Fuzzy Logic Vad är det och hur fungerar det? Molly Lundberg
Sammanfattning Den här rapporten har ämnat att skapa förståelse i vad Fuzzy Logic är för något, hur det fungerar och hur det används. Traditionell logik baseras oftast på huruvida någonting i världen är sant eller inte. Det som gör Fuzzy logic intressant är att den hanterar osäkerhet, någonting behöver alltså inte längre vara antingen sant eller falskt, det kan vara lite av båda! Fuzzy logic ger oss en medlemskapsgrad, en siffra mellan 0 och 1, som pekar på hur mycket ett objekt tillhör en särskilt kategori. På så vis skapas en logik som på ett bättre sätt representerar det naturliga språket. Rapporten tar upp en kort introduktion om Fuzzy logic och går sedan vidare att förklara fuzzy sets, lingvistiska variabler, medlemskapsfunktionen, operationer inom logiken och hur logiken används. 2
Innehållsförteckning 1. Inledning.4 1.1 Syfte..4 2. Fuzzy Logic.5 2.1 Bakgrund...5 3. Fuzzy Sets.6 3.1 Lingvistiska Variabler...7 3.2 Medlemskapsfunktionen...8 4. Operationer.11 5. Hur Fuzzy Logic används...15 6. Diskussion..17 7. Referenser...18 3
1 Inledning Inom klassisk logik kan någonting i världen antingen vara sant eller falskt. Det resulterar i en värld som saknar osäkerheter, vilket inte är densamma värld vi lever i. Människor i det naturliga språket talar gärna med osäkra begrepp och använder uttryck som nyanserar och kan vara flertydigt. Därför finns ett behov av Fuzzy logic, det vill säga luddig logi. Första ordningens predikatlogik (FOPL) kan endast hantera sant eller falskt, vilket ofta representeras som värde 1 och 0. Detta gör att FOPL inte räcker till i de fall där det saknas sanningsvärde, exempelvis om någon är ung. I Första ordningens predikatlogik saknas mellanvärden, som kan vara ganska praktiska för oss människor. Det som gör att Fuzzy logic kan hantera dessa mellanvärden är att det införs fuzzy sets, som drar information från otydlig fakta och jobbar med en uppsättning regler istället för matematiska formler. Denna logik tar fram ett sanningsvärde mellan 0 och 1, som talar om hur pass mycket ett objekt tillhör en viss kategori. På så sätt kan det naturliga språket hanteras på ett bättre sätt inom AI. 1.1 Syfte Syftet med den här rapporten är att kartlägga vad Fuzzy logic är för något, hur det fungerar och hur logiken används. 4
2 Fuzzy Logic Fuzzy logic räknar ut till hur stor grad ett objekt tillhör en viss kategori. Till exempel hur mycket mörk eller ljus en ljusvariabel är, hur pass mycket en person är lång givet en viss längd. Vi vet hur lång en person är, men vet osäkert om längden tillhör kategorin lång eller inte. Fuzzy logic hanterar dessa osäkra variabler och ger oss en medlemskapsgrad för hur sannolikt det är att objektet tillhör kategorin. Skaparen av Fuzzy logic skrev en reflektionsartikel (Zadeh, 2015) där han själv definierade Fuzzy logic enligt följande: Fuzzy logic is a system of reasoning and computation in which the objects of reasoning and computation are classes with unsharp (fuzzy) boundaries. In fuzzy logic everything is, or is allowed to be, a matter of degree, including degrees. Today, the term fuzzy logic is used predominantly in its wide sense. In particular, what is used in almost all applications of fuzzy logic is fuzzy logic in its wide sense. Zahde (2015) förtydligar att Fuzzy logic inte är samma sak som Fuzzy Set theory, dessa två ämnesområden har olika fokus. Fuzzy logic är inte en typ av multivärdeslogik, det är inte densamma som probabilitetsteorin, själva teorin är inte heller fuzzy. Zahde säger att Fuzzy logic skulle kunna vara en form av generalisering av multivärdeslogik, men i ett bredare perspektiv är fuzzy logic mycket mer än ett logiskt system. 2.1 Bakgrund På 1960-talet uppfanns fuzzy logic av Lofti A. Zadeh. Han ansåg att de saknades sätt att efterlikna det naturliga språket med hjälp av logik. Han utvecklade logiken och skapade sätt att uttrycka det naturliga språket maskinellt, tillsammans med många andra inom samma ämnesområde som också kände samma behov av uppgradering. Zahde (2015) skriver att viktig forskning för utvecklingen har bland annat varit inom lingvistiska variabler, natural language processing och probability theory. 5
3 Fuzzy Sets Fuzzy logic drar paralleller mellan crisp sets och fuzzy sets. Crisp set är faktiska predikat som är antingen sanna eller falska. Det är dessa crisp set som används i så kallad vanlig logik, till exempel Första ordningens predikatlogik. Det som skiljer fuzzy sets från crisp sets är att fuzzy set ger ett värde för hur sannolikt ett objekt tillhör en viss kategori. Till exempel hur sannolikt det är att Nate tillhör kategorin Lång, givet hans längd på 175 cm. Ett crisp set skulle endast säga att han antingen är lång eller inte, givet samma längd. Figur 1 beskriver skillnaden mellan ett fuzzy set och ett crisp set. Crisp set har två värden, sant eller falskt för medlemskap i en viss kategori. Fuzzy set ger medlemskapsgrader för de olika kategorierna. (Maksim, 2015) Fuzzy sets talar om ett objekts medlemskap till en viss kategori. Ett fuzzy set innehåller en mängd element, denna mängd kan vara diskret eller kontinuerlig. Elementen i setet består av ett par, dels objektet men också dess medlemskapsgrad till predikatet. Medlemskapsgraden för alla medlemmar är det som definierar ett fuzzy set. Ju högre värde på medlemskapsgraden mellan 0 och 1, desto högre medlemskap. Zadeh själv skriver (1965) att ett fuzzy set karaktäriseras av den medlemskapsfunktion som tilldelar varje objekt en grad av medlemskap med en siffra mellan 0 och 1. Exempelvis kan medlemsgraden för train kan vara 0,4 i ett fuzzy set (A). Om medlemsgraden hade varit 0 skulle train inte vara associerat med setet alls. Om medlemsgraden hade varit 1 skulle det varit en mycket stark association. Vissa värden kan anses vara crisp set av någon, samtidigt som det är fuzzy för någon annan. Exempelvis kan hastighetsbegränsningen 30 km/h enligt lagen vara ett crisp set, när det för vissa förare är ett fuzzy set med tillåten hastighet mellan 30 40 km/h. Då är 6
hastighetsbegränsningen ett crisp predikat, men människor anser att hastighetsbegränsningen är fuzzy. Längden 140 cm kan vara en gräns för hur lång en människa ska vara för att anses kort. Vanlig logik skulle säga att längden 140,6 är lång, medan Fuzzy logic skulle räkna ut att en sådan längd snarare tillhör kategorin kort än lång (givet en medlemskapsgrad på ca 0.9), med tanke på att den ligger så nära gränsen. Vi kan säga att x = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Fuzzy set A = { typ två } = {0.5/1, 1/2, 0.5/3, 0/4} Medlemsgraderna går då att avläsa såhär: µa(1) = 0,5 ; µa(2) = 1 ; µa(3) = 0,5 ; µa(4) = 0 Vi säger då att medlemsgraden för 1 är 0.5 och medlemsgraden för 2 är 1. Med andra ord så tillhör siffran 2 definitivt kategorin typ två, eftersom den har högsta möjliga medlemskapsgrad. Siffran 1 har endast 0.5 och tillhör inte kategorin lika mycket som 2 gör. Detsamma gäller siffran 3. Siffran 4 har däremot medlemsgraden 0 och bör därför inte associeras med uttrycket typ två. 3.1 Lingvistiska Variabler På sjuttiotalet kallades lingvistiska variabler för a variable of higher order, det vill säga högt rankade variabler (Pal & Mandal, 1991). Enligt Pal och Mandal ger lingvistiska variabler värden som inte är siffror och nummer, utan språkliga variabler i form av ett ord eller en fras. Lingvistiska variabler är alltså de predikat som används inom Fuzzy logic. Alla de värden som en lingvistisk variabel kan ta kallas enligt Jantzen (2006) för term set. Ordet längd är då en lingvistisk variabel och kort, ganska kort, ganska lång och lång är dess värden i term setet. Värdena har sedan enskilda medlemskapsgrader eller sannolikhetsvärden. Lingvistiska variabler är predikat som till exempel mörk eller ljus. Dessa är predikat som inte har tydliga gränser och som därför behöver medlemskapsgrader. Predikatet längd skulle kunna skrivas såhär: T(Längd) = {lång, kort, ganska lång, ganska kort, mycket lång, mycket kort} 7
3.2 Medlemskapsfunktionen Varje objekt i ett fuzzy set har en medlemskapsgrad och för att räkna ut medlemskapsgraden behövs en medlemskapsfunktion. Medlemskapsfunktionen är kurvan som visar hur medlemskapsgraderna förändras mellan olika kategorier, med andra ord hur många grader som behövs för att objektet definitivt ska tillhöra kategorin. Vad som är viktigt att klargöra i en medlemskapsfunktion är att objektet x tillhör universum X. För att fullgöra uträkningen behöver också universum definieras. x ϵ X Det finns flera olika typer av medlemskapsfunktioner, här nedan kommer jag att nämna två av de vanligaste funktionerna. För varje problem måste den rätta medlemskapsfunktionen väljas ut, det vill säga den kurva som bäst beskriver medlemskapet för objektet. mellan 0 och 1: Medlemskapsfunktionen ser förenklat ut såhär, då medlemsgraden är en siffra Ett vanligt set kan se ut såhär: Medan ett fuzzy set kan se ut såhär: μᴀ : x [0,1] A = {x x > 6} A = {x, µa(x) x X} Ett fuzzy set är en utvidgning av ett vanligt set. µa(x) är medlemskapsfunktionen för x i A, och mappar varje element i universum X till ett värde mellan 1 och 0. Det finns flera olika färdiga medlemskapsfunktioner, ett par av de vanligaste är den triangulära medlemskapsfunktionen trimf och the Gaussian gaussmf. Den triangulära medlemskapsfunktionen är en matematisk funktion över x, a, b och c. 8
x är vektorn, a är den första punkten på den nedre gränsen på kurvan, b är den övre gränsen och c är den sista nedre punkten på kurvan. Figur 2 visar den triangulära medlemskapsfunktionen (MathWorks Inc, 2017). 9
Medlemskapsfunktionen The Gaussian är en mjukare funktion, som oftare passar bättre i fler sammanhang än den triangulära funktionen. Funktionen ser ut såhär: Kurvan är x, och σ respektive c är de två parametrar i funktionen som representerar mittenpunkten och bredden i grafen. En liten σ ger en tunn graf och en stor c ger en platt graf. Figur 3 visar The Gaussian membership function. (MathWorks Inc, 2017). 10
4 Operationer Fuzzy logic är precis som alla andra logiker vad gäller att den går att räkna med för att få fram sanningsvärden. Men istället för att använda de logiska operatorerna AND, OR och NOT för att få fram sanningsvärden, som nedan, finns andra sätt metoder för att få fram samma resultat. Figur 4 beskriver sanningstabeller inom vanlig logik. (The MathWorks, 2000) Inom fuzzy logic används istället, union (max(a, B)), snitt (min(a, B)) och komplement (1- A). Figur 3 beskriver sanningstabeller för min(a,b), max(a,b) och 1-A inom Fuzzy logic. (The MathWorks, 2000) 11
Russel och Norvig (2010) skriver att det här är den standardmodell som används inom Fuzzy logic för att räkna ut sanningsvärdet (T) för en komplex mening där A och B är två oskarpa mängder, det vill säga två fuzzy sets. De kan också översättas till snitt, union och komplement. Union T(A B) = min(t(a), T(B)) T(A B) = max(t(a), T(B)) T( A) = 1 T(A). T(A B) = max(t(a), T(B)) För att räkna ut unionen jämförs värdena mellan de liknande värdena i de två seten och det set som har högst värde är det värde som sparas. För att bevisa att unionmodellen stämmer kan vi säga att C är resultatet av en union på A och B. Medlemskapsfunktionen för C med objekt x och universum X kan skrivas såhär: fc(x) = max[fa(x), fb(x)], x ϵ X Unionen för fuzzy set A och fuzzy set B med respektive medlemskapsfunktion fa(x) och fb(x) är då ett fuzzy set C (skrivs som C = A B). Man kan också säga att unionen av A och B är det minsta fuzzy set som innehåller både A och B. Ett fuzzy set som innehåller både A och B innehåller alltså också dess union. Detta visas genom att ta: max[fa(x), fb(x)] fa och max[fa(x), fb(x)] fb Ifall Fuzzy set D innehåller både A och B, då måste fd fa och fd fb. Därför är fd max[fa, fb] = fc. På så vis är C en delmängd av D. Exempelvis kan vi säga att A = {0.1/1, 0.2/2, 0.6/3} och B = {0.2/1, 0.2/2, 0.8/3}. Unionen blir då maxvärdena C = {0.2/1, 0.2/2, 0.8/3} (Källa: Fuzzy Set Operations (Part-1) Union, Intersection, Complement, Difference, 2016). Unionen är densamma som OR operatorn inom vanlig logik. A OR B är densamma som max(a, B). 12
Figur 5 visar union (The MathWorks, 2000) Snitt T(A B) = min(t(a), T(B)) För att räkna ut snittet används samma metod som i unionen, men med förändringen att det är det lägsta värdet som sparas. Resultatet av snittet på A och B kan vi kalla för C och tillsammans med objekt x och universum X kan dess medlemsfunktion se ut såhär: fc(x) = min[fa(x), fb(x)], x ϵ X Snittet för fuzzy set A och fuzzy set B med respektive medlemskapsfunktion fa(x) och fb(x) är ett fuzzy set C (skrivs som C = A B). Snittet av A och B är alltså det största fuzzy set som finns med i både A och B. A och B är då disjunktioner ifall snittet (det vill säga C) är tomt. Exempelvis om vi säger att A = {0.1/1, 0.2/2, 0.6/3} och B = {0.2/1, 0.2/2, 0.8/3}. Snittet blir då de lägsta värdena C = {0.1/1, 0.2/2, 0.6/3}. Snittet är densamma som att använda operatorn AND i vanliga logiksystem. A AND B är alltså densamma som min(a, B). 13
Komplement T( A) = 1 T(A). Komplementet är allt i universum förutom A. Detta kan också skrivas såhär: fa = 1 fa För att räkna ut komplementet tas varje element för sig där varje värde dras från 1. Dvs 1 medlemsgraden för fuzzy set A. Komplementet är allt i universum utom A. Om medlemskapsgraden A = {0.1/1, 0.2/2, 0.6/3}. Komplementet blir då 1 minus alla medlemsgraderna i setet. Resultatet blir då {0.9/1, 0.8/2, 0.4/3}. Den logiska operationen NOT A inom vanlig tvåvärdeslogik (exempelvis första ordningens predikatlogik) kan skrivas som 1-A inom Fuzzy logic. 14
Figur 4 beskriver hur flervärdeslogik (Fuzzy logic) hanterar värden i jämförelse mot tvåvärdeslogik (Första ordningens predikatlogik). (The MathWorks, 2000) Det finns fler operationer som kan göras på fuzzy sets, differens är en av den. Differensen räknas ut genom att först göra komplementet på B och sedan med dessa värden ta snittet på dem, det vill säga skriva ner det lägsta av varje värde. Det kallas också att ta snittet på komplementet. 5 Hur Fuzzy Logic används Eftersom fuzzy logic hanterar osäkerhet är denna logik också användbar inom områden som innefattar mycket osäkerhet. Obestämda värden fungerar bra att använda sig av i autonoma kontrollsystem, då behöver inte en process vara endast på eller av, utan den kan vara på en viss styrka. Detta följer bättre för hur en människa agerar och pratar naturligt som svar på omgivningen. Fuzzy logic kan vara användbart vid tillverkningen av autonoma bromssystem i en bil. En bil som använder traditionell logik skulle använda ett visst avstånd till nästa bil som att det är nära. Bilen tycker att det är för nära när den är 1 meter ifrån. Då skulle 1,1 meter vara långt ifrån, trots att skillnaden är väldigt liten. En bil som använder Fuzzy Logic till samma system skulle istället säga att bilen är ganska nära, eller mycket nära. Om avståndet är 1,1 meter skulle även det räknas som förhållandevis nära, mer än långt ifrån. Bilen kan då bromsa långsamt istället för att göra en hastig och möjligen farlig inbromsning. Inbromsningen kan justeras och anpassas efter hur nära avståndet till nästa bil är, på ett 15
enklare sätt. Exempel: avståndet på närheten är 0,2, det vill säga inte särskilt nära, då bromsas bilen 0,2 hårt, det vill säga med ganska lite kraft. Om närheten är 0,8 och ganska nära, då bromsas bilen hyfsat hårt. Eftersom Fuzzy logic ger ett sanningsvärde mellan 0 och 1, kan det vara värt att ha samma intervall för trycket på bromspedalen. Fuzzy logic används idag i fuzzy system, program som löser komplexa problem (Sodomka & Sulova, 2010). Dessa kallas ofta för expertsystem. Exempel på sådana problem som kan behöva fuzzy expertsystem kan dyka upp inom socialvetenskap och psykologi. Sodomka och Sulova tittar också på fuzzy utvärderingar av förhandlingar hos kunder och materialflödet som sker. Ett exempel på sådant expertsystem kallas fuzzy inference system. Figur 6 visar ett fuzzy inference system (Sodomka & Sulova, 2010) Bilden visar de olika processerna som sker i ett fuzzy inference system. I första skedet fuzzification omvandlas input till data som kan hanteras enligt reglerna i regelbasen. I regelbasen och databasen finns kunskapen om världen och regler om fuzzy operationer som går att använda. Datat hanteras med hjälp av inferencemotorn, som bestämmer vilka regler som är relevanta. I sista skedet defuzzification omvandlas slutsatserna från inferencemotorn till det output som eftersträvas i fuzzy system (Sodomka & Sulova, 2010). Enligt Voss (2016) kan Fuzzy logic användas som ett hjälpmedel för att fatta beslut. Hon anser också att det går att applicera inom sjukvården, men att det inte används på bästa sätt idag. Det behövs ett upplyft och mer motivation för att göra smartare saker med fuzzy metoder. Det finns argument som säger att anledningen till att dessa autonoma system är så lyckade är att de inte är så avancerade, de bygger inte på kedjeförlopp, har små regelverk och innehåller justeringsparametrar som förbättrar prestationen (Russel & Norvig, 2010). Men eftersom de problem som förväntas inte har uppstått än, är det svårt att veta om Fuzzy logic är 16
framgångsrik tack vare sitt arbetssätt eller implementationen av logiken i tillräckligt enkla situationer. Hüllermeier (2015) menar också att Fuzzy logic behöver synas mer på allmänna vetenskapliga evenemang och konferenser. Genom att visa upp fördelarna med Fuzzy logic inom flera andra forskningsområden, och inte bara Fuzzy logic-samhället, skapas utvecklingsmöjligheter och en mindre risk att ämnesområdet dör utan att testas och användas fullt ut. 6 Diskussion Fördelen med Fuzzy logic är dess enkelhet och flexibilitet. Systemet kan hantera problem med ofärdig data och kan modellera ickelinjära funktioner av ganska komplex karaktär. Det går att uttrycka saker som inte bara är sant eller falskt, vilket gör att denna logik går mer naturligt ihop med vårt sätt att prata och agera och därför anser jag att Fuzzy logic är mycket användbart. Exempelvis är ett Fuzzy logic-system bra på att hantera olika automatiska processer, för en smidigare övergång mellan av och på. Exemplet med bilinbromsningen i avsnittet 5 i den här rapporten är ett typiskt exempel på det, vilket skulle kunna implementeras i fler situationer; förslagsvis på luftkonditionering och inomhusljusstyrka anpassat efter ljusstyrkan utomhus. I den här rapporten har jag försökt förstå hur Fuzzy logic fungerar. Jag har däremot insett att det finns mycket mer att läsa och lära om denna logik. En uppfattning som jag har fått är däremot att det kan behövas ännu mer forskning inom området. Ännu är Fuzzy logicsamhället någorlunda isolerat och jag har fått uppfattningen, precis som Hüllermeier (2015) säger, att det skulle kunna bli ett ännu större användningsområde ifall fler vetenskaper kom samman och arbetade fram metoder och system som drog fördelar ur de kombinerade vetenskaperna. På så sätt skulle kunna AI:n utvecklas och moderniseras i en ny riktning. 17
7 Referenser Fuzzy Set Operations (Part-1) Union, Intersection, Complement, Difference. 2016. [Film] Regi av SimpleSnippets. Indien: YouTube. Hüllermeier, E., 2015. Does machine learning need fuzzy logic?. Fuzzy Sets and Systems, 281(Special Issue Celebrating the 50th Anniversary of Fuzzy Sets), pp. 292-299. Jantzen, J., 2006. Tutorial on Fuzzy Logic, Kongen Lyngby: u.n. Maksim, 2015. File:Fuzzy crisp.gif. [Online] Available at: https://commons.wikimedia.org/wiki/file:fuzzy_crisp.gif [Använd 10 januari 2017]. MathWorks Inc, 2017. gaussmf. [Online] Available at: https://se.mathworks.com/help/fuzzy/gaussmf.html [Använd 10 januari 2017]. MathWorks Inc, 2017. trimf. [Online] Available at: https://se.mathworks.com/help/fuzzy/trimf.html [Använd 10 januari 2017]. Pal, S. K. & Mandal, D. P., 1991. Fuzzy Logic and Approximate Reasoning: An Overview. Journal of the Institution of Electronics and Telecommunication Engineers, 37(5&6), pp. 548-560. Russel, S. & Norvig, P., 2010. Artificial Intelligence - A Modern Approach. 3:e red. New Jersey: Prentice Hall. Sodomka, P. & Sulova, D., 2010. Fuzzy Expert System for Evaluating of Bargaining Power of Customers in SC. [Online] Available at: http://www.cvis.cz/eng/hlavni.php?stranka=novinky/clanek.php&id=68 [Använd 11 januari 2017]. The MathWorks, 2000. Fuzzy Logic Toolbox. [Online] Available at: http://radio.feld.cvut.cz/matlab/toolbox/fuzzy/fuzzytu4.html [Använd 10 januari 2017]. Voss, S., 2016. Fuzzy Logic in Health Care Settings: Moral Math for Value-Laden Choices.. Journal of Humanistic Mathematics, 6(2), pp. 161-178. Zadeh, L. A., 1965. Fuzzy Sets. Information and Control, Volym 8, pp. 338-353. Zadeh, L. A., 2015. Fuzzy Logic - a personal perspective. Fuzzy Sets and Systems, 15 december, Volym 281, pp. 4-20. 18