Ola Helenius Räkna på hawaiianska Gestaltningen av ett begrepp kan vara avgörande för förståelsen av dess matematiska innehåll. Med utgångspunkt i ett till synes komplicerat ekvationssystem och hawaiianska räkneord diskuteras hur konkretiseringar och abstraktioner inverkar på hur matematiken uppfattas. Här är en kul uppgift som du kan testa i din tvåa: Lös ekvationssystemet x 0 + x 0 = x 7 x 0 + x 7 = x 4 3 x 4 = x 6 5 x 7 = x 3 2 x 7 = x 5 2 x 1 = x 3 x 1 + x 4 = x 9 x 8 + x 7 = x 9 x 2 + x 4 = x 3 där x 0, x 1,..., x 9 är olika heltal ur mängden {1, 2,..., 10}. Nej, jag menar inte år 2 på Chalmers och inte heller tvåan på gymnasiets N-program utan årskurs 2 i grundskolan. Vadå? Verkar det för svårt? Varför är det för svårt i så fall? Om det är notationen, x 0, x 1 etc som ställer till det går det att byta de tio variablerna mot a, b, c eller något annat. Fortfarande svårt? Ja, strikt talat hör formella lösningsmetoder till problem av denna typ till högskole matematiken, men jag menar att det faktiskt är fullt möjligt för en klass i årskurs 2 att lösa ett problem med exakt samma matematiska innehåll som det som formuleras ovan. Och jag har ett empiriskt bevis. Eftersom de flesta andraklassare trots allt inte skulle veta hur de skulle hantera problemet om det representeras som ovan, så är tricket att formulera det på ett annat sätt. Jag kommer berätta hur, men först efter en liten utvikning. Matematiken framställs ofta som abstrakt och generell och även om det är vanligt att i skolundervisningen utgå från konkreta situationer så finns det oftast en strävan att gå mot det abstrakta. Personligen tycker jag om att se de flesta (ja, nästan alla) begrepp i den grundläggande matematiken såsom abstraherade från olika konkreta fenomen. Jag ska ta ett av mina favoritexempel: Vuxen: Vad är två och en? Barn: (Lång paus, ingen respons) Vuxen: Nå, hur många klossar är två och en kloss? Barn: Tre Vuxen: Jaha, så hur många är två och en? Nämnaren nr 4 2010 43
Barn: (Paus, sedan tvekande) Fyra Vuxen: Hur många är en kloss och en till? Barn: Två klossar Vuxen: Så, hur många är en och en till? Barn: En, kanske. (Hughes, 1986) För de som tycker sig förstå tal även i den abstrakta meningen och inte behöver några mentala klossar för att veta att 1 plus 2 är 3 ter sig dialogen ovan nästan löjlig. Men det är ett intressant exempel på att det finns ett tydligt steg mellan att kunna hantera konkreta antal (även om det konkreta i det här fallet bara är mentala representationer av klossar) och abstrakta antal. Man skulle kunna säga att matematikens tre kan ses som det du får kvar av tre klossar om du tar bort klossarna. Abstrakta begrepp avbildar verkligheten Man kan hitta många konkreta företeelser som avbildas in i matematiken och skapar specifika matematiska objekt, på liknande sätt som talen kan ses som en avbild av antal föremål. Det finns också flera filosofiska uppfattningar i denna anda där man bland annat ser matematiken som extraherad ur naturen själv. En del går t o m ännu längre och menar att universum inte är annat än en matematisk struktur, så det är inte konstigt alls att det mesta i universum kan beskrivas i matematiska termer. Även om man inte går så långt som till filosofi eller till abstrakt kosmologi så finns det stöd för tanken att abstrakta matematiska objekt egentligen är en slags mental avbildning av högst konkreta vardagliga fenomen. Kognitionsforskaren George Lakoff menar t ex att det mesta av vårt abstrakta tänkande sker med hjälp av metaforer. En metafor är en slags avbildning från ett område till ett annat. I uttrycket hennes blick var kall inryms t ex en avbildning från området temperatur till området känslor. Lakoff och kollegan Núñez menar att hela vårt talsystem och allt vi kan göra med tal: addera, multiplicera, jämföra, dela upp, lägga ihop, storleksordna etc, i själva verket är resultatet av ett antal kognitiva metaforer, dvs avbildningar från rent fysiska upplevelser (som t ex upplevelser av antal klossar) in i den mentala, abstrakta sfären. Det vi gör när vi manipulerar abstrakta tal i huvudet är alltså enligt Lakoff och Núñez egentligen att vi omedvetet faller tillbaka på erfarenheter av de fysiska upplevelserna. Tveklöst är det så att abstraktionen är en av nycklarna till att matematiken är ett så fantastiskt verktyg för att beräkna, förstå och förklara olika fenomen i vår omvärld. Och även i skolan måste förmågan att använda sig av styrkan i matematikens abstrakta resonemang vara ett av de centrala målen, om det överhuvud taget ska vara värt besväret att undervisa i matematik. Risken med att uppehålla sig enbart i den abstrakta matematiken är att man förlorar kontakten med ursprunget till varför de matematiska objekten uppför sig som de gör. En kollega till mig berättade t ex att hon en dag varit i en åttondeklass och fått hjälpa elever som inte visste hur de skulle multiplicera 4 med bråket 1/2. Senare samma dag var denna kollega i en förskola och frågade där en grupp med fyra barn: om ni ska få ett halvt äpple var, hur många äpplen måste fröken hämta? Två äpplen, var det snabba svaret. Varför kunde inte åttondeklassarna 44 Nämnaren nr 4 2010
hantera en abstrakt version av samma uppgift? Troligen för att de regler som styr hur bråk multipliceras inte längre hade mening för dem och därför blev svåra att hantera. Spel med givna regler Visserligen är det inga större problem för oss människor att hantera olika avsnitt av matematiken som rent formella system, d v s som ett spel med givna fast godtyckliga regler. Detta bevisas ju bland annat av att vi snabbt och tämligen enkelt kan lära oss spela sällskapsspel där regelsystemen ibland kan vara väl så komplicerade. Men utan ett skelett av begrepp som ges konkreta förankringar blir matematiken både svår att komma ihåg och svår att använda. Ett intressant exempel på det här fenomenet är Wasons test, efter psykologen Peter Cathcart Wason: De fyra korten nedan har alla en färg på ena sidan och ett tal på andra. Vilka kort måste du vända på för att avgöra sanningshalten i påståendet: Om ett kort har ett jämnt tal på ena sidan så är andra sidan röd? Enligt Wasons experiment från 1966 misslyckas de flesta med denna uppgift, endast 10 % klarade den. Men låt oss göra uppgiften lite annorlunda. Du arbetar på Systembolaget och framför dig står fyra personer som vill köpa varsin flaska som antingen innehåller alkohol (åldersgräns 20 år) eller inte innehåller alkohol (ingen åldersgräns). Två visar sina legitimationer. De är 18 respektive 22 år, men du ser inte vilken dryck de vill köpa. De andra visar inte sina legitimationer, men du ser att den ena har en flaska med alkohol och den andra har en flaska utan alkohol. Vilka av dessa personer måste du kontrollera (med avseende antingen på ålder eller typ av dryck) för att veta om alla ska få köpa de varor de önskar eller ej? Systembolagsfrågan har exakt samma logiska innehåll som kortfrågan, men ändå upplevs den av de allra flesta som betydligt enklare. Testa den gärna själv på några i din omgivning. Detta gäller även om den formuleras med hjälp av kort (spritflaska eller saftflaska på ena sidan och ålder på andra). Den första varianten med färger och Nämnaren nr 4 2010 45
tal förblir svår även om den formuleras i mer konkreta termer med t ex ett bord med fyra personer som äter hamburgare eller pizza och dricker cola eller fanta och regeln alla som äter hamburgare dricker cola. Det som anses göra alkolholformuleringen enklare är att den kan relateras till egna erfarenheter. Vi vet att för att avgöra om någon dricker lagligt eller ej behöver vi inte fråga om åldern på saftdrickare eller fråga 40-åringar vad de har i glasen. Spritdrickare av oklar ålder måste dock kontrolleras, liksom underåriga med okänt innehåll i glaset. Formellt måste vi fortfarande göra samma logiska bedömningar; om man ska förklara hur man löste uppgiften duger det inte att referera till sin erfarenhet, men den blir ändå ett slags kognitivt stöd för resonemanget. Hawaiianska räkneord Låt oss nu gå tillbaka till den inledande uppgiften: det för många kanske avskräckande ekvationssystemet. Uppgiften dök egentligen upp på en familjeresa till Hawaii. Min son köpte en tröja på second hand där de hawaiianska räkneorden från 1 till 10 och deras engelska motsvarigheter stod tryckta. Jag konstruerade följande uppgift som jag skickade hem till min sons klass. Här kommer en gåta från Sigge som kanske klassen kan fundera på: Räkneorden för 1 till och med 10 på hawaiianska är (i oordning): Ewalu, Umi, Ekolo, Elima, Eono, Ekahi, Ehiku, Elua, Eiwa, Eha. I matteboken har någon skrivit följande Ekahi + Ekahi = Elua Ekahi + Elua = Ekolu Ekolu + Ekolu + Ekolu = Eiwa elua + Elua + Elua + Elua + Elua = Umi Elua + Elua = Eha elima + Elima = Umi Elima + Ekolu = Ewalu Eono + Elua = Ewalu ehiku + Ekolu = Umi Kan ni fundera ut vilka hawaiianska räkneord som motsvarar de svenska räkneorden? Som du antagligen ser är det rent matematiskt egentligen samma uppgift som den inledande. När jag senare pratade med klassens lärare visade det sig att de med hjälp av lite grupparbete hade löst uppgiften. Nu vet ju inte jag om de också hade löst den om den formulerat med x 0 osv, men låt mig gissa att det hade varit svårare. Om jag får spekulera lite så tror jag att i den första formuleringen, leds tanken till att tänka på x 0, x 1 osv som okända som ska kopplas till något visst värde (1, 2,..., 10). I hawaiiversionen handlar det istället om att hitta de nya (hawaiianska) namnen till de för en andraklassare ytterst välbekanta talen. Istället för att handla om tio okända som ska identifieras så handlar det om tio kända som vi bara ska hitta namnet på. Ingen behöver vara rädd för att experimentera och testa runt lite med de vanliga gamla heltalen. Då är problemet snabbt löst, även om man bara går i tvåan. Poängen med hela denna utsvävning är att abstraktioner har en förrädisk karaktär, i alla fall om man vill lösa problem. Å ena sidan finns det ofta viktiga poänger med att kunna formulera generella och abstrakta lösningar till 46 Nämnaren nr 4 2010
problem, men å andra sidan kan ofta en viss konkret gestaltning av ett abstrakt problem vara tricket som leder till lösningen. Jag menar att i förmågan att hantera och representera matematiska begrepp inom den grundläggande matematiken ingår det inte bara att kunna relatera olika begrepp till varandra utan också att förstå begreppens konkreta ursprung, dvs hur de har abstraherats från vissa konkreta fenomen. Konkret gestaltning En minst lika viktig förmåga är det omvända, dvs att kunna ge de abstrakta begreppen en konkret gestaltning och manipulera dem i den konkreta världen. Betrakta t ex legobitarna nedan. Hur många är det? Det är inte glasklart, eller hur? Den gröna är en, den gula är en och den röda är en. Men den blåa kan vara en eller två beroende på hur vi väljer att betrakta den. Den går ju att ta isär i två bitar men vi kan välja att betrakta den som en enhet. Och om vi istället studerar area och låter någon av bitarna representera en areaenhet, eller om vi studerar volym, så blir förhållandet mellan de konkreta legobitarna återigen något annat och flera möjliga val dyker upp. Till och med om vi betraktar något så enkelt som antal kan alltså samma konkreta samling föremål representera olika saker. Eller så kan olika föremål representera samma sak. Men genom att ha en tydlig bild av det matematiska abstrakta begreppet, t ex talbegreppet, är det fullt möjligt att manipulera legobitar för att hantera problem som är formulerade i termer av tal, trots osäkerheten som beskrivs ovan. Det gäller helt enkelt att hålla ordning på vilka aspekter av verkligheten man tar hänsyn till och använder. Legobitarna har som sagt många olika egenskaper. När man väl bestämt sig för att det endast är antal som man för tillfället ska bry sig om, måste man kunna bortse från saker som färg, form, storlek, volym och läge. Det enda man får använda är att varje bit är exakt en bit. Om man exempelvis väljer att betrakta det blåa legot ovan som en enhet, kan man inte samtidigt dela isär det och låta det bli två enheter. Det skulle vara detsamma som att i matematiken låta 1 vara lika med 2. Men om vi däremot istället räknar volym går det utmärkt att å ena sidan betrakta hela det blå legot som en volymsenhet och å andra sidan som två enheter med volymen 1/2. Samma lego. Olika matematik. Nämnaren nr 4 2010 47
Det vi har sett är alltså exempel på att det kan vara ett kraftfullt hjälpmedel att omformulera ett matematiskt problem i termer av ett logiskt likvärdigt problem men som är representerat i en kontext som vi känner oss mer hemma i. Personligen ser jag det här som väldigt centrala aspekter av det matematiska kunnandet. Just denna koppling mellan det konkreta och det abstrakta och mellan det användbara och det undersökande är för mig mycket av essensen i matematiken. Om ni vill höra hur äkta hawaiianska låter kan ni knappa in www.youtube.com/ watch?v=5qo9ahadxee. En bit in i klippet dyker räkneorden upp. Och förresten, här intill ser ni tröjan som var inspiration till uppgiften om de hawaiianska räkneorden och därmed även för hela denna artikel. Mahalo! litteratur Devlin, K. (2000). The Math Gene. New York: Basic Books. Helenius, O. & Mouwitz, L. (2010). Matematiken var finns den? NCM, Göteborgs universitet. Hughes, M. (1986). Children and number. Difficulties in learning mathematics. Oxford: Basil Blackwell. Lakoff, G. & Johnson, M. (1980). Metaphors we live by. Chicago: University of Chicago Press. Lakoff, G. & Johnson, M. (1999). Philosophy in the flesh. New York: Basic books. Lakoff, G. & Núñez, R. (2000). Where mathematics comes from. New York: Basic books. Wason, P. C. (1966). Reasoning. In Foss, B. M. New horizons in psychology. Harmondsworth: Penguin. Tegmark, M. (2007). The mathematical universe. Tillgänglig 2010-10-20 på arxiv.org/abs/0704.0646v2 48 Nämnaren nr 4 2010