Svenska elevers taluppfattning

Svenska elevers taluppfattning Här presenteras elevresultat med kommentarer till de taluppfattningstest för åk 4 och för åk 8, som publicerades i förra numret av Nämnaren. Deltagande lärares synpunkter på testen och på vikten av god taluppfattning redovisas. Kommentarer ges också kring synen på taluppfattning i olika länders undervisning och hur resultaten på några av testuppgifterna varierar mellan deltagande länder. Artikeln har tagits fram i en grupp med Barbara Reys, Robert Reys, Göran Emanuelsson, Bengt Johansson, Leif Maerker, Gunnar Nilsson och Bo Rosén Artikelserie om taluppfattning Detta är den tredje av fyra planerade artiklar om taluppfattning i årgång 22. Perspektiv på Number Sense och taluppfattning publicerades i nr 1 och Vad är god taluppfattning? i nr 2. I förra numret gavs också på UPPSLAGET en presentation av uppgifter som testar de aspekter som redogjordes för i artikeln. I detta nummer redovisas delar av resultatet och i nästa ges förslag till aktiviteter för att stödja utvecklingen av god taluppfattning (se även artikeln Vitalisera huvudräkningen på s 23 i detta nummer). Bakgrund I nästan varje dokument som handlar om förändring av skolmatematiken, betonas vikten av att elever har god taluppfattning number sense. Fastän termen number sense är relativt ny i läroplanssammanhang, så är liknande begrepp, med betoning på förståelse och meningsfullt lärande, vanligt förekommande i den matematikdidaktiska litteraturen. I matematikundervisningen har reflekterande frågor och meningsfullhet länge stått i skuggan av färdighetsträning i räkning. Detta har skett trots den omvända betoningen i våra kursplaner. Det finns bevis för att undervisning som baseras på proceduriell kunskap inte garanterar begreppsförståelse eller kunskap för att skapa, ut- veckla och tillämpa matematik. Nya effektiva metoder för beräkningar (t ex med hjälp av billiga miniräknare) riktar dessutom uppmärksamheten mot nuvarande ineffektiva och inproduktiva användning av undervisningstiden. En stor förändring av skolmatematiken är på gång för att hjälpa eleverna till en djupare förståelse av idéer och samband. Vi är övertygade om att detta kan möjliggöras genom att minska det inflytande som papper-och-pennaräknande nu har i grundskolan i många länder. Medan man är överens om vikten av att elever utvecklar god taluppfattning, så återstår många obesvarade frågor om hur man ska nå detta mål. Bättre information behövs för att stödja kursplaner och undervisningsansträngningar inom detta område. Vilka tanke- och inlärningsstrategier har de elever som utvecklar god taluppfattning idag? Och vilka ändringar är nödvändiga att göra för de elever som inte utvecklat god taluppfattning? Medför matematikuppgifter, som tvingar fram nya strategier för att uppskatta och räkna i huvudet, att elever utvecklar sin taluppfattning? Anser eller inser lärare att utveckling av taluppfattning är ett viktigt undervisningsmål? Är de beredda att delta i ett utvecklingsarbete inom detta område? Vilken typ av kursplanedokument och vilket förhållningssätt i undervisningen ger bäst effekt i utveckling av god taluppfattning? 34 Nämnaren nr 3, 1995

Genom forskning och utvecklingsarbete kring dessa frågor, försöker vi påskynda diskussionen genom att samla motiv. Studien av svenska elever i åk 4 och åk 8 är ett exempel på detta. Här följer en beskrivning av hur testet togs fram, de metoder som använts och de resultatdiskussioner som följde. Om taluppfattningstesten Tidigare versioner har använts i USA och Australien. De svenska testen var avpassade för svenska förhållanden och gavs i åk 4 och åk 8. Det gjordes en del nya uppgifter, som prövades ut i testklasser innan de togs in i versionerna för åk 4 och 8. Det finns 14 uppgifter som är gemensamma för åk 4 och 8 i testen. Uppgifterna är konstruerade för en viss begreppsnivå i en viss årskurs och med nya problemmiljöer i syfte att mäta uppfattningar baserade på förståelse snarare än reproduktion av kända lösningar. Syftet är att mäta de aspekter av taluppfattning som finns dokumenterade: Förståelse av tals betydelse och storlek (Number concepts), Förståelse och användning av ekvivalenta uttryck och representationer av tal (Multiple representations), Förståelse av operationers innebörd och funktion (Effect of operations), Förståelse och användning av ekvivalenta uttryck (Equivalent expressions), Strategier för beräkning och antalsbestämning (Computing and counting strategies) och Referenspunkter vid mätning (Measurement benchmarks). Dessa finns beskrivna med exempel i Nämnaren 22(2), s 23 26. Testet bestod av 40 uppgifter i åk 4 och 45 i åk 8 (se Nämnaren nr 22(2), s 26-29). En tidsrekommendation för varje uppgift gavs för att få eleverna att inrikta sig på begreppsförståelse istället för omfattande och tidsödande beräkningar. Följande uppgift är ett exempel på syftet att testa förståelsen (av resultatet vid multiplikation med en faktor något mindre än ett) i stället för att bedöma räknefärdighet. Hur mycket är 24. 0,98? Uppskatta svaret utan beräkningar. Nämnaren nr 3, 1995 A Lite mindre än 24 B Mycket mindre än 24 C Lite mer än 24 D Mycket mer än 24 E Det vet man inte utan att räkna Eleverna uppmanades att använda 30 45 sek på varje uppgift. För att de lättare skulle kunna disponera sin tid, så angav testledaren med jämna tidsmellanrum den sida som eleverna borde vara på. Testet tog ungefär 35 minuter att genomföra. Val av skolor Studien gjordes i skolor nära en storstad. Kommunens skolor ligger i tre områden, en i stadskärnan, en i ett förstadsområde till stadskärnan och en på landsbygden. En mellanstadie- och en högstadieskola valdes slumpmässigt ut i vart och ett av dessa områden. I varje skola valdes sedan slumpmässigt ut två klasser och urvalet blev på detta sätt sex klasser från vardera åk 4 och åk 8. Till detta gjordes ett tillägg på två klasser för att alla elever i åk 4 och 8 skulle få delta i testet. Sammanlagt 170 elever i åk 4 och 154 i åk 8 deltog i försöket. Genomförande Testet genomfördes under en lektion av en av de svenska försöksledarna. Tiden utnyttjades väl och alla försöksledare uppgav att genomförandet skedde utan problem. Testuppgifterna löstes genom att varje uppgift besvarades rätt eller fel. Medelvärde och andra statistiska mått beräknades. Resultat Resultaten från testen visar stor spridning, se statistik i tabell 1 nedan. Tabell 1. Översikt, resultat från taluppfattningstest åk 4 åk 8 Antal elever 170 154 Antal uppgifer 40 45 Median 18 23 Medelvärde 17,76 22,85 Variationsbredd 3 31 8 40 Standardavvikelse 6,67 7,28 35

Testresultaten visar att tidigare undervisning misslyckats med att utveckla god taluppfattning för många elever. Resultat från urvalet av uppgifter som publicerades i UPPSLAGET, Nämnaren 22(2) finns i tabell 2 härintill. Vissa uppgifter var gemensamma i de båda testen. De redovisas på samma rad. Diskussion av resultat Vissa uppgifter gavs i både åk 4 och 8. I samtliga dessa fall är lösningsfrekvensen högre i åk 8 än i åk 4. Vi börjar med att kommentera resultaten till några av dessa gemensamma uppgifter. 401/801 Ungefär hur många dagar har du levt? 401 A 400 B 4000 C 40 000 D 400 000 E 4 000 000 801 A 500 B 5 000 C 50 000 D 500 000 E 5 000 000 28 % av eleverna i åk 4 och 55 % av eleverna i åk 8 gav korrekt svar. Det vanligaste felsvaret, som innebär att man skulle levt mer än 100 år, är lika vanligt i åk 8 som i åk 4. 25 % i åk 4 och 23 % i åk 8 ger detta svar. En orsak till ett felaktigt svar kan vara att 4 000 resp 5 000 dagar helt enkelt låter för lite. En annan kan vara att eleven inte kan avrunda och multiplicera resulterande faktorer, t ex 10 400. Testformen hindrar oss från att göra en djupare analys. Det är alarmerande att felfrekvensen är så hög i åk 8. Det tyder på att vi arbetar alldeles för lite med uppgifter och situationer som utvecklar elevernas tidsuppfattning. 424/804 A B C D E 0 1 2 3 Vilken punkt på tallinjen är närmast 2,19? A B C D E Vanligaste felet i åk 4 är svaret E. Detta svar är vanligare än det korrekta. 44 % av eleverna ger detta svar medan motsvarande siffror i åk 8 är 12 %. Mellan åk 4 och åk 8 utvecklar eleverna en allt bättre kunskap om hur tallinjen kan användas för att illustrera tals storlek. Den låga lösningsfrekvensen i årskurs 4 visar att tidig räk- Uppgift Svar Åk 4 Åk 8 401/801 *B 28 55 404/802 *B 57 75 405 4 10 68 406 98/99 68 407 00/01 24 409 B 41 415 1894/95 61 416 2094/95 58 418 D 77 422 3 52 424/804 D 35 84 425 C 68 426 B 65 428 700 950 40 430/811 26 81 431 A 38 432/818 E 21 55 435 18 & 50 18 807 A 48 808 A 79 814 B 65 815 B 49 819 D och ex 51 820 D och ex 12 821 C och D 23 824 D 19 825 A 65 826 D 46 828 C 63 830 B 40 844 C 37 Tabell 2. Svar och lösningsfrekvenser på ett urval uppgifter ning med tal i decimalform lätt kan bli en mekanisk sifferlek utan begreppslig förankring om den bygger på denna grund. 430/811 Du ska gå runt det kvadratiska fältet. Du startar vid hörnet S och rör dig i pilens riktning. Sätt x, där du är efter att ha gått en tredjedel av vägen. Detta är en svår uppgift i årskurs 4. Resultatet tyder på att vi arbetar alltför lite i den grundläggande matematikundervisningen med praktiska och laborativa uppgifter om enkla bråkdelar av konkreta objekt. 432/818 Vad får man om man adderar ett tresiffrigt tal med ett annat tresiffrigt tal? A alltid ett tresiffrigt tal B alltid ett fyrsiffrigt tal C alltid ett femsiffrigt tal D antingen ett tre-, fyr-, eller ett femsiffrigt tal E antingen ett tre-, eller ett fyrsiffrigt tal S 36 Nämnaren nr 3, 1995

Vanligaste felet i både åk 4 och åk 8 är att man tror att man kan få ett tre-, fyr- eller femsiffrigt tal om man adderar två tresiffriga tal (25%). I åk 4 är detta svar frekventare än det korrekta. Det är svårt att tro att resultaten varit så låga om eleverna fått diskutera denna typ av frågeställningar då och då under (eller helst istället för en del av) allt det räknande som pågår på matemtiklektionerna. Vi går nu över till att kommentera uppgifter som inte varit gemensamma. Uppgifter på fyrahundra gäller åk 4, på åttahundra åk 8. 425 Hur lång är en säng för en vuxen? A 50 cm B 100 cm C 200 cm D 400 cm 20 % av eleverna tror att en vuxensäng är fyra meter lång. Kanske skulle svaret blivit annorlunda om det stått 4 m i stället för 400 cm? Resultatet indikerar brister i den tidiga matematikundervisningens arbete med grundläggande storleksuppfattning. 807 0,5 840 är detsamma som A 840/2 B 5 840 C 5 8 400 D 840/5 E 0,50 84 30 % av eleverna svarar att 0,5. 840 är detsamma som 5. 8 400. Dessa elever använder sannolikt felaktigt någon eller några av de regler som ofta förekommer i t ex våra läromedel. Det är nedslående att det är så många som i stort sett var tredje elev. Men det stärker vår bild av att det räknas mycket i våra klassrum utan någon djupare diskussion om talens och räkneoperationernas innebörd och förankring utanför matematiken. Jämför 840/0,5 = 8 400/5. 819 och 820. 819 Hur många olika tal finns det mellan 1,52 och 1,53? A Inga. Varför? B Ett. Vilket är det? Svara i decimalform. C Några få. Ge två exempel i decimalform. D Många. Ge två exempel i decimalform. 820 Hur många olika tal finns det mellan 2/5 och 3/5? A Inga. Varför? B Ett. Vilket är det? Svara i bråkform. C Några få. Ge två exempel i bråkform. D Många. Ge två exempel i bråkform. Nämnaren nr 3, 1995 Det är en dramatisk skillnad mellan resultaten i dessa båda frågor. I uppgift 819 svarade 51 % av eleverna att det finns många tal mellan 1,52 och 1,53. De kunde också ge två exempel på sådana tal. I uppgift 820, som efterfrågade tal mellan 2/5 och 3/5, svarade endast 12 % av eleverna att det finns många tal och de kunde ge exempel på sådana. 47 % av eleverna svarade att det inte finns några tal mellan 2/5 och 3/5. När man ser på resultaten från andra länder kan man konstatera att svenska elever klarar decimalformsuppgifter ganska bra medan de är sämst på uppgifter med bråkform. Bråkräkning har fått mindre utrymme i våra senaste kursplaner. Men det som oroar är att undervisningen om bråkbegreppets innebörd samtidigt tycks ha skurits ner. Här måste det snabbt till en ändring, inte minst för alla de elever som vill eller måste fördjupa sig i algebra. 821 Vilket eller vilka av följande påståenden gäller för talet 2/5? A Talet är större än 1/2 B 2/5 är samma tal som 2,5 C Talet är lika med 0,4 D Talet är större än 1/3 E Talet är mindre än 1/4 Decimalform och bråk igen. 36 % vet att 2/5 = 0,4. 11 % vet att 2/5 > 1/3 och 23 % ger båda lösningarna. När man ser dessa resultat tycker man att de 7-800 klocktimmar matematikundervisning som eleverna har fått borde ha använts bättre. Större uppmärksamhet åt arbete med elevernas taluppfattning, t ex diskussion och grupparbete kring de uppgiftstyper vi presenterat i det aktuella testet, borde kunna förbättra läget väsentligt och minska avståndet till de mål för elevernas taluppfattning som ställts upp i vår nya kursplan. Procent Bland testuppgifterna finns det några som handlar om procent, som här kommenteras särskilt. En av dessa är 815. 37

815 Priset på en moped, som kostat 5000 kr, sänks på rea med 20%. Efter en månad höjs reapriset med 20 %. Vilket blir det nya priset? A Mycket mindre än 5000 kr B Lite mindre än 5000 kr C 5000 kr D Lite mer än 5000 kr E Mycket mer än 5000 kr Knappt 50 % klarade uppgiften. Man kan jämföra med hur procent hanteras i t ex media. När undersökningar av väljarsympatier redovisas finner man nästan alltid att procent behandlas som en enhet och inte som en andel. Inte att undra på att också elever blir påverkade. Men vi kan naturligtvis inte acceptera att varannan elev kanske inte förstår betydelsen av att byta utgångspunkten för en procentberäkning. Resultaten på procentuppgifterna visar hur viktigt det är att lägga ned tid på att arbeta med sådana bilder och föreställningar som hjälper eleverna att uppskatta storleken av en procentuell andel utan omfattande räkning. Man kan visa på sambandet mellan 1/2 och 50 % av det hela och på sambandet mellan 9/10 och 90 % av det hela. Har eleverna detta klart för sig kan de lättare förstå att 60 % är lite mer än hälften och att 95 % är nästan det hela. Här följer några förslag till frågor att diskutera med eleverna i anslutning till procentuppgifterna 431 Mary hade 426 kronor och använde 95 procent av pengarna till kläder. Ange, utan att räkna, hur mycket hon använde? A något mindre än 426 kr B mycket mindre än 426 kr C något mer än 426 kr D Det vet man inte utan att räkna 95% av beloppet är något mindre än 426 kr. Hur mycket är 100% av pengarna? Hur många procent av beloppet har hon kvar? Hur mycket pengar är det ungefär? 815 Sten och Lars har ett rabattkort på 10%. Stina får sitt godis 1 krona billigare och Lars får sitt 50 öre billigare. Hur kan det komma sig att det blir olika? Hur mycket godis köpte var och en för? Priset på en vara sänktes först med 50%, sedan med ytterligare 30% och till slut med ytterligare 20%. Är varan sedan gratis? Hur mycket skall man sänka priset för att den skall bli gratis? 816 Denna uppgift fanns inte med i Uppslaget i Nämnaren. 10 % av pojkarna och 10 % av flickorna i skolan röker. Hur många procent av skolans elever röker? Detta var en svår uppgift. 25 % i åk 8 hade svarat rätt medan 64 % gav svaret 20 %. (En variant av uppgiften har tidigare presenterats i Nämnaren, nr 2, 82/83). Ge den gärna som en gruppuppgift. Följ upp felaktiga resonemang med att t ex fråga hur många som röker om det istället är 51 % av pojkarna och 51 % av flickorna. När den lösts och diskuterats gemensamt kan man t ex ge eleverna den här Om 5 % av flickorna och 10 % av pojkarna hade rökt, hade man kunnat svara på frågan då? Behöver man veta mer? I så fall vad? Kanske skulle fler elever löst uppgiften om frågan varit Hur många procent av flickorna och pojkarna tillsammans röker? Prova gärna i en ny grupp elever. Taluppfattning är en förutsättning för att utvecklas i matematik. Lärarkommentar Lärarenkäten I samband med taluppfattningstestet fick deltagande klassers lärare i matematik svara på en enkät, efter att de tittat igenom testet och studerat uppgifterna. Av enkätsvaren framgår att lärarna anser att de arbetar med liknande uppgifter eller aktiviteter en till fyra gånger per må- 38 Nämnaren nr 3, 1995

nad, mer på mellanstadiet än på högstadiet. Det viktigaste syftet med sådana aktiviteter anses vara att utveckla överslags- och huvudräkning samt rimlighetsuppfattning. När det gäller den innebörd man ger begreppet taluppfattning så är svaren ganska olika och varje lärare nämner en eller ett par av de aspekter som togs upp i Nämnaren 22(2), s 23 26. Bland dessa ingår rimlighets- och storleksuppfattning, uppfattning av vårt positions- och decimalsystem, huvudräkning, känsla för tal och tolkning av tal i omvärlden. Av enkäten framgår att man ser taluppfattning som mycket viktig och flera lärare tycker att man lägger ner alldeles för litet tid på aktiviteter av det här slaget. Taluppfattning anses som en förutsättning t ex för att inte bli lurad, för att kritiskt granska vardagsmatematik, för tabell och algoritmer, för förståelse, för att utvecklas i matematik. Flera lärare säger sig göra för litet för att stimulera utvecklingen av taluppfattning. Det man främst satsar på är överslagsberäkningar och hemuppgifter. Avslutningsvis fick lärarna bedöma vilka uppgifter som var lättast respektive svårast för den årskurs man arbetade med. Bedömningen visade sig stämma väl med elevernas resultat, framförallt i årskurs 4. Jämförelser med andra länder Många av de svenska testuppgifterna har prövats med elever i andra länder såsom Australien och USA. Förutsättningarna vid testningen (grupper, administrering och tid) har varit de samma i de olika länderna. Testen gavs i slutet av skolåret och alla uppgifterna gavs på elevernas modersmål. Fastän uppgifterna har modifierats en aning med hänsyn till elevens modersmål, är ändå struktur och mening bibehållen. Eftersom elever börjar skolan vid olika åldrar i olika länder har vi tagit hänsyn till de varierande klassåldrarna, se tabell 3. Sålunda har uppgifter, som givits fjärde skolåret i USA, givits femte året i Australien. Uppgifterna under åttonde året i USA gavs under nionde året i Australien. Nämnaren nr 3, 1995 Land åk ålder Australien 3, 5, 7, 9 7, 9, 11, 13 Sverige 4, 8 10, 14 USA 2, 4, 6, 8 7, 9, 11, 13 Tabell 3. Årskurs och ålder för elever som deltagit i taluppfattningstest i olika länder Då testen i de olika länderna endast givits till elever i en stad (kommun) så är de data som redovisas endast en bild av situationen i landet i fråga. Vi har gjort ansträngningar för att välja städer av jämförbar storlek och struktur. Skolorna inom dessa har valts ut slumpmässigt. Det är ändå klart att redovisade data inte speglar ett nationellt resultat. Dessa bakgrundfakta bör hållas i minnet vid den fortsatta läsningen. Efter att ha fastlagt denna bakgrund kan vi ägna oss åt att studera den databank som finns från dessa länder. Resultaten visar stora likheter. Lärarna var mycket intresserade av Number Sense. Man var överens om att Number Sense var viktigt. Testfrågorna ansågs vara nya eller annorlunda för eleverna. Sådana frågor förekom sällan i ordinarie matematikundervisning. Det verkade vara en allmän insikt hos lärare att frågor av denna typ skall ägnas mer uppmärksamhet i kursplaner och undervisning. Då uppsättningen av testuppgifter är olika för varje land kan man inte göra någon direkt statistisk jämförelse. Det finns emellertid mönster som dyker upp på likartat sätt och som är värt att uppmärksamma. 1. Det är stor spridning i lösningsfrekvens på testet i varje årskurs i de olika länderna. Inte i något land fanns en elev som klarat av att lösa samtliga uppgifter på testet. Medelvärde och median var mindre än hälften av antalet givna uppgifter på testet. 2. Pojkar har högre testresultat än flickor. Skillnaderna är inte alltid signifikanta. 3. Resultaten på de flesta svenska testuppgifterna låg genomsnittligt på en nivå mellan de australiensiska och de amerikanska. 39

Uppgift Sv US Au Sv US Au åk 4 åk 4 åk 5 åk 8 åk 8 åk 9 430 26 36 25 432 30 20 32 435* 18 18 22 424/804 35 20 47 84 73 97 807 48 37 32 819 51 40 62 820 12 7 40 844** 36 37 49 435* Vilka två av dessa tal ska man multiplicera för att komma närmast 1000? 4 18 37 50 844** Hur mycket är 29/0,8? Uppskatta svaret utan beräkningar. A Mindre än 29 B Lika med 29 C Större än 29 D Omöjligt att besvara utan att räkna ut det. Tabell 4. Korrekta svar i procent på några uppgifter givna i Australien, Sverige och USA. De uppgifter som inte presenterats tidigare i artikeln, 435 och 844, återges ovan. 4. Vissa skillnader kunde observeras. Den mest typiska var inom bråk- och decimalform. Amerikanska elevers testresultat var högre på bråkuppgifter medan elever, både i Australien och Sverige, hade konstant högre på decimalformsuppgifterna. I tabell 4 ovan visas resultaten på en del uppgifter, som styrker slutsatserna. Tabell 5 visar resultatet från uppgiften About how many days have you lived? Frågan gavs i lite förändrad form i det svenska testet. Ändå tycks resultaten vara de samma. Det mest intressanta med denna fråga är kanske att lärarna visade sig förvånade ja, bestörta när de konfronterades med resultatet. Detta visar att uppfattningen om tid och tals relativa storlek skulle behöva utvecklas mer hos elever i de olika länderna. Datajämförelsen är begränsad. Den ger emellertid några intressanta hållpunkter för diskussion. Och kanske ännu viktigare är att det påminner oss om att number sense är ett internationellt fenomen och något som borde prioriteras i våra länders matematikundervisning. I kommande nummer planerar vi att presentera aktiviteter för att stödja utvecklingen av god taluppfattning. Redan i detta nummer ges förslag i artikeln Vitalisera hududräkningen, s 28. Tabell 5. Svarsprocent på uppgiften Hur många dagar har du levt? från USA, Australien och Sverige Svar US Au US Au åk 4 åk 5 åk 8 åk 9 A 300 6 7 0 1 B 3 000 33 35 47 32 C 30 000 39 37 32 54 D 300 000 20 21 18 13 Inget svar 0 0 0 2 Svar Sv Sv åk 4 åk 8 A 400 500 8 0 B 4 000 5 000 28 55 C 40 000 50 000 25 23 D 400 000 500 000 27 14 E 4 000 000 5 000 000 11 7 Inget svar 1 1 40 Nämnaren nr 3, 1995