Matematik och konst Matematiken och konsten har många beröringspunkter. Vi har tidigare sett hur grunderna inom geometri är grunden för formlära och att symmetri ligger nära harmoni. Matematik handlar om förhållanden, vilket även konsten gör. Båda disciplinerna har en strikt sida och båda har en lekfull och kreativ aspekt. En del konstnärliga alster kan beskrivas med matematiska uttryck och matematiska formler kan beskrivas i bild. Genom att arbeta parallellt med konst och matematik och beskriva ett fenomen med hjälp av båda disciplinerna, kan eleverna uppnå en känslomässig och intellektuell förståelse. I det här avsnittet kommer vi att arbeta med siffrornas historia, Fibonacchis talserie, fraktaler, kombinatorik och mycket annat som visar hur de två ämnena matematik och bildkonst kan stödja och flätas in i varandra. 153 År 3
Sifferhistoria Vi sitter i ring och ställer frågor som bara kan besvaras med siffror och leder sedan över samtalet på hur människan kan ha kommit på siffrorna. Vi målar de tio siffrorna med olikfärgade kritor, en i var hand så att vi får en rättvänd och en spegelvänd sida. Sedan målar vi över alltihop med temperafärg. Litteraturtips: Siffrornas historia, Vivian French & Ross Collins 154 Undrar hur man gjorde innan man hade siffror och tal? Undrar hur länge människan har använt siffror? Undrar hur långt man kan räkna? Undrar om talen har något slut? Undrar hur siffrorna ser ut spegelvända? - Att börja fundera över talens och siffrornas historia - Att kunna forma siffrorna med båda händerna År 1 Den här övningen är bra att göra tidigt i de yngre åren för att sedan gå vidare med övningar i geometri.
Dubbelspiralen och Fibonacchi Vi tittar på föremål som har dubbelspiral i sig, som tallkottar, ananaser och solrosor. Vi ser att antalet spiraler åt ena håller förhåller sig till antalet spiraler åt andra hållet. Vi talar om Fibonacchis talserie och det Gyllene Snittet och jämför dubbelspiralrerna som vi nyss identifierat. Vi läser kapitlet om Fibonacchi i boken Sifferdjävulen. Vi talar om Fibonacchi och hans gärning och försöker konstruera ett mönster efter hans teorier. Litteraturtips: Det gyllene snittet, Scott Olsen Matte med mening, Kristin Dahl Sifferdjävulen, Hans Magnus Enzensberger - Att känna till de första delarna av Fibonacchis talserie - Att kunna göra en framställning i bild av talserien eller dubbelspiralen i form av en solros, pärlbåtssnäcka eller ett träd som förgrenar sig Undrar hur något kan snurra åt två håll på en gång? Undrar vad det är för vits för en frukt att ha en dubbelspiral? Undrar hur Fibonacchi kom på sin talserie? Undrar om han verkligen gjorde ett experiment med levande kaniner? År 6 Beroende på elevernas ålder är det här temat lätt att variera. Att studera solrosor, tallkottar och ananaser är komplicerat men spännande. Och förhållandet mellan talserien och det Gyllene Snittet är ett äventyr i sig. 155
Fraktaler Vi tittar på vad fraktaler, linjer som bryts med en viss regelbundenhet, och hur dessa kan underlätta beräkningen av en sträcka. Vi pratar om kuster och sjövägen från Strömstad till Haparanda och vad som skiljer en båtfärd utomskärs från en vandring runt varenda udde på land vad gäller avstånd. Principen för fraktaler är att man delar en sträcka, exempelvis 27 centimeter i tre delar. Den mittersta delen utgör basen av en liksidig triangel, som ritas ut. Den kan i sin tur delar i tre delar och proceduren upprepas så länge man vill och kan. När vi förstått gör vi varsin och målar den. 156 Undrar hur långt det är från Strömstad till Haparanda om man mäter rakt över på kartan? Undrar hur långt det är om man går runt varenda vik längs hela kuststräckan? Undrar varför det heter fraktaler? Undrar om man kan räkna ut hur mycket längre sträckan blir för varje gång man bryter den? - Att förstå begreppet fraktal och principen för hur man gör den - Att kunna göra en fri bild av en fraktal Linjal Blyertspenna År 4 Som vid många andra av övningarna är det viktigt och lämpligt att ta upp matematiska exempel i anslutning till måleriet, som att beräkna längden på en sträcka som delats av en eller flera fraktaler.
Landskap med minsta möjliga antal färger Alla får ett papper med en karta över Sveriges landskap som vi skall fylla i med så få färger som möjligt. Ingen landskap får gränsa till ett annat landskap med samma färg. Vi går igenom vad de olika landskapen heter och hur de förhåller sig till varandra. Litteraturtips: Matte med mening, Kristin Dahl - Att kunna tänka strategiskt - Att känna till Sveriges landskap A4 ark med Sveriges landskap Kritor eller färgpennor Undrar hur många landskap det finns i Sverige? Undrar varför vi har landskap? Undrar hur få färger man behöver? År 4 157 Den här övningen har visst släktskap med kombinatorikövningarna som kommer senare i detta avsnitt.
Abstrakt mönsterknåp och multiplikation Vi målar ett abstrakt mönster i färg med ganska stora ytor, exempelvis cirklar som går i varandra. Sedan gör vi en likadan bild men målar inte utan fyller bara i formernas konturer. I varje form skriver vi ett multiplikationstal. Därefter gör vi en nyckel, där produkten av talet motsvarar en viss färg, exempelvis så att 24 (6 x 4, 3 x 8 eller 2 x 12) är mörkgrönt. Vi byter de formbaserade bilderna med varandra parvis och löser talen och målar enligt nyckeln. År 4 158 Undrar hur man kan få någon annan att förstå hur man ska fylla i färgerna? Undrar vilka tal som kan vara bra att skriva in? Undrar om man kan måla vilka former som helst? - Att förstå hur en nyckel fungerar - Att kunna skapa och följa en instruktion som är nyckelbaserad Den här uppgiften går att variera på många sätt, som att byta räknesätt, variera formerna eller skicka bilden vidare till nästa kamrat efter varje ny ifylld färg.
Strukturerade labyrinter Vi talar om labyrinter och läser historien om Ariadne och Teseus i den grekiska mytologin. Vi gör en strukturerad labyrint, genom att först rita upp figuren nedan till vänster. Därefter drar vi en båge från den översta punkten av korset till spetsen på det vinklade strecket närmast till höger. Sedan drar vi en större båge från punkten till höger om strecket till det vinklade strecket vänster om mittpunkten. Så fortsätter vi att dra linjer, varannan gång åt höger och varannan åt vänster till alla punkter och streck som är delaktiga i labyrintkonstruktionen. Litteraturtips: The mystic spiral, Jill Purce Undrar hur Adriadne kom på det där med nystanet? Undrar vad som hade hänt om hon inte hade hittat något nystan? Undrar om det finns labyrinter i verkligheten? Undrar om man kan hitta ut ur en labyrint? Undrar om man kan bygga en labyrint? - Att känna till begreppet labyrint - Att kunna konstruera en labyrint med början i den givna figuren ovan till vänster Bok om grekisk mytologi Den här övningen ger en struktur åt labyrinten. Men det går naturligtvis att göra fria labyrinter också. 159
Fria labyrinter Utifrån förra uppgiften talar vi om vad som är karaktäristiskt för en labyrint och gör sedan egna labyrinter på fri hand, som vi först tecknar upp och sedan målar. År 4 160 Undrar hur man kan visa att gångarna delar sig och går över och under varandra? Undrar om man blir yr när man går i en labyrint? Undrar om en labyrint alltid är mörk eller om det går att göra ljusa labyrinter, ute i det fria? - Att befästa begreppet labyrint - Att själv kunna konstruera en bild med en labyrint som bas Blyertspennor, färgpennor eller temperablock
Snöstjärnor Snöstjärnor bildar alltid sexhörningar på grund av vattnets kemiska sammansättning. Vi undersöker hur man kan gestalta en snöstjärna, antingen i form av en målning eller genom att klippa fram den i papper. et viks på mitten och viks sedan igen, en gång en ungefärlig tredjedel över mitten på det redan vikta och ytterligare en gång (se skiss nedan). Därefter klipper vi bort papper i olika mönster längs sidorna och får snöstjärnor. Undrar varför snöstjärnor alltid har sex spetsar? Undrar om det finns två snöstjärnor som är likadana? Undrar hur man kan vika ett papper i sex lika stora delar? - Att känna igen vad som karaktäriserar grundformen hos en snöstjärna - Att kunna göra en snöstjärna i färg eller genom att klippa i papper För målning: Linjal För klippning: Sax Lim Färgat papper till bakgrund 161
Positionssystemet Att förstå positionssystemet, det vill säga att en siffra har olika värde beroende på var i ett tal den står, är avgörande för att förstå matemamtik. Därför talar vi om hur siffror kan vara olika mycket värda beroende på var de står i förhållande till varandra. Vi målar siffror, analoga eller digitala, en på varje ark och kombinerar på olika sätt, två i taget, tre i taget, och så vidare. Vi jämför värdet som varje siffra har beroende på sin position. År 2 162 Undrar hur många sätt man kan kombinera två siffror på? Undrar om alla siffror har olika värde beroende på var de står? Undrar om även nollan förändras i positionssystemet? - Att förstå betydelsen av siffrornas placering i positionssystemet - Att kunna variera siffror och avgöra hur värdet förändras A5 papper Positionssystemet är besläktat med kombinatorik. Hur kan vi göra det mer allmänt och samtidigt mer komplicerat?
Kombinatorik Vi talar om hur man kan kombinera saker på olika vis. Vi funderar över på hur många sätt man kan kombinera fyra siffror (fler för äldre barn och färre för yngre) utan att upprepa sig. Vi läser kapitlet om kombinatorik i boken Sifferdjävulen. Sedan målar vi enkla föremål, vi kan kalla dem A, B och C, som skiftar i färg eller form, i så många olika kombinationer som vi kan komma på. Litteraturtips: Sifferdjävulen, Hans Magnus Enzensberger Matte med mening, Kristin Dahl Undrar hur många sätt man kan kombinera A, B, C och D på? Undrar om man kan rita in vad som helst som A, B, etcetera? Undrar vilket som blir tydligast, om man varierar färgen eller formen? - Att kunna se olika kombinationsmöjligheter - Att kunna framställa en bild av enkla kombinationer Med de äldre eleverna kan man börja fundera på om det finns någon formel för kombinatorik. Och vad händer om man inte behöver ta en av varje utan får ta samma sort alla gångerna, exempelvis tre A? Blir det fler eller färre kombinationer? 163
Klossar, triangeltal och kvadrattal Vi bygger med klossar i olika färger och visar på olika matematiska förhållanden, som triangeltal (1, 3, 5, 7 och så vidare. Lagda på varandra bildar de en triangel) och kvadrattal (1, 4, 9, 16, 25 och så vidare, lagda på ett sätt så att de bildar kvadrater, se nästa sida). Vi gör jämförelser med matematiska uppställningar. Vi gör en målning av någon av figurerna vi lägger. Litteraturtips: Matte med mening, Kristin Dahl 164 Undrar varför det heter triangeltal? Undrar varför det heter kvadrattal? Undrar hur många klossar det blir i nästa rad vi lägger? Undrar om det finns någon formel för detta? - Att förstå hur triangel- och kvadrattal byggs upp - Att kunna göra en bild av ett triangel- eller kvadrattal Kuber i olika färger Linjal Pennor
Pyramider, kvadrattal och Pythagoras sats Vi bygger en pyramid i fem våningar av olikfärgade klossar och ser hur de förhåller sig till kvadrattalen. Vi gissar hur många nästa lager skulle ha, och nästa. Vi lägger också ut klossarna så att vi ser hur Pythagoras sats, summan av kvadraten på katetrarna är lika med kvadraten på hypotenusan, kan bevisas. Med äldre elever går vi igenom formeln för Pythagoras sats. Vi gör en bild av Pythagoras sats. Litteraturtips: Matte med mening, Kristin Dahl Undrar vem Pythagoras var? Undrar hur han tänkte när han kom på sin sats? Undrar hur högt man kan bygga? Undrar om man kände till Pytahgoras sats när man byggde pyramiderna? Undrar när det är bra att kunna Pythagoras sats? - Att förstå begreppet kvadrattal och känna till det grundläggande med det - Att känna till Pythagoras och hans betydelse i matematikens historia - Att kunna göra en bild av Pythagoras sats Kuber i olika färger Linjal Pennor Den här uppgiften kan göras oavsett ålder. De yngre eleverna ser förhållanden och får förförståelse för kvadrattalen. För de äldre eleverna underlättar övningen förståelsen av Pythagoras sats. 165
Bråkmålning efter instruktion Vi utgår från en färdigskriven instruktion som rör bråk, som exempelvis den här nedan. Vi anpassar bråken till elevernas ålder, så att vi börjar med halvor och fjärdedelar och för äldre elever kan vi ta in mer komplicerade bråk som fem sjättedelar eller sex sjundedelar. Steg för steg följer vi instruktionen och färdigställer våra målningar. 1. Låt papperet ligga horisontellt. Rita en horisontell linje 1/3 nerifrån. 2. Rita en vertikal linje 3/4 från vänster. 3. Under horistontlinjen, 3/5 från vänster, ska det vara något. 4. 1/6 uppifrån, var som helst, ska det finnas en cirkel. Bestäm själv cirkelns storlek. 5. Utveckla ditt arbete till en färdig bild, gärna med färg År 5 År 5 - Att kunna följa en instruktion - Att kunna bedöma värdet av ett bråk på en yta - Att kunna utveckla en matematisk instruktion till en fantasifull bild 166 Undrar om det heter bråk bara för att det alltid blir bråk när man ska dela lika? Undrar hur man kan göra en bild efter instruktioner av matematiska ord? Undrar om bilderna vi gör blir likadana? En bråkbaserad instruktion Penna Eventuellt pastellkritor, temperablock, penslar och vattenburkar eller blyerts 6 B Bråken kan bytas mot decimaler och procent.
Matematiska kopplingar Gömda siffror Vi väljer varsin siffra och ritar den med en krita på ett papper. Därefter målar vi klart målningen så att siffran blir en del av komposionen och när målningarna har torkat letar vi efter varandras gömda siffror. - Att kunna se formen av en siffra som en del av en större helhet - Att kunna upptäcka dolda former i en bild 167 Undrar vilken siffra som har den bästa formen för att gömmas? Undrar vilken siffra som har den sämsta formen för att gömmas? Undrar om det finns något som har formen av en siffra? Undrar vilken siffra jag ska välja? Undrar om det blir svårt att hitta siffrorna i de andras målningar? År 1
Tiokompisarna Vi tränar på tiokompisarna på olika sätt (se även under rubriken Temautveckling). Vi målar varsin målning där vi har en form som delas i tio delar och vi plockar ur valfritt antal ur helheten. Sedan monterar vi målningarna på färgade papper. År 1 168 Undrar varför tiokompisarna är så viktiga att kunna? Undrar hur vi hade räknat om vi hade haft åtta eller tolv fingrar? Undrar om man kan tänka sig tio bitar av en tårta eller en pizza? - Att lära sig tiokompisarna och förstå deras betydelse för grunderna i matematiken - Att kunna gestalta tiokompisarna i bild Sax Lim Färgade ark
Matematiska kopplingar Hälften och dubbelt Vi talar om begreppen hälften och dubbelt och ger exempel. Sedan funderar vi på hur det skulle kunna se ut om ett visst antal båtar åker till Skagen och hälften av dem stannar kvar på varv medan andra halvan kommer tillbaka. Eller ett visst antal fiskar som simmar norrut medan dubbelt så många simmar söderut. Vi målar ett sådant scenario, valfritt hälften eller dubbelt. Eller så målar vi dubbelt ena gången och hälften andra gången. År 1 Undrar om det finns några hjälpmedel när man ska lära sig att dubblera? Undrar om man kan dela hur som helst? Undrar vad som händer om man skall halvera antalet tre? Undrar hur länge man kan dubblera eller halvera? 169 - Att förstå begreppen hälften och dubbelt - Att kunna hantera dem inom det antal som är lämpligt för elevernas ålder - Att kunna gestalta dem
Jämnt och ojämnt Vi pratar om vad jämnt och ojämnt är när det gäller tal och ger exempel på var jämna och ojämna tal förekommer. En aspekt som de flesta barn känner till är husnummer. Vi gör en målning med jämna husnummer där alla gör varsitt nummer och gången därpå gör vi collage av hus med ojämna husnummer. Sedan döper vi gatorna och sätter upp bilderna så att det blir två gator. År 2 170 Undrar varför något är jämnt? Undrar hur jämnt och ojämnt hänger ihop med varannan? Undrar varför man numrerar hus? Undrar vilket nummer det är på mitt hus? Undrar hur lång världens längsta gata är? - Att förstå begreppen jämnt och ojämnt - Att kunna ge exempel på ett sammanhang där de ingår - Att kunna gestalta dem För målning: För collage: Sax Pennor Lim Färgade ark Bakgrundspapper
Matematiska kopplingar Ojämnt inför jul När vi förstår begreppen jämnt och ojämnt funderar vi vidare på vad vi har omkring oss som består av ojämna antal. I adventstider är adventsljusstakar som man kan ha i fönster ett bra föremål, eftersom många har ett ojämnt antal ljus. Vi målar varsin adventsljusstake med valfritt men ojämnt antalt ljus. År 2 Undrar varför det är ett ojämnt antal ljus i de adventsljusstakar som man har i fönster? Undrar om de måste peka rakt upp eller om de kan stå snett? Undrar vad som händer om man gör en med ett jämnt antal ljus? 171 - Att förstå varför den här typen av konstruktion behöver bestå av ett ojämnt antal delar - Att kunna måla en adventsljusstake