Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING OCH SIMULERING, p Datum:... Måndag 2/5 2006 kl. 08.00-.00 Plats:... M:L och M:L2 Antal uppgifter:... 6 Poäng:... 60 Namn:... Personnummer:... Sektion och åk:... Kontrollera att Du fått rätt skrivning! Skrivningen består av sidor (exklusive försättsblad och formelsamling). Kontrollera att du fått samtliga sidor! Betygsgränser: Betyg...0-9 p Betyg...0-9 p Betyg 5...50-60 p Alla lösningar skall vara väl motiverade. Varje uppgift ska skrivas på separat papper. Skriv namn och årskurs överst på varje papper. Uppgifterna är inte anordnade efter svårighetsgrad. Tillåtna hjälpmedel: Ej förprogrammerad miniräknare, utdelad formelsamling LYCKA TILL! Resultat anslås:... Senast Måndag :e September 2006 i M-husets entré, norra delen Kl 2.00-2.0 Tisdag 5:e September 2006 i M: Tentamensvisning:... Eventuella klagomål på rättningen skall lämnas in skriftligen i anslutning till visningen. Skrivningen delas ut 0 dagar efter visningen. Inga synpunkter beaktas efter att skrivningen delats ut.
Uppgift (0p) Anta följande optimeringsproblem: (P) max Z = 2x + 2x2 + 5x +. 5x 0.5x 2x + 2x + x x 0, x2 0, x 2 + x + x x 0, 2 2 Teckenbegränsningar för x saknas. a) Formulera det duala problemet och lös problemet. (Grafisk lösning är tillåten) (7p) b) Bestäm den optimala lösningen till det primala problemet (P) ovan utan att använda Simplexmetoden. (p) Uppgift 2 (0p) Betrakta följande LP-problem: max Z = x + 5x2 + x s.t 2x + 7x2 + x 5 x + 2x2 + x x + x2 + 7x x, x 0, x 0 0 2 Det är känt att inversen till den optimala basmatrisen är 7 0 2 B = 0. 2 a) Bestäm optimallösningen till problemet ovan. (p). b) Vilka är skuggpriserna för de olika bivillkoren.(2p) c) Hur mycket kan man ändra bivillkor 2 utan att den optimala baslösningen ändras.(2p) d) Hur mycket kan man ändra koefficienten till variabel x i målfunktionen utan att den optimala baslösningen ändras. (p)
Uppgift (0p) Betrakta följande LP-problem Max z = 2x + x 2 + x då 2x + x 2 - x 9 2x 2 + x x + x = 6 x, x 2, x 0 a) Formulera Fas problemet för bestämning av en initial startbaslösning. (p) b) Lös Fas problemet för att bestämma en tillåten startbaslösning. (p) c) Bestäm optimallösningen till problemet genom att lösa Fas 2 problemet. Är den funna optimallösningen unik? (2p) d) Antag att bivillkoret x +x 2 6 adderas till problemet sedan optimallösningen är funnen. Bestäm utgående från den framtagna optimaltablån till originalproblemet vilken den nya optimalösningen är. (2p) OBS! Om ni läst kursen före VT 2006 är det tillåtet att använda BigM metoden istället för Fas 2 metoden vid besvarande av a), b) och c). För full poäng måste ni måste dock inom ramen för BigM metoden tydligt ange initial startbaslösning, tillåten startbaslösning samt optimallösningen till det urspungliga problemet i enlighet med instruktionerna i a), b) och c). 2
Uppgift (0p) Ett livsmedel kallat Astar tillverkas genom att raffinera och blanda olika typer av oljor. Det finns 5 olika råoljor indelade i två kategorier - vegetabiliska oljor och icke vegetabiliska oljor, se Tabell nedan. Vegetabiliska oljor Icke vegetabiliska oljor V IV V2 IV2 IV Tabell. Kategorier av råoljor använda i produktionen av Astar. Varje råolja kan inköpas i början på varje månad men priserna (kr/ton) varierar från en månad till nästa enligt tabell 2 nedan. Slutprodukten Astar säljs för 500 kr/ton. V V2 IV IV2 IV september 0 20 0 0 5 oktober 0 0 0 90 5 Tabell 2. Prisbild (kr/ton) för de kommande 2 månaderna för samtliga råoljor. Vegetabiliska resp. icke vegetabiliska oljor kan inte raffineras i samma produktionslinje utan två separata linor krävs. I varje månad är kapaciteten begränsad till att raffinera max 200 ton vegetabiliska och 250 ton icke vegetabiliska oljor. Ingen vikt går förlorad i raffineringsprocessen och för enkelhets skull kan vi bortse från raffineringskostnaden. Det finns möjlighet att lagra upp till 000 ton av var och en av de 7 råoljesorterna från en månad till nästa. Lagerhållningskostnaden är 50 kr per ton för samtliga oljesorter och beräknas på utgående lagret i respektive månad. Slutprodukten Astar kan inte lagerhållas utan måste säljas omedelbart. För att Astar skall uppfylla sin produktspecifikation måste den oljeblandning som används i slutprodukten ha en hårdhet på minst och max 6 hårdhetsenheter. Vi antar att hårdheten hos en blandning är proportionell mot kvantiteterna av respektive blandningskomponent. Hårdheten för respektive råoljesort finns angiven i Tabell nedan. Det bör noteras att hårdheten ej påverkas vid raffineringen. V V2 IV IV2 IV 8.8 6. 2.0.2 5.0 Tabell. Hårdheten för de olika råoljesorterna. a) Formulera en LP modell som kan användas för att bestämma en inköps- och tillverkningsplan som maximerar vinsten av att tillverka och sälja Astar. (5p) b) Utvidga formuleringen i a) så att även nedanstående villkor beaktas i modellen. (5p) (i) Astar får aldrig innehålla mer än olika oljor under en och samma månad (Obs! Det finns ingen begränsning på sammansättningen från en månad till nästa). (ii) Om en olja används i produktionen under en månad måste minst 20 ton användas. (iii) Om V eller V2 används i en viss månad måste IV också användas. OBS! I både uppg. a) och b) gäller att alla variabler måste definieras och ev. antaganden motiveras. Poängavdrag ges för svårtydbara lösningar!
Uppgift 5 (0p) I en videouthyrningsbutik finns endast en kassa. Antag att kunder anländer till kassan för att betala som en Poissonprocess med intensiteten per minut. Betrakta följande två fall:. Betjäningstiden är exponentialfördelad med medelvärde 0.5 minuter. 2. Betjäningstiden är likformigt fördelad på intervallet [0.2,0.8]. a) Vilket av de två fallen är mest fördelaktigt om avsikten är att kölängden ska minimeras? (p) b) Betrakta följande tredje fall. Antag att betjäningen vid kassan består av tre olika moment. Det första momentet är att leta fram rätt DVD-film, det andra att kontrollera legitimation, och det tredje att ta betalt. Alla tre momenten, var för sig, tar en exponentialfördelad tid med medelvärde 0.25 minuter i anspråk. Tiderna för de olika momenten är oberoende av varandra. Beräkna det förväntade antalet kunder i kön. (6p) Uppgift 6 (0p) De kunder vilka befinner sig i kön till ett M/M/ system med N köplatser, blir otåliga och för var och en av dem gäller att så länge de befinner sig i kön lämnar de densamma (utan att få betjäning) med den konstanta intensiteten μ / 2 per tidsenhet. Parametrarna för ankomstrespektive betjäningsprocesserna är som vanligt λ respektive μ. a) Bestäm de stationära tillståndssannolikheterna. (6p) b) Beräkna medelantalet spärrade ankomster per tidsenhet. (p) c) Tag fram ett uttryck för medelantalet frivilliga avgångar från kön per tidsenhet, uttryckt i μ, L och P 0. (p)