Uppsala Universitet Fysiska Institutionen Laurent Duda Tentamen i Vågor och Optik 5hp Skrivtid kl. 8-13 Hjälpmedel: Räknedosa, Physics Handbook eller motsvarande (även Mathematical Handbook är tillåten) Använda beteckningar ska definieras i text och/eller figur. Uppställda samband ska motiveras. Det kan vara nödvändigt att göra vissa approximationer i lösningsvägen men då ska dem motiveras och påpekas. Korrekt antal siffror ska anges i svaret. Lösningarna ska vara lättlästa och utförliga, men utan ovidkommande delar (undvik t.ex. konstnärliga ritningar m.m.), så att de är lätta att kontrollera. Viktigt! Endast lösning till ett problem på varje blad och använd inte baksidan! Skriv namn på varje inlämnat blad! För godkänd krävs minst 18 poäng av totalt 44 poäng. En lärare kommer till skrivsalen c:a kl. 10:00. Resultatet läggs ut på kurshemsidan och kan efterfrågas via e-mail till laurent.duda@fysik.uu.se. Lycka till!
Du som vet att du har fått 2 bonuspoäng under VT 2010 ska hoppa över uppgift 1, du som som vet att du har fått 4 bonuspoäng under VT 2010 ska hoppa över uppgift 1 och uppgift 2, du kommer EJ att erhålla extra-poäng om du löser dem ändå! Alla andra kan lösa och få poäng på uppgift 1 och 2. De 2 poängen ges enbart om man har minst 3 korrekta svar. 1. Betrakta polariserat ljus som skickas genom en lambdaplatta, dvs. dubbelbrytande material med en optisk axel som ligger parallellt med dess yta. Beskriv så noga som möjligt vilket polarisationstillstånd ljuset har efter det har genomgått nedanstående lambdaplatta om elektriska fältrikningen av det infallande ljuset (a) är parallellt till kvartsvågsplattans optiska axel. (b) Svar: linjärt. (c) bildar en vinkel på 45 med kvartsvågsplattans optiska axel. Svar: cirkulärt. (d) bildar en vinkel på 30 med kvartsvågsplattans optiska axel. Svar: elliptiskt. (e) bildar en vinkel på 45 med halvvågsplattans optiska axel. linjärt och vriden med 90 till den inkommande polarisation. Svar: Ledning: Skriv endast linjärt, cirkulärt, eller elliptiskt och, i förekommande fall, vilken orientering det linjärt polariserade ljuset har. (2p) 2. Betrakta naturligt, dvs. slumpmässigt polariserat, ljus som färdas i luft och sedan blir reflekterat av, resp.blir transmitterat genom en platta av vanligt glas (brytningsindex n=1.5). Beskriv så noga som möjligt det polarisationstillstånd ljuset har a) som reflekteras vid normalinfall. Svar: slumpmässigt. b) som reflekteras i Brewstervinkeln. Svar: linjärt pol., vinkelrätt till reflektionsplanet. c) som transmitteras vid normalinfall. Svar: slumpmässigt. d) som transmitteras när infallsvinkeln är lika med Brewstervinkeln. Svar: partiellt polariserad i reflektionsplanet. (2p)
3: En bassäng är fylld med vatten (20 cm djupt) och dess botten är en spegel. En liten fisk simmar 5 cm under vattenytan. (a) Hur djupt verkar fisken vara om man tittar nästan rakt uppifrån? Lösning: Använd konceptet t.ex. brytning i sfärisk yta (P.H. 5.7). Svar: -3.76 cm, dvs. 3.76 cm under vattenytan. (b) Hur djupt verkar fiskens spegelbild vara om man tittar rakt uppifrån? Spegelbilden är lika långt under bottnet som fisken är ovanför, dvs. 15 cm. Avståndet mellan denna spegelbild och vattenytan är 15 cm +15 cm + 5 cm= 35 cm. Svar:Betraktat uppifrån verkar den vara (se deluppgift a) 26.3 cm under vattenytan. 4: Ljus infaller vinkelrätt mot ena ytan av ett prisma med brytningsindex 1.52 som visas från sidan på bilden. Vilken är den maximala vinkeln a som ett sådant prisma kan ha utan att ljus kan lämna prismat genom den ytan som begränsas av kanterna A och C om prismat är omgiven av (a) luft resp. (b) vatten. (c) Vad kallas denna effekt? A (6) α B Svar: Använd Snells lag för att hitta vinkeln där ljuset bryts till 90 från hypotenusans ytnormal. a) 48.86, b) 28,96, c) det kallas inre totalreflektion. C (6)
5: En polisbil har en siren som skapa ett ljud med den rena frekvensen 2000 Hz. Beräkna den av lyssnaren uppfattade frekvensen i föjande fall a) Lyssnaren står still och polisbilen färdas rakt emot den med en hastighet 30 m/s. b) Polisbilen står still och lyssnaren färdas rakt emot den med en hastighet 30 m/s. c) Både lyssnarens bil och polisbilen har en hastighet av 15m/s och färdas rakt emot varandra. d) Lyssnarens bil har en hastighet av 10m/s och polisbilen kommer bakifrån med en hastighet av 20 m/s. Svar: Dopplereffekten leder till att den uppfattade frekvensen blir (P.H. 5.4): c # v f " = f L 0 där v c # v L är lyssnarens hastighet och v k är källans hastighet. v L K och v k är positiva tal när v L är riktad bort från källan och v k är riktad mot lyssnaren. Om man får anta att ljudhastigheten är c=340 m/s i samtliga fall erhåller man a) 2193.5 Hz, b) 2176.5 Hz, c) 2184.6 Hz, d) 2062.5 Hz. (4) 6: Betrakta en plan linjärpolariserad harmonisk elektromagnetisk våg som utbreder sig i negativ x-riktning i vakuum. (a) Skriv upp ett uttryck för funktionen som beskriver E-fältet E(x,t) för en sådan våg och den tillhörande funktionen som beskriver B-fältet B(x,t). Vad är fasskillnaden mellan E(x,t) och B(x,t)? Svar: E(x,t) = E 0 cos(kx +"t)ˆ z B(x,t) = B 0 cos(kx +"t)ˆ y ingen fasskillnad mellan E(x,t) och B(x,t). (b) Betrakta samma våg som reflekteras av en plan ledare som placeras vid x=0. Skriv upp ett uttryck för E(x,t) och B(x,t) för detta fall. Vad är fasskillnaden mellan E(x,t) och B(x,t)? (4) Svar: E(x,t) = E 0 cos(kx +"t)ˆ z # E 0 cos(kx #"t)ˆ z = #2E 0 sin kxsin"tˆ z B(x,t) = #B 0 cos(kx +"t)ˆ y # B 0 cos(kx #"t)ˆ y = #2B coskx cos"tˆ y En stående bildas och fasskillnaden mellan E(x,t) och B(x,t) är nu 90 (eller π/2).
7) En tråd som är 0.75 m lång och har en massa av 8.3 g spänns med en kraft 2241 N. a) Beräkna trådens grundfrekvens. (2) Svar: Frekvensen är en funktion av Spännkraften, trådens längd och trådens massa: f = 1 2 F, f=300 Hz. Lm b) Beräkna frekvensen av den högsta överton som är mindre än 3000Hz. (2) Övertonserien ges av: f = n 2 F Lm där n är ett naturligt tal. Den högsta övertonen mindre en 3000 Hz erhålls vid n=9 ger f=2700 Hz. 8) Två 10 cm långa glasskivor läggs på varandra så att de är i kontakt med varandra vid ena änden och en pappersbit med en tjocklek på 0.015mm separerar den andra änden. Skivorna belyses med monokromatiskt ljus vinkelrätt mot skivorna (λ = 650 nm). (a) Vad är avståndet mellan interferensfransarna som uppstår vid reflektion? (3) Svar: Interferens uppstår pga. den optiska vägskillnaden (fasskillnaden) mellan den andelen som reflekteras vid första ytan och den som reflekteras vid andra ytan mellan luftkilen och glasen. Fasskillnaden (δ) uppkommer dels som resultat av vägskillnaden (2t) och dels för att man får olika fasskift (0 resp. π) vid dessa ytor för reflektion. Man kan till exempel beräkna avstånden mellan två ljusa fransar. Då är " = 2# $ n2t + # = m2#. Luftkilens tjocklek är en funktion av avståndet från skivornas beröringspunkt,
papprets tjocklek och skivornas längd: t = d L x. Fransarnas avstånd beräknas till "x = #L 2d (b) Är fransen i kontaktlinjen ljus eller mörk? Motivera! (1) Vid kontaktlinjen är x=0 och fasskillnaden mellan vågdelarna går mot värdet π. Detta innebär destruktiv interferens, alltså är fransen vid kontaktlinjen mörk. 9: En glasplatta, vars tjocklek är 5.55 10-5 cm belyses med plant vitt ljus under en infallsvinkel av 30. Vilka våglängder inom det synliga spektralområdet (400-700 nm) kommer att synas speciellt intensivt i det ljus, som reflekteras i 30 vinkel mot glasytan? Vilka våglängder släcks ut totalt (ge svaret i vakuumvåglängder)? Glasets brytningsindex är 1.5. Svar: Som i uppgift 8, men infallet är nu 30. Villkor för konstruktiv interferens är " = m2# och fasskillnaden beräknas till (P.H.) " = 2# $ ( 2dn & 2dsin 2 % t ) + # = m2#. Lös ut λ ger: " = 6d cos# t cos% t cos% t 2m $1 För m=3: " = 628 nm, m=4: " = 449 nm. Analogt beräknas fasskillnaden för destruktiv interferens " = m2# + # och ger " = 6d cos# t 2m (6). För m=3: " = 523 nm.
10: En dubbelspalt med ett spaltavstånd av 0.050 mm och spaltbredd av 0.0050 mm belyses med parallellt monokromatiskt ljus med en våglängd av 500 nm. Ett interferens-diffraktionsmönster iakttas på en skärm som placeras i ett avstånd av 1 m. (a) Vilken är den högsta interferensordning i diffraktionsmönstrets centralbild som ger synliga fransar? Svar: Centralbilden är den delen av interferens-diffraktionsmönstret som ligger innanför de första diffraktionsminimum på varsin sida av centralmaximat. Interferensfransar finns där villkoret dsin" = m# uppfylls (d är spaltavståndet, och m är heltal). I den här uppgiften sammanfaller diffraktionsminimat som ges av villkoret bsin" = n# (b är spaltbredden, och n är heltal) med några interferensfransar när d b = n m. Då d b = 10 innebär det att de första diffraktionsminimum faller på de tionde interferensfransarna som alltså släcks ut och inte är synliga. M.a.o. alla interferensfransar till och med nionde ordningen är synliga inom centralbilden, vilket betyder att totalt 19 interferensfransar syns. (b) Hur stort är avståndet mellan två intilliggande interferensfransar på skärmen? Svar: Positionen på skärmen y och diffraktionsvinkeln q hänger ihop genom: tan" = y L, där L är avståndet mellan dubbelspalten och skärmen. För små vinklar kan man knyta ihop detta uttryck och villkoret för interferensmaxima: tan" #" = y L = m$ d = sin" #" och därmed y = m" d L. Insättning för m=1 ger y=0.01m, vilket också är lika med avståndet mellan två interferensfransar på skärmen.
(c) När en annan monokromatisk ljuskälla används observeras att avståndet mellan franserna minskar med 20 %. Vad var våglängden av denna ljuskälla? Svar: Man kan använda formeln i föregående deluppgift för att beräkna det nya λ : #" = m y " d L där y står för det nya avståndet mellan fransarna, alltså y =0.8y=0.008 m. Insättning ger: #" = 400 nm. (6)