STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser
Finansmatematik II För att kunna välja ut optimala portföljer och beskriva dessa portföljers egenskaper behöver vi känna till vissa egenskaper som aktiepriser har. Som exempel ska vi använda utvecklingen av Affärsvärldens generalindex (AFGX) samt 5 aktier: AstraZeneca (AZN), Ericsson B (LME), Hennes (HM), Skandia (SDIA) och Skanska (SKA) under perioden 996 7-3. Totalt 5 börsdagar. Vi ska nedan kalla dessa för FEM AKTIER. De dagliga slutkurserna för dessa är plottade i Figur. I samtliga fall har startvärdet normerats till. Observera att två olika skalor har använts. Tillväxt Låt S(t) beteckna priset på en tillgång vid tiden t. Vi ska när inget annat sägs mäta t i år. Ett år består av c:a 5 börsdagar. De dagliga slutkurserna är därför S(), S( t), S( t),..., där t = /5. Tillväxten i intervallet (t, t ), G(t, t ), definieras som Detta kan även skrivas Vi har för alla t, t, t 3 och därför även G(t, t ) = ln S(t ) S(t ). S(t ) = S(t )e G(t,t). G(t, t ) = G(t, t 3 ) + G(t 3, t ) G(, n t) = n G((k ) t, k t). k= Övning Visa detta. Tillväxtens fördelning Vi ska nu jämföra tillväxtens fördelning med normalfördelningen. I Figur visas histogram över de dagliga tillväxterna för Ericsson B tillsammans med tätheten för den normalfördelning som har samma väntevärde och varians som observationerna. Man ser här att normalfördelningen underskattar sannolikheten för små och stora förändringar och överskattar sannolikheten för förändringar däremellan; c:a till standaravvikelser. Standaravviklsen är.3 och medelvärdet.. De största och minsta observationerna är.9 respektive -.8, c:a 6 standardavvikelser. Den sannolikhet normalfördelningen ger denna händelse är ( Φ(6)) 9 och denna är alltså helt försummbar. De dagliga tillväxterna är alltså inte normalfördelade i detta fall. Även de övriga aktierna av FEM AKTIER har ovan beskrivna egenskaper.
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 3 AFGX AZN 5 LME 3 3 5 5 5 5 5 HM 5 SDIA SKA 3 5 5 5 5 5 Figur :. LME.5.. Figur :
Finansmatematik II AFGX...8.6...8.6.....6.8. Figur 3: AFGX är en viktad summa och man kan därför vänta sig att denna på grund av den centrala gränsvärdessatsen är approximativt normalfördelad. Men så är inte fallet, vilket framgår av Figur 3. I detta fall är standaravviklsen.5 och medelvärdet.. De största och minsta observationerna är. respektive -.7, c:a 7 respektive 5 standardavvikelser. Ovanstående gäller dagsavkastningarna. För att studera tillväxten över längre tidsintervall än dag ska vi övergå till normalfördelningsplottar eftersom antalet observationer blir för få för att göra informativa histogram. Antag att X,..., X n är oberoende normalfördelade stokastiska variabler som alla har väntevärdet ν och standardavvikelsen σ. Definiera Y k = Φ( X k ν ), σ där Φ står för den standariserade normalfördelningens fördelningsfunktion. Då är Y,..., Y n oberoende och likformigt fördelade på intervallet (, ). Låt X () < X () <... < X (n) och Y () < Y () <... < Y (n) vara X,..., X n respektive Y,..., Y n ordnade i storleksordning. Det går att visa att EY (k) = k n+ och Var(Y (k)) = k n+ ( k n+ ) n+. Därför gäller k n+. Y (k) ) k n + d.v.s. X (k)) ν + σz n,k, där Φ(z n,k ) = Om man plottar X (k) mot z n,k kommer punkterna därför att ligga nära en rät linje, förutsatt att normalfördelning föreligger. I Figur och 5 visas plottarna
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 5 Day Week Month AFGX...... AZN......... LME......... Figur : för FEM AKTIER med X k = G((k ) t, k t) i fallen t =/5 (en dag), 5/5 (en vecka) och /5 (en månad). Samtliga plottar över den dagliga tillväxten har en tydlig S-form, efter en vecka har de tre sista kvar en viss S-form men efter en månad endast möljigen Skandia. Tillväxten över längre tidsintervall än c:a en månad tycks alltså vara normalfördelad. Normalfördelningsantantagande Tillväxten över ett tidsintervall av längd T är approximativt normalfördelad då T är tillräckligt stort; T /. Antag att vi observerat S(t) vid tidpunkterna, t, t,..., n t = T, där t = /5 (en dag). Låt X k = G((k ) t, k t) för k =,..., n beteckna de dagliga tillväxterna. För att undersöka beroendet mellan tillväxten på varandra följande dagar ska vi beräkna korrelationerna mellan X() och X(l) för l =,,..., m. Här är < m < n och X(l) = (X +l,..., X n m+l ) för l =,..., m. I Figur 6 är korrelationskoefficienterna ρ(l) = Cov(X(), X(l)) Var(X())Var(X(l)) plottade som funktioner av l för FEM AKTIER i fallet m =. Dessa korrelationer är utmärkta med punkter. Som jämförelse har även korrelationskoefficienterna för absolutbeloppen av de dagliga tillväxterna, X k, plottats. De senare korrelationerna är utmärkta med *.
6 Finansmatematik II Day Week Month HM...... SDIA......... SKA......... Figur 5: AFGX AZN LME...... HM SDIA SKA...... Figur 6:
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 7 AFGX AZN LME...... 6 8 6 8 6 8 HM SDIA SKA...... 6 8 6 8 6 8 Figur 7: I Figur 7 är de glidande medelvärdena x k = (x k 5 +... + x k+5 )/ plottade under de första 95 dagarna. Det framgår att tillväxten olika dagar är okorrelerade men de är inte oberoende eftersom absolutbeloppen närliggande dagar är positivt korrelerade. Den senare effekten har klingat av helt efter 9 dagar. Vi ska göra följande Momentantagande a) Väntevärde och varians för G(, t) existerar och är kontinuerliga funktioner av t. b) För varje par t < t är väntevärdet och variansen för G(t + s, t + s) desamma för alla s. c) Tillväxterna G(t, t ) och G(t, t 3 ) är okorrelerade för alla t < t < t 3. 3 Drift och volatilitet Sätt ν(t) = EG(, t) och σ (t) = Var(G(, t)). Övning a) Visa att momentantagandet medför att b) Visa att ν(t + s) = ν(t) + ν(s) och σ (t + s) = σ (t) + σ (s). ν(t) = νt och σ (t) = σ t. Parametern ν kallas driften och σ volatiliteten.
8 Finansmatematik II där Vi ska skatta parametrarna ν och σ med ˆν = x/ t respektive ˆσ = v(x)/ t, x = x +... + x n n och v(x) = n n (x k x). k= Tidsperioden 96 7-3 delades in i lika långa tidsperioder om 56 dagar vardera. I nedanstående tabeller ges skattningarna av volatiliteten och driften med hjälp av data från de olika perioderna. Tabell Volatilitet Period.5.9.3.3.35. Period.7.33.5..56.3 Period 3.9.3.8.3.37.7 Period.8.35.6.58.59.6 Period -.3.3.9..8.7 Drift Period.39.5.75.63.68.5 Period..5.3.9.7.5 Period 3.39..7.9.65.9 Period..3.3.5.6.7 Period -..8.5.36.55.7 För att beräkna ˆν behövs endast värdena i observationsintervallets ändpunkter: Övning 3 Visa att ˆν = ln(s T /S ). T ˆν ν σ/ T Det följer av normalfördelningsantagandet att är approximativt normalfördelad med väntevärde och varians. Vi ska se nedan att ˆσ är en konsistent skattning av σ. Därför är även standardiserat normalfördelad. För stora T är ˆν ± ˆν ν ˆσ/ T ˆσ T z ɛ/
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 9 därför ett konfidensintervall för ν med den approximativa konfidensgraden ɛ. Här är Φ(z p ) = p. Övning a) Beräkna ett approximativt 95% konfidensintervall för Ericssons drift med hjälp av data från Period -. b) Ungefär hur lång observationsperiod hade behövts för att det 95% konfidensintervallet skulle ha fått längden 5%? Svar: a) ( %, 9%). b) T 5 år. Om man sänker konfidensgraden till 9% och ökar intervallängden till %, så minskar observationsperiodens längd till 5 år. Med konfidensgraden 5% och intervallängden %, blir observationsperiodens längd 5 år. Slutsats Driften går inte att skatta med någon rimlig precision på detta sätt. De olika perioderna är olika volatila. Så till exempel är Period mer volatil än Period. Detta försvårar att använda historiska data till att skatta den framtida volatiliteten. Det kommer emellertid att visa sig att vad vi kommer att behöva är de relativa volatiliteterna. I Tabell är σ j /(σ +... + σ 6 ), j =,..., 6 avrundade till närmsta heltal beräknade för de olika perioderna. Tabell Relativa volatiliteter. Period 9 7 9 3 Period 7 3 3 Period 3 6 5 7 9 Period 3 3 Period - 5 9 De relativa volatiliteterna går alltså att skatta med historiska data och vi kommer senare att se att det är en fördel att använda data från en lång tidsperiod. Detta kontrasterar mot det fall man vill använda volatiliteten till att bestämma optionspriser. I detta fall använder man data från kortare tidsperioder för att fånga upp svängningarna i volatiliteten. Observera att ˆσ = n t n x k tˆν. k= Uttrycken tˆν blir med data från Period -:.,.,.8,.5,. respektive.. Dessa skillnader är försumbara. Man kan därför lika gärna skatta σ med ˇσ = n t n k= x k
Finansmatematik II som med ˆσ. Vi har sett att tillväxterna över tillräckligt långa tidsintervall är approximativt normalfördelade. Övning 5 Antag att tillväxterna är oberoende och normalfördelade. Då är alltså χ -fördelad med n frihetsgrader. a) Visa att Eˆσ = n nˆσ σ n σ och Var(ˆσ ) = n n b) Visa att ˆσ är asymptotisk N(σ, σ n ) och därför är ˆσ( ± z ɛ/ n ) σ n. ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ. Observera att (under ovanstående förutsättningar) längden av konfidensintervallet för σ är proportionell mot n = t T och att precisionen i skattningen därför ökar om vi gör tätare observationer (minskar t). Detta gäller inte skattningen av ν. I verkligheten tycks detta gälla endast till en viss gräns. Vi ska använda ˇσ i stället för ˆσ. Vi ska anta att kovariansen mellan Xi och Xj endast beror på t och avståndet j i. Då gäller Här är Var(ˇσ ) = (n t) n n i= j= R m = Cov(X i, X j ) = n t Var(X )( + R n ). m ρ k ( k n ), k= där ρ k står för korrelationskoefficienten mellan X och X +k. Övning 6 Visa detta. Om man skattar dessa korrelationskoefficienter med data från Period - finner man att de har ungefär samma allmänna beteende som korrelationskoefficienterna för absolutbeloppen men klingar av något snabbare. Följden R, R,... växer till att börja med och planar sen ut vid m t 6 dagar. I Figur 8 är Var(ˇσ ) plottad för t =,,..., 3 dagar. De tre linjerna är σ /n = σ t/ med σ skattat med dagsdata ( t = ), enveckorsdata ( t = 5) respektive tvåveckorsdata ( t = ). Observera att två olika skalor har använts.
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser x 3 AFGX x 3 AZN.5 LME.8.8.6.6... 3., 5. 3 5.5 5 3.5 HM.5 SDIA x 3 SKA.8...6.5 5 3.5 3 5.. 5 3 Figur 8: Om man bortser från Skandia kan man möjligen med lite god vilja approximera punktsvärmen med en rät linje för t 5 men inte för t 3. I synnerhet t = ger hög varians. Varianserna antar minimum för t =7,, 9, 6, 7 respektive 8 dagar. Därefter rätar kurvan ut sig. Denna avvikelse från linjen kan förklaras med att tillväxten inte är normalfördelad för små t. Det tycks alltså finnas en gräns för t under vilken varianserna inte minskar. Å andra sidan finns det i de flesta fall värden på t mellan 5 och för vilka varianserna är av samma storleksordning som för t =. I Figurerna 9 och visas normalfördelningsplottar för ˇσ i fallet t = dag och n =, 63, 5 (dag, kvartal respektive halvår). Här krävs det längre tidsperiod än en månad för att fördelningen ska kunna approximeras med normalfördelningen men även för att skattningen av volatiliteten ska bli stabil. Observera att den 35% sättningen i tillväxten för HM dag 87 slår igenom fortfarande på halvårsnivån. Övning 7 Antag att ˇσ = σ + SD(ˇσ )Z, där Z är approximativt standardiserat normalfördelad. a) Visa att då ˆd. Här är d = SD(ˇσ ) σ. b) Visa att ˇσ = σ ( + ˆdZ + O( ˆd ) ),
Finansmatematik II Day Quarter Halfyear AFGX...... AZN...6.8...6.8...6.8 LME...... Figur 9: Day Quarter Halfyear HM...3...3...3 SDIA...... SKA...6.8...6.8...6.8 Figur :
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 3 ˇσ( ± z ɛ/ ˆd) är ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ, förutsatt att ˆd är liten. Följande värden på ˆd och ˇσ erhölls med data från Period -. Tabell 3 ˆd t =..7.9.3..9 t = 5...9.9.5.9 t =..3..8.6. ˇσ t =.3.3.9.3.8.7 t = 5..9.9.3.9.5 t =..7.6.39.5.5 Av denna tabell framgår det inte att någon av periodlängderna är klart bäst. Däremot framgår det att formeln σ t/t inte beskriver Var(ˇσ ) väl. Övning 8 Visa att om Var(ˇσ ) = σ t/t, så d = t T. Detta ger d =.,.9,.7 för t =, 5 respektive dagar. Dessa värden är alldeles för optimistiska, åtminstone för t = och 5. Observationsperiodens längd i ovanstående exempel var dagar d.v.s. T = /5 =.96 år. Vi ska nu ange konfidensintervallets beroende av T. För långa tidsperioder är ˇσ approximativt normalfördelad och korrelationen mellan disjunkta (och långa) tidsperioder torde vara försumbar. Därför är ĉ ˇσ( ± z ɛ/ ) T ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ. Här TSD(ˇσ ) är c = σ angiven i årstakt. Sambandet mellan d i exemplet ovan och c är alltså c = /5d och ett typiskt värde är alltså c =.. Övning 9 Antag att c =.. a) Ungefär hur stort ska T vara för att ˇσ( ±.) ska vara konfidensintervall med konfidensgraderna 95, 75 respektive 5%. b) Samma fråga för intervallet ˇσ( ±.) Upplysning z.5 =.67, z.5 =.5, z.5 =.96. Svar a) 5, 5 respektive år. b), respektive / år. Vi kan alltså inte mäta volatiliteten med samma höga precision som vi kanske är vana vid från läroböcker i statistik men situationen är inte lika hopplös
Finansmatematik II som för driften. Vi kan få en hygglig uppfattning om volatiliteternas inbördes förhållande. Övning Använd de dagliga tillväxterna under Period - till att beräkna konfidensintervall för σ med de approximativa konfidensgraderna 9% och 5% för en av aktierna. Svar 9% (.9,.7) (.8,.35) (.,.56) (.3,.5) (.39,.57) (.3,.3) 5% (.,.5) (.3,.3) (.6,.5) (.39,.7) (.,.5) (.5,.9) Här ser man t.ex att σ afgx < σ azn < σ sdia och att vi inte kan avgöra vilken av LME och SDIA som har störst volatilitet. Sammanfattning Skattningen av volatiliteten är approximativt normalfördelad då T är stort. Skattningens standaravvikelse har formen c( t)/ T. Det finns en gräns för t, dagar, under vilken c( t) inte minskar. Speciellt gäller inte identiteterna i Övning 8 för små t. Avkastning Tillgångens avkastning i tidsintervallet (t, t ), R(t, t ), definieras som R(t, t ) = S(t ) S(t ). S(t ) Sambandet mellan avkastning och tillväxt är: R(t, t ) = e G(t,t), eller G(t, t ) = ln ( + R(t, t ) ). Övning Visa att R(t, t ) = ( + R(t, t 3 ) )( + R(t 3, t ) ). Vi ska relatera väntevärdet och standaravvikelsen av avkastningen till motsvarande storheter för tillväxten d.v.s. till driften och volatiliteten. Övning Antag att G(, t) = ν t + σz t, där är Z en standardiserat normalfördelad stokastisk variabel. Visa att ER(, t) = (ν + σ ) t + O( t ) och Var ( R(, t) ) = σ t + O( t ).
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 5 Definiera µ = E[R(, t)]/ t och σ r = Var( R(, t) ) / t, där t = /5 en dag. Låt r k = r k ( t) = R((k ) t, k t), k =,..., n. Väntevärdet µ och variansen σr skattas med ˆµ = r t = r +... + r n respektive ˆσ r n t = v(r) n t = k= (r i r). n t Med data från Period - blev de skattade värdena som i Tabell. Tabell ˆσ r.95.39.938.63.87.735 ˆσ r ˆσ..6..89.6.9 ˆµ.89.38.576.535.665.7 ˆµ ˆν ˆσ...3..5. Övning 3 Använd normalapproximation och beräkna, med hjälp av data från Period -, konfidensintervall för avkastningarna av de sex tillgångarna med den approximativa konfidensgraden 9%. Svar (.6,.) (.,.9) (.7,.97) (.,.79) (.7,.6) (.,.3) Trots att normalfördelningsantagandet inte gäller för t = dag har vi alltså en god överenstämmelse mellan σ r och σ samt mellan µ och ν + σ. Det framgår också att σ r är så stor i förhållande till µ att skattningen av den förväntade avkastningen är behäftad med samma osäkerhet som skattningen av driften. Sammanfattning Det går inte att skatta µ med någon rimlig precision. Sambanden µ = ν + σ och σ r = σ gäller. Om µ och ν är relaterade som i sammanfattningen och σ < ν <, så är µ > men ν <. Vi ska avsluta detta avsnitt med att visa att det är tecknet på driften, ν, och inte den förväntade avkastningen, µ, som avgör en tillgångs långsiktiga utveckling. Övning Visa att momentantagandet i avsnitt medför att Var ( G(, T )/T ) och därmed att G(, T )/T ν i sannolikhet då T. Vi har S(T ) = S()e G(,T ). Det följer därför att S(T ) om ν < och S(T ) om ν >. Om årsavkastningarna är stokastiskt oberoende och µ >, så E[S(T )] = S()( + µ) T vilket alltså inte hindrar att S(T ).
6 Finansmatematik II Övning 5 Ett spel går till så att man får tillbaks dubbla insatsen eller en tredjedel av insatsen med lika sannolikhet, /. Du spelar upprepade gånger och spelomgångarna är oberoende av varandra. Ditt startkapital är K =. Låt K n beteckna ditt kapital efter n spelomgångar. a) Antag att du varje gång satsar hela ditt kapital. Beräkna den förväntade avkastningen och den förväntade tillväxten i varje spelomgång. Visa att EK n men K n i sannolikhet då n. b) Antag att du varje gång satsar proportionen p av ditt kapital, p. Vilka värden på p maximerar den förväntade avkastningen respektive den förväntade tillväxten i varje spelomgång? Visa att K n för det senare värdet. 5 Samvariation Vid konstruktion av portföljer är det av avgörande betydelse att känna till tillgångarnas samvariation mätt som korrelationen mellan tillgångarnas tillväxt. Låt G i (t, t ) och R i (t, t ), i =, beteckna tillväxterna respektive avkastningarna för två tillgångar i tidsintervallet (t, t ). Vi har sett att tillväxterna över disjunkta tidsintervall för en aktie är okorrelerade. Därför finns det ingen anledning att något annat gäller för tillväxterna för två olika aktier. Därför gäller Cov ( G ((k ) t, k t), G ((k ) t, k t) ) = Cov ( G (, t), G (, t) ) = σ, t. Sätt σ r i,j = Cov( R i (, t), R j (, t) ) / t Låt r,k, r,k och g,k, g,k beteckna observerade avkastningar respektive tillväxter för de två tillgångarna i tidsintervallet ((k ) t, k t), där t är litet. Antag att vi observerat dessa under tidsintervallet [, T ] och att n t = T. Kovarianserna σ, och σ, r skattas med n k= ˆσ, = (g,k ḡ )(g,k ḡ ) n t n respektive ˆσ, r = k= (r,k r )(r,k r ). n t Kovarianserna σ i,j och σi,j r för FEM AKTIER skattades med dagsdata från Period -. Resultatet blev som följer. Tabell 5 ˆσ i,j AFGX.53.3.77.39.56. AZN..3.6.3. LME..55.95. HM.8.7.33 SDIA.9.3 SKA.7
Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 7 ˆσ r i,j ˆσ i,j AFGX.....9. AZN..3... LME...9.6 HM.75.. SDIA.6. SKA.5 Vi ska därför anta att Cov ( R ((k ) t, k t), R ((k ) t, k t) ) = σ r i,j t σ, t för små t. Korrelationskoefficienten, ρ r, = Cov(r, r ) Var(r )Var(r ) skattas därför med ˆρ = ˆσ, ˆσ ˆσ, där ˆσ och ˆσ är skattningarna av volatiliteterna. Korrelationskoefficienterna för FEM AKTIER skattade med data från Period - ges i följande tabell. Tabell 6 ˆρ i,j AFGX.3.68..5.35 AZN..9.8.6 LME.6..3 HM.3.8 SDIA.33 SKA Här framgår det t.ex att AZN har lägst korrelation med AFGX och att LME har högst. Om man delar upp Period - i de fyra delperioderna Period,..., Period blir korrelationerna mellan AZN och AFGX.9,.36,.53 respektive.7. Den låga korrelationen under period avspeglar det faktum att läkemedelsaktier betraktas som en trygg hamn i finansiella orostider. Under denna period var AZN svagt negativt korrelerad med LME, -.7. Korrelationen mellan LME och AFGX var däremot genomgående hög under de fyra perioderna:.66,.6,.8 respektive.67. Detta kan kanske förklaras av att LME hade stor vikt i AFGX på den tiden. Anledningen till att SDIA har hög korrelation med AFGX är förmodligen en annan: Skandias värdering är beroende av den allmänna utvecklingen på aktiemarknaden.
8 Finansmatematik II Vi ska i följande avsnitt betrakta portföljer bestående av m tillgångar vars priser vid tiden t är S (t),..., S m (t). Vi har alltså funnit att följande modell stämmer bra med verkligheten. Modell A S j (t) = S j ()e νjt+xj(t) Processen X(t) = (X (t),..., X m (t)) har okorrelerade inkrement, väntevärde och kovariansmatris av formen Var(X(t)) = Qt. t. Vi ska skriva σ i,j för elementen i Q. Vi har även funnit att nedanstående modell stämmer approximativt för stora Modell B Som Modell A samt att X(t) är normalfördelad. Denna modell ger i vissa fall resultat som stämmer bra med verkligheten även för små t. Se Övning och Tabell. Modellen är också förhållandevis lätt att räkna på. Av detta skäl ska vi vid några tillfällen använda den till att försöka hitta allmänna samband.