Kompendium i Matematik och Musik. Staffan Lundberg

Kompendium i Matematik och Musik Staffan Lundberg Luleå tekniska universitet Inst. för matematik 2008

Innehåll 1 Prolog 3 1.1 Musik och matematik....................... 3 2 Talföljder 5 2.1 Inledning.............................. 5 2.2 Vad är en talföljd?......................... 5 2.3 Rekursiva talföljder........................ 6 2.4 Övningsuppgifter......................... 7 3 Fibonaccis talföljd 9 3.1 Fibonaccis kaninproblem..................... 9 3.2 Gyllene snittet........................... 12 3.3 Gyllene rektanglar......................... 14 3.4 Övningsuppgifter......................... 15 4 Ouvertyr 17 4.1 Intrada: Bråktal.......................... 17 4.2 Allemande: Exponentialfunktioner................. 19 4.3 Sarabande: Logaritmer...................... 23 4.4 Gigue: Om ljudets styrka..................... 24 4.5 Coda: De fria konsterna...................... 25 4.6 Övningsuppgifter......................... 26 iii

5 Pythagoras och hans skala 27 5.1 Vad är ljud?............................ 27 5.2 Pythagoréerna........................... 28 5.3 Den pythagoreiska skalan..................... 28 5.4 Den diatoniska pythagoreiska skalan............... 32 5.5 Den pythagoreiska skalans kromatiska steg............ 35 5.6 Moturs i kvintcirkeln........................ 37 5.7 Avslutande noteringar....................... 39 5.8 Övningsuppgifter......................... 42 6 Om övertoner och den rena skalan 43 6.1 Preludium: Om tonhöjd hos pythagoreiska och andra strängar. 43 6.2 Överkurs: Den endimensionella vågekvationen.......... 44 6.3 Slutsatser............................. 45 6.4 Klangfärg............................. 45 6.5 Den rena skalan konstruktionsprinciper.............. 46 6.6 Alternativ metod......................... 48 6.7 Expansion av den rena skalan................... 50 6.8 Övningsuppgifter......................... 54 7 Liksvävig temperatur 55 7.1 Mersennes förslag......................... 55 7.2 Enheten cent............................ 56 7.3 Coda: Plus och minus med liksvävig temperatur......... 59 7.4 Övningsuppgifter......................... 61 8 Om medelvärden 63 8.1 Geometriska betraktelser..................... 63 8.2 Geometrisk tolkning av de tre medelvärdena........... 64 8.3 Musikaliska tillämpningar..................... 66 8.4 Övningsuppgifter......................... 68

9 Medeltonstemperatur 69 9.1 Regelbundna tempereringar.................... 69 9.2 Principer.............................. 69 9.3 Den diatoniska medeltonsskalan.................. 71 9.4 Den kromatiska medeltonstemperaturen............. 73 9.5 Vilka terser är rena?........................ 74 9.6 Vilka kvinter är acceptabla?.................... 75 9.7 Coda: Intressant exempel..................... 76 9.8 Övningsuppgifter......................... 77 10 Vältempererade stämningar 79 10.1 Oregelbundna tempereringar................... 79 10.2 Werckmeister III - principer.................... 80 10.3 Analys av Werckmeister III.................... 83 10.4 Johann Georg Neidhardt och hans tempereringar........ 85 10.5 Neidhardt für ein Dorf - principer............... 85 10.6 Der wohltemperierte Johann Kirnberger............. 88 10.7 Kirnberger II............................ 94 10.8 Intermezzo: Kedjebråk....................... 94 10.9 Coda: Kirnberger I......................... 99 10.10Övningsuppgifter......................... 99 10.11Weman Ericsson - principer.................... 100 10.12Analys av WET.......................... 103 11 Modulär aritmetik 105 11.1 Resten är det viktiga inte kvoten................. 105 11.2 Musikalisk tillämpning....................... 107 11.3 Stokastiska processer....................... 109 11.4 Övningsuppgifter......................... 110

12 Gyllene snittet 111 12.1 Geometriska problem....................... 111 12.2 Intermezzo: Fibonacci och gyllene snitt.............. 113 12.3 Musikaliska tillämpningar..................... 114 12.4 Övningsuppgifter......................... 115 13 Om symmetrier 117 13.1 Morerna och deras mosaiker................... 117 13.2 Reflektion............................. 118 13.3 Translatering och rotation..................... 118 13.4 Koreografiska tillämpningar.................... 119 13.5 Musikaliska tillämpningar..................... 120 13.6 Övningsuppgifter......................... 123 Litteraturförteckning 124

Figurer 2.1 Tändsticksproblem......................... 7 3.1 Fibonacci från Pisa......................... 9 3.2 Fibonaccis kaninproblem...................... 10 3.3 Delning av sträckan AB...................... 12 3.4 Parthenon i Aten.......................... 12 3.5 Pärlbåtssnäckan(Nautilus pompilius)................ 13 3.6 Logaritmisk spiral.......................... 13 3.7 Gyllene rektangel.......................... 14 3.8 Välbekant flagga.......................... 14 4.1 Oktav................................ 18 4.2 Duodecima............................. 18 4.3 Kvintstapling............................ 20 4.4 Del av pianoklaviatur........................ 21 4.5 Graf över exponentialfunktionen y = 261,6 1,059 x....... 22 5.1 Longitudinell vågrörelse....................... 27 5.2 Pythagoras från Samos....................... 28 5.3 Monokord.............................. 29 5.4 Strängen delas i förhållandet 1:1.................. 29 5.5 Strängen delas i förhållandet 2:1.................. 30 5.6 Strängen delas i förhållandet 3:1.................. 30 vii

5.7 Tetraktys ett triangulärt schema................. 31 5.8 Kvinter på ett pianoklaviatur.................... 32 6.1 Strängen delas i förhållandet 2:1.................. 43 6.2 Funktionen u(x,t)......................... 44 6.3 Början av deltonsserien....................... 46 6.4 Tonhöjden förändras........................ 53 7.1 Jämförelse mellan de tre skalorna................. 59 8.1 Aritmetiskt medelvärde....................... 64 8.2 Geometriskt medelvärde...................... 65 8.3 Harmoniskt medelvärde....................... 66 8.4 De tre medelvärdena H, G och A................. 66 9.1 Medeltonstemperering. T: tempererad kvint, VK: vargkvint... 75 10.1 Werckmeister III.......................... 80 10.2 Neidhardt(Dorf)........................... 85 10.3 Johann Kirnberger (1721-1783).................. 88 10.4 Kirnberger III............................ 90 10.5 WET................................ 100 12.1 Delning av en sträcka........................ 111 13.1 Symmetrier i Alhambra....................... 117 13.2 Spegling i en linje genom origo................... 118 13.3 Translatering och rotation..................... 119 13.4 Olika koreografiska symmetrier................... 119 13.5 Exempel på translatering: Månskenssonaten............ 120 13.6 Translatering enligt J.S.Bach.................... 120 13.7 Inversion i Béla Bartóks femte stråkkvartett............ 120 13.8 Retrograd form hos Tjajkovskij................... 121

13.9 Cancrizans (BWV 1079)...................... 122 13.10Tolvtonsserie i Arnold Schönbergs Pianosvit op. 25........ 122 13.11Exempel på möjliga symmetrier.................. 123

Förord Detta kompendium omfattar kursstoffet i M0027M Matematik och Musik, 7.5 hp. Kursen ingår som valbar kurs i musiklärarprogrammet på institutionen för musik och medier (MME), som ingår i Luleå tekniska universitet (LTU). Kursen förutsätter kunskaper i musikteori motsvarande de inledande musikteoretiska kurserna vid MME respektive kunskaper i matematik motsvarande minst gymnasiets inledande kurser. Kompendiet bygger på en serie stordior från en tidigare föreläsningsserie. Det lämpar sig väl för självstudier, förutsatt att de matematiska momenten kompletteras med för kursen relevanta läroböcker i matematik, exempelvis [W + 98] (se litteraturförteckningen). Kompendiet innehåller ett antal exempel med lösningar. Lösningarna avslutas med symbolen. I slutet på varje kapitel finns övningsuppgifter. Att skriva ett kompendium innebär att, likt Sisyfos i den grekiska mytologin, aldrig bli färdig. Alltid finns det detaljer att slipa på. Därför är jag tacksam för kommentarer och förslag till framtida uppdateringar. Jag vill avsluta med att rikta ett varmt och uppriktigt tack till professorerna Hans - Ola Ericsson och Kalevi Hyyppä samt universitetslektorerna Ove Edlund och Reinhold Näslund för goda råd och värdefulla synpunkter på manuskriptet. Luleå i januari 2008 Staffan Lundberg. 1

2

Kapitel 1 Prolog 1.1 Musik och matematik Quid est musica? frågar sig astronomen och författaren Peter Nilson(1937-1998) i sin postumt utgivna och mycket läsvärda essä [Nil00]. Nilson skriver bland annat: Musiken är som stjärnhimlen: den lockar oss att fantisera över oerhörda ting och spana ut över den jordiska tillvarons gränser. [...] Musiken tycks vara en större gåta än vi trodde. För att utforska den måste vi använda hela den arsenal av verktyg som vetenskapen har gett oss i datoråldern. [...] Musiken har en oväntad och häpnadsväckande likhet med livet självt. [...] Att förklara vad musik är tycks vara ett lika stort projekt som att förklara universum. Peter Nilson anar i sin essä att musiken eller måhända tonsystemet i sig är ett naturens fenomen, ett tilltal ur själva kosmos. De gamla grekerna hade iakttagit att himlakropparnas avstånd i rymden hade inbördes samma talproportioner som mellan klassiska tonintervall, exempelvis kvart och kvint. I boken [Lie02] citerar idéhistorikern Sven-Eric Liedman(1939- ) den engelske filosofen och matematikern Alfred North Whitehead: Den rena matematiken i sin moderna form kan göra anspråk på att vara människoandens mest originella skapelse. En annan pretendent på denna ställning är musiken. Pythagoréerna insåg, skriver Liedman, att musikaliska harmonier kan beskrivas som matematiska proportioner. I sitt verk De institutione musica delade den 3

4 KAPITEL 1. PROLOG romerske filosofen och musikteoeritikern Anicius Manlius Severinus Boethius (480-524) in musiken i tre olika arter på ett sätt som länge var normgivande. Allra högst stod musica mundana, den kosmiska musik, vilken alstrades av de väldiga himlakropparnas rörelser. Den andra sortens musik kallade Boethius musica humana, vilken var ett samspel mellan människans kropp och förnuft liksom mellan kroppens organ och mellan förnuftets delar : en ohörbar musik, som endast den kloke och uppmärksamme kunde förnimma. Den tredje och lägst stående musikarten, musica instrumentalis, utgör, skriver Liedman, vad vi numera brukar kalla musik, alltså den som uppfattas med hörseln. I Boethius värld stod musikens i grunden matematiska karaktär i fokus. Dagens musiker och musiklyssnare ägnar föga eller ingen tid åt att finna matematiska samband. Den dominerande synen på musik idag har estetiska förtecken. Detta kompendium har inga som helst ambitioner att förklara varför det över huvud taget finns musik, och vad musiken skulle ha för ärende till människan. Kompendiets genomgripande tema är att i någon mån få återerövra den gamla tanken att ett samband mellan matematik och musik föreligger.

Kapitel 2 Talföljder 2.1 Inledning För att bättre förstå det uppenbara sambandet mellan matematik och musik, måste vi använda oss av några matematiska verktyg. Läsaren förutsätts bekant och någorlunda förtrogen med elementär algebra, rationella tal, potensexponential- och logaritmfunktioner. Vår matematiska verktygslåda behöver utökas med ytterligare verktyg: Begreppet talföljder. 2.2 Vad är en talföljd? En talföljd består av en ändlig eller oändlig följd av tal. Dessa tal kan ha olika beskaffenhet. Här skall vi emellertid nöja oss med talföljder av heltal och rationella tal. Definition. En följd av tal (heltal eller rationella tal), som skapats genom en föreskriven regel, kallas en talföljd. Med symbolen (a n ) n=0 menas den oändliga talföljden a 0,a 1,a 2,a 3,... Exempel 2.2.1. Talföljden 1, 1 2, 1 3, 1 4... 5

6 KAPITEL 2. TALFÖLJDER beskrivs av att a n = 1 n, n = 1,2,3,... Exempel 2.2.2. Skriv de fem första talen i talföljden a n = n2 n+1, n 0. Lösning a 0 = 02 0+1 = 0, a 1 = 12 1+1 = 1 2, a 2 = 22 2+1 = 4 3, a 3 = 32 3+1 = 9 4, a 4 =... = 16 5 2.3 Rekursiva talföljder Vi stöter ibland på talföljder, som har egenskapen att ett tal i följden beräknas med utgångspunkt från de föregående talen. Sådana talföljder kallas rekursiva. Beräkningen sker med hjälp av en rekursionsformel. För att processen skall fungera, måste vi alltid ange ett startvärde. Exempel 2.3.1. Talföljden (a n ) n=0 bestäms med rekursionsformeln a n+1 = a 2 n 5, a 0 = 2. Beräkna a 4. Lösning Startvärdet a 0 = 2. Rekursionsformeln ger a 1 = 2 2 5 = 1, a 2 = ( 1) 2 5 = 4, a 3 = ( 4) 2 5 = 11, a 4 = 11 2 5 = 116 Svar: a 4 = 116.

2.4. ÖVNINGSUPPGIFTER 7 2.4 Övningsuppgifter Övning 2.4.1. En del människor anser att de kan bli stenrika med hjälp av kedjebrev (oftast blir de besvikna...) Ett kedjebrev definieras grovt sett enligt följande: Martin får ett brev med en lista på fyra adressater. Han tar bort den översta adressaten och lägger till sitt eget namn och adress längst ner på listan, gör kopior och skickar sedan vidare till fyra nya adressater, samtidigt som han sänder en tjuga till den adressat som stod överst på listan han själv fick. Om ingen bryter kedjan, hur många kronor kommer Martin att få? Övning 2.4.2. Malin bygger en rad med kvadrater av tändstickor. 1. Hur många stickor behöver hon för att bygga 100 kvadrater? 2. Hur många hela kvadrater kan Malin bygga av 36 stickor? Figur 2.1: Tändsticksproblem.

8 KAPITEL 2. TALFÖLJDER

Kapitel 3 Fibonaccis talföljd 3.1 Fibonaccis kaninproblem Figur 3.1: Fibonacci från Pisa. Den italienske handelsresanden Leonardo från Pisa (ca 1175-1250), mer känd under smeknamnet Fibonacci, är nog mest känd för sin bok Liber abaci, publicerad 1202. I denna bok förekommer ett världsberömt problem, kaninproblemet. Exempel 3.1.1. Fibonacci undersökte kaniners fortplantning i ett idealiserat kaninbestånd. Han ställde frågan: Hur många kaniner finns det efter n månader, givet följande förutsättningar: Kaniner blir könsmogna efter 1 månad. Efter könsmogen ålder, tar det 1 månad för varje kaninpar att producera ytterligare ett par, en av vardera könet, nyfödda kaniner. Varje könsmoget par producerar 1 kaninpar, en av vardera könet, varje månad. 9

10 KAPITEL 3. FIBONACCIS TALFÖLJD Kaniner dör aldrig. Vid början av månad 1 finns ett par nyfödda kaniner, en av vardera könet. Talföljden börjar med 1, 1, eftersom kaninpar 1 behöver 1 månad att könsmogna. Vid början av månad 3 finns alltså 2 par, 3 par vid början av månad 4 (det ursprungliga kaninparet föder månatligen 1 nytt par), 5 par vid början av månad 5 (nu börjar andra generationen kaniner att producera) osv. Antalet kaninpar är 1,1,2,3,5,8,13,... Dessa tal ingår i Fibonaccis talföljd (F n ) n=1, vilken genereras med rekursionsformeln F n = F n 1 +F n 2, n 3, där F 1 = F 2 = 1. Om vi markerar icke könsmogna kaninpar med öppna cirklar och könsmogna kaninpar med färgade cirklar, kan processen representeras av Figur 3.2. Figur 3.2: Fibonaccis kaninproblem. På följande sida ser vi en utskrift av de 27 första talen i Fibonaccis talföljd.

3.1. FIBONACCIS KANINPROBLEM 11 n F(n) F(n) F(n+1) n F(n) F(n) F(n+1) 1 1 11 89 0,6180 2 1 1 12 144 0,6181 3 2 0,5 13 233 0,6180 4 3 0,6667 14 377 0,6180 5 5 0,6000 15 610 0,6180 6 8 0,6250 16 987 0,6180 7 13 0,6154 17 1597 0,6180 8 21 0,6190 18 2584 0,6180 9 34 0,6176 19 4181 0,6180 10 55 0,6182 20 6765 0,6180 21 10946 0,6180 22 17711 0,6180 23 28657 0,6180 24 46368 0,6180 25 75025 0,6180 26 121393 0,6180 27 196418 0,6180 Anmärkning. Förhållandet mellan två på varandra följande tal i ovanstående tabell tycks närma sig ett speciellt värde, 0, 618.

12 KAPITEL 3. FIBONACCIS TALFÖLJD 3.2 Gyllene snittet Vi står inför problemet att dela en sträcka AB (längd 1 l.e.) i två delar, så att AB förhåller sig till AG som AG förhåller sig till GB (se Figur 3.3). Figur 3.3: Delning av sträckan AB. Följande ekvation skall gälla (AB = 1, AG = x): 1 x = x 1 x. Om vi löser denna andragradsekvation, får vi x = 1 2 ( 5 1) 0,618. Detta tal kallas det gyllene snittet. Vi skall i kapitel 12 analysera detta märkliga tal. Gyllene snittet har i alla tider används av arkitekter och konstnärer. Det som gör gyllene snittet så speciellt, är att det påstås vara estetiskt tilltalande. Bland alla kända byggnadsverk där det gyllene snittet är representerat kan nämnas Parthenon i Aten och Cheopspyramiden i Egypten. Figur 3.4: Parthenon i Aten.

3.2. GYLLENE SNITTET 13 I djur- och växtriket finns det en mängd exempel där vi återfinner det gyllene snittet. Låt oss betrakta en speciell bläckfiskart, pärlbåtssnäckan(nautilus pompilius). Bläckfiskens skal har en tillväxt som matematiskt brukar beskrivas som en s.k. logaritmisk spiral. Skalets kamrar är likformiga och har det gyllene snittet som storleksförhållande. Figur 3.5: Pärlbåtssnäckan(Nautilus pompilius). Spiralen är uppbyggd av en följd av kvadrater, med sidlängderna enligt Fibonacciföljden 1,1,2,3,5,8,13,... I varje kvadrat ritas en kvartscirkel med radien lika med sidlängden. På så sätt byggs spiralen upp. Figur 3.6: Logaritmisk spiral.

14 KAPITEL 3. FIBONACCIS TALFÖLJD 3.3 Gyllene rektanglar Definition. I en gyllene rektangel är förhållandet mellan höjd a och längd a+b lika med det gyllene snittet 1 2 ( 5 1) 0,618. Figur 3.7: Gyllene rektangel. Den gyllene rektangeln är ett välkänt standardformat för fotografier, cigarettpaket, spelkort, resväskor etc. Sveriges flagga är ett annat bekant exempel på en gyllene rektangel. Vi citerar Lag om Sveriges flagga SFS nr 1982:269:...Den tvärskurna flaggans höjd förhåller sig till dess längd som 10 till 16. På de inre fälten förhåller sig höjden till längden som 4 till 5 och på de yttre som 4 till 9... 16 10 Figur 3.8: Välbekant flagga.

3.4. ÖVNINGSUPPGIFTER 15 3.4 Övningsuppgifter Övning 3.4.1. Betrakta kvadraten DABC i Figur 3.3, vars sidlängd är 1 l.e. Punkten E är mittpunkt på sidan DA. Visa att EB (radie i cirkelbågen BF) har längden 5/2 l.e. Visa att AF (radie i cirkelbågen GF) har längden 1 2 ( 5 1) l.e. Övning 3.4.2. Visa att om vi ur rektangeln i Figur 3.7 skär bort en kvadrat med sidan a, så är återstående rektangel också en gyllene rektangel. Övning 3.4.3. Skriv ett kort musikstycke som innehåller tal ur Fibonacci-serien. Tips: Fundera kring antalet takter i stycket, antal hela eller halva tonsteg mellan noterna, längden på notvärdena, antalet noter per takt. Övning 3.4.4. Fibonaccis berömda bok Liber Abaci, innehåller många intressanta problem. Här är ytterligare ett av dem: A certain man doing business in Lucca doubled his money there, and then spent 12 denarii. Thereupon, leaving he went to Florence; there he also doubled his money, and spent 12 denarii. Returning to Pisa, he there doubled his money and spent 12 denarii, nothing remaining. How much did he have in the beginning?

16 KAPITEL 3. FIBONACCIS TALFÖLJD

Kapitel 4 Ouvertyr Med detta kapitel inleds den musikaliska delen av kursen. Vi skall inledningsvis göra några strandhugg i diverse musikaliska tillämpningar. Dessa tillämpningar bygger på enkla matematiska principer. 4.1 Intrada: Bråktal I kapitel 6 skall vi göra en analys av den rena skalan. Den bygger på den s.k. deltonsserien. Några egenskaper från denna skala skall vi redan nu bekanta oss med. För att visuellt åskådliggöra dessa egenskaper, tar vi bruk av ett pianoklaviatur. Tyvärr är klangen hos ett piano allt annat än renstämd, så ur ett auditivt perspektiv ger pianoklaviaturet kanske inte de bästa associationer. Pianots stämning har vi anledning att återkomma till. 17

18 KAPITEL 4. OUVERTYR Toner uppstår genom att något svänger (vibrerar) regelbundet. Det kan exempelvis vara en gitarrsträng eller en luftpelare i en orgelpipa. Tonhöjden beror av svängningarnas hastighet: Ju snabbare vibrationer, desto högre blir tonen. Definition. Frekvensen f (eller ibland ν) hos en ton är antalet regelbundna svängningar per sekund. Frekvensen anges i Hertz, Hz. Om två toner i den rena skalan har ett frekvensförhållande på 2:1, uppfattar vi detta intervall som en oktav. Figur 4.1: Oktav. Duodeciman i den rena skalan visar sig ha frekvensförhållandet 3:1. Figur 4.2: Duodecima. Låt oss välja ettstrukna c, c 1, som referenston med antagen frekvens ν (Hz). Tvåstrukna c, c 2, bör då enligt ovan ha frekvensen 2ν Hz. Exempel 4.1.1. Bestäm ur ovanstående resonemang frekvensen för 1. g 2 och härav frekvensen för g 1, 2. d 2 och härav frekvensen för d 1. Lösning 1. g 2 har frekvensen 3ν. Frekvensen för g 1 = 1 2 3ν. Bråket 3 2 den rena kvinten. associeras till

4.2. ALLEMANDE: EXPONENTIALFUNKTIONER 19 2. Med tvåduodecima-språngfrånc 1 hamnar vi id 4, med frekvensen 3 3ν = 9ν.d 2 1 harfrekvensen (varför?),vilketslutligenmedförattfrekvensen 4 9ν för d 1 = 9 8 ν. Låt oss åter betrakta referenstonen ettstrukna c, c 1 med antagen frekvens ν. Ur föregående resonemang kan vi dra följande slutsats: För varje oktavsprång uppåt,fördubblas frekvensen: c 2 har frekvensen 2ν, c 3 har frekvensen 2 2 ν, osv. För varje oktavsprång nedåt, halveras frekvensen: c har frekvensen 1 2 ν, C har frekvensen (1 2 )2 ν, osv. Låt oss betrakta intervallet c 1 g 1, den rena kvinten. Vi vet redan att g 1 förhåller sig frekvensmässigt till c 1 som förhållandet 3:2. Det innebär, att om vi staplar två kvinter på varandra, är frekvensen för d 2 lika med ( 3 2 )2 ν, enligt Figur 4.3. I kommande kapitel när vi skall konstruera diverse skalor använder vi oss av ett liknande resonemang. 4.2 Allemande: Exponentialfunktioner Moderna tangentinstrument är som regel stämda i liksvävig temperatur. Varje halvtonssteg är lika stort och motsvarar frekvensförhållandet 2 1/12 : 1 = 12 2 : 1. Om vi som referenston sätter exempelvis c 1 med frekvens f c 1 261,6 Hz, innebär detta att tonen c 1, med frekvens f c 1, måste uppfylla: Med andra ord måste f c 1 f c 1 = 12 2. För tonen d 1 gäller analogt: f c 1 = f c 1 12 2 261,6 1,059 277,1 Hz. f d 1 = f c 1 12 2 277,1 1,059 293,6 Hz.

20 KAPITEL 4. OUVERTYR Figur 4.3: Kvintstapling. Exempel 4.2.1. Utgå från ettstrukna a, a 1, med frekvensen 440 Hz. Antag liksvävig temperatur. Vilken frekvens får tonen 1. c 2 (liten ters)? 2. e 2 (kvint)? 3. d 2 (tritonus)?

4.2. ALLEMANDE: EXPONENTIALFUNKTIONER 21 Figur 4.4: Del av pianoklaviatur. Lösning 1. Tre halvtonssteg ger att c 2 har frekvensen 440 2 3/12 523 Hz. 2. Kvinten innebär sju halvtonssteg: e 2 har frekvensen 440 2 7/12 659 Hz. 3. d 2 har frekvensen 440 2 622 Hz. Om vi analyserar dessa frekvenser, inser vi att frekvensförändringen i den liksvävande temperaturen är procentuell tonhöjden förändras med en viss bestämd procentsats för varje halvtonssteg. Den procentuella förändringen visar sig vara ungefär 5,9%. För halvtonssteget från c 1 till c 1 måste då gälla: 261,6+ 5,9 261,6 = 261,6+0,059 261,6 = 100 = 261,6 (1+0,059) = 261,6 1,059 277,1. Anmärkning. Den nya frekvensen är 100% av den gamla frekvensen f c 1 plus 5,9% av f c 1. Det blir totalt 105,9% av f c 1. Ny frekvens: 105,9% av 261,6 Hz=1,059 261,6 277,1 Hz. Kvoten Nya värdet Gamla värdet kallas förändringsfaktor. I den liksvävande temperaturen är förändringsfaktorn 277,1 261,6 1,059. Vi sammanfattar:

22 KAPITEL 4. OUVERTYR Tonen c 1 har frekvensen 261,6 Hz. Tonen c 1 har frekvensen 261,6 1,059 Hz. Efter 2 halvtonssteg har vi Efter 3 halvtonssteg har vi 261,6 1,059 1,059 = 261,6 1,059 2 Hz. }{{} Ett halvtonssteg 261,6 1,059 2 1,059 = 261,6 1,059 3 Hz. }{{} Två halvtonssteg Så kan vi fortsätta med våra halvtonssteg och generera allt högre frekvenser. Anmärkning. Frekvensen y kan beskrivas med en exponentialfunktion: y = 261,6 1,059 x, där x är antal halvtonssteg relativt tonen c 1. I nedanstående diagram ser vi hur frekvensen förändras med antal halvtonssteg. Figur 4.5: Graf över exponentialfunktionen y = 261,6 1,059 x.

4.3. SARABANDE: LOGARITMER 23 Vi kan med med detta resonemang som grund dra följande slutsats: Tonhöjden i en liksvävig temperatur tillväxer exponentiellt. Vi skall i kapitel 7 återvända till den liksväviga temperaturen. Anmärkning. En exponentiell förändring innebär att något förändras medenfixförändringsfaktor.vårförändringsfaktorärlikamed 12 2 1, 059 i vår analys av den liksvävande temperaturen. En förändringsfaktor > 1 motsvarar en ökning. En förändringsfaktor < 1 motsvarar en minskning. En förändringsfaktor är aldrig < 0. 4.3 Sarabande: Logaritmer Definition. 1 cent utgör 1/1200 oktav i den liksvävande temperaturen. Detta innebär att 1 cent svarar mot frekvensförhållandet 2 1/1200 = 1200 2. Centtalen är logaritmiska. Centtalet c för ett intervall med frekvensförhållandet r är c = 1200 lgr lg2. (4.1) Exempel 4.3.1. Vi inser att 100 cent motsvarar ett halvtonssteg i den liksvävande temperaturen. Hur många cent motsvarar den stora tersen i liksvävande temperatur? Lösning Stor ters motsvarar 4 liksvävande halvtonssteg. Ekvation (4.1) ger för r = 2 4/12 : c = 1200 lg24/12 lg2 = 1200 1 = 400 cent. 3

24 KAPITEL 4. OUVERTYR 4.4 Gigue: Om ljudets styrka Definition. Ljudets styrka mäts i ljudnivå och anges i decibel (db), enligt L I = 10lg I I 0, där I 0 = 10 12 W/m 2 är den lägsta intensitet som örat kan uppfatta vid frekvensen 1 khz. Anmärkning. Vi observerar att decibelmåttet är logaritmiskt. Om intensiteten ökar med en faktor 10, så ökar L I med 10 db. Några ungefärliga ljudnivåer: Exempel 4.4.1. Beräkna db Exempel 188 Blåvalens visslingar, hörs över 80 mil 180 Kanonskott. Trumhinnan går sönder 135 Högsta uppmätta värde vid rockgala 125 Smärtgränsen ligger vid ca 125 db 120 Startande jetplan på nära håll 110 Vanlig nivå på diskotek 85 Gräns för bestående hörselskador 60 Samtal 20 Lövsus 0 Det svagaste ljud ett friskt öra kan uppfatta 1. L I då I = 10 9 W/m 2 (viskning). 2. I då L I = 100 db (Bra drag på ljudanläggningen, grannarna knackar nog snart i väggen...). Lösning 1. L I = 10 lg 10 9 = 30 db. 10 12

4.5. CODA: DE FRIA KONSTERNA 25 2. I 10 12 = 1010, dvs. I = 10 2 W/m 2. Anmärkning. Ibland används termen ljud trycksnivå, definierad enligt L P = 20lg P P 0, där P 0 = 2 10 5 Pa (N/m 2 ) är det minsta ljudtryck som örat kan uppfatta, vilket benämns hörtröskel. En fördubbling av trycket motsvarar ca 6 db. Vi räknar: För P = 2P 0 får vi 20 lg 2P 0 P 0 = 20 lg2 20 0,301 6,02. 4.5 Coda: De fria konsterna De (sju) fria konsterna, septem artes liberales, är ett klassiskt utbildningsideal som härstammar från antiken. Romaren Seneca (ca 1-65 e.kr.) var en av de första filosofer som har gjort en utförlig utredning av detta begrepp. Artes liberales definierades av de discipliner som det anstod en fri människa att behärska: Grammatik, retorik, logik, aritmetik, musik, geometri och astronomi. Vid de medeltida universiteten indelades de sju fria konsterna i två undergrupper: trivium, trevägskorsningen : Grammatik, retorik och logik, respektive quadrivium, fyrvägskorsningen : Aritmetik, musik, geometri och astronomi. Ordet trivial har sitt ursprung i trivium. Universitetsstudierna inleddes med basblocket trivium (som ibland kallas artes sermocinales). Fortsättningskurserna bestod av det teoretiska blocket quadrivium (eller artes reales/physicae).

26 KAPITEL 4. OUVERTYR 4.6 Övningsuppgifter Övning 4.6.1. Med Avsnitt 4.1 som hjälp, bestäm frekvensen för 1. a 1, 2. f och härav frekvensen för f 1. Övning 4.6.2. Bestäm med hjälp av Figur 4.3 frekvensen för a 2 uttryckt i ν (dvs. frekvensen för ettstrukna c, c 1 ). Extrauppgift: Beräkna frekvensen för b 1 uttryckt i ν. Övning 4.6.3. Hur många cent motsvarar följande intervall i liksvävande temperatur? 1. Överstigande kvart, 2. Liten septima. Övning 4.6.4. Om intensiteten ökar med en faktor 100, så ökar ökar ljudintensiteten L I med?? db. Ersätt frågetecknen med korrekt värde. Övning 4.6.5. Två bilar ger ifrån sig 70 db vardera i ljudnivå. Vad blir den totala ljudnivån i db från de två bilarna?

Kapitel 5 Pythagoras och hans skala 5.1 Vad är ljud? Vi utsätts under hela livet av ljud i olika former, allt ifrån smattrande tryckluftsborrar på en byggarbetsplats till sjungande näktergalar en försommarnatt. Ljudets ursprung är vibration. Det som vibrerar kan vara luftpelaren i en orgelpipa, a-strängen på en violin, stämbanden hos en körsångare eller skänklarna på en stämgaffel. Låt oss titta litet närmare på den vibrerande stämgaffeln. Vibrationerna överförs till de närmast liggande luftmolekylerna. Det skapas tryckvariationer förtätningar och förtunningar av luften. Dessa tryckvariationer utbreder sig i en vågrörelse. De enskilda luftpartiklarna rör sig kring ett jämviktsläge, parallellt med vågens utbredningsriktning. Vågrörelsen är mekanisk, och ljudet är en longitudinell vågrörelse. Figur 5.1: Longitudinell vågrörelse. Då vår trumhinna träffas av ljudvågen, sätts trumhinnan i vibration och i innerörat skapas förutsättningar för en ljudförnimmelse. Svängningarna hos vår stämgaffel är regelbundna vi kan uppfatta en ton med 27

28 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA en viss tonhöjd. Man brukar säga att stämgaffelns skänklar svänger med en viss frekvens, ett begrepp vi definierade i kapitel 4. 5.2 Pythagoréerna Pythagoras från Samos (ca 569 f.kr. ca 475 f.kr.) är en av de mest kända antika matematikerna och filosoferna. Figur 5.2: Pythagoras från Samos. Efter mångåriga studier i bl.a. Egypten och Mesopotamien, bosatte sig Pythagoras ca 530 f.kr. i staden Kroton, som låg i södra Italien (Magna Græcia). Där instiftade han Pythagoréerna, en slags ordensliknande skola, som kombinerade en strikt livsföring med vetenskapliga studier. Skolans lärjungar kallades mathematikoi, från det grekiska ordet mathema µαθηµα, som betyder ungefär kunskap. Ordet matematik har alltså ett pythagoreiskt utsprung. Skolans motto var Allt är tal. Pythagoréernas kosmologi utgick från hypotesen att universum var uppbyggt kring heltal. De föreställde sig att de klotformade himlakropparna rörde sig i cirklar, kretsande kring en centraleld. Himlakropparnas rörelser ger, enligt pythagoréerna, upphov till toner, som människoörat inte kan uppfatta sfärernas harmoni. 5.3 Den pythagoreiska skalan Pythagoréerna använde ett ensträngat instrument, monokordet, i sitt utforskande av musikteorin. De kände till det matematiska förhållandet mellan tonhöjden och längden på en sträng. Med hjälp av detta instrument kunde olika intervall och deras talförhållanden demonstreras.

5.3. DEN PYTHAGOREISKA SKALAN 29 Figur 5.3: Monokord. Låt oss förflyttas i tiden till lärdomscentrat i Kroton, där en demonstration av monokordet pågår. Man slår an en fri sträng hos monokordet och noterar tonhöjden. Därefter halveras stränglängden och man slår åter an strängen. Tonhöjden noteras åter och man konstaterar att denna ton klingar en oktav högre än den första tonen. Figur 5.4: Strängen delas i förhållandet 1:1. Uppenbarligen har den andra tonen en högre frekvens. Det visar sig att förhållandet mellan frekvenserna är 2 : 1. Definition. Om två toner, med frekvenserna (tonhöjden) f 1, respektive f 2, har följande egenskap: f 2 = 2f 1, så uppfattar vi intervallet som en oktav (grek. diapason). När strängen trycks ned i den punkt som delar stränglängden i förhållandet 2:1, och slår an den längsta delen av strängen, kommer denna (som har en längd som är 2/3 av den totala strängens längd) att klinga en ren kvint över den fria strängens tonhöjd.

30 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA Figur 5.5: Strängen delas i förhållandet 2:1. Om längden förkortas till 3/4 av den fria stränglängden(dvs. när strängen trycks ned i den punkt som delar stränglängden i förhållandet 3:1) och man därefter slår an denna del, alstras en ton, vars höjd klingar en ren kvart ovanför den fria strängens tonhöjd. Figur 5.6: Strängen delas i förhållandet 3:1.

5.3. DEN PYTHAGOREISKA SKALAN 31 Definition. Om tvåtoner, med frekvenserna (tonhöjden) f 1, respektive f 2, har följande egenskap: f 2 = 3 2 f 1, så uppfattar vi intervallet som en ren kvint (grek. diapente, lat. sesquialtera). a f 2 = 4 3 f 1, så uppfattar vi intervallet som en ren kvart (grek. diatessaron, lat. sesquitertia). a Sesquialtera är i orgelsammanhang en blandstämma, bestående av en kvint och en ters. Med r = f 2 f 1 kan vi sammanfatta: r Benämning Exempel 2:1 Oktav c 1 c 2 3:2 Ren kvint c 1 g 1 4:3 Ren kvart c 1 f 1 Tetraktys är ett triangulärt schema som består av tio element arrangerade i fyra rader. Enligt pythagoréerna var tetraktys en helig symbol, som i sig innehöll fröet till universums slutsumma, den pythagoreiska dekaden eller 1+2+3+4 = 10. Figur 5.7: Tetraktys ett triangulärt schema. Det påstås att de grundläggande intervallen i den pythagoreiska skalan är baserade på tetraktys. Raderna kan tolkas som 4:3, 3:2, 2:1.

32 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA Anmärkning. Om man från en specifik ton, exempelvis c 1, går upp en kvint till g 1, och därefter upp en kvart, hamnar vi självfallet på c 2, en oktav högre än starttonen. Antag att c 1 har frekvensen f 1 Hz. Kvintsprångets ton får då frekvensen f 2 = 3 2 f 1, medan det avslutande kvartsprångets ton, c 2, får frekvensen f 3 = 4 3 f 2 = 4 3 3 2 f 1 = 2f 1, helt i överensstämmelse med vad vi redan vet angående oktavsprång. 5.4 Den diatoniska pythagoreiska skalan Vi är nu redo att generera den diatoniska pytagoreiska skalan. Principen är mycket enkel: Figur 5.8: Kvinter på ett pianoklaviatur. Utgående från en startton (här C 1 (kontra-c)), bestämmer vi frekvenserna för toner längs kvintcirkeln med hjälp av det pythagoreiska frekvensförhållandet 3/2. Därefter gör vi oktavtransponeringar, så att våra nyss genererande toner hamnar i en och samma oktav (här kontraoktaven). Vi antar att C 1 har frekvensen ν, och startar därmed vår generering av den diatoniska pytagoreiska skalan. C 1, frekvens ν Kvinten G 1, frekvens 3 2 ν Kvinten D, frekvens ( 3 2 )2 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 9 4 1 2 ν = 9 8 ν

5.4. DEN DIATONISKA PYTHAGOREISKA SKALAN 33 Kvinten A, frekvens ( 3 2 )3 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 27 8 1 2 ν = 27 16 ν Kvinten e, frekvens ( 3 2 )4 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 81 16 1 4 ν = 81 64 ν Kvinten b, frekvens ( 3 2 )5 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 243 32 1 4 ν = 243 128 ν Därmed är vi nästan klara. Det återstår en ton: Kontra-F. Det finns två tänkbara vägar: Kvinten f 4, frekvens ( 3 2 )11 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 177147 2048 (1 2 )6 ν = 177147 131072 ν Underkvinten F 2, frekvens 2 ν, upptransponerad till kontraoktaven med 3 frekvens 2 3 2ν = 4 3 ν Anmärkning. De två F 1 :en, 177147 131072 ν, resp. 4 ν, klingar inte riktigt 3 unisont. Vi bestämmer förhållandet mellan dessa två: 177147 131072 ν : 4 3 ν = 531441 524288 1,014. Detta förhållande är intressant och vi får anledning att återkomma till detta. Bråket 177147/131072 kallas den pythagoreiska överstigande tersen medan bråket 4/3 kallas den pythagoreiska kvarten, vilket (i överensstämmelse med vårt inledande resonemang) vi väljer som representant för det pythagoreiska kvartintervallet.

34 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA Därmed har vi byggt upp den diatoniska pythagoreiska skalan. Nu kan vi bestämma frekvensförhållandena mellan skaltonerna. Vi redovisar detta i en tabell. Skal- Frekv. Frekv.förh. Frekv.förh. ton rel. föreg. ton rel. grundton C ν 1 D E F G A B(H) C 9 8 ν 9 8 81 64 ν 9 8 4 3 ν 256 243 3 2 ν 9 8 27 16 ν 9 8 243 128 ν 9 8 256 2ν 243 9 8 81 64 4 3 3 2 27 16 243 128 2 Anmärkning. Ur tabellen konstaterar vi: Stora sekunder har samma frekvensförhållande, 9 8 det pythagoreiska heltonsteget., och kallas Små sekunder har samma frekvensförhållande, 256, och kallas det pythagoreiska diatoniska halvtonsteget (leimma) eller 243 den lilla halvtonen. Observera att två diatoniska halvtonsteg inte är lika med ett heltonsteg: ( 256 243 )2 = 65536 59049 1,110 < 9 8 1,125. Vi återkommer till detta litet senare.

5.5. DEN PYTHAGOREISKA SKALANS KROMATISKA STEG 35 Anmärkning. Förfaringssättet kan beskrivas med följande tabell: Ordn.- Kvint- Transp. till tal beräkn. rätt oktav -1 (3/2) 1 = 2/3 4/3 0 (3/2) 0 = 1 1 (3/2) 1 = 3/2 2 (3/2) 2 = 9/4 9/8 3 (3/2) 3 = 27/8 27/16 4 (3/2) 4 = 81/16 81/64 5 (3/2) 5 = 243/32 243/128 5.5 Den pythagoreiska skalans kromatiska steg Vi fortsätter vår färd utmed kvintcirkeln. Som referensfrekvens använder som tidigare frekvensen för C 1 i kontraoktaven, med antaget värde ν. Först beräknar vi kvinterna: Ordn.- Kvinttal beräkn. 6 (3/2) 6 = 729 64 7 (3/2) 7 = 2187 128 8 (3/2) 8 = 6561 256 9 (3/2) 9 = 19683 512 10 (3/2) 10 = 59049 1024 Mer detaljerat: Kvinten f 1, frekvens ( 3 2 )6 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 729 64 (1 2 )3 ν = 729 512 ν

36 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA Kvinten c 2, frekvens ( 3 2 )7 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 2187 128 (1 2 )4 ν = 2187 2048 ν Kvinten g 2, frekvens ( 3 2 )8 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 6561 256 (1 2 )4 ν = 6561 4096 ν Kvinten d 3, frekvens ( 3 2 )9 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 19683 512 (1 2 )5 ν = 19683 16384 ν Kvinten a 3, frekvens ( 3 2 )10 ν, nedtransponerad till kontraoktaven med frekvens 59049 1024 (1 2 )5 ν = 59049 32768 ν Därmed har vi fullbordat konstruktionen av den kromatiska pythagoreiska skalan. Låt oss sammanfatta allt i tabellform.

5.6. MOTURS I KVINTCIRKELN 37 Skalton Intervall Frekv.förh. rel. grundton C Prim 1 C 2187 Överstigande prim 2048 D Stor sekund 9 8 D 19683 Överstigande sekund 16384 E Stor ters 81 64 F Kvart 4 3 F 729 Överstigande kvart 512 G Kvint 3 2 G 6561 Överstigande kvint 4096 A Stor sext 27 16 A 59049 Överstigande sext 32768 B Stor septima 243 128 C Oktav 2 5.6 Moturs i kvintcirkeln En alternativ tankegång är att generera kvinterna moturs i kvintcirkeln. Med denna alternativa metod skulle vi få följande svit av kvinter: Ordn.- Kvint- Transp. till tal beräkn. rätt oktav -2 (3/2) 2 = 4/9 16/9-3 (3/2) 3 = 8/27 32/27-4 (3/2) 4 = 16/81 128/81-5 (3/2) 5 = 32/243 256/243-6 (3/2) 6 = 64/729 1024/729 Vilka skaltoner skulle dessa fem toner motsvara?

38 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA Låt oss börja med att transponera kvinterna till rätt oktav. Transp. till Skalrätt oktav ton 16/9 B 32/27 E 128/81 A 256/243 D 1024/729 G Med detta alternativa förfaringssätt kan vi konstruera en liknande pythagoreisk kromatisk skala som den vi nyss betraktade. Skalton Intervall Frekv.förh. rel. grundton C Prim 1 D Liten sekund 256 243 D Stor sekund 9 8 E Liten ters 32 27 E Stor ters 81 64 F Kvart 4 3 G Förminskad kvint 1024 729 G Kvint 3 2 A Liten sext 128 81 A Stor sext 27 16 B Liten septima 16 9 B Stor septima 243 128 C Oktav 2

5.7. AVSLUTANDE NOTERINGAR 39 5.7 Avslutande noteringar Intervallet C E, den pythagoreiska lilla tersen, har frekvensförhållandet 32 27. Om vi undersöker intervallet C D, den pythagoreiska överstigande sekunden, får vi frekvensförhållandet 19683 16384 32, 27 vilket kanske inte är helt överraskande. Läsaren ombeds att som övning kontrollera ovanstående frekvensförhållanden. Låt oss undersöka Vi finner en intressant kvot: 19683/16384 32/27 531441 524288 vilken vi på nytt har all anledning att lägga märke till.,. Anmärkning. Vi observerar att det är väsentligt att välja hur vi skall skriva de svarta tangenterna : Som sänkta ( ) eller som höjda ( ). Definition. Det pytagoreiska kromatiska halvtonsteget(apotome) eller den stora halvtonen har frekvensförhållandet 2187 2048 Den pytagoreiska diatoniska halvtonsteget (leimma) har frekvensförhållandet 256. 243 Apotome och leimma tillsammans är lika med den pythagoreiska heltonen 9/8: 256 243 2187 2048 = 9. 8. Antag att man stämmer 12 på varandra följande pythagoreiska kvinter. Det

40 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA innebär att frekvensförhållandet mellan slut- och startton är ( ) 3 12 = 531441 2 4096. Det visar sig emellertid att sluttonen ligger 7 oktaver ovanför starttonen. Med andraordkanfrekvensförhållandetalternativtuttryckas2 7.Men,någotöverraskande, gäller att 531441 4096 27! Noga räknat är förhållandet mellan tolv kvinter och sju oktaver ( ) 3 12 2 2 7 = 312 531441 = 219 524288 1,013643... Tydligen är 12 kvinter litet större än sju oktaver. Definition. Förhållandet 531441 524288 eller det ditoniska kommat. kallas det pythagoreiska kommat Anmärkning. 2 diatoniska halvtonsteg och därtill det pythagoreiska kommat blir ett pythagoreiskt heltonsteg: ( ) 256 2 531441 243 524288 = 9 8. Det pythagoreiska kommat är skillnaden mellan apotome och leimma: 2187 2048 243 256 = 531441 524288 Detta faktum bekräftar vårt tidigare konstaterande beträffande den lilla tersen överstigande sekunden, att den pythagoreiska skalan inte medger enharmoniska förväxlingar. Det pythagoreiska kommat är vattendelaren.. Avslutningsvis konstaterar vi att den pythagoreiska skalan hade sin naturliga användning i den enstämmiga (monofona) musik, som var förhärskande från antiken fram till tidig medeltid. I början av renässansen gjordes en revidering av den pythagoreiska uppfattningen om vilka intervall som ansågs vara konsonanta.

5.7. AVSLUTANDE NOTERINGAR 41 Det gällde framför allt hur man skulle bedöma tersklangen. I flerstämmig (polyfon) musik klingade nämligen de pythogareiska terserna inte njutbart, vilket vi också snart skall analysera. Vi har också visat att en kvintprogression så småningom genererar det pythagoreiska kommat, dvs. relativt en grundtonart kommer långtgående modulationer att klinga falskt. Skalan är inkonsistent.

42 KAPITEL 5. PYTHAGORAS OCH HANS SKALA 5.8 Övningsuppgifter Övning 5.8.1. Gör med hjälp av de två förhållandena Kvart 4 3 Kvint 3 2 en alternativ konstruktion av den diatoniska pythagoreiska skalan. Start: c 1, frekvens ν 1. Lämna aldrig denna oktav (den ettstrukna) under konstruktionen. Övning 5.8.2. Undersökfrekvensförhållandetf 6 : f.ställuppfrekvensförhållandet med hjälp av olika pythagoreiska intervall. Kommentarer? Övning 5.8.3. Försök att genomföra konstruktionen av den pythagoreiska skalan genom att, med start från f 4, frekvens ν 2, vandra baklänges i kvintcirkeln med kvartsprång. Referensoktav: Kontraoktaven. Övning 5.8.4. Genomför en generering av den pythagoreiska tonen F 2 genom att gå baklänges i kvintcirkeln, analogt med den process som redovisats i detta kapitel. Vi anar att detta F 2 E 2. Visa detta och undersök sedan frekvensförhållandet E 2 F2. Vad blir denna kvot? Övning 5.8.5. Konstruera (med hjälp av kvintsprång enligt metoden i Avsnitt 5.4) den lydiska skalan, dvs. de vita tangenterna mellan f och f 1. Antag att referenstonen f (i lilla oktaven) har frekvensen (tonhöjden) ν 0. För varje ton i skalan skall frekvensförhållandet relativt referenstonen anges som ett rationellt tal (bråk).

Kapitel 6 Om övertoner och den rena skalan 6.1 Preludium: Om tonhöjd hos pythagoreiska och andra strängar Vi erinrar oss följande från föregående kapitel: När strängen trycks ned i den punkt som delar stränglängden i förhållandet 2:1, och slår an den längsta delen av strängen, kommer denna (som har en längd som är 2/3 av den totala strängens längd) att klinga en ren kvint över den fria strängens tonhöjd. Figur 6.1: Strängen delas i förhållandet 2:1. Om två toner, med frekvenserna (tonhöjden) f 1, respektive f 2, har följande egenskap: f 2 = 3 2 f 1, så uppfattar vi intervallet som en ren kvint. Vad har talen 3/2 (dvs. förändringsfaktorn) och 2/3 (dvs. andelen av strängens längd) med varandra att göra? Låt oss först formulera några förutsättningar: 43

44 KAPITEL 6. OM ÖVERTONER OCH DEN RENA SKALAN Strängen är fixerad i bägge ändar. Strängens längd är L. Strängen placeras längs x-axeln mellan x = 0 och x = L. Strängen är homogen, dvs. har konstant densitet, dvs. har konstant vikt per meter sträng. 6.2 Överkurs: Den endimensionella vågekvationen Vi antar att u(x,t) betecknar avståndet från jämviktsläget vid tiden t hos en punkt på strängen med koordinaten x. x u(x,t) L x Figur 6.2: Funktionen u(x, t). Det visar sig att strängens vibrationer uppfyller den en-dimensionella vågekvationen 2 u t 2 = c2 2 u x 2, τ där c = är en hastighet som beror av hur hårt strängen spänns (τ) respektive strängens densitet ρ (ρ). Ur lösningarna till vågekvationen kan man härleda ett samband mellan strängens frekvens (tonhöjd) ν, hur hårt strängen är spänd (τ), strängens längd (L) samt strängens densitet (ρ): ν = 1 τ. (6.1) 2L ρ

6.3. SLUTSATSER 45 6.3 Slutsatser Vi kan förändra strängens tonhöjd på tre sätt: Åtgärd Fysikalisk Resulterar i motsvarighet Spänn strängen τ frekvens Tjockare sträng ρ frekvens Förkorta stränglängden L frekvens Antag att vi enbart förändrar strängens längd. Då kan sambandet (6.1) skrivas: ν = konstant 1 L. Med andra ord är frekvensen omvänt proportionell mot strängens längd. Det innebär exempelvis följande: Om stränglängden halveras (L/2) måste frekvensen fördubblas. Om stränglängden är 2L/3 måste frekvensen öka med faktorn 3/2. 6.4 Klangfärg När en trumpetare frambringar en ton på sitt instrument, hör vi inte bara tonen, utan ett helt komplex av toner, sammansatt av grundtonen och ett antal s.k.övertoner. Detta antal, tillsammans med deras sammansättning och inbördes styrkefördelning definieras instrumentets klangfärg. Det är detta komplexa övertonsmönster som gör att vi direkt kan avgöra om det är exempelvis en klarinett eller en trumpet som alstrar tonen. Mer allmänt: Då en ton alstras, är det någonting som vibrerar periodiskt, t.ex. röret i en klarinett. Dessa vibrationer sker simultant i flera tillstånd. Dessa svängningstillstånd genererar en sekvens av deltoner, den s.k. naturtonserien (alternativt deltonsserien eller den harmoniska serien). Om vi antar att grundtonen (första deltonen) har frekvensen f 0, så gäller att den m-te deltonens frekvens är f m = m f 0, m = 1,2,... I ett notsystem kan vi nu avbilda början av deltonsserien. I tabellform sammanfattar vi de tio första deltonerna:

46 KAPITEL 6. OM ÖVERTONER OCH DEN RENA SKALAN Figur 6.3: Början av deltonsserien. Del- Namn Frekv. Intervall Frekvensförh. ton rel. närm. föreg. till närmast föreg. 1 C f 0 prim 1:1 2 c 2f 0 oktav 2:1 3 g 3f 0 kvint 3:2 4 c 1 4f 0 kvart 4:3 5 e 1 5f 0 stor ters 5:4 6 g 1 6f 0 liten ters 6:5 7 b 1 7f 0 liten ters 7:6 8 c 2 8f 0 stor sekund 8:7 9 d 2 9f 0 stor sekund 9:8 10 e 2 10f 0 stor sekund 10:9 Anmärkning. Mellan två på varandra följande toner i deltonsserien råder frekvensförhållandet m+1 m, m 1. Sådana frekvensförhållanden kallas epimora eller superparticularis. 6.5 Den rena skalan konstruktionsprinciper Som vi tidigare nämnt, fungerar den pythagoreiska skalan bra, när det gäller musik som behandlar kvinter som konsonanta klanger och terser som dissonanta, dvs. musik skriven före 1500-talet. Men när durtersen befordrades till ett konsonant intervall, blev den pythagoreiska durtersen 81 ett problem. Den är 64 för vid i klangen. Tiden var inne för en kursändring, där deltonsserien var nyckeln. Som vi tidigare har nämnt, konstrueras den pythagoreiska skalan med hjälp av kvintprogression med- eller moturs i kvintcirceln. Vi använder oss alltså av

6.5. DEN RENA SKALAN KONSTRUKTIONSPRINCIPER 47 intervallen mellan de tre lägsta deltonerna. Med hjälp av ytterligare toner i deltonsserien kan man konstruera ännu en skala, den s.k. rena skalan. Denna skala har anor bl.a. från den grekiske matematikern Archytas från Tarentum (ca 428 f. Kr. - ca 350 f. Kr.). Archytas stod teorimässigt i nära relation till Pythagoras, eftersom Archytas lärare var en av pythagoréerna. Om vi betraktar deltonerna 4, 5 och 6 i vår deltonsserie, utgör dessa en ren durtreklang. Definition. Den rena stora tersen har frekvensförhållandet 5 4. Den rena lilla tersen har frekvensförhållandet 6 5. Den rena stämningen byggs med den rena durtreklangen som verktyg. C-E-G Förhållanden C-E: 5/4, E-G: 6/5, C-G: 3/2 F-A-C Förhållanden F-A: 5/4, A-C: 6/5, F-C: 3/2 G-B-D Förhållanden G-B: 5/4, B-D: 6/5, G-D: 3/2 Vi väljer c 1 som utgångspunkt och använder tonika- subdominant- och dominantackorden enligt följande tankegång: Start: c 1, antagen frekvens ν Stora tersen e 1, frekvens 5 4 ν Kvinten g 1, frekvens 3 2 ν Kvarten f 1, frekvens 4 3 ν Stora tersen a 1, frekvens 4 3 5 4 ν = 5 3 ν Kvinten c 2 = 2ν Stora tersen b 1, frekvens 3 2 5 4 ν = 15 8 ν Kvinten d 2, frekvens ( 3 2 )2 1 2 ν = 9 8 ν (nedtransponerad)

48 KAPITEL 6. OM ÖVERTONER OCH DEN RENA SKALAN 6.6 Alternativ metod Viväljersom tidigarec 1 somreferenston, ochbestämmerfrekvenserna förtersen och kvinten i durtreklangen. Därefter gör vi oktavtransponeringar, så att tonerna hamnar i den ettstrukna oktaven. Start: c 1, antagen frekvens ν Stora tersen e 1, frekvens 5 4 ν Kvinten g 1, frekvens 3 2 ν Stora tersen b 1 (h 1 ), frekvens 5 4 3 2 ν = 15 8 ν Kvinten d 2, frekvens ( 3 2 )2 ν = 9 ν, nedtransponerad till ettstrukna okta- 4 ven med frekvens 9 8 ν Nedåtkvinten f, frekvens 2 ν, upptransponerad till ettstrukna oktaven 3 med frekvens 4 3 ν Tonen a, nedåtkvinten relativt e 1, har frekvensen 5 ν, upptransponerad 6 till ettstrukna oktaven med frekvens 5 3 ν Vi har därmed, med de sex första deltonerna som verktyg, konstruerat den diatoniska rena skalan.

6.6. ALTERNATIV METOD 49 Skal- Frekv. Frekv.förh. Frekv.förh. Pyth. ton rel. grundton rel. föreg. ton rel. grundton C ν 1 1 1 D E F G A B(H) 9 8 ν 9 8 5 4 ν 5 4 4 3 ν 4 3 3 2 ν 3 2 5 3 ν 5 3 15 8 ν 15 8 C 2ν 2 9 8 10 9 16 15 9 8 10 9 9 8 16 15 9 8 81 64 4 3 3 2 27 16 243 128 2 Anmärkning. Den rena skalan uppvisar en del likheter med den pythagoreiska: Kvinter, kvarter och oktaver är likadana. Å andra sidan finns det skiljelinjer: Den rena skalan har två olika heltonssteg: Det pythagoreiska 9:8 (stora heltonssteget) samt 10:9 (lilla heltonssteget). Denna egenskap gör transponering till en omöjlig uppgift. En konsekvens är, att på ett instrument med fast tonhöjd (t.ex. piano) är den rena skalan omöjlig. Antalet användbara tonarter skulle då bli alltför litet. I den rena skalan återfinner vi tre rena durtreklanger (CEG, FAC och GBD(GHD)), med frekvensförhållandet 4:5:6. Två molltreklanger (EGB(EGH) och ACE) är också rena med frekvensförhållandet 10:12:15. Läsaren ombeds att som övning kontrollera detta.

50 KAPITEL 6. OM ÖVERTONER OCH DEN RENA SKALAN Anmärkning. Om man, frånc 1, antagen frekvens ν, genererar 4 rena kvintsprång uppåt, får man tonen e 3 med frekvensen ( 3 2 )4 ν = 81 16 ν. Om vi alternativt går två oktaver plus en ren durters uppåt från vårt c 1, hamnar vi också på e 3, nu med frekvensen 4 5 4 ν = 20 4 ν = 5ν. Emellertid råkar 81 ν 5ν. Förhållandet mellan dessa två tonhöjder 16 är 81/16 = 81 5 80 1,013... och brukar kallas det syntoniska kommat alternativt det didymiska kommat. Detta restintervall får sin betydelse i konstruktionen av det s.k. medeltonsystemet, vilket vi senare skall analysera. 6.7 Expansion av den rena skalan Nu skall vi utöka den rena skalan till en kromatisk skala. Till vår hjälp har vi tre intervall, konstruerade från vår diatoniska skala. Den lilla tersen har frekvensförhållandet 3 2 4 5 = 6 5 Den lilla sexten har frekvensförhållandet 6 5 4 3 = 8 5,, Den lilla septiman har frekvensförhållandet 6 5 3 2 = 9 5. Den rena lilla sekunden har vi redan bestämt, nämligen 16, förhållandet mellan den rena kvarten och den rena tersen. Återstår att bestämma den förminskade 15 kvinten, som har frekvensförhållandet 3 2 15 16 = 45 32 Låt oss därmed redovisa den kromatiska rena skalan i tabellform..

6.7. EXPANSION AV DEN RENA SKALAN 51 Skal- Intervall Frekv.förh. Frekv.förh. ton rel. grundton rel. föreg. ton C Prim 1 D D E E F G G A A Liten sekund Stor sekund Liten ters Stor ters Kvart Förminskad kvint Kvint Liten sext Stor sext B (B) Liten septima B(H) Stor septima C Oktav 2 16 15 9 8 6 5 5 4 4 3 45 32 3 2 8 5 5 3 9 5 15 8 16 15 135 128 16 15 25 24 16 15 135 128 16 15 16 15 25 24 27 25 25 24 16 15

52 KAPITEL 6. OM ÖVERTONER OCH DEN RENA SKALAN Anmärkning. I föregående tabell upptäcker vi den pythagoreiska heltonen, 9 / 8, i stället för det lilla heltonsteget, 10 / 9. Analogt finner vi den renstämda lilla septiman 9 / 5, i stället för den pythagoreiska lilla septiman 16 / 9. Bägge dessa varianter (för helton respektive liten septima) är ju möjliga i den rena skalan. Men ju mindre heltal i täljare/nämnare, desto mer konsonant klang. Detta konsonanskriterium postulerades av astronomen Klaudios Ptolemaios från Alexandria (ca 85-165 e.kr.), vilken med utgångspunkt från den pythagoreiska skalan konstruerade en skala, baserad på små naturliga tal. Av samma skäl klingar den rena durtersen 5 mer konsonant än 4 motsvarande pythagoreiska durters (vars täljare och nämnare består av större heltal: 81.) 64 Anmärkning. Den rena skalan medger inte enharmonisk förväxling. Den förminskade kvinten överensstämmer exempelvis inte med den överstigande kvarten, vars frekvensförhållande är 4 3 16 15 = 64 45 Detta har sin grund i det faktum, att:. Heltonssteget är inte entydigt. Kromatiska halvtonssteget är inte entydigt. Anmärkning. De rena skalan används ofta instinktivt av stråkmusiker och a capella-sångare, där tonbildningen kännetecknas av en frihet, som saknas vid trakterandet av olika tangentinstrument. Orsaken är följande: Eftersom enharmoniska toner ej är sammanfallande, använder man inte ren stämning på instrument med fix tonhöjd. Exempel 6.7.1. Visa att om alla stora sexter, kvarter och kvinter är renstämda i följande progression, så kommer tonhöjden på det avslutande g 1 att höjas med

6.7. EXPANSION AV DEN RENA SKALAN 53 exakt ett syntoniskt komma relativt det inledande g 1, antagen frekvens ν. Figur 6.4: Tonhöjden förändras. Lösning d 1 har frekvens 3 4 ν. Tonen a1 har frekvens 3 2 3 4 ν = 9 8 ν. c1 har frekvens 3 5 9 8 ν = 27 40 ν. Avslutande tonen g1 har frekvens 3 2 27 40 ν = 81 80 ν. Frekvensförhållande mellan det avslutande och inledande g 1 : 81. 80 Anmärkning. Stråkmusiker/sångare kan roa sig med följande experiment : Spela/sjung ovanstående progression utan ackompanjemang. Använd inget vibrato. Intonera själv nedåtkvarten från stämtonen g 1. Jämför slutton med stämton. Unison klang?

54 KAPITEL 6. OM ÖVERTONER OCH DEN RENA SKALAN 6.8 Övningsuppgifter Övning 6.8.1. Antag att 1. a 1 är den femte deltonen 2. b 2 är den sjätte deltonen i en harmonisk serie. Bestäm respektive grundton. Övning 6.8.2. 1. Undersök frekvensförhållandet på molltreklangen DF A. Slutsatser? 2. Undersök frekvensförhållandet på de små septimorna DC resp. ED. Slutsatser? 3. Undersök frekvensförhållandet på de stora septimorna CB(CH) resp. CC. Slutsatser? Övning 6.8.3. 1. Undersök kvinterna B F resp. D A. Jämför frekvensförhållandet med den rena kvinten. Kommentarer? Undersök även den förminskade sexten F D och gör analoga jämförelser med ren kvint. 2. UndersökstoratersernaA C,B D oche G.Jämförfrekvensförhållandet med den rena stora tersen. Kommentarer? 3. Finns det små terser med olika storlek? Jämför i så fall dessa mot den rena lilla tersen. 4. Den överstigande kvinten c 1 g 1 kan konstrueras med stora terssprång. Vilket intervall förhållande relativt c 1 har den överstigande kvinten? 5. Den lilla sexten c 1 a 1 kan konstrueras utgående från oktaven c 2. Hur?

Kapitel 7 Liksvävig temperatur 7.1 Mersennes förslag Den rena skalan hade en stor nackdel: Spel i flera tonarter med klaverinstrument (och andra instrument med fixa tonhöjder) var en omöjlighet, med en skala som hade två heltonsteg och inte alltid rena treklanger. Beträffande den pythagoreiska skalan fanns förutom transponeringsproblemet dessutom problemet med det pythagoreiska kommat. Något måste göras för att på ett enkelt sätt kunna transponera från en tonart till en annan. På 1630-talet framförde den franske jesuiten och matematikern Marin Mersenne (1588-1648) tanken att indela oktaven i 12 exakt lika stora halvtonsteg, samtidigt som oktaverna förblir rena. Oktaven byggs alltså upp av 12 halvtonsteg, alla lika stora, oavsett kromatiskt eller diatoniskt halvtonsteg. Antag att ett halvtonsteg betecknas x. Med utgångspunkt från c 1, med frekvensen ν, innebär denna tankegång att ett oktavsprång till c 2 motsvaras av ekvationen ν x 12 = 2ν, varav halvtonsteget x = 12 2 = 2 1 12, med närmevärdet x 1,0594... Definition. Den liksvävande/liksväviga temperaturen/tempereringen har halvtonsteget 12 2. Våra tidigare skalkonstruktioner (den pythagoreiska respektive den rena skalan) kommer nu till pass. Låt oss göra jämförelser mellan dessa båda tidigare skalor och den liksväviga temperaturen. 55

56 KAPITEL 7. LIKSVÄVIG TEMPERATUR Frekv.förh. Frekv.förh. Frekv.förh. Interv. Ren skala Liksväv. temp. Pyth. skala 1:1 1:1 1:1 Prim 1:16/15 1:2 1/12 1:256/243 Liten sekund 1:9/8 1:2 2/12 1:9/8 Stor sekund 1:6/5 1:2 3/12 1:32/27 Liten ters 1:5/4 1:2 4/12 1:81/64 Stor ters 1:4/3 1:2 5/12 1:4/3 Kvart 1:45/32 1:2 6/12 1:729/512 Överstigande kvart 1:3/2 1:2 7/12 1:3/2 Kvint 1:8/5 1:2 8/12 1:128/81 Liten sext 1:5/3 1:2 9/12 1:27/16 Stor sext 1:9/5 1:2 10/12 1:16/9 Liten septima 1:15/8 1:2 11/12 1:243/128 Stor septima 1:2 1:2 1:2 Oktav 7.2 Enheten cent I det vardagliga livet behöver vi ett mer lätthanterligt verktyg för att snabbt bestämma diverse frekvensförhållanden. Till vår hjälp har vi det logaritmiska intervallmåttet cent, definierad på 1880-talet av engelsmannen Alexander John Ellis (1814-1890). Ellis antog att frekvensförhållandet r beror exponentiellt av centtalet c: r = r(c) = α 10 β c, där α och β är två reella konstanter. Ellis föreskrev att 1. För r = 2 (oktavsprång) gäller c = 1200, 2. För r = 2 1/12 (halvton) gäller c = 100.

7.2. ENHETEN CENT 57 Vi får, med insatta värden, ekvationssystemet 2 = α 10 β 1200 2 1/12 = α 10 β 100 Efter division får vi 2 11/12 = 10 β 1100. Logaritmering ger varavβ = lg2 1200 Vi får slutligen eller, vanligast uttryckt som Vi sammanfattar detta: 11 lg2 = β 1100, 12. Detärsedan enkelt attvisa(gör det som övning), attα = 1. r = 10 lg2 1200 c = ( 1200 2) c, c = 1200 lg2 lgr. Definition. En cent är en logaritmisk enhet, och definieras som 1 procent av 10-logaritmen av ett halvtonsteg i den liksvävande temperaturen. För frekvensförhållandet r > 0, gäller att centtalet c definieras som c = 1200 lg2 lgr. Exempel 7.2.1. För den rena/pythagoreiska kvarten gäller att r = 4 3 många cent motsvarar detta intervall?. Hur Lösning Med r = 4 3 får vi: c = 1200 lg2 lg(4 3 ), varav c 498 cent.

58 KAPITEL 7. LIKSVÄVIG TEMPERATUR Eftersom centtalet är ett logaritmiskt mått på frekvensförhållandet, innebär detta att tonsprång i den liksväviga temperaturen kan beräknas mycket enkelt. Vi exemplifierar: Stor sekund Centtalet för ett heltonssteg är summan av centtalet för två halvtonssteg: 100+100=200 cent. Liten ters Centtalet är summan av centtalen för liten sekund och stor sekund: 100+200=300 cent. Stor sext Centtalet är differensen mellan centtalet för oktav och liten ters: 1200-300=900 cent. Centtal Centtal Centtal Interv. Ren skala Liksväv. temp. Pyth. skala 112 100 90 (256/243) Liten sekund 182(10/9) 200 204 Stor sekund 204(9/8) 316 300 294(32/27) Liten ters 386 400 408 Stor ters 498 500 498 Kvart 610(64/45) 600 612(729/512) Överstigande kvart 590(45/32) 600 588(1024/729) Förminskad kvint 702 700 702 Kvint 814 800 792(128/81) Liten sext 884 900 906 Stor sext 996(16/9) 1000 996(16/9) Liten septima 1018(9/5) Liten septima 1088 1100 1110 Stor septima 1200 1200 1200 Oktav

7.3. CODA: PLUS OCH MINUS MED LIKSVÄVIG TEMPERATUR 59 Anmärkning. Differensen mellan de två pythagoreiska tritonusvärdena (2 decimaler) : 611,73 588,27 = 23,46, är inget annat än det pythagoreiska kommat! Man har via experiment visat, att det minsta intervall det mänskliga örat kan uppfatta uppgår till 14 cent. Exempelvis för a 1 = 440 Hz, skulle man uppfatta en ton, vars frekvens ligger 3,5 Hz högre än a 1, vilket onekligen är imponerande. Vi sammanställer så våra data i form av ett notplan. I nedanstående figur är P=Pythagoreisk, R=Ren, LT=Liksvävig temperatur. Figur 7.1: Jämförelse mellan de tre skalorna. Skillnaderna mellan de tre skalorna är inte så stora förutsatt att vi befinner oss i skalor med inga eller få förtecken. 7.3 Coda: Plus och minus med liksvävig temperatur En klar fördel med liksvävig temperatur är att man kan spela i alla 24 tonarter utan problem man behöver inte frukta några vargkvinter eller andra särdeles dissonanta intervall. Man kan spela godtyckligt musikstycke från godtycklig epok och ändå få en hyfsat acceptabel klang. En annan fördel med liksvävig temperatur är att den är byggd på lätthanterliga exponentiella samband: Det pythagoreiska kommat är ju jämnt fördelat över alla 12 kvinterna och innebär att alla heltonssteg är 200 cent och alla halvtonssteg är 100 cent. Med andra ord: Kalkylerna förenklas med liksvävig temperatur. Nåväl, finns det några nackdelar med liksvävig temperatur? Med denna regelbundna temperering tvingas man göra ett offer på klangens altare. Liksvävig temperatur innebär en total avsaknad av emotionell karaktär på tonarterna: Alla tonarter klingar likartat - jämngrått för att vara litet drastisk.

60 KAPITEL 7. LIKSVÄVIG TEMPERATUR En del vänner av den rena skalan menar att liksvävig temperatur känns som att gå från färg till svart-vitt. En annan baksida är att endast ett intervall klingar rent, nämligen oktaven. Övriga intervall är idel kompromisser: En temperering, oavsett teknik, innebär alltid ett givande och ett tagande. När det gäller den liksväviga temperaturen blir framförallt terser och sexter dissonanta jämfört med ren stämning. Vi exemplifierar med några axplock ur vår tidigare tabell. Den liksväviga lilla tersen ligger 16 cent för lågt, medan den liksväviga stora tersen ligger 14 cent för högt, jämfört med motsvarande renstämda intervall. Den liksväviga lilla sexten ligger 14 cent för lågt, och den liksväviga stora sexten är 16 cent högre än motsvarande renstämda intervall. Avslutningsvis en intressant notering: den liksväviga stora septiman ligger 12 cent (drygt ett halvt syntoniskt komma) för högt relativt den renstämda majsjuan. Eftersom den stora septiman är en inledningston till grundtonen, innebär en hög stor septima att övergången från dominant till tonika tenderar att bli mindre accentuerad i liksvävig temperatur. Litet provokativt skulle man alltså kunna påstå, att inga riktigt rena intervall finns, men å andra sidan inga riktigt falska heller.

7.4. ÖVNINGSUPPGIFTER 61 7.4 Övningsuppgifter Övning 7.4.1. Beräkna cent-talet för 1. en ren kvint, 2. det syntoniska kommat, 3. det pythagoreiska kommat. Övning 7.4.2. Ett alternativ till cent-systemet är det s.k. savart-systemet (efter den franske 1800-talsfysikern Félix Savart). I savart-systemet, (som i likhet med cent-systemet är logaritmiskt), motsvaras frekvensförhållandet 10:1 av 1000 savart. Som bekant motsvaras frekvensförhållandet 2:1 (oktav) av 1200 cent. 1. Hur många savart är en oktav (frekvensförhållandet 2:1)? Avrunda till heltal (inga decimaler). 2. Hur många cent är en savart? Svaret anges med två decimaler. 3. Hur många savart är ett pythagoreiskt komma? Svaret anges med två decimaler.

62 KAPITEL 7. LIKSVÄVIG TEMPERATUR

Kapitel 8 Om medelvärden 8.1 Geometriska betraktelser Pythagoréerna var väl förtrogna med olika typer av medelvärden. Vi skall titta litet närmare på tre av dem: det aritmetiska, det geometriska och slutligen det harmoniska medelvärdet. Definition. Låt a och b vara två tal. Det aritmetiska medelvärdet av a och b, A, definieras som A = a+b 2 Det geometriska medelvärdet av a och b, G, definieras som (8.1) G = a b (8.2) Det harmoniska medelvärdet av a och b, H, definieras som 1 H = 1 a + 1 b 2, dvs. H = 2ab a+b. (8.3) 63

64 KAPITEL 8. OM MEDELVÄRDEN Anmärkning. Vi konstaterar att 1/H är det aritmetiska medelvärdet av 1/a och 1/b. Det gäller också att H = G2 A. 8.2 Geometrisk tolkning av de tre medelvärdena I parallelltrapetset KLNM i Figur 8.1, med de parallella sidorna a = NM och b = PQ, så gäller att det aritmetiska medelvärdet A av a och b är längden av det segment PQ, parallellt med a och b, där P resp. Q är mittpunkter på KN resp. LM. M a N P h/2 h/2 A Q K b L Figur 8.1: Aritmetiskt medelvärde. Vi konstaterar att arean av trapetset KLN M kan skrivas h a+b 2 = h 4 (a+b+2a), där vi alltså uppdelar arean i två mindre trapetsareor. Ekvation (8.1) följer omedelbart. Läsaren bör som övning verifiera detta. I Figur 8.2 är det geometriska medelvärdet G av a och b markerat. Vi får med

8.2. GEOMETRISK TOLKNING AV DE TRE MEDELVÄRDENA 65 Pythagoras sats: (a+b) 2 = d 2 +e 2 a 2 +G 2 = d 2 b 2 +G 2 = e 2 varav ekvation (8.2) följer direkt. Läsaren bör som övning verifiera detta. d G e a b Figur 8.2: Geometriskt medelvärde. I Figur 8.3 har vi markerat det harmoniska medelvärdet H av a och b. På grund av likformighet gäller att b H = a+b 2 a Vi löser ut H: H = 2ab a+b, och ekvation (8.3) följer av detta konstaterande. Läsaren bör som övning verifiera detta. Anmärkning. Man kan visa att följande olikhet gäller (se Figur 8.4): H < G < A.

66 KAPITEL 8. OM MEDELVÄRDEN a H a O (a+b)/2 b Figur 8.3: Harmoniskt medelvärde. Figur 8.4: De tre medelvärdena H, G och A. 8.3 Musikaliska tillämpningar I pythagoreisk mening fanns det enbart tre konsonanta (samklingande) intervall: kvarter, kvinter och oktaver. 1 Kvarter och kvinter spelar en viktig roll i följande resonemang: Låt oss undersöka sönderdelningen av en oktav i två intervall. Vi startar med primens och oktavens frekvensförhållanden, 1 respektive 2. Vi bestämmer först det aritmetiska medelvärdet, A, mellan 1 och 2: A = 1+2 2 = 3 2 1 Exempelvis tillhörde små/stora terser och små/stora sexter skaran av dissonanta intervall. Detta var den förhärskande uppfattningen fram till 1400-talet..

8.3. MUSIKALISKA TILLÄMPNINGAR 67 Det geometriska medelvärdet, G, mellan 1 och 2 uppfyller 2 G = G 1 Därefter bildar vi det harmoniska medelvärdet, H, mellan 1 och 2:. H = G2 A }{{} = 4 3 G 2 =2. Detta resonemang visar att oktaven delas i en kvint och en kvart av medelvärdena A och H. Vad är då att säga om det geometriska medelvärdet till prim och oktav? Betrakta G = 1 2 = 2 1 2. I den liksvävandetemperaturen har den överstigande kvarten, tritonus, frekvensförhållandet 2 6 12 = 2 1 2. Uppenbarligen kan vi tolka liksvävig tritonus som det geometriska medelvärdet till prim och oktav. Sammanfattning 8.3.1. Kvarten är harmoniskt medelvärde till prim och oktav. Tritonus är geometriskt medelvärde till prim och oktav. Kvinten är aritmetiskt medelvärde till prim och oktav. Vi konstaterar: H < G < A, precis som förväntat. Vår gamle bekanting Archytas (428-347 f.kr.) och långt senare den italienske musikteoretikern Gioseffe Zarlino(1517 1590), hade observerat sambandet mellan intervalldelningar och aritmetiskt/harmoniskt medelvärde. Zarlino och många andra musikteoretiker deltog i arbetet med att revidera den pythagoeriska uppfattningen om vad som kunde betecknas som konsonanta intervall. Renässansmusikens polyfoni framtvingade en ny tolkning av i synnerhet tersens betydelse som ett konsonant intervall. Många tonsättare använde terser och sexter utan krav på upplösning i konsonanta harmonier. Man försökte att dela de konsonanta intervallen ytterligare, och hade observerat att den rena primen, lilla tersen, stora tersen, kvarten och kvinten stod i följande frekvensförhållande: 1 1 : 6 5 : 5 4 : 4 3 : 3, 2 eller, med heltal, 60 : 72 : 75 : 80 : 90. Zarlino beskriver i en artikel från 1550-talet en sönderdelning av kvinten med hjälp av medelvärdesberäkning:

68 KAPITEL 8. OM MEDELVÄRDEN Sats 8.3.2 (Zarlinos resultat). Kvintens sönderdelning I Den stora tersen är aritmetiskt medelvärde till prim och kvint. Kvintens sönderdelning II Den lilla tersen är harmoniskt medelvärde till prim och kvint. 8.4 Övningsuppgifter Övning 8.4.1. 1. När Åsa körde till M-ön från N-byn så höll hon en medelhastighet av 40 km/h under halva körsträckan och 60 km/h under den återstående halvan av körsträckan. Vilken medelhastighet hade hon på hela sträckan? Utnyttja följande: Sträckan (s) är lika med hastigheten (v) gånger tiden (t) dvs s = v t. 2. NärÅsakördetillM-önfrånN-byn videttannattillfälle,såhöllhon enmedelhastighet av 40 km/h under halva körtiden och 60 km/h under den återstående halvan av körtiden. Vilken medelhastighet hade hon på hela sträckan? 3. Vilka medelvärden är det fråga om i 1. respektive 2.? Övning 8.4.2. I anmärkningen i avsnitt 8.1 påstås, att Visa att detta påstående är sant. H = G2 A. Övning 8.4.3. Visa att Zarlinos resultat i Sats 8.3.2 stämmer. Övning 8.4.4. Intervallet ren stor sext skall delas med hjälp av följande tankegång: 1. Bestäm frekvensförhållandet mellan stora sexten c 1 (frekvens ν) och a 1. 2. Beräkna det aritmetiska medelvärdet mellan prim och stor sext. 3. Beräkna det harmoniska medelvärdet mellan prim och stor sext. 4. Vilka heltalsproportioner råder mellan dessa fyra intervall?

Kapitel 9 Medeltonstemperatur 9.1 Regelbundna tempereringar När vi hör orgelmusik från senrenässans och tidig barock spelas på den rekonstruerade 1600-talsorgeln i Norrfjärdens kyrka, Luleå stift, klingar denna gamla musik synnerligen vackert. Vad är det som åstadkommer denna sköna klang? En anledning är, att många terser klingar kliniskt rent. Instrumentet är stämt i s.k. medeltonstemperatur, ett stämningssystem som brukades under 1500- och 1600-talen. Det tidigaste dokumentet om medelton skrevs på 1520-talet av den italienske kantorn och musikteoretikern Pietro Aron (ca 1490 - ca 1550), där Aron beskriver den bakomliggande principen: En önskan att bevara de renstämda durterserna på bekostnad av de renstämda kvinterna, vilket möjliggjorde för tangentinstrument att spela i fem-sex närbelägna tonarter. Medeltonstemperatur ingår i en familj som benämns regelbundna tempereringar. Regelbundna tempereringar karakteriseras av att samtliga kvinter utom en tempereras (ändras) med samma faktor. 9.2 Principer Vi ägnar oss åt en smula cent-exercis. Vi vet sedan tidigare att fyra kvintsprång ger, nedtransponerat, den orena tersen 81, som, med sina 408 cent, är undefär fem procent större än den rena tersen 5/4=386 cent. Skillnaden mellan 64 pythagoreisk ters och ren ters kallas (som vi vet) det syntoniska kommat, 81 80. Medeltonstemperering går ut på att jämnt fördela det syntoniska kommat 22 cent, över ett antal kvinter. Man gör kvinterna något trängre. Den vanligaste 69

70 KAPITEL 9. MEDELTONSTEMPERATUR metoden är att använda 4 kvinter, vilket innebär 1/4 syntontiskt komma per kvint. Detta innebär att, dessa något förminskade kvinter, medeltonskvinter, med centtalet 702 22 4 = 696,5 skulle efter 4 kvintsprång få centtalet 2786, och med 2 oktavers nedtransponering hamna på 386. Detta värde känner vi igen som den rena tersens (5/4) centtal. Nu tempererar vi varje kvint med 1/4 syntontiskt komma dock med ett undantag: Den förminskade sexten G E. Vad har en medeltonskvint för frekvensförhållande? Vi räknar en smula och konstaterar först: Centtalet för det syntoniska kommat, c s, är ( ) 3 4 1200 lg 2 c s = 4 5 lg2 Det betyder att 1/4 syntoniskt komma, som vi betecknar c m, kan (efter litet räknande) skrivas: ( ) 3 c m = c 1200 4 lg s 4 = 2 5 1/4 4 lg2 Den rena kvinten skall nu tempereras med c m. Vi vet ju, att fyra medeltonskvinter skall ha exakta värdet 5, som efter nedtransponering två oktaver hamnar på tersens förhållande, 5/4. Låt oss omvandla c m till frekvensförhållande (beteckning r m ). Eftersom det allmänt gäller att r m = 2 cm/1200, får vi att c m motsvarar ( lg r m = 2 ) 3 2 5 1/4 lg2 = 3 2 5 1/4. Nu tempererar vi den rena kvinten. Vi får slutligen 3/2 3 2 5 1/4 = 4 5 1,495, den s.k. medeltonskvinten. En kontroll visar att 4 5 motsvarar ca 696,5 cent, som sig bör.

9.3. DEN DIATONISKA MEDELTONSSKALAN 71 9.3 Den diatoniska medeltonsskalan Nu kan vi generera skaltonerna, relativt tonen c 1. Oktaverna är som tidigare rena. Vi anger frekvensförhållandet relativt c 1. 1. Start: Kvinten g 1, 4 5. 2. Kvinten d 2, 5, nedtransponerad till 5 d 1, 2 3. Kvinten a 2, 4 5 3, nedtransponerad till a 1, 53/4 2 4. e 3 har självfallet frekvensförhållandet 5, nedtransponerad till e 1, 5 4. 5. Kvinten b 3, 4 5 5, nedtransponerad till h 1, 55/4 4 Anmärkning. Den diatoniska medeltontempererade halvtonen har frekvensförhållandet 8 5 5/4. Den diatoniska medeltontempererade heltonen har frekvensförhållandet 5. 2 Den utgör det geometriska medelvärdet av 9/8 och 10/9, den rena skalans bägge heltonsteg. Begreppet medelton kommer sig av, att 5 den medeltontempererade heltonen ligger som mittpunkt på den 2 stora tersen 5/4. Återstår kvartsprånget c 1 f 1. Vi bestämmer det till 5 4 8 5 5/4 = 2 5 1/4.

72 KAPITEL 9. MEDELTONSTEMPERATUR Därmed är vi klara och kan nu i tabellform se resultatet. Frekv.förh. Centtal Interv. Medeltonstemp. Medeltonstemp. 1:1 0 Prim 1: 51/2 2 193 Stor sekund 1:5/4 386 Stor ters 1: 2 5 1/4 503 Kvart 1:5 1/4 697 Kvint 1: 53/4 2 890 Stor sext 1: 55/4 4 1083 Stor septima 1:2 1200 Oktav

9.4. DEN KROMATISKA MEDELTONSTEMPERATUREN 73 9.4 Den kromatiska medeltonstemperaturen Vi bygger vidare på vår medeltonstemperering och låter medeltonskvinten 4 5, med lämpliga upp- och nedtransponeringar generera de återstående intervallen. Vi får Skalton Frekv.förh. Centtal Interv. C 1:1 0 Prim C 1: 57/4 16 76 Överstigande prim D 1: 51/2 2 193 Stor sekund E 1: 4 5 3/4 310 Liten ters E 1:5/4 386 Stor ters F 1: 2 5 1/4 503 Kvart F 1: 53/2 8 579 Överstigande kvart G 1:5 1/4 697 Kvint G 1: 25 16 773 Överstigande kvint A 1: 53/4 2 890 Stor sext B 1: 4 5 1007 Liten septima B 1: 55/4 4 1083 Stor septima C 1:2 1200 Oktav

74 KAPITEL 9. MEDELTONSTEMPERATUR 9.5 Vilka terser är rena? Vi räknar en stund och kommer så småningom fram till följande: Ters Differens(cent) C E 386-0=386 C F 503-76=427 D F 579-193=386 E G 697-310=387 E G 773-386=387 F A 890-503=387 F B 1007-579=428 G B 1083-697= 386 G C 1200-773=427 A C 1276-890=386 B D 1393-1007=386 B E 1510-1083=427 Åtta av de tolv terserna klingar rent. Vi ser att fyra terser har ett centtal, som överstiger den rena tersen med 11 procent. Dessa terser har en mycket dissonant klang och är värdelösa. Vi har åskådliggjort detta i Figur 9.1, där räta linjer symboliserar rena terser, T tempererad kvint samt VK vargkvinten.

9.6. VILKA KVINTER ÄR ACCEPTABLA? 75 Figur 9.1: Medeltonstemperering. T: tempererad kvint, VK: vargkvint. 9.6 Vilka kvinter är acceptabla? Vi gör motsvarande tabell för de tänkbara kvinterna: Kvint Differens(cent) C G 697-0=697 C G 773-76=697 D A 890-193=697 E B 1007-310=697 E B 1083-386=697 F C 1200-503=697 F C 1276-579=697 G D 1393-697=696 G E 1510-773=737 A E 1586-890=696 B F 1703-1007=696 B F 1779-1083=696

76 KAPITEL 9. MEDELTONSTEMPERATUR Här är det endast en kvint, nämligen G E, som klingar extremt dissonant. Den är 6 procent större än medeltonskvinten och kallas för vargkvinten, eftersom intervallets klang har del gemensamt med en vargs ylande. Die Quinte heult, wie ein Wolf! På sidan http://de.wikipedia.org/wiki/wolfsquinte finns intressant information. 9.7 Coda: Intressant exempel Exempel 9.7.1. Liksvävig temperatur är ett specialfall av 1 x medelton med ett fel mindre än 1,3 10 3 cent. Bestäm x. syntoniskt komma Lösning Tolv kvinter: Sju oktaver: 2 7 = 128. Förhållandet: Samtliga kvinter sänks med ( 3 2 )12 = 531441 4096 531441 4096 128 = 531441 524288 23,46001 cent 23.46001 12 1,9550 cent Syntoniskt komma: Sök heltal x så att 81 21,50629 cent 80 Vi får: x 11,00066, dvs x = 11. 1/11 av ett syntoniskt komma: 21, 50629 11 23, 46001 = 21,50629 12 x x 23,46001 = 12 21,50629 1,9551 cent. Differens: 0,00128 cent.

9.8. ÖVNINGSUPPGIFTER 77 9.8 Övningsuppgifter Övning 9.8.1. Under barocken användes ofta 1/6 syntoniskt komma medelton. Försök att visa att 1/6 syntoniskt komma motsvaras av bråket ( 3 2 )2/3 6 5. Hur tempereras kvinterna? Bestäm dessa kvinters centtal. Proceduren är att temperera alla kvinter, genom att från C gå 7 steg medurs i kvintcirkeln, gå 4 steg moturs i kvintcirkeln. placera vargkvinten vid A C. 1. Vad är centtalet för de stora terserna med denna temperering? 2. Vad är centtalet för vargkvinten? 3. Hur många procent större är vargkvinten än den nyss bestämda tempererade kvinten? 4. Hur många procent större är vargkvinten än den rena kvinten?

78 KAPITEL 9. MEDELTONSTEMPERATUR

Kapitel 10 Vältempererade stämningar 10.1 Oregelbundna tempereringar I kapitel 13 har vi stiftat bekantskap med medeltonstempereringen. Den räknas till de regelbundna tempereringarna. Med utgångspunkt från det syntoniska kommat(sk), lät vi samtliga kvinter(utom vargkvinten) tempereras(förminskas) till medeltonskvinter med sina 697 cent. En regelbunden temperering kännetecknas således av att samtliga kvintsprång (vargkvinten undantagen) är tempererade med samma storlek. I det följande resonemanget talar vi ibland om närbelägna respektive avlägsna tonarter. Med detta språkbruk avses avståndet relativt C-dur i kvintcirkeln. En annan viktig grupp av tempereringar är de s.k. oregelbundna tempereringarna. De kännetecknas av att kvintsprången är olika stora (dvs. en del är tempererade, andra är rena). Inga vargkvinter förekommer. Alla tonarter är spelbara. Stämningar med dessa kännetecken kallas vältempererade. Hos en vältempererad stämning kan man dessutom skönja en progression vad gäller treklangernas kvalitet, från närbelägna till avlägsna tonarter. SK eller det pythagoreiska kommat (PK) används som korrektionsfaktor. Möjligen kan man skönja en viss förkärlek till PK-korrektion. Kommat fördelas oregelbundet över kvintcirkeln, så att tempereringen påverkar framför allt de närbelägna tonarterna. De avlägsna tonarterna blir på så sätt litet förstorade. Konsekvensen av detta blir att närbelägna tonarter klingar nästan medeltonstempererade, medan avlägsna tonarter klingar pythagoreiskt. Den tyske organisten och musikteoretikern Andreas Werckmeister (1645-1706) föreslog en mängd tempereringar. Den mest kända, Werckmeister III, använder sig av en fjärdedels PK för att temperera fyra kvinter, medan övriga kvinter är pythagoreiska. 79

80 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Anmärkning. Skillnaden mellan PK och SK är 531441 524288 80 81 = 32805 1,0011 1,9537 cent 32768 kallas schisma (grek. σχισµα). Werckmeister införde beteckningen grad som tolfte roten ur PK: 1 grad = ( ) 531441 1/12 1,9550 cent, 524288 eller alternativt skillnaden mellan den renstämda och den liksvävande kvinten. Detta intervall benämns också schisma. Med dessa inledande noteringar som bakgrund, fortsätter vi med en genomgång av Werckmeister III. 10.2 Werckmeister III - principer Som tidigare nämnts, förminskar Werckmeister III var och en av kvinterna C G, G D, D A, och B F, medan övriga kvinter är pythagoreiska (3/2=702 cent). Figur 10.1: Werckmeister III.

10.2. WERCKMEISTER III - PRINCIPER 81 Utgångspunkten är korrektionsfaktorn κ = ( )1 524288 4 0,9966 = 5,9 cent. 531441 Vi låter denna korrektionsfaktor verka på de vita tangenternas tonarter enligt: Start:Kvinteng 1 3 = 1,4949 = 696cent (nästanenmedeltonskvint!) 2 κ Kvinten d 2, nedtransponerad till Kvinten a 2, nedtransponerad till Kvinten e 3, nedtransponerad till Kvinten b 3, nedtransponerad till 1 2 (3 2 )2 κ 2 1,1174 = 192 cent. 1 2 (3 2 )3 κ 3 1,6704 = 888 cent. 1 4 (3 2 )4 κ 3 1,2528 = 390 cent. 1 4 (3 2 )5 κ 3 1,8792 = 1092 cent. Sedan följer de pythagoreiska kvinterna (nedtransponerade värden): Kvinten g 1, ( 2 3 )6 2 4 = 1024 729 1,4047 = 588 cent. Kvinten d 1, ( 2 3 )5 2 3 = 256 1,0535 = 90 cent. 243 Kvinten a 1, ( 2 3 )4 2 3 = 128 81 1,5802 = 792 cent. Kvinten e 1, ( 2 3 )3 2 2 = 32 1,1852 = 294 cent. 27

82 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Kvinten b 1, ( 2 3 )2 2 2 = 16 9 1,7778 = 996 cent. Kvinten f 1, 2 3 2 = 4 1.3333 = 498 cent. 3 Därmed kan vi redovisa resultatet i tabellform. Skalton Frekv.förh. Centtal Diff.(cent) Werckmeister III C 1:1 0 D 1:1,0535 90 90 D 1:1,1174 192 102 E 1:1,1852 294 102 E 1:1,2528 390 96 F 1:1,3333 498 108 G 1:1,4047 588 90 G 1:1,4949 696 108 A 1:1,5802 792 96 A 1:1,6704 888 96 B 1:1,7778 996 108 B 1:1,8792 1092 96 C 1:2 1200 108

10.3. ANALYS AV WERCKMEISTER III 83 10.3 Analys av Werckmeister III Betrakta kvinttabellen Kvint Diff.(cent) C-G 696-0=696 D -A 792-90=702 D-A 888-192=696 E -B 996-294=702 E-B 1092-390=702 F-C 1200-498=702 G -D 1209-588=702 G-D 1392-696=696 A -E 1494-888=702 A-E 1590-888=702 B -F 1698-996=702 B-F 1788-1092=696 Vi konstaterar att ingen av kvinterna är trängre än 696 cent eller vidare än 702 cent. Differensen är 6 cent eller 9 promille. Det är orsaken till att samtliga tonarter är användbara. Låt oss nu göra en jämförande analys av medeltonstemperering, pythagoreisk stämning och Werckmeister III (vi stuvar om skaltonerna enligt kvintcirkeln):

84 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Skalton Centtal Centtal Centtal Pyth. stämn. Medeltonstemp. Werckmeister III C 0 0 0 G 702 697 696 D 204 193 192 A 906 890 888 E 408 386 390 B 1110 1083 1092 F 612 579 588 D 90 76 90 A 792 773 792 E 294 310 294 B 996 1007 996 F 498 503 498 Vi konstaterar ur tabellen: För närliggande tonarter uppvisar Werckmeister III stora analogier med medelton. För avlägsna tonarter klingar Werckmeister III närapå pythagoreiskt. Anmärkning. På sidan http://www.milanaudio.com/hw2demos/ stgeorge/bach-pastorale-i-hw2.mp3 kan man lyssna på J.S.Bachs Pastorale, spelad på ett Werckmeister III-instrument (Chorton A=465).

10.4. JOHANN GEORG NEIDHARDT OCH HANS TEMPERERINGAR 85 10.4 Johann Georg Neidhardt och hans tempereringar En av barockens mer kända musikteoretiker var Johann Georg Neidhardt (ca 1680-1739). Neidhardt propagerade för en s.k. gleichschwebende Temperatur, dvs. en temperering med oinskränkta transponeringsmöjligheter. Han konstruerade ett flertal tempereringar. Vi skall enbart betrakta Neidhardt für ein Dorf från 1732. 10.5 Neidhardt für ein Dorf - principer Neidhardt(Dorf) är en PK-temperering, som förminskar var och en av kvinterna C G, B F, C G och F C med 1/12 PK ( 1,9 cent), G D med 1/6 PK, var och en av D A och A E med 1/4 PK, medan återstående fyra kvinter är pythagoreiska (3/2=702 cent). Figur 10.2: Neidhardt(Dorf).

86 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Efter en smula räknande gör vi en jämförande analys av medeltonstemperering, pythagoreisk stämning och Neidhardt(Dorf): Skalton Centtal Centtal Centtal Pyth. stämn. Medeltonstemp. Neidhardt(Dorf) C 0 0 0 G 702 697 700 D 204 193 198 A 906 890 894 E 408 386 390 B 1110 1083 1092 F 612 579 592 D 90 76 94 A 792 773 794 E 294 310 296 B 996 1007 998 F 498 503 498 Vi ser att tempereringen ligger nära den liksväviga. Låt oss gräva litet djupare.

10.5. NEIDHARDT FÜR EIN DORF - PRINCIPER 87 Vi betraktar kvinttabellen för Neidhardt(Dorf). LT=Liksvävig temperatur, P=Pythagoreisk, M=Medelton. Kvint Cent Anm C-G 700 LT D -A 700 LT D-A 696 M E -B 702 P E-B 702 P F-C 702 P G -D 702 P G-D 698 M A -E 702 P A-E 696 M B -F 700 LT B-F 700 LT Vi utläser ur tabellen att ingen av kvinterna är trängre än 696 cent eller vidare än 702 cent, dvs. samtliga tonarter är användbara. Be-tonarternas kvinter är antingen rena eller liksväviga. Korstonarternas kvinter har drag av såväl liksvävig temperatur som av medelton. Möjligen skulle vi kunna dra nytta av denna medeltonsfärgning i vårt repertoarval. Många nutida orgelbyggare nyttjar Neidhardt(Dorf) som temperering. Ett exempel är den berömda Cahmanorgeln i Leufstabruk, invigd 1728 och fortfarande i bruk. Den senaste renoveringen från 2006 resulterade i att man ändrade tempereringen från liksvävig till Neidhardt(Dorf). På sidan http://www.klingfors. com/cahman/temp_lovstabruk.html kan man avnjuta ett stycke ur Bach:s Triosonata i C-dur (BWV 530), som klingar en aning medeltonstempererat på Leufstaorgeln.

88 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR 10.6 Der wohltemperierte Johann Kirnberger Under barocktiden accentuerades problemet med tonartsbyte för instrument med fix tonhöjd (klaverinstrument, luta m.fl.). Många tonsättare och teoretiker var sysselsatta med att konstruera mindre extrema tempereringar än medelton. Detta för att möjliggöra modulationer till tonarter med mer än tre -förtecken eller -förtecken. Exemplet man ofta nämner är Bachs berömda samling av 24 preludier och fugor Das wohltemperierte Klavier (WTK), skriven 1738-1742 under Bachs tid i Leipzig. Bach var väl medveten om den tonartsberoende klangen i en vältempererad stämning, så ett påstående om att Bach hade liksvävig temperatur (en temperering i våra nutida pianon t. ex.) i åtanke när han skrev WTK är nog felaktigt. Att Bachs instrument var stämda i någon Werckmeister-variant är inte helt otänkbart. Tyvärr finns det få och motstridiga upplysningar om Bachs stämningsmetodik så osäkerheten lär bestå. Hemsidan www.kunstderfuge.com/ bach/wtk1.htm kan vara värd ett besök. Kirnberger-temperering tillhör familjen oregelbundna tempereringarna och utvecklades på 1700-talet av Johann Kirnberger(1721-1783), komponist och musikteoretiker, elev till Bach. Figur 10.3: Johann Kirnberger (1721-1783). Kirnberger är känd för tre versioner: Kirnberger I-III. Den kanske vanligaste varianten, Kirnberger III, publicerad 1779, skall vi nu analysera. Kirnberger III är uppbyggd enligt följande (vi har kvintcirkeln som referens): De fyra kvinterna mellan C och E är stämda i 1/4 SK medelton, med medeltonskvinten 4 5 1,495 696,6 cent. Övriga kvinter stäms pythagoreiskt(rent): moturs från C till D, medurs från E till F. Endast en ters (C E) är ren.

10.6. DER WOHLTEMPERIERTE JOHANN KIRNBERGER 89 Vi bygger så skaltonerna i Kirnberger III, genom att enbart räkna i cent. Givetvis kan man utföra motsvarande kalkyler med hjälp av rationella tal, men vi avstår från detta. Start: Tempererade kvinten gt=696,6 1 cent. Tempererade kvinten d 1 t: 2 696,6 1200 = 193,2 cent(nedtransponerad) Tempererade kvinten a 1 t: 3 696,6 1200 = 889,7 cent(nedtransp.) Tempererade kvinten e 1 t: 4 696,6 2400 = 386,3 cent(nedtransp.) Pythagoreiska kvinten b 1 : 2786,3+702.0 2400 = 1088,3 cent(nedtransp.) Pythagoreiska kvinten f 1 : 2786,3+2 702,0 3600 = 590,2 cent(nedtransp.) Pythagoreiska kvinten d 1 : 5 ( 702)+3600 = 90,2 cent(upptransp.) Pythagoreiska kvinten a 1 : 4 ( 702)+3600 = 792,2 cent(upptransp.) Pythagoreiska kvinten e 1 : 3 ( 702)+2400 = 294,1 cent(upptransp.) Pythagoreiska kvinten b 1 : 2 ( 702)+2400 = 996,1 cent(upptransp.) Pythagoreiska kvinten f 1 : 702 + 1200 = 498, 0 cent(upptransp.)

90 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Figur 10.4: Kirnberger III. Anmärkning. Den förminskade sexten f d (δ i Figur 10.4) är 700 cent, dvs. en liksvävig kvintklang. Om man analyserar detta centtal (700), finner man inte överraskande att den rena kvinten är förminskad med ett tolftedels PK. (Korrektionsfaktorn uttrycks ibland som ett schisma: differensen mellan PK och SK, 1,9537 cent.)

10.6. DER WOHLTEMPERIERTE JOHANN KIRNBERGER 91 Låt oss sammanställa data hörande till Kirnberger III. Skalton Centtal Interv. Jfr Renstämn. C 0 Prim 0 D 90,2 Liten sekund 111,7 D 193,2 Stor sekund 203,9 E 294,1 Liten ters 315,6 E 386,3 Stor ters 386,3 F 498,0 Kvart 498,0 F 590,2 Överstigande kvart 579,5 G 696,6 Kvint 702,0 A 792,2 Liten sext 813,7 A 889,7 Stor sext 884,4 B 996,1 Liten septima 1017,6(9/5) B 1088,3 Stor septima 1088,3 C 1200 Oktav 1200

92 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Vi sammanfattar vad vi åstadkommit: Ton S3 KIII(cent) 5 KIII(cent) C 386,3 696,6 G 391,7 696,6 D 397,0 696,6 A 400,5 696,6 E 405,9 702 B 405,8 702 F 405,9 700 F 391,7 702 B 397,1 702 E 402,5 702 A 407,8 702 D 407,8 702 Anmärkning. Som alltid när det gäller tempereringar är det frågan om ett givande och ett tagande ett kompromissernas hantverk. Låt oss göra några konstateranden utifrån Kirnbergers temperering: 1. Tonarter med få förtecken har de renaste terserna (En ters är helt ren C E). 2. Ju fler förtecken, desto vidare (pythagoreisk) och mindre behaglig tersklang. 3. Sju kvinter är pythagoreiska(rena), medan återstående kvinter har snävare klang. 4. Alla tonarter är spelbara.

10.6. DER WOHLTEMPERIERTE JOHANN KIRNBERGER 93 5. Förhållandevis enkel procedur att stämma (en cembalo t.ex.) i Kirnberger III. Detta faktum att somliga tonarter erbjuder mer affekt än andra utnyttjades medvetet av dåtida komponister. Man strävade samtidigt efter att ha så många rena kvinter som möjligt ett sorts kvint-klangideal. Samtliga tonarter är således spelbara på ett vältempererat instrument, men musikstyckets klangliga karaktär är en funktion av tonarten, en sorts tonarternas palett, som den tyske poeten och klavervirtuosen Christian (Friedrich Daniel) Schubart(1739-1791) så uttrycksfullt beskriver i sin skrift Ideen zu einer Ästhetik der Tonkunst, postumt publicerad 1806. Några exempel härur: C-dur Fullständigt ren. Dess karaktär är oskuld, enkelhet, naivitet. D-dur Tonarten för triumf och segerglädje. E -dur Kärlekens och hängivenhetens tonart. F-moll Djup depression, klagan och längtan efter graven.

94 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Anmärkning. Ett klingande exempel på Kirnberger III (Chorton A=465) finns på http://www.milanaudio.com/hw2demos/schnitger/ bach-praeludium-in-g-hw2.mp3. Det är J.S.Bachs Präludium G- dur(bwv 568) som brusar ur den 400-åriga Schnitger-orgeln som än i dag ljuder i St.Peter-und-Paul-Kirche i den nordtyska staden Cappel. G-dur innebär närapå rena durterser och därmed erhålls en härligt frisk klang. 10.7 Kirnberger II Härnäst skall vi betrakta föregångaren till Kirnberger III, Kirnberger II, redovisad i en artikel publicerad 1764. Kirnberger II är uppbyggd enligt följande: De två kvinterna D A och A E är stämda i 1/2 SK medelton (med frekv. förh. r k =... = 4 5 9 10,75 cent), med tempererade kvinten κ =... = 2 3 5 1,491 691,2 cent. Övriga kvinter stäms pythagoreiskt(rent), moturs från Ctill D, medurs från E till F. Tre terser (C E, G H, D F ) är rena. Start: Kvinten g 1 = 3 2 = 702 cent. Kvinten d 2, nedtransponerad till 1 2 (3 2 )2 = 9 = 204 cent. 8 Tempererade kvinten a 3 t = (3 2 )2 κ, nedtransponerad till 10.8 Intermezzo: Kedjebråk 1 2 9 4 κ = 3 5 = 895 cent. 4 Den tempererade kvinten beräknades enligt 4 5 3. Låt oss betrakta talet 9 2 4 5 9. Detta tal är irrationellt, dvs kan ej uttryckas som ett bråk p, där p och q q

10.8. INTERMEZZO: KEDJEBRÅK 95 är heltal. Talteorin lär oss emellertid att varje irrationellt tal kan utryckas som ett oändligt kedjebråk. Ett 1/2 SK, 4 5, uttrycks (efter en stunds räknande) som (det oändliga) kedjebråket: 9 4 5 1 = 9 1 1+ 1 160+ 1 2+ 160+ Om vi avbryter (trunkerar) kedjebråket, får vi hyfsade rationella approximationer till vårt irrationella tal. De två första approximationerna är (förutom 1): respektive 4 5 9 4 5 9 1+ 1 1+ 1 160 1 1 160+ 1 2 = 160 161 = 321 323. Låt oss välja 160 som vår approximation. En kvint, tempererad med 1/2 SK 161 blir då approximativt bråket 3 2 160 161 = 240 161 med ett fel, mindre än 4 10 5, dvs med 4 decimalers noggrannhet. Därför kan tempererade kvinten a 1 t alternativt uttryckas: ( 3 2 )2 240 161 1 2 = 270 895 cent. 161 Detta skall jämföras med exakta värdet 3 4 5. Kedjebråket 1 a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + a 4 + till ett tal x får vi med följande procedur:,

96 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR α 0 = x, a i = α i, i = 0,1,2,..., där α i är det största heltalet α i, α i+1 = 1 α i a i. Intermezzot är därmed fullbordat! Vi återvänder till vår kvintgenerering. Tempererade kvinten e 3 t = (3 2 )2 κ 2, nedtransponerad till 1 5 = 386 cent. 4 Pythagoreiska kvinten h 3, nedtransponerad till 1 4 5 3 = 1088 cent. 2 Pythagoreiska kvinten f 1 (nedtransponerad), 15 2 3 2 1 8 = 45 = 590 cent. 32 Sedan följer de pythagoreiska kvinterna(nedtransponerade): Kvinten d 1, ( 2 3 )5 2 3 = 256 = 90 cent. 243 Anm: Kvinten c 1, 5 ( 3 2 )3 2 4 = 135 = 92 cent. Differens: 1/12 PK. 128 Kvinten a 1, ( 2 3 )4 2 3 = 128 81 = 792 cent. Kvinten e 1, Kvinten b 1, ( 2 3 )3 2 2 = 32 = 294 cent. 27 ( 2 3 )2 2 2 = 16 9 = 996 cent.

10.8. INTERMEZZO: KEDJEBRÅK 97 Kvinten f 1, 2 3 2 = 4 = 498 cent. 3 Låt oss sammanställa data hörande till Kirnberger II. Skalton Cent KIII Interv. Cent KII C 0 Prim 0 D 90 Liten sekund 90 D 193 Stor sekund 204 E 294 Liten ters 294 E 386 Stor ters 386 F 498 Kvart 498 F /G 588(G ) Tritonus 590(F ) G 697 Kvint 702 A 792 Liten sext 792 A 890 Stor sext 895 B 996 Liten septima 996 B 1088 Stor septima 1088 C 1200 Oktav 1200 Vi fortsätter med att jämföra stora terser och kvinter för de bägge Kirnbergervarianterna.

98 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Ton S3 KII S3 KIII 5 KII 5 KIII C 386 386 702 697 G 386 391 702 696 D 386 395 691 697 A 395 400 691 696 E 406 406 702 702 B 406 406 702 700 F 397 392 702 702 B 408 397 702 702 E 408 403 702 702 A 408 408 702 702 D 408 408 702 702 G 406 408 700 702 Vi konstaterar att tonarter med få förtecken har de renaste terserna. En del tonarter erbjuder med spänning än andra, vilket medvetet utnyttjades av dåtida komponister. Ett annan klangideal var kvinterna. Man strävade efter att ha så många rena kvinter som möjligt. Kirnberger II har tre rena terser, övriga terser är vida vi konstaterar att de pythagoreiska terserna är många. Kirnberger III offrar två av de tre rena terserna. I gengäld erhålls färre pythagoreiska terser. Dock minskas antalet rena kvinter, jämfört med Kirnberger II. Anmärkning. Bachforskaren och matematikern Dr Herbert Kellner presenterade på 1970-talet i den omdebatterade artikeln Eine Rekonstuktion der wohltemperierten Stimmung von J.S. Bach en hypotetisk rekonstruktion av Bachs tempereringspraxis. Kellner hävdade att Bach renstämde sju kvinter och tempererade kvinterna C G D A E och H F. Dessa kvinter förminskades med vardera 1/5 PK.

10.9. CODA: KIRNBERGER I 99 Anmärkning. G. Ph. Telemanns koralbearbetning Christ lag in Todesbande kan avnjutas på sidan http://www.sonusparadisi.cz/ organs/hrubyrohozec/demos.0.asp på ett instrument stämt i Kirnberger II (A=440). 10.9 Coda: Kirnberger I Den allra första Kirnbergervarianten från ca 1760 har, precis som sina efterföljare, den rena tersen C E (5/4). Kvinterna C G, G D och A E är rena. Kvinten D A tempereras (förminskas) med ett helt SK. Kvinterna från E till F (medurs) samt från C till D (moturs) är renstämda. 10.10 Övningsuppgifter Övning 10.10.1. Konstruera en temperering med följande kriterier: 1. De 4 kvinterna mellan C och E förminskas med vardera 1/4 PK. 2. Övriga 8 kvinter är pythagoreiska. Redovisa resultatet i form av en tabell, analog med Werckmeister III. Övning 10.10.2. Försök att upprätta en cent-tabell för Kirnberger I resp. Kirnberger II, analog med det Kirnberger-schema vi nyss har redovisat. Övning 10.10.3. Analysera samtliga stora och små terser i Neidhardt(Dorf). Redovisa resultatet i form av en tabell. Gör en jämförande analys med motsvarande liksväviga och medeltonstempererade intervall. Övning 10.10.4. Försök att genomföra en uppbyggnad av Kellners temperering, analog med tidigare Kirnberger-tabeller. Analysera de stora terserna och kvinterna och jämför med t. ex. Kirnberger III.

100 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR 10.11 Weman Ericsson - principer I sin doktorsavhandling... världens skridskotystnad före Bach [LWE08] presenterar Lena Weman Ericsson en egenhändig temperering (i detta kompendium kallad WET):...jag fördelar det pythagoreiska kommat mellan F C G D A E H F. Vi utgår från att Weman Ericssons övriga kvinter är pythagoreiska. Jämfört med Werckmeister III (som förminskar fyra kvinter) är Weman Ericssons temperering mer liksvävigt klingande. Figur 10.5: WET.

10.11. WEMAN ERICSSON - PRINCIPER 101 Utgångspunkten för är korrektionsfaktorn κ WET = ( )1 524288 7 0,9998 = 3,4 cent. 531441 Vi beräknar WET-kvinterna utgående från starttonen f. Kvinten c 1 = 3 2 κ WET 1,4971 = 699 cent (nästan en liksvävig kvint!) Kvinten g 1, nedtransponerad till Kvinten d 2, nedtransponerad till Kvinten a 2, nedtransponerad till Kvinten e 3, nedtransponerad till Kvinten b 3, nedtransponerad till ( ) 1 3 2 2 2 κ WET 1,1207 = 197 cent. ( ) 1 3 3 2 2 κ WET 1,6777 = 896 cent. ( ) 1 3 4 4 2 κ WET 1,2559 = 394 cent. ( ) 1 3 5 4 2 κ WET 1,8802 = 1093 cent. ( ) 1 3 6 8 2 κ WET 1,4074 = 592 cent. Kvinten f 4, nedtransponerad till ( ) 1 3 7 16 2 κ WET 1,0535 = 90 cent.

102 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Sedan följer de pythagoreiska kvinterna (upptransponerade värden): Kvinten g, Kvinten d 1, Kvinten a, Kvinten e 1, Kvinten b, ( 2 3 )5 2 3 1,0535 = 90 cent. ( 2 3 )4 2 3 1,5802 = 792 cent. ( 2 3 )3 2 2 1,1852 = 294 cent. ( 2 3 )2 2 2 = 1,7778 = 996 cent. ( 2 3 )1 2 1,3333 = 498 cent. Därmed kan vi redovisa resultatet i tabellform. Skalton Frekv.förh. Centtal Diff.(cent) WET F 1:1 0 0 G 1:1,0535 90 90 G 1:1,1207 197 107 A 1:1,1852 294 97 A 1:1,2559 394 100 B 1:1,3333 498 104 B 1:1,4074 592 94 C 1:1,4971 699 107 D 1:1,5802 792 93 D 1:1,6777 896 104 E 1:1,7778 996 100 E 1:1,8802 1093 97

10.12. ANALYS AV WET 103 10.12 Analys av WET Betrakta kvinttabellen Interv. Frekv.förh.(cent) C-G 1397-699=698 D -A 1494-792-90=702 D-A 1594-896=698 E -B 1698-996=702 E-B 1792-1093=699 F-C 699-0=699 G -D 792-90=702 G-D 896-197=699 A -E 996-294=702 A-E 1093-394=699 B -F 1200-498=702 B-F 1290-592=698 Vi konstaterar att ingen av kvinterna är trängre än 698 cent eller vidare än 702 cent. Samtliga tonarter är användbara. Jämfört med Werckmeister III uppvisar WET färre rena kvinter, men i gengäld är de tempererade kvinterna vidare och närapå liksväviga (kvinterna F C, C G, G D, D A, A E, E B och B F ).

104 KAPITEL 10. VÄLTEMPERERADE STÄMNINGAR Vi analyserar därefter de stora terserna i WET och jämför med motsvarande för Werckmeister III. Interv. S3 WIII(cent) S3 WET CE 390 394 GB 396 395 DF 396 394 AC 402 398 EG 402 401 BD 402 404 FA 390 394 B D 396 398 E G 402 401 A C 408 405 D F 408 408 F A 408 408 WETerbjuderfyraiprincipliksvävigadurterser(A C,E G,B D oche G). WET-terserna tenderar att bli vidare (dvs. mer pythagoreiska) med antalet förtecken, en egenskap WET delar med Werckmeister III och många liknande vältempereringar. Detta är ingen nackdel, eftersom tonarternas klangliga egenart bibehålls.

Kapitel 11 Modulär aritmetik 11.1 Resten är det viktiga inte kvoten Viminnssäkert följande mantra frånsmåskolan: 18 delatmed 5går3gånger med rest 3. Grundskolematematik i all ära det viktiga för oss just nu är inte kvoten. Vi fokuserar i stället på resten. Definition. För två heltal a och b gäller att är resten vid heltalsdivisionen a b. amodb Anmärkning. I vardagen använder vi (omedvetet) denna tankegång. Om vi exempelvis en eftermiddag får frågan Vad är klockan? och blixtsnabbt svarar 5, utför vi egentligen operationen 17 mod 12. Exempel 11.1.1. Beräkna 1. 17mod12. 2. 24mod8. 3. 4mod7. 105

106 KAPITEL 11. MODULÄR ARITMETIK Lösning 1. 17mod12 = 5, ty 17 = 1 rest 5. 12 2. 24mod8 = 0, ty 24 8 = 3 rest 0. 3. 4mod7 = 4, ty 4 7 = 0 rest 4. Definition. För de tre heltalen a, b och n används beteckningen a b(modn) när a och b bildar samma rest vid division med n. Man säger att a är kongruent med b modulo n. Alternativt uttryckt: a b(modn) n (b a) dvs. n delar (b a) Exempel 11.1.2. Visa att 1. 8 5(mod3), 2. 13 28(mod5). Lösning 1. 8 5(mod3), ty 5 8 = 3 = ( 1) 3. 2. 13 28(mod5), ty 28 13 = 15 = 5 3. Sats 11.1.3. Betrakta heltalen a, b, c, d och n. Om a b(modn) och c d(modn) gäller a+c = (b+d)(modn).

11.2. MUSIKALISK TILLÄMPNING 107 Exempel 11.1.4. Det gäller att 19 7(mod12) respektive 30 6(mod12). Vad är summan av 19 och 30 mod12? Lösning 19+30 = 49 = (7+6)(mod12) = 13(mod12). 11.2 Musikalisk tillämpning Vi har tidigare berört Fibonaccis talföljd, (F n ) n=1, genererad enligt där F 1 = F 2 = 1. F n = F n 1 +F n 2, n 3, Ett antal element i denna talföljd redovisas i nedanstående tabell: n F n n F n 1 1 11 89 2 1 12 144 3 2 13 233 4 3 14 377 5 5 15 610 6 8 16 987 7 13 17 1597 8 21 18 2584 9 34 19 4181 10 55 20 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368 25 75025 26 121393 27 196418 Låt oss med hjälp av Fibonacci-följden generera toner i en diatonisk durskala i någon skala. Syftet är att skapa ett litet musikaliskt stycke med denna teknik. Vi måste använda modulär aritmetik för att Fibonaccitalen skall kunna passa in i vår durskala. Här är ett exempel på passning av skaltoner och transponerade heltal ur Fibonacci-följden. Vi väljer en gammal kyrkoton, den doriska skalan.

108 KAPITEL 11. MODULÄR ARITMETIK Skalton d 1 e 1 f 1 g 1 a 1 h 1 c 2 d 2 Heltal 0 1 2 3 4 5 6 7 Vi har närmast obegränsad frihet att kombinera skaltoner och heltal. (Det finns 40320 olika varianter för en diatonisk skala. För en kromatisk 12-tons skala finns 480 miljoner olika varianter...) Fibonacci-sviten måste ha två startvärden. Dessa kan väljas godtyckligt ur (F n ) n=1, med förbehållet att heltalen skall vara konsekutiva (=på varandra följande). Låt oss starta med exempelvis F 1 = 1 och F 2 = 1. Vi genererar sviten 1,1,2,3,5,...,55. Därefter utför vi räkning modulo 8. Efter en stunds räknande kommer vi fram till följden: 1,1,2,3,5,0,5,5,2,7. Nu konverterar vi denna heltalssvit till skaltoner: Tal Skalton 1 E 1 E 2 F 3 G 5 H 0 D 5 H 5 H 2 F 7 D 2 Sedan har vi vår konstnärliga frihet att välja taktart, rytmik och andra kompositionsrelaterade egenskaper. Tankegången exemplifieras i författarens Fibonacci Dorian etude inget större avtryck i musikhistorien! En släkting till Fibonacci-följden kallas Lucas-följden. Den har fått sitt namn efter den franske professorn och talteoretikern Edouard Lucas (1842-1891).

11.3. STOKASTISKA PROCESSER 109 Definition. Lucas-följden (L n ) n=1 definieras som L n = L n 1 +L n 2, n 3, där L 1 = 1 och L 2 = 3. Viupptäckeratt(L n ) n=1 och(f n) n=1 harlikartaduppbyggnad.detendaegentliga skillnaden är startvärdena. De 10 första Lucas-talen är 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123. 11.3 Stokastiska processer I mer avancerade kurser i matematik får man lära sig något om s.k. stokastiska processer, dvs. system som utvecklar sig i tiden på ett delvis slumpartat sätt, som t.ex. vädret, priset på en aktie eller antalet väntande patienter på en läkarmottagning. Vi intresserar oss för systemets tillstånd vid en viss tidpunkt. Om det gäller att sannolikheten för vart och ett av tillstånden vid denna tidpunkt endast är beroende av systemets tillstånd vid närmast föregående tidpunkt, kallas ändringsprocessen en Markovkedja eller Markovprocess, efter den ryske matematikern Andrei Andreyevich Markov(1856-1922). Man brukar säga att Markovkedjor har inget minne. Många nutida tonsättare, bl.a. den grekiske tonsättaren Iannis Xenakis (1922 2001), antog att musiken kan beskrivas som en stokastisk process. Antagandet baserar sig på det faktum att musik är ett system som vid varje tidpunkt antar ett eller flera musikaliska tillstånd, exempelvis aktiva instrumentgrupper tonföljd i melodi eller i stämma ackordföljd/intervallföljd följd av harmoniska övertoner dynamik rytmik Systemet utvecklas med tiden på ett (mer eller mindre) slumpmässigt sätt. Musik skulle alltså enligt denna hypotes kunna beskrivas matematiskt som en

110 KAPITEL 11. MODULÄR ARITMETIK Markov-kedja. Med denna tankegång som bas, har olika tekniker för datorstödd algoritmisk komposition utvecklats. 11.4 Övningsuppgifter Övning 11.4.1. Använd (L n ) n=1, (F n) n=1 eller en egendefinierad rekursiv heltalssvit för att skapa ett kort musikstycke. Välj skala, tonart, taktart, struktur etc. Låt fantasin flöda!

Kapitel 12 Gyllene snittet 12.1 Geometriska problem Vi har tidigare nämnt om pythagoréernas intresse för följande geometriska problem: Figur 12.1: Delning av en sträcka. En sträcka med längden c = a +b skall delas i en mindre del med längden a, och en större del med längden b, så att hela sträckan förhåller sig till den större delen som den större delen till den mindre: a+b b = b a. 111

112 KAPITEL 12. GYLLENE SNITTET Vi gör en del manipulationer och får a+b b = b a 1+ a b = b a 1+ ( ) b 1 = b a a b a +1 = ( ) b 2 a Vi sätter x = b, och inser snabbt att x > 1. Variabelbytet ger oss andragradsekvationen a x+1 = x 2, vars lösning är x = b a = 1+ 5 1,61803. 2 Läsaren ombeds att verifiera kalkylerna som nyttig övning. Definition. Antag att punkten P delar sträckan AB i två delar. Antag vidare att den kortare av dessa delar kallas AP och har längden 1. Om punkten P delar AB så att PB = 1+ 5 2 denna delning det gyllene snittet. Talet 1+ 5 2 1,61803, kallas benämns ofta Φ. Anmärkning. Alternativ definition: Antag att sträckan AB har 5 1 längden1.ompunktenp delarab såattap = 0,61803, 2 5 1 kallas denna delning det gyllene snittet. Talet benämns ofta 2 ϕ. Se exempelvis Figur 3.7, där denna variant används.

12.2. INTERMEZZO: FIBONACCI OCH GYLLENE SNITT 113 Anmärkning. Betrakta Φ = 1+ 5 2 = (1+ 5)(1 5) 2(1 5) = = 2 1 5 = 2 5 1. Om vi inverterar detta tal, får vi 1 Φ = 5 1 2 0,618. Talet 1 benämns ϕ och kallas ibland det konjugerade gyllene snittet. Φ Det visar sig bl.a. att Φ och ϕ har exakt samma decimalutveckling. Det är vanligt (i synnerhet i musikaliska sammanhang) att använda ϕ istället för Φ och man möter ofta benämningen gyllene snittet för såväl ϕ som Φ. Lyssna på ett intressant föredrag på adressen http://www.bbc.co.uk/radio4/science/rams/5numbers3.ram I kapitel 3 noterade vi att Fibonaccis talföljd {F n } n=1 uppvisar en märklig egenskap. Kvoten mellan två på varandra följande Fibonaccital,, närmar F n+1 5 1 sig alltmer gyllene snittet ϕ =. Dessutom visar det sig, inte helt 2 överraskande, att kvoten F n+1 konvergerar mot Φ = 1+ 5, då n. F n 2 Låt oss titta litet närmare på detta. F n 12.2 Intermezzo: Fibonacci och gyllene snitt Vi sätter x n = F n+1 F n. Litet räknande: x n = F n+1 = F n }{{} Enl. def F n +F n 1 F n = = 1+ F ( ) 1 n 1 Fn = 1+ = 1+ 1 F n F n 1 x n 1

114 KAPITEL 12. GYLLENE SNITTET Antag att kvotsekvensen F n+1 F n närmar sig talet x då n. Det betyder att både x n och x n 1 närmar sig samma tal. Med andra ord: x n x och x n 1 x då n Det betyder i sin tur att talet x (vilket de bägge kvotsekvenserna närmar sig) måste uppfylla andragradsekvationen x = 1+ 1 x, dvs. x2 x 1 = 0, vilken har (den positiva) lösningen x = 1+ 5, och vi är klara. 2 12.3 Musikaliska tillämpningar Detta sätt att dela en sträcka kan med fördel appliceras på ett musikstycke, som i likhet med sträckan har en begynnelse- och en ändpunkt. Det är omvittnat att många av Johann Sebastian Bachs (1685-1750) verk innehåller dold matematisk symbolik. I hans andra cellosvit i d-moll (BWV 1008) från 1721, Courantesatsen, finner man följande: I A-delen, innehållande 48 fjärdedelar, noterar man en höjdpunkt i 30:e fjärdedelen, då cellon spelar det höga g:et. Denna 30:e fjärdedel delar approximativt A- delen i det gyllene snittet. Likaledes noterar man, att i fjärdedel nr 117 spelas för första gången det låga c:et. Det är väl närmast onödigt att nämna att 117 är approximativt det gyllene snittet av hela styckets 191 fjärdedelar. Man antar att Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791) medvetet använt sig av gyllene snittet som delningspunkt i många verk. Som exempel kan nämnas Mozarts Sonat Nr 1 i C-dur för piano, K. 279, som har 100 takter i första satsen. Expositionen (där huvud- och sidotema presenteras) innehåller 32 takter, och andra delen, genomföringen, har 68 takter. Många moderna komponister använder Fibonacci-tal/Gyllene snitt för att markera höjdpunkten i ett verk. I Béla Bartóks (1881-1945), Musik för stråkar, slagverk och celesta från 1936, har första satsen (Andante tranquillo) formen av en kraftfull fuga. Denna inledande sats är på 89 takter (88+upptakt) 89 är ett Fibonacci-tal. En märkbar höjdpunkt inträffar vid takt 55 (också ett Fibonacci-tal). Ett annat exempel är Arnold Schönbergs (1874-1951) Drei Klavierstücke op. 11 No.1 från 1909, som omfattar 64 takter. Ett lika märkligt som fantastiskt utbrott äger rum i takt 39. Gyllene snittet återigen. Dessa exempel visar på hur matematiska konstruktioner kan användas i ett klingande sammanhang.

12.4. ÖVNINGSUPPGIFTER 115 12.4 Övningsuppgifter Övning 12.4.1. Analysera något/några av exemplen i Avsnitt 12.3 eller ännu hellre något annat självvalt stycke, med avseende på dolda matematiska egenskaper, exempelvis gyllene snitt, aritmetiskt/geometriskt/harmoniskt medelvärde, Fibonacci-tal etc.

116 KAPITEL 12. GYLLENE SNITTET

Kapitel 13 Om symmetrier 13.1 Morerna och deras mosaiker Under 1100-1200-talen förekom stora folkvandringar från Nordafrika till södra Europa, främst Spanien. De nordafrikanska morerna var duktiga keramiker, främst inom kakel. I den andalusiska staden Granada finns det moriska 1300- talspalatset Alhambra ( den röda borgen ), med fantastiska kakelmosaiker att beskåda. Se Figur 13.1. Dessa otroligt sköna regelbundna mönster har sin grund i ett matematiskt begrepp, symmetri. Figur 13.1: Symmetrier i Alhambra. Det finns inom matematiken bestämda regler för hur former kan upprepas. De 117