Beräkning av solvenskapital för katastrofrisker en partiellt intern modell för ett skandinaviskt skadebolag

Beräkning av solvenskapital för katastrofrisker en partiellt intern modell för ett skandinaviskt skadebolag Ett diplomarbete för Den Svenska Aktuarieföreningen av Linda Eidhagen December 2007

Analysen och förarbetet till detta arbete gjordes under hösten 2007 så att jag i god tid skulle få ihop allting innan årsskiftet då mitt diplomarbete var tvunget att vara klart för att jag ska kunna bli diplomerad på de gamla reglerna. Men p.g.a. hög arbetsbelastning på kontoret och en kanske inte alltför väl inplanerad semester skedde skrivandet på alldeles för kort tid. Jag har kanske inte varit den trevligaste individ att ha att göra med under denna tid och vill därför tacka de personer som hjälpt mig under denna stressiga tid. Stort TACK! Ett särskilt tack vill jag ge mina kollegor och handledare Jörgen Olsén och Olof Fält, som har läst mina utkast och kommit med värdefulla kommentarer, samt till min sambo, Niklas Gunnarsson, som fått göra det mesta av vårt julgodis ensam i år samtidigt som han fått läsa mina skriverier. Just nu pågår arbetet med det nya solvensregelverket, Solvens 2. Med det nya riskbaserade solvenssystemet kommer solvenskravet att beräknas med utgångspunkt från bolagets nettorisk. Detta gör att effekten av återförsäkring kommer att kunna tillgodoräknas till fullo. Katastrofeponering är en avsevärd risk för skadebolag och på marknaden finns ett flertal olika tekniska katastrofmodeller som kan estimera bolagets utsatthet för stormar, översvämningar och andra katastrofer. Det är troligt att dessa modeller kommer att kunna ersätta standardmodellen och fungera som en partiellt intern modell. De tekniska modellerna har sina begränsningar då de inte är fullt utvecklade på den nordiska marknaden. I detta arbete har det försökts att ta fram en intern, statistisk, mer bolagsspecifik modell för att beräkna katastrofrisken för ett skadebolag och visa på effekten på solvenskapitalbehovet då denna risk återförsäkras. Arbetet berör endast beräkningar och modeller för ett skadebolags katastrofrisker och är en liten del av det arbete vi alla står inför med implementeringen av det nya solvensregelverket. Trots denna begränsning ger det ändå en inblick i av alla de svårigheter och utmaningar som väntar. 2

... 2... 2!"## $%... 3 & '$! ( ## $%... 4 1. INLEDNING... 5 1.1. INTERN OCH PARTIELLT INTERN MODELL... 5 1.2. INTRODUKTION TILL ÅTERFÖRSÄKRING... 6 1.2.1. Proportionell återförsäkring... 6 1.2.2. Icke-proportionell återförsäkring... 7 1.2.3. Reinstatements... 8 2. TVÅ OLIKA METODER FÖR KATASTROFMODELLERING... 9 2.1. TEKNISKA MODELLER... 9 2.2. AKTUARIELLA/STATISTISKA MODELLEN... 9 3. BESKRIVNING AV DATA... 10 3.1. INDEX OCH TRENDNING... 10 3.1.1. Frekvens... 10 3.1.2. Skadornas storlek... 10 4. METODIK OCH TEORI... 12 4.1. INDEX OCH TREND... 12 4.2. KURVANPASSNING... 12 4.2.1. Frekvensanpassning... 13 4.2.2. Skadestorleksanpassning... 13 4.3. SIMULERINGAR... 14 4.4. KREDITRISK... 15 4.4.1. Skadan till återförsäkringsprogrammet... 15 4.4.2. Kreditriskberäkning... 15 4.5. TYP AV ÅTERFÖRSÄKRING... 16 5. RESULTAT... 17 6. SLUTSATS OCH DISKUSSION... 21... 23 3

)'* Figur 1: Återförsäkring - Kvotåterförsäkring...6 Figur 2: Återförsäkring - Surplus...7 Figur 3: Återförsäkring - Ecess of loss...7 Figur 4: Återförsäkring - Stop loss/aggregated Ecess of loss...8 Figur 5: Skadefrekvensens historiska utseende...17 Figur 6: Kurvanpassning till skadestorleken...18 Figur 7: AEP-kurvor...19 Figur 8: OEP-kurvor...19 Figur 9: Slutsats och diskussion skandinaviska skadebolags återförsäkring...21 Tabell 1: Eempel på Byggkostnadsinde samt faktor...11 Tabell 2: Data från ratinginstitut samt estimerade och i Betafördelningen...16 Tabell 3: Resultat Brutto- och nettoskador utan parameterosäkerhet...18 Tabell 4: Resultat Brutto- och nettoskador med parameterosäkerhet...18 Tabell 5: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk utan parameterosäkerhet...20 Tabell 6: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk med parameterosäkerhet...20 Tabell 7: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring utan parameterosäkerhet...20 Tabell 8: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring med parameterosäkerhet...20 4

+, Just nu pågår arbetet med ett ta fram det riskbaserade solvensregelverket, Solvens 2, som förväntas träda i kraft under 2012/2013. Den stora skillnaden mot nuvarande solvenssystem är att bolagets kapitalkrav kommer stå i direkt relation till verksamhetens risk. Det blir ökat fokus på att mäta sin egen riskeponering och hålla kapital som en buffert mot ogynnsamma utfall i förhållande till sin egen riskprofil. Med de nya reglerna kommer solvenskravet beräknas med utgångspunkt från bolagets nettorisk så effekten av återförsäkring kommer att kunna tillgodoräknas till fullo. Men samtidigt som återförsäkring minskar solvenskapitalkravet som behövs för försäkringsrisken, så får man in en ny risk i sin verksamhet. Denna risk motsvaras av risken att motparten, dvs. återförsäkrarna, inte kan uppfylla sina åtaganden. Storleken på den nya risken ska beräknas utifrån en bedömning av motparternas betalningsförmåga. Ju högre kreditvärdighet desto lägre solvenskapital krävs för kreditriskmodulen. 1.1. Intern och partiellt intern modell Det huvudsakliga syftet med det nya solvenssystemet är att få ett system där solvenskapitalet sätts i relation till försäkringsbolagets risknivå. Därför är inställningen positiv till att bolagen använder interna riskklassificerings- och riskberäkningsmodeller. Men det kommer att ställas höga krav på dessa modeller för att få dem godkända till användning i solvensberäkningen. Man måste t.e. visa att modellen används i bolagets övriga riskhanteringsstrategi, är korrekt kalibrerad och bygger på kvalitetssäkrade data. Idén med en intern modell är att man kan analysera historiska skador och bolagets nuvarande portfölj. Med hjälp av detta ska man mäta riskeponeringen och bygga en detaljerad modell som kan fånga bolaget unika nettorisk. En komplett intern modell ska värdera hela bolagets försäkringsverksamhet, dvs. alla tillgångar och skulder samt fånga upp bolagets verksamhets unika egenskaper, för att kunna ersätta den standardmodell som CEIOPS, på uppdrag av den Europeiska Kommissionen, har utvecklat. Att utveckla en sådan modell tar mycket tid och man kan istället stegvis börja bygga upp delar av en intern modell och låta denna ersätta delar av den standardmodell som finns. Detta innebär att man använder en partiellt intern modell. För skadebolag är katastrofeponering en avsevärd risk och på marknaden finns ett flertal olika tekniska katastrofmodeller som kan estimera bolagets utsatthet för stormar, översvämningar och andra katastrofer. Dessa modeller skulle kunna ersätta katastrofriskberäkningen i standardmodellen och fungera som en partiellt intern modell, men dessa modeller har sina begränsningar då de inte är fullt utvecklade för den nordiska marknaden. 5

1.2. Introduktion till återförsäkring Det finns ett antal anledningar till varför man köper återförsäkring och nedan listas några av dem: Stabilisera resultatet Skydda balansräkningen - mot stora skador och/eller hög frekvens Upprätthållande av solvensmarginal - p.g.a. myndighetskrav, kundkrav etc. Förse bolaget med etra kapital vid eempelvis epansion Teckningskapacitet - genom att dela risken ökar man teckningskapaciteten Tillgång till etern epertis och marknadskännedom - genom mäklare och/eller återförsäkrare Den vanligaste återförsäkringen kommer att beskrivas här och det är s.k. kontraktsåterförsäkring, där en hel portfölj av försäkringsrisker återförsäkras. Den andra formen av återförsäkring är fakultativ återförsäkring, där det är individuella risker som återförsäkras separat. Återförsäkringen kan sedan delas in i två olika grupper: Proportionell återförsäkring Icke-proportionell återförsäkring 1.2.1. Proportionell återförsäkring Den proportionella återförsäkringen innebär återförsäkring av försäkrade objekt. Där delas alla premier och skador procentuellt lika med återförsäkrarna. 1.2.1.1. Kvotåterförsäkring Här delas resultatet av alla försäkrade objekt med återförsäkrarna. Figur 1: Återförsäkring - Kvotåterförsäkring 6

1.2.1.2. Ecedentåterförsäkring Här behåller direktbolaget allt under självbehållet X. Objekt överstigande X delas med återförsäkrarna. Figur 2: Återförsäkring - Surplus 1.2.2. Icke-proportionell återförsäkring Med en icke-proportionell återförsäkring är det skadorna som återförsäkras. 1.2.2.1. Ecess of loss (Skadeecedentåterförsäkring) Här är det antingen skadan från ett försäkrat objekt, Per Risk, eller den sammanslagna skadan från en skadehändelse, Per Event, som är återförsäkrat. Definitionen av ett försäkrat objekt brukar vanligtvis vara alla värden på ett försäkringsställe. En skadehändelse brukar vara definierad som alla skador under en bestämd tidsperiod (t.e. 72 timmar) och/eller inom ett visst begränsat område (t.e. 100 km radie) som är orsakade av samma skadehändelse (storm, brand etc.). Detta skydd köps oftast indelat i olika s.k. layers. Figur 3: Återförsäkring - Ecess of loss 7

1.2.2.2. Stop loss / Aggregated Ecess of loss Detta är ett skydd för den aggregerade skadan under ett år. Stop Loss är återförsäkring av den aggregerade skadan i relation till premien, dvs. återförsäkring av årlig skadeprocent. Figur 4: Återförsäkring - Stop loss/aggregated Ecess of loss 1.2.3. Reinstatements Ecess of loss layers kan ha reinstatements, vilket på svenska skulle kunna översättas till återinträdelse. Detta innebär att då en skada inträffar träder ett nytt skydd, identiskt med det ursprungliga, i kraft. Priset för detta återinträdande av skydd blir avtalat samtidigt som originalpremien sätts. Antingen har man fria reinstatements eller så får en etra premie betalas in när det första skyddet är förbrukat. När en skada träffar ett program som inte har fria eller förbetalda - reinstatements betalas inte hela skadan ut, utan skadan minus den avtalade reinstatementspremien utbetalas. 8

-,. För att kvantifiera katastrofriskerna i en portfölj finns två väl använda metoder på marknaden. Den ena är den aktuariella/statistiska modellen. Den andra är de så kallade tekniska modellerna. Här följer en kort sammanfattning av dessa två modellers för- och nackdelar. 2.1. Tekniska modeller Det finns flera olika företag på marknaden som tillhandahåller licenser för dessa modeller. De tre största och mest kända är AIR, EQECAT och RMS. Dessa modeller är alla olika varandra, men bygger på samma metodik. Här använder man historiska katastrofhändelser såsom stormar, jordbävningar etc. och analyser dess effekter på dagens portfölj. Ett antal slumpmässiga händelser simuleras och drabbar dagens portfölj. Fördelarna med de tekniska modellerna är att man kan analysera dagens aktuella portfölj oberoende av de förändringar som skett i portföljen historiskt och man kan få resultaten på alla olika nivåer, t.e. uppdelat på geografiska områden och olika risktyper. Nackdelarna är att man inte kan analysera alla risker. I dagsläget kan man för Skandinavien bara modellera storm, dvs översvämningar, jordbävningar etc. saknas i modellerna. Alla delar av ett bolags portfölj går inte heller att modellera i de tekniska modellerna. Det är fast egendom såsom byggnader, lösöre och avbrott som går att modellera. Motorskador, personolycksfall, skog, båt m.m. går däremot inte att modellera här. 2.2. Aktuariella/statistiska modellen Den aktuariella modellen bygger på en statistisk analys där man tar fram en fördelning för antalet skador och en för skadornas storlek. Dessa fördelningar estimeras utifrån historiska skador som är justerade/anpassade för att motsvara dagens portfölj och villkor. För dessa fördelningars parametrar kan man inkludera parameterosäkerheten. Fördelarna med den aktuariella modellen är att alla risker (storm, översvämningar, frysskador etc.) och skadeorsaker tas med i modellen och att osäkerheten i resultaten kan mätas. Nackdelarna är att god information om historiska förändringar i portföljen måste tas i beaktande för att ge en rättvisande bild av historiska skadors effekt på den nuvarande portföljen. Detta gäller såväl portföljens storlek, risksammansättning som villkor och skadehanteringsrutiner. Datakvalitet är fundamental och kan vara svår att säkerställa historiskt. 9

/, (.. De data som är använt kommer från ett skandinaviskt skadeförsäkringsbolag och innehåller alla deras naturkatastrofskador mellan 1980 och juli 2007. För varje händelse finns information om datum då denna inträffade, antal utbetalda skador, storleken på den totala utbetalda skadan för händelsen samt total återstående reserv. Information angående förändringar i skadehanteringskostnaden och självbehåll under perioden fanns också tillgängligt. Antalet försäkringar som funnits i portföljen fanns tillgängligt för åren 1980-2005. För åren 2006 och 2007 fanns uppgifter om hur stor ökningen varit för en delmängd av portföljen. Med antagandet att den procentuella ökningen varit lika i hela portföljen kunde då dessa andelar tillämpas för att estimera antalet försäkringar i portföljen för 2006 och 2007. För att kunna använda dessa historiska skador för att mäta riskeponeringen idag och därigenom kunna prediktera 1 på 200-årsskadan så bra som möjligt är man tvungen att justera de historiska skadorna till dagens värde och portfölj. 3.1. Inde och trendning Det finns två olika delar i trendningen av skador. Dels ska frekvensen, dvs. antalet skador, beaktas och dels ska storleken på skadorna justeras. När det gäller storleken på skadorna, S, finns det även här två delar. Dels det utbetalda beloppet S1 och den återstående reserven, S2 och det gäller att S = S1 + S2. När man indeerar och trendar skadorna ska endast den utbetalda delen indeeras. Reserven antas redan vara indeerad och trendad till dagens nivå då den beräknas med kontinuitet. 3.1.1. Frekvens Om man har en enskild per riskskada som inträffade för tio år sedan i en portfölj som då var hälften så stor som idag, så skulle denna skada justeras till två skador i analysen eftersom man kan anta att antalet skador står i proportion till portföljens storlek. När det gäller katastrofskadehändelser orsakade av t.e. stormar förblir frekvensen oförändrad oavsett de ändringar som skett i portföljen. Frekvensen i stormar är ju helt oberoende av försäkringsbeståndets storlek. Detta kanske inte alltid är lätt att inse, men oavsett hur stort försäkringsbeståndet är så påverkas man av stormen. Det enda som påverkas av storleken på beståndet är skadans storlek. Det är alltså katastrofskadans storlek som ska justeras med hänsyn till portföljens storlek när det gäller händelser, inte antalet skador som är fallet när man analyser per riskskador. 3.1.2. Skadornas storlek De historiska skadorna justeras även så att storleken på skadorna representerar dagens portfölj så bra som möjligt. Detta innebär att man tar de historiska skadorna och tar reda på vad de skulle vara i dagens portfölj med dagens kostnadsläge, allt annat lika. Detta gjordes i fyra steg: Skadehanteringskostnad Självrisk Inflation Portföljjustering 10

som beskrivs i följande sektioner. 3.1.2.1. Skadehanteringskostnad Skadehanteringskostnaden, LAE, vilket är en förkortning av engelskans Loss Adjustment Epense, kan ändras under åren. Denna är ofta inkluderad i skadebeloppet. Om antalet utbetalningar i händelserna är känt blir detta lätt att justera: LAE_Justerad_Skada händelseår i = S1 + (LAE 2007 LAE i )*antal_skador_i_händelsen_år_i 3.1.2.2. Självrisk De försäkrades självrisk, SR, kan också ändras och detta påverkar skadans storlek. Om självbehållet var mindre för tjugo år sedan när skadan inträffade, så skulle samma skada ha kostat försäkringsbolaget mindre om den inträffade i år, eftersom kundens självrisk skulle ha varit högre och kunden då får ta större del av skadan för egen räkning. Justering för detta görs enkelt med följande formel: SR_Justerad_Skada händelseår i = S1 - (SR 2007 SR i )*antal_skador_i_händelsen_år_i 3.1.2.3. Inflationsjustering De historiska skadorna måste justeras med hänsyn till inflationen. Indeet som används för detta får anpassas efter portföljens innehåll. Om det är mycket byggnader, så kan eempelvis Byggkostnadsinde, BKI, användas. De flesta inde finns att tillgå på www.scb.se för den svenska marknaden eller hos liknande myndigheter i andra länder. Inflationsfaktorn, Inf i, där i = året som ska indeeras, beräknas då: INF i = BKI 2007 BKI i Tabell 1: Eempel på Byggkostnadsinde samt faktor År Byggkostnadsinde Inflationsfaktor 1980 35,24 3,23 1981 39,75 2,87......... 2006 110,30 1,03 2007 114,00 1,00 De historiska skador som inträffat år i multipliceras sedan med INF i. 3.1.2.4. Portföljjustering Då ett försäkrat bestånd kan förändras mycket på kort tid är detta ett väldigt viktigt moment. I analysen som gjorts för detta arbete har endast katastrofskador behandlats. Då är det enbart storleken på skadan som påverkas av portföljens storlek. Som nämndes i andra kapitlet så kommer antalet stormar etc. vara oförändrat medan storleken ändras. 11

Justering för portföljen kan göras i flera steg beroende på vilken information man har tillgång till. Oftast har man bara tillgång till antalet försäkringar i beståndet. Då tas justeringsfaktorn, PORTF fram på följande sätt: i PORTF i = n 2007 n i där n i är antalet försäkringar i beståndet år i. 3.1.2.5. Övrigt I detta eempel har skador och portföljinformation bara funnits tillgängliga på totalnivå. Olika försäkringsgrenar har säkerligen ökat/minskat olika mycket under perioden och det hade varit bättre att ha all data uppdelat per försäkringsgren, men detta är inte alltid tillgängligt. 0, 4.1. Inde och Trend I detta eempel handlar det bara om eventskador och ingen justering har gjorts på antalet skador. De historiska skadornas storlek har justerats med hänsyn till skadehanteringskostnad, självrisker, inflation samt storleken på portföljen. Alla inde och justeringar kombinerat ger följande slutgiltigt indeerade och trendade historiska skada: Trendadskada = PORTFi S1 ( LAEi SRi ) # skador) INFi + ( LAE i SR ) # skador + (( 2007 2007 S Detta innebär att skadehanteringskostnaden dras av och självrisken läggs på, så att en ren skada återstår. Denna indeeras sedan för inflation. Därefter läggs dagens skadehanteringskostnad på och dagens självrisk dras av från den indeerade skadan. Till detta adderas reserven och allting justeras för portföljförändringen. 4.2. Kurvanpassning För att kunna beräkna en 1 på 200-årsskada både med och utan återförsäkring valdes att anpassa en frekvensfördelning till antalet skador samt en fördelning till storleken på skadorna. Fördelningarna som används till att anpassa skadeutfallet kan vanligtvis anta värden i intervallet (0, + ), men en enskild skada kan omöjligt överstiga den totala portföljens försäkringssumma. En övre trunkeringsgräns sätts därför och man får göra sin parameteranpassning för en betingad fördelning. En undre gräns tas också fram. Eftersom vi inte är ute efter att modellera småskador görs detta mest för att fördelningsanpassningen skall utföras på relevant data. Det totala försäkringsbeloppet är också en väldigt teoretisk gräns och brukar sällan väljas som övre gräns. Det är inte ett rimligt antagande att en storm skulle kunna orsaka en totalskada på en portfölj som har en bra geografisk spridning. Beroende på hur portföljens spridning är och i vilket land riskerna ligger brukar en övre gräns motsvarande några procent av den totala försäkringssumman sättas. Danmark är mer eponerat för katastrofrisker eftersom landets totala katastrofeponering ligger inom ett 2) 12

betydligt mer avgränsat område än t.e. det avlånga Sverige. Denna procentsats brukar därför vara högre för Danmark än för Sverige. 4.2.1. Frekvensanpassning För frekvensanpassningen är det bra att testa några olika fördelningar och inte bara den vanligt förekommande Poissonfördelningen. För den här analysen testades följande fyra diskreta fördelningar: i. Poisson ii. Negativ Binomial iii. Trendad Poisson iv. Trendad Negativ Binomial Eftersom stormar är säsongsberoende och inte uppkommer helt oberoende av varandra (de uppkommer oftast flera under en kort period) så brukar Negativ Binomial vara en fördelning att föredra. Detta är dock inte alltid fallet. Om man eempelvis modellerar ett litet land, så kommer detta land inte träffas av alla stormarna och Poisson kan då fortfarande vara en bra fördelning. Det är också en god idé att titta på en frekvensplot för att se om det förekommer någon trend i antalet skador. Parametrarna i fördelningarna estimeras med hjälp av Maimum Likelihood-metoden. Denna metod används även vid anpassningen av skadestorlekens fördelning och beskrivs nedan. 4.2.2. Skadestorleksanpassning För att anpassa en lämplig fördelning till det tillgängliga datamaterialet användes Maimum Likelihood-metoden. Antag att slumpvariablerna X 1, X n representerar skadornas storlek och att representerar den okända parametern i täthetsfunktionen. X 1,, X n har en simultan fördelningsfunktion f( 1,., n ) där i representerar ett utfall av slumpvariabeln X i. Som en funktion av utfallen 1,., n är då likelihoodfunktionen av följande: L ( θ ) = f ( 1,..., θ ) n Målet med metoden är att maimera funktionen med avseende på den okända parametervektorn. Lösningen fås lättast genom att maimera log-likelihooden istället: ln( L ( θ )) = ln( f ( 1,..., θ )) n I fallet med oberoende slumpvariabler förenklas uttrycket till följande bekanta formel: n ln( L( θ )) = ln( f ( θ )). i= 1 i Om fördelningen har flera parametrar fås liknande uttryck: n ln( L( θ1,..., θ j )) = ln( f ( i θ1,... θ j )) i= 1 13

Proceduren för att maimera log-likelihooden är att beräkna förstaderivatan (med avseende på -vektorn), sätta denna/dessa lika med noll och lösa detta ekvationssystem för de okända parametrarna. För att säkerställa att detta är ett maimum bör även en kontroll av andraderivatan göras. Är denna negativ, så är det ett maimum som har tagits fram. Med andraderivatan kan man även beräkna osäkerheten i estimaten samt beräkna korrelationen mellan parametrarna i fallet med en fördelning med flera parametrar. Med hjälp av Ecels Solver kan man numeriskt finna de -värden som maimerar Likelihoodfunktionen. Ju fler parametrar desto bättre anpassning till befintligt data, men man får också mer osäkerhet i parameterskattningarna. För att få ett mått på vilken täthetsfunktion som har bäst anpassning kan man straffa en anpassning som använder för många parametrar. Låt NLL = Maimum-Likelihoodskattningen baserat på enbart observation j, j HQ = NLL + # parametrar ln # skador skador j 2π Denna variabel vill man ha så liten som möjligt. Metoden straffar fördelningar med flera parametrar. Metod används enbart som vägledning för att få fram några fördelningar som har bra anpassning. Sedan bör aktuarien ta in information från Underwriters, skadereglerare och övriga som bedömer skador och har en god uppfattning om portföljens riskprofil. Med detta underlag kan man sedan analysera de utvalda fördelningarna mer i detalj med avseende på olika skadors återkomstperiod etc. Ett annat riktmärke som är vanligt att ta med i processen är den kraftiga stormen Anatol, som drabbade Skandinavien i december 1999. En storm av den storleken har meteorologer beräknat förväntas drabba Skandinavien var 80-90 år. 4.3. Simuleringar Efter att ha funnit den bästa fördelningen för frekvens och skadestorlek kan man simulera detta för 500 000 år mot återförsäkringsprogrammet. Med resultatet från simuleringarna kan olika empiriska fördelningsfunktioner tas fram. Man brukar ta fram två olika fördelningar för skadorna: AEP, vilket står för Aggregate Eceedance Probability dvs. de aggregerade skadorna över ett år. AEP är det som ska användas i solvenshänseende då detta är skadan sedd över en 12-månaders period. OEP, som står för Occurrence Eceedance Probability dvs. den enskilda största händelsen under ett år. OEP brukar användas när man analyser hur mycket återförsäkring man behöver köpa. Dessa AEP- och OEP-kurvor tas fram både brutto och netto, dvs. före och efter, återförsäkring. 14

4.4. Kreditrisk Kreditrisk är den risk man står för att den panel av återförsäkrare som finns på programmet inte ska kunna fullfölja sina åtaganden. Detta är en risk som tillkommer i det nya solvenssystemet och som ska läggas till den 1 på 200-års nettoskada som estimerats. I detta arbete tittar vi på den förväntade kreditförlusten givet att vi har 1 på 200-års skadeutfall. Detta är inte samma sak som 1 på 200-års kreditförlust. 4.4.1. Skadan till återförsäkringsprogrammet 1 på 200-årsskadan till återförsäkringsprogrammet tas fram och skadans storlek till varje återförsäkrare i panelen måste beräknas. Skadan räknas sedan ner med hänsyn till reinstatementpremien, eftersom det är det belopp som ska utbetalas till direktbolaget som är utsatt för skada. Metoden som använts för att beräkna denna risk är inte redo att presenteras i detalj och då den endast är en liten del av detta arbete, redogörs endast för grunderna i modellen. 4.4.2. Kreditriskberäkning Låt PD (från engelskan Probability of Default) beteckna sannolikheten att ett återförsäkringsbolag med rating misslyckas med sina betalningsåtaganden. Vidare betecknas storleken av misslyckandet, givet att motparten har misslyckas med LGD (från engelskans Loss Given Default) och CV är variationskoefficienten. Värdena pd, ld och CV har estimerats av olika ratinginstitut. PD och LGD antas vara oberoende. Antag att är då = LGD är Betafördelat med E[ LGD ] = ld * CV. Då kan och estimeras: ld och standardavvikelsen av LGD α β 2 ld (1 ld = 2 st. dev( ld ) 1 = α ( 1) ld ) ld Det bör antas att det förkommer korrelation mellan återförsäkrarna på ett och samma program. Givet att återförsäkrare ÅF S, där s = 1, 2,, n misslyckas med att fullfölja sina åtaganden, så bör sannolikheten att ÅF t, där t = 1, 2,, n också misslyckas vara högre än om ÅF S har lyckats fullfölja sina åtaganden. Denna korrelationsmatris (med måtten n*n) har estimerats och sedan använts tillsammans med övriga antaganden i kreditriskmodellen och simulerats 100 000 gånger. 15

För att underlätta beräkningarna antas att en etremhändelse i Skandinavien är okorrelerad med övriga händelser på återförsäkringsmarknaden. Med detta menas att när en etremhändelse inträffar i Skandinavien så ökar inte sannolikheten för etrema händelser i övriga Europa/världen och återförsäkrarnas kapacitet att fullfölja sina åtaganden har inte påverkats. Då kan vi anta att PD-värdena är relevanta även det år då skandinaviska bolaget drabbas av sin 200-årsskada. Tabell 2: Data från ratinginstitut samt estimerade och i Betafördelningen Rating PD LGD CV (LGD) SD(Loss) Alpha (α) Beta (β) AAA 0,010% 15,0% 15,0% 2,3% 37,63 213,22 AA+ 0,019% 50,0% 20,0% 10,0% 12,00 12,00 AA 0,020% 50,0% 20,0% 10,0% 12,00 12,00 AA- 0,021% 50,0% 20,0% 10,0% 12,00 12,00 A+ 0,136% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 A 0,136% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 Api 0,136% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 A- 0,145% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 BBB+ 0,225% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BBB 0,225% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BBBpi 0,225% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BBB- 0,544% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BB+ 1,666% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2,56 BB 2,772% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2,56 BB- 2,792% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2,56 B+ 3,667% 65,0% 30,0% 19,5% 3,24 1,74 B 8,594% 65,0% 30,0% 19,5% 3,24 1,74 B- 9,563% 65,0% 30,0% 19,5% 3,24 1,74 CCC+ 14,693% 80,0% 30,0% 24,0% 1,42 0,36 CCC 19,824% 80,0% 30,0% 24,0% 1,42 0,36 CCC- 46,549% 80,0% 30,0% 24,0% 1,42 0,36 D 100,000% 100,0% 0,0% 0,0% -1,00 0,00 NR 2,772% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2,56 4.5. Typ av återförsäkring Det skadebolag som har ingått i denna analys har haft återförsäkring i form av ett ecess of loss-skydd. Detta är den vanligaste och effektivaste återförsäkringen mot katastrofskador. 16

1, ) Alla resultat som redovisas är omräknade till procentform för att kunna presenteras utan att röja några försäkringsspecifika data. För frekvensen av katastrofskador passade en Poisson ( λ = ) allra bäst. När antalet skador för varje år plottades kunde ingen trend i skadefrekvensen ses. _ Figur 5: Skadefrekvensens historiska utseende 3 2 1 0 1980 1985 1990 1995 2000 2005 Year Frequency Poisson För storleken på skadorna passade en Simple Pareto (en förenklad Paretofördelning med bara en -parameter) bäst då man bara analyserar de statistiska metoderna. Då andra saker som återkomstperiod för stora skador etc. vägs in blev det istället en Log Gamma-fördelning som speglar portföljens riskeponering allra bäst. 17

Figur 6: Kurvanpassning till skadestorleken Analysen utfördes med två alternativ ett där parameterosäkerheten i skadestorleksfördelningen är med och ett utan parameterosäkerhet. Fördelningarna tillsammans med årets återförsäkringsstruktur simulerades 500 000 gånger och följande resultat erhölls, där brutto är skadan som skulle ha drabbat bolaget utan återförsäkring och netto är den skada som bolaget får med nuvarande skydd. Tabell 3: Resultat Brutto- och nettoskador utan parameterosäkerhet AEP OEP Utan osäkerhet Brutto Netto Brutto Netto Medelskada 100 49 89 40 St.dev. 421 244 410 240 C.V. 421 494 462 606 Kvantil 50,0 % 19 19 14 14 75,0 % 57 57 41 41 99,0 % 1576 188 1502 66 99,5 % 2875 960 2779 925 Tabell 4: Resultat Brutto- och nettoskador med parameterosäkerhet AEP OEP Med osäkerhet Brutto Netto Brutto Netto Medelskada 100 49 89 40 St.dev. 429 253 415 248 C.V. 429 516 466 622 Kvantil 50,0 % 18 18 13 13 75,0 % 52 52 37 37 99,0 % 1719 201 1642 65 99,5 % 3115 1363 3033 1331 18

Figur 7: AEP-kurvor 100% 95% 90% Probability 85% 80% Net loss wo uncert Net loss with uncert Gross loss wo uncert Gross loss with uncert 75% 0 0 0 0 0 0 0 0 Loss amount Figur 8: OEP-kurvor 100% 95% 90% Probability 85% 80% Net loss wo uncert Net loss with uncert Gross loss wo uncert Gross loss with uncert 75% 0 0 0 0 0 0 0 0 Loss amount 19

Det som sedan användes till beräkningen av risken för att återförsäkrarna inte kan fullfölja sina åtaganden finns sammanfattat i nästa tabell. Tabell 5: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk utan parameterosäkerhet Premie för återförsäkring Kvantil Bruttoskada Till motpart Original Reinstatement Belopp utsatt för motpartsrisk 99,5 % 100 64 2 2 62 Tabell 6: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk med parameterosäkerhet Premie för återförsäkring Kvantil Bruttoskada Till motpart Original Reinstatement Belopp utsatt för motpartsrisk 99,5 % 100 55 2 2 53 Tabell 7: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring utan parameterosäkerhet Solvenskrav Brutto skada Netto skada Premie för återförsäkringen Kredit risk Solvenskrav brutto Solvenskrav netto netto inkl kostnad 99,5 % 100,00 33,41 4,32 0,0167 100,00 33,43 37,75 Tabell 8: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring med parameterosäkerhet Solvenskrav Brutto skada Netto skada Premie för återförsäkringen Kredit risk Solvenskrav brutto Solvenskrav netto netto inkl kostnad 99,5 % 100,00 43,75 3,65 0,0141 100,00 43,76 47,41 Med återförsäkringen sänker man 200-årsskadan med 67 % resp. 54 % utan resp. med parameterosäkerhet. Kostnaden för detta både originalpremie och reinstatementpremien - motsvarar 4 % av bruttoskadan. Tack vare den ecess of loss-återförsäkring som bolaget köper sänker de sitt solvenskrav med 67 % respektive 56 % utan respektive med parameterosäkerhet. Kostnaden för återförsäkringen (original- och reinstatementpremie) är 1,7 % resp. 1,4 % så om man inkluderar kostnaden för återförsäkringen så tjänar de 62 % resp. 53 % på 200-årsskadan med nuvarande program. 20

2, )) Under framtagandet av en egen intern modell kommer man att möta en rad svårigheter på vägen. En fundamental sak är att ha bra data. Väl fungerande datasystem och god historik är avgörande. Modellen som presenterats här innehåller flera källor av osäkerhet och visst utrymme för godtycklighet, men ger ändå en första genomlysning av bolagets egen riskeponering vad gäller katastrofrisk. Är denna modell sämre än de tekniska modellerna som finns på marknaden och som förr eller senare troligen kommer att bli godkända som partiellt interna modeller? Dessa modeller är välkända och flitigt använda på marknaden, men innehåller ju trots detta en mängd antaganden och osäkerheter som inte klart och tydligt redogörs och som inte är anpassade för det individuella bolaget. Vilken eller vilka modeller mäter bolagens riskeponering och unika egenskaper på det bästa sättet? Det kommer att innebära mycket arbete och en stor utmaning att strama upp de formella kraven på internt modellbyggande som kommer att göra dess användning i Solvens 2 och egen bolagsstyrning acceptabel. Oavsett vilken modell som används för att mäta katastrofrisken kommer storleken på bolagens nettoskada att vara väldigt påverkad av återförsäkringen då hela effekten av återförsäkring kommer att tillgodoräknas bolagen. Ett antagande om att detta kommer öka intresset för återförsäkring är rimligt och vikten av att försäkringsbolag har en samordnad riskhanteringsstrategi på ledningsnivå bör understrykas. Idag köper de skandinaviska skadebolagen skydd upp till följande OEP enligt följande, baserat på den metodologi som presenterats här: Figur 9: Slutsats och diskussion skandinaviska skadebolags återförsäkring Nordic Benchmark - Statistical analysis 200 Return period - A B C D E F G H G Company 21

I dagsläget är det endast ett bolag som köper skydd överstigande 200-årshändelsen, men den siffran kommer förmodligen att vara högre då vi närmar oss införandet av Solvens 2. Det här arbetet har bara berört beräkningar och modeller för ett skadebolags katastrofrisker och är endast en liten del av det arbete vi alla står inför med implementeringen av det nya solvensregelverket. Trots denna begränsning ger det ändå en bild av alla de svårigheter och utmaningar som väntar. 22

Kreps, Rodney Olika interna artiklar angående modellering, Guy Carpenter & Company 2002-2007 Olsén, Jörgen Riskbaserade solvensregelverk enligt Solvens 2-metodiken Hur det fungerar och varför försäkringsbolagen måste förbereda sig redan nu, Nordisk Försäkringstidskrift 2007 (1) 3-15 Shaw, Richard A. Olika interna artiklar angående modellering av kreditrisk, Guy Carpenter & Company 2007 Guy Carpenter s Financial Integration Team Internal models A Winning Solution for Solvency II, Guy Carpenter & Company 2007. Finns tillgänglig på www.guycarp.com 23