Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

Finansmatematik II 1 Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj av tillgångar. Vi ska numrera dessa 1,..., N så att de första m tillgångarna är de som finns i vår portfölj och låta p 1,...p N beteckna tillgångarnas vikter i index. Exempel på svenska aktieindex är OMX index som består av de 30 mest omsatta aktierna på Stockholmsbörsen. Ett mer omfattande index är Affärsvärldens Generalindex (AFGX) som består av c:a 300 aktier. Detta är Sveriges älsta aktieindex och går tillbaks till 1901. Exempel på internationellt välkända aktieindex är Dow Jones (DJIA) och Standard and Poor 500 (S&P 500 ). Det finns även världsindex som är mycket omfattande portföljer. Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som β = Cov(R, R M )/σ M. Här är R och R M aktiens respektive marknadens avkastning under en kort tidsperiod, en dag t.ex., och σm = Var(R M ). Vi ska i våra exempel använda M=AFGX. Övning 1 Visa att Var(R br M ) minimeras för b = β. Driften under en tidsperiod av längd t är ν t medan volatiliteten är σ t. Driften under en kort tidsperiod torde därför vara försumbar jämfört med volatiliteten. Att det verkligen är så visas av Tabell 1, där data från Period 1-4 i Tabell 1 i Kapitel.3 har använts. Tidsperiodens längd är en dag och enheten %. Tabell 1 AFGX AZN LME HM SDIA SKA Drift 0.09 0.07 0.18 0.14 0. 0.07 Volatilitet 1.5.0 3.1.7 3.0 1.7 Detta faktum och resultatet i Övning 1 förklarar betas roll och vi har alltså Låt R βr M. e = R βr M och låt ρ beteckna korrelationskoefficienten mellan avkastningarna av aktien och marknaden ρ = Cov(R, R M) σσ M,

Samvariation med marknaden 3 där σ är aktiens volatilitet. Övning Visa att Var(R) = Var(βR M ) + Var(e) och att Var(βR M ) = ρ σ och Var(e) = (1 ρ )σ. Talet ρ kallas förklaringsvärdet och är alltså den proportion av variansen för R som kan hänföras till variationen i marknaden. I Tabell ges beta- och förklaringsvärdena för FEM AKTIER under Period 1-4. Tabell AFGX AZN LME HM SDIA SKA β 1 0.43 1.46 0.73 1.07 0.4 ρ 1 0.10 0.47 0.16 0.6 0.1 För att få en uppfattning hur dessa skattningar varierar under olika tidsperioder återges i Tabell 3 skattningarna under fem år. Skattningarna är baserade på data från en tidsperiod som är 4 år lång och slutar den 15 april det angivna året. Källa: Öhmans BÖRS GUIDE. Tabell 3 År AZN LME HM SDIA SKA β 98 0.98 1.4 1.13 0.84 1.0 99 0.85 1.41 0.67 0.84 0.46 00 1.80 0.61 1. 0.40 01 1.9 0.70 1.4 0.30 0.16 0.83 1.65 0.39 ρ 98 0.50 0.39 0.3 0. 0.41 99 0.38 0.5 0.16 0.5 0.04 00 0.65 0.19 0.43 0.1 01 0.76 0.0 0.48 0.10 0 0.88 0.6 0.61 0.09 I kolumnen AZN återges skattningarna för Astra. Värden från och med 000 saknas eftersom Astra då gick samman med Zeneca och det nya bolaget inte funnits i fyra år. Våra data från AZN består av en ihopskarvning av Astra och AstraZeneca. En akties alfavärde, α, definieras som α = Ee.

4 Finansmatematik II Vi har alltså R = α + βr M + e, där e är okorrelerad med R M och har väntevärdet 0. Vi har sett i Kapitel.4 att det är närmast ogörligt att skatta avkastningen och därmed α med tillräcklig precision för en enskilld aktie. Alfa- och betavärdena för en portfölj eller fond definieras på samma sätt som för en aktie. I detta fall står R för portföljens eller fondens avkastning. Övning 3 Låt β i beteckna betavärdet för tillgång i, i = 1,..., N. Visa att p 1 β 1 +... + p N β N = 1. Övning 4 Antag att korrelationen är gemensam; σ i,j = σ i σ j ρ för i j. Visa att σ M β i = σ i (ρ σ + (1 ρ)p i σ i ) och där N σm = ρ σ + (1 ρ) (p j σ j ), j=1 N σ = p j σ j. j=1 3 Betaportföljen Vi ska här bestämma vikterna för den portfölj som består av givna aktier och som har störst korrelation med marknaden. Låt därför ρ(v) = ρ(r P, R M ) beteckna korrelationskoefficienten mellan portföjens och marknadens avkastningar, där v står för portföljvikterna. Övning 5 Visa att ρ(v) = v β v Qv σ M, där β = (β 1,..., β m ) är portföljaktiernas betavärden. Övning 7 Visa att ρ(v) = x y x σ M,

Samvariation med marknaden 5 där x = Q 1 v och y = Q 1 β. Det följer av Schwarz olikhet att korrelationen maximeras då x = cy, d.v.s. v = cq 1 β, och c > 0. (Om c < 0, så minimeras korrelationen.) Talet c bestämmes av att vikterna ska summera till 1. Vi ska kalla denna portfölj för Betaportföljen. Observera att denna portfölj existerar endast om 1 Q 1 β > 0. Övning 8 Låt β = 1 P β och antag att β > 0. a) Visa att Betaportföljen har vikterna v β = P β/β. b) Visa att Betaportföljens korrelation med marknaden är samt att portföljens volatilitet är ρ β,m = σ M σ β P β = σm β Q 1 β σ β = σ β P β/β = β Q 1 β/1 Q 1 β. Det följer att Betaportföljens betavärde β β = Cov(R β, R M )/σ M = ρ β,m σ β /σ M = β P β/β. Övning 9 Visa att minimivariansportföljens betavärdevärde är β samt att minimivariansportföljens korrelation med marknaden och betaportföljen är ρ min,m = σ M β β respektive ρ σ min,β =. β P β Det följer att ρ min,m = ρ min,β ρ β,m. Figur 1 visar utvecklingen av (de ej ombalanserade) Beta- och minimivariansportföljerna samt AFGX under Period 4. (I detta fall är det ingen stor skillnad mellan den ombalanserade och den orörda portföljen.) Vikterna skattades med data från Period 1-3. Resultatet framgår av följande tabell. Tabell 4 AZN LME HM SDIA SKA σ β ρ ρ β 0.63 1.49 0.75 1.11 0.58 v β 0.0 0.40 0.11 0.16 0.13 0.9 1.05 0.58 0.76 v 0.35 0.01 0.17 0.01 0.47 0.3 0.64 0.35 0.59 I kolumnerna till höger står står portföljernas volatiliteter, betavärden, förklaringsvärden och korrelationer med marknaden under Period 1-3.

6 Finansmatematik II BETA 1.8 1.6 1.4 AFGX 1. 1 MIN 0.8 0 50 100 150 00 50 300 Figur 1: Utveckling av Beta- och Minimivariansportföljerna under Period 4 AFGX hade volatiliteten 0.1 under Period 1-3. Den ej ombalanserade betaportföljen fick volatiliteten 0.37 under Period 4 (alltså väsentligt större än under Period 1-3). Den dagligen ombalanserade betaportföljen har volatiliteten 0.34. Volatiliteten för AFGX ökade under period 4 till 0.6. Trots denna ökade volatilitet ökade inte volatiliteterna i minimivariansportföljerna utan dessa blev 0. oavsett portföljen omviktades eller ej. I Figur återges portföljernas utveckling under Period 1-4. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på y-axeln motsvarar en dubbling/halvering. Betaportföljens volatilitet var 0.31 att jämföra med 0.3 för AFGX och 0. för minimivariansportföljen. Övning 10 Antag att korrelationen är gemensam; σ i,j = σ i σ j ρ för i j. Visa att betaportföljens vikter är proportionella mot w i = p i + κ σ m σ i, där κ är som i Övning 1 i Kapitel 3.6 och σ m = i>m p iσ i. Det följer att betaporföljen har positiva vikter i detta fall. I fallet ρ = 0 är alltså vikterna proportionella mot indexvikterna, v β (i) = p i /s m, där s m = p 1 +...p m. Övning 11 Betrakta samma situation som i föregående övning. Antag att ρ > 0 och m < N. Visa att v β (i) < p i /s m om och endast om 1/σ i p i <. 1/σ 1 +... + 1/σ m p 1 +... + p m

Samvariation med marknaden 7 3.5 log(beta) log(afgx) 1.5 1 log(min) 0.5 0 0.5 0 00 400 600 800 1000 100 Figur : Utveckling av Beta- och Minimivariansportföljerna under Period 1-4. Logaritmisk skala. Då ρ > 0 viktas alltså högvolatila och indextunga aktier ned relativt index. Man behöver inte känna volatiliteterna och vikterna för samtliga aktier i index för att beräkna σ utan det räcker med de mest indextunga. Den sista identiteten i Övning 4 kan även formuleras σ = σ N M ρ (1 S), där S = (1 ρ)p jσj /σm. j=1 Övning 1 Visa att bidraget till summan S från tillgångar som uppfyller (1 ρ)p j σj /σ M < ɛ är < ɛ. Vi har alltså olikheten σ < σ M ρ och denna övre gräns är en god approximation i de fall ingen tillgång har hög vikt i index. Exempel FEM AKTIER. Parametrarna skattades med data från Period 1-3. Indexvikterna togs från slutet av Period 3; 1999 10 9. Dessa finns i första raden i tabellen nedan. Den gemensamma korrelationen skattades med medelvärdet av korrelationerna, ρ = 0.37 och σ skattades med 0.3. Se nedan. Vikterna för Betaportföljen med gemensam korrelation, v gem β, finns i fjärde raden i tabellen. Som jämförelse har även vikterna i den portföjl som har vikter proportionella

8 Finansmatematik II mot indexvikterna, v prop β, beräknats. Avståndet mellan dessa portföljvikter och de tidigare skattade vikterna, v β, anges i kolumnen längst till höger. Även det viktade medelvärdet σ m = m j=1 p jσ j /s m anges. Enheten är %. Tabell 5 AZN LME HM SDIA SKA Avst. Indexvikter 5.90 16.15 6.16 3.17 1.16 v prop β 18 50 19 10 4 7.7 v β 0 40 11 16 13 0 v gem β 7 31 16 15 11 4.8 Volatiliteter 31 45 36 44 8 σ m = 40 Den övre gränsen σ afgx / ρ = 0.348 ger förmodligen ett för högt värde åt σ eftersom det i detta fall finns indextunga bolag. Här följer bidragen från FEM AKTIER till summan S i Övning 1. AZN LME HM SDIA SKA Summa. 0.0047 0.0764 0.0070 0.007 0.0001 0.0910 Dessa bolags totala indexvikt är 0.33. Om man ersätter S med enbart bidraget från LME sjunker den övre gränsen till 0.3346. Om man tar med samtliga fem aktier får man 0.330. Förutom HM och AZN finns det ytterligare några indextunga bolag i indexet men som inte är med i vår portfölj. Därför σ = 0.3. Vi ska nu resonera som i näst sista stycket i Kapitel 3. Att döma av Tabell 7 nedan skulle avståndet vara c:a 0.05/ om periodlängden hade varit 104 dagar men den är 768 = 3 4 104 dagar. Därför torde slumpfelet vara c:a 4/3 0.05 0.64 5%. Därför kan vi inte heller i detta fall avgöra vilken av skattningarna som ligger närmast sanningen (d.v.s. betaportföljen). I Figur 3 visas utvecklingen av betaportföljen med gemensam korrelation tillsammans med AFGX och den tidigare skattade betaportföljen. Den förstnämnda är streckad och ligger mellan de andra två som är heldragna. Vi ska nu återgå till en allmän kovariansmatris och studera stabiliteten hos skattningarna av vikterna. Sats 1 Antag att aktiepriserna utvecklas enligt Modell B. Skattningen ˆv β av vikterna i betaportföljen är, då n, asymptotiskt normalfördelad med väntevärde v β och kovariansmatris där k ( P v v T + (v β v )(v β v ) T ), n σ σ afgx β P β k = β σ afgx. Beviset för denna sats utelämnas.

Samvariation med marknaden 9 Beta 1.8 1.6 Gem 1.4 AFGX 1. 1 0.8 0 50 100 150 00 50 300 Figur 3: Utveckling av Betaportföljen med gemensam korrelation under Period 4 Betaportföljens vikter för våra fem aktier skattade under de olika perioderna framgår av följande tabell. Tabell 6 AZN LME HM SDIA SKA Period 1 0.3 0.44 0.03 0.14 0.16 Period 0.13 0.40 0.13 0.18 0.16 Period 3 0. 0.34 0.19 0.17 0.08 Period 4 0.09 0.49 0.19 0.19 0.04 Period 1-0.17 0.4 0.08 0.17 0.16 Period 3-4 0.14 0.43 0.18 0.18 0.07 Period 1-4 0.15 0.44 0.15 0.18 0.09 Definiera d teor och d obs på motsvarande sätt som för minimivariansportföljen. I nedanstående tabell ges dessa avstånd för ett antal olika periodlängder. Tabell 7 Periodlängd Antal perioder ˆdteor d obs d obs / ˆd teor 104 1 0.05 51 0.07 0.05 0.64 56 4 0.10 0.05 0.5 18 8 0.6 0.16 0.60 64 16 7 6.0 0.03 3 3 1.05 0.44 0.4

10 Finansmatematik II Den stora avvikelsen vid periodlängden 64 beror på att under en av perioderna blev β mycket liten i förhållande till betavärdenas absolutbelopp. I likhet med minimivariansportföljen verkar skattningarna av denna portföljs vikter vara rimligt stabila om man skattar med data från några år. 4 Marknadsneutrala portföljer Idén bakom marknadsneutrala portföljer beskrivs på www.brummer.se/ hedgefunds.html: Redan 1949 startade Alfred Jones vad som anses vara världens första hedge fund.... Det mest revolutionerande i Jones förvaltning var att han inte bara köpte aktier som han ansåg vara undervärderade. Han sålde också aktier han ansåg övervärderade utan att inneha själva värdepapperet, d.v.s. han blankade aktier. När kurserna steg tjänade han pengar på sina köpta aktier, medan han förlorade på sina blankningar som blev dyrare att köpa tillbaka. Å andra sidan tjänade han pengar på dessa blankningar när kurserna föll, vilket motverkade förlusterna på de köpta aktierna. Resultatet blev en portfölj som var mindre beroende av marknadens svängningar i allmänhet och mer beroende av Jones egen förmåga att analysera enskilda aktier.... Vi ska säga att en portfölj är marknadsneutral om portföljens avkastning är okorrolerad med marknadens avkastning; Cov(R P, R M ) = 0 d.v.s. v 1 β 1 +... + v m β m = 0. Övning 13 Visa att en portfölj är marknadsneutral om och endast om den är okorrolerad med betaportföljen. Övning 14 Visa att den marknadsneutrala portfölj som har minst varians har vikterna γv + (1 γ)v β, där γ = β P β β P β β. Figur 4 visar utvecklingen av denna portfölj under Period 4. Vikterna skattades med data från period 1-3. Den beräknade volatiliteten är 0.36. I detta fall blev γ =.54 och portföljen har vikterna 0.60, -0.58, 0.7, -0.7, 0.98. Observera att i detta fall är det stor skillnad mellan den orörda och den dagligt eller kontinuerligt ombalanserade portföljen.

Samvariation med marknaden 11 1.5 AFGX 1 Continuosly and daily rebalanced 0.5 0 Unchanged 0.5 0 50 100 150 00 50 300 Figur 4: Utveckling under Period 4 av AFGX och den marknadsneutrala portfölj som har minst varians. 5 Capital Asset Pricing Model Låt R T beteckna tangentportföljens avkastning, R T = v 1 R 1 +... + v m R m. Då Vidare gäller Cov(R i, R T ) = m σ i,j v j = (Qv T ) i = σ r i r f. r r f j=1 Var(R T ) = σ (r T ) = σ ( (r T r ) ) 1 + = σ r T r f τ. r r f Här använde vi oss av identiteten i Övning 13 i Kapitel 4.4. Därför eller ekvivalent där r i r f = β i,t (r T r f ) för i = 1,..., m r i r f σ i = ρ i,t r T r f σ T, β i,t = Cov(R i, R T )/σ T och ρ i,t = Cov(R i, R T ) σ i σ T. Detta är en matematisk identitet som gäller oavsett hur många tillgångar vi har i portföljen. Antag att vi utvidgar portföljen till att omfatta samtliga aktier på marknaden. Enligt en ekonomisk teori kallad Capital Asset Pricing Model (CAPM)

1 Finansmatematik II överensstämmer marknadsportföljen med tangentportföljen och tangentportföljen är därmed känd. Betavärdena definieras av kovvarianser som går att skatta med hjälp av historiska data och därmed kan betavärdena betraktas som kända. Identiteten (CAPM-identiteten) r i r f = β i (r M r f ) gäller därför för alla aktier på marknaden och speciellt för i = 1,..., m. Övning 15 Antag att CAPM-identiteten gäller och att (r M r f )β > 0. Visa att betaportföljen är tangentportföljen. CAPM skulle alltså lösa portföljvalsteorins huvudproblem: att finna tangentportföljens vikter. Det är därför av intresse att undersöka hur pass väl CAPM stämmer med verkligheten. Övning 1 förklarar betas roll. Själva CAPM-identiteten är emellertid en utsaga om förväntad avkastning, (E(R i β i R M ) = r f (1 β i )), och vi vet från Kapitel.4 att vi inte kan göra några precisa uttalanden om detta väntevärde på grund av att volatiliteten är för stor. Trots detta ska vi i göra ett försök. Övning 16 Visa att Cov(R i β i R M, R j β j R M ) = σ i,j β i β j σ M. Avkastningar och förväntad avkastning enligt CAPM i vår exempelportfölj under Period 1-4 blev: Tabell 8 AZN LME HM SDIA SKA avkastning 0.3 0.56 0.45 0.67 0.0 förväntad avk. 0.13 0.34 0.19 0.6 0.13 Avkastningarna är medelvärdet av dagsavkastningarna multiplicerat med 50. STIBOR-räntan varierade under perioden mellan 3.0 och 4.85%. I tabellen är r f konstant =4%. Observationsperiodens längd är T = 104 50 år. Antag att avkastningarna är fördelade enligt Modell B i Kapitel.5 och att CAPM-identiteten gäller. Låt X = (X 1,..., X m ), där X i = R i r f β i (R M r f ), i = 1,..., m = 5. Den stokastiska variabeln X är normalfördelad med väntevärde 0 och kovariansmatris Q/T, där Q är kovariansmatrisen i Övning 16. Därför är Z = T Q 1 X normalfördelad med väntevärde 0 och kovariansmatrisen I (identitetsmatrisen). Det följer att Z = T X Q 1 X är χ -fördelad med m = 5 frihetsgrader. Sätt χ = T ˆX ˆ Q 1 ˆX,

Samvariation med marknaden 13 där ˆ Q är skattningen av Q och ˆX är som X men med skattade betavärden. Dessa skattningar är konsistenta och därför är χ asymptotiskt χ fördelad med fem frihetsgrader. I vårt exempel minimeras χ som funktion av r f för r f = 1.9% och detta minimala värde är 6.49. För r f = 4% blir χ = 6.51 att jämföras med percentilerna χ 0.(5) = 7.9 och χ 0.3(5) = 6.06. Om CAPM-identiteten gäller hade vi alltså i mellan 0 och 30% av fallen fått en större avvikelse. Vi kan alltså inte förkasta modellen. Å andra sidan kan vi heller inte förkasta den enklare modellen: r i = β i r M för vilken χ också är 6.51. I 80% av fallen gäller alltså χ < 7.9. Denna olikhet är uppfylld då 1% < r f < 16%. Vi ska nu försöka belägga att det finns ett positivt samband mellan avkastningar och betavärden för aktierna i vår exempelportfölj. Data från de fyra perioderna framgår av nedanstående tabell. Tabell 9 AFGX AZN LME HM SDIA SKA Period 1 avk. 0.39 0.18 0.79 0.68 0.7 0.19 beta 1 0.96 1.36 0.60 0.98 0.65 Period avk. 0.04 0.0 0.03 0.61 0.45 0.14 beta 1 0.44 1.0 0.7 1.19 0.53 Period 3 avk. 0.39 0.46 0.8 0.5 0.67 0.3 beta 1 0.83.09 0.9 1.3 0.64 Period 4 avk. 0.4 0.9 0.56 0.00 0.80 0.7 beta 1 0.09 1.45 0.70 1.0 1.14 Period 1-4 avk. 0.4 0.3 0.56 0.45 0.67 0.0 beta 1 0.43 1.46 0.73 1.07 0.4 Observera att under Period är avkastningen för AFGX lägre än räntan och därför har den aktie som har högst betavärde lägst förväntad avkastning enligt CAPM. För att få en uppfattning av om det finns ett samband rangordnar vi aktiernas avkastningar och betavärden. Tabell 10 AZN LME HM SDIA SKA d Period 1 avk. 5 1 3 4 beta 3 1 5 4 4 Period avk. 4 5 1 3 beta 1 5 3 4 8 Period 3 avk. 4 1 3 5 beta 4 1 3 5 0 Period 4 avk. 4 3 5 1 3 beta 5 1 4 3 6 Period 1-4 avk. 4 3 1 5 beta 4 1 3 5 I kolumnen längst till höger står avståndet mellan avkastningar och betavärden: d = x 1 y 1 +... + x 5 y 5, där x 1,..., x 5 och y 1,..., y 5 är rangerna av avkastningarna respektive betavärdena.

14 Finansmatematik II Antag att det inte finns något samband, att rangerna är slumpmässiga permutationer av talen 1,...,5. Låt p(d) beteckna sannolikheten att avståndet mellan två slumpmässiga permutationer är d. Om man utnyttjar att d har samma fördelning som 1 y 1 +... + 5 y 5 och går igenom de 10 olika möjligheterna, finner man att sannolikhetsfördelningen ges av d : 0 4 6 8 10 1 10p(d) : 1 4 1 4 35 4 0. Börja med att titta på Period 1-4. I detta fall är avståndet. Sannolikheten att slumpmässiga permutationer ger ett avstånd som är högst lika med är 1/4. Sånt händer (nämligen en gång på 4). Om vi istället använder hela materialet och beräknar summan av avstånden under de fyra perioderna, så blir denna 18. Utfallen under de fyra perioderna är stokastiskt oberoende varför fördelningen av summan kan beräknas med hjälp av ovanstående fördelning. Man finner att sannolikheten att summan är högst lika med 18 är 0.01. Sånt händer också men bara en gång på 100. Slutsatsen blir att det verkar finnas ett positivt samband mellan avkastning och betavärden. Sammanfattning Enligt CAPM gäller identiteten r i r f = β i (r M r f ). Vi har inte funnit något som motsäger denna men kan ej heller verifiera den. I vårt exempel finns ett positivt samband mellan avkastning och betavärden. Om CAPM gäller, så överensstämmer tangentportföljen med betaportföljen. 6 Följder av CAPM Vi ska här anta att CAPM-identiteten gäller och se vilka följder detta får. Övning 17 Sätt = r M r f och antag och att β > 0. a) Visa att tangentportföljens förväntade avkastning och varians ges av b) Visa att r T = r f + β P β respektive σt = σ β P β β β. r = r f + β, τ = (β β 1) P (β β 1). Övning 18 Låt V och α vara som i Sats 1 i Kapitel 4.5. Visa att V = β P β σ och α = β σ. Det följer av Sats 1 och i Kapitel 4.5 och ovanstående övning att den maximala tillväxtportföljen har vikten α = β σ i tangentportföljen och resten i kassan, förutsatt att a σ β, där a är den maximala vikten i aktieportföljen. I annat fall ges aktieportföljens vikter av

Samvariation med marknaden 15 vmax(a, ) = av + β σ (v T v ). Vikterna hos den portfölj som ger maximal tillväxt beror alltså på vad vi tror om den framtida börsutvecklingen och om portföljen få belånas, d.v.s. på och a. I vårt exempel är (med skattningarna baserade på data från Period 1-3) β σ Betrakta tre situationer: (v T v ) = ( 1.97, 4.77, 0.77,.13, 4.16), A Vi tror på en måttlig börsutveckling, = 0.05. B Vi tror på en god börsutveckling, = 0.10, men vill inte belåna aktieportföljen. C Vi tror på en stark börs, = 0.35, och är beredda att belåna portföljen maximalt. I fall A blir α = 0.6 och därmed ska 6% placeras i tangentportföljen och resten i kassan. Utvecklingen av denna portfölj under Period 4 visas i Figur 5. Förräntnigen i kassan är satt till 4%. Portföljens volatilitet blev 0.1 och avkastningen 3% att jämföra med 0.8 respektive 3% för AFGX. I fall B blir α = 1.4. Eftersom α > 1 och portföljen inte ska belånas ska vi vara fullinvesterade i den aktieportfölj som har vikterna vmax(1, 0.10) = (0.16, 0.49, 0.10, 0.1, 0.05). Volatiliteten blev 0.39 och avkastningen 54%. Se Figur 6. I fall C är α = 4.35 och den maximala vikten i aktieportföljen 3.15=315%. Vi ska alltså ha -.15 i kassan och 3.15 i den aktieportfölj som har (de relativa) vikterna vmax(3.15, 0.35)/3.15 = (0.13, 0.54, 0.09, 0.3, 0.00). Se Figur 7. Låneräntan är satt till 7%. Volatiliteten blev 1.3=13% och avkastningen 90%. Det framgår att belåning har en hävstångseffekt på portföljutvecklingen. Både uppåt och nedåt. En maximalt belånad portfölj måste med nödvändighet ombalanseras då aktieportföljen minskar i värde. Alla tre portföljerna har ombalanserats dagligen. I Figurerna 8, 9 och 10 visas utvecklingen av dessa portföljer under hela perioden 1-4. Portföljernas volatiliteter (per år) och årliga tillväxtfaktorer framgår av nästa tabell. (Den årliga tillväxtfaktorn i intervallet (0, T ) är (P (T )/P (0)) 1 T, där P (0) och P (T ) är portföljens värde vid tiden 0 respektive T år.) AFGX PORTF.A PORTF.B PORTF.C Volatilitet 0.3 0.19 0.35 1.17 Tillväxtfaktor 1.4 1.34 1.61.59 I Figur 10 är det svårt att avläsa portföljutvecklingen i början. En plot med logaritmisk skala på y-axeln blir tydligare. Se Figur 11.

16 Finansmatematik II 1.8 1.7 AFGX 1.6 1.5 1.4 PORTF.A 1.3 1. 1.1 1 0.9 0 50 100 150 00 50 300 Figur 5: Utveckling av Portfölj A under Period 4. PORTF.B 1.8 1.6 1.4 1. AFGX 1 0.8 0 50 100 150 00 50 300 Figur 6: Utveckling av Portfölj B under Period 4

Samvariation med marknaden 17 1 PORTF.C 10 8 6 4 AFGX 0 0 50 100 150 00 50 300 Figur 7: Utveckling av Portfölj C under Period 4 7 Marknadsportföljen I detta avsnitt ska vi betrakta samtliga N aktier i index. Vektorn med aktiernas vikter i index betecknas med p = (p 1,..., p N ). Matrisen Q är en N N matris, vektorn β har dimensionen N e.t.c. CAPM-identiteten förutsätts gälla men i Övning 19 och Övning 0 a behövs inte detta antagande. Övning 19 Enligt CAPM överensstämmer p med tangentportföljen. D.v.s. Verifiera detta med en direkt räkning. Övning 0 a) Visa att P β β = p. β = σ σ M 1. b) Låt α och V vara som i Övning 18. Visa att α = σ M och V = σm. Om vi vill ha maximal tillväxt så ska vi enligt Satserna 1 och i Kapitel 4.5 ha en del i kassan och resten, α, i marknadsportföljen förutsatt att α a. Enligt Övning 0 b gäller detta inte om > aσ M.

18 Finansmatematik II 4 3.5 3 PORTF.A.5 AFGX 1.5 1 0.5 0 00 400 600 800 1000 100 Figur 8: Utveckling av Portfölj A under Period 1-4 10 9 8 7 PORTF.B 6 5 4 3 AFGX 1 0 0 00 400 600 800 1000 100 Figur 9: Utveckling av Portfölj B under Period 1-4

Samvariation med marknaden 19 300 50 PORTF.C 00 150 100 50 0 AFGX 0 00 400 600 800 1000 100 Figur 10: Utveckling av Portfölj C under Period 1-4 9 8 7 6 5 4 log(portf.c) 3 log(afgx) 1 0 1 0 00 400 600 800 1000 100 Figur 11: Utveckling av Portfölj C under Period 1-4. Logaritmisk skala.

0 Finansmatematik II Med σ M = 0.3 och a = 1 (aktieportföljen får ej belånas) tar denna olikhet formen > 0.05. Om maximal belåning av aktieportföljen är tillåten (och 1/(1 b p) 3), så blir olikheten i stället > 0.16. Vi har alltså gjort följande Observation Antag att CAPM-identiteten gäller. Den portfölj som ger maximal tillväxt har en del i kassan och en del i marknadsportföljen, förutsatt att aσm. I annat fall överenstämmer aktieportföljen inte med marknadsportföljen. Speciell gäller det senare i följande två fall. a) Om aktieportföljen inte får belånas och man tror på en hygglig börsutveckling, > σm. b) Om aktieportföljen får belånas maximalt och man tror på en stark börs, > σm /(1 b p). Blandade övningar Övning 1 Betrakta den portfölj som liknar index mest i den meningen att skillnaden mellan portföljens och indexets avkastning har minimal varians. Visa att denna portfölj har vikterna där och där c i = Cov(R i, R M ). νv β + (1 ν)v, ν = σ M β /σ = 1 Q 1 c Övning Beräkna vikterna för den marknadsneutrala portfölj som har maximal tillväxt. a) I fallet med noll kronor i kassan. b) Med kassa. Beräkna även portföljernas förväntade tillväxt. Svar: a) Samma som i Övning 14. b) Allt i kassan. Förväntad tillväxt = r f för båda portföljerna.