TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 8 mars 0, kl. 4.00-9.00 Plats: Gimogatan 4 sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30 och kl 7.30. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del B omfattas av detta provhäfte (uppgifterna 4 till 7). Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Uppgift 4 Man vill konstruera ett positionsservo med hjälp av en DCmotor. DC-motorn modelleras som 0 Ü Ü Ù ( ) Í( ) alternativt 0 0 ( ) Ý 0 Ü Bodediagrammet för DC-motorn visas nedan. 90 00 G(iω) 0 0 0 arg G(iω) ( o ) 0 0 30 40 50 60 0 0 0 0 ω (rad/s) 70 0 0 0 0 ω (rad/s) Man försöker först med styrlagen Ù Ý Ö Ý, d.v.s. P-reglering med förstärkningen ett. Man blir då nöjd med slutna systemets dämpning, men finner det för långsamt. Din uppgift är att ta fram styrlagar/regulatorer som gör det slutna systemet lika dämpat men dubbelt så snabbt som för P-regleringen ovan. (a) Använd styrlagen Í( ) ( )( Ö ( ) ( )), där ( ) är ett leadfilter. Konstruera leadfiltret sådant att slutna systemet uppfyller önskemålen ovan. Val av skärfrekvens och fasmarginal ska motiveras. (3p) (b) Använd nu istället styrlagen Ù ÄˆÜ ÑÝ Ö, där ˆÜ är en skattning av Ü som fås från en observatör. Ange först en önskad överföringsfunktion Ñ ( ) för det slutna systemet, så att önskemålen ovan uppfylls. Motivera ditt val. Bestäm sedan Ä och Ñ i styrlagen så att önskat slutet system erhålls. (Observatören behöver inte bestämmas.) (p)
Uppgift 5 Tidsfördröjningar är en vanligt förekommande begränsning t.ex. inom processindustrin. Ett exempel från en pappersmaskin kan modelleras som ( ) 60 5 Í( ) där utsignalen Ý är papperets ytvikt (i princip tjockleken), och insignalen Ù är ventilpådraget för den s.k. tjockmassaventilen. Systemet beskrivs alltså av en (transport-) fördröjning på 60 sekunder, samt en tidskonstant (5 sekunder) som beskriver dynamiken. Vi antar här att systemet ska styras med proportionell återkoppling, Ù(Ø) Ã(Ý Ö (Ø) Ý(Ø)). (a) Ange hur stort det kvarvarande felet lim (Ý Ö (Ø) Ý(Ø)) blir då Ý Ö är Ø ½ konstant. Svaret ska uttryckas i förstärkningen Ã. (Anta att slutna systemet är stabilt.) (p) (b) För att underlätta analysen approximerar man ibland tidsfördröjningen med en rationell överföringsfunktion. En vanligt förekommande sådan approximation är Padé-approximationen Ì Ì Ì d.v.s. om systemet har överföringsfunktionen Ì ( ) så räknar man med Ì ( ) istället. Använd Padé-approximationen (med Ì 60) för att Ì bestämma för vilka à 0 som det slutna systemet är stabilt i vårt fall, med pappersmaskinen ovan. (p) (c) Utgå nu istället från den ursprungliga modellen ovan (med tidsfördröjning) och bestäm för vilka à 0 det slutna systemet är stabilt. Ledning: Ekvationen arctan Ü 4Ü har lösningen Ü 0 6460789. (p)
Uppgift 6 Betrakta det återkopplade systemet i blockdiagrammet nedan. Enligt definitionen är känslighetsfuntionen Ë( ) Ó( ), och den komple- Ö Ö ( ) Σ ( ) Ý ( ) Σ Ú Σ Ý Ò Ó( ) Ó( ), där Ó( ) är kretsförstärk- mentära känslighetsfunktionen Ì ( ) ningen. Reglerfelet är Ö Ý. Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Överföringsfunktionen från Ú till Ý är Ë( ) (d.v.s. ( ) Ë( )Î ( )). (b) Överföringsfunktionen från Ò till är Ì ( ) (d.v.s. ( ) Ì ( )Æ( )). (c) Överföringsfunktionen från Ö till är Ë( ) (d.v.s. ( ) Ë( )Ê( )). (d) Överföringsfunktionen från Ö till Ý är Ö( ) ( )Ë( ) (d.v.s. ( ) Ö ( ) ( )Ë( )Ê( )). (e) Ì ( ) Ý ( ) ( )Ë( ). Varje rätt svar ger poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p) Uppgift 7 (a) Ställ upp en tillståndsbeskrivning för leadfiltret Ð ( ) 0 5. (p) (b) Varför är det inte möjligt att ställa upp en tillståndsbeskrivning för den ideala PID-regulatorn, È Á ( ) Ã Ô Ã Ã? (p) (c) Ett system har tillståndsbeskrivningen Ü(Ø) Ü(Ø) Ù(Ø) Ý(Ø) Ü(Ø) Ù(Ø) där 0 (och Ù och Ý är skalärer). Systemet kan ju skrivas ( ) ( )Í( ). Inversen för systemet kan beskrivas som Í( ) ( ) ( ), d.v.s. ett system med Ý som insignal och Ù som utsignal, och om man seriekopplar systemet och dess invers blir överföringsfunktionen ett, ( ) ( ). Ställ upp en tillståndsbeskrivning för inversen till systemet ovan, uttryckt i,, och. Ledning: Använd samma tillståndsvektor som för systemet, d.v.s. Ü. (p) 3
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B 0-03-8 4. (a) Dubbelt så snabbt och samma dämpning µ vill ha dubbelt så stor skärfrekvens och samma fasmarginal ³ Ñ som för P-regleringen. Ta reda på och ³ Ñ för P-regleringen: Kretsförstärkningen är Ó ( ) ( ). Definition: Ó ( ) och arg ( ) ³ Ñ 80 Æ. Bodediagrammet ger 0 94 rad/s och ³ Ñ 65 Æ (alternativt räknar man ut Õ ( Ô ) 0 9 rad/s och ³ Ñ 90 Æ arctan 65 53 Æ ). Önskad skäfrekvens är alltså 8 rad/s. Bodediagrammet ger ( 8) 0 4 och arg ( 8) 3 Æ µ 48 Æ kvar till 80 Æ. Det behövs alltså 7 Æ extra i fas. Fig. 5.3 µ välj 0 55. Med Ô 8 Ô 0 75 fås 0 55 leadfiltrets maxfas vid. Slutligen väljs à för att få önskad skärfrekvens: Ã Ó ( ) ( ) ( ) Ô ( ) Ô Ô 0 55 µ à ( ) 85 0 4 Leadfiltret blir ( ) à 85 0 75 0 55 0 75. (b) Med tillståndsåterkoppling blir slutna systemet Ñ ( ) av samma ordning som öppna systemet, och har samma täljarpolynom (oavsett om man använder observatör eller inte). Här blir Ñ ( ) alltså ett andra ordningens system utan nollställen. Med P-regleringen får vi ( ) Ó( ), Ó( ) d.v.s. slutna systemets poler ligger i. För att få Ñ ( ) dubbelt så snabbt och lika dämpat bör dess poler ligga dubbelt så långt från origo och ha samma relativa dämpning µ placera polerna i. Ñ ( ) är ett positionsservo så det är rimligt att ha statisk förstärkning lika med ett. Därmed väljer vi 8 Ñ ( ) 4 8 Täljaren hos Ñ ( ) blir Ñ, så välj Ñ 4. Nämnarpolynomet blir det( Á Ä) det Ð Ð ( Ð ) Ð Identifiering av koefficienter ger Ä Ð Ð 8. Styrlagen blir Ù 8 Ü 4ÝÖ. 5. (a) Använd slutvärdesteoremet. Återkoppling från reglerfelet µ ( ) Ë( ) Ö ( ). Här är Ë( ) Då blir lim Ø ½ à 60 5 (Ø) lim ( ) lim Ë( )Ý Ö 0 0 5 µ Ë(0) 5 à 60 à Ë(0)Ý Ö Ý Ö Ã
(b) Slutna systemets poler ges av 0 Ó ( ), vilket här blir 0 à 60 µ 60 5 0 ( 60 )( 5 ) Ã( 60 ) 900 (90 60Ã) à För ett andragradspolynom är det ett tillräckligt villkor att alla koefficienter är positiva för att dess nollställen (polerna här) ska ligga i vänster halvplan. Här är det bara -koefficienten som kan bli negativ för à 0, så med Padé-approximationen fås stabilitet för à 5. [Padé-approximationen bygger på att dess frekvenssvar/bodediagram är Ì väldigt likt det för tidsfördröjningen för låga frekvenser: Ì Ì och arg Ì arctan Ì Ì för Ì.] Ì (c) Använd Nyquistkriteriet. Kretsförstärkningen blir Ó ( ) à 60 5 så Ó ( ) à 60 5 Ã Ô (5 ) och arg Ó ( ) arg 60 arg( 5 ) 60 arctan 5 Beloppet går monotont mot noll och fasen (beror ej av Ã) minskar linjärt med, vilket betyder att Nyquistkurvan går in mot origo i en spiral. Vi behöver ta reda på Nyquistkurvans vänstraste skärning med den negativa reella axeln µ arg Ó ( ) : 60 arctan 5 µ arctan Ü 4Ü med Ü 5. Utnyttjar vi ledningen (Ü 0 6460789) får vi att negativa reella axeln skärs för Ô Ü 0 0484 rad/s. För stabilitet krävs att denna 5 skärning sker till höger om µ Ó ( Ô ), vilket då ger Õ Ã Ô µ à (5 (5 Ô ) Ô ) 9 [Modellen är från kursboken, sidan 43.] 6. Följande samband gäller: ( ) ( )Ê( ) Ë( )Î ( ) Ì ( )Æ( ), och ( ) ( ( ))Ê( ) Ë( )Î ( ) Ì ( )Æ( ), där ( ) Ö( ) ( ) Ó( ) Ö ( ) ( )Ë( ) och Ó ( ) Ý ( ) ( ). (Detta härleds enkelt, alternativt se ekv. (6.) i kursboken.) (a) Sant; (b) Sant; (c) Falskt; (d) Sant; (e) Sant (Ì ( ) Ó ( )Ë( )). 7. (a) Ð ( ) 0 5 Ü Ü Ù Ü så en tillståndsbeskrivning är
(Leadfiltret har ju Ý Ö Ý som insignal och Ù som utsignal. OK att skriva Ù och Ý istället.) (b) En överföringsfunktion måste vara rationell och proper för att kunna representeras på tillståndsform. PID-regultatorn är inte proper, eftersom täljarpolynomet har högre gradtal än nämnarpolynomet. Det skulle leda till att derivator av insignalen kom in i högerledet av tillståndsekvationen, och det får inte förekomma (för då är det inte en tillståndsbeskrivning). (c) Från tillståndsbeskrivningen får vi att Ý Ü Ù µ Ù Ý Ü Stoppar vi in detta uttryck för Ù i tillståndsekvationen får vi Ü Ü ( Ý Ü) ( )Ü Ý Tillståndsbeskrivningen för inversen blir alltså Ü ( )Ü Ý Ù Ü Ý 3