Likhetstecknets betydelse

Malmö högskola Lärarutbildningen Natur - miljö - samhälle Examensarbete 10 poäng Likhetstecknets betydelse The meaning of the equal sign Lisa Fiebig Hanna Johansson Lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006 Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Eva Davidsson

2

Sammanfattning Syftet med denna studie var att ta reda på hur elever i skolår tre resonerade kring likhetstecknet när de löste pre- algebraiska uppgifter. För att kunna besvara vår frågeställning valde vi att göra en observationsstudie där eleverna fick sitta i grupp och lösa de olika uppgifter vi givit dem. Sju grupper observerades med tre elever i varje grupp och resultatet från vår studie visade att det fanns tre dominerande sätt att se på likhetstecknet. Det fanns de elever som såg likhetstecknet som ett resultattecken, de som kopplade ihop likhetstecknet med ett räknesätt och de som menade att likhetstecknet stod för ekvivalens. Vidare visade det sig att de elever som uppfattade likhetstecknet som ett resultattecken eller ett tecken som var kopplat till ett räknesätt hade svårt att lösa flertalet av de uppgifter vi givit dem. Nyckelord: algebra, ekvivalens, likhetstecknet, pre- algebra. 3

4

Innehållsförteckning 1. Inledning... 7 2. Syfte och frågeställningar... 9 3. Teoretisk bakgrund... 10 3.1 Algebra... 10 3.2 Pre- algebra... 11 3.2.1 Likhetstecknet... 12 3.3 Elevers kunskaper i algebra... 13 3.3.1 Trends International Mathematics and Science Study... 13 3.3.2 Gymnasieelevers algebraiska förmåga och förståelse... 14 3.3.3 Does understanding the equal sign matter?... 14 3.4 Lärande... 16 3.5 Styrdokument... 17 4. Metod... 19 4.1 Vetenskapligt angreppssätt... 19 4.2 Datainsamlingsmetod och bearbetning... 19 4.2 Vetenskaplig metod... 21 4.4 Forskningskriterier... 22 5. Resultat och analys... 23 5.1 Hur beskriver eleverna likhetstecknets betydelse?... 23 5.2 Elevernas resonemang kring likhetstecknet vid problemlösning... 25 5.2.1 Likhetstecknet som ett resultattecken... 25 5.2.2 Likhetstecknet kopplat till ett räknesätt... 26 5.2.3 Likhetstecknets ekvivalens... 29 6. Diskussion och slutsatser... 33 6.1 Likhetstecknet som resultattecken... 33 6.2 Likhetstecknet kopplat till ett räknesätt... 34 6.3 Likhetstecknets ekvivalens... 34 6.4 Slutsatser... 35 6.5 Metoddiskussion... 36 7. Avslutning... 37 Källförteckning... 38 Bilagor 5

6

1. Inledning Efter att ha läst snart 80 poäng i matematik har vi förstått hur viktig matematiken är för varje enskild individ. Både i vardagen och i samhället finns det olika former av matematik och kunskap i ämnet behövs för att kunna ta ställning i ett demokratiskt land som Sverige (Bergsten m.fl. 1997). Varje individ behöver kunna så pass mycket matematik att man kan klara av sin vardag utan att behöva hjälp från någon annan. Uppgiften som matematiklärare är att få sina elevers förtroende och få dem att förstå att matematiken är viktig för dem då den finns överallt i deras liv. Matematiken är ett språk som är internationellt och som används som ett kommunikationsmedel världen över. För att en elev som börjar skolan ska kunna lära sig uppbyggnaden av detta oändliga språk är det viktigt att denne får ett förtroende för matematiken och det är vi pedagoger som ska skapa detta förtroende. Inställningen och framförallt kunskapen hos pedagoger är väsentlig eftersom varje elev ska få tillfredsställelse. I kursplanen för matematik står det att skolan ska, i sin undervisning sträva efter att eleven Utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande (Skolverket, 2000, s. 26). Matematiken är ett symbolspråk där talen symboliserar något. I algebran inom matematiken byts talen ut mot bokstäver, detta görs för att kunna beräkna det generella och på så sätt finna lösningar på svårare problem (Bergsten m.fl. 1997). Algebran i skolan byggs upp successivt med en början i de allra enklaste aritmetiska uppgifterna för att sedan gå in på algebran som är ett mer abstrakt område. En viktig symbol inom matematiken och framförallt algebran är likhetstecknet. Likhetstecknet är en symbol som ofta missförstås och detta kan leda till att eleverna får stora svårigheter med algebra och ekvationslösning (Ahlberg, 2000). En internationell undersökning som gjordes 2003, visade att Svenska elever låg över det internationella medelvärdet i matematik, dock hade de bland de lägst redovisade resultaten i algebra. Studien gjordes på elever som gick i det åttonde skolåret och femtio 7

länder deltog (Skolverket, 2003). En liknande undersökning gjordes 1995 och även denna visade att de svenska eleverna låg under det internationella genomsnittet i algebra (Skolverket, 1996). Vi undrar självklart varför det är så att svenska elever är lågpresterande i algebra när de uppenbarligen ligger över medel inom andra områden i matematik? Då förståelsen för likhetstecknet är en viktig del i algebran har vi valt att undersöka hur elever resonerar kring likhetstecknet och dess betydelse. 8

2. Syfte och frågeställningar Syftet med vår studie är att se hur elever i årskurs tre resonerar kring likhetstecknet när de får lösa uppgifter i grupp. Vi vill se om eleverna resonerar kring likhetstecknets ekvivalens eller om de ser likhetstecknet som ett resultattecken. Kanske kommer vi att få se andra tolkningar av likhetstecknet än de tänkta. Vår frågeställning är: Hur resonerar elever i skolår tre kring likhetstecknets betydelse? - Resonerar eleverna kring likhetstecknets ekvivalens eller ser de likhetstecknet som ett resultattecken? 9

3. Teoretisk bakgrund 3.1 Algebra Algebra används för att finna ett värde på ett obekant tal och är en utökning av aritmetikens regler där funktioner används för att bestämma ett obekant tal (McLeish, 1991). Redan 250 e. Kr. använde den grekiske matematikern Diophantos från Alexandria bokstäver för att beteckna okända tal (Bergsten m.fl. 1997). En annan matematiker som lyckades utveckla ämnet algebra betydligt mer var den arabiske vetenskapsmannen al- Khwarizmi. Han levde ca 680-750 e. Kr. och skrev en bok om algebra där syftet med boken var att lära ut konsten att lösa komplicerade praktiska problem (McLeish, 1991). Hans bok publicerades år 830 e. Kr. och titeln på boken var Ett kompendium om räkning med hjälp av al-jabr och al-mugabala. Ordet algebra anses härstamma från ordet al-jabr och betyder i denna bok addera lika termer till båda sidor av en ekvation för att eliminera negativa termer (Nationalencyklopedin, 2006). Ytterligare två definitioner säger att ordet algebra kommer ifrån det arabiska ordet aljabr. Den ena definitionen säger att algebra betyder att lösa algebraiska ekvationer (Unenge m. fl.1994, s. 36) och den andra definierar ordet algebra som ekvationslösning (Vejde & Roth, 1999, s. 4). Vidare förklaras det att när man räknar med bokstäver istället för med tal, så räknar man på samma sätt som när man räknar med tal och det är samma regler som gäller (Vejde & Roth, 1999). På 1800-talet utvecklades algebran och gick mot ett mer abstrakt håll. Anledningen till detta var de svårigheter som uppkom när mer avancerade algebraiska ekvationer skulle lösas. Detta ledde till att det arbetades fram teorier som var början till algebraiska strukturer. Under 1900-talet gick algebran igenom en stor utveckling och blev ett hjälpmedel för nästan alla matematikens områden. Algebrans utveckling innebar en mer flytande gräns mellan matematikens traditionella ämnesområden (Nationalencyklopedin, 2006). Genom att byta ut siffersymboler mot bokstavssymboler kunde man nu beskriva lösningsmetoder och visa att metoderna fungerade för alla tal. Algebran utvecklades ur generella lösningsmetoder till svårare problem från både aritmetiken och geometrin (Bergsten, m.fl. 1997). 10

Genom att använda algebra i matematiken generaliseras matematiska samband. I algebran används bokstäver istället för siffror och tal. Genom att göra på detta sätt ges en möjlighet att generellt diskutera och bevisa matematiska satser (Unenge m.fl.1994). Lärandet i algebra utgör en lång och viktig process i varje elevs matematiska utveckling (Bergsten, m.fl. 1997). Bergsten m.fl. (1997) menar att algebran är viktig för varje enskild individ i en demokrati. Detta för att det ska kunna gå att följa och förstå t.ex. miljödebatter och ekonomisk politik och därmed aktivt kunna ta ställning. I dagens samhälle används mycket matematiska modeller i form av tabeller, formler och diagram. För att uppnå en demokratisk kompetens är det viktigt att förstå dessa matematiska modeller. De matematiska modellerna är lättare att tolka om man förstår det algebraiska språket eftersom det är ett standardverktyg för att kunna hantera tal och funktioner. Det algebraiska språket är även ett verktyg för tänkande, ett verktyg för att enkelhet och struktur i komplexa sammanhang och generalitet ur det enskilda fallet (Bergsten, m.fl. 1997). 3.2 Pre- algebra Pre-algebra innebär att man arbetar med förberedande algebraiska uppgifter (Bergsten, m.fl. 1997). I pre- algebra arbetar man med algebrarelaterade problem utan att använda bokstäver som symboler för variabler (Grønmo & Rosén, 1998). Att arbeta prealgebraiskt är nödvändigt för att eleverna ska få förståelse för den kommande algebraundervisningen då pre- algebra inbegriper algebraiskt tänkande men saknar bokstavssymboler (Persson, 2005). Att arbeta med mönster är en pre- algebraisk aktivitet (Bergsten, m.fl. 1997). Genom att låta eleverna arbeta med mönsterövningar där de ska sortera olika saker och komma fram till ett visst mönster utvecklas elevernas algebraiska tänkande. Detta leder förhoppningsvis till att eleverna i senare utbildning i matematik ska kunna använda bokstäver som symboler för att kunna uttrycka generella sammanhang (Grønmo & Rosén, 1998). Ett annat sätt är att arbeta med en prealgebraisk aktivitet är att arbeta med likhetstecknet på ett strukturellt sätt, med uppgifter som exempelvis: 5 + 8 = 8 + _ och 8 + _ = 1 + 9 och inte bara med uppgifter som: 3 + 6 = _ (Bergsten, m.fl. 1997). Genom att arbeta med liknande uppgifter inbjuds eleverna till en reflektion av vad som ska stå på strecken för att det ska vara lika mycket 11

på varje sida om likhetstecknet. Dessa reflektioner leder till att eleverna utvecklar ett algebraiskt tänkande (Grønmo & Rosén, 1998). Ett tredje sätt att arbeta pre- algebraiskt som tas upp i boken Algebra för alla kan vara att arbeta med uppgifter retoriskt, exempelvis: På en skola deltog 128 i de tre bollspelen basket, handboll och fotboll. Handboll spelades av dubbelt så många som spelade basket. I fotbollsträningen deltog åtta fler än i handbollsträningen. Hur många spelade handboll (Bergsten, m.fl. 1997, s. 11). Denna uppgift kan lösas genom prövning. Antas det att det är tio stycken som spelade basket så medför detta att det är 20 stycken som spelade handboll och 28 som spelade fotboll. Adderas antalet utövare så är det 58 stycken, vilket inte stämmer eftersom det skulle vara 128 stycken sammanlagt. Därför krävs en ny prövning och ett nytt antagande. Denna uppgift är till sin karaktär algebraisk, dock leder inte denna prövningsmetodik till ett algebraiskt tänkande. Baklängesräkning kan även brukas, d.v.s. att åtta tas bort från 128, så att 120 återstår. Vidare delas 120 med 5, eftersom en del spelade basket, två delar spelade handboll och två delar spelade fotboll (plus de åtta vi redan tagit bort). Detta ger resultatet att 24 stycken elever spelade basket, dubbelt så många, alltså 48 stycken spelade handboll och 48 plus 8, alltså 56 stycken spelade fotboll. I denna lösning används inte bokstavssymboler, istället arbetas lösningen fram retoriskt d.v.s. att genom resonering produceras ett svar. Om eleverna löser uppgifter på detta sätt så kan det leda det vidare till ett algebraiskt tänkande (Bergsten, m.fl. 1997). 3.2.1 Likhetstecknet För att eleven i framtida studier ska kunna förstå algebra är det viktigt att eleven har kännedom om likhetstecknets betydelse. I Nationalencyklopedin ges en definition på likhetstecknet som lyder: ett matematiskt tecken som markerar att två uttryck har samma värde (Nationalencyklopedin, 2006). I Algebra för alla ges följande förklaring av likhetstecknet: Likhetstecknet står för ekvivalens, vilket innebär att vänster och höger led är olika uttryck för samma tal (Bergsten, m.fl. 1997). Det är nödvändigt för eleven att förstå likhetstecknets betydelse för att kunna förstå ekvationer och ekvationslösning. Likhetstecknet ska tolkas som är lika med eller är lika 12

mycket som, då höger och vänster led i en ekvation står för lika stora tal. Förstår man detta kan likheten läsas från båda håll d.v.s. från vänster till höger och tvärtom (Bergsten, m.fl. 1997). Likhetstecknet är en symbol som ofta missförstås. En uppfattning av likhetstecknets betydelse är att det blir något och en annan är att det är till höger om likhetstecknet som svaret ska skrivas (Ahlberg, 2000, s. 64-65). Tolkar man likhetstecknet på detta viss kan det vara svårt att förstå ekvationer där högerledet består av mer än en term (Häggström, 1996). En tredje uppfattning av likhetstecknet kan vara att man ser det som en uppmaning att utföra en beräkning (Bergsten m.fl. 1997, s. 51). En anledning till dessa uppfattningar kan vara att man räknar uppgifter som 3 + 5 = _, 6 + 5 = _ o.s.v. återkommande i skolan. Till följd av detta arbetssätt kan eleverna få svårigheter med att tolka ekvationer (Bergsten m.fl. 1997). För att utveckla förståelsen för likhetstecknet kan likhetstecknet visas i konkreta situationer. Ett bra sätt att arbeta med likhetstecknet när man ska jämföra mängder är att använda sig av två vågskålar, vågen är konkret för eleverna. Väger vågskålarna olika måste något läggas till eller tas bort för att vågen ska visa jämnt. Samma sak gäller när man arbetar med likhetstecknet (Ahlberg, 2000). Ett annat sätt att arbeta med likhetstecknet och där eleverna utvecklar sin förståelse är att arbeta med uppgifter som det finns mer än en lösning på, exempelvis 3 + 7 = _ + _. I denna uppgift kommer inte det högra ledet bestå av svaret och uppfattningen att likhetstecknets betydelse är att det blir något kommer tonas ned (Bergsten m.fl. 1997). Som lärare är det viktigt att tänka på hur arbetet med ovanstående uppgifter ska gå till. Även om uppgifterna i sig kan leda till en algebraisk förståelse så är det viktigt att diskussioner kring uppgifterna förs. Detta kan eleverna få göra i helklass eller i grupper (Grønmo, 1999). 3.3 Elevers kunskaper i algebra 3.3.1 Trends International Mathematics and Science Study TIMSS (Trends International Mathematics and Science Study) är världens hittills största jämförande studie där elevers kunskaper i matematik och i naturvetenskap undersöks. Den senaste studien gjordes 2003 där femtio länder deltog och det var elever i skolår 8 som ingick i studien. En motsvarande undersökning gjordes 1995 i skolår 6, 7, och 8 och används nu för att studera förändringar över tid. Undersökningen som gjordes 2003 13

var inom matematiken uppdelad i fem huvudområden: aritmetik, algebra, geometri, mätningar och statistik. Det visade sig i undersökningen att svenska elever i skolår 8 låg över det internationella medelvärdet i matematik. Trots att undersökningen visade att svenska elever ligger över det internationella medelvärdet så är resultatet sämre än det som presenterades i TIMSS (Third International Mathematics and Science) undersökningen 1995. Av de fem huvudområdena i matematik är det områdena algebra och geometri som drar ner det svenska resultatet. Det visade sig även att Sverige har bland de lägsta redovisade resultaten i algebra och geometri internationellt (Skolverket, 2003). Även undersökningen som gjordes 1995 visade att de svenska eleverna låg under det internationella genomsnittet i algebra, ekvationer och geometri (Skolverket, 1996). 3.3.2 Gymnasieelevers algebraiska förmåga och förståelse 1998 påbörjades en undersökning om gymnasieelevers algebraiska förmåga och förståelse. Persson och Wennström (1999) som har gjort undersökningen ville bl.a. ta reda på vilka förkunskaper eleverna hade då de började gymnasiet. Eleverna som ingick i studien fick vid skolstarten göra ett prov där deras förkunskaper testades. För att kunna följa elevernas utveckling under deras första år på gymnasiet fick de göra ytterligare ett par test och en del av eleverna blev även intervjuade. Förkunskapstestet innehöll fyrtio olika uppgifter och omfattade ekvationslösning, uppställning av algebraiska uttryck, algebraiska förenklingar, användning av formler och linjär funktion. Resultatet visade att ca 20 % av eleverna hade mycket goda förkunskaper i algebra. En ungefär lika stor del hade dåliga förkunskaper i algebra och en del av dessa elever hade enligt dem själva nästan inte alls arbetat med algebra i grundskolan. Ca 60 % av eleverna hade blandade förkunskaper med en del brister och luckor. Enligt Persson och Wennström (1999) så var matematiken under det första året på gymnasiet mycket jobbig för de elever som hade dåliga förkunskaper i algebra. De elever som hade goda förkunskaper lyckades bra med matematikstudierna och de elever som hade blandade förkunskaper nådde i de flesta fall hyfsade resultat (Persson & Wennström, 1999). 3.3.3 Does understanding the equal sign matter? Does understanding the equal sign matter är en undersökning som pågår i USA. Studien belyser elevers förståelse för likhetstecknet och hur denna förståelse påverkar deras förmåga att lösa algebraiska ekvationer. Undersökningen fokuserar på 14

amerikanska middle school och sträcker sig över en fem års period. Målet med studien är att visa att förståelsen för likhetstecknet är väsentlig för att elever ska kunna lösa algebraiska ekvationer. I studien ingick 177 elever från skolår sex till åtta, de fick uppgifter som de skulle lösa. En av uppgifterna gick ut på att eleverna skulle tolka likhetstecknet. 3 + 4 = 7 a) The arrow above points to a symbol. What is the name of the symbol? b) What does the symbol mean? c) Can the symbol mean anything else? If yes, please explain. Anledningen till att fråga c ingick i studien var för att det från tidigare undersökningar visats att elever hade mer än en förklaring på likhetstecknet. När undersökningen analyserats synliggjordes fyra olika kategorier: relational operational other no response/don t know Majoriteten av eleverna hamnade i de två första kategorierna. I kategorin relational hamnade de elever som beskrev att likhetstecknet betydde lika mycket på båda sidor (Knuth m.fl. 2006, s. 301). I kategorin operational hamnade de elever som uttryckte att likhetstecknet betydde addera talen eller att det skulle komma ett svar efter det (Knuth m.fl. 2006, s. 301). Den tredje kategorin other, hamnade de elever som uttryckte att likhetstecknet betydde lika med eller lika mycket som (Knuth m.fl. 2006, s. 301). En del elever utryckte att likhetstecknet kunde ha både en relational och operational betydelse. Resultaten visade att relativt få elever hade en relational förståelse för likhetstecknet. Förståelsen för likhetstecknet blev inte heller bättre över tid, alltså från sexan till åttan. Slutsatsen av undersökningen var att många elever saknade en sofistikerad förståelse för likhetstecknet (Knuth m.fl. 2006). En annan studie som gjordes 2005 av Alibali och McNeil visade att många elever i årskurs tre till fem hade uppfattningen om att likhetstecknet står för att det blir något 15

och att svaret ska skrivas efter. De gav eleverna följande ekvation, 4 + 3 + 5 = _ + 5 och upptäckte att många elever adderar ihop alla talen i ekvationen. Eleverna fick fram svaret 17 eller så adderade de ihop alla talen före likhetstecknet och fick fram talet 12 vilket tyder på att eleverna ser likhetstecknet som dynamiskt, operationellt. De flesta eleverna uppfattar likhetstecknet som en uppmaning att beräkna en aritmetisk operation snarare än att se att likhetstecknet står för ekvivalens. Om likhetstecknet ses som en uppmaning på att utföra en beräkning och att svaret ska skrivas på höger sida så blir beräkning av uppgiften a + b = _ inga problem. Däremot när det ska lösas mer komplexa ekvationer är en sådan syn på likhetstecknet väldigt negativ för eleven. Många av de svårigheter eleverna träffar på när de ska lösa olika ekvationer har att göra med deras missförståelse för likhetstecknet (McNeil & Alibali, 2005). 3.4 Lärande Den ryske utvecklingspsykologen Lev Vygotskij (1896-1934) har studerat barns språkoch begreppsutveckling och har en sociokulturell syn på den kognitiva utvecklingen. Han menar att barnen utvecklar sina grundläggande kognitiva färdigheter i samspel med andra och att det sociokulturella samanhanget har stor betydelse för barnets utveckling (Evenshaug & Hallen, 2001, Arfwedson, 1998). Det samhälle och den kultur ett barn växer upp i kommer att forma barnets medvetande. Vygotskij anser att lärandet är beroende av vilken tid och kultur vi lever i och att lärandet inte kan studeras skilt från sitt sammanhang (Persson, 2005). När det gäller undervisning, är det viktigaste redskapet för att utveckla elevernas tänkande, samspelet mellan lärare och elever. Det är viktigt att läraren lyssnar och observerar sina elever, för att försöka förstå var i sin utveckling eleverna befinner sig. När läraren kommit till insikt med detta kan han/hon ge eleverna uppgifter och handledning på rätt nivå så att eleven kan komma vidare i sin utveckling (Egidius, 2002). Vygotskij säger att språkets utveckling har stor betydelse för kommunikation och därmed också för lärandet. Språket ger en stor möjlighet till att kommunicera med andra människor och därigenom skaffa sig en massa erfarenheter. Återigen används språket då 16

de införskaffade erfarenheterna delas med till andra människor i omgivningen. Språket används som en resurs, enligt Vygotskij, först och främst för kommunikation med andra individer och därefter som en resurs för att tänka. En av Vygotskijs idéer är att kommunikation och tänkande först äger rum mellan människor och sedan uppträder det hos den enskilda individen där tänkandet utvecklas ytterligare. Språket finns med redan vid födseln och ses som ett kollektivt redskap. Detta redskap föregår individen och dess tänkande och när individen lär sig kommunicera kan den ta till sig kunskap (Säljö, 2005). Han menar vidare att en försening i språkets utveckling hindrar barn från att utveckla det logiska tänkandet (Malmer, 2002). Inom området algebra anser Vygotskij att aritmetik föregår algebra. Algebra är inte en upprepning av aritmetik, utan är ett nytt och högre utvecklingsplan i det abstrakta tänkandet som omstrukturerar det tidigare aritmetiska tänkandet och lyfter upp det till en högre nivå (Persson, 2005). 3.5 Styrdokument I kursplanen finns det både strävansmål och uppnåendemål som behandlar pre- algebra och algebra. Elevernas förväntade kunskapsnivå presenteras nedan. Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att använda - grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter (Skolverket, 2000, s. 27). Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö. Inom denna ram skall eleven - förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla former (Skolverket, 2000, s. 28). Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret 17

Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom denna ram skall eleven - kunna tolka och använda enkla former, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser (Skolverket, 2000, s. 29). Efter att ha läst tidigare forskning som handlar om elevers algebra kunskaper, så visar det sig att många elever brister i kunskaper i algebra. TIMSS studien som gjordes 2003 visar att det är speciellt inom området algebra som elevernas kunskaper inte är tillräckliga men att de inom andra områden inom matematiken ligger över det internationella medelvärdet. Jämförelsen som gjordes med TIMSS undersökningen 1995, visade att kunskaperna i algebra till och med försämrats. Perssons och Wennströms (1999) studie visade att de elever som har dåliga förkunskaper i algebra från grundskolan fick det kämpigt att klara av algebran på gymnasiet. Algebra är ett område inom matematiken som byggs på och utökas hela tiden. Saknas förståelse för något som är en grund i algebran kommer det att visa sig längre fram. Detta är en av anledningarna till att vi vill göra denna undersökning. Förståelsen för likhetstecknet är en viktig del för att kunna gå vidare i algebran och därför är det av intresse att se hur elever i skolår tre resonerar kring detta tecken. 18

4. Metod 4.1 Vetenskapligt angreppssätt Syftet med detta arbete är att undersöka hur elever i skolår tre resonerar kring likhetstecknet. För att kunna samla in data till vår undersökning valde vi att göra en observationsstudie där vi observerade ett antal elever när de löste olika typer av prealgebraiska uppgifter. Under observationen ställdes även två frågor kring likhetstecknet som eleverna skulle besvara individuellt. Vi bestämde oss för det induktiva angreppssättet på vår undersökning då det har sin utgångspunkt i empirin och att det utifrån upptäckter i verkligheten formuleras en teori som bygger på allmänna principer. Vid det induktiva arbetet görs inte undersökningen utifrån en tidigare vedertagen teori (Olsson & Sörensen, 2001). Enligt Andersen (1998), Patel och Davidsson (2003) kallas det induktiva angreppssättet för upptäckandets väg. Detta tillvägagångssätt är vanligt vid fältstudier där relativt få människor ingår. 4.2 Datainsamlingsmetod och bearbetning I denna undersökning valde vi att göra vår studie på 21 elever som går det tredje året i grundskolan. Den datainsamlingsmetod vi använde oss av var en deltagande observation då den här metoden är lämplig att använda för att se relationer mellan människor, studera processen och för att få en helhetsförståelse (Andersen, 1998). Anledningen till att vi valde denna insamlingsmetod var att vi ville se hur eleverna resonerade kring de givna problemställningarna. Eleverna vi observerade spelade vi in på ljudband för att lättare kunna analysera deras tankegång. Nackdelen med att banda eleverna är att det kan vara svårt att höra vem som säger vad. Eleverna fick även skriva ner en del av sina lösningar skriftligt på papper så att vi även hade det som underlag för att kunna göra vår analys. Under processen ställde vi följdfrågor till eleverna för att utveckla deras tankegång och för att ta reda på deras förkunskaper. Den här undersökningen är gjord som tidigare nämnt på 21 elever och eleverna går på två olika skolor i Helsingborgs kommun. Den ena skolan ligger i en förort till Helsingborg och den andra skolan ligger i Helsingborg. Anledningen till att vi valde 19

dessa två skolor är för att vi har haft vår verksamhetsförlagda tid där och för att det var lätt för oss att få kontakt med lärarna på dessa skolor så att vi kunde utföra vår observation. Eleverna som vi observerat är slumpmässigt valda ur tre olika klasser, de går tredje året i grundskolan och är okända för oss. Innan vi gjorde undersökningen bad vi elevernas föräldrar om tillåtelse och godkännande i och med att vi skulle banda eleverna. I en klass skickades förfrågningen ut med ett veckobrev som läraren skriver en gång i veckan och i de andra två klasserna fick eleverna ta med en blankett hem som skulle fyllas i. När vi gjorde själva undersökningen gjorde vi den på respektive skola som eleverna gick på. Vi tog eleverna från klassrummet tre och tre för att sedan utföra undersökningen i ett mindre grupprum. Vi ansåg att det var bäst att göra undersökningen i en miljö som eleverna kände till och valde därför att göra den på den skola de gick på. Eleverna fick sätta sig kring ett runt bord där vi också satt och två diktafoner sattes mitt på bordet. Innan eleverna fick ta sig an uppgifterna berättade vi om vår undersökning och sa att vi skulle banda deras samtal. Vidare ansåg vi att det var viktigt att tala om för eleverna att deras namn inte kom att stå någonstans i arbetet och att uppgifterna de löste, inte var något test, utan bara ett sätt för oss att ta del av deras resonemang. Eleverna delades in i grupper med tre elever i vardera grupp vilka bestod av både flickor och pojkar. För att få svar på vår problemställning gav vi eleverna ett antal uppgifter vilka de skulle lösa i grupp. Anledningen till detta var för att vi skulle få ta del av deras resonemang vilket är lättare att göra när de arbetar i grupp än när eleven arbetar individuellt. Uppgifterna som eleverna skulle lösa var följande: Bilduppgift (se bilaga 1). Uppgifter med en eller två obekanta (se bilaga 2). Ekvationsspel (se bilaga 3). 20

Vi började vår undersökning med att visa eleverna ett likhetstecken och frågade de om de visste vad tecknet hette och vad det hade för betydelse. Sedan fick eleverna den första uppgiften vilket var en bilduppgift som bestod av ett uttryck som inte var ekvivalent. Här ville vi se hur eleverna löste uppgiften för att den skulle bli ekvivalent. Orsaken till att vi använde bilder istället för tal var för att konkretisera uppgiften åt eleverna. Det andra momentet eleverna skulle lösa bestod av en stencil med fem uppgifter, vilka vi tagit från boken Algebra för alla och sedan modifierat. Uppgifterna är strukturerade på ett sådant sätt att likhetstecknet uppmanar eleverna till att reflektera, se och jämföra över uppgiftens båda sidor alltså det vänstra och högra ledet (Bergsten m.fl. 1997). Den sista uppgiften är ett spel som är taget ur boken Baskunskaper i matematik och kallas för ekvationsspelet (se bilaga 3). Tanken med ekvationsspelet är att hjälpa eleverna att få en förförståelse för hur en ekvation är uppbyggd för att senare kunna använda en mer formell metod (Löwing & Kilborn). Innan vi gav eleverna ekvationsspelet fick de två förberedande problem (se bilaga 4) Dessa gav vi eleverna för att de skulle förstå principen hur man spelade ekvationsspelet. Vi ville att eleverna skulle veta att det kunde vara olika antal ärtor i askarna från gång till gång som man spelade spelet. Eleverna fick lösa ett problem där vi gömt två ärtor i asken och ett problem där vi gömt en ärta i asken. För att kunna analysera materialet transkriberades bandinspelningarna från observationerna. Vid transkriberingen skrevs dialogerna av ordagrant, pauser och andra avbrott noterades, detta för att validiteten skulle bli hög. Dock gick det inte att urskilja elevernas röster när vi skulle transkribera materialet, därför kommer vi att namnge alla elever med ordet elev. Därefter försökte vi se likheter och urskilja skillnader i elevernas resonemang mellan de olika grupperna. De elever som löste uppgifterna på liknande vis hamnade i samma grupp. 4.2 Vetenskaplig metod Vi har valt att göra en kvalitativ undersökning och anledningen till att vi har valt denna metod är att det här ges en djupare förståelse av det som undersöks. De frågeställningar som används vid en kvalitativ forskning fördjupas successivt t ex vid en intervju. Personer som ingår i studien är ofta få till antalet medan variablerna ofta är stora till antalet. När det gäller en kvalitativ undersökning så är undersökaren ofta i nära kontakt 21

med de personer som ingår i studien för att kunna observera eller tala med de personer som ingår i undersökningen. Risken med den kvalitativa undersökningen är att undersökaren kan bli subjektiv i stället för objektiv eftersom en nära kontakt ibland skapas med de personer som ingår i studien (Olsson & Sörensen, 2001). Motsatsen till kvalitativa undersökningar är kvantitativa undersökningar. Kvantitativa metoder innebär att det utgörs en analys av siffror t ex från en enkätundersökning. Det man får fram av sin datainsamling sorteras upp i förbestämda kategorier (Andersen, 1998). I kvantitativ forskning är distansen till de personer som undersöks ofta ytlig (Bryman, 1997). Frågeställningarna som används i kvantitativ forskning är gjorda i förväg och är väl formulerade. De resultat man får fram baserar sig på ett stort antal deltagande individer och ett begränsat antal variabler (Olsson & Sörensen, 2001). 4.4 Forskningskriterier När man gör en undersökning är det viktigt att validiteten och reliabiliteten är hög, det vill säga att undersökningen är giltig och tillförlitlig. I en kvantitativ undersökning innebär validiteten att vi studerar rätt sak, som bygger på en teori, samt att använda sig av rätt mätinstrument och att vara noggrann. Validiteten i den kvalitativa studien handlar om att upptäcka rätt sak och att kunna tolka och förstå de personer som ingått i studien (Patel.& Davidsson, 2003). I den kvantitativa studien handlar reliabiliteten om att studien som gjorts ska kunna göras om igen och att resultatet ska bli det samma. I en kvalitativ studie är detta inte nödvändigt eftersom personerna i studien kan ha ändrat uppfattning, fått nya insikter eller lärt sig något. Gör vi om vår undersökning kommer vi troligtvis inte få fram samma resultat som vi kommer att redovisa i detta examensarbete eftersom eleverna då troligtvis fått en annan syn på uppgifterna. Detta innebär dock inte att studien har en låg reliabilitet (Patel.& Davidsson, 2003). 22

5. Resultat och analys Syftet med denna undersökning är att ta reda på hur eleverna resonerar kring likhetstecknets betydelse. För att få svar på vår forskningsfråga har vi valt att ge eleverna uppgifter där likhetstecknet har en central roll. Avsikten med de givna uppgifterna är att de ska visa om eleven har förståelse för likhetstecknet eller inte. Uppgifterna som beskrivits i metoddelen i detta arbete är följande: Bilduppgift (se bilaga 1). Uppgifter med en eller två obekanta (se bilaga 2). Sist i resultat och analysdelen presenteras lösningsfrekvensen på denna uppgift (se figur 2). Ekvationsspel (se bilaga 3). I denna del av arbetet redovisas och analyseras elevernas resonemang kring de uppgifter (se ovan) vi givit dem. Genom granskning av elevernas resonemang kring uppgifterna har tre olika kategorier uppstått. Kategorierna bygger på de tre mest förekommande resonemangen kring likhetstecknets betydelse som eleverna haft. Elevernas diskussioner kommer att redovisas i form av excerpt där E står för elev och DO står för deltagandeobservatör. Direkt efter excerpten följer en analys av elevernas resonemang och lösningsmetod. 5.1 Hur beskriver eleverna likhetstecknets betydelse? Vi inledde vår observation genom att ge eleverna två direkta frågor gällande likhetstecknets beteckning och betydelse. Vi visade eleverna ett likhetstecken och frågade om de visste vilket tecken det var. Alla utom två elever sa att tecknet hette lika med/är lika med. En elev sa att tecknet hette likhetstecken och en annan sa jag har hört det i matteboken, men jag har glömt det. Svaren angående likhetstecknets betydelse varierade och i nedanstående excerpt redovisas några av elevernas beskrivningar. Excerpt 1 1 E - T.ex. så tar man åtta plus åtta, så står det lika med, så blir det sexton. 23

2 E - Hur mycket det blir. 3 E - Att det ska vara lika mycket på båda sidor. 4 E - Att det är rätt, alltså man skriver det talet efter, som man tror är rätt. 5 E - Det är väl om man har fyra plus tre t.ex. så har man ju lika med, så skriver man talet efter där. Vi har sorterat elevernas svar i olika grupper utifrån den uppfattning de har om likhetstecknets betydelse. Grupperna blev följande: Elever som uttrycker att likhetstecknet betyder att det blir. Elever som uttrycker att likhetstecknet betyder lika mycket på båda sidor. Elever som uttrycker att likhetstecknet är en uppmaning på att svaret ska stå efter. Elever som säger att de inte vet vad likhetstecknet betyder. I diagrammet nedan redovisas antalet svar i varje grupp. Figur 1. Likhetstecknets betydelse 2 3 4 12 att det blir lika mycket på båda sidor uppmaning att svaret ska stå efter vet ej Diagrammet visar att mer än hälften av eleverna har uppfattningen att likhetstecknet betyder att det blir. Fyra av eleverna uppfattar likhetstecknet som att det ska vara lika mycket på båda sidor. Tre av eleverna ser det som en uppmaning att svaret ska stå efter likhetstecknet och två elever vet inte vad tecknet betyder. 24

5.2 Elevernas resonemang kring likhetstecknet vid problemlösning Då syftet med de givna uppgifterna är att se hur eleverna resonerar kring likhetstecknets betydelse, kommer resultatet redovisas utifrån elevernas diskussioner. Elevdiskussionerna grupperas efter liknande resonemang kring likhetstecknet och inte uppgiftsvis. I parentesen ovanför kommande excerpt visas vilken uppgift som eleverna resonerar kring. 5.2.1 Likhetstecknet som ett resultattecken Excerpt 2 (15 - _ = 7 + 2) 6 E - Åtta. 7 DO - Hur tänker ni när ni sätter en åtta där? 8 E - Fjorton, tretton, tolv till man kommer till sju. 9 DO - Men det står något mer där (observatören syftar på det högra ledet). 10 E - Sju plus två. 11 DO - Vad är det? 12 E - Det är nio. Ska jag skriva det där då? Eleverna i den här gruppen skriver talet åtta på det tomma strecket och verkar därmed ignorera att det även finns + 2 på den högra sidan om likhetstecknet (6). När observatören påpekar att det finns något mer på högra sidan än bara talet sju (7, 9), så adderar de ihop talen sju och två och skriver ett likhetstecken och talet nio till höger om tvåan (se bilaga 5). En möjlig tolkning är att eleverna tror att talet sju på högra sidan om likhetstecknet är svaret. Även i två av de andra grupperna har eleverna kommit fram till att det ska stå en åtta på det tomma strecket, ett exempel visas i kommande excerpt. Excerpt 3 (15 - _ = 7 + 2) 13 E - Om man tar tio och så tar man bort tre så blir det sju och sen tar man bort fem. 14 DO - Vad ska det stå på strecket? 15 E - Åtta. 16 DO - Varför tror du åtta? 17 E - För att det ska bli sju, så ska man ta bort tre och femman. 25

18 DO - Vad tror du Maria? 19 E - Samma som Mattias. Eleverna i excerptet ovan uttrycker att svaret ska bli sju (13, 17) och därmed vill de sätta åtta på tomma strecket (15). Liksom eleverna i excerpt två så ignorerar även denna grupp att det står + 2 i det högra ledet efter talet sju. Då vi frågar Maria vad hon tror att det ska stå på strecket svarar hon att hon tror samma som Mattias. Om Maria har samma uppfattning som Mattias eller om hon har en egen uppfattning är svårt att säga. I nästa excerpt visas elevers resonemang kring en uppgift med två obekanta. Excerpt 4 ( _ + 16 = 8 + _ ) 20 DO - Vad tänker ni? 21 E - Vet inte. 22 DO - Du då Bella? 23 E - Det är svårt att räkna ut. Det ska bli åtta tror jag, sexton är mer än åtta. 24 E - Alltså, åtta plus åtta är sexton och sedan ska det stå något där, plus nåt. Eleverna i denna grupp antyder att uppgiften är svår (23). Vi tolkar det som att en elev tycket att det vänstra ledet är något som ska bli åtta eftersom hon säger det (23). Eleven får problem eftersom det vänstra ledet är större än åtta, alltså 16 och det är något som ska adderas med talet 16. En annan elev kommer med idén att man kan skriva åtta plus åtta i det högra ledet för att det är samma sak som 16 (24). Eleven uppmärksammar även att det är något som ska adderas med 16, men har ingen lösning på detta och kommer inte vidare (24). I samtliga excerpt ovan (2-4) ser vi elever som antyder att likhetstecknet är ett resultattecken. Likhetstecknet kopplas samman med att det är något som blir något och/eller att det är ett tecken som uppmanar till beräkning och att svaret ska stå efter. 5.2.2 Likhetstecknet kopplat till ett räknesätt Excerpt 5 (ekvationsspelet, se bilaga 3) 25 DO - Hur många ärtor har jag gömt i asken? 26

26 E - Fyra. Jag tror att det är sex om det är fyra i den och två där. 27 DO - Det här tecknet var ju ett likhetstecken det betyder att det ska vara lika mycket på varje sida. Om det är fyra där och två där, är det lika mycket då? 28 E - Nej. 29 E - Två, för att det är två där. Den första eleven adderar ihop de synliga ärtorna och de gömda ärtorna (26). Han tror att vi gömt fyra stycken ärtor i asken och kommer fram till svaret 6. Eleven verkar inte reflektera över att det inte är ett additionstecken utan ett likhetstecken som ligger mellan den högra och vänstra sidan av uppgiften. För att eleverna ska komma vidare så måste observatören påpeka likhetstecknets betydelse (27). Först då kommer de underfund med att det måste finnas två ärtor i asken för att uppgiften ska vara ekvivalent (29). Även i bilduppgiften ville eleverna addera ihop de båda leden, exempel på detta visas i nästa excerpt. Excerpt 6 (bilduppgift, se bilaga 1) 30 DO - Det är något som är fel med denna uppgift. Kan ni lista ut vad? 31 E - Åh, det var svårt. Ska vi plussa ihop dem, eller vad ska vi göra? 32 DO - Ni får klura ut det tillsammans. 33 E - Men om man plussar så blir de där två fyra och de fem, så blir det nio. Eleverna uttrycker en viss osäkerhet gällande hur de ska angripa problemet (31). Det verkar som om eleverna inte reflekterar över att det är ett likhetstecken i mitten då de vill addera ihop figurerna på höger sida med figurerna på vänster sida om likhetstecknet (33). Excerpt 7 (bilduppgift, se bilaga 1) 34 E - Det som är i mitten är fel. Det ska vara plus, eller minus eller minus eller gånger. 35 DO - Nej, likhetstecknet ska vara i mitten. 36 E - Jag tror nog att det är den (eleven pekar på en av de tre svamparna som är på höger sida om likhetstecknet) som är fel, för då blir det ett mer där. Annars skulle det bli åtta och då blir den fyra och den fyra, så då blir det en 27

kvar. Fyra plus fyra e ju åtta, så tar man en till så blir det nio. Även här ser vi att eleverna vill göra en uträkning eftersom de vill byta ut likhetstecknet mot ett annat tecken (34). Eleverna är dock osäkra på vilket räknesätt de ska använda (34). Efter att vi som observerat eleverna påpekat att likhetstecknet inte ska bytas ut (35) så kommer eleverna in på rätt spår då de påpekar att det är en mer svamp på höger sida om likhetstecknet (36). Trots detta så överger inte eleverna tanken på att de ska räkna ihop de båda leden. Även i excerptet nedan kopplar eleverna likhetstecknet till ett räknesätt. Excerpt 8 (12 + 8 = 3 + _) 37 E - Tolv plus åtta är väl tjugo?, också plus tre. Tjugotre blir det. 38 DO - Vad kommer det för tecken efter åttan? 39 E - Det kommer ett lika med och sen tre och plus ett sånt har jag aldrig sett (tittar på understrecket där de ska skriva ett tal). 40 E - Inte jag heller. 41 DO - Har du sett det? (vi frågar den tredje eleven) 42 E - Eh, nej kanske de som är lite äldre vet, typ fyran femman. Eleverna lägger först ihop tolv och åtta och får då fram 20, sedan lägger de till trean som finns i det högra ledet och får fram 23. Eleverna verkar inte förstå varför det är ett understreck efter trean. Eleverna väljer att skriva svaret de kommit fram till på understrecket (se bilaga 5, 6) och reflekterar därmed inte över att uttrycket inte är ekvivalent. Även när eleverna arbetade med ekvationsspelen adderade de ihop de båda leden, exempel på detta ses i excerpt 9. Excerpt 9 (ekvationsspelet, se bilaga 3) 43 DO - Hur många har jag gömt i varje ask nu? 44 E - Åtta. 45 DO - I varje ask. 46 E - Nej två, så tar man två, fyra, sex, åtta 47 E - Ja, för här blir fyra och här blir fyra. 28

Första eleven adderar ihop ärtorna på vänster sida med ärtorna på höger sida och får då fram åtta (44). När observatören frågar om det är åtta i varje ask svarar eleven att det är två (46) men trots detta vill eleven räkna ihop höger och vänster led (46). En annan elev i gruppen påpekar då att det är fyra ärtor på varje sida (47). Eleverna i excerpten ovan (5-9) addera ihop det vänstra respektive det högra ledet om likhetstecknet. I samtliga fall så ignoreras likhetstecknet och byts ut mot ett additionstecken. 5.2.3 Likhetstecknets ekvivalens Excerpt 10 (bilduppgift, se bilaga 1) 48 DO - Det är ett fel med uppgiften. Ni i gruppen ska komma överens om vad som är fel. 49 E - Tre där och två där (eleven pekar på svamparna på respektive sida om likhetstecknet). Det är två ugglor, men det är bara två svampar där och det är tre där. Så det är nog där det blivit fel. 50 DO - Vad tror ni andra? 51 E - Samma som Kalle. 52 E - Jag tycker att man ska ta bort en svamp. En elev (49) ser direkt att uppgiften inte är ekvivalent och menar att det är en svamp för mycket på ena sidan likhetstecknet. När vi frågar de andra eleverna vad de tror är fel (50) så svarar en elev att den tror samma sak som Kalle just svarat (51). Den tredje eleven tycker att man ska ta bort en svamp (52). Även om den sista eleven uttrycker att den vill ta bort en svamp så kan vi inte anta att eleven har en förståelse för ekvivalens. Eleven kan ha påverkats av det som Kalle sagt tidigare (49). Även en annan grupp resonerade på liknande sätt när de löste bilduppgiften vilket visas i nästa excerpt. Excerpt 11 (bilduppgift, se bilaga 1) 53 E - Det är ju fyra på ena sidan och fem på andra. 54 DO - Vad ska man göra för att det ska bli rätt? 55 E - Ta bort den ena 29

56 E - Eller så delar man på en. 57 DO - Om man delar på den, vad hade man gjort med den då? 58 E - Man delar den på mitten så har man fyra och en halv var. Även här uttrycker eleverna en förståelse för att uppgiften inte är ekvivalent. Eleverna (55,56) har två lösningsförslag, antingen vill de ta bort en svamp eller dela en på mitten så att det är fyra och en halv på vardera sida av likhetstecknet. I de två följande excerpten (12, 13) visas elevers resonemang kring uppgifter med en eller två obekanta. Excerpt 12 (15 - _ = 7 + 2) 59 E - Sex. 60 E - Ja. 61 DO - Förklara! 62 E - Jag tänkte så, femton minus nåt, sju plus två är lika med nio, så tar man bara minus sex. 63 E - Jag tycker också så. 64 DO - Varför ska det vara talet sex? 65 E - För att femton minus sex är nio, sen sju plus två är nio. 66 E - Och det är lika mycket på varje sida. Av de tre grupper som klarade uppgiften 15 - _ = 7 + 2 så resonerade två av grupperna på liknande sätt som i excerptet ovan. Den tredje gruppen resonerade också på detta vis men påpekade inte ekvivalensen. Eleverna ser att det högra ledet är nio och vet då även att det vänstra ledet måste vara nio (66). Vi tolkar det som att eleverna har god kännedom om likhetstecknets betydelse (66) eftersom det är det första de utgår ifrån när de angriper problemet. Excerpt 13 (_ + 16 = 8 + _) 67 DO - Hur tänker ni här? 68 E - Nåt plus sexton är lika med åtta, plus något. 69 E - Ska det bli sexton? 70 E - Nej, det ska bli lika mycket på båda sidor. Det kvittar vad det blir, man kan ta fyra där och tolv där. Det kan man ju ta för då blir båda tjugo. 30

En elev i gruppen förklarar för sina kamrater hur de ska gå tillväga för att lösa problemet. Eftersom eleven säger det kvittar vad det blir (70) kan det tyda på att eleven kommit långt i sin förståelse. Det är troligt att anta att eleven förstår att man kan sätta in olika tal på strecken och att det finns många olika lösningar på uppgiften. Ytterligare två grupper klarade av att lösta uppgiften _ + 16 = 8 + _, en av grupperna satte in samma tal som eleverna i excerptet ovan medan den andra gruppen satte in talen åtta och sexton (se bilaga 7, 8). Nedan visas en lösning till ett av de förberedande problem till ekvationsspelet med två gömda ärtor och två synliga ärtor Excerpt 14 (se bilaga 4) 71 DO - Ni ska komma fram till hur många ärtor det finns i asken. 72 E - Men hur många fanns det från början då? 73 DO - Inga alls, jag har lagt dit ett visst antal. Ni får tänka på vad det tecknet (likhetstecknet) betyder. 74 E - Ja, det är lika med. 75 E - Lika på båda sidor, då måste det vara två där. 76 DO - Varför då? 77 Alla elever säger det ska vara lika 78 E - Det ska vara lika på båda sidor. 79 E - Då måste det vara två där i. Vi ser att eleverna är osäkra på hur de ska angripa problemet (72) därför uppmärksammar vi eleverna på likhetstecknet (73). Vi uppfattade att eleverna behövde den här sortens vägledning för att komma vidare till en lösning. Efter vår vägledning påpekade samliga elever att det skulle vara lika mycket på båda sidor (77, 78). I det sista excerptet presenteras en av elevernas lösning på ekvationsspelet. Excerpt 15 (ekvationsspelet, se bilaga 3) 80 DO - Det är lika många ärtor i varje ask. 81 E - Då kan det var två där i och där och sen två. 82 E - Eller så är det fem och fyra där. 83 DO - Samma antal i varje ask. 84 E - Då är det nog två och två och två. 31

85 E - Två, fyra, sex, åtta. 86 DO - Varför just två? 87 E - För att där är två och det måste ju vara lika. 88 DO - Vad är det som är lika? 89 E - Det ska vara lika mellan dem och dem och då tror jag att det är två i varje. Trots att vi från början påpekade att det var lika många ärtor i vardera ask säger en elev att det är fyra i en och fem i en annan (82). Återigen får vi påpeka att det är samma antal ärtor i vardera ask. Då ser en elev att det kan vara två ärtor vi gömt i asken (84) och en annan adderar ihop ärtorna i det vänstra ledet med ärtorna i det högra ledet (85). En tredje elev påpekar att det ska vara lika i båda leden (89) och kommer då fram till att det ska vara två ärtor i vardera ask. I excerpt (10 15) ser vi elever som antyder en förståelse för likhetstecknet och dess ekvivalens. Eleverna uttrycker detta genom att säga att det ska vara lika mycket på båda sidor. Nedan visas en tabell över gruppernas lösningsfrekvens på stencilen med uppgifter med en eller två obekanta (se bilaga 5-11), där x står för att gruppen kommit fram till rätt svar. Figur 2. grupp/uppg. _ + 5 = 11 12 + 8 = 3 + _ 15 - _ = 7 + 2 _ + 16 = 8 + _ 8 + _ = _ + 16 Grupp 1 x Grupp 2 x Grupp 3 x x Grupp 4 x Grupp 5 x x x x x Grupp 6 x x x x x Grupp 7 x x x x x 32