvalitativa studier i teori och praktik. Statens offentliga utredning, (2004). Att lyfta matematiken: intresse, lärande, kompetens. SOU 2004:97. Stockholm: Fritzes offentliga publikationer Stensmo, Chirster (2008). Ledarskap i klassrummet. Lund: Studentlitteratur Strandberg, Leif (2006). Vygotskij i praktiken. Bland plugghästar och fusklappar. Stockholm: Nordstedts akademiska förlag Trost, Jan (2010). Kvalitativa intervjuer. Lund: Studentlitteratur Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet Vinterek, Monika (2006). Individualisering i ett skolsammanhang. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling Wallby, Karin m.fl. (2001). Elevgrupperingar en kunskapsöversikt med fokus på matematikundervisning. Stockholm: Liber 44

49 Bilagor Bilaga 1 Intervjuguide Berätta om din yrkesbakgrund Lärarexamen Yrkeserfarenheter Nuvarande tjänst Berätta om hur din matematikundervisning ser ut Vad? Hur? Varför? Vad anser du är viktig kunskap i matematik? På vilket sätt planerar du din matematikundervisning? Är det svårt att planera matematikundervisning? Vilka/vilket läromedel och/eller material använder du dig av? Beskriv hur du individualiserar din matematikundervisning Vad innebär individualisering för dig? Vilket syfte har du med individualisering? Kan du beskriva något konkret exempel på hur individualisering? Beskriv hur du förklarar och gör när någon elev inte förstår trots individuell anpassning? Beskriv hur du tar reda på vilken kunskapsnivå dina elever befinner sig på Hur använder du dig av kunskapen du har fått? Vilka möjligheter och begränsningar ser du med individualisering i matematik? Vilka nackdelar ser du med individualisering? Vilka begränsningar tycker du att det finns med att individualisera matematikundervisningen? Vilka möjligheter ser du med att individualisera matematikundervisningen? Hur skulle du vilja vidareutveckla individualiseringen i din matematikundervisning?

50 Bilaga 2 Brev till lärare Enkätundersökning Vi är två lärarstudenter på Linnéuniversitetet som nu på vår sjunde termin skriver vårt examensarbete inom matematikdidaktiken. Syftet med vårt examensarbete är att undersöka hur verksamma lärare för årskurserna 4-6 tolkar individualisering, vilka olika metoder och arbetssätt de använder sig av samt vilka möjligheter och begränsningar de ser med individualisering. Innebörden av individualisering varierar och det finns olika förutsättningar för att kunna genomföra individualisering i sin matematikundervisning. Vi är därför mycket intresserade av att få ta del av din uppfattning och tillämpning av individualisering i din matematikundervisning. För att kunna genomföra vårt examensarbete är vi beroende av din medverkan och vi hoppas därför att du kan ta dig tid och har möjlighet att delta i vårt arbete. Enkätens syfte är att se vilka olika synsätt, metoder och arbetssätt verksamma lärare använder sig av. Utifrån svaren i enkätundersökningen väljs sedan ett mindre urval av lärare med olika synsätt och arbetssätt på individualisering. Detta urval av lärare kommer sedan att intervjuas mera ingående och vi önskar även att få observera deras undervisningssituation för att få en djupare kunskap om deras individualisering av undervisningen. Medverkan är frivillig och all information kommer att behandlas konfidentiellt. Har ni några frågor får ni gärna kontakta oss via telefon eller mail: Carola Karlsson Therése Hjelmesten Gunilla Nilsson Lärarstuderande Lärarstuderande Handledare, DFM Linnéuniversitet Linnéuniversitet Linnéuniversitetet Tel. xxxx-xxxxxx Tel. xxxx-xxxxxx Tel. xxxx-xxxxx E- post: E-post: E-post: På förhand tack för er medverkan! Med vänliga hälsningar Carola Karlsson och Therése Hjelmesten

51 Enkät individualisering i matematikundervisningen Namn: Vilken lärarexamen har du? Vilken behörighet i matematik har du? Vilken årskurs undervisar du i? Om ditt svar inte får plats på angivna rader, var vänlig fortsätt ditt svar på baksidan. 1. Beskriv kort hur du organiserar din matematikundervisning. 2. Vilka olika arbetssätt för individualisering i matematikundervisningen känner du till? 3. Vilket eller vilka arbetssätt använder du dig av när eller om du individualiserar din matematikundervisning?

52 4.a) Hur tar du reda på vilken kunskapsnivå i matematik dina elever befinner sig på? 4.b) Hur använder du sedan denna kunskap? 5.a) Vilka för- och nackdelar ser du med en individualiserad matematikundervisning? 5.b) Vilka möjligheter och begränsningar finns det för individualisering? Kan du tänka dig att medverka i en eventuell intervju som behandlar dessa frågor djupare? Ja Nej Namn: Tel. E-post:

53 Bilaga 3 Brev till rektor Till (rektorns namn) Hej! Vi är två lärarstudenter på Linnéuniversitetet som nu på vår sjunde termin skriver vårt examensarbete inom matematikdidaktiken. Vårt arbete syftar till att undersöka individualiseringen inom matematik för årskurserna 4-6. Individualisering är något som varje lärare är ålagd att göra enligt Lpo94: Undervisningen skall anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den skall med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling. (Skolverket 2006:4) Vi har genom egna erfarenheter sett att detta är något som fungerar på olika sätt i praktiken och görs i mycket varierad omfattning. Lärare tolkar innebörden av individualisering olika och har olika förutsättningar för att kunna genomföra individualisering i sin matematikundervisning. Vi vill därför undersöka hur verksamma lärare tolkar individualisering, vilka olika metoder och arbetssätt de använder sig av samt vilka möjligheter och begränsningar de ser med individualisering. Vi önskar att få genomföra olika undersökningar inom detta område på er skola. Undersökningen inleds med en första enkätundersökning för att se vilka olika synsätt, metoder och arbetssätt verksamma lärare använder sig av. Utifrån svaren i enkätundersökningen väljs sedan ett mindre urval av lärare med olika synsätt och arbetssätt på individualisering. Detta urval av lärare kommer sedan att intervjuas mera ingående och vi önskar även att få observera deras undervisningssituation för att få en djupare kunskap om deras individualisering av undervisningen. Enkäterna, intervjuerna och observationerna kommer att behandlas med hänsyn till de forskningsetiska riktlinjerna om information, samtycke, konfidentialitet och nyttjande. Vi kommer vid våra undersökningstillfällen att informera om syftet med vårt arbete och allt deltagande i undersökningarna är frivilligt där deltagarna samtycker kring sin medverkan. Alla information från våra undersökningar kommer att hanteras konfidentiellt, och endast till vårt examensarbete, där både skola och deltagare kommer att behandlas så att de inte kan identifieras av utomstående. Vi hoppas på ert samtycke till våra undersökningar och att det därför går bra att under de närmaste dagarna få dela ut enkäten till berörda lärare i årskurs 4-6 och därefter få tillfälle att genomföra intervjuer och observationer. Vi återkommer med vidare information angående intervjuer och observationer när urvalet utifrån enkäten är fastställt och omständigheterna är med specificerade. Har ni några frågor får ni gärna kontakta oss via telefon eller mail: Carola Karlsson Therése Hjelmesten Gunilla Nilsson Lärarstuderande Lärarstuderande Handledare, DFM Linnéuniversitet Linnéuniversitet Linnéuniversitetet Tel. xxxx-xxxxxx Tel. xxxx-xxxxxx Tel. xxxx-xxxxxx E-post: E-post: E-post: På förhand tack för er medverkan! Med vänliga hälsningar Carola Karlsson och Therése Hjelmesten

54 Bilaga 4 Matematikutvecklingsschema

55

56 Bilaga 5 Kunskapsblommor i matematik

57