Att förstå algebra. Liv Sissel Grønmo & Bo Rosén

Att förstå algebra Liv Sissel Grønmo & Bo Rosén I Nämnaren nr 1, 1998 presenterades diagnostiska uppgifter kring inledande algebra, generaliseringar oc elevers uppfattningar av symboler. Uppgifterna ar använts i KIM-projektet i Norge. Här redovisas resultat från utprövningar av dessa uppgifter i åk 5, 7 oc 9 med kommentarer. Algebra betydde ursprungligen ekvationslösning oc det första arbetet i algebra, al- Jabr wal-muqabala av den persiske matematiken al-kwarizmi, kan översättas med Kompendium i ekvationslösning (Tompson m fl, 1991). Idag består skolalgebran av studiet av operationer med tal samt relationer mellan tal med användande av variabler eller bokstavssymboler. Användandet av bokstavssymboler medför att algebran får större allmängiltiget än aritmetiken. Inledande algebra, eller prealgebra, är olika sätt att arbeta med algebrarelaterade problem utan att använda bokstäver som symboler för variabler. Man löser problem genom olika typer av resonemang. Undervisningen kan t ex understryka liketstecknets olika betydelser. Man arbetar inte bara med uppgifter av typen 9 + 7 =, där liketstecknet kan uppfattas som något skall utföras, i detta fall att man ska addera 9 oc 7. Man arbetar också med 15 = 7 +, 21 = 8 oc = 6 + 8. Dessa inbjuder till en reflektion kring vad som kan stå i rutorna för att vi ska få lika mycket på båda sidor av liketstecknet. I vilken grad uppgifterna leder till reflektion är i ög grad beroende av ur läraren beandlar dem. Det är därför viktigt att an/on är medveten om att sådana reflektioner är viktiga för att utveckla algebraisk förståelse. Liv Sissel Grønmo är amanuensis i matematikdidaktikk vid Institutt for Lærerutdanning og Skoleutvikkling, ILS, vid universitetet i Oslo. Bo Rosén är øgskolelektor vid Høgskolan i Oslo oc ar varit forskare i KIM-projektet. Utprövningen i KIM-projektet gjordes på omkring 2000 elever i vardera åk 5, 7 oc 9. Ca 500 av diagnoserna valdes ut slumpmässigt oc elevsvaren rättades oc kategoriserades. I tabellerna ar vi ibland utelämnat Andra svar, vilket förklarar att summan av lösningsfrekvenserna är mindre än 100%. Uppgift 1 Skriv rätt tal i rutorna: a) 3 = 21 b) 2 + 4 = 12 c) 3 + 2 = 15 d) 25 2 = 17 Syftet med uppgift 1 är att kartlägga elevernas kunskaper oc färdigeter när det gäller operationernas ordning. Förståelse av de olika räkneoperationerna oc deras egenskaper utgör basen för algebraiskt tänkande. När vi ar en obekant med i bilden talar vi vanligtvis om ekvationer. Det obekanta är i detta fall en ruta. 1a åk 5 åk 7 åk 9 Riktigt svar 97 % 98 % 98 % Nästan alla elever vet vilket tal som ska stå i rutan. Vi tolkar också resultatet som att de förstått vad en ruta står för. 1b åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 4 % 2 % 1 % 4 61 % 77 % 88 % 2 22 % 16 % 9 % 8 3 % 2 % 1 % Elever som adderar 2 oc 4 oc får 6 kommer fram till att den obekanta måste vara 2. När eleverna inte vet att man ska prioritera multiplikation före addition skapar det än större problem när man senare inför bokstäver som symboler för variabler. 35

1c åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 4 % 4 % 2 % 6 13 % 17 % 33 % 3 67 % 73 % 63 % 5 8 % 3 % 1 % Här syns tydligt elevernas problem med prioritering. De som svarar 3 ar först adderat 3 oc 2 oc därefter multiplicerat 5 med den okända oc på så sätt fått 15. Svaret 5 kan man komma fram till om man ser på 2 som en enet eller alternativt att man ignorerar 2-an. Dessutom är det bara det sista operationstecknet, multiplikation, som man bryr sig om. 1d åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 59 % 62 % 35 % 4 13 % 18 % 47 % 6 eller 6 4 % 2 % 2 % Uppgiften är svår för eleverna, speciellt i tidigare årskurser. Många elever ar låtit bli att svara på uppgiften. Svaret 6 oc 6 visar åter elevernas problem med operationernas ordning. De subtraerar först 25 med 2 oc därefter med 6. Andelen riktiga svar i de sista två uppgifterna är ungefär lika stor för de två tidigare årskurserna, medan det faktiskt är flera elever i åk 9 som får d- än c-uppgiften riktig! Det är därmed inte sagt att det är samma elever som ar svarat rätt på båda uppgifterna. I 5:e klass är det bara 24% av de 66 eleverna som svarat rätt på uppgift c, som också ar svarat rätt på d-uppgiften. I åk 7 var det 43% av eleverna som ar rätt svar på både uppgift c oc d oc i åk 9 är det 73% som ar svarat rätt på båda. Mönster oc generaliseringar Ett sätt att utveckla elevernas algebraiska tänkande är att tidigt låta dem arbeta med övningar där de skall sortera olika saker oc försöka att komma fram till efter vilket mönster sorteringen är gjord. Dessa övningar är viktiga för att eleverna i senare skede av undervisningen ska kunna använda bokstäver som symboler för att uttrycka generella sammanang. Exempel på sådana övningar kan ämtas från vardagsliv, geometri, musik oc konst. Uppgift 7 Här är 3 figurer som är uppbyggda efter samma mönster. 1 2 2 4 a) Hur många rutor beövs för att bygga nästa figur i mönstret? Tabellen är ifylld med jälp av figurerna ovan. b) Fyll i resten av tabellen: Rutor längs kortaste sidan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Rutor längs längsta sidan 2 4 6 Sammanlagt antal rutor 2 8 18 c) Hur många rutor beövs det för att göra en figur där det är 20 rutor längs den kortaste sidan? d) Hur många rutor beövs det för att göra en figur där det är k rutor längs den kortaste sidan? e) Förklara ur du kom fram till svaret. Uppgift 7 avser att mäta elevernas förmåga att upptäcka ett mönster. Uppgift 7d, som testar elevernas förmåga att uttrycka detta med jälp av symboler, förekommer bara i åk 7 oc 9. I sista deluppgiften skall alla elever med ord förklara ur de kom fram till svaret, med tal i 5:e klass oc med symboler i 7:e oc 9:e klass 7a åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 11 % 6 % 4 % 32 36 % 52 % 70 % 8, 8 oc 4, eller liknande 8 % 8 % 8 % 24 8 % 6 % 3 % 28 5 % 3 % 1 % Många elever ar i svarsäftet ritat nästa figur oc räknat rutorna. De ar inte kommit fram till svaret genom att multiplicera långsidans antal rutor med kortsidans. Någon svarar med långsidan (8) i stället för ur många rutor det beövs för att göra nästa figur i mönstret. Svaret kan bero på att eleverna inte läst uppgiften tillräckligt noggrant. Svaret 24 beror på att eleverna bara ökat längden på långsidan till 8 (3 8) eller bara ökat längden på kortsidan till 4 (4 6). De elever som svarar 28 söker efter ett mönster oc finner det i 8 >18, 18 >28, dvs en ökning med 10. De letar inte efter något sammanang mellan lång- oc kortsida utan ar en additativ strategi. 3 6 36

7b åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 13 % 7 % 4 % Rätt ifylld tabell 21 % 42 % 68 % Riktig princip. Räknefel 12 % 15 % 11 % Långsidan korrekt: Totalt antal rutor fattas 29 % 18 % 9 % Hela tabellen ifylld 22 % 15 % 6 % Andelen elever som ar visat att de förstår ur mönstret byggs upp är relativt stor, 33% i åk 5, 57 % i åk 7 oc 79 % i åk 9. En stor andel ar bara angivit riktig långsida. Andra, som svarar med riktig långsida, letar efter ett mönster. De ger svaret för sammanlagt antal rutor bara kopplat till en ökning i tabellens tredje rad. 7c åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 35 % 22 % 14 % 800 18 % 33 % 59 % 20 4 % 4 % 2 % 40 7 % 7 % 4 % 80 5 % 5 % 2 % 200 4 % 4 % 3 % Andra svar 26 % 24 % 16 % Felsvaret 40 beror troligen på att eleverna svarar på ur lång den längsta sidan är när den kortaste är 20. 80 kommer antagligen av att eleverna ar multiplicerat 20 med 40 oc räknat fel. Svaret 200 kommer från nästa steg i tabellen eller av att de ar tolkat 20 som den längsta sidan. Då blir kortaste sidan 10 oc totala antalet rutor 200. Andel ej svarat oc andra svar är ög. Över 60 % i åk 5 oc 30% i åk 9. 7d (i åk 7 oc 9) åk 7 åk 9 Ej svarat 59 % 41 % 2k 2, 2k k, k (k + k ), eller likn. 1 % 20 % 2k, k + k, k2, k 2 = 2k, eller likn. 4 % 8 % 3k, 2k + k, k 2k = 3k, eller likn. 1 % 4 % k 2, k k eller liknande 2 % 2 % k 3, k k 2 eller liknande 0 % 3 % k gånger långsidan, k l, el. l. 0 % 5 % k, x eller liknande 7 % 9 % 242 3 % 1 % Andra svar 23 % 7 % Många elever svarar inte på uppgift 7d. Dessutom är andelen andra svar ög. Det tyder på att eleverna är mycket osäkra på denna typ av uppgifter. 2k eller liknande svar kan bero på att de svarar på ur lång längsta sidan är. Bakom svaret 3k kan ligga att de tänker korrekt, men att de ännu inte beärskar att uttrycka resultatet algebraiskt. Här finns dessutom en el del felaktigt räknande med potenser. Vid svaret k l eller liknande ar eleverna använt k för kortsida oc l för långsida. Drygt 3% ar svarat 242 (11 22). Svaret antas bero på att k är den 11:e bokstaven i alfabetet! 7e (7d i åk 5) åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 40 % 66 % 57 % Riktig förklaring 12 % 2 % 13 % Riktig förklaring men: Ett eller två räknefel 4 % 1 % 2 % Exemplifiering med tal 0 % 1 % 2 % Ingen eller ofullst. förklaring 9 % 3 % 3 % Additionsförklaring 3 % 0 % 0 % Förklarar ur man finner längsta sidan 4 % 4 % 16 % Många elever ar svårt för att sätta ord på sin förståelse (att beskriva något muntligt oc/eller skriftligt på modersmålet). Andelen som inte svarat är mycket ög. Att andelen ökar i de ögre årskurserna kan bero på att man är skall förklara generalisering som är uttryckt med bokstavssymboler. I årskurs 5 skall man förklara utifrån tal. Bokstavssymboler I vår utprövning av testen är det en del missuppfattningar som ofta förekommer: Objekttänkande Undersökningar visar att många inte uppfattar bokstäver som en kvantitet utan som en förkortning för ett objekt, t ex b för bananer i 3b + 4b = 7b. På samma sätt ser man på 3a + 5b + a som ett problem där man skall lägga samman tre apelsiner, fem bananer oc en apelsin. Men ur skall då 3a 5b = 15ab förklaras oc förstås? 37

Variabeln sätts till 1 Många elever sätter det obekanta talet till 1 oc använder det vid räknandet. Detta är vanligare i lägre årskurser. Öppna svar En del elever godkänner inte svar som inneåller uttryck, t ex x+4. Eleven är inte nöjd med svaret utan fortsätter räknandet oc får svaret 4x eller liknande. Räkning utan variabel Vid addering av 2a + 7b så räknar man 2+7 oc lägger till a oc b till slut. Det ger svaret 9ab. Vid en del tillfällen ger denna strategi samma svar om eleven arbetar enligt strategin öppna svar, dvs i detta fall 9ab. Uppgift 4 I alla figurer nedan är sidorna angivna i meter. Ange omkretsen i var oc en av figurerna. a) b) e e e O =... O =... u u c) d) 5 5 O =... O =... I b- oc c-uppgifterna försöker vi testa om eleven accepterar ett svar med en operation, det vi kallat ett öppet svar. Att det i texten står att Sidorna är angivna i meter gör att många elever lägger till meter i svaret. 4a åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 7 % 3 % 2 % 3e 75 % 77 % 81 % e+e+e eller liknande 1 % 3 % 10 % 3g 6 % 6 % 2 % 3 3 % 1 % 0 % 6 eller 6m 4 % 3 % 0 % 3 Hela figuren är inte ritad. Det är n sidor tillsammans. Alla sidorna ar längden 2. t 4b åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 14 % 8 % 6 % 4 + t eller t + 4 11 % 27 % 56 % + + + +t 2 % 4 % 8 % 4 oc t 17 % 11% 0 % 4t, 5t, t, el. l. 15 % 14 % 23 % 41t eller 4,1t 17 % 13 % 1 % 5 3 % 4 % 0 % 5g, 5 eller liknande 8 % 7 % 0 % Talsvar mellan 6 oc 8 4 % 2 % 0 % Olika former av potenssvar 0 % 2 % 2 % 4c åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 17 % 18 % 8 % 2u +13 eller 13 + 2u 6 % 7 % 30 % u+u+5+5+3, 2 u + 2 5 + 3 4 % 12 % 26 % 2u oc 13 3 % 3 % 0 % uu13, 2u13, 2u2513, el. l. 8 % 8 % 12 % 2 u, 2 5, 1 3, el. l. 27 % 22 % 7 % 15 3 % 2 % 0 % 5, 5u eller 5g 4 % 3 % 0 % 7 (Talsvar mellan 6 oc 8) 4 % 2 % 1 % 13u eller 13 m 4 % 2 % 1 % 15u eller 15 m 8 % 6 % 1 % Svaret 3g i 4a tolkas som att eleverna ar använt samma bokstav som i exemplet oc skriver därför 3g (Grønmo & Rosén, 1998). Svaret 3 kan uppstå på två sätt, dels att bokstaven e sätts lika med 1 oc dels att bokstaven ignoreras. 6 eller 6m kan komma av att eleverna mäter sidan i triangeln oc att en del av dem dessutom felaktigt anger eneten som meter. I 4b är 4 oc t svar som indikerar att eleverna ar korrekt tankegång men ar problem med att uttrycka det med symboler. Svaren 4t, 5t, t tyder på att elever inte accepterar öppna svar. 41t oc 4,1t eller liknande kan betyda att eleven ar en viss förståelse, men inte tillägnat sig det matematiska språket. Det kan också vara värt att notera att när elever blivit undervisade i potensräkning får vi också felsvar där detta blandas in. I 4c är 2 u, 2 5, 1 3 ett rätt vanligt svar i de lägre årskurserna. Eleverna saknar det matematiska uttryckssättet. 13u oc liknande svar antas bero på att eleverna räknar utan variabel oc lägger till den efteråt. 15u kan uppstå på grund 38

av att eleven ar fått 13 + 2u, men inte godkänner detta som ett svar. 4d åk 7 åk 9 Ej svarat 42 % 35 % 2n, N 2 eller liknande 9 % 35 % 16 11 % 1 % 16n, 16t eller 16,n 3 % 2 % 32, 2 16, 2+2+2+...+2 = 32 eller 16,2 9 % 7 % 32+n, 32+x, 32n eller liknande 3 % 2 % Potenssvar 2 % 2 % Andra talsvar 13 % 8 % Till uppgift 4d finns en del svar som kan uppfattas som att eleverna är osäkra på ur man uttrycker sig, oc att de ännu inte utvecklat förmåga att generalisera. Uppgift 5 a) Lägg samman 6n oc 3n Svar:... b) Lägg samman 2 oc n + 5 Svar:... c) Lägg samman 4 oc 3n Svar:... Uppgiften testar speciellt om elever accepterar ett svar som inneåller en operation, det vi kallat öppna svar. 5a åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 13 % 6 % 2 % 9n 72 % 85 % 84 % 9nn, 6n3n eller 6,3n, el. l. 2 % 0 % 1 % 9 6 % 3 % 0 % 9n 2 eller 9 n 0 % 1 % 10 % 5b åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 16 % 14 % 5 % n + 7 eller 7 + n 4 % 5 % 34 % 2+5+n eller liknande 0 % 2 % 2 % 7 oc n eller liknande 1 % 2 % 1 % 2n +5, 2n5 eller liknande 3 % 2 % 13 % 7n, 2+5+n = 7n, el. l. 58 % 50 % 33 % 7 5 % 3 % 0 % 8 2 % 2 % 0 % 8n 3 % 12 % 1 % 10n 0 % 2 % 6 % 5c åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 16 % 11 % 5 % 4 + 3n eller 3n + 4 3 % 6 % 45 % 4 oc 3n eller liknande 1 % 0 % 1 % 7n, n 7 eller 4+3n = 7n 63 % 69 % 39 % 7 6 % 4 % 0 % I uppgifterna 5b oc 5c är 7n den vanligast förekommande missuppfattningen. Det verkar som att många elever, varannan till var tredje, ar svårt att acceptera öppna svar. Jämför man de som svarat 7n i uppgift 5b oc 5c finner man att 40 % av de elever som svarat fel på b-uppgiften i åk 5 gör samma fel på c-uppgiften. Motsvarande jämförelser i åk 7 oc åk 9 ger 61 % respektive 85 %. Svaret 7 tyder på att eleverna sätter variabeln lika med ett eller överser den elt. Uppgift 6 a) Om a + b = 43 så blir a + b + 2 =... b) Om e + f = 8 så blir e + f + g =... 6a åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 10 % 10 % 6 % 45 84 % 84 % 90 % Andra talsvar 4 % 4 % 3 % Uppgiften visar sig vara mycket lätt, även om det är två obekanta. Vid engelska undersökningar var lösningsfrekvensen 92 % i åk 5, 97 % i åk 7 oc 95% i åk 9. 6b åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 27 % 23 % 13 % 8 + g eller g + 8 4 % 8 % 38 % 8 2 % 4 % 1 % 9 21 % 16 % 3 % 8g 4 % 11 % 27 % 10 7 % 7 % 2 % 12 18 % 16 % 7 % 15 5 % 3 % 1 % 16 2 % 3 % 2 % Det är vanligt att eleverna tilldelar g ett värde, vilka ger uppov till en del av felsvaren. Svaret 9 kommer av att eleverna sätter variabeln lika med 1. Resultatet 8g uppstår på samma sätt som svaret 7n i uppgift 5, dvs eleverna godkänner inte ett svar med en operation i. Svaret 10 beror på att eleverna använder talet 2 på samma sätt som i 6a-uppgiften. 12 får man om man tilldelar alla variablerna samma värde i det är fallet 4. 39

Svaret 15 kan komma av att eleverna speciellt i tidigare årskurser ger g värdet 7, då g är sjunde bokstaven i alfabetet. Uppgift 8 Skriv en matematikberättelse som passar till uttrycket: 3a + 2a = 5a Syftet med uppgiften är att studera ur elever uppfattar användningen av bokstavssymboler. 8 åk 5 åk 7 åk 9 Ej svarat 34 % 28 % 31 % Riktigt svar 0 % 1 % 4 % Riktigt svar. Beskriver en omöjlig situation 1 % 1 % 4 % a står för ett konkret objekt 10 % 16 % 27 % 3a oc 2a står som objekt i sig själv 16 % 17 % 14 % a står som ett okänt objekt 5 % 12 % 9 % Tänker i positioner 8 % 9 % 6 % Andra svar 26 % 16 % 5 % Andelen elever som inte svarar på uppgiften utgör en tredjedel, oavsett årskurs. Det kan nog bero på att man i skolan inte övat på att ge mening till ett algebraiskt uttryck genom att sätta ord på vad det kan stå för. Ett svar som bedömts som riktigt innebär att bokstaven uppfattas som en variabel, en kvantitet t ex antal tändstickor i en ask eller ett varupris. En del elever tänker i positioner oc tilldelar a t ex värdet 0. Detta går ju bra för 30 + 20 = 50. Det inträffar också att man tilldelar a värdet 2 oc får 32 + 22 = 52! Andelen objektsvar ökar, från 31% i åk 5 till 50% i åk 9! I svaret tolkas ofta a som något som står för en förkortning, apor, apelsiner eller liknande. Att vi uppfattar bokstäver som förkortningar är inte märkvärdigt. I många sammanang använder vi bokstäver på ett sådant sätt, t ex m står för meter oc l för liter. Men i uppgifter av typen 2a + 3b vill vi att eleverna ska uppfatta bokstaven som symbol för en variabel, en kvantitet. Vi bör därför diskutera oc reflektera över ur vi använder bokstäver, så att eleverna görs medvetna om de olika sätt vi använder dem på. Även lärare kan a använt bokstäver på ett felaktigt sätt. För att undvika att elever lägger samman 2a oc 3b oc får 5ab är det frestande att säga att man inte kan lägga iop apor oc björnar. Man kan då undvika att eleverna gör felet att lägga iop a-n oc b-n, men detta sätt att förklara bidrar inte till att elever utvecklar en riktig uppfattning av vad bokstäver står för i denna typ av uttryck. Uppgift 14 Sätt ett kryss för rätt svar: a) a + b + c = c + a + b Detta är alltid sant Detta kan vara sant Förklara ur du kom fram till svaret. b) 4 + x = 4 + y Detta är alltid sant Detta kan vara sant Förklara ur du kom fram till svaret. c) 2a + 3 = 2a 3 Detta är alltid sant Detta kan vara sant Förklara ur du kom fram till svaret. Detta är aldrig sant Detta är aldrig sant Detta är aldrig sant 14a åk 7 åk 9 Ej svarat 12 % 7 % Riktigt satt kryss Det enda som är olika är bokstavsordningen 16 % 35 % Förklaring med exempel 3 % 8 % Upprepar uppgiften 6 % 8 % Förklaring saknas eller jag gissar 13 % 12 % Felaktigt satt kryss Förklaring saknas eller jag gissar 36 % 14 % Bokstavsfixering a måste komma före b oc c 4 % 5 % 14b åk 7 åk 9 Ej svarat 14 % 7 % Riktigt satt kryss x oc y kan stå för samma tal 10 % 25 % Förklaring saknas eller jag gissar 7 % 2 % Felaktig förklaring 4 % 3 % 40

Felaktigt satt kryss Förklaring saknas eller jag gissar 40 % 23 % Bokstavsfixering x oc y ar olika värde 16 % 31 % Svarsfixering. 4x kan inte bli 4y 3 % 6 % 14c åk 7 åk 9 Ej svarat 15 % 9 % Riktigt satt kryss Alltid sex mindre på öger sida 1 % 3 % Förklaring med exempel 1 % 4 % Fokuserar på tecken Plus oc minus är inte samma 21 % 32 % Fokuserar på olikt Det blir inte samma värde 1 % 6 % Förklaring saknas eller jag gissar 8 % 3 % Felaktigt satt kryss Förklaring saknas eller jag gissar 37 % 29 % Svarsfixering Det blir inte samma som 4 % 3 % Detta är en typ av uppgifter som eleverna inte är vana att få. Många sätter kryss men ger inte någon förklaring eller bara svaret Jag gissar. Uppgift 14a testar om eleverna vet att det inte spelar någon roll i vilken ordning symbolerna kommer. Uppgift 14b testar om eleverna vet att x oc y kan anta alla värden. Det är bara 10% i åk 7 oc 25% i åk 9 som kryssar rätt oc dessutom ger en acceptabel förklaring. Ca 30% av eleverna i åk 7 oc ca 50% av eleverna i åk 9 sätter kryss på rätt ställe i 14c-uppgiften, men de ar stora svårigeter med att förklara. Bara 1% i åk 7 oc 3% i åk 9 ger en förklaring där man säger att det alltid blir en skillnad på 6 mellan vänster oc öger led. De flesta eleverna (21% respektive 32%) använder sig av en förklaring där de säger att plus inte kan bli minus. Slutord När vi ar jämfört vad eleverna svarar på olika uppgifter ser vi att det är mer konsistens i svaren i de ögre årskurserna. Detta gäller såväl felsvar (missuppfattningar) som riktiga svar. Eventuella missuppfattningar som eleverna ar är mer instabila i lägre årskurser, medan de befästs ju äldre eleverna blir. Detta tyder på att missuppfattningar som inte tas på allvar i undervisningen blir till stabila uppfattningar genom åren. Vi ar också sett att elever som ger förväntade svar oc därför kan antas tänka riktigt ar problem med ur de ska förklara det. I traditionell matematikundervisning får eleverna ofta lite träning på att förklara med ord, både vad de förstår oc vad de ar problem med. I kommande nummer av Nämnaren kommer vi med förslag på olika undervisningsaktiviteter som ska stödja utveckling av ett algebraiskt tänkande. Referenser Bergsten, C., Häggström, J. oc Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. NämnarenTEMA. Göteborg: Göteborgs universitet. Grønmo, L. oc Rosén, B. (1998). Att tänka algebraiskt. Nämnaren 25(1), 46 49. Häggström, J. (1995). Tidigare algebra. Nämnaren 22(4), 17 22. Häggström, J. (1996). Förstå algebra. Nämnaren 23(1), 38 44. Kieran, C. (1992). Te Learning and Teacing of Scool Algebra. In Grouws, D. A. (Ed), Handbook of Researc on Matematics Teacing and Learning. (pp 390 419). MacMillan Publising Company. Kücemann, D. (1981). Algebra. In K. M. Hart (Ed.), Cildren s Understanding of Matematics: 11 16. (pp 102 119). London: Murray. Tompson, J oc Martinsson, T. (1991). Matematiklexikon. Helsingborg: Walström & Widstrand. 41