Fysikalisk optik. Facit

Transkript

1 Fysikalisk optik Facit

2 Dispersion och prismaeffekt 1) Med formeln för tunn lins kan i räkna ut det till följande: blå, F=3,93 D och f =5,49 cm; gul, F=3,878 D och f =5,79 cm; röd, F=3,855 D och f =5,94 cm. ) Dispersion. ( n 1),1. d d F d C 1 V d ger 0,03 1,9'. F C 3) På himlen infaller itt ljus. Ljus med lång åglängd (rött) går rakt genom himlen, medans det blåa ljus sprids a Rayleigh-spridning. Mycket mer blått sprids på detta sätt, eftersom Rayleigh-spridning beror på inersen a åglängden upphöjt till fyra. Därför ser i, när i tittar på himlen nedanifrån, mer spritt blått än rött ljus. Mot blått glas och blått papper infaller itt ljus, där de röda delarna absorberas i högre utsträckning än de blå. Alltså transmitteras (för glas) eller reflekteras (för papper) en högre andel blått, och de ser blåa ut. 4) Vi ill beräkna Abbetalet V d enligt V d = n d 1 n F n C där n d, n F och n C ska aläsas id respektie åglängder grön/gul λ d = nm, blå λ F = nm och röd λ C = nm. Aläsning ur figuren ger n d = 1.78, n F = och n C = De alästa ärdena kan ariera en del, beroende på hur du läst a. (När jag själ gjorde en andra aläsning, fick jag t.ex. n d = 1.77, n F = och n C = 1.70) Det iktiga är att du läst a id rätt åglängder, och att du läst a så noga du kan. (T.ex. är 1.73, 1.74 och 1.7 inte tillräckligt noga.) Då blir Abbetalet 9. Styrkan id arje åglängd beräknas enligt F = (n 1) ( 1 r 1 1 r ) där r 1 = m och r är oändlig (ds 1 r = 0). Styrkorna för de olika färgerna blir då blir då F d = 14.6 D, F F = 14.9 D respektie F C = 14.4 D, ilket ger fokallängderna f d = 68.7 mm, f F = 67. mm respektie f C = 69.5 mm för gult/grönt, blått respektie rött ljus. 5) Dispersion! De angina åglängderna är λ F, λ d och λ C. Deiationsinkeln i tunt prisma ges a = (n 1)a, där a är toppinkeln. (Vi kan anända grader eller radianer, så länge och a har samma enhet. Lättaste alet just nu är grader!) Då får i fram n F = 1.5, n d = 1.517, och n C = Bara genom att jämföra n d med ärdena i tabellen, ser i att glaset måste ara antingen PK50, BK7, eller K3. Om i sedan räknar ut Abbetalet V d = n d 1 n F n C = 64 och jämför med tabellen, ser i att glaset måste ara BK7. (Obs! Om man arundat på ägen är det inte säkert att siffrorna stämmer exakt, men BK7 blir ändå det som ligger närmast. Ni minns från laborationen hur pyttesmå felmätningar a inkeln kan ge ganska stora skillnader i V d. Samma sak om man räknat åt andra hållet, och t.ex. tagit fram deiationsinkeln id λ d för de olika materialen. Då stämmer inte siffrorna exakt, men BK7 är det närmaste.)

3 Fotometri 6) Belysningen på golet ges a flödet som träffar golet/golets area. Det ger att det totalt behös 300 3, 46,0 610 lm. Det motsarar 1 spotlights. (Det är bättre med lysrör!). 7) För en diffus yta gäller (från duken) LA, där A är filmdukens area. Detta ger (från duken) lm. 90% a flödet mot duken reflekteras: (mot duken) lm. I ( ) cos( i) E r 8) Belysningen på marken ges a, där i är infallsinkeln mot marken och r är aståndet från lampan. Ljuskällan är isotrop så I är oberoende a α. Från belysningen rakt under lampan får i att I 750 cd. Tio meter bort får i i arctan(10 / 5) 63, 4. Detta ger belysningen,7 lux. r , m och 9) Belysningen ges a I cos( i) E, där I / är ficklampans ljusstyrka, i är r infallsinkeln mot äggen som i antar är 0, r=5 m och 00 lm. Rymdinkeln ges a (1 cos(6 )) 34, 4 msr, ilket ger E =30 lux. 10) 80% a flödet mot pappret, ds. 3 lm, reflekteras. För en diffus yta gäller LA, där A är papprets area. Detta ger L 163 cd/m. 11) Om 800 lumen träffar en yta som är 1, m x 1,8 m =,16 m² blir belysningen 400 lux. Luminansen ges då a L R diffus E 0,85 400lux 100cd/m² 1) Flödet är i bägge fallen detsamma: u I I I I cd 1 1,,1,1 u 13) Belysningen är direkt prop mot ljusstyrkan (om alla astånd är lika). I det ena fallet är ljusstyrkan gien och i det andra är den 110 lumen/π ster=17.5cd. 14) Luminansen hos bordsytan är direkt proportionell mot belysningen. Om aståndet mellan källa och bord ökas en faktor 1.5 kommer belysningen att minska en faktor 1.5 =.5. Luminansen blir alltså 60cd/m²/.5=6,7cd/m²

4 15) Källans hala toppinkel θ=7, rymdinkel (1 cos ) sr, yta A r 0.018m samt totalt flöde i rymdinkeln ( ) lm I ( ) / 360cd och L I / A 0500cd/m.. Detta ger 16) För att månfararen skall kunna se att ytan är upplyst måste belysningen ara tillräckligt E I / d stor. Belysningen på månytan ges a, där I är ljusstyrkan hos källan och d är aståndet till månen. Alltså behös en hög ljusstyrka. 17) 600 lm är flödet från ficklampan. 10,000 cd är ljusstyrkan, ds ljusflödet per rymdinkel. Vad man behöer göra är alltså att mäta upp den rymdinkel som ficklampan med 600 lm sprider ljuset i. Exempelis genom att mäta diametern D på ljusfläcken när man lyser på en ägg på aståndet L från ficklampan. Ljusstrålens hala öppningsinkel θ ges då a tan D / L. Rymdinkeln får man sedan ur (1 cos ) och ljusstyrkan blir 600 lm/. Exempel: D=1m, L=4m ger = sr och 600 lm/ cd. 18) Vi et att belysningen, då glödlampan anänds, ges a E = I cos i. r Det betyder att belysningen bestäms a ljusstyrkan. Hur ljus lampan ser ut att ara agörs däremot a lampans luminans. Luminans och ljusstyrka kopplas samman enligt L = I πr där r är lampans radie. Man kan tänka sig en liten lampa, som har äldigt hög luminans, och alltså ser äldigt ljus ut när man tittar på den. Men det kan ändå finnas en större lampa, som har lägre luminans, men som ändå har högre ljusstyrka och som alltså ger större belysning. Så saret är att nej, den lampa som ser ljusast ut, ger inte nödändigtis högst belysning. Man måste äga in lampornas storlek också. (Om lamporna är lika stora, kommer dock den som ser ljusast ut ckså att ge högst belysning.) 19) Flödet in genom IP bearas och kommer ut genom UP. Diametern på UP är 7 ggr mindre än IP och således är arean 49 gånger mindre. Det gör att belysningen ökar med faktorn 49 ggr. 0) Hur ljust något ser ut beror på luminansen. Skärm ser alltså 500/40=1, ggr ljusare ut. 1) Belysningen ges a I ( )cos( i), där I ( ) L Acos( ) är skärmens ljusstyrka i E r riktningen, A är skärmens area, L är skärmens luminans, i (= ) är infallsinkeln mot bordet och r är aståndet till bordet. Enkel geometri och uträkning ger E =,9 lux,,7 lux,,1 lux, 1,6 lux, 1,1 lux samt 0,7 lux i de olika punkterna.

5 Vågbegrepp ) Ljusets hastighet ges a ilket ger frekensen som ν = c λ c = λν = s-1 = s -1. Det betyder att ljusågen hinner sänga gånger per sekund, ds att ågtoppar per sekund kommer fram till detektorn. På en hal sekund blir det hälften a detta, alltså ågtoppar som når detektorn. 3) a) Med linjal kan man mäta ur figuren (t.ex. öre delen) att åglängden är 4.0 cm och amplituden är 0.9 cm. b) På 3 sekunder har ågen flyttat sig.7 cm. Detta motsarar.7/4.0=67.5% a en åglängd. Alltså är 3 sekunder 67.5% a en period T, ds 0.675T=3 s. Då är perioden T=3/0.675=4.4 s. Hastigheten kan man räkna ut som färdad sträcka delat med tiden, ds antingen som.7/3 = 0.9 cm/s, eller som 4.0/4.4 = 0.9 cm/s. 4) Perioden är redan gien till 7 sekunder. Det går mellan 4 och 6 åglängder på 100 m, beroende på exakt hur ågtopparna ligger. Jag äljer att räkna med 5 (men 4-6 är alltså OK). Då blir åglängden 100/5=0 m. Våghastigheten ges a c = λ = 0 = 3 s. Dubbla T amplituden är från strax öer knäna upp till halsen på en uxen änniska, ilket motsarar ungefär hälften a en människas längd, alltså kring en meter. Amplituden blir hälften a detta, alltså kring en halmeter. (Alla ärden som är någorlunda rimliga ger full poäng.) 7

6 Polarisation 5) Brewsterinkel! Ljus polariserat i infallsplanet reflekteras inte. tan(6 ) 1 ger n glas=1,9. 6) Genom första filtret kommer 50 % a solljuset igenom och blir då polariserat: I I 0, Transmissionen genom det följande filtret ges a Malus lag: I I ger inkeln mellan filtrens genomsläppsriktningar. / 0 0,5 cos ( ) 1 n glas I I, där θ är 45. 7) Eftersom Lisa ligger på sidan är äen glasögonen ridna så att de släpper igenom den ågräta polarisationen istället för att släcka ut den. Det reflekterade ljuset ligger nära Brewsterinkel id reflektion mot attenytan och blir därför starkt ågrätt polariserat (inkelrätt mot infallsplanet). Därmed släpper Lisas glasögon igenom det reflekterade ljus de är tänkta att ta bort. 8).Tag tå par solglasögon. Om du håller dem rakt framför arandra enligt figure (a), borde en del ljus komma igenom eftersom polarisationsfiltren ligger parallellt med arandra. Om du däremot rider ena paret 90 grader som i figur (b), borde inget ljus komma igenom eftersom du får tå korsade polaroidfilter. Om det ändå kommer igenom ljus, et du att glasögonen inte är polariserande, utan bara gjorda a mörk plast. 9) Genom första filtret kommer I / 0, där I / cos (45 ) I / 4 efter filter nr. Malus-lag ger I 0 0 nr 3. I 0 är infallande intensitet. Malus-lag ger / 4cos (45 ) I /8 efter filter ) Om ljuset faller in med en inkel i närheten a Brewster-inkel, kommer det att bli polariserat eftersom bara det inkelrätt polariserade ljuset reflekteras. Men eftersom ytan det reflekteras mot är ertikal, kommer det inkelrätt polariserade ljuset att sänga i ertikalplanet. Och polariserande glasögon är gjorda för att släppa igenom ertikalt polariserat ljus, så reflexerna går rakt igenom. Om ljuset faller in med en inkel långt ifrån Brewster-inkel, blir det inte polariserat och glasögonen fungerar ändå inte. (Hade ytan arit horisontell, t.ex. en attenyta, hade glasögonen tagit bort reflexen om inkeln ar nära Brewster-inkel.) Rita figur! 31) Det finns minst tå sätt att lösa uppgiften - det allra bästa är förståss att anända båda, och kontrollera resultaten mot arandra. a) Titta på reflektansen id inkelr\"{a}tt infall. Vi et att den ska ara R = ( n 1 n + 1 ) och kan utläsa ur diagrammet att R Om i drar roten ur båda led i

7 ekationen får i ± R = n 1 n + 1 och eftersom i et att n > 1 och därmed att n 1 > 0 kan i utesluta minustecknet. Sedan löser i ekationen och får n = 1 + R 1 R b) Man kan också titta på Brewsterinkeln, som erkar infalla id i 58. Brytningsindex ges a n = tan i Totalt ser i att ärdena kan ariera en hel del beroende på exakt hur i aläser diagrammet (t.ex. kunde i ha aläst i = 57 eller i = 59 ) men brytningsindex erkar ligga kring 1.6.

8 Antireflexbehandling 3) Det är giet att ytan är ett antireflexskikt, ds att det är destrukti interferens. Då behöer i inte eta tjockleken, för reflektansen id destrukti interferens ges alltid a Rmin R1 R R1 R 0, 003, där R1 ( n 1) /( n 1) 0,055 och R n n n n. Sar: 0,3%. ( g f ) /( g f ) 0, ) Antireflexskiktet bygger på att man får tå reflexer som är ungefär lika starka, och som alltså kan släcka ut arandra (destrukti interferens). Totala reflektansen ges ju a R tot = R 1 + R R 1 R = ( R 1 R ), så ju mer lika R 1 och R är, desto mindre blir den totala reflektansen. En enkel lösning är att anända uteslutningsmetoden: n=1,35 ger nästan ingen reflex mellan atten och ARskikt, n=1,70 ger nästan ingen reflex mellan AR-skikt och substrat. n=1,91 ger alldeles för stark reflex mellan atten och AR-skikt. Alltså: n=1,51. Om man föredrar en annan lösning, kan man helt enkelt räkna ut R 1, R och R tot för de olika materialen. Detta innebär dock betydligt mer beräkningar! Tabellen nedan isar ärdena, och bekräftar att skliktet ska ha brytningsindex f f n 0 n f n g R 1 R R tot 1,33 1,35 1,71 5,57E-05 0, , ,33 1,51 1,71 0, , ,61E-06 1,33 1,7 1,71 0, ,6E-06 0, ,33 1,91 1,71 0, , , ) Skiktet ska ara antireflex för λ IR = 1064 nm, ds dess tjocklek ges a d = λ IR 4n f. För den synliga åglängden ska skitet reflektera maximalt, ds illkoret n f d = mλ s, där m är ordningen, ska ara uppfyllt. Om i löser ut åglängden får i d = mλ s. n f Eftersom skiktets tjocklek inte ändras, måste de tå uttrycken för tjockleken ara lika, ds mλ s = λ IR, n f 4n f eller, om i löser ut åglängden, λ s = λ IR m. För m = 1 får i åglängden till 53 nm, och för m= till 66 nm, ilket dock ligger utanför synlöiga spektrat. Alltså är 53 nm den enda synliga åglängden för ilken skiktet ger maximal reflektans.

9 35) Dena uppgift går att lösa på flera sätt. Ett sätt är ett kalitatit resonemang: För att reflexerna ska kunna släcka ut arandra ska reflexen från ytan: glas 1 mot skiktet, och reflexen från ytan: skiktet mot glas, ara ungefär lika (samma resonemang som uppg. 30). För att detta ska uppnås måste brytningsindex i skiktet ligga mellan de bägge omgiande index. Detta är egentligen bara uppfyllt för 1,80. En andra lösning är att räkna ut R 1, R och R tot för de olika materialen. Detta innebär dock betydligt mer beräkningar! Tabellen nedan isar ärdena, och bekräftar att skliktet ska ha brytningsindex 1. n 0 n f n g R 1 R R tot 1,46 1,38,1 0, , ,0411 1,46 1,8,1 0, , ,E-06 1,46,09,1 0, , ,0368 1,46,44,1 0, , , (En tredje lösning ligger lite utanför kursen. Det går att isa att lägst reflektans fås för ett skikt som uppfyller behöer ni inte ha med.) n0 n g n. Det stämmer precis med 1.80, men den uträkningen,41 1,50,4 36) R 1 0,146 R 0, 039,41 1,50,4 f R tot R 1 R R1R 0,34 37) Skiktet är tunnare-tätare-ännu tätare, ilket ger minimal reflektans då n f d = λ + mλ, ds då λ = 4n fd m + 1 där m är ordningen. Anänder i m = 0 får i åglängden till 530 nm. Anänder i m = 1 får i åglängden till 180 nm. Detta ligger utanför synliga spektrat, och ökar i ordningen ytterligagre, blir åglängden bara kortare. Alltså är 530 nm den enda åglängd i det synliga området, för ilken skiktet ger minimal reflektans. 38) Interferens i tunt skikt a typen tunnare-tätare-tunnare. Ljus rand betyder att tjockleken just där ger konstrukti interferens för laseråglängden. Mellan tå ljusa ränder har ordningen m ändrats ett steg. Konstrukti interferens för denna sorts skikt får man då ds då ordningen n f d = λ + mλ. m = n fd 1 λ är ett heltal. I ena änden är d = 4 μm ilket ger ordningen m = 18,4. I andra änden är d =

10 4,5 µm ilket ger ordningen m=0,8. Ljusa ränder uppstår då m är ett heltal, i detta fall då m = 19 och m = 0. Man ser alltså ljusa ränder. 39) Låt R 1 ara reflektansen i gränsytan mellan luft och Hafn... och R reflektansen mellan Hafn.. och glas. Då blir R 0.4 och R Vi får då id konstrukti interferens R tot R R 1 R1 R ) Det reflekterade ljuset har interferensmaximum då nd m och interferensminimum då nd (m 1) (m heltal 0). Detta ger att följande åglängder har maximal reflektans: min max 4nd /(m 1) nd / m,1173nm, 586.5nm, 391nm etc. Minimal reflektans: 346 nm, 78 nm, 469 nm, 335 nm finns ett maximum id nm, ilket motsarar gult. etc. Inom det synliga området 41) a) Glaset har brytningsindex 1.6, så det ideala materialet för skiktet skulle ha brytningsindex 1.6 = 1.6. Inget a materialen stämmer alltså perfekt, men MgF ligger närmast med ett brytningsindex på Alltså kommer MgF att ge den lägsta reflektansen, så skikt B måste ara för MgF. Man kan också se att skikt A har sitt minimum för en längre åglängd, ilket stämmer med att skikt A har högre brytningsindex. b) Det är tunnare-tätare-ännu tätare, så första min ges a d = λ. 4n f Ur grafen kan i utläsa att skikt B har sitt minimum id åglängden 550 nm och att n f = 1.38, ilket ger skiktets tjocklek 100 nm. Vi et att båda skikten ska ha samma tjocklek, så i kan kontrollera genom att räkna på skikt A. Då är minimum id 580 nm och n f = 1.45, så tjockleken blir 100 nm. Båda skikten fick samma tjocklek, precis som de skulle ha. Saret är därmed bekräftat. (Värdena kan dock ariera en del beroende på hur åglängden lästs a.)

11 Diffraktion och upplösning 4) Diffraktion i hålet! Minsta upplösta objektstorlek, eller aståndet från mitten till första min, ges a h min 4,7 mm, där b i detta fall är 1 mm, l ( )7,0 m och i alt 1,l b λ=555 nm. I figuren ser man dock att aståndet mellan punkterna motsarar tå gånger detta astånd, ds. 9.4 mm. 43) Diffraktion! Minsta upplösta inkel för ögat ges a w 1,4 mrad, där b i detta fall är 1, b 0,5 mm och i alt λ=555 nm. h=1, m ger l h / w 900 m. 44) Diffraktion i objektilinsen! Minsta upplösta objektstorlek ges a där b i detta fall är 70 mm, l ( ) km och i alt λ=555 nm. h min 3,6 km, 1,l b 45) Punkterna är separerade h = 30 mm / 180 = 0,5 mm Om i anänder Rayliegh s upplösningkriterium ska punkterna ara separerade en inkel 1, u l D h u hd 56cm 1, 46) Diffraktion. Minsta upplösta astånd i bildplanet ges a ögonmodell och åglängden λ=555 nm ger b=,8 mm. h' min 4 m. Reducerad 1, l ' nb ' 47) Diffraktion, bildstorleken ges a diametern i airy-disken. Radien i airy-disken ges a formeln y ' NA' u =14 och y =,8 μm. NA n u 0,61 som gäller i alla optiska system. ' 'sin( '). Mätning i figuren ger 48) Gränsen för hur bra det går att se beror på diffraktionen. Minsta upplösta inkel (sett från 1. örnögat) är x D cm. 7 1.h m400m h. D 0.01m mus 4 cm Ds några 49) Om i inte kan se de indiiduella punkterna måste detta bero på ögats begränsade upplösningsförmåga. Om i antar att ögats pupill är b=3mm blir minsta upplösta 1. syninkel w 0.mrad. För att syninkeln mellan tå punkter (astånd b h=0.4m/65) skall bli mindre än denna inkel kräs att aståndet till TV n är något större än d=h/w=3m. (andra pupilldiametrar ger andra sar)

12 50) Upplösningen måste i detta fall begränsas a diffraktionen i ögats pupill. Med ögat som en enkel sfärisk gränsyta med diametern b=mm, får i minsta upplösta syninkel (utanför 1. ögat) som sin w. Med λ=550nm ger det w=0.33 mrad. För att objektstorleken b h=0.01mm skall uppta syninkeln w efter luppen måste luppens fokallängd ara f ' h / tan w 30mm. Alltså F lupp=+33d. 51) När bländartalet minskar till hälften ökar systemets aperturstopp, inträdespupill och utträdespupill och alla andra diametrar på strålknippet till dubbel storlek. (a) Bildstorleken ges a diffraktionen. Radien i fläcken ges a y' 1.f ' b, där b är diametern på strålknippet id bakre huudplanet. Ökar b till det dubbla minskar fläckens radie till hälften. Arean a bilden minskar alltså med en faktor 4.(b) Ljusflödet in i objektiet är direkt proportionell mot arean a inträdespupillen. f/5.5 ger alltså 4 ggr större ljusflöde till bilden(flödet bearas genom systemet). (c) Belysning = ljusflöde/area ger att belysningen blir 16ggr större.