Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 5: Mätandets ide och pengar Mätandets idé Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Mätning ger oss förutsättningar och underlag för att ordna, överblicka och kanske kontrollera omvärlden. Det handlar om att jämföra, ordna och kvantifiera viktiga egenskaper. Men vilka egenskaper kan mätas? Hur? Varför? I alla kulturer finns företeelser som betraktas som viktiga, men vad som värdesätts, och hur mycket, beror på den lokala miljön och de behov som finns i den. Redan från födseln finns vi en omvärld där jämförelser av olika slag görs mellan egenskaper hos fenomen. Beroende på hur och med vad nyfödda barn jämförs kan de beskrivas som små eller som stora. Malte tittar på lillasyster och säger: Så liten hon är! Alva är mycket större. Fast Sigge är mindre än jag. Myran är också liten, mycket mindre än lillasyster. Den norska lyrikern Inger Hagerup ger ett exempel på hur mätbara egenskaper kan uttryckas i sin dikt Myran: Liten? Mätning förr och nu Nedslag i historien visar att metoder för Jag? mätning inte bara har utformats för praktiska och vardagliga ändamål och behov Långtifrån. utan också för naturvetenskapliga syften, som att förstå solsystemet eller att kunna Jag är precis tillräckligt stor. navigera på världshaven. Nuförtiden översköljs vi av mätdata som beskriver företeel- Fyller mig själv helt ser inom mängder av områden: befolkningstillväxt, föroreningar, fattigdom, hälsa, infra- på längden och på tvären struktur, logistik, löner, börsutveckling, från överst till nederst. arbetslöshet, sophantering, skolresultat, Är du större än dig själv kanske? energiförbrukning, väder Resultat redovisas i tabeller, diagram, kurvor och scheman för att ge överblick. För att underlätta (vår översättning) jämförelse av olika utfall redovisas ibland resultat från olika mätningar i samma bild eller diagram. Mätdata kan utgöra underlag för beslut på olika samhälleliga nivåer. Mätning, redovisning och tolkning av mätresultat är med andra ord en betydande del av vår vardag och därför ett viktigt område att arbeta med i matematikundervisningen. http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (9)
Mätning i styrdokumenten I grundsärskolan ligger mätning under rubriken Geometri, årskurs 1 6: De geometriska begreppen, till exempel längd, bredd och höjd. Mätning av längd, volym och massa samt vanliga måttenheter. Årskurs 7 9: Geometriska begrepp, till exempel hörn, sida, sträcka och vinkel. Mätning och uppskattning av längd, volym och massa med vanliga måttenheter. I kommentarmaterialet till grundsärskolans kursplan i matematik finns också area angivet. Gymnasiesärskolans ämnesplaner, Matematik 1: Geometriska begrepp som används i vardags- och yrkeslivet, till exempel omkrets, area och volym. Metoder för mätning och beräkning av storheter som används i vardags- och yrkeslivet, till exempel längd och area. Matematiska enheter och enhetsbyten som används i vardags- och yrkeslivet. Matematik 2: Matematik 3: Metoder för mätning och beräkning av storheter som används i vardags- och yrkeslivet, till exempel volym, hastighet och massa. Matematiska enheter, enhetsbyten och behandling av mätetal som används i vardags- och yrkeslivet. Matematiska enheter, enhetsbyten och behandling av mätetal som används i vardags- och yrkeslivet. Vad beträffar övriga skolformer inom särskolan, se Mätandets idé träningsskola och individuellt program. Beroende på vilken nivå en studerande är antagen, gäller grundsärskolans eller gymnasiesärskolans planer i särskild utbildning för vuxna. Måttenheter Troligen var den mänskliga kroppen det första mätverktyget. Längdenheter som fingerbredd, tum, handsbredd, aln (underarmen), fot och famn återfinns i många kulturer. Innebörden har varierat beroende på vems kropp som betraktats som normerande. Också inom länder varierade värdena, vilket ledde till att myndigheter satte upp kontrollenheter vid stora handelsplatser. Några gamla svenska måttenheter som inte längre används är areaen- http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (9)
heter som tunnland, skäppland, kappland, volymenheter som jungfru, kvarter, stop, kanna, tunna, fat, kappe, samt massaenheter som lod, skålpund, lispund och få i vår tid har erfarenhet av dem. Historiskt har också enheter som dussin, tjog, bok och ris varit vanliga. Dussin och tjog är fortfarande i bruk, bok och ris användes om buntar med pappersark. Det finns en risk att det som ses som självskrivet och rätt i den egna kulturens mätsystem uppfattas som universellt och generellt. När människan började röra sig mellan olika handelsplatser blev det uppenbart att samma måttenheter inte användes överallt, liksom att innebörden i mått med samma namn inte hade samma värde. Kanske är det mest intressanta att det som vi tycker är viktigt att mäta inte alls kvantifieras i en del andra kulturer. Sådana kulturella skillnader tyder på att orsaken för att måttenheter ska utvecklas är att det måste finnas kulturella behov av att jämföra och ordna. Missförstånd i handeln ledde i vår del av världen till att ett enhetligt måttsystem utarbetades avseende längd, area, volym och vikt, runt sekelskiftet 1700 1800. Exempelvis bestämdes att enheten för längd, som fick namnet meter, skulle vara 1/10 000 000 av meridianen från Nordpolen till ekvatorn genom Paris. Längden bestämdes genom avancerade mätningar och fastställdes i form av en arkivmeter. Denna internationella prototyp förvarades i Paris och användes för att definiera meterenhetens storlek fram till 1960, då den ersattes av en fysikalisk definition baserad på ljusets hastighet. Sverige tilldelades meterprototyp nr 29, vilken fortfarande förvaras vid SP Sveriges Tekniska Forskningsinstitut i Borås. Enheten för massa lades fast som 1/1 000 av massan av en kubikdecimeter vatten med temperaturen 4 C och fick namnet gram. Den svenska prototypen, kallad Rikskilogrammet, förvaras också i Borås. Den tillverkades samtidigt med den internationella prototypen arkivkilogram. Enhet för area blev en kvadrat med sidan 1 meter, m 2. Enhet för volym blev en kub med sidan 1 meter, m 3. Större och mindre enheter kunde bildas genom prefix, t ex kilo för faktorn 1000 och centi för faktorn 0,01. Kilo = tusen, hekto = hundra, deka = tio Deci = tiondel, centi = hundradel, milli = tusendel För area infördes dessutom enheten 1 ar för 100 kvadratmeter, dvs en yta på 10 gånger 10 meter. En följd av detta är hektar, dvs hekto ar, hundra ar, 100 gånger 100 m 2 som ger 10 000 m 2. Den volym vatten vars massa är 1 kilogram fick namnet liter. 1875 fattade Sveriges riksdag beslut om att införa metersystemet som allmänt svenskt lagligt system. Efter en övergångstid 1879 88 blev metersystemet vårt enda lagstadgade enhetssystem. Mätning hör samman med mer än och mindre än. Genom jämförelser av objekt utvecklas idén om att storleksordna. I många kulturer är ögonmått, dvs uppskattning, en bärande idé. För att kunna uppskatta krävs många erfarenheter, där vi skaffar referenser att förhålla oss till. I en del sammanhang räcker inte uppskattning, utan större precision i mätningen är nödvändig. När behovet av mer precisa mätningar uppstår, så utvecklas också språkliga uttryck för ordning och jämförelser. Ju större behovet är av precision, desto mer detalje- http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (9)
rade, systematiska och precisa är de mått och måttsystem som utvecklas, exempelvis inom olika vetenskapsområden. Samma resultat Mätandets idé bygger på förståelse för att en egenskap i rummet kan avgränsas och kvantifieras i en storhet. Om olika personer genomför en mätning, eller om samma mätning genomförs vid olika tillfällen, ska resultatet bli detsamma. För att det ska hända är det nödvändigt att samma enhet, och möjligen samma metod, används. I mätandets idé ingår förståelse för att den valda enheten ska packas tätt samman, utan mellanrum eller överlappning, i, på eller utmed det som ska mätas. Enheten itereras, upprepas. Många små barn roas av att prova och gå omkring i vuxnas skor. Det kan vara svårt och utmanande att få med sig den stora skon. Aktiviteten ger erfarenhet av direkt jämförande mätning. Skon är större än foten och foten är mindre än skon. Linn berättar att Ulles häst är så här stor, och sträcker armarna uppåt samtidigt som hon ställer sig på tå. Men Nellie, mormors hund, är bara så här stor. Linn visar genom sitt kroppsspråk med handen mot bröstkorgen. Agnes och Stephanie upptäckte att de hade samma skostorlek och provade varandras skor. Konstigt, dina skor känns mycket mindre än mina, hur kan det komma sig? Flickorna satte var sin sko intill varandra för att se om de var lika stora. Tänk om det är våra fötter som är olika stora Flickorna satte sig på golvet med fotsulorna mot varandra och hälen mot golvet. Nu hade de en gemensam utgångspunkt och kunde bättre avgöra likheter och skillnader. Min stortå slutar längre fram än din. Titta, min fot tar mer plats på bredden än din. Exemplen visar mätning genom direkt jämförelse. För att sådana ska vara tillförlitliga måste de utgå från en gemensam punkt. Agnes och Stephanie satte hälarna i golvet och fotsulorna mot varandra. De kunde jämföra flera egenskaper och uppmärksamma några avstånd. Fredrik och Karl samlade pinnar för att bygga en koja i skogen. De skulle ge sig iväg för att leta efter pinnar som var längre än de redan insamlade. Pojkarna diskuterade hur de skulle veta att de nya pinnarna var längre. Jag mäter på mig hur lång den längsta är, sa Karl och mätte av mot kroppen. Pinnen nådde till hans armhåla. Vi letar efter pinnar som är längre än hit. Pojkarna hade skaffat en referens att förhålla sig till. Det var den längden de måste komma ihåg, konservera. Med hjälp av den kunde de göra indirekta jämförelser av längd. Jag tog arton tomtesteg från staketet till trappan sa Samir när han balanserade på trädgårdsmuren. Det vill jag också kolla, sa Vilma. tretton, fjorton, femton, sexton. Jag fick det till sexton. Muren är både arton och sexton tomtesteg. Innan man förstår mätandets idé är det inte konstigt att resultaten blir olika. Det är samstämmigt med att när en elev inte har antalskonservation klar för sig kan samma grupp föremål vara olika många när de räknar igen. Samir och Vilma gjorde om sina mätningar, med samma resultat. Kan det vara olika långt? Hur? Varför? Det finns flera viktiga aspekter att observera. Vad innebär det att gå tomtesteg (häl mot tå)? Hur långt är ett tomtesteg, som är den enhet de valt att använda? När börjar de räkna? Forskning visar att i många fall förknippas mätning i det tidiga lärandet med rörelse. Skillnaden i resul- http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (9)
tat kan bero på att en av dem räknar antal förflyttningar och den andra antal skolängder. Det kan också bero på att de inte delar uppfattning om att tomtestegen ska packas tätt samman, utan mellanrum eller överlappning. Begrepp, som stor, liten, tung, lätt, lång, kort och deras komparationsformer, används ofta i mätsituationer. Att säga att något är stort, litet eller kort saknar egentlig mening, men i ett sammanhang där ett objekt jämförs med ett annat blir det begripligt och meningsfullt. Storlek kan uttryckas med hjälp av olika storheter: längd, area, volym, massa, hastighet, effekt, vinkel etc. Sådana storheter har formella standardiserade mått och enheter. Storlek hos människor betyder ofta längd men också massa och ibland klädstorlek. Vad menar vi när vi talar om storleken på en tallrik, en TV, en penna, en motor, ett rum, en kopp, en bräda, en spik eller en sten? Elever satt i grupper om fyra där varje grupp hade en apelsin och gruppen skulle besvara frågan Hur stor är apelsinen? Eleverna tittade frågande på varandra vad menas med stor? Diskussioner mellan elever och lärare ledde till att de undersökte omkrets, dvs längd samt massa och volym. Gruppernas apelsiner jämfördes med ögonmått och med händerna som mätverktyg och de storleksordnades. Varje grupp vägde sin apelsin med olika vågar och tog reda på volymen genom att studera hur mycket vattennivån i ett kärl höjdes när de lade ner apelsinen där. Frågor om hur mycket större och hur mycket mindre är naturliga vid jämförelser. För att besvara dem måste ett mätetal kompletteras med en enhet. Enheten kan vara informell eller formell. Innebörden i en informell enhet måste definieras, för att vara begriplig. Formella enheter är, som tidigare beskrivits, definierade i konventioner och till och med lagstadgade. Mätning av en storhets precisa mått bygger på en inre förståelse för att objekt kan delas in i lika stora enheter. Utan den förståelsen saknar mätning mening och ger inga adekvata svar. Storhet = mätetal + (prefix)enhet Undervisning om mätning handlar både om att kunna uppskatta och att göra precisa mätningar. För att förstå mätning med standardiserade metoder och enheter behöver eleverna först erfarenheter av direkta och indirekta jämförelser och av mätning med informella redskap och enheter. Mätredskap I den danska KOM-rapporten skrivs hjälpmedelskompetens fram som en av åtta kompetenser som tillsammans bildar en samlad matematisk kompetens. Hjälpmedelskompetens karaktäriseras av att eleven ska känna till olika hjälpmedels möjligheter och begränsningar samt kunna använda dem. Förutom tekniska och IT-relaterade hjälpmedel samt laborativa matematikmaterial ingår mät- och ritredskap som en stor grupp av hjälpmedel. Exempel är linjaler, gradskivor, passare och vinkelhakar. Det tycks ibland som att det är så självklart att elever ska kunna hantera dessa korrekt och effektivt att undervisning om och med dem glöms bort. I samband med undervisning om mätandets idé är det därför också nödvändigt att se på de formella mätredskap som eleverna på sikt ska kunna hantera. Det är exempelvis http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (9)
inte självklart för alla elever vad den lilla biten innan nollan på en vanlig plastlinjal innebär. Det är inte heller helt entydigt var de ska börja mäta. Mäta längd Maja har sett andra använda måttband och håller det mot bordet, väggen och sig själv och säger olika räkneord. Arras använder linjalen på ungefär samma sätt. Vid varje mätning säger han femti femti. Maja och Arras har förstått att måttband, linjal och räkneord används vid mätning, men inte hur. För att utveckla förståelse för längdmätning behöver elever erfarenheter av både direkta och indirekta jämförelser. En direkt jämförelse kan innebära att avgöra vilket av två snören som är längst. Ett annat exempel är att jämföra markeringar på väggen som visar hur mycket Lisa växt mellan olika mättillfällen. Vid indirekta jämförelser används en referens för att ta reda på vilken av två sträckor som är längst. Är det Viggos eller Amandas torn som är högst? En direkt jämförelse kan inte göras eftersom tornen står för långt från varandra. Mira mäter av Viggos torn mot kroppen, håller kvar handen och går till Amandas torn. Hon kan med hjälp av den referensen avgöra vilket torn som är högst. För att besvara frågor om hur lång, hur hög, hur bred och hur mycket längre, kortare, högre, bredare, smalare krävs en mer formell mätning. Sådan mätning bygger på förståelse för att ett objekt kan delas in i lika stora enheter. Att tänka på mätning som upprepning av en enhet, iteration, är en komplex process. Enheter kan vara informella, som tomtesteg, gem och stickor eller formella, dvs vedertagna enheter som här i Sverige är definierade enligt metersystemet. Forskning beskriver att många elever till en början placerar enheter med mellanrum eller så att de delvis överlappar varandra. De har då inte förstått att innebörden i markeringen 5 på linjalen är att utrymmet mellan nollpunkten och 5 är täckt av fem lika enheter. Elever kan ange rätt svar utan att förstå, kunna kontrollera eller motivera det. Många elever inser heller inte problemet med att blanda enheter, som olika stora gem, bara de täcker föremålets längd. När elever mäter med linjal börjar de ofta vid siffran 1, som om den vore startpunkten. När de stegar tomtesteg (häl tå) börjar de räkna när de flyttar första foten. Bakom detta finns en missuppfattning om att mätning hör samman med förflyttning. Markeringar på linjal eller förflyttning av en fot signalerar att man ska börja räkna och inte att en del av utrymmet är täckt. Det är också vanligt att elever inledningsvis enbart fyller upp med hela enheter. Om enheten sträcker sig förbi objektets ändpunkt, eller om objektet är längre än enheten bortser de från överskjutande delar. När elever ska gå över till att mäta med formella längdenheter kan ett mellansteg vara att använda Annies kloss. Klossen är tillverkad av en träbit som är 1 cm tjock och 1 dm/10 cm lång. På klossen är ett snöre på 1 meter fastsatt. Eleverna kan mäta längder av olika slag, först ett antal hela metrar med det losstagna snöret, sedan antal decimetrar och slutligen antal centimetrar. Klossen har fått sitt namn efter Annie Selle på Hovinhøgda skole i Fet kommune, Norge. Så vitt vi vet saluförs inte klossen i Sverige. Kanske lämplig aktivitet för samverkan med slöjden http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (9)
Area och volym Motsvarande texter om area och volym finns under fördjupningen. Mäta massa eller att väga Redan små barn upptäcker att föremål är olika tunga. De lyfter somliga föremål enkelt med en hand, medan de för andra behöver använda båda händerna. En del objekt är tyngre än de klarar att lyfta. Moa kan bära omkring sitt gosedjur hela dagen men den fina stenen som hon hittat blir snart för tung. Genom erfarenhet lär hon sig att hon kan flytta en stol men matbordet står kvar trots att hon tar i allt vad hon kan. I lekar hamnar både stora och små över och under varandra. Det är bäst när den vuxne hamnar underst. Små barn får erfarenhet av att den egna vikten förändras när de möter uttryck som så stor och tung du blivit, snart orkar jag inte bära dig. Det kan ge föreställningen att vikt är relaterad till storlek. Vardagserfarenheter motsäger det. En liten metallkula kan vara tyngre än en stor ballong. Frågan vilket väger mest, ett kilo bomull eller ett kilo bly? som många barn utmanar varandra med tyder på en gryende förståelse för att mäta storheten vikt. Också för massa är direkt jämförelse en inledande aktivitet, där objekt med olika vikter kan storleksordnas. Händerna kan vara redskap. Genom att jämföra två föremål i taget, ett i varje hand som en balansvåg, kan vi avgöra vilket av dem som är tyngre än det andra. När flera objekt ska storleksordnas efter vikt, kan de vägas i händerna två och två och ordnas efterhand. Vägning i vardagen kan vara kopplat till affären. I frukt- och grönsaksdisken är det ofta självbetjäning och kunden lägger sina varor en våg, där det finns en bild på varan att trycka på. Som resultat av vägningen kommer en klisterlapp, där det mest synliga är priset. På samma sätt är det med lösgodis. Du får köpa för femton kronor fokuserar på priset och inte på hur många hekto(gram), som påsen får väga. Sambandet mellan en varas vikt, dess kilopris och hur mycket den kostar är komplext. Ord som tung lätt och deras komparationer hör samman med vikt. Också objekt med liten vikt kan beskrivas som tyngre eller tyngst. Världens minsta fågel, bikolibrin, väger knappt två gram. Jämfört med sitt ägg är den vuxna fågeln fem gånger tyngre. Jämfört med vikten på en personbil är fågeln lätt. Jämfört med en tung lastbil eller ett transportplan är personbilen lätt. För att besvara frågor om hur tung, hur mycket tyngre och hur mycket lättare behöver vi ett mätetal kopplat till lämplig enhet. Enheten kilo(gram), kg, är central. Andra formella enheter har bestämda relationer till den. För att utveckla en intuitiv känsla för formella viktenheter, behövs erfarenheter som med hjälp av olika sinnen skapar förståelse för deras relationer och ger referenser att förhålla sig till. När vi vet att ett fullt mjölkpaket innehåller en liter, har vi en förståelse för storleken på en liter. Att veta att den fulla mjölkpaketen väger ungefär ett kilo ger en referens för den enheten. Centikuber har användbara egenskaper: en sida är 1 cm, en sidoyta är 1 cm 2, volymen är 1 cm 3 och vikten är 1 g. Vilka objekt i omvärlden har ungefär den vikten? Hundra sammansatta klossar väger 100 g, dvs ett hekto(gram), hg. Vilka objekt i omvärlden har ungefär den http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (9)
vikten? Tusen sammansatta klossar har vikten 1000 g, dvs 1 kg. Vilka objekt i omvärlden har ungefär den vikten? Numera används viktsatser, som de på bilden, sällan i vardagen men tillsammans med laborativa material som kan sättas samman för att illustrera relationer, t ex centikuber, kan de vara användbara för att utveckla förståelse för relationer mellan viktenheter och den fysiska känslan för dem. För direkta jämförelser är balansvågar praktiska. Vissa laborativa material, exempelvis Jämförbjörnar, har också bestämda viktrelationer. Den stora björnen väger lika mycket som två mellanstora eller tre små. Hur många mellanstora björnar väger lika mycket som två små? Hur många små björnar väger lika mycket som tio stora? För att få fram en exakt vikt kan olika vågar användas. Det värde som vågen anger ska läsas av och tolkas. För det krävs förståelse för både talet som visas och viktenheten som vågen mäter i. Litteratur och referenser Barrett, J. E: & Clements, D. H. (2003). Quantifying path length: Fourth grade children s developing abstractions for linear measurement. Cognition and Instruction 2 (4). Bryant, P. (2007). Understanding space and its representation i mathematics: In Nunes, T., Bryant, P. & Watson, A. Key Understandings in mathematics learning. University of Oxford. Clements, D. H. & Stephan, M. (2004). Measurement in Pre-K to grade 2 mathematics In Engaging young children in mathematics, D. H. Clements & J.Sarama & A.-M. DiBiase (Red). Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates. Clements, D. H. & Battista, M. T. (2007). Geometry and spatial reasoning. In Lester, F. (Red). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Charlotte NC: Information Age Publishing. Hagerup, I. (1976). Samlede dikt. Oslo: Aschehoug. Heiberg Solem, I. & Lie Reikerås, E.K. (2004). Det matematiska barnet. Stockholm: Natur och kultur. http://matematiklyftet.skolverket.se 8 (9)
Nationalencyklopedin. Metersystemet. www.ne.se/lang/metersystemet Sveriges Tekniska Forskningsinstitut. Historia. www.sp.se/sv/index/information/history/sidor/default.aspx van den Heuvel-Panhuzen, M & Buys, K. (Red) (2005). Young children learn measurement and geometry. Utrecht University, the Netherlands: Freudenthal Institute. http://matematiklyftet.skolverket.se 9 (9)